Introduktion till Sturm-Liouvilleteori och generaliserade Fourierserier

KAPITEL 5
Introduktion till Sturm-Liouvilleteori och generaliserade
Fourierserier
Vi inleder med några förberedande exempel.
5.1. Cauchys ekvation
Den homogena Euler-Cauchys ekvation (Leonhard Euler och
Augustin-Louis Cauchy) är en linjär homogen ODE som kan skrivas på formen
x2 y00 + axy0 + by = 0.
(*)
Exempel 5.1.
Lös ekvationen (*).
Lösning: Ansätt y(x) = xr . Då blir y0 (x) = rxr−1 och y00 (x) = r(r − 1)xr−2 , och insatt i (*) får vi
r(r − 1)xr + arxr + bxr = 0,
vilket ger oss ekvationen
r(r − 1) + ar + b = 0
(**)
den Karakteristiska ekvationen som motsvarar (*). Antag att lösningarna till (**) är r1 och r2 . Vi har tre
olika fall:
1.
Om r1 och r2 är reella och skilda, r1 6= r2 så blir
y(x) = Axr1 + Bxr2 .
2.
Om r1 och r2 är reella och lika, r1 = r2 = r så blir
y(x) = Axr + Bxr ln x.
3.
Om r1 och r2 är komplexkonjugerade, r1 = α + iβ, r2 = α − iβ så blir
y(x) = Axα+iβ + Bxα−iβ .
♦
A NMÄRKNING 6. Observera att
xα+iβ = xα eiβ ln x = xα (cos (β ln x) + i sin (β ln x))
och
xα−iβ = xα (cos (β ln x) − i sin (β ln x)) ,
och vi kan skriva om lösningen i fall 3 i exemplet ovan som
y(x) = xα ((A + B) cos (β ln x) + i(A − B) sin (β ln x)) .
Betraktar vi enbart konstanter A och B sådana att C = A + B och D = i (A − B) är reella tal så kommer
y(x) = xα (C cos (β ln x) + D sin (β ln x))
27
28
5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER
att vara en reell lösning till (*).
Exempel 5.2.
Lös differentialekvationen
x2 y00 + 2xy0 − 6y = 0.
Lösning: Den karakteristiska ekvationen är
r(r − 1) + 2r − 6 = 0,
dvs
r2 + r − 6 = 0
vilken har lösningarna
r1 = 2, r2 = −3.
Eftersom vi har två skilda reella lösningar hamnar vi i fall 1 ovan, och lösningarna till ekvationen
ges av
y(x) = Ax2 + Bx−3 .
♦
Exempel 5.3.
Lös ekvationen
1
x2 y00 + 2xy0 + λy = 0, λ > .
4
Lösning: Den karakteristiska ekvationen är
r2 + r + λ = 0,
vilket har lösningarna
r
r
1
1
1
1
r=− ±
−λ = − ±i λ− .
2
4
2
4
Eftersom vi nu har fallet med komplexa lösningar r1 = α + iβ och r1 = α − iβ befinner vi oss i fall 3
ovan, och lösningarna ges av
!
!!
r
r
1
1
− 12
y(x) = Ax
λ − ln x + B cos
λ − ln x
.
sin
4
4
5.2. Exempel på “Sturm-Liouville problem”
I nästa avsnitt kommer vi beskriva mer i detalj vad som menas med ett Sturm-Liouvilleproblem (CharlesFran cois Sturm och Joseph Liouville), men först ska vi studera några exempel.
Exempel 5.4.
Lös
(
y00 + λy = 0,
y(0) = y(l) = 0.
5.2. EXEMPEL PÅ “STURM-LIOUVILLE PROBLEM”
29
Lösning: Vi såg tidigare (avsnitt 4.8, sid. 23) att detta problem kan lösas om och endast om
nπ 2
λ = λn =
, n = 1, 2, 3, . . . (egenvärden)
l
med de motsvarande lösningarna
nπ yn = an sin
x (egenfunktioner).
l
♦
Exempel 5.5.
Lös

00

X (x) − λX(x) = 0, 0 ≤ x ≤ 1,
X(0) = 0,

 0
X (1) = −3X(1).
Lösning: Vi har tre olika fall:
λ=0
λ>0
λ<0
X(x) = Ax + B, X(0) = 0 ⇒ B = 0, och X 0 (1) = −3X(1) ⇒ A = −3A ⇒ A = 0. Vi får alltså
enbart den triviala lösningen X(x) ≡ 0.
