Handlingsplan matematik

Datum:151006
Barn- och utbildningsförvaltningen
Handlingsplan
för kvalitetssäkring av elevers
matematikutveckling
Falkenbergs kommun
Falkenbergs kommun
311 80 Falkenberg. Telefon växel: 0346-88 60 00. Fax: 0346-133 40
e-post: [email protected]
www.falkenberg.se
151006
Handlingsplan för kvalitetssäkring av elevers matematikutveckling, Falkenbergs
kommun har utarbetats av:
Margareta Johansson - specialpedagog
Maria Kårén Schmidt - specialpedagog
Ulrika Bohlin – lärare
Pia Larsson – lärare, förstelärare, matematikhandledare
Vivianne Wingren – lärare, matematikhandledare
Niels Töttrup – specialpedagog, Rodret
Petra Bertilsson – specialpedagog tal/språk/kommunikation, Rodret
Reinhard Goertz – psykolog, Rodret
Handlingsplan för kvalitetssäkring av elevers matematikutveckling, Falkenbergs kommun är
fastställd 140515 av Heléne Malmström, verksamhetschef för grundskolan, i samråd med
grundskolans rektorer.
151006
Innehållsförteckning
1.
Inledning
s. 5
2.
Förutsättningar för ökad måluppfyllelse i matematik
s. 6
2.1 Generella ståndpunkter
s. 6
2.2 Matematik och språk
s. 7
2.3 Matematiklyftet
s. 8
2.4 Framgångsfaktorer
s. 8
2.5 De fem matematiska förmågorna
s. 9
2.6 Nivåer för lärande i matematik
s. 11
2.7 Inkluderande undervisning
s. 11
2.8 Samlärande
s. 12
2.9 Övergång och samverkan
s. 13
2.10 Uppföljning och utvärdering av handlingsplanen
s. 13
3.
Arbetsgång för kvalitetssäkring
s. 14
4.
Kartläggning
s. 15
4.1 Förskoleklass
s. 16
4.2 Årskurs 1-3
s. 16
4.3 Årskurs 4-6
s. 18
4.4 Årskurs 7-9
s. 20
Att utveckla matematikundervisningen
s. 22
5.1 Att leda och organisera matematiska diskussioner i helklass
s. 22
5.2 Att förstå och använda olika uttrycksformer
s. 22
5.3 Inkluderande planering
s. 23
5.4 Lärarinsatser för elever med särskilda matematikbehov
s. 24
5.5 Intensivundervisning i matematik
s. 25
5.6 Elever med särskilda matematiska förmågor
s. 26
Pedagogisk kartläggning av matematikutveckling
s. 28
6.1 Kvantitativ och kvalitativ kartläggning
s. 28
6.2 Kartläggnings- och bedömningsmaterial
s. 28
Samarbete och stöd
s. 30
7.1 Resurs- och stödenhet Rodret
s. 30
7.2 Skoldatateket
s. 30
7.3 Utvecklarna inom IT och lärande
s. 30
5.
6.
7.
3
151006
8.
Forskning
s. 31
9.
Litteratur-, material och länklista
s. 34
9.1 Litteratur
s. 34
9.2 Material
s. 35
9.3 Länkar
s. 36
10.
Referenser
s. 37
11.
Bilagor
s. 38
4
151006
1. Inledning
Skolans uppdrag
Skolan ska stimulera elevernas kreativitet, nyfikenhet och självförtroende samt vilja till att pröva egna idéer
och lösa problem. Eleverna ska få möjlighet att ta initiativ och ansvar samt utveckla sin förmåga att arbeta
såväl självständigt som tillsammans med andra (Lgr11, s 9)
Handlingsplan för kvalitetssäkring av elevers matematikutveckling utformades av en grupp
bestående av specialpedagoger från kommunens skolor, matematikhandledare,
matematiklärare samt representanter från den centrala stöd- och resursenheten Rodret
(specialpedagog med inriktning tal/språk/kommunikation, specialpedagog och skolpsykolog).
Gruppen träffades regelbundet under hösten 2013 och våren 2014. Planen antogs av Barn- och
utbildningsförvaltningen den 140515 och började gälla i Falkenbergs kommun 140812.
Handlingsplanen tar sin utgångspunkt i skollag, Läroplan för grundskolan Lgr11, aktuell
forskning/litteratur samt beprövad erfarenhet. Om det framkommer att en elev inte kommer
att uppnå de kunskapskrav som minst krävs eller av andra anledningar bedöms vara i behov
av särskilt stöd ska rektor, enligt 8 §, kapitel 3 i skollagen (2010:800), i samråd med
elevhälsan se till att elevens behov av särskilt stöd skyndsamt utreds. Utredningen ska leda till
att eleven får det stöd som behövs.
En likvärdig utbildning
Skollagen föreskriver att utbildningen inom varje skolform och inom fritidshemmet ska vara likvärdig,
oavsett var i landet den anordnas. Normerna för likvärdigheten anges genom de nationella målen. En
likvärdig utbildning innebär inte att undervisningen ska utformas på samma sätt överallt eller att skolans
resurser ska fördelas lika. Hänsyn ska tas till elevernas olika förutsättningar och behov. Det finns också
olika vägar att nå målet. Skolan har ett särskilt ansvar för de elever som av olika anledningar har
svårigheter att nå målen för utbildningen. Därför kan undervisningen aldrig utformas lika för alla (Lgr11,
s 8).
Handlingsplanen ska medverka till att alla elever erbjuds en optimal matematikutveckling
oavsett vilken skola de går på. Handlingsplanen är ett dokument som beskriver hur man tidigt
kan upptäcka, utmana, sätta in åtgärder samt följa upp elever som behöver stöd i sin
matematikutveckling. I handlingsplanen beskrivs också inriktningen på det
specialpedagogiska samarbetet mellan skolorna, stöd- och resursenheten Rodret samt övrigt
stöd.
Syftet med handlingsplanen är att verka för att:
• öka likvärdighet och måluppfyllelse i matematik i kommunen
• skapa kommungemensamma rutiner för att uppmärksamma, följa och utmana alla
elevers matematikutveckling på ett strukturerat sätt
• utveckla undervisningen i matematik
• säkerställa att alla elever erbjuds en gynnsam matematikutveckling
• tidigt upptäcka och sätta in pedagogiska insatser för de elever som behöver stöd för
att utveckla sina matematiska förmågor
• synliggöra hur samarbetet kring matematikutveckling kan se ut mellan de enskilda
skolorna, Rodret och övrigt stöd
5
151006
2. Förutsättningar för ökad måluppfyllelse i matematik
3.5 MATEMATIK
Matematisk verksamhet är till sin art en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet som är nära
kopplad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper i matematik ger människor
förutsättningar att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer och ökar möjligheterna att
delta i samhällets beslutsprocesser (Lgr 11, s 62 )
Välutvecklade matematiska förmågor samt en god läsförståelse/läsförmåga är en förutsättning
för att klara kunskapskraven i skolan. Det är därför oerhört viktigt att eleverna ges möjlighet
att arbeta med olika matematiska uppgifter i skolan och tidigt ges möjlighet att utveckla de
viktiga matematiska förmågorna.
2.1 Generella ståndpunkter
Handlingsplanen tar sin utgångspunkt i ett antal grundläggande ståndpunkter om elever,
matematik, undervisning och lärande tagna ur handboken ”Förstå och använda tal”:
•
De flesta elever vill utveckla sitt matematikkunnande. De lämnar denna ståndpunkt
enbart när de är övertygade om att detta är omöjligt.
•
Alla elever möter svårigheter och skapar missuppfattningar när de lär sig matematik,
en del gör det mer sällan, andra gör det oftare.
•
En del av dessa svårigheter är av enklare slag, tillfälliga och lätta att övervinna – men
många är resultatet av brister i begreppsförståelse. Även om de upptäcks och lyfts
fram i ljuset, kan de bli djupt rotade och svåra att övervinna och kvarstå in i vuxen
ålder, särskilt om de befästs genom missriktad färdighetsträning.
•
Brister i begreppsförståelse är sällan slumpartade. De är resultatet av att eleven försökt
förstå och använda logik som inte passar i situationen.
•
Missuppfattningar grundar sig ofta på bristande erfarenhet eller brister i
undervisningen.
•
De flesta elever lär sig inte bäst genom att lyssna till förklaringar och regler. De lär sig
bäst genom arbete med utmaningar och problem med konkret material, genom att
prata med varandra och läraren om vad de gör och genom att förklara hur de tänker.
•
Matematik kan ses som ett nätverk av sammanlänkade begrepp och idéer, fakta
och processer. Arbete med tal och räkning är mycket rikt på sådana samband.
•
Det ska finnas utrymme för att memorera viktiga fakta, till exempel
tabellkunskap, men ska då bygga på god taluppfattning och kunskap om samband
som gör det möjligt att härleda kombinationer som glöms bort eller inte
framträder snabbt och säkert.
6
151006
Inom området tal och räkning finns ett antal kritiska punkter/steg vilka är av stor betydelse för
elevens fortsatta matematiska utveckling. Det är viktigt att man som pedagog är medveten om
dessa för att kunna överbrygga och hjälpa barn/elever i matematiksvårigheter. Genom att vara
uppmärksam på kända svårigheter och vanliga missuppfattningar kan undervisningen planeras
så att sådana svårigheter förebyggs och så att missuppfattningar kan diskuteras och redas ut 1.
2.2 Matematik och språk
Matematik innehåller ett omfattande förråd av ord och termer som barn/elever allteftersom
blir förtrogna med. De utvecklar språk, uttrycksformer och tänkande kring ord, och begrepp
som har med matematik att göra. Språk innehåller dels det generella ordförrådet, men också
matematikord så som triangel och kvadrat. I vår vardag förekommer även en mängd
jämförelseord som; tung – lätt, lång – kort, fler – färre, stor - liten. Likaså förekommer andra
relationsord som är lägesord; bakom, framför, under, på m.fl. Barn/elever behöver många
erfarenheter av att klassificera och sortera samt att få reflektera och resonera. Att lära sig att
kategorisera, utveckla förståelse för vad som är överordnat och underordnat, att upptäcka
mönster, att se likheter och skillnader i egenskaper och objekt, händelser och fenomen i
omvärlden är betydelsefullt för att utveckla kunnande och att föra logiska resonemang 2.
Vygotskij menar att språket är tänkandets verktyg och han pekar på hur språket och tänkandet
i sin utveckling i hög grad byggs upp i den sociala dimensionen – i samspelet mellan barnet
och föräldern, mellan individen och kulturen, samhället. Mycket av vårt tänkande är inte bara
individuellt utan kulturellt och samhälleligt färgat. Genom vår uppväxt och vår uppfostran har
vi internaliserat, tagit in, inkorporerat tänkandets olika former. Det är därför helt i sin ordning
att utgå från att språket är tänkandet sociala verktyg 3 (se även kapitel 8). Vygotskij menar
vidare att språk är ett kommunikationsmedel där förhållandet mellan tanke och språk är en
levande process. Förseningar i den språkliga utvecklingen hindrar barn från att utveckla det
logiska tänkandet och därmed begreppsbildningen och detta belyser ytterligare den enormt
stora betydelse språket har för att utveckla matematiska tankestrukturer. Av denna anledning
är det, enligt Vygotskij, viktigt att det finns ett samspel mellan en aktiv elev, en aktiv pedagog
och en aktiv social miljö 4.
Malmer (2002) anser att varje lärare som undervisar i matematik måste vara medveten om den
betydelse språket har. Det gäller inte då bara de textuppgifter eleverna skall arbeta med utan
också det språk läraren själv använder i undervisningen. När man talar om matematiken som
ett språk så tänker man ofta endast på det verbala språket (talspråk och skriftspråk), men
glömmer lätt av att det också finns andra representationsformer så som; laboration,
dramatisering, bildframställning mm. I många vardagliga situationer förekommer jämförelser
av varierande slag, jämförelseord. Vi har behov av att både i ord och matematiska termer
uttrycka resultat av sådana jämförelser/skillnader, det kan gälla antal, längd, massa, ålder,
pris, tid mm. En del ord är så kallade matematikord, som sällan förekommer i mera vardagliga
sammanhang. Det rör sig om flera hundra ord och dit hör terminologiord så som addition,
1
Förstå och använda tal. (2008). Alistair McIntosh. NCM.
Små barns matematik. (2008). NCM
3
Från Vygotskij till lärande samtal (2007). Petri Partanen.
4
Bra matematik för alla. (2002). Gudrun Malmer.
2
7
151006
addera, termer, summa och andra ord som är knutna till övriga räknesätt. Det är, enligt
Malmer, av betydelse att läraren själv frekvent använder sådana ord som är viktiga för
matematiken. Läraren får gärna vara ”tvåspråkig” genom att t ex säga; - Nu ska vi addera
termerna – lägga samman talen!”. På så sätt får eleverna en ständig påminnelse om sådana
matematikord som det är önskvärt och viktigt att de på sikt lär sig 5.
Förståelse för de matematiska symbolernas innebörder och hur de används kan vara en av
stötestenarna för elever i läs- och skrivsvårigheter. Det är därför av stor vikt att
undervisningen bidrar till att elever utvecklar god taluppfattning och förståelse för samband
och relationer mellan tal och mellan tal och procedurer och hur tankar och idéer uttrycks
genom matematiska symboler 6. För elever med annat modersmål är det matematikens
komplexa språk och symbolspråk, som gör att det kan bli svårt att tillägna sig t.ex. de
benämnda uppgifterna. Matematikens språk är ett internationellt språk, som finns över hela
världen. Därför är symbolspråket i sig inte det svåra utan det är i sammanhanget med de
benämnda talens text som svårigheter i matematiken uppstår 7.
2.3 Matematiklyftet
Från och med hösten 2013 ingår Falkenbergs kommun i Matematiklyftet, som är en treårig
statlig satsning med syfte att utveckla matematikdidaktiken, höja matematiklärarnas
kompetens/professionalitet samt öka elevers måluppfyllelse i matematik. Grundbulten i
Matematiklyftet är kollegialt lärande och tanken är att matematiklärare ska lära sig
tillsammans. Genom att samtala kring och utprova utifrån forskningsresultat och egna
erfarenheter
ska
matematikundervisningen/matematikdidaktiken
utvecklas.
Matematikhandledare ansvarar för att genomföra utbildningssatsningen med sina kollegor. En
av de viktigaste framgångsfaktorerna för att utveckla undervisningen är att lärare tillsammans
reflekterar över och utvärderar sin undervisning för att bli mer medvetna; Vad är bra? Varför
gör vi som vi gör? Vad mer kan vi göra som är bra?
Arbetet sker med hjälp av en lärportal på skolverkets hemsida:
https://matematiklyftet.skolverket.se/matematik/faces/start?_afrLoop=3370539042407447&_
afrWindowMode=0&_adf.ctrl-state=jvw3gm6zq_4 . Under lärarnas fortbildning får eleverna
möjlighet att pröva olika metoder under lärarens ledning; egen reflektion kring problem,
arbete i par eller grupp där de ges möjlighet att motivera sina påståenden med matematiska
argument, lyssna och försöka förstå varandra, jämföra olika resonemang. Eleverna lär av
varandra.
2.4 Framgångsfaktorer
Forskning visar att lärares kompetens är den enskilda faktor, som har mest betydelse för hur
framgångsrika studierna blir för eleverna. I Öppna jämförelser 2011 – Tema matematik listas
en rad faktorer som kännetecknar en framgångsrik lärare 8.
5
Bra matematik för alla. (2002). Gudrun Malmer.
Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik. Sterner. & Lundberg. (NCM-rapport 2002:2).
7
Matte med mening. (2002). Dahl, Kristin. Alfabeta.
6
8
Bl.a. Hattie, John (2009). ”Vad påverkar resultaten i svensk grundskola?”. Skolverket (2009). Löwing,
Madeleine (2006). ”Matematikundervisningens dilemman”. Lund: Studentlitteratur.
