Matematikcentrum
Matematik NF
Repetitionsfrågor inför muntlig tentamen i Analys 1, vt 2010.
1. Vad menas med att en talföljd har ett ändligt gränsvärde? Vad menas med att en
talföljd går mot ∞, respektive −∞?
∞
2. Visa att om följderna {an }∞
1 och {bn }1 konvergerar mot a respektive b och uppfyller
att an ≤ bn för n = 1, 2, . . . , så gäller att a ≤ b.
3. Visa att en talföljd inte kan ha mer än ett gränsvärde.
4. Formulera och bevisa instängningssatsen.
5. Formulera och bevisa satsen om växande följder.
6. Definiera begreppet serie. Vad menas med att en serie är konvergent respektive
divergent?
7. Visa att den geometriska serien
∞
X
xk är konvergent med summan
1
1−x
om |x| < 1
k=0
och divergent om |x| ≥ 1.
8. Visa att termerna i en konvergent serie går mot 0.
9. Formulera och bevisa jämförelsesatsen för positiva serier.
10. Visa att om ak > 0, bk > 0 för k = 0, 1, . . . , och
att
∞
X
ak är konvergent, om och endast om
k=0
∞
X
ak
→ A 6= 0 då k → ∞ så gäller
bk
bk är konvergent.
k=0
11. Vad menas med att en serie är absolutkonvergent?
12. Visa att en absolutkonvergent serie är konvergent.
13. Bevisa Leibniz sats om serier vars termer har alternerande tecken.
14. Definiera begreppet kontinuerlig funktion.
15. Visa att summor, produkter och kvoter av kontinuerliga funktioner är kontinuerliga
(där de är definierade).
16. Visa att en sammansättning av kontinuerliga funktioner är kontinuerlig.
1
17. Bevisa satsen om mellanliggande värden.
18. Bevisa satsen om minsta övre begränsning.
19. Visa att om f är kontinuerlig och injektiv på ett intervall, så är f strikt monoton
på detta intervall.
20. Visa att om f är kontinuerlig och injektiv på ett intervall I, så är värdemängden
till f ett intervall, och inversen f −1 är strikt monoton och kontinuerlig på detta
intervall.
21. Visa att en funktion som är kontinuerlig i ett kompakt intervall antar sitt största
och sitt minsta värde i intervallet.
22. Vad menas med att en funktion är deriverbar i en punkt?
23. Visa att en funktion som är deriverbar i en punkt också är kontinuerlig där.
24. Formulera och bevisa de räkneregler som gäller för derivatan av en summa, en
produkt och en kvot av två funktioner.
25. Visa att om f är kontinuerlig och inverterbar i en omgivning av en punkt x0
med f 0 (x0 ) 6= 0 så medför detta att inversen f −1 är deriverbar i y0 = f (x0 ) med
1
.
(f −1 )0 (y0 ) = 0
f (x0 )
26. Bevisa kedjeregeln: (f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x).
27. Givet en kontinuerlig funktion f på ett intervall I, vilken är deriverbar i det inre
av I, visa att följande gäller:
- f 0 ≥ 0 ⇒ f växande i I (till och med strängt växande om inte f 0 är identiskt
noll på något delintervall)
- f 0 ≤ 0 ⇒ f avtagande i I (till och med strängt avtagande om inte f 0 är identiskt
noll på något delintervall)
- f 0 = 0 ⇔ f konstant i I
28. Visa att om en deriverbar funktion har ett lokalt extremvärde i en inre punkt av
sin definitionsmängd så är dess derivata noll i denna punkt.
29. Formulera och bevisa medelvärdessatsen.
30. Formulera och bevisa Rolles sats.
31. Givet en funktion f som är två gånger deriverbar i en omgivning av en punkt a
och sådan att f 0 (a) = 0, visa att följande gäller:
- f 00 (a) > 0 ⇒ f har ett lokalt minimum i a.
- f 00 (a) < 0 ⇒ f har ett lokalt maximum i a.
- Om f 00 (a) = 0, ingen slutsats kan dras.
32. Definiera begreppet integral.
33. Vad menas med en primitiv funktion? Visa att två primitiva funktioner till en given
funktion skiljer sig på en konstant.
2
34. Formulera och bevisa integralkalkylens huvudsats.
35. Visa att om f är en kontinuerlig funktion på ett intervall J så finns det en primitiv
funktion till f definierad i J.
36. Formulera och bevisa formeln för partiell integration.
37. Formulera och bevisa formeln för variabelbyte.
Z ∞
38. Vad menas med att
f (x)dx är konvergent?
a
39. Formulera och bevisa jämförelsesatsen för generaliserade integraler av positiva funktioner.
Z ∞
Z 1
1
1
40. Utred konvergensen av
dx
och
dx.
p
p
x
1
0 x
41. Visa att om
f (x) > 0 och g(x) > 0 för x > a och f (x)/g(x)
→ A 6= 0 då x → ∞ så
Z ∞
Z ∞
gäller att
f (x)dx är konvergent om och endast
g(x)dx är konvergent.
a
a
42. Bevisa att en absolutkonvergent generaliserad integral är konvergent.
43. Hur löser man differentialekvationen y 0 + f (x)y = g(x)?
44. Hur löser man ekvationen g(y)y 0 = h(x)?
45. Skriv upp och bevisa satsen om homogena andra ordningens differentialekvationer
med konstanta koefficienter.
46. Vad är Taylorpolynomet av grad n i punkten a för en funktion f ?
47. Formulera och bevisa Taylors sats.
48. Härled Taylorutvecklingen kring x = 0 av
a) ex
d) ln(1 + x)
b) cos x
e) arctan x
c) sin x
f ) (1 + x)a .
49. Härled resttermen i Taylorutvecklingen på Lagranges form.
3