Med λ = p2 blir lösningen X(x) = Ae px + Be−px . Randvillkoren X(0) = 0 och X 0 (1) =
−3X(1) ger
(
X(0) = A + B = 0
X 0 (1) + 3X(1) = A pe p + pe−p + 3A e p − e−p = 0,
dvs B = −A och A = 0 eller e p (p + 3) + e−p (p − 3) = 0, men detta uttryck är aldrig 0 för
p 6= 0 (visa detta!) och vi måste alltså ha A = −B = 0, och även i detta fall får vi endast den
triviala lösningen X ≡ 0.
Med λ = −p2 får vi lösningen X(x) = A cos px + B sin px, och randvillkoren ger X(0) = A =
0, och X 0 (1) = −3X(1) ger pB cos px = −3B sin px ⇒
B (pcospx + 3 sin px) = 0,
vilket ger att antingen är B = 0, och vi får den triviala lösningen, eller så är
(pcospx + 3 sin px) = 0,
p
dvs p måste uppfylla ekvationen tan p = − .
3
Vi ser alltså att det endast finns icke-triviala lösningar då λ är ett egenvärde λ = λn = −p2n , n = 1, 2, . . . ,
p
där pn är en lösning till tan p = − (se Fig. 6.2.2), och vi har då motsvarande egenfunktioner
3
Xn (x) = an sin pn x.
♦
Exempel 5.6.
Lös
(
x2 X 00 (x) + 2xX 0 (x) + λX = 0,
X(1) = 0, X(e) = 0.
Lösning: Den karakteristiska ekvationen blir
r(r − 1) + 2r + λ
=
⇔
r2 + r + λ =
0
0
30
5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER
F IGUR 5.2.1. Lösningar till tan p = −
p
3
y
y = tan p
p1
p2
p3
p
y = − 3p
som har lösningarna
r
1
1
1
−λ = − ±i λ− ,
4
2
4
1
1
1
och vi ser att de fall vi måste undersöka är λ < , λ = och λ > (jfr. Exempel 5.3).
4
4
4
1
r=− ±
2
1
λ<
4
1
λ=
4
λ>
1
4
r
r
1
1
Med r1,2 = − ±
− λ (skilda reella) får vi lösningarna X(x) = Axr1 + Bxr2 och randvill2
4
koren ger
(
(
(
A+B
= 0,
X(1) = 0,
A
= −B,
⇔
⇔
r1
r2
r1
r2
Ae + Be
= 0,
A (e − e ) = 0,
X(e) = 0,
dvs eftersom er1 6= er2 måste A = 0 och vi får endast den triviala lösningen X ≡ 0.
1
1
1
Nu får vi en dubbelrot r = − och lösningarna blir X(x) = Ax− 2 + Bx− 2 ln x. Randvillkoren
2
1
ger X(1) = A = 0 och X(e) = Be− 2 = 0, dvs A = B = 0 och vi får endast den triviala lösningen
X ≡ 0.
r
1
1
De två komplexa rötterna r = − ± i λ − ger lösningarna
2
4
!
!
r
r
A
1
B
1
X(x) = √ sin
λ − ln x + √ cos
λ − ln x ,
x
4
x
4
!
r
A
1
och vi får X(1) = B = 0, och X(e) = √ sin
λ−
= 0 vilket ger att λ måste uppfylla
e
4
r
1
λ − = nπ,
4
för något positivt heltal n. Vi får alltså egenvärden
λn =
1
+ (nπ)2 , n ∈ Z+ ,
4
5.2. EXEMPEL PÅ “STURM-LIOUVILLE PROBLEM”
31
F IGUR 5.2.2. Besselfunktionen J0 (x)
y
J0 (x)
α1
α3
α2
α4
α5
x
med motsvarande egenfunktioner
An
Xn (x) = √ sin (nπ ln x) .
x
♦
Exempel 5.7. (Bessels ekvation)
En viktig ordinär differentialekvation inom matematisk fysik är Bessels ekvation (Wilhelm Bessel) av ordning m:
r2 w00 + rw0 + (r2 − m2 )w = 0.
Lösningarna (det finns två linjärt oberoende) till denna ekvation kallas Besselfunktioner av ordning
m. (För mer information se t.ex. Besselfunktioner hos engineering fundamentals). Vi ska betrakta ett
specialfall.