8
151006
Framgångsrika lärare:
• har egen kunskap om det hon eller han ska undervisa om
• har förmåga att lyfta fram poängerna i det hon eller han ska undervisa om
• har förmåga att ta hänsyn till elevernas förförståelse och abstraktionsförmåga
• har innehållsfokus i undervisningen och sätter upp mål för lektionerna där det är
tydligt för eleverna hur de ska nå dem
• situationsanpassar undervisningen efter elevernas behov och utvecklingsnivå
involverar eleverna i det egna lärandet
• ger framåtsyftande återkoppling, det vill säga att inte bara lyfta fram elevens brister
utan att göra det tydligt för eleven vad som krävs och hur man ska gå vidare för att
kunna nå målen
• visar respekt och engagemang för eleverna
• har höga realistiska förväntningar på elevernas möjligheter och deras egen förmåga
• varierar undervisning och metoder och är inte beroende av vissa läromedel
• utmanar eleverna kunskapsmässigt
2.5 De fem matematiska förmågorna
3.5 MATEMATIK
Syfte
Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar
att utveckla sin förmåga att
• formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,
• använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,
• välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa
rutinuppgifter,
• föra och följa matematiska resonemang, och
• använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för
frågeställningar, beräkningar och slutsatser. (Lgr11, s 63).
I Lgr 11 framhävs dessa fem matematiska förmågor som undervisningen i matematik ska
utveckla. Beskrivningen av förmågorna/kompetenserna nedan är författade av Bo Senje,
Högskolan i Halmstad.
1. Problemlösningsförmåga
Med problemlösningskompetens menas att kunna lösa det vi kallar problem, d v s uppgifter
där uppgiftslösaren inte har någon färdig lösningsmetod tillgänglig. Eleven behöver producera
någon form av (icke rutinmässig) kunskap, d v s tillämpa sina kunskaper på en för honom
eller henne ny situation. Huruvida en uppgift kräver problemlösningskompetens för sin
lösning beror då inte bara på egenskaper hos uppgiften utan är beroende på kombinationen
uppgift och uppgiftslösare.
9
151006
2. Begreppsförmåga
Med begreppskompetens menar vi en förtrogenhet med innebörden av ett begrepps definition.
Detta inkluderar förmågan att definiera och använda innebörden av ett begrepp. För att få en
tydlig bild av en elevs begreppskompetens när det gäller ett visst begrepp så är det nödvändigt
att använda ett flertal uppgifter med olika infallsvinklar. En elevs lösningar till enstaka
uppgifter kan dock indikera, mer eller mindre väl, elevens begreppskompetens.
3. Procedurförmåga (metod)
Med procedurkompetens menas att känna till och kunna använda relevanta procedurer. Med
detta menas att känna till och vid uppgiftslösning rutinmässigt kunna använda procedurer i ett
eller flera steg där alla stegen och den övergripande ordningsföljden för de ingående stegen är
väl kända för uppgiftslösaren. Varje steg i proceduren kan i sin tur ofta beskrivas som en
sekvens av mera elementära steg.
4. Resonemangsförmåga
Med resonemang avses här en argumentering som sker på allmänna, logiska och speciella
ämnesteoretiska grunder. Det inkluderar deduktiva resonemang där logiska slutledningar görs
baserade på specifika antaganden och regler, där den striktaste formen av resonemang kan
sägas vara bevis. Det inkluderar också induktiva resonemang där allmänna slutsatser nås fram
till genom resonemang baserade på enskilda iakttagelser av mönster och regelbundenheter.
Det innebär att det i resonemangskompetensen ingår en undersökande verksamhet av att hitta
mönster, formulera, förbättre och undersöka hypoteser. Det inkluderar också olika former av
kritisk granskning, som t ex värdering av bevis och andra former av matematiska argument.
Resonemang ska kunna föras dels som en algoritmisk aktivitet med redan kända argument och
bevis och dels som en problemlösande aktivitet i nya situationer.
5. Kommunikationsförmåga
Med kommunikationskompetens avses förmågan att kunna kommunicera om matematiska
idéer och tankegångar såväl i muntlig som i skriftlig form. Detta innebär att kunna ta emot
och förstå information med matematiskt innehåll och också att kunna producera och förmedla
sådan information. Det betyder bland annat att kunna förstå matematisk terminologi och
matematiska begrepp och att kunna använda dessa på ett lämpligt sätt i en
flervägskommunikation.
Utöver de fem förmågorna/kompetenserna nämner Bo Senje modelleringskompetens.
Modelleringskompetens innefattar att utifrån utommatematiska situationer skapa och
använda en matematisk modell, tolka de resultat som den matematiska modellen ger när den
används samt utvärdera den matematiska modellen genom att klargöra dess begränsningar
och förutsättningar.
Det är viktigt att matematikläraren alltid är medveten om vilken/vilka av de olika matematiska
förmågorna innehållet i en matematiklektion avser att utveckla. Dessutom är det viktigt att
genom dialog med eleverna medvetandegöra dem om vilka matematiska förmågor olika typer
10
151006
av matematiska aktiviteter/uppgifter kan medverka till att utveckla.
2.6 Nivåer för lärande i matematik
Variation, flexibilitet och att undvika det monotona i undervisningen är viktigt för elevers lust
att lära. Matematikundervisningens innehåll, form, material och arbetssätt behöver växla för
att tillgodose elevers olika sätt att lära. Nya begrepp inom matematiken bör introduceras
laborativt, i aktiviteter där man samtalar kring vad som händer. Eleverna får beskriva
vad de gör och läraren iakttar och uppmärksammar viktiga aspekter. Det laborativa
arbetet ska hjälpa eleven att skapa inre föreställningar. Tillsammans med läraren beskrivs
elevens tankar efterhand med symboler. Sambanden mellan aktiviteterna, orden och de
skrivna symbolerna görs tydliga 9.
Ett sätt att lägga upp undervisningen på är att arbeta utifrån följande fyra nivåer för lärande 10:
1. Laborativa fasen
2. Representativa fasen
3. Abstrakta fasen
4. Tillämpningsfasen
1. Den laborativa fasen innebär att man genom att låta eleverna laborera med ett helkonkret
material ger eleverna chans att pröva vilket ger dem stöd i deras ”inre bildarkiv” vilket ger
dem ett stöd i deras logiska tänkande och som hjälper dem att finna generaliserbara
lösningsmetoder.
2. Den representativa fasen innebär att eleverna får synliggöra och strukturera sina tankar i en
representationsform som de själva väljer. Detta kan göras genom att rita bilder, figurer,
mönster, kartor etc.
3. I den abstrakta fasen används matematikens symbolspråk för att förstå och formulera och
förstå ett matematiskt problem. Här använder man sig av matematiska uttryck, ekvationer,
algebra, formler etc.
4. I tillämpningsfasen låter man eleven tillämpa sina kunskaper i nya sammanhang gärna
genom problemlösning. Detta för att kunna använda sina nyvunna kunskaper i praktiken.
Se även Bilaga 1 och kap. 5.4
2.7 Inkluderande undervisning
Det viktigaste arbetet med elevers matematikutveckling är det pedagogiska arbete som sker
dagligen, inom klassens ram. En inkluderande undervisning kan verka för att stärka elevers
självkänsla och öka deras motivation till skolarbetet. Det specialpedagogiska arbetet, sett
utifrån ett relationellt perspektiv, sker i interaktion med övrig pedagogisk verksamhet i
skolan. Förändringar i elevens omgivning kan påverka hans/hennes möjlighet att uppfylla
uppställda krav/mål och det specialpedagogiska arbetet bör ske inkluderande och ses på lång
9
Förstå och använda tal – en handbok. Alistaire McIntosh, A. (2008). Göteborg: NCM.
Bra matematik för alla. (2008). Gudrun Malmer. Studentlitteratur. Görel Sterner, se bilaga 1.
10
11
151006
sikt 11. En stor del av det pedagogiska arbetet med elevers matematikutveckling kan läggas
upp och organiseras så att alla elever kan delta och utvecklas utifrån sina förutsättningar. Se
även kapitel 5.3. Forskning visar dessutom att lärarens kompetens är den enskilda faktor, som
har störst betydelse för hur framgångsrika studierna blir för eleverna. Det är därför oerhört
viktigt att lärarens didaktiska kompetens kring hur man kan skapa och utveckla en
inkluderande lärmiljö för alla elever ständigt utvecklas.
2.8 Samlärande
Löwing (2006) beskriver att ett utbrett arbetssätt i matematikundervisningen har bestått av att
läraren genomförde gemensamma genomgånger av matematikens delområden för sedan att
låta eleverna arbetade enskild med matematikuppgifter i egen takt utifrån ett valt läromedel.
Av tradition har läromedlet/matematikboken haft en stark och ganska styrande roll i
matematikundervisningen 12.
Petri Partanen 13 resonerar även kring användandet av
matematikboken i undervisningen på följande sätt:
”Ibland blir läromedlet det enda verktyget och också det enda målet. Matteboken blir ett mål i sig och
reflektionen om lärandet hamnar i bakgrunden. Lärandet är en aktivitet där eleven är involverad i en uppgift med
en målsättning och med en rad olika verktyg i sin hand. För läraren gäller det att vara uppmärksam så att inte den
övergripande målsättningen tappas bort i det konkreta praktiska lärandet. I värsta fall är alla nöjda. Eleven har
jobbat igenom matteboken och gjort alla uppgifterna men kan inte sätta ord på sitt lärande och kan inte
generalisera kunskapen till ett annat sammanhang – ett klockrent exempel på att det pågått lärande men ingen
utveckling. Då har matteboken - som var ett verktyg i den lärande aktiviteten som syftade till att öka den
matematiska kompetensen hos eleven - blivit ett mål i sig. Läraren och eleven har tappat reflektionen kring det
lärande som kan ske i matteboken. Utan denna reflektion sker ingen eller liten generalisering, och därmed liten
utveckling. Att tappa reflektionen i lärandet innebär att elevens metakognition, det vill säga förmåga att sätta ord
på och förstå hur han eller hon lär sig, inte utvecklas. Då kan man också förvänta sig att elevens generalisering –
förmågan att använda kunskapen i ett annat sammanhang – hämmas, med resultatet att vi får ett lärande som bara
är giltigt och användbart i det sammanhang det utövas – i klassrummet, under lektionen, i till exempelvis
matteboken 14” (Partanen, 2008, s.84).
I Lgr 11 betonas att matematikundervisningen ska utveckla elevers problemlösnings-,
kommunikations och resonemangsförmågor. Om elever ska ha möjlighet att utveckla dessa
förmågor fordras andra arbetssätt och arbetsformer i matematikundervisningen. Samlärande,
exempelvis kollaborativt- 15 och kooperativt lärande 16, är exempel på pedagogisk-didaktiska
tillvägagångssätt som baseras på synen att elever lär sig av varandra, genom att arbeta
tillsammans i heterogena grupper eller par, t.ex. med matematiska frågeställningar.
Kunskapen skapas i interaktionen mellan deltagarna. Alla elever är delaktiga i en aktiv,
problemlösande lärprocess. De delar med sig av sina kunskaper och utvecklar genom arbetet
sina sociala färdigheter och sina förmågor att lyssna på andra samt att argumentera, resonera
och reflektera. Deltagarna ska ofta lösa en gemensam uppgift, de arbetar mot ett gemensamt
mål.
Tillvägagångssättet
innebär
att
kommunikations-,
samarbets-,
och
11
Elevers olikheter och specialpedagogisk kunskap. Persson, B. (2007). Liber
12
Matematikundervisningens dilemman: hur kan lärare hantera lärandets komplexitet. Löwing, M. (2006).
Studentlitteratur
13
Från Vygotskij till lärande samtal. (2007). P. Partanen.
14
Från Vygotskij till lärande samtal (2007). P. Partanen.
15
Se bilaga 6
16
Se bilaga 5
12
151006
problemlösningsförmågan utvecklas och elever anses bli mer ansvartagande för sitt eget och
för gruppens lärande. I samlärande lärprocesser är lärarens roll b.la. att leta fram relevanta
arbetsuppgifter, anpassa arbetsuppgifterna till arbetssättet, stödja och hjälpa eleverna under
grupparbetsprocessen och sedan ”leda” elevernas diskussion och redovisning av sina tankar
och reflektioner. Ett arbetssätt baserat på samlärande kan användas i olika skolämnen och i en
rad olika sammanhang. Bilaga 5 innehåller konkreta förslag på hur kooperativt lärande kan
användas i matematikundervisningen.
2.9 Övergång och samverkan
2.5 ÖVERGÅNG OCH SAMVERKAN
Riktlinjer
Läraren ska
• utveckla samarbetet mellan förskoleklass, skola och fritidshem,
• utbyta kunskaper och erfarenheter med personalen i förskolan och i berörda skolformer, och
• i samarbetet särskilt uppmärksamma elever i behov av särskilt stöd. (Lgr11, s 16)
En pedagogisk överlämning med fokus på elevers matematiska utveckling, i samband med att
elever får nya lärare, byter klass, stadie, eller skola, har stor betydelse för elevers fortsatta
matematikutveckling. Vid överlämning mellan lärare, olika stadier och mellan skolor är det
viktigt att elevers starka sidor och utvecklingsmöjligheter lyfts fram. Det är också av stor vikt
att elever som uppvisar svårigheter i mötet med matematiken erbjuds rätt hjälp och stöd i tid
innan deras självkänsla påverkas negativt samt att elever som behöver extra matematiska
utmaningar erbjuds detta.
Det är viktigt att skolans undervisning bygger på kontinuitet. För att inte förlora kontinuitet är
det dessutom viktigt att mottagande pedagog tar till vara på information från avlämnande
pedagog med hänsyn till vilka arbetssätt och arbetsformer som har använts i
matematikundervisningen. Vilka arbetssätt och arbetsformer är eleverna förtrogna med? Vilka
har varit framgångsrika och i särskild grad bidragit till att utveckla elevernas matematiska
förmågor?
2.10 Uppföljning och utvärdering av handlingsplanen
Innehållet i och arbetet med handlingsplanen bör följas upp och utvärderas i slutet av varje
läsår på den enskilda skolan samt vid behov på en träff med verksamhetschef för grundskolan,
rektorer, specialpedagoger/speciallärare, matematikhandledare och representanter från Rodret.
13
151006
3. Arbetsgång
för kvalitetssäkring av
elevers matematikutveckling
i Falkenbergs kommun
(Sidangivelserna nedan gäller i denna handlingsplan.)
Gy
Åk 9
Åk 8
Nationella prov: matematik
Nationella prov: matematik
Test 9 - Förstå och använda tal, s.20
Test 8 - Förstå och använda tal, s.19
Test 7 - Förstå och använda tal, s.19
Åk 7
Åk 6
Nationella prov: matematik
Test 6 - Förstå och använda tal, s.18
Åk 5
Test 5 - Förstå och använda tal, s.18
Test 4 - Förstå och använda tal, s.17
Åk 4
Åk 3
Nationella prov: matematik
Test 3 - Förstå och använda tal, s.16
AG3 - Diamant
Åk 2
Test 2 - Förstå och använda tal, s.16
AG2 - Diamant
Åk 1
Förskoleklass
Test 1 - Förstå och använda tal, s.15
AG 1 - Diamant
Elevintervju: AF - Diamant
14
151006
Bild 1
Arbetsgång
för kvalitetssäkring av elevers matematikutveckling
RODRET
SKOLAN
• Screening i åk F-9
• Extra anpassningar/åtgärder
• Uppföljning/utvärdering
• Kartläggning
• Extra anpassningar/beslut
om åtgärdsprogram
• Stöd kring tolkning av kartläggning
samt förslag till extra anpassningar
/åtgärder kan ges utan ansökan
• Uppföljning/utvärdering
• Ansökan om förstärkt stöd av
Rodret
•
Förstärkt stöd kan ges efter
ansökan
4. Kartläggning
I handlingsplanen beskrivs ett antal diagnoser och test som görs av samtliga elever i varje
årskurs. Syftet med diagnoserna är att genom analys av elevernas resultat och didaktiska
diskussioner med kollegor och specialpedagoger/speciallärare, ge pedagogerna möjlighet att
utveckla matematikundervisningen och anpassa undervisningen till elevgruppens specifika
förutsättningar och behov. Ett annat syfte med diagnoserna är att tidigt identifiera, fånga upp
och erbjuda extra anpassningar eller utmaningar till elever som riskerar att tappa motivationen
för matematikämnet, utveckla en dålig självkänsla eller på sikt utveckla matematiksvårigheter.
Elevernas resultat följs upp av pedagogiska insatser på skol-, grupp- och/eller individnivå för
att säkra att elever som behöver det får rätt stöd i rätt tid.
I förskoleklass görs en individuell elevintervju och i årskurs 1-9 görs diagnoserna i grupp.
