elektricitetslära - UU Studentportalen

ELEKTRICITETSLÄRA
GRUNDLÄGGANDE BEGREPP
Repetition och inledning till kurserna i Elektromagnetism
Inst. för Fysik och astronomi
2005 / 2010, O.Hartmann
1. Elektrisk laddning, elektriskt fält, elektrisk potential.
Enheten för elektrisk laddning i SI-systemet är 1 C = 1 As.
Elementarladdningen, dvs protonens laddning är 1,60.10-19 C.
Coulombs lag:
Kraften mellan två punktformiga laddningar Q1 och Q2 på avståndet r ges av
Q1 . Q2
1 Q1 . Q2
F=k
r2 = 4πεo r2
.
Där εo = 8,854.10-12 C2/Nm2 kallas permittiviteten (kapacitiviteten) för fria rymden.
Laddningar av lika tecken repellerar varandra, medan laddningar av olika tecken
attraherar varandra.
Elektrisk fältstyrka är kraft per enhetsladdning och kan definieras genom
F
E=Q
där F är kraften på en provladdning Q. Enheten för elektrisk fältstyrka är
1 N/C = 1 V/m.
Potentialdifferensen eller spänningen mellan två punkter definieras från skillnaden i
potentiell elektrisk energi för en enhetsladdning i de två punkterna. Enheten för spänning
är 1 V = 1 J/C. Om laddningen Q genomlöper spänningsfallet U ändras därvid dess
potentiella energi enligt
W = Q.U
Energieneheten 1 eV är den energi en partikel med en elementarladdning får vid
acceleration genom spänningsfallet 1 V
1 eV = 1,60.10-19 J.
I ett homogent elektriskt fält är spänningen mellan två punkter på avståndet d längs en
fältlinje givet av
U = E.d
Övningsexempel
1. Hur stor är den elektriska kraften i förhållande till gravitationskraften mellan en
proton och en elektron ?
2. Två små identiska kulor har laddningarna 4 nC resp –10 nC. Kulorna får beröra
varandra och separeras därefter till ett inbördes avstånd på 30 cm. Hur stor blir
kraften mellan kulorna ?
3. Beräkna kraften på laddningen –Q.
4. En laddad kula med massan 10 mg hänger i en lätt tråd i ett homogent, horisontellt
riktat elektriskt fält. Kulans laddning är 30 nC. Tråden bildar vinkeln 10o med
vertikalriktningen. Hur starkt är det elektrisk fältet ?
5. Spänningen mellan två isolerade parallella plattor på avståndet 1,0 cm från varandra
är 2,0 kV. Vad blir spänningen om plattavståndet ändras till 1,5 cm ?
6. En elektron frigör sig från en glödkatod och accelereras mot anoden som ligger på
en spänning av 105 V i förhållande till katoden. Vilken hastighet har elektronen när
den når anoden ?
7. Det homogena elektriska fältet mellan plattorna i figuren
5
är 2,0 .10 V/m. Beräkna
a) Spänningen U mellan plattorna.
b) Spänningen i punkten P.
c) Arbetet som krävas för att föra en positiv
enhetsladdning från jord till punkten P.
2. Kondensatorer.
En kondensator kan lagra elektrisk laddning.
Kapacitansen hos en kondensator definieras ur
Q
C= U
där Q = kondensatorns laddning och U = spänningen över kondensatorn.
Enheten för kapacitans är 1 F = 1 C/V
En luftfylld plattkondensator med
plattarean A och plattavståndet d
har kapacitansen
A
C = εo d
Om plattkondensatorn fylls med ett material med relativa permittiviteten εr blir
A
kapacitansen
C = εoεr d
Vid parallellkoppling av kondensatorer ges ersättningskapcitansen av
C = Σ Ck
Vid seriekoppling av kondensatorer ges ersättningskapacitansen av
1
1
=
Σ
C
Ck
Övningsexempel
8. Över en kondensator med kapacitansen 0,1 μF ligger spänningen 20 V. Hur stor
laddning har tillförts kondensatorn ?
9. Vilken area bör en luftfylld plattkondensator ha för att kapacitansen skall bli
100 pF om avståndet mellan plattorna är 1 mm ? Vilken area skulle krävas för att
få kapacitansen 1 F ?
10 Beräkna för krets I:
a) ersättningskapacitansen .
b). laddningen på var och en av
kondensatorerna.
c) spänningen över var och en
av kondensatorerna.
11. Beräkna motsvarande storheter
för krets II.
12. I en plattkondensator är plattavståndet 2,0 mm och plattarean 40 cm2.
Kondensatorn ansluts till en spänningskälla på 1000 V.
a) Bestäm kondensatorns laddning.
b) En 2,0 mm polymerskiva (εr = 2,5) skjuts in mellan plattorna. Vad blir i detta
fall kondensatorladdningen ?
3. Strömkretsar.
Med elektrisk strömstyrka i en ledare avses den totala laddning som per tidsenhet
passerar ett tvärsnitt av ledaren, dvs den momentana strömstyrkan i ges av
dQ
i = dt
Enheten för strömstyrka är 1 A.