Lös följande problem innehållande Bessels ekvation av ordning 0:
 2
 d w 1 dw
+
+ k2 w = 0,
dr2
r dr

w(R) = 0, w0 (r) < ∞.
Lösning: En allmän lösning är
w(r) = C1 J0 (kr) +C2Y0 (kr),
där J0 och Y0 är Besselfunktionerna av första och andra sorten av ordning 0. Man vet att Y00 ej är
begränsad och om w0 (r) ska vara begränsad måste C2 = 0. Randvillkoret ger sedan att
w(R) = C1 J0 (kR) = 0,
och om vi inte bara ska få den triviala lösningen (C1 = 0) så måste k och R uppfylla J0 (kR) = 0. Det
är välkänt att J0 har oändligt många nollställen αn (α1 = 2.4047 . . . , α2 = 5.5201 . . . , α3 = 8.6537 . . .
etc, se Fig. 5.2.2), och det finns bara icke-triviala lösningar för egenvärden
kn =
αn
, n ∈ Z+ ,
R
med motsvarande egenfunktioner
wn (r) = J0
α n
r , n ∈ Z+ .
R
32
5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER
5.3. Inre produkt och norm
För att kunna tillverka en ortonormerad bas i ett vektorrum måste vi kunna mäta längder och vinklar. Detta
innebär att vi måste införa en inre produkt (en skalärprodukt). Med hjälp av en inre produkt kan vi enkelt
avgöra vilka element som är ortogonala mot varandra. Det är framför allt två exempel på vektorrum som vi
ska betrakta här, först det bekanta exemplet med vektorer i R2 tillsammans den vanliga skalärprodukten,
och sedan det som intresserar oss mest här, ett rum bestående av funktioner på ett intervall.
Vektorer i R2
Om vi har två vektorer ~x = (x1 , x2 ) och ~y = (y1 , y2 ) så definierar vi den inre produkten av ~x och ~y som
~x ·~y = x1 y1 + x2 y2 .
Normen av ~x, |~x|, definieras av
|~x|2 =~x ·~x = x12 + x22 ,
och avståndet mellan ~x och ~y, |~x −~y|, ges av
|~x −~y|2 = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 .
Vinkeln θ mellan ~x och ~y kan nu beräknas från relationen
~x ·~y = |~x||~y| cos θ,
och vi säger att två vektorer är ortogonala (vinkelräta mot varandra), ~x ⊥~y, om θ =
π
, dvs om
2
~x ·~y = 0.
Ett funktionsrum
Vi betraktar nu funktioner f (x) och g(x) på intervallet [0, l], tillsammans med en positiv viktfunktion r(x).
Generaliseringarna av begreppen ovan är
Z l
h f , gi =
f (x)g(x)r(x)dx,
(inre produkt)
| f (x)|2 r(x)dx,
(norm)
0
Z l
k f k2 =
0
k f − gk2 =
Z l
| f (x) − g(x)|2 r(x)dx,
(avstånd)
0
h f , gi =
k f k kgk cos θ,
h f , gi = 0
f ⊥g⇔
⇔
(vinkel)
(ortogonalitet)
Z l
f (x)g(x)r(x)dx = 0.
0
5.4. Sturm-Liouvilleproblem
Ett allmänt Sturm-Liouvilleproblem kan skrivas som
0
P (x)y0 + (−q(x) + λr(x)) y
= 0,
0 < x < l,
0
c1 y(0) + c2 y (0) = 0,
c3 y(l) + c4 y0 (l) = 0.
Här är r(x), q(x) och P (x) givna funktioner, c1 , . . . , c4 givna konstanter och λ en konstant som kan anta
vissa värden vilka ska bestämmas (egenvärden). r(x) brukar kallas för en viktfunktion. Oftast gör man
antagandet att r(x) > 0.
5.4. STURM-LIOUVILLEPROBLEM
33
Om P (x) > 0 och c1 , . . . , c4 6= 0 säger vi att problemet är reguljärt, och om P eller r är 0 i någon ändpunkt
säger vi att det är singulärt (det finns dock även andra fall av både reguljära och singulära SL-problem,
t.ex. är nedanstående exempel reguljärt).
Exempel 5.8.
r(x) = 1, P (x) = 1, q(x) = 0, c1 = c3 = 1, c4 = c2 = 0.