Kriterierna för urval av diagnoserna har varit att materialet ska mäta relevanta matematiska
förmågor hos eleven, samt kunna visa hur långt eleven har hunnit i sin matematikutveckling
vid en viss ålder i jämförelse med andra elever i samma ålder. De diagnoser som används har
fokus på olika aspekter av taluppfattning. En annan tanke bakom valet av diagnoserna har varit
att materialet ska vara lätt och smidigt att arbeta med och administrera. Diagnoserna ska kunna
användas av klassens lärare i hela elevgruppen samtidigt, så tidsåtgången blir begränsad.
Dessutom finns en omfattande lärarhandledning med kopieringsunderlag, vilket gör att
kostnaderna kan hållas på en rimlig nivå. Arbetsgången och beskrivningen av
tillvägagångssättet är den samma för varje skolår/årskurs. Om det i samband med
genomförandet av diagnoserna/testerna eller utifrån matematikundervisningen i övrigt
15
151006
framkommer att en elev har svårigheter med att nå kunskapskraven för matematik bör det leda
till att matematikläraren i samarbete med specialpedagog/speciallärare genomför en
kartläggning av elevens matematikutveckling. Förslag på kartläggnings- och
bedömningsmaterial på såväl grupp- som individnivå finns i kapitel 6.2.
4.1 Förskoleklass
Diagnos AF (elevintervju) Förberedande aritmetik, Diamant
Arbetsgång
Lärare i förskoleklass genomför elevintervjun AF enskilt med samtliga elever med stöd av
specialpedagog/speciallärare. Detta görs under höstterminen i förskoleklass. Resultatet av
elevintervjuerna kan bli ett underlag för didaktiska diskussioner på gruppnivå och ge en
indikation på hur man kan lägga upp undervisningen utifrån barngruppens behov och
förutsättningar.
Specialpedagog/speciallärare på skolan ser till att elever som får låga resultat vid
elevintervjun erbjuds extra anpassningar för att utveckla elevernas matematiska förmågor. När
det gäller flerspråkiga elever bör samarbete med modersmålspedagog inledas/utvecklas. Stöd
kan även ges av skoldatateket. Ett åtgärdsprogram upprättas vid behov. De elever som får låga
resultat på elevintervjun bör, genom att göra intervjun igen, följas upp under vårterminen.
Specialpedagog/speciallärare dokumenterar och arkiverar sammanställningen av
elevintervjuerna.
4.2 Årskurs 1-3
Centralt innehåll
I årskurs 1–3
Taluppfattning och tals användning
• Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och hur det kan användas för att
ange antal och ordning.
• De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer (Lgr 11, s 63).
Årskurs 1
Test 1 -Förstå och använda tal
Diagnos AG 1 - Grundläggande aritmetik, Diamant
Arbetsgång
Lärare för årskurs 1 genomför Test 1 samt AG 1 med samtliga elever med stöd av
specialpedagog/speciallärare. Test 1 görs under höstterminen och AG 1 görs under
vårterminen. Specialpedagog/speciallärare ser till att elever som får låga resultat vid
diagnoserna, skyndsamt, utifrån tolkning och analys av resultaten, erbjuds extra anpassningar,
för att utveckla sina matematiska förmågor. Det är dessutom viktigt att analysen av elevernas
resultat på gruppnivå används till att utveckla de matematiska förmågor som elevgruppen
behöver utveckla ytterligare samt att elever som har kommit långt i sin matematiska
utveckling, och därför behöver extra utmaningar, erbjuds detta. När det gäller flerspråkiga
elever bör samarbete med modersmålspedagog inledas/utvecklas. De elever som får låga
resultat på diagnoserna bör följas upp i slutet av vårterminen.
16
151006
Ett åtgärdsprogram upprättas vid behov. Specialpedagog/speciallärare dokumenterar och
arkiverar sammanställningen av diagnoserna. Specialpedagog/speciallärare ansvarar
tillsammans med arbetslagen, för att elever som behöver särskilt stöd erbjuds detta samt att
Skoldatateket kontaktas vid behov för demonstration och utprovning av matematikprogram,
relevanta appar samt kompensatoriska verktyg. I slutet av vårterminen gör de elever som fått
låga resultat en ny diagnos. Samma diagnos kan med fördel användas för att se om de extra
anpassningarna har resulterat i en positiv utveckling av elevens matematiska förmågor.
Årskurs 2
Test 2 – Förstå och använda tal
Diagnos AG 2 - Grundläggande aritmetik, Diamant
Arbetsgång
Lärare för årskurs 2 genomför Test 2 samt AG 2 med samtliga elever med stöd av
specialpedagog/speciallärare. Test 2 görs under höstterminen och AG 2 görs under
vårterminen. Specialpedagog/speciallärare ser till att elever som får låga resultat vid
diagnosen skyndsamt, utifrån tolkning och analys av resultaten, erbjuds extra anpassningar,
för att utveckla sina matematiska förmågor. Det är dessutom viktigt att analysen av elevernas
resultat på gruppnivå används till att utveckla de matematiska förmågor som elevgruppen
behöver utveckla ytterligare samt att elever som har hunnit långt i sin matematiska utveckling,
och därför behöver extra utmaningar, erbjuds detta. När det gäller flerspråkiga elever bör
samarbete med modersmålspedagog inledas/utvecklas. De elever som får låga resultat bör
följas upp i slutet av vårterminen. Ett åtgärdsprogram upprättas vid behov.
Specialpedagog/speciallärare dokumenterar och arkiverar sammanställningen av diagnoserna.
Specialpedagog/speciallärare ansvarar tillsammans med arbetslagen, för att elever som
behöver särskilt stöd erbjuds detta samt att Skoldatateket kontaktas vid behov för
demonstration och utprovning av matematikprogram, relevanta appar samt kompensatoriska
verktyg. I slutet av vårterminen gör de elever som fått låga resultat en ny diagnos. Samma
diagnos kan med fördel användas för att se om de extra anpassningarna har resulterat i en
positiv utveckling av elevens matematiska förmågor.
Årskurs 3
Test 3 - Förstå och använda tal
Diagnos AG 3 - Grundläggande aritmetik, Diamant
Arbetsgång
Lärare för årskurs 3 genomför Test 3 samt AG 3 med samtliga elever med stöd av
specialpedagog/speciallärare. Båda testen görs under höstterminen i årskurs 3.
Specialpedagog/speciallärare ser till att elever som får låga resultat vid diagnosen skyndsamt,
utifrån tolkning och analys av resultaten, erbjuds extra anpassningar, för att utveckla sina
matematiska förmågor. Det är dessutom viktigt att analysen av elevernas resultat på gruppnivå
används till att utveckla de matematiska förmågor som elevgruppen behöver utveckla
ytterligare samt att elever som har hunnit långt i sin matematiska utveckling, och därför
behöver extra utmaningar, erbjuds detta. När det gäller flerspråkiga elever bör samarbete med
modersmålspedagog inledas/utvecklas. De elever som får låga resultat på kartläggningen bör
17
151006
följas upp i slutet av vårterminen. Ett åtgärdsprogram upprättas vid behov.
Specialpedagog/speciallärare dokumenterar och arkiverar sammanställningen av diagnoserna.
Specialpedagog/speciallärare ansvarar tillsammans med arbetslagen, för att elever som
behöver särskilt stöd erbjuds detta samt att Skoldatateket kontaktas vid behov för
demonstration och utprovning av matematikprogram, relevanta appar samt kompensatoriska
verktyg. I slutet av vårterminen gör de elever som fått låga resultat en ny diagnos. Samma
diagnos kan med fördel användas för att se om stödinsatserna har resulterat i en positiv
utveckling av elevens matematiska förmågor.
4.3 Årskurs 4-6
Centralt innehåll
I årskurs 4–6
Taluppfattning och tals användning
• Tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer.
• Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal och enkla tal i decimalform vid
överslagsräkning, huvudräkning, samt vid beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare.
Metodernas användning i olika situationer. (Lgr 11, s 64)
Årskurs 4
Test 4 – Förstå och använda tal
Arbetsgång
Lärare för årskurs 4 genomför Test 4 med samtliga elever med stöd av
specialpedagog/speciallärare.
Detta
görs
under
höstterminen
i
årskurs
4.
Specialpedagog/speciallärare ser till att elever som får låga resultat vid diagnosen skyndsamt,
utifrån tolkning och analys av resultaten, erbjuds extra anpassningar, för att utveckla sina
matematiska förmågor. Det är dessutom viktigt att analysen av elevernas resultat på gruppnivå
används till att utveckla de matematiska förmågor som elevgruppen behöver utveckla
ytterligare samt att elever som har hunnit långt i sin matematiska utveckling, och därför
behöver extra utmaningar, erbjuds detta. När det gäller flerspråkiga elever bör samarbete med
modersmålspedagog inledas/utvecklas. De elever som får låga resultat på diagnosen bör följas
upp i slutet av vårterminen. Ett åtgärdsprogram upprättas vid behov.
Specialpedagog/speciallärare dokumenterar och arkiverar sammanställningen av diagnosen.
Specialpedagog/speciallärare ansvarar tillsammans med arbetslagen, för att elever som
behöver särskilt stöd erbjuds detta samt att Skoldatateket kontaktas vid behov för
demonstration och utprovning av matematikprogram, relevanta appar samt kompensatoriska
verktyg. I slutet av vårterminen gör de elever som fått låga resultat en ny diagnos. Samma
diagnos kan med fördel användas för att se om de extra anpassningarna har resulterat i en
positiv utveckling av elevens matematiska förmågor.
Årskurs 5
Test 5 – Förstå och använda tal
Arbetsgång
Lärare för årskurs 5 genomför Test 5 med samtliga elever med stöd av
specialpedagog/speciallärare.
Detta
görs
under
höstterminen
i
årskurs
5.
Specialpedagog/speciallärare ser till att elever som får låga resultat vid diagnosen skyndsamt,
18
151006
utifrån tolkning och analys av resultaten, erbjuds extra anpassningar, för att utveckla sina
matematiska förmågor. Det är dessutom viktigt att analysen av elevernas resultat på gruppnivå
används till att utveckla de matematiska förmågor som elevgruppen behöver utveckla
ytterligare samt att elever som har hunnit långt i sin matematiska utveckling, och därför
behöver extra utmaningar, erbjuds detta. När det gäller flerspråkiga elever bör samarbete med
modersmålspedagog inledas/utvecklas. De elever som får låga resultat på kartläggningen bör
följas upp i slutet av vårterminen. Ett åtgärdsprogram upprättas vid behov.
Specialpedagog/speciallärare dokumenterar och arkiverar sammanställningen av diagnosen.
Specialpedagog/speciallärare ansvarar tillsammans med arbetslagen, för att elever som
behöver särskilt stöd erbjuds detta samt att Skoldatateket kontaktas vid behov för
demonstration och utprovning av matematikprogram, relevanta appar samt kompensatoriska
verktyg. I slutet av vårterminen gör de elever som fått låga resultat en ny diagnos. Samma
diagnos kan med fördel användas för att se om de extra anpassningarna har resulterat i en
positiv utveckling av elevens matematiska förmågor.
Årskurs 6
Test 6 – Förstå och använda tal
Arbetsgång
Lärare för årskurs 6 genomför Test 6 med samtliga elever med stöd av
specialpedagog/speciallärare.
Detta
görs
under
höstterminen
i
årskurs
6.
Specialpedagog/speciallärare ser till att elever som får låga resultat vid diagnosen skyndsamt,
utifrån tolkning och analys av resultaten, erbjuds extra anpassningar, för att utveckla sina
matematiska förmågor. Det är dessutom viktigt att analysen av elevernas resultat på gruppnivå
används till att utveckla de matematiska förmågor som elevgruppen behöver utveckla
ytterligare samt att elever som har hunnit långt i sin matematiska utveckling, och därför
behöver extra utmaningar, erbjuds detta. När det gäller flerspråkiga elever bör samarbete med
modersmålspedagog inledas/utvecklas. De elever som får låga resultat på kartläggningen bör
följas upp i slutet av vårterminen. Ett åtgärdsprogram upprättas vid behov.
Specialpedagog/speciallärare dokumenterar och arkiverar sammanställningen av diagnosen.
Specialpedagog/speciallärare ansvarar tillsammans med arbetslagen, för att elever som
behöver särskilt stöd erbjuds detta samt att Skoldatateket kontaktas vid behov för
demonstration och utprovning av matematikprogram, relevanta appar samt kompensatoriska
verktyg. I slutet av vårterminen gör de elever som fått låga resultat en ny diagnos. Samma
diagnos kan med fördel användas för att se om de extra anpassningarna har resulterat i en
positiv utveckling av elevens matematiska förmågor.
19
151006
4.4 Årskurs 7-9
Centralt innehåll
I årskurs 7-9
Taluppfattning och tals användning
• Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning,
huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik. Metodernas
användning i olika situationer.
• Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga och matematiska situationer
och inom andra ämnesområden. (Lgr 11, s 66)
Årskurs 7
Test 7 – Förstå och använda tal
Arbetsgång
Lärare för årskurs 7 genomför Test 7 med samtliga elever med stöd av
specialpedagog/speciallärare.
Detta
görs
under
höstterminen
i
årskurs
7.
Specialpedagog/speciallärare ser till att elever som får låga resultat vid diagnosen skyndsamt,
utifrån tolkning och analys av resultaten, erbjuds extra anpassningar, för att utveckla sina
matematiska förmågor. Det är dessutom viktigt att analysen av elevernas resultat på gruppnivå
används till att utveckla de matematiska förmågor som elevgruppen behöver utveckla
ytterligare samt att elever som har hunnit långt i sin matematiska utveckling, och därför
behöver extra utmaningar, erbjuds detta. När det gäller flerspråkiga elever bör samarbete med
modersmålspedagog inledas/utvecklas. De elever som får låga resultat på kartläggningen bör
följas upp i slutet av vårterminen. Ett åtgärdsprogram upprättas vid behov.
Specialpedagog/speciallärare dokumenterar och arkiverar sammanställningen av diagnosen.
Specialpedagog/speciallärare ansvarar tillsammans med arbetslagen, för att elever som
behöver särskilt stöd erbjuds detta samt att Skoldatateket kontaktas vid behov för
demonstration och utprovning av matematikprogram, relevanta appar samt kompensatoriska
verktyg. I slutet av vårterminen gör de elever som fått låga resultat en ny diagnos. Samma
diagnos kan med fördel användas för att se om de extra anpassningarna har resulterat i en
positiv utveckling av elevens matematiska förmågor.
Årskurs 8
Test 8 – Förstå och använda tal
Arbetsgång
Lärare för årskurs 8 genomför Test 8 med samtliga elever med stöd av
specialpedagog/speciallärare.
Detta
görs
under
höstterminen
i
årskurs
8.
Specialpedagog/speciallärare ser till att elever som får låga resultat vid diagnosen skyndsamt,
utifrån tolkning och analys av resultaten, erbjuds extra anpassningar, för att utveckla sina
matematiska förmågor. Det är dessutom viktigt att analysen av elevernas resultat på gruppnivå
används till att utveckla de matematiska förmågor som elevgruppen behöver utveckla
ytterligare samt att elever som har hunnit långt i sin matematiska utveckling, och därför
behöver extra utmaningar, erbjuds detta. När det gäller flerspråkiga elever bör samarbete med
modersmålspedagog inledas/utvecklas.
20
151006
De elever som får låga resultat på diagnosen bör följas upp i slutet av vårterminen. Ett
åtgärdsprogram upprättas vid behov. Specialpedagog/speciallärare dokumenterar och
arkiverar sammanställningen av diagnosen.
Specialpedagog/speciallärare ansvarar tillsammans med arbetslagen, för att elever som
behöver särskilt stöd erbjuds detta samt att Skoldatateket kontaktas vid behov för
demonstration och utprovning av matematikprogram, relevanta appar samt kompensatoriska
verktyg. I slutet av vårterminen gör de elever som fått låga resultat en ny diagnos. Samma
diagnos kan med fördel användas för att se om de extra anpassningarna har resulterat i en
positiv utveckling av elevens matematiska förmågor.
Årskurs 9
Test 9 – Förstå och använda tal
Arbetsgång
Lärare för årskurs 9 genomför Test 9 med samtliga elever med stöd av
specialpedagog/speciallärare.
Detta
görs
under
höstterminen
i
årskurs
9.
Specialpedagog/speciallärare ser till att elever som får låga resultat vid diagnosen skyndsamt,
utifrån tolkning och analys av resultaten, erbjuds extra anpassningar, för att utveckla sina
matematiska förmågor. Det är dessutom viktigt att analysen av elevernas resultat på gruppnivå
används till att utveckla de matematiska förmågor som elevgruppen behöver utveckla
ytterligare samt att elever som har hunnit långt i sin matematiska utveckling, och därför
behöver extra utmaningar, erbjuds detta. När det gäller flerspråkiga elever bör samarbete med
modersmålspedagog inledas/utvecklas. De elever som får låga resultat på kartläggningen bör
följas upp. Ett åtgärdsprogram upprättas vid behov. Specialpedagog/speciallärare
dokumenterar och arkiverar sammanställningen av diagnosen.
Specialpedagog/speciallärare ansvarar tillsammans med arbetslagen, för att elever som
behöver särskilt stöd erbjuds detta samt att Skoldatateket kontaktas vid behov för
demonstration och utprovning av matematikprogram, relevanta appar samt kompensatoriska
verktyg.
21
151006
5. Att utveckla matematikundervisningen
Följande avsnitt innehåller en rad olika förslag på grupp- och individnivå kring hur
matematikundervisningen kan utvecklas. Innehållet består av didaktiska tips om hur man kan
genomföra matematiska diskussioner i helklass, hur man använda flera olika uttrycksformer i
matematikundervisningen för att utveckla elevernas begreppsförståelse samt tankar om
inkluderande planering. På individnivå beskrivs lärarinsatser för elever med särskilda
matematikbehov samt en framgångsrik metod med intensivundervisning i matematik.
Avslutningsvis beskrivs hur man kan utmana elever med särskilda matematiska förmågor.
5.1 Att leda och organisera matematiska diskussioner i helklass - fem
utvecklingssteg
Det senaste decenniet har flera matematikdidaktiker börjat leta efter mer genomarbetade
arbetssätt för att läraren ska kunna föra matematiska diskussioner i helklass. I en artikel i
tidskriften Mathematical Thinking and Learning från 2008 17 beskrivs ett undersökande
arbetssätt som innebär att läraren i fem steg medvetet leder och planerar helklassdiskussionen.
Läraren behöver då försöka:
• förutse vilka tänkbara svar som kan komma från olika elever så att han/hon inte blir
förvirrad och ställd
• styra in elevernas svar så att elevens tänkande utvecklas i rätt riktning
• välja ut vissa elever som har intressanta svar och låta just dessa redovisa
• ordna elevernas svar på uppgifterna så att redovisningen följer ett mönster
• hjälpa eleverna med att hitta samband mellan olika svar och till viktiga matematiska idéer.
Detta är fem steg i en utveckling mot alltmer avancerad matematisk helklassdiskussion mellan
lärare och elever. Det finns alltså en ordningsföljd i stegen så att de tidigare stegen lägger
grunden för det som bör komma sedan. Indelningen underlättar för lärare att kunna planera
och styra arbetet. 18 Se även bilaga 3.
5.2 Förstå och använda olika uttrycksformer
Lärande i matematik kan beskrivas som en kumulativ process där man stegvis får tillgång till
allt fler och mer avancerade uttrycksformer och förstår hur de hänger samman och hur de kan
användas. Att kunna uttrycka sig på flera sätt är ett tecken på god begreppsförmåga. ”Den
som kan använda flera olika sätt att beskriva samma begrepp har en rikare begreppsbild och
därmed en mer funktionell begreppskunskap”. 19 För att få stöd i sin begreppsutveckling
behöver eleverna ges möjlighet att möta ett och samma matematiska begrepp med hjälp av
flera olika uttrycksformer. Begreppet kan därigenom bli mer konkret, tillgängligt för
reflektion, hjälpa eleverna att få överblick och att strukturera sitt tänkande.
17
18
19
Mary Kay Stein, Randi A. Engle, Margret S. Smith och Elisabeth K. Hughes
Lars Mouwitz, NCM
Algebra för alla. C. Bergsten, J.Häggström, & L. Lindberg. (2001).
22
151006
Därför räcker det inte att enbart räkna med siffror och bokstäver i en lärobok utan eleverna
måste få arbeta med fler uttrycksformer som att:
• undersöka med laborativa material, ”penna och papper” eller digitala hjälpmedel
• med ord (vardagliga ord och matematiska termer) tala och skriva matematik
• använda bildspråk, med allt ifrån egna informella skisser till professionellt framtagna
illustrationer
• exemplifiera med hjälp av verkliga och fiktiva situationer i närmiljö och omvärld
• beskriva sina tankegångar med hjälp av, för kunskapsnivån lämpligt, matematisk
symbolspråk. 20
5.3 Inkluderande planering
Att göra en inkluderande planering innebär att tänka igenom och förebygga elevers
misslyckanden i så stor utsträckning som möjligt samt att ta hänsyn till alla elevers behov och
förutsättningar. Det gäller att planera både lektioner och uppgifter så alla elever ges möjlighet
att lyckas med sitt arbete 21.
Här är sju steg för att närma sig en inkluderande planering:
• Var tydlig med varför uppgiften ska göras. Koppla till ämnets eller ämnenas
syftestexter och till de kunskapskrav som ska utvärderas i uppgiften.
20
21
•
Ge instruktionerna på flera sätt. Att lämna ut en enda lång instruktion kan bli ett
hinder redan innan arbetet har påbörjats. Utöver den vanliga instruktionen, skriv ut
samma instruktion som en punktad checklista att bocka av. Spela in instruktionen så
att det är möjligt att ta del av den med flera sinnen.
•
Ge möjlighet att uttrycka kunskaperna på flera sätt, redan i instruktionerna. Står
det verkligen i kunskapskraven att de måste utvärderas i skriftlig form? Måste de
utvärderas på ett särskilt sätt eller kan eleven samla kunskapen kontinuerligt i en
blogg till exempel? Finns det elever som behöver få arbeta med specialintressen för
att komma igång och få upp motivationen? Uppmuntra eleverna att själva komma med
förslag på hur de kan lösa uppgiften eftersom de vet varför den ska göras.
Algebra för alla. (2001). C. Bergsten, J. Häggström, & L. Lindberg.
http://specialpedagogen.wordpress.com/tag/kollaborativt-larande/
23
151006
•
Visa exempel på hur du tänker dig att uppgiften kan se ut, kanske finns det gamla
elevexempel som klassen kan få titta på och bedöma tillsammans.
•
Gör uppgiften i sin helhet eller i delar tillsammans först innan du låter eleverna
jobba individuellt. Särskilt om man jobbar med delade dokument är det en fördel att
skriva tillsammans kollaborativt för att komma igång med arbetet. Om du redan har
tänkt dig att dela upp uppgiften i mindre delar, gör åtminstone första delen
tillsammans så att det blir lättare för alla elever att ta in hur du har tänkt dig uppgiften.
•
Planera in återkommande feedback i processen. Feedbacken ska komma från både
lärare och kamrater samt i form av självskattning. Feedbacken ska ges för både
uppgiften och för arbetsprocessen. På så sätt får eleven en möjlighet att utvärdera sitt
sätt att jobba och pröva olika vägar att nå målet.
•
Planera in återkommande reflektion för att lättare skapa dialog och följa elevens
process. Vi lärare kan inte läsa elevernas tankar och kan därför inte heller förutsätta att
ett beteende beror på det vi tror. Att planera för tät dialog är ett effektivt sätt att hjälpa
eleven med strategier för att lyckas.
5.4 Lärarinsatser för elever med särskilda matematikbehov
Olof Magne beskriver i boken ”Att lyckas med matematik i grundskolan” en rad lärarinsatser,
som han anser är viktiga om elever med särskilda matematikbehov ska lyckas nå
kunskapskraven i matematik. 22
I undervisningen av elever med särskilda matematikbehov är det eleven som skall stå i
centrum. Elever har olika förutsättningar. Eleverna går olika vägar i sitt lärande och läraren
måste också gå olika vägar i sin undervisning. Lärarinsatserna för eleverna bör också följa
varierande vägar, alltefter elevernas och lärarnas läggning.
A. Individuell målplanering (stödinsats åt eleven att lära det han/hon har behov av).
Undervisningen börjar i kunskaper och personlighetsegenskaper som utvecklats väl hos den
individuella eleven. Läraren börjar alltså med att finna elevens kunskaps- och
personlighetsprofil och startar där eleven har sina viktigaste matematikbehov. Vägen kallas
också profileringsmetodik.
B. Intensivmetodik (stödinsats för att engagera alla resurser maximalt). En elev med
kunskapsnedsättning bör engagera sig själv och anstränga sig med intensiv verksamhet.
Undervisningen kan göras lärarintensiv, tidsintensiv, materialintensiv och känslomässigt
intensiv. Lärarintensiv betyder att läraren är specialist på att handleda elever med särskilt
matematiskt utbildningsbehov och ges tillfälle att ge eleven många inlärningspass.
Tidsintensiv innebär att eleven under begränsade perioder får ett stort antal inlärningspass.
22
Att lyckas med matematik i grundskolan. (1998). Magne, Olof.
24
151006
Materialintensiv är att utnyttja flera olika läromedel. Känslomässigt intensiv avser att eleven
skaffar sig vänliga, positiva upplevelser.
C. Individualisering och självaktivering (lärarinsats att medvetandegöra elevens självkänsla
m.m.). Motivationen är ofta otillräcklig hos elever med särskilda utbildningsbehov. Då eleven
aktiverar sig själv, ökar elevens självkänsla, studievilja och arbetsmoral. Eleven bör ”finna sig
själv”. Elevens skolarbete individualiseras med hänsyn till elevens intresse, ambition och
förmåga.
D. Bredfrontmetodik (lärarinsats där alla i elevens omgivning medverkar). Detta är en
ekologisk nätverksprincip. Matematik måste integreras med annan inlärning, både i och
utanför skolan. Undervisningen i skolan pågår mindre än en fjärdedel av dygnets vakna tid.
Skolinlärningen kombineras med sysselsättningar på annan tid. Föräldrarna och jämnåriga
stimulerar och deltat i nätverket kring eleven. Elevens inlärningsprogram bör få verkan på så
bred front som möjligt. Eleven bör eftersträva social kompetens (livsmatematik).
E. Multi-modell-metodik (det goda smörgåsbordets lärarinsats). Genom att variera läromedel
och aktiviteter stimulerar läraren olika sinnesmodaliteter, färdigheter, motivation och
kommunikation för att förbättra problemlösning och begreppsbildning hos eleven. Läraren bör
utnyttja de olika sinnena, så att elevens perception får impulser från syn, hörsel, känsel etc.
Laborativ verksamhet omväxlar med språklig kommunikation. Varierad metodik ger eleven
stöd för att generalisera erfarenheter. En femfaldig balans bör eftersträvas:
•
•
•
•
•
Balans mellan de matematiska huvudområdena.
Balans mellan metoder att lära och undervisa.
Balans mellan erfarenhet, logiskt tänkande, övning och tillämpning.
Balans mellan läromedelstyper (fysiska material).
Balans mellan organisationsformer, för att ge lärarens handleding största möjliga
effekt i varierande elevgrupperingar.
5.5 Intensivundervisning i matematik
Framgångsfaktorer när det gäller intensivmatematik är; engagerade och kunniga lärare,
elevens egna insatser, god samverkan med hemmet, strukturerad och effektiv undervisning,
samverkan mellan klasslärare och intensivlärare, höga, men realistiska förväntningar på
elevens förmåga att lära.
Principer för intensivundervisning:
• Undervisningen ges av en kvalificerad matematiklärare under 10 veckor, 4 tillfällen à
15 – 20 minuter/vecka för de yngre eleverna och 20-40 minuter/vecka för de äldre
eleverna utöver den ordinarie undervisningen.
• Ett nära samarbete mellan klasslärare och intensivlärare.
• Elevens engagemang och arbetsinsatser betonas.
• Undervisningen utgår från återkommande analyser av elevens kunskaper och
färdigheter.
25
151006
•
Undervisningen bygger på forskning och beprövad erfarenhet.
•
Ett nära samarbete med hemmen. Eleven arbetar även hemma 10 minuter om dagen vid
fyra tillfällen i veckan. Arbetet kan t.ex. bestå av att spela ett spel med föräldrarna,
arbeta i matematikprogram på datorn eller med matematikappar på iPad.
För att kunna följa elevens kunskapsutveckling och visa på ökad måluppfyllelse används
tester från boken Förstå och använda tal.
Praktiska råd kring införandet av intensivmatematik; se över behovet av
kompetensutveckling för samtliga lärare som undervisar i matematik, tydliggör lärarrollerna,
lägg tid på att lösa organisatoriska frågor innan intensivundervisningen startar och involvera
vårdnadshavare. Se även till att pappersarbete är avklarat innan terminen börjar och bestäm i
slutet av våren vilka elever som ska delta, om ni avser att komma igång på hösten. När lärare
byts ut försvinner viktig kunskap om eleverna. Var gärna två intensivlärare som kan hjälpas åt
med uppgifter och stödja varandra och låt den lärare som har intensivundervisning även ha
klassundervisning 23. Se även bilaga 1.
5.6 Elever med särskilda matematiska förmågor
Forskning visar att svenska elever med särskild fallenhet för matematik sällan får det stöd de
behöver för sitt behov av stimulans. Det visar Eva Pettersson i avhandlingen
"Studiesituationen för elever med särskilda matematiska förmågor", se även bilaga 2. Utifrån
personlig kommunikation med Eva Pettersson (efter en föreläsning på Halmstad Högskola
140326), delger hon nedan sina tankar kring kännetecken för elever med särskild fallenhet för
matematik, hur vi upptäcker och utvecklar deras förmågor samt vad som krävs av elevernas
lärare/skolor/kommuner.
Kännetecken för elever med särskilda matematiska förmågor:
• Kan tänka abstrakt och se generella mönster.
• God/kreativ problemlösare som har många olika lösningsmetoder.
• Nyfiken på att lära mer och fördjupa sina kunskaper med kvalité.
• Kan ha en specifik fallenhet för ett speciellt ämnesområde inom matematiken.
• Intresse för matematik.
• Duktig på att hantera siffror och symboler
• Logisk förmåga, kan utifrån givna påstående dra logiska slutsatser
En elev behöver inte uppfylla alla ovanstående kännetecken.
Hur upptäcker vi elever med särskilda matematiska förmågor?
• Prata mycket matematik
• Ge öppna/rika problem
• Delta i matematiktävlingar
23
Powerpoint, Görel Sterner, NCM
26
151006
•
•
Varierande undervisning
Logiska uppgifter, t ex olika strategispel
Ibland kan det vara svårt att upptäcka elever med fallenhet för matematik, därför är det
lämpligt att göra ovanstående moment som klassaktivet.
Hur utvecklar vi dessa elevers förmågor?
• Ge eleverna utmanande uppgifter (fördjupning istället för att arbeta med redan befästa
kunskaper)
• Fördjupa sig inom ordinarie område, t ex område som normalt kommer senare under
grundskolan.
• Fördjupa sig inom icke ordinarie områden, t ex kryptering, avancerad problemlösning,
Excel mm
• Kontinuerligt stöd av en handledare/mentor (en liten specialgrupp)
• Delta i matematiktävlingar
• Möjlighet att samarbeta med gymnasieskolan vid deras föreläsningar.
Tanken är inte att eleverna ska sitta och jobba ensam i en matematikbok för senare årskurser,
utan få stöd och handledning av ordinarie lärare, resurs på skolan eller matematikutvecklare.
Vad krävs för att lärare ska kunna utveckla dessa elevers förmågor?
• Förstärk matematikutvecklarresursen så att någon kan ha ansvar och tid för att arbeta
med detta och hålla kontakten med kommunens skolor, matematiklärare och elever.
• Skapa nätverk för lärare som undervisar i matematik.
• Samordna träffar via matematikutvecklare för lärare.
• Kompetensutveckling för intresserade lärare.
Övrigt
• Skapa matematikaktiviteter för intresserade elever över klass- och skolgränser.
• Skapa möjligheter för dessa elever att kontinuerligt få träffas i grupper för att diskutera
matematik på en nivå som utmanar och stimulerar dem.
• Ta vara på möjligheten att skolor kan skapa profiler, inriktningar eller valbara
aktiviteter kring matematik.