00

y + λy = 0,
y(0) = 0,


y(l) = 0.
(Jämför med Exempel 5.4). I detta fall har vi
nπ 2
λn =
, n = 1, 2, 3, . . . , (egenvärden)
l
nπ x ,
(egenfunktioner)
yn
= sin
l
och
kyn k2
Z l
nπ mπ x sin
x dx = 0, om n 6= m,
l
l
0
Z l Z l nπ 1
nπ 2
l
=
x dx =
1 − cos
x dx = .
sin
l
2
l
2
0
0
hyn , ym i =
sin
Om f är en funktion på intervallet [0, l] kan vi definiera Fourierserien av f , S (x), genom (se avsnitt
6.1) :
nπ ∞
x , där
S (x) = ∑ cn sin
l
n=1
Z
nπ 1
2 l
h
i
cn =
f
,
y
=
f
(x)
sin
x dx.
n
l 0
l
kyn k2
A NMÄRKNING 7. Exempel 5.5-5.7 är också Sturm-Liouvilleproblem.
För ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem gäller:
(i)
(ii)
Egenvärdena är reella och till varje egenvärde hör det en egenfunktion som är unik upp till
en konstant multipel.
Egenvärdena bildar en oändlig följd λ1 , λ2 , . . . och kan ordnas som
0 ≤ λ1 < λ2 < λ3 < · · · ,
med
lim λn = ∞.
n→∞
(iii)
Om y1 och y2 är två egenfunktioner som svarar mot två skilda egenvärden, λi1 6= λi2 , så är de
ortogonala, dvs
hy1 , y2 i =
Z l
0
y1 (x)y2 (x)r(x)dx = 0.
34
5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER
5.5. Generaliserad Fourierserieutveckling
Vi ska nu se hur det går att generalisera begreppet Fourierserier från trigonometriska basfunktioner till en
ON-bas bestående av egenfunktioner till Sturm-Liouville problem.
Antag att vi har en oändlig linjärkombination
∞
f (x) =
∑ cn yn (x),
n=1
där yn ⊥ ym för n 6= m. Då är
*
h f , ym i =
+
∞
∑ cn yn , ym
∞
=
n=1
∑ cn hyn , ym i
n=1
= cm hym , ym i = cm kym k2 .
Låt f vara en godtycklig funktion på [0, l]. Då definierar vi den generaliserade Fourierserien för f som
∞
S (x) =
∑ cn yn (x),
n=1
där
cn =
1
kym k2
h f , yn i ,
är de generaliserade Fourierkoefficienterna.
Låt y1 , y2 , . . . vara en mängd av ortogonala egenfunktioner för ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem, och
låt f vara en styckvis glatt funktion i [0, l]. Då gäller för varje x i [0, l] att
(a)
S (x) = f (x) om f är kontinuerlig i x, och
(b)
S (x) = ( f (x+) + f (x−)) om f har ett språng i x.
1
2
5.6. Några tillämpningar
Exempel 5.9. Betrakta en stav av längd l, med konstant densitet, specifik värme och termisk ledning,
ρ, cv respektive κ. Placera staven mellan x = 0 och x = l. Antag att stavens temperatur i ändpunkterna
ges av
u(0,t) = u(l,t) = 0, t > 0,
och att temperaturfördelningen i staven vid begynnelsetidpunkten t = 0 ges av
u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ l.
Bestäm temperaturen u(x,t) i punkten x, 0 ≤ x ≤ l, och vid tiden t, t ≥ 0.
Lösning: Vi har sett (se Kapitel 1) att den matematiska formuleringen av det här problemet är

κ
0
00


ut (x,t) − kuxx (x,t) = 0, 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, k = cV ρ ,
(*)
u(0,t) = u(l,t) = 0,
t > 0,



u(x, 0) = f (x),
0 ≤ x ≤ l.
Först gör vi följande naturliga skalning av problemet (se Kapitel 1):
(5.6.1)
t=
k
x
t, x = .
l2
l
5.6. NÅGRA TILLÄMPNINGAR
35
Då får vi följande standardproblem att lösa:
(1)
(2)
(3)

0
00

ũt (x,t) − ũxx (x,t) = 0, 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0,
t > 0,
ũ(0,t) = ũ(1,t) = 0,


˜
ũ(x, 0) = f (x),
0 ≤ x ≤ 1,
där f˜(x) = f (xl). Vi kan nu använda Fouriers metod för att lösa detta problem (se avsnitt 4.8).