27
151006
6. Pedagogisk kartläggning av matematikutveckling
Eventuella misstankar om matematiksvårigheter bör leda till att specialpedagog/speciallärare
på skolan, i samarbete med berörda lärare, genomför en kartläggning av elevens
matematikutveckling. Användning av kartläggningsmaterial, på såväl individ som gruppnivå,
kan vara ett stöd i det pedagogiska arbetet. Förslag på kartläggningsmaterial finns under
kapitel 6.2.
6.1 Kvantitativ- och kvalitativ kartläggning
En kvantitativ kartläggning av elevers matematikutveckling/matematikförmågor är ett
redskap för att kunna göra en likvärdig bedömning av elevers olika förmågor. Den kan b.la.
ge vägledning om någon elev behöver särskilt stöd för att nå kunskapskraven i matematik
eller om någon elev är i behov av extra utmaningar. Det är viktigt att komplettera
kartläggningen på gruppnivå med en kvalitativ kartläggning av elevers matematikförmåga.
Det är den kvalitativa analysen av de kvantitativa resultaten som säkerställer att elever ges
stöd och utmanas i matematik utifrån den nivå de befinner sig på. Observation i klassrummet
och kollegialt lärande/handledning i olika undervisningssituationer samt användandet av
kvalitativt observationsmaterial bör vara en naturlig del av en kvalitativ kartläggning.
Om lärare och specialpedagog/speciallärare tillsammans gör en analys av kvantitativa och
kvalitativa kartläggningsresultat och diskuterar hur en inkluderande lärmiljö kan utvecklas
skapas förutsättningar för ökad måluppfyllelse. Likaså kan nya arbetssätt och arbetsformer i
matematikämnet utvecklas. Utifrån resultatet av kartläggningen planeras för relevanta insatser
för att utveckla elevernas matematiska förmågor och vid behov upprättas åtgärdsprogram. När
det gäller flerspråkiga elever bör samarbete med modersmålspedagog inledas/utvecklas. Även
kompensatoriska åtgärder kan komma ifråga.
Uppföljning och utvärdering av åtgärdernas effekt och därmed den enskilda elevens resultat
ska ske kontinuerligt så länge svårigheter kvarstår. När det kommer nyinflyttade elever till
kommunen ska deras matematiska förmåga kartläggas så snart det anses lämpligt. Nedan
följer förslag på material som kan användas vid en kartläggning/bedömning av elevens
matematikutveckling.
6.2 Kartläggnings- och bedömningsmaterial
Diamant – diagnoser i matematik, Skolverket (2009)
Diamant är en diagnosbank i matematik som finns att hämta på Skolverkets hemsida. Den
består av 55 diagnoser som i första hand är avsedda att användas i förskoleklass samt
årskurserna 1-6. Tanken med diagnoserna är att de ska användas av lärare för att kartlägga hur
långt eleverna kommit i sin kunskapsutveckling i matematik. Syftet är i huvudsak formativt
vilket innebär att diagnoserna ska ge läraren ett underlag för planering av undervisning som
skapar goda förutsättningar för eleven att nå uppställda kunskapsmål.
Bedömning för lärande i matematik för årskurs 1-9, Skolverket (2014)
Materialet är ett bedömningsstöd som utgår från kursplanen i matematik och relaterar till
ämnesproven i matematik i årskurs 3, 6 och 9. Syftet med materialet är att kunna stödja och
28
151006
strukturera lärarens kontinuerliga bedömning av elevens kunskapsutveckling i matematik. I
materialet finns också underlag för att eleven ska kunna följa sitt eget lärande. Bedömning för
lärande i matematik årskurs 1–9 på Skolverkets webbplats ger möjlighet att digitalt följa och
dokumentera elevens lärande liksom att skapa egna dokument för bedömning att använda i
undervisningen.
Förstå och använda tal – Alistair McIntosh (2008).
Förstå och använda tal är en handbok utgiven av NCM. Boken bygger på en kombination av
resultat från forskning och utvecklingsarbete och lång erfarenhet av arbete med elever och
lärare. Syftet är att tillhandahålla hjälp för lärare i grundskolan att diagnostisera dessa
svårigheter och missuppfattningar genom översiktstest för klass/elevgrupp och uppföljande
samtal med enskilda elever. Handboken ger förslag och underlag för att kunna hjälpa elever
att reda ut svårigheter. Den syftar också till att hjälpa lärare att med en medveten undervisning
undvika att skapa missuppfattningar. Handbokens diagnoser riktar sig främst till elever från
förskoleklass till årskurs 9.
MUS – Matematikutvecklingsschema, Håkan Johansson, (2012) Liber.
MUS är ett matematikutvecklingsschema som är framtagit för att kunna följa varje elevs
kunskapsutveckling i matematik. MUS består bl.a. av ett elevprotokoll där elevernas
kunskapsutveckling dokumenteras utifrån fem olika faser, utvecklingsnivåer. Syftet med
materialet är att få överblick över elevernas lärande/matematikutveckling över tid.
Tummen upp, Mattekartläggning åk 1-3. Pia Eriksson. (2009) Liber.
Materialet består av kartläggning, kommentarer och uppföljningsuppgifter som täcker
färdigheterna: tal och talens beteckningar, räkning med positiva heltal, rumsuppfattning och
geometri, mätning – vikt, längd, volym, statistik samt olika lösningsstrategier.
Tummen upp, Mattekartläggning åk 4-6. Pia Eriksson. (2012, 2014) Liber.
ALP 1-8 - Analys av läsförståelse i problemlösning, Gudrun Malmer (2011)
Studentlitteratur.
Syftet med analysmaterialet är att få en uppfattning om hur elevernas kompetens ser ut med
hänsyn till avläsningsförmåga samt förmågan att orientera sig i en text. Syftet är också att ta
reda på om eleven kan utföra enkla räkneoperationer samt förstår innebörden av en rad
matematiska ord och uttryck. Ytterligare visar analysmaterialet om eleven kan dra logiska
slutsatser och utföra räkneoperationer i flera steg, alltså om eleven kan kombinera språklig
och matematisk kompetens. Analysmaterialet kan användas från skolår 2-9.
Matematikscreening 1,2 och 3, Björn Adler (2000)
Screeningsmaterialet är inte lämpligt som grupptest. Det kan användas i den
enskilda/individuella bedömningen av eventuella matematiksvårigheter. Svårigheter med
olika kognitiva processer ses som förklaring till eventuella matematiksvårigheter.
29
151006
7. Samarbete och stöd
Som ett stöd för skolorna i arbetet med elevers matematikutveckling finns olika
samarbetspartners i Falkenbergs kommun.
7.1 Stöd- och resursenhet, Rodret
Vid behov kan specialpedagog/speciallärare kontakta specialpedagog, specialpedagog
tal/språk/hörsel, eller psykolog på Rodret för att diskutera och tillsammans tolka och
analysera resultat som framkommit i samband med gjorda matematikkartläggningar. Utöver
tolkningen av resultaten kan man diskutera relevanta åtgärdsförslag som sedan återges till
berörda lärare i arbetslagen. Konsultation, diskussion och tolkning av matematikutredning kan
göras utan skriftlig ansökan till Rodret.
Om en elev trots intensiva insatser inte har gjort tillräckliga framsteg i sin utveckling och en
matematikkartläggning har genomförts, kan ett förstärkt stöd bli aktuellt. En ansökan kan
skickas till Rodret, Stöd- och resursenhet, på blankett Ansökan om samarbete med Rodret
som finns under Rodret på intranätet. Tillsammans med ansökan bifogas pedagogisk
kartläggning och ett eventuellt åtgärdsprogram. Rodret gör, utifrån den enskilda ansökan, en
bedömning av hur det förstärkta stödet kan utformas.
7.2 Skoldatateket
Skoldatateket har som uppgift att ge teknisk och pedagogisk support på
digitala verktyg och andra hjälpmedel, som kan göra skillnad för det
enskilda barnet i behov av särskilt stöd.
På Skoldatateket kan elever som går i grundskola/grundsärskola och
gymnasieskola/gymnasiesärskola få prova hjälpmedel som gör det
möjligt att klara skolarbetet trots svårigheter med att läsa eller med
koncentrationen. Även kommunens förskolor kan få stöd i form av
konsultation, råd och fördjupade kunskaper om IT-baserade verktyg.
7.3 Utvecklarna inom IT och lärande
Utvecklarna inom IT och lärande har som uppgift att vara ett stöd till pedagoger i
förskola/skola i arbetet med moderna pedagogiska IT-baserade verktyg. Mer information
finns på www.falkenberg.se under Skola- och barnomsorg/Skolutveckling/Digitalt lärande.
30
151006
8. Forskning
Forskning visar att ett medvetet pedagogiskt arbete med att utveckla elevers matematiska
förmågor samt att tidiga upptäckta och sätta in pedagogiska insatser är viktiga
framgångsfaktorer i förebyggandet av matematiksvårigheter. Nedan ges förslag på forskning
kring lärande, matematikutveckling och matematikundervisning.
Lev Vygotskij
Vygotskij, rysk psykolog och forskare, verkade i början av 1900-talet (1896-1934) och har
haft stor betydelse för modern utvecklingspsykologi och pedagogik. Vygotskij forskade inom
den pedagogiska psykologin i direkt anslutning till de pedagogiska miljöer som barn och unga
befann sig i, på barnhem, daghem och i skolor. Vygotskij menar att tänkandet, språket,
samtalet och reflekterandet utgör ett redskap, ett verktyg för oss människor. Med hjälp av
språket och tänkandet kan vi analysera situationen, lära oss något om hur vi reagerar i en viss
given situation, lära oss andra strategier för hur vi kan reagera, vänja oss gradvis och därmed
pröva och erövra ny färdighet. Verktygen är med andra ord ”möjliggörare”.
Vygotskij menar att barn vid varje tidpunkt har en förmåga att lösa uppgifter, av en viss
svårighet, självständigt (den självständiga kompetensen). Det självständiga arbetet sker främst
med stöd av ett inre språkligt tänkande. Han upptäckte att barn vid varje tidpunkt även har ett
område ovanför den självständiga kompetensen, den proximala utvecklingszonen, där barnet
med visst stöd från kamrat eller vuxen klarar en uppgift av högre svårighetsgrad. Det är alltså
en färdighet som är på gång, nästa steg i utvecklingen. Om barnet enbart får arbeta inom det
område som han/hon redan behärskar sker ingen direkt utveckling – det blir repetition och till
slut tråkigt. Om barnet får arbeta ovanför sin självständiga kompetens och ovanför sitt
utvecklingsområde så utsätts barnet för överkrav. Vygotskij menar att det därför är oerhört
viktigt att barnet får utmaningar som ligger inom barnets utvecklingsområde 24.
Gelman och Gallistels fem principer
De amerikanska forskarna Gelman och Gallistels 25 menar att det behövs ett antal viktiga
hörnstenar som grund för att barn ska kunna tillägna sig matematik. Dessa hörnstenar
beskriver de utifrån fem principer. Elever som har problem med att uppfatta någon av dessa
principer riskerar att få svårigheter att tillgodogöra sig skolan undervisning i matematik 26.
1. Ett-till-ett principen
Ett-till-ett principen finns med i alla räknemetoder då man parar ihop två kategorier med
varandra. När barnen använder principen så har de två komponenter som de sätter samman
steg för steg, de har ett föremål/element som de sedan parar ihop med ett annat
föremål/element, märkord eller ett räkneord. Det viktigaste är att endast ett föremål paras ihop
med ett annat föremål/element eller ord för att barnen ska få en uppfattning av hur man
räknar. Kan eleven genom parbildning avgöra vilken av två mängder som innehåller flest
föremål?
24
25
26
Från Vygotskij till lärande samtal. (2007). P. Partanen.
The child's Understanding of Number. (1986). Gelman, Rochel & C.R, Gallistel. London: Harvard UP.
Baskunskaper i matematik. (2002). Löwing. M. & Kilborn. W. Studentlitteratur.
31
151006
2. Principen om stabila ordningen
Innebörden av principen är att räkneorden används i en speciell ordning, barnen vet att
räkneordens ordning är ett, två, tre, fyra, fem istället för ett, tre, fem, fyra, två. Men även om
barnen behärskar att sätta räkneorden i rätt följd betyder det inte att de förstår hur man räknar.
Det kan handla om en automatiserad ramsa eller att härma vad andra sagt. Ett exempel på
principen är när barn räknar kulor på en kulram och nämner ett räkneord för varje kula i rätt
ordning. Inser eleven att talen i talraden alltid kommer i samma ordning?
3. Antalsprincipen
Antalsprincipen innefattar att man kan plocka ut det sista uppräknade ordet och använda det
för alla de uppräknade föremålen Efter att barnet räknat föremål ska antalet kunna benämnas
utan att behöva räknas om. Som till exempel då ett barn räknar antalet paket på sin teckning
kan han först räkna ett, två, tre, fyra, fem och därefter benämna hur många paket han har
räknat: - Jag har fem paket. Förstår eleven att varje begränsad mängd med föremål kan
räknas?
4. Abstraktionsprincipen
Abstraktionsprincipen innebär kunskap om vad som går att räkna och att kunna räkna de
föremål med en speciell egenskap i en mängd. Ett exempel på abstraktionsprincipen är att det
kan sitta flera barn på en samling och ett barn får i uppgift att räkna de barn som har gula
strumpor eller antalet pedagoger som är här idag. Förstår eleven att det sist nämnda
räkneordet i talraden entydigt beskriver antalet element i mängden?
5. Principen om den godtyckliga ordningen
Den sista principen är den godtyckliga ordningen vilket innebär att föremål/element kan
räknas hur de än ligger, men att det endast kan räknas en gång Barnen har fått kunskaper för
hur man räknar och för räkneordens betydelse. Som till exempel när barn räknar snöbollar i en
snölykta. Det finns ingen synlig början men barnen kan ändå räkna varje boll en gång så de
får samma antal som om de räknat flera gånger. Förstår eleven att om man räknar ett antal
föremål så spelar det ingen roll i vilken ordning detta sker?
Siffran som ett verktyg i våra liv
”Dagens komplexa samhälle genomsyras av ett omfångsrikt informationsflöde, där en stor del
är matematisk information, vilket för en person som ännu inte erövrat en grundläggande
matematisk kompetens kan vara svår att tolka. Att få möjlighet att erövra en matematisk
kompetens kan ses som en mänsklig rättighet för alla elever”. Ann-Louise Ljungblad (2003)
Ljungblad, ur: En studie av hur barn använder siffror, tal och antal i en matematisk diskurs.
Magisteruppsats i specialpedagogik. Institutionen för pedagogik och didaktik. Göteborg:
Göteborgs universitet. Se bilaga 4.
Mattebegåvade elever får lite stöd
Eva Pettersson. Studiesituationen för elever med särskilda matematiska förmågor,
Linnéuniversitetet 2011-05-18
Elever med särskild fallenhet för matematik får sällan det stöd de behöver för sitt behov av
stimulans. Det visar Eva Pettersson i avhandlingen "Studiesituationen för elever med
32
151006
särskilda matematiska förmågor". Eva Petterssons avhandling utgör en delstudie inom ett av
Vetenskapsrådet finansierat projekt Pedagogik för elever med intresse och fallenhet för
matematik vid Linnéuniversitetet. Avhandlingen består av tio fallstudier med elever i åldrarna
6-19 år samt två enkätstudier. Huvudfrågorna Eva Pettersson söker svar på handlar dels om
vad som kan sägas karaktärisera en elev med särskild matematisk förmåga, dels hur skolan
bemöter dessa elever. Se bilaga 2.
33
151006
9. Litteratur-, material och länklista
Nedan ges förslag på litteratur, material och länkar som anknyter till matematikutveckling och
matematikundervisning.
9.1 Litteratur
Att lyckas med matematik i grundskolan. Magne, O. (1998). Lund: Studentlitteratur.
Att möta barns olikheter – åtgärdsprogram och matematik. Ljungblad, A-L. (2003).
Argument Förlag AB.
Att räkna med barn i specifika matematiksvårigheter. Ljungblad, A-L. (2001). Argument
Förlag AB.
Baskunskaper i matematik för skola, hem och samhälle. Löwing, M. & Kilborn, W. (2002).
Lund: Studentlitteratur.
Bra matematik för alla - nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. Malmer, G. (2002).
Lund: Studentlitteratur.
Den matematiska människan – siffrors roll i vår kultur och historia. Butterworth, B. (1999).
Stockholm: Wahlström & Widstrand.
Det matematiska barnet. Heiberg Solem, I. & Reikerås, E. K. (2004). Stockholm: Natur &
Kultur.
Dyskalkyli. Att hjälpa elever med specifika matematiksvårigheter. Butterworth, B. & Yeo, D.
(2010) Natur & Kultur.
Dyskalkyli och matematik. Adler, B. (2007).Malmö: NU-förlaget.
Fibonaccitalen och gyllene snittet. Ulin, B. NCM.
Geometri och rumsuppfattning – med Känguruproblem. Gennow, S. & Wallby, K. NCM.
Hur många prickar har en gepard? Unga elever upptäcker matematik. Berit Bergius, B. &
Emanuelsson, L. NCM.
Individual Differences in Arithmetic. Dowker, A. (2005). Hove and New York: Psychology
Press.
Kulturmöten i matematikundervisningen – exempel från 40 olika språk. Löwing, M. &
Kilborn, W. (2010). Lund: Studentlitteratur.
Matematik som språk – verksamhetsteoretiska perspektiv. Johnsen Hoine, M. (2000).
Stockholm: Liber
Matematik en mänsklig rättighet. Ljungblad, A-L. (2006). Argument Förlag AB.
Matematisk Medvetenhet. Ljungblad, A-L. (2001). Argument Förlag AB.
Matematiksvårigheter och svårigheter när det gäller koncentration i grundskolan. Skolverket
(97:282).
34
151006
Matematikverkstad. Rystedt, E. & Trygg, L. (2005) NCM.
Minoritetselever och matematikutbildning. Rönnberg, I. & Rönnberg, L. (2001). Stockholm:
Skolverket.
Nämnaren Tema 8 - Matematik ett grundämne. NCM.
Nämnaren Tema - Familjematematik hemmet och skolan i samverkan. NCM.
Nämnaren Tema – Uppslagsboken. NCM.
Nämnaren Tema - Matematik från början.(2000). NCM.
Nämnaren Tema - Matematik – ett kommunikationsämne. NCM.
Nämnaren Tema - Algebra för alla. NCM.
När siffrorna skapar kaos - matematiksvårigheter ur ett specialpedagogiskt perspektiv.
Lunde, O. (2011). Stockholm: Liber.
Rika matematiska problem.(2005). Hagland, Hedrén, Taflin. Liber.
Räknefärdighetens rötter. Neuman, D. (1993). Stockholm: Utbildningsförlaget.
Små barns matematik. NCM.
Språk, kultur och matematikundervisning. Löwing, M. & Kilborn, W. (2008). Lund:
Studentlitteratur.
Tänka, resonera och räkna i förskoleklass. (2013). Sterner, G. Helenius, O. & Wallby, K.
NCM.
9.2 Material
ALP 1-8 – analys av läsförståelse i problemlösning. (2011). Malmer, G. Adastra Läromedel.
Förstå och använda tal – en handbok. McIntosh, A. Nationellt Centrum för
Matematikutveckling, NCM
Numicon, Matematik med alla sinnen. Atkinson, R et al (2009).. Undervisningsmaterial i
matematik. Stockholm: Liber.
Träna dina sinnen - Nya Kopieringspärmen. (1997). Wallenkrans, P. Warne Förlag.
Träna dina sinnen - Lärarhandledning. (1995). Wallenkrans, P. Warne Förlag.
Kognitiv Träning Matematik. Adler, B. 2004 (www.dyskalkyli.nu)
Matematikscreening 1,2 och 3. Adler, B. 2000.
35
151006
9.3 Länkar
Att lyfta matematiken – intresse, lärande, kompetens. Matematikdelegationens betänkande.
SOU 2004:97: http://www.regeringen.se/rattsdokument/statens-offentligautredningar/2004/09/sou-200497/
Diamant – diagnoser i matematik. Skolverket. (2009):
http://www.skolverket.se/bedomning/bedomning/bedomningsstod/matematik/diamant1.196205
http://www.skolappar.nu/
www.dyskalkyli.nu
www.lukimat.fi/matematik
http://nomp.se
http://www.skolverket.se/skolutveckling/forskning/amnenomraden/matematik/undervisning/mattebegavade-elever-1.130231
www.kunskapshubben.se
http://ncm.gu.se/
36
151006
10. Referenser
Bergsten, C. & Häggström, J. & Lindberg, L. (2001). Algebra för alla. NCM.
Dahl, Kristin. (2002). Matte med mening. Alfabeta.
Gelman, Rochel & C.R, Gallistel. (1986). The child's Understanding of Number. London:
Harvard UP.
Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet Lgr11. (2011). Skolverket.
Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik. Sterner. G. & Lundberg. I. NCMRAPPORT 2002:2.
Löwing, Madeleine (2006) Matematikundervisningens dilemman - hur kan lärare hantera
lärandets komplexitet. Studentlitteratur
Löwing, Madeleine. & Kilborn. Wiggo. (2002). Baskunskaper i matematik. Studentlitteratur.
Magne Olof. (1998). Att lyckas med matematik i grundskolan. Studentlitteratur.
Malmer, Gudrun. (2008). Bra matematik för alla. Studentlitteratur.
McIntosh, Alistair. (2008). Förstå och använda tal. Göteborg: NCM.
Partanen, Petri. (2007). Från Vygotskij till lärande samtal. Sanoma utbildning.
Persson, Bengt. (2007). Elevers olikheter och specialpedagogisk kunskap. Liber.
Sterner, G. & Lundberg, I. (2002). Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik. NCMrapport 2002:2.
Små barns matematik. (2008). NCM
Undervisningen i matematik - utbildningens innehåll och ändamålsenlighet?
Skolinspektionen 2009:5.
Utbildningsdepartementet (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och
fritidshemmet Lgr11. Skolverket.
Öppna jämförelser, Grundskola 2011 – Tema matematik, (2011). Sveriges Kommuner och
Landsting.
http://www.lararnasnyheter.se/origo/2012/10/15/intensivmatte-far-eleverna-pa-banan
http://www.skolverket.se/skolutveckling/forskning/amnenomraden/matematik/undervisning/mattebegavade-elever-1.130231
http://www.skolinspektionen.se/Documents/Kvalitetsgranskning/Matte/granskningsrapportmatematik.pdf
37
151006
11. Bilagor
Intensivmatte får eleverna på banan
Bilaga 1
- Många elever som får intensivundervisning i matematik gör stora
framsteg och förändrar sin attityd till ämnet och sin förmåga att lära sig.
Det säger Görel Sterner, projektledare på Nationellt centrum för
matematikutbildning.
Matematik var svårt och tråkigt, tyckte Minna i början av vårterminen i årskurs 2.
Kartläggningen visade att hennes kunskaper var begränsade. Hon räknade på fingrarna och
hade svårt att uppskatta antal över 20. Att göra enkla räknehändelser med addition och
subtraktion var besvärligt. Minna och hennes föräldrar tackade ja till skolans erbjudande om
intensivundervisning. I tio veckor arbetade hon, förutom den vanliga undervisningen, fyra
gånger i veckan med sin intensivlärare. Hemma tränade hon genom att spela spel med sina
föräldrar. Diagnosen och intervjun som gjordes i slutet av perioden visade att Minna gjort
stora framsteg och klarade alla uppgifter bra. På hösten gjordes ett nytt test för att se att
kunskapsutvecklingen var hållbar. Även de uppgifterna löste hon korrekt och kunde redogöra
för sina uppfattningar.
– Nu tycker hon att matte är det roligaste ämnet, är en helt vanlig elev och behöver inte
särskilt stöd, säger Görel Sterner, projektledare för intensivundervisning i matematik på
Nationellt centrum för matematikutbildning, NCM.
De flesta elever som får intensivundervisning i matematik gör stora framsteg. För en del
elever räcker det med en–till–en–undervisning i tio veckor. Andra behöver mer och fortsätter
att arbeta en gång i veckan, berättar hon. – Men det är inget trolleri, utan ett gediget arbete.
Intensivmatematik är ett sätt att stötta elever som av olika anledningar har kunskapsluckor,
missuppfattningar eller svårigheter inom olika områden. Arbetssättet bygger på forskning och
erfarenheter från bland annat Storbritannien samt erfarenheter från läsundervisning.
Intensivundervisningen är en del av skolans organisation och ett komplement till
klassrumsundervisningen.
Det är viktigt att fundera över orsaken till att elever har svårigheter i matematik. Det kan till
exempel handla om röriga hemförhållanden, dyslexiproblematik som ger problem med
textuppgifter, nedsatt arbetsminne eller bristfällig undervisning, förklarar Görel Sterner.
– Många elever som får intensivundervisning visar sig egentligen inte ha
matematiksvårigheter. De har, av olika anledningar, halkat efter, fått kunskapsluckor eller
missuppfattat saker som man inte kommit till rätta med. En del barn har så få erfarenheter av
matematik när de börjar i första klass att de ligger ett till två år efter kamraterna. Att dels
hämta igen och dels lära sig allt nytt är en svår situation.
– Det finns en stor risk att de utvecklar svårigheter. Trots att det egentligen ofta handlar om
bristande erfarenheter. Förskola och förskoleklass har en mycket viktig roll. Där kan man
fånga upp och ge barn lekfulla, utmanande uppgifter, i både läsning och i matematik,
understryker Görel Sterner.
38
151006
Intensivundervisningen har två syften. Dels att hjälpa eleven med kunskapsluckor eller
missuppfattningar. Dels att ligga före och introducera ett område innan klassen börjar med
det. – Det har visat sig väldigt framgångsrikt och stärker elevens motivation och självkänsla.
Det är vanligt att elever som behöver stöd i matte får begränsade uppgifter och får arbeta
mycket med det de inte kan, vilket innebär mycket räkning, påpekar hon.
– Men forskning visar att de är i stort behov av en undersökande matematisk verksamhet.
Undervisningen är strukturerad och bygger på fyra faser. I den första introducerar läraren,
genom muntligt laborativt arbete, ett matematiskt begrepp eller idé. Fokus ligger både på
utveckling av begreppslig förståelse och på den språkliga förmågan. – Vi lämnar inte fasen
förrän eleven kan förklara innehållet. I den representativa fasen får eleven lösa uppgifter
genom att rita och förklara muntligt för läraren. – Det är den viktigaste fasen. Eleven ska
utveckla inre föreställningar, uttrycksförmåga och sitt tänkande. Därefter går läraren och
eleven över till den abstrakta fasen, där eleven löser uppgifter genom att använda ett
matematiskt symbolspråk. – Syftet är alltid att eleverna ska utveckla abstrakt tänkandet om ett
matematiskt innehåll. Det är lärarens uppgift att hjälpa eleven att se hur det hänger ihop. Först
i den fjärde och sista fasen är det dags för färdighetsträning. Det är viktigt att eleven tränar
på det den förstår. Intensivmatematik tar tid, men ger resultat, konstaterar Görel Sterner.
– Det är ett väldigt effektivt sätt att jobba på och fungerar lika bra på lågstadiet som på
högstadiet. Hon pekar ut vissa faktorer som är viktiga för att arbetet ska lyckas.
Intensivläraren måste vara behörig att undervisa i den aktuella årskursen. Mycket handlar om
elevernas egna insatser. – Det går inte att bli en bra läsare utan att läsa mycket. Samma sak
gäller matematiken.
Samarbetet mellan skolan och hemmet spelar stor roll. Det börjar med att eleven och
vårdnadshavarna får en inbjudan till skolan. På mötet diskuteras hur kunskapsutvecklingen ser
ut och vad skolan kan erbjuda. – Vi är noga med att tala om att det ställs krav på elevens egna
insatser. Vi pratar också med föräldrarna om hur viktig samverkan är och hur de kan stötta sitt
barn. På högstadiet kan det handla om att peppa sina barn att prioritera undervisningen, se till
att de är utvilade och har ätit frukost. På låg- och mellanstadiet avsätter föräldrarna tio
minuter per dag, fyra dagar i veckan, till att exempelvis spela spel. En av
intensivundervisningens styrkor är att läraren har möjlighet att fånga elevens uppmärksamhet
och koncentration en stund varje dag. På lågstadiet arbetar eleven 20 minuter åt gången, på
mellanstadiet 30 och på högstadiet 40.
För att eleverna ska dra nytta av både klassrums- och intensivundervisningen behöver lärarna
planera tillsammans. Organisationen måste stötta samarbetet, poängterar Görel Sterner. Det
kan vara svårt att hitta tid till lektioner som ligger utanför den ordinarie undervisningen.
– Men när rektor bestämmer att det ska gå, så går det!
Hämtat från: http://www.lararnasnyheter.se/origo/2012/10/15/intensivmatte-far-eleverna-pa-banan
39
151006
Mattebegåvade elever får lite stöd
Bilaga 2
Eva Pettersson. Studiesituationen för elever med särskilda matematiska förmågor,
Linnéuniversitetet 2011-05-18
Elever med särskild fallenhet för matematik får sällan det stöd de behöver för sitt behov av
stimulans. Det visar Eva Pettersson i avhandlingen "Studiesituationen för elever med särskilda
matematiska förmågor". Eva Petterssons avhandling utgör en delstudie inom ett av
Vetenskapsrådet finansierat projekt Pedagogik för elever med intresse och fallenhet för
matematik vid Linnéuniversitetet. Avhandlingen består av tio fallstudier med elever i åldrarna
6-19 år samt två enkätstudier. Huvudfrågorna Eva Pettersson söker svar på handlar dels om
vad som kan sägas karaktärisera en elev med särskild matematisk förmåga, dels hur skolan
bemöter dessa elever.
Sparsamt med forskning
Forskning om begåvning och begåvade individer är mycket sparsam i Skandinavien i
jämförelse med världen i övrigt. En intressant beskrivning av särbegåvade elever har gjorts av
den amerikanska forskaren Linda K Silverman. Hon menar att vissa egenskaper och drag är
viktigt att lärare känner till, som exempelvis nyfikenhet, förmåga att resonera, hög
abstraktionsförmåga och perfektionism. Förutom generell "begåvningsforskning" beskriver
Pettersson även hur begåvning specifikt i matematik uttrycks samt vad detta
matematikdidaktiskt innebär för undervisningen.
Normer i undervisningsverksamheten
Avhandlingens fallstudier består av elev-, föräldra- och rektorsintervjuer samt
klassrumsobservationer. I analysdelen, som är mycket intressant, problematiseras elevernas
matematiska förmåga samt de sociala och sociomatematiska normerna som råder i
undervisningsverksamheten. Av de tio fallstudierna presenteras fyra (fallstudie med Johan och
Sara samt fallstudie med Axel och Erica) mer detaljerat för att ge en djupare bild. Johan och
Sara valdes utifrån att de deltagit i projektet under en längre tid. Valet av Johan och Sara hade
andra perspektiv.
Handlingsplaner för elever med särskild förmåga
Den ena enkätstudien var riktad till lärare i grundskolans F-9. Den bearbetade frågor
angående matematikundervisningens arbetssätt och arbetsformer med särskilt fokus på elever
med särskilda förmågor. Den andra enkäten riktade sig till kommunala matematikutvecklare i
hela landet. Frågorna som ställdes handlade om förekomst av handlingsplan för att bemöta
elever med särskild förmåga i matematik samt om kommunen hade någon resursperson som
hanterade denna fråga.
Lite eller inget stöd alls
I hela resultatredovisningen av fallstudierna är det otroligt intressant att följa elevernas
kunskapande och resonerande. Eva Pettersson avslutar redovisningen med en diskussion om
vad som karaktäriserar elever med särskilda matematiska förmågor och vilket bemötande de
får i skolverksamheten. Resultaten visar på att i hälften av fallen har mycket litet eller inget
40
151006
stöd givits för elevens behov av stimulans. Vad det gäller resultatet av enkätstudien till
grundskolans lärare konstaterar författaren att de vanligaste bemötanden eleverna får är att
fortsätta framåt i boken alternativt att övergå till nästa årskursbok eller som ett tredje
alternativ att få svårare uppgifter.
Inga handlingsplaner
I den andra enkätstudien som riktades till matematikutvecklare konstaterar Pettersson att
ingen kommun redovisade någon formell handlingsplan och generellt, utifrån studiens
upplägg, att endast fem procent av Sveriges kommuner ger någon form av stöd till yngre
elever med fallenhet för matematik.