Steg 1: Försök hitta lösningar av typen
ũ(x,t) = X(x)T (t).
Sätter vi in detta i ekvationen (1) ovan får vi
T 0 (t) X 00 (x)
=
= −λ,
T (t)
X(x)
dvs
X 00 (x) + λX(x) = 0, och
(A)
T 0 (t) + λT (t) = 0.
(B)
Vi måste också försöka uppfylla randvillkoren (2):
X(0)T (t) = X(1)T (t) = 0,
och om vi inte ska få den triviala lösningen T ≡ 0 drar vi slutsatsen att
X(0) = X(1) = 0.
Detta randvillkor tillsammans med (A) leder till Sturm-Liouvilleproblemet
(
X 00 (x) + λX(x) = 0,
(**)
X(0) = X(1)
= 0.
Steg 2: Vi får tre fall beroende på λ : λ < 0, λ = 0, λ > 0.
λ<0
Ger endast den triviala lösningen X(x) ≡ 0.
λ=0
Ger endast den triviala lösningen X(x) ≡ 0.
λ>0
Då får vi
√ √ λx + B cos
λx ,
X(x) = A sin
√ √
och X(0) = 0 ⇒ B = 0, och X(1) = 0 ⇒ A sin
λ = 0 ⇒ A = 0 eller λ = nπ,
n ∈ Z+ .
Alltså har SL-problemet (**) följande egenvärden
λn = (nπ)2 , n ∈ Z+ ,
och motsvarande egenfunktioner
Xn (x) = sin (nπx) .
Dessutom, för dessa värden på λ = λn , har (B) lösningen
2
T (t) = Tn (t) = e−(nπ) t ,
och vi drar slutsatsen att alla lösningar som uppfyller (1) och (2) är på formen
2
ũn (x,t) = sin (nπx) e−(nπ) t .
36
5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER
Steg 3: Superpositionsprincipen (se avsnitt 4.5) säger att funktionen
∞
ũ (x,t) =
2
∑ b̃n sin (nπx) e−(nπ) t
n=1
också uppfyller (1) och (2). Vi ska nu se till att även få begynnelsevillkoret (3) uppfyllt med denna
funktion genom att välja lämpliga konstanter b̃n . Det är klart att
∞
ũ (x, 0) =
∑ b̃n sin (nπx) ,
n=1
och om vi väljer b̃n som Fourierkoefficienterna för f˜, dvs
Z 1
b̃n = 2
f˜(x) sin (nπx) dx,
0
får vi faktiskt
∞
ũ (x, 0) =
∑ b̃n sin (nπx) = f˜(x).
n=1
Slutsatsen är att funktionen
∞
ũ (x,t) =
2
∑ b̃n sin (nπx) e−(nπ) t ,
n=1
med b̃n som ovan uppfyller (1), (2) och (3).
Slutligt steg: Genom att använda skalningen från (5.6.1) ser vi att lösningen till det ursprungliga
problemet ges av
nπ ∞
nπ 2
x e−( l ) kt ,
u(x,t) = ∑ bn sin
l
n=1
där
bn =
2
l
Z l
f (x) sin
0
nπ x dx.
l
♦
Exempel 5.10. Betrakta en stav mellan x = 1 och x = e, som i ändpunkterna har den konstanta temperaturen 0. Antag att vid begynnelsetiden t = 0 har staven en värmefördelning som ges av
u(x, 0) = f (x), 1 < x < e,
att ingen värme tillförs, att staven har konstant densitet ρ och specifik värme cv , samt att värmeledningsförmågan K varierar som K(x) = x2 . Ekvationen som bestämmer temperaturen u(x,t) är
då
∂ 2 0
(1)
cv ρut0 =
x ux , 1 < x < e, t > 0.
∂x
Bestäm temperaturfördelningen u(x,t) i punkten x, 1 ≤ x ≤ e, vid tidpunkten t > 0.
Lösning: Vi tillämpar Fouriers metod för att separera variablerna och ansätter u(x,t) = X(x)T (t).
Sätter vi in detta uttryck i (1) ovan får vi
T0
1 d 2 0
cv ρ =
x X = −λ,
T
X dx
där λ är konstant och X uppfyller randvillkoret
(2)
X(1) = X(e) =0.