Eva Pettersson tydliggör avslutningsvis att viktiga faktorer för dessa elevers möjligheter att
utvecklas handlar om de matematiska aktiviteternas syfte, innehåll, utformning samt lärares
agerande i samband med aktiviteterna.
Insikt och kunskap
Vi har ju en skola för alla i Sverige och med det perspektivet måste vi kanske fundera på och
utveckla vårt arbete med och för de elever som behöver särskilda utmaningar för att utveckla
sina matematiska kompetenser.
Detta är en enormt välskriven och intressant avhandling som ger läsaren både insikt och
kunskap om hur och på vilket sätt vi kan bemöta elever med stor fallenhet för matematik.
Hämtat från:
http://www.skolverket.se/skolutveckling/forskning/amnenomraden/matematik/undervisning/mattebegavade-elever-1.130231
41
151006
Att leda och organisera matematiska diskussioner
– fem utvecklingssteg, Lars Mouwitz, NCM
Bilaga 3
Förr förde matematikläraren ofta en monolog i klassrummet. Eleverna fick sitta tysta och
försöka att så gott de kunde förstå vad det hela handlade om. Läraren såg som sin uppgift att
så strikt och korrekt som möjligt förmedla den matematiska kunskapen. Som en motreaktion
mot detta växte så småningom en annan undervisningsform fram, där alla elever i klassen
skulle undersöka och upptäcka på egen hand. Därefter skulle de visa och berätta om sina
resultat inför klassen.
Denna undersökande metod hade många fördelar, men också vissa svagheter. Visserligen var
metoden demokratisk och uppmuntrade till en undersökande och upptäckande verk-samhet,
men å andra sidan krävde den en mycket erfaren och kunnig lärare som kunde leda arbetet.
Annars spårade det hela lätt ur till en kaotisk uppvisning där alla svar ansågs vara lika bra,
även de ofullständiga eller rent av felaktiga svaren. Oerfarna lärare fick stora svårigheter att i
praktiken tillämpa metoden, trots att föredömliga exempel presenterades under
lärarutbildningen. Det senaste decenniet har flera matematikdidaktiker därför börjat leta efter
mer genomarbetade metoder för att läraren ska kunna föra matematiska diskussioner i
helklass. I en artikel i tidskriften Mathematical Thinking and Learning från 2008 presenterar
Mary Kay Stein, Randi A. Engle, Margret S. Smith och Elisabeth K. Hughes en sådan metod
som också passar för oerfarna lärare. Metoden innebär att eleverna visserligen fortfarande
bedriver ett undersökande arbete, men att läraren i fem steg medvetet leder och planerar
helklassdiskussionen.
Läraren behöver då försöka:
• förutse vilka tänkbara svar som kan komma från olika elever så att han/hon inte blir
förvirrad och ställd
• styra in elevernas svar så att elevens tänkande utvecklas i rätt riktning
• välja ut vissa elever som har intressanta svar och låta just dessa redovisa
• ordna elevernas svar på uppgifterna så att redovisningen följer ett mönster
• hjälpa eleverna med att hitta samband mellan olika svar och till viktiga matematiska idéer.
Detta är fem steg i en utveckling mot alltmer avancerad matematisk helklassdiskussion mellan
lärare och elever. Det finns alltså en ordningsföljd i stegen så att de tidigare stegen lägger
grunden för det som bör komma sedan. Indelningen underlättar för en oerfaren lärare att
kunna planera och styra arbetet.
Ett klassrumsexempel
För att exemplifiera behovet av de fem stegen hänvisar författarna till en problemlösningslektion i en fjärdeklass. Lektionen leddes av magister Crane och handlade om följande
problem: En fjärdeklass behöver fem löv varje dag för att föda upp sina två larver. Hur
många löv skulle de behöva för att föda upp tolv larver?
Magister Crane berättade först för eleverna att de fick lösa problemet hur de ville. Han gick
runt i klassrummet för att övertyga sig om att alla fått grepp om problemställningen och han
var mycket nöjd med att eleverna använde en mängd olika sätt att närma sig problemet, t.ex.
42
151006
tabeller, bilder eller förklarande text. Han lade också märke till att två elever hade felaktiga
svar men brydde sig inte så mycket om detta, utan tänkte att de skulle tänka om, när de fick se
riktiga lösningar. När de flesta var färdiga frågade han efter frivilliga som ville redovisa sina
lösningar för klassen, och undvek medvetet att rikta sig till eleverna med felaktiga svar. Sex
elever presenterade sina lösningar och magister Crane hjälpte till att klargöra lösningarna och
bekräfta svarens riktighet. Han avslutade lektionen med att säga att problemet kunde lösas på
många olika sätt, och att eleverna nu själva kunde välja den lösning som de tyckte bäst om.
Lektionen var i vissa avseenden exemplarisk och magister Crane gjorde mycket som var bra,
men betraktar man händelseförloppet med mer kritiska ögon kan man få syn på ett antal
svagheter. Det gick inte att se någon planerad ordning vad gäller redovisningarna, den
berodde på vilka elever som räckte upp handen först. Det verkade också som om lärarens
bärande idé med lektionen var ”ju fler lösningar desto bättre”, men varje enskild elev kunde
mycket väl hålla fast vid en enda variant. Han tog inte heller vara på möjligheten att i helklass diskutera proportionalitet i relation till vissa lösningar. Och han brydde sig inte om att ta
reda på om de två elever som fått felaktiga svar faktiskt hade tänkt om eller att diskutera det
resonemang som låg bakom dessa svar. Magister Crane tog alltså inte vara på möjligheten att
ta ledningen i klassrummet och styra in klassens på ett mer effektivt matematiskt arbete.
Istället kom alla strategier att framstå som lika bra. I praktiken kunde denna
”överdemokratiska” metod leda till att lärare helt abdikerade från sin roll som
matematiklärare. Kursplanen och lärarens faktiska uppdrag kom helt i skymundan.
Berättelsen är ett exempel på en ”första generation” av didaktiska idéer kring problemlösning. Den ”andra generation” som beskriv i artikeln fokuserar mer tydligt på frågan om hur
läraren ska kunna leda och utveckla elevens matematiska tänkande. Ett exempel är den
femstegsmetod som redovisas.
De fem stegen – några konkreta exempel
• Att förutse elevernas tänkbara svar kräver mycket mer än att bara anpassa problemets
svårighetsgrad. Det innefattar också att fundera kring hur elever skall tolka problemet, vilka
strategier de kan tänkas använda, både korrekta och felaktiga, och hur dessa relateras till
begrepp, representationer och olika förmågor. Magister Crane hade till exempel kunnat
förutse att vissa elever troligen skulle uppfatta proportionaliteten additivt istället för
multiplikativt och haft vissa förberedda följdfrågor till dessa.
• Att styra in elevernas svar kan till exempel handla om att välja ut de elevstrategier som bör
behandlas i helklass. Även vissa felaktiga eller ofullständiga metoder kan vara värda att
diskutera. Därför bör läraren vara alert och ta reda på hur olika elever arbetar i klassrummet.
• Att välja ut lösningar så att de blir tillgängliga för helklass kan göras på många sätt, t.ex.
genom att en frivillig elev får redovisa på tavlan. Ibland kan det dock vara viktigt att läraren
försöker styra detta så att det blir speciellt fruktbara metoder som kommer att presenteras för
klassen. Detta kräver i sin tur att läraren är mycket medveten om vilka lösningstyper som
brukar förekomma och hur vissa av dessa kan underlätta matematikförståelsen högre upp i
skolåren.
43
151006
• Att ordna elevernas lösningar kan ske på olika sätt beroende på syfte. Läraren vill kanske
först få presenterat den lösningsmetod som de flesta elever använt, för att sedan bygga på med
de mer avancerade metoder som bara några få an-vänt. En annan strategi kan vara att starta
med en lösning som är bildmässig och lätt att förstå för de flesta elever, för att sedan gå över
till lösningar med matematiska symboler och operationer. En tredje strategi kan vara att utgå
från något som många elever missförstått då de tolkat uppgiften, för att sedan genom en
utförlig diskussion reda ut detta en gång för alla.
• Att hjälpa eleverna att hitta samband blir sedan den sista och mest avancerade uppgiften för
läraren. Här gäller det snarare att utveckla elevernas omdöme så att de kan jämföra
effektivitet, precision och räckvidd hos olika metoder. Läraren kan också visa på kraftfulla
idéer som går att använda på till synes helt olika slags problem. Läraren kan också planera
ytterligare en lektion för att till exempel visa att ritade teckningar kan bli tidsödande om
mängden larver t.ex. ökas till 100.
Författarna avslutar med att påpeka att de inte tror att detta är den enda saliggörande metoden,
eller att de fem stegen snabbt skulle lösa alla skolans problem. Men de fem stegen kan erbjuda
något viktigare, nämligen ett praktiskt och påtagligt sätt att gradvis och långsiktigt förbättra
matematikdiskussionerna i klassrummet.
Att leda och organisera matematiska diskussioner - fem utvecklingssteg, maj 2013
http://matematiklyftet.skolverket.se
44
151006
Siffran som ett verktyg i våra liv
Bilaga 4
Ann-Louise Ljungblad, rådgivare Specialpedagogiska skolmyndigheten
Under många har jag arbetat med elever i matematiksvårigheter och fascinerats av hur olika vi
människor är. Att i skolan möta ALLA elevers olikheter i det matematiska lärandet är enormt komplext
och när jag som lärare försökte förstå dessa variationer, fann jag ingen teori som inkluderade alla
elevers olikheter.
Det gjorde att jag valde en sociokulturell inriktning (Säljö, 2000) på min studie.
Anledningen till att jag gjorde detta val var att man inom detta synsätt anser att det
matematiska lärandet inte enbart kan förläggas till något inre, inne i individen.
Kommunikationssvårigheten ligger mellan eleven och mig som lärare. Dessutom tar man
fokus på att studera språket som ett verktyg och försöker upptäcka hinder i kommunikationen,
så att man kan hitta nya vägar till utveckling. Matematiken kan ses som ett språk där vi
använder både fysiska och intellektuella verktyg (artefakter) att kommunicera med. Ett av
resultaten i studien visar just att siffror och bokstäver är skilda verktyg och har inte samma
sociala och historiska källa (Ljungblad, 2003a). Låt oss studera några konsekvenser detta
synsätt kan få för under-visningen, om man ser siffrorna som unika verktyg.
Vi är på väg in i 2000-talets informationssamhälle, med utveckling och framsteg som en
naturlig del av vår vardag. Dagens komplexa samhälle genomsyras av ett omfångsrikt och
snabbt informationsflöde. Många röster höjs i debatten och påpekar vikten av att eleverna
idag behöver bli goda läsare, som kan söka efter information och även läsa på djupet. Vad
som inte lika tydligt uppmärksammats är att mycket av den information som dagligen når oss
i tidningar, TV och på våra arbetsplatser är matematisk information som ska tolkas
matematiskt. Det vi läser, tänker och analyserar med bokstävers och siffrors hjälp lever i
skilda sammanhang och kontexter (Ljungblad, 2003a). I vår vardag tänker vi kanske inte på
alla de gånger vi under en dag använder oss av matematiska tankar. Det finns grova
uppskattningar som visar på att vi troligen bearbetar cirka 1000 hänvisningar till matematiska
tal i timmen (Butterworth, 1999). Det skulle ge bortåt 16 000 tal varje dag och närmare 6
000 000 matematiska tankar om tal varje år! Det är naturligtvis ett överslag och kan variera
avsevärt människor emellan, vissa tänker färre matematiska tankar medan andra personer
använder långt fler, beroende på vilken ålder man är i livet, personlighet, yrke och intresse. Vi
kan dock som lärare ana att sex miljoner matematiska tankar årligen är en viktig del i
människors liv!
Samtidigt ser vi i dagens skolor att många elever vänder matematiken ryggen av olika orsaker
och en stor grupp elever lämnar skolan utan tillräckliga kunskaper i matematik. Forskningsoch utvecklingsarbete är allvarligt försummat i fråga om elever med särskilda
utbildningsbehov i matematik (Magne, 1998). Ett vanligt synsätt inom forskning är att man
tar utgångspunkt ifrån läs- och skrivsvårigheter, vilket vissa forskare anser är den primära
faktorn i orsakskedjan. Det gör att man utifrån detta synsätt ser matematiksvårigheter som en
sekundär problematik, något som stämmer in på en del av våra elevers svårigheter - men inte
alla. Vi är många lärare som känner att området matematiksvårigheter är långt mer komplext
än, att det går att lägga in som en mindre underrubrik till området läs- och skrivsvårigheter.
45
151006
När en elev i skolan tar sig an en matematisk problemuppgift ska man vanligtvis läsa, skriva,
räkna, tänka och lösa det matematiska problemet och dessutom ibland samtala med andra
människor (Ljungblad, 2003a). Att beskriva alla mina elevers problem som enbart läs- och
skrivsvårigheter, var inte tillräckligt för mig som didaktiker. Jag behövde gå djupare ner i
problematiken för att kunna förändra min undervisning. Om en elev upplever stora svårigheter
med exempelvis tidsuppfattningen, årets månader, veckodagar och klockan får man ju inte
bättre förståelse över dessa matematiska strukturer genom att lästräna! Här behövs istället
matematiska dialoger och matematikarbete.
Två stora områden som jag blev fascinerad av och fördjupade mig kring var följande:
1. Elever som uppvisade svårigheter att utveckla, det som jag vid den tidpunkten kallade,
”inre abstrakta matematiska bilder”.
2. Elever som hade svårt att erövra en matematisk taluppfattning (number sense).
I den första delen av studien med ”inre abstrakta matematiska bilder”, utvecklade jag
tillsammans med eleverna 50 strukturerade matematiska bilder. Dessa bilder –
Matteverktygskort – är en halvabstrakt tilläggshjälp för elever inom skolår 3-9, så att man kan
arbeta med matematisk problemlösning på en högre nivå (Ljungblad, 1999, 2001a, 2001b).
Arbetet med att utveckla dessa strukturerade matematiska färgbilder var otroligt spännande,
eftersom eleverna hade så stark känsla för när bilderna fungerade eller ej. Det kunde ta lång
tid innan en bild hade arbetats fram och eleverna själva var nöjda och slutligen sa;
- Nu fungerar Matteverktygskortet att använda!
Nästa projekt var att försöka fördjupa min förståelse för eleverna som uppvisade en svag
taluppfattning. Jag såg tydligt hur det uppstod problem för dessa elever många gånger under
en skoldag, på grund av att vi i alla ämnen använder matematiska tal, både på idrotten,
slöjden, geografin och kemin. Matematiken finns överallt runt i omkring oss i skolpraktiken
och vi tänker inte som lärare på alla de gånger vi använder oss av matematiska siffror, tal och
antal. Dessa finns naturligt invävda i vårt talspråk, vilket också är en ytterligare orsak till att
vi inte enbart kan beskriva matematiksvårigheter som en läs- och skrivsvårighet.
Under åren intervjuade jag eleverna återkommande och studerade deras taluppfattning. När
matematikdidaktiker beskriver vad som kan innefattas i en taluppfattning känner man som
lärare att detta passar in på de elever som utvecklar en god taluppfattning. Forskning inom
matematikdidaktik är vanligtvis fokuserad på elever som lyckas, men jag var intresserad av
eleverna som inte erövrade en god taluppfattning och vad det kunde bero på. Mitt mål var att
framställa en modell som inkluderade alla elever och beskriver hur vi människor på olika sätt
använder siffror som verktyg. Många pedagoger och didaktiker betonar idag kopplingen
mellan matematik och språk, vilket är synnerligen viktigt och intressant. Men jag tog en
annorlunda infallsvinkel – matematiken som ett språk som grundar sig på hur människor
använder siffror, tal och antal i den matematiska problemlösningen (2003a).
Resultatet visade också på hur viktigt det är för eleven att få tillgång till både en
övergripande pedagogisk helhetskartläggning men dessutom en matematikdidaktisk
kartläggning som går ner på djupet i grundläggande matematikstrukturer (Ljungblad 2001a,
46
151006
2001b, 2003b). Dessutom uppvisade elever i stora läs- och skrivsvårigheter helt annorlunda
problem i sitt matematikarbete, än elever som hade svårt att erövra en god taluppfattning vilka
kategoriseras i studien som elever i behov av särskilt didaktisk stöd i matematik.
I mitt arbete med dessa elever i primära matematiksvårigheter kan vi se följande
matematikdidaktiska mönster;
• Eleverna har svårt att se siffrornas unika funktioner och fastnar istället på likheter och
skillnader mellan bokstäver och siffrors utseende.