5.6. NÅGRA TILLÄMPNINGAR
37
T uppfyller alltså ekvationen
T0 =−
(3)
λ
T,
cv ρ
och X uppfyller
d 2 0
x X + λX = 0, 1 < x < e
dx
⇔
x2 X 00 + 2xX 0 + λX = 0, 1 < x < e.
(4)
Ekvationen (4) tillsammans med randvillkoret (2) ger ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem på [1, e].
Den karakteristiska ekvationen är
r(r − 1) + 2r + λ = 0,
med rötterna
r
1
1
r1,2 = − ±
− λ.
2
4
Som tidigare (Exempel 5.6) får vi tre olika fall för λ:
1
1
1
1
λ=
Då får vi en dubbelrot r = − , och lösningarna ges av X(x) = Ax− 2 + Bx− 2 ln x. Rand4
2
1
villkoret (2) ger X(1) = A = 0 och X(e) = Be− 2 = 0, dvs vi får bara den triviala lösningen X ≡ 0.
1
λ<
Rötterna blir nu reella och skilda, r1 6= r2 , och lösningarna blir
4
X(x) = Axr1 + Bxr2 .
Randvillkoren ger
(
(
X(1) = A + B = 0
A
= −B,
⇒
X(e) = Aer1 + Ber2 = 0
A(er1 − er2 ) = 0,
1
λ>
4
och eftersom r1 6= r2 så måste A = 0, och
r vi får den triviala lösningen X ≡ 0.
1
1
Vi får två komplexa rötter r = − ± i λ − , och den allmänna lösningen blir
2
4
!
!
r
r
A
B
1
1
X(x) = √ sin
λ − ln x + √ cos
λ − ln x .
x
4
x
4
!
r
1
− 21
λ−
= 0, vilket ger att
Randvillkoren ger X(1) = B = 0 och X(e) = Ae sin
4
r
1
λ − = nπ, n ∈ Z+ .
4
1
Observera att fallet n = 0 är samma sak som λ = . Egenvärdena till Sturm-Liouvilleproblemet (4) och
4
(2) är alltså
1
λn = + n2 π2 , n ∈ Z+ ,
4
och motsvarande egenfunktioner är
1
Xn (x) = √ sin (nπ ln x) , n ∈ Z+ .
x
38
5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER
För varje fixt n blir ekvationen (3)
Tn0 = −
λn
Tn ,
cv ρ
med lösningarna
− cλvnρ t
Tn (t) = e
, n ∈ Z+ .
Vi drar slutsatsen att funktionerna
1
− λn t
un (x,t) = Tn (t)Xn (x) = √ sin (nπ ln x) e cv ρ , n ∈ Z+ ,
x
är lösningar till den ursprungliga ekvationen, vilka dessutom uppfyller randvillkoren. Superpositionsprincipen ger att funktionen
∞
1
− λn t
u(x,t) = ∑ an √ sin (nπ ln x) e cv ρ
x
n=1
också löser ekvationen samt uppfyller randvillkoren. Slutligen måste vi även ta hänsyn till begynnelsevillkoret:
∞
1
u(x, 0) = ∑ an √ sin (nπ ln x) = f (x),
x
n=1
vilket blir uppfyllt om vi väljer konstanterna an som
Z e
1
an =
f (x)Xn (x)dx
kXn k2 1
Z e
1
= 2
f (x) √ sin (nπ ln x) dx.
x
1
Z e
1
1
(Notera att kXn k2 =
sin2 (nπ ln x) dx = .) Den sökta temperaturfördelningen ges alltså av
2
1 x
∞
1
− λn t
u(x,t) = ∑ an √ sin (nπ ln x) e cv ρ ,
x
n=1
där
an = 2
Z e
f (x)
1
√ sin (nπ ln x) dx.
x
♦
Exempel 5.11.
(1)
(2)
Lös problemet:
∂u ∂2 u
=
,
∂t ∂x2
u(0,t) =0,
(3)
u0x (1,t) = − 3u(1,t),
(4)
u(x, 0) = f (x).
Lösning: Vi använder Fouriers metod (variabelseparation).
Steg 1: Gör ansatsen u(x,t) = X(x)T (t) och sätt in i (1). På samma sätt som tidigare får vi då
ekvationen
T 0 (t) X 00 (x)
=
= λ,
T (t)
X(x)
vilket ger de två ekvationerna
(5)
T 0 (t) − λT (t) = 0,
(6)
X 00 (x) − λX(x) = 0.
5.6. NÅGRA TILLÄMPNINGAR
39
Steg 2: Vi har tre fall för λ att studera.
λ=0
Lösningarna till (5) och (6) blir då T =konstant, och X = Ax + B, dvs lösningen blir
u(x,t) = Ax + B för några konstanter A och B. Randvärdet (2) ger u(0,t) = B = 0,
och (3) ger u0x (1,t) = A = −3u(1,t) = −3A, dvs A = 0 och vi får endast den triviala
lösningen u(x,t) ≡ 0.
√
√
λ>0
Lösningen till (5) blir nu T (t) = Aeλt och lösningen till (6) blir X(x) = Be λx +Ce− λx .
Randvärdet (2) ger u(0,t) = T (t)X(0) = Aeλt (B +C) = 0, dvs antingen är A = 0 (som
ger u ≡ 0) eller så är B = −C. Villkoret (3) är nu ekvivalent med
√
√ √ √ √
Aeλt λB e λ + e− λ
= −3AB e λ − e− λ ,
⇔
√ √ √ 2 λ
3+ λ
ABe
= AB 3 − λ ,
λ<0
(*)
vilket endast är uppfyllt om AB = 0 (visa detta), och i detta fall får vi bara den triviala
lösningen, u ≡ 0.
Om vi sätter λ = −p2 får vi (på samma sätt som i Exempel 5.5) lösningarna
2
un (x,t) = Bn e−pn t sin pn x, n = 1, 2, 3, . . . ,
där pn är lösningar till ekvationen
p
tan p = − .
3
Steg 3: Alla funktioner definierade av (*) uppfyller (1), (2) och (3). Enligt superpositionsprincipen
uppfyller även
∞
u(x,t) =
2
∑ Bn e−pnt sin pn x
n=1
(1), (2) och (3). Dessutom så är (6) med tillhörande randvillkor ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem
och teorin för generaliserade Fourierserier ger att u(x,t) kommer uppfylla (4):
∞
u(x, 0) =
∑ Bn sin pn x = f (t)
n=1
om vi väljer konstanterna Bn som
(**)
Bn =
h f (x), sin pn xi
2
ksin pn xk
R1
=
0
f (x) sin pn xdx
R1
0
sin2 pn xdx
.
Svaret till problemet är alltså
∞
u(x,t) =
2
∑ Bn e−pnt sin pn x,
n=1
p
där pn är de positiva lösningarna till tan p = − , p1 < p2 < · · · (se Fig. 5.2.1), och Bn definieras av
3
(**).
♦
40
5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER
Exempel 5.12. (Vågekvationen) Ett vibrerande cirkulärt membran med radie R beskrivs av följande
ekvation, med tillhörande rand och begynnelsevillkor:
p
(1)
utt00 = c2 u00xx + u00yy ,t > 0, r = x2 + y2 ≤ R,
u (R,t) = 0,t > 0, (fixerad rand)
(2)
(3)
(4)
u(r, 0) = f (r),r ≤ R, (begynnelseposition)
∂u
(r, 0) = g(r),r ≤ R. (begynnelsehastighet)
∂t
p
Observera att begynnelsevillkoren endast beror av r = x2 + y2 =avståndet från membranets centrum till punkten (x, y), och om vi inför polära koordinater
(
x = r cos θ,
y = r sin θ,
ser vi att (1) kan skrivas som
∂2 u
= c2
∂t 2
∂2 u 1 ∂u 1 ∂2 u
+
+
,
∂r2 r ∂r r2 ∂θ2
eller, om vi dessutom gör antagandet att u(r, θ,t) är radiellt symmetrisk (dvs att u(r, θ,t) är oberoende
av vinkeln θ) kan vi skriva om (1) som
2
1 ∂u
∂2 u
2 ∂ u
=c
+
.
(1’)
∂t 2
∂r2 r ∂r
För att lösa problemet fortsätter vi som tidigare och använder Fouriers metod för att separera variablerna. Med ansatsen u(r,t) = W (r)G(t) insatt i (1’) så får vi ekvationerna
1
(5)
W 00 + W 0 + k2W = 0, 0 ≤ r ≤ R,
r
(6)
G00 + (ck)2 G = 0, t > 0.