• De kan sakna förståelse över någon grundläggande matematisk regel inom aritmetikens
struktur, även långt upp i skolåren. Det kan vara pekräkning, parbildning, antalskonstans,
skillnad ordningstalkardinaltal, vilka är moment som läraren tar för givet att eleven har med
sig från de första årens matematikarbete i skolan.
• Det kan ta lång tid för eleven att uppleva och förstå att vi räknar för att komma fram till ett
antal (antalsprincipens dubbla betydelse).
• Svårt att skilja mellan siffra (digit), tal (number) och antal (how many).
• Svårt att nå en god ”antalsuppfattning” och använda siffran som ett enkelt verktyg i
positionssystemet. Förstå vad ett antal är samtidigt som man ser antalets helhet och delar
simultant.
• Eleven kan med åren utveckla en personlig och ibland varierande form av dubbelräkning
(Neuman, 1987).
Dessa sammanlagda svårigheter inom grundläggande aritmetikarbete kan påverka elevens
totala lärande i alla skolämnen under hela skoldagen. Inom många olika synsätt menar man att
räkning bara är oväsentlig mekanisk räkning, men det finns inget i min studie som tyder på att
man kan tolka taluppfattningen som sekundär. För att kunna arbeta med matematisk
problemlösning krävs abstrakta intellektuella och fysiska verktyg, där en god
”antalsuppfattning” är både primär, fundamental och grundläggande – vilket även asiatiska
matematiklärare anser (Ma, 1999). Det är hög tid att lyfta in ”taluppfattningen” och inte minst
”antalsuppfattningen”, samt abstrakta matematiska bilder - som primära verktyg i den
matematiska problemlösningen (Ljungblad, 2003a)!
Ett sociokulturellt perspektiv förknippas med Vygotsky (1999), vars teori och forskning med
fokus på barns lärande och utveckling i ett sociokulturellt sammanhang ligger till grund för ett
nytt perspektiv att se lärande (Ljungblad, 2003a). Vi är biologiska varelser men lever i en
sociokulturell verklighet med tillgång till olika slags hjälpmedel och verktyg, vilka tar oss
långt bortom de gränser som våra egna biologiska förutsättningar sätter upp (Säljö, 2000). Det
finns stora möjligheter och potential att inte se siffror och bokstäver som samma verktyg.
Siffror, tal och antal används i det matematiska språket, där skolmatematiken vilar på två
grunder – aritmetik och geometri. I denna matematiska kontext lever våra siffror och hinder
som uppstår inom detta matematikarbete behöver vi matematiklärare, speciallärare och
specialpedagoger gemensamt bedriva skolutveckling kring. Att erövra det matematiska
språket och få möjlighet att gå ut i vuxenlivet med matematiska verktyg för det livslånga
lärandet - måste bli en rättighet för alla människor.
Artikel från: Specialpedagogisk tidskrift - att undervisa 1-2011
47
151006
Kooperativt lärande i matematik
Bilaga 5
Kooperativt lärande
Kooperativt lärande representerar ett elevcentrerat pedagogiskt tänkande, där grunden ligger i
elevernas delaktighet. Kooperativt lärande engagerar hela klassen i en aktiv lärprocess. Övriga
färdigheter som tränas är bland annat kommunikation, problemlösning, processande av
information och resonerande. Resultat som kan ses med pedagogiken är bland annat ökad
motivation för skolgång, utveckling av sociala färdigheter och förstärkning av vi -andan i
klassen. Pedagogiken kan förändra elevernas attityd till andra i klassen och till ämnet
matematik, istället för att se fientligt på varandra och tävla om lärarens uppmärksamhet, lär
sig eleverna att samarbeta, lyssna, se olikheter som en rikedom och ge varandra
uppmärksamhet.
Olika kooperativa metoder
I kooperativt lärande ligger olika former av grupp- och pararbeten i fokus. I vissa metoder
arbetar man även delvis individuellt. Det finns flera olika metoder inom kooperativt lärande.
De skiljer sig delvis i sin pedagogiska intention och avsikt samt i sitt genomförande. Därför
måste läraren fundera på hur han/hon tillämpar kooperativt lärande. Det är viktigt att läraren
granskar, och modifierar uppgifterna, så att de lämpar sig för kooperativt lärande. Vid vissa
fall kan det dock gå att använda färdigt läromedel.
1. Att lära sig tillsammans
Avsikt: Öva färdigheter, arbeta kooperativt, öka delaktighet i gruppen.
Metoden: Eleverna arbetar i heterogena grupper med uppgifter som läraren gett. Varje
gruppmedlem kan också tilldelas ett specifikt ansvar t.ex. att ansvara för tidsramen, att göra
de gemensamma anteckningarna, att försäkra sig om att alla deltar osv. Eleverna ska först
planera hur de löser uppgiften och skriva upp de olika stegen i lösningsprocessen, sedan ska
de försäkra sig om att alla känner sig nöjda med uppgiftens lösningsförslag och förstår varför
de har valt det förslaget. Därefter inventerar man i gruppen de kunskaper som behövs för att
lösa uppgiften. Man kan komma fram till att man saknar något. Läraren cirkulerar i klassen
och försäkrar sig om att gruppernas arbete framskrider. Då tiden börjar ta slut antecknas
lösningsförslaget på ett gemensamt papper. En elev från varje grupp presenterar gruppens
förslag för hela klassen. Läraren leder presentationen, ställer följdfrågor och i dialog med
eleverna diskuterar de olika förslagens för- och nackdelar samt de matematiska kunskaperna
som behövs för att kunna lösa uppgiften. Uppgiften löses sedan i gruppen. Feedback ges av
läraren till varje grupp.
2. Numrerade huvuden tillsammans (Numbered heads together)
Avsikt: Att se och förstå olika lösningsförlag och förstå varandras tänkande.
Beskrivning: Eleverna sitter i numrerade grupper och varje elev sitter på en numrerad plats.
Läraren ger en uppgift till gruppen som kräver problemlösning och diskussion. Därefter
diskuterar eleverna och försäkrar sig om att alla kan berätta hur de har tänkt och varför, dvs.
kunna argumentera för gruppens diskussion. Då tiden är slut lottas (genom att slå en tärning)
numret ut på en elev som ska redovisa. Gruppmedlemmarna försäkrar sig om att eleven med
den siffran kan gå upp och presentera, här ska gruppen peppa sin presentatör. Läraren leder
48
151006
diskussionen och ställer frågor, sammanfattar osv. Därefter får gruppen tid att lösa problemet
och får samtidigt tillgång till flera olika sätt att se på problemet. Därefter lottas (genom att slå
tärningen igen) den grupp ut som får presentera lösningen för de andra. Hela gruppen
presenterar och efteråt har alla elever möjlighet att förtydliga, tillägga, ge alternativa lösningar
eller argumentera och motsätta sig lösningsförslaget.
3. Cirklar inåt och utåt
Avsikt: Processera information, repetera, hjälpa varandra, träna rutiner, kommunicera.
Metoden: Eleverna står parvis i två cirklar. Den inre cirkeln står med ansiktet vänt utåt och
den yttre med ansiktet vänt inåt. Eleverna ställer frågor och besvarar frågor och förflyttar sig
alltid till ett nytt par. Man kan turas om att svara mellan cirklarna. Paret hjälper varandra. Här
är eleverna i rörelse, har tillgång till en kamrat och övningen ska inte upplevas som att svara
rätt eller fel utan snarare som ett samtal. T.ex. kan man få i uppgift att se på tal och fundera på
hur de kan delas upp, hur de kan faktoriseras, om de är primtal och i så fall varför. Man kan
också sitta i sina cirklar och t.ex. spela olika memoryspel eller spel som tränar tabeller.
Styrkan är att man använder cirklarna som en arbetsform och att kamratparen varierar. Man
kan ha olika material igång till de olika paren. Läraren kan styra genom att tidsbestämma. I en
klass kan det finnas flera cirklar samtidigt.
4. Dela tankar
Avsikt: Dela med sig information, åskådliggöra olika tankesätt.
Beskrivning: Eleverna sitter indelade i grupper på max 4 personer. Alla grupper får ett
gemensamt problem, men olika lösningsförslag. Läraren skriver det korrekta svaret på tavlan.
Eleverna i de olika grupperna diskuterar sitt lösningsförslag, ställer frågor till
lösningsförslaget och funderar på om de tycker det är en bra lösning eller om de har andra
bättre idéer. Därefter stannar en elev från varje grupp kvar medan de andra roterar till nästa
grupp. Nya lösningsförslag diskuteras och när alla har roterat och är tillbaka på sina platser får
varje elev själv välja vilket lösningsförslag som passar han/hon och skriva ner det. Därefter
diskuteras de olika lösningarna gemensamt i klassen under lärarens ledning.
5. De tysta korten (silent cards)
Avsikt: Öva olika kunskapsnivåer, klassificera information, tillämpa och analysera kunskap,
sätta kunskap i kontext, lära sig av varandra. Läraren kan bli medveten om missförstånd och
svagheter i sin undervisning.
Beskrivning: Eleverna sitter i grupper och får framför sig ett antal små kort med matematisk
information. Korten ska klassificeras under de rubriker som finns med i påsen. Först är ingen
diskussion tillåten utan eleverna placerar korten på "de ställen" som de tror är korrekt under
tystnad. Då alla kort placerats ska eleverna diskutera placeringen, utmana varandra och göra
eventuella förändringar. Härefter byter gruppen plats med en annan grupp. Den nya gruppen
diskuterar den andra gruppens lösning, men inga förändringar får göras i placeringen. Härefter
återvänder eleverna till sina ursprungliga grupper och gör eventuella förändringar. Ev. frågor
tas upp i helklass.
49
151006
6. Tankekartor och ordnät
Avsikt: Åskådliggöra och analysera begrepp, repetera det inlärda, utbyte av metakognitiva
processer (försäkra sig om att ingen förväxlar begrepp).
Beskrivning: Eleverna ritar alla samtidigt tankekartor över ett centralt matematiskt begrepp,
skriver upp faktorer som stöder begreppen och ord som sammanlänkar begreppen. Eleverna
presenterar sina tankekartor för varandra och kontrollerar att ingen missuppfattat
informationen. Idén är också att presentera för andra sina metakognitiva processer, som kan
underlätta den andra att uppfatta eller minnes teori.
7. Klassrumshörnen
Avsikt: Få fram alternativa lösningssätt, skapa klassanda, sammanfatta information, lyssna.
Beskrivning: Läraren placerar eleverna i klassrummets olika hörn och delar ut olika
påstående om ämnet matematik. De kan vara hämtade från läroplanen, forskningsrapporter
eller från elevers tyckande och tänkande om ämnet. Efter utsatt tid presenterar en
slumpmässigt vald elev gruppens ämne och vad de kommit fram till. De övriga lyssnar.
Därefter öppnar läraren för debatt. Läraren leder diskussionen.
8. Fundera och berätta (think -pair-share)
Avsikt: Öva diskussionsfärdigheter, träna kommunikation, jämföra information, reflektion
och kontroll av det lärda.
Beskrivning: Eleverna sitter parvis och får öppna matematiska frågor, till exempel: "Hur
mycket kostar det att baka en pizza?" De börjar med att tänka individuellt, därefter diskuterar
de parvis kring frågeställningen. De sammanfattar sina tankar och får ett nytt problem att
fundera över.
9. Imitera
Avsikt: Träna terminologi och öva kommunikationsfärdigheter.
Beskrivning: Eleverna sitter parvis med ryggen mot varandra och med samma föremål
framför sig. Genom att kommunicera avbildar den ena den andras placering av föremålen.
10. Intervju
Avsikt: Förmedla sitt eget sätt att tänka, visa attityder, lyssna, sammanfatta information.
Beskrivning: Eleverna intervjuar varandra turvis om hur man räknar ut matematiska
uppgifter/uttryck. Kan även göras i smågrupper.
Ovanstående beskrivning av kooperativt lärande i matematik är framtagen av Lena Andersson,
Fakulteten för lärande och samhälle, Malmö högskola.
50
151006
Kollaborativt lärande
Bilaga 6
Kollaborativt lärande är djupt rotat i Vygotskijs syn om att det finns en medfödd social
förmåga för lärande, vilket förklaras i hans teori om zon för proximal utveckling.
Kollaborativt lärande brukar vanligtvis förklaras med att en grupp studenter arbetar
tillsammans mot ett gemensamt mål för att få en förståelse, mening, lösning eller för att skapa
ett alster eller någon annan produkt av lärande. Mer specifikt är kollaborativt lärande baserat
på modellen att kunskap kan skapas i en grupp där medlemmarna aktivt interagerar genom att
dela med sig av kunskaper och genom att ta på sig olika roller. Kollaborativa läraktiviteter
kan inkludera kollaborativt skrivande, grupparbeten, gemensam problemlösning, debatter,
studentgrupper och andra aktiviteter. Tillvägagångssättet är nära besläktat med kooperativt
lärande.
Hämtat 140610 från: http://sv.wikipedia.org/wiki/Kollaborativt_l%C3%A4rande
51
151006
SKOLDATATEKET
Bilaga 7
FALKENBERG
Vad är ett skoldatatek?
På skoldatateket finns kunskap om digitala verktyg som kan underlätta skolarbetet.
Skoldatateket kan låna ut Ipads eller datorer så att elever och lärare kan prova sig fram till det
som ger bäst resultat. Skoldatateket samarbetar vid behov med resursenheten Rodret. Dator
eller Ipad är bra verktyg för alla elever i skolan. För elever i behov av särskilt stöd är de extra
värdefulla, både som träningsredskap och som kompensatoriska verktyg.
Uppdraget
Skoldatateket skall:
o Ta fram lämpliga program eller appar för träning och kompensation
o Låna ut anpassade Ipads eller datorer för utvärdering
o Utbilda skolpersonal
o Ge teknisk och pedagogisk support
Vem kan få hjälp?
o lärare
o elever
o föräldrar
Lärare avsätter tid för en intensivperiod under utprovningsperioden. Rektor beviljar
preliminärt medel för inköp i och med att ansökan till skoldatateket görs.
Exempel på vad man kan prova på Skoldatateket
Eleven kan låna en anpassad Ipad eller dator, som även ska användas i hemmet, för att prova
program eller appar. Efter låneperioden vet skolan vad som gav effekt och kan skaffa det som
behövs. I Falkenbergs skolor har alla tillgång till bra resurser i Ipad eller dator som kan
underlätta skolarbetet, (inlästa läromedel, talsyntes, rättstavningsprogram mm) och lånet är
också ett bra tillfälle att lära sig vilket stöd dessa kan ge. Skolan kan också låna
hörselhjälpmedel för bättre koncentration, diktafon, scanner, tangentbord mm. Elev, föräldrar
och lärare testar program och/eller hjälpmedel i skolan och hemma under provperioden tre
veckor. Eventuella inköp står skolan sedan själv för.
Arbetsgång
1. Skolan kartlägger elevens behov och tar kontakt
Ansökan skall vara undertecknad av rektor
2. Möte lärare - föräldrar - elev - skoldatatek: visning och demonstration
3. Träningsperiod, utlån (3 veckor), teknisk och pedagogisk support
4. Utvärdering, rådgivning, sammanfattning
5. Uppföljning minst en gång om året så länge det behövs
52
151006
När kan man börja använda hjälpmedel?
Bra pedagogisk programvara gör dator eller Ipad till effektiva träningsverktyg redan på
förskolan. Nu finns också bra kompensatoriska hjälpmedel som kan introduceras tidigt, t ex
för de elever som har problem med att läsa. Tidig upptäckt och förebyggande åtgärder ger
bättre resultat.
Vill du veta mer?
Kontakta gärna Skoldatateket eller gå in på vår webbsida: www.skoldatatek.se
Så här får du tag på inlästa böcker
o Inläst skönlitteratur, talböcker för dig som har svårt att läsa, kan man lyssna på i telefon,
Ipad eller dator. Skoldatateket, gymnasieskolan eller folkbiblioteket kan hjälpa till att skaffa
inloggningskonto till tjänsten.
o Inlästa läroböcker finns på alla skolor genom Inläsningstjänst.
SKOLDATATEKET
Kenneth Jönsson
Igeldammsvägen 1
311 35 Falkenberg
0346-88 68 78
[email protected]
53