Dessutom får vi följande randvillkor från (2):
W (R) = 0,
(7)
och (5) tillsammans med (7) är ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem vilket ger oss egenfunktionerna
α n
Wn (r) = J0
r ,
R
där αn = kn R är lösningarna till J0 (kR) = 0 (se Exempel 5.7). Observera att om vi skriver om (5) på
den allmänna formen ser vi att vi får en viktfunktion = r, dvs den inre produkten ges av
h f , gi =
Z R
f (r)g(r)rdr.
0
Genom att lösa (6) för dessa värden på k och använda superpositionsprincipen får vi att
cα cα α ∞ n
n
n
(*)
u(r,t) = ∑ An cos
t + Bn sin
t J0
r
R
R
R
n=1
är en lösning till (1) och (2). Dessutom kan vi välja konstanterna An så att (3) blir uppfylld, dvs
α ∞
n
u(r, 0) = ∑ An J0
r = f (r),
R
n=1
om
Z R
α 1
n
(**)
An = R R
f
(r)J
r rdr.
0
2
R
J0 αn r rdr 0
0
R
5.7. ÖVNINGSUPPGIFTER
41
På samma sätt ser vi att (4) blir uppfyllt om vi väljer Bn så att
Z R
α cαn
1
n
(***)
Bn
= RR
g(r)J
r rdr.
0
αn 2
R
R
0
0 J0 R r rdr
Svaret till problemet ges alltså av (*) där An och Bn väljs som i (**) och (***).
♦
5.7. Övningsuppgifter
5.1. [S] Lös följande S-L problem genom att bestämma egenvärden och egenfunktioner:
0
(a)
x2 u0 (x) + λu(x) = 0, 1 < x < eL , u(1) = u eL = 0,
0
x2 u0 (x) + λu(x) = 0, 1 < x < eL , u(1) = u0 (e) = 0.
(b)
5.2.* Lös följande S-L problem genom att bestämma egenvärden och egenfunktioner:
(a)
u00 (x) + λu(x) = 0, 0 < x < l, u0 (0) = u0 (l) = 0,
(b)
u00 (x) + λu(x) = 0, 0 < x < l, u0 (0) = u(l) = 0.
5.3. [S] Använd Fouriers metod för att lösa problemet
ut0 =
u00xx ,
0 ≤ x ≤ l, t > 0,
0
0
ux (0,t) = ux (l,t) = 0, t > 0,
u(x, 0) =
f (x),
0 < x < l.
5.4.* En stav mellan x = 1 och
√ x = e har konstant temperatur 0 i ändpunkterna, och vid tiden t = 0
ges värmefördelningen av x, 1 < x < e. Staven har konstant densitet ρ och konstant specifik värme
C, men dess termiska ledningsförmåga varierar som K = x2 , 1 < x < e. Formulera ett initial- och
randvärdesproblem för stavens temperatur u(x,t) och lös problemet med hjälp av Fouriers metod.
5.5.*
(a)
Lös problemet
ut0 =
u(0,t) =
u0x (1,t) =
4u00xx ,
0
−cu(1,t),
(
x,
u(x, 0) =
1 − x,
(b)
0 ≤ x ≤ 1, t > 0,
t > 0,
t > 0,
1
0≤x< ,
2
1
x≥ .
2
Ge en fysikalisk tolkning av problemet i (a).
5.6. [S] Betrakta en ideal vätska som strömmar ortogonalt mot en oändligt lång cylinder med radien a.
Då problemet är likformigt i den axiala koordinaten kan vi betrakta problemet i polära koordinater i
planet.
42
5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER
a
x
Vätskans hastighet ~v(r, θ) ges då av ekvationen
~v(r, θ) = −gradψ,
där ψ är en lösning till Laplaces ekvation
∆ψ = 0.
Vid cylinderns yta har vi randvillkoret
∂ψ
|r=a = 0,
∂r
och då r → ∞ har vi följande asymptotiska randvillkor:
ψ
ψ
= −v0 ,
lim = lim
r→∞ r cos θ
r→∞ x
där v0 är en konstant.
a)
Visa med hjälp av variabelseparation att ansatsen ψ(r, θ) = R(r)Θ(θ) transformerar
Laplaces ekvation till följande två ekvationer
Θ00 (θ) + m2 Θ (θ) = 0,
b)
m2
1
R00 (r) + R0 (r) − 2 R(r) = 0,
r
r
där m är ett heltal.
Använd a) för att hitta ψ och ~v.