Kirchhoff’s 1:a lag: Summan av alla strömmar in mot en strömgreningspunkt är lika med
summan av alla strömmar ut från punkten
Σ Ik = 0
Kirchhoff’s 2:a lag: För en sluten väg i ett ledningsnät gäller att summan av alla emk i
kretsen är lika med summan av alla potentialfall
Σ ei = Σ RkIk
eller
Σ ei - Σ RkIk = 0
Ohm’s lag: I metalliska ledare gäller
U = R.I
där U = spänningen över ledaren, I strömstyrkan och R är ledarens resistans.
Enheten för resistans är 1 Ω = 1 V/A
En metalltråd av längd ℓ och tvärsnittsarean A har resistansen
ℓ
R =ρ.A
där ρ = metallens resistivitet
Vid seriekoppling av resistorer ges ersättningsresistansen av
R = Σ Rk
Vid parallellkoppling av resistorer ges ersättningsresistansen av
1
1
=
Σ
R
Rk
Joules lag: I en strömgenomfluten resistor omvandlas elektrisk energi till värme
Effektutvecklingen ges av
P = U.I = R.I
2
Övningsexempel:
13. Strömstyrkan i en ledare är 100 mA. Hur många elektroner passerar ett tvärsnitt
av ledaren per sekund ?
2
14. Beräkna elektronernas driftshastighet i en koppartråd med 1,0 mm tvärsnittsarea,
då strömstyrkan i tråden är 1,0 A. Koppars atomvikt är 63,6 och dess densitet är
3
3
8,9 . 10 kg/m . Antag att antalet ledningselektroner är lika med antalet koppar23
-1
atomer. Avogadros tal = 6,0 . 10 mol .
15. Strömstyrkan i en krets växer linjärt med tiden från i = 0 vid t = 0 till
i = 0,25 A vid t = 5,0 s. Hur stor laddning har passerat under denna tid ?
16. Tre resistorer är kopplade till en
spänningskälla enligt figuren. Bestäm
resistansen R.
17. Beräkna strömstyrkan genom var
och en av resistorerna i figuren.
18. En galvanometer (vridspoleinstrument) har resistansen 150 Ω och ger fullt utslag
då spänningen över den är 0,50 V. Hur stort förkopplingsmotstånd krävs för att man
skall få en voltmeter som visar 20 V vid fullt utslag ?
19. En galvanometer har resistansen 100 Ω och visar fullt utslag vid strömstyrkan
120 μA.. Vilket shuntmotstånd skall kopplas in för att ge en amperemeter som
visar fullt utslag vid strömstyrkan 10,0 mA ?
20. Vid en resistansmätning enligt volt-amperemetoden avlästes spänningen 15,0 V och
strömstyrkan 80 mA. Voltmeterns inre resistans
Rv var 1500 Ω. Hur stor är resistansen R ?
21. Vilken spänning krävs för att ge en ström på 10 A i en koppartråd av längd 10 m
och diameter 0,50 mm. Koppars resistivitet = 1,7 10-8 Ωm.
22. Vid mätning av en resistans Rx med hjälp av
en Wheatstonebrygga erhölls strömlöshet i
galvanometern då R1=300 Ω, R2=700 Ω och
R3 = 10,0 Ω. Bestäm Rx.
23. Ett värmeelement är stämplat 230 V / 800 W. Beräkna motståndstrådens resistans.
24. När brytaren i kretsen slutes växer
spänningen över kondensatorn enligt
-t/RC
Uc = U (1-e
). Beräkna
kondensatorladdningen efter tiden
t=RC, dvs kretsens tidskonstant.
4. Magnetfält, magnetiskt flöde, magnetisk kraftverkan.
Enheten för magnetisk flödestäthet är 1 T = 1 Vs/m2
Alla magnetfält härrör från laddningar i rörelse. Inuti en långsträckt spole (solenoid) är
det magnetiska flödet praktiskt taget
homogent och flödestätheten ges av
μoN.I
B=
ℓ
där N är antalet trådvarv, ℓ är spolens längd och I är strömstyrkan. Konstanten
μo = 4π·10-7 Vs/Am kallas permeabiliteten för fria rymden.
På avståndet a från en lång rak ledare ges flödestätheten av
B=
μoI
2πa
Flödeslinjernas riktning erhålles genom skruvregeln.
En strömförande ledare av längd ℓ i ett yttre magnetfält, med en komposant B vinkelrätt
mot ledaren, påverkas av en kraft. Denna kraft är vinkelrät mot både ledaren och
magnetfältet och riktad enligt högerhandsregeln. Kraften är
F = I. ℓ .B
En partikel med laddningen Q som rör sig med hastigheten v vinkelrätt mot ett magnetfält
påverkas av en kraft
F = Q.v.B
En slinga med arean A vinkelrätt ett magnetfält med flödestätheten B omsluter ett
magnetiskt flöde Φ. Flödet ges av
Φ = B.A
Enheten för magnetiskt flöde är 1 Wb = 1 Nm/A = 1 Vs
Övningsexempel:
25. Den jordmagnetiska flödestätheten på en viss ort är 40 μT. Vilken ström krävs
för att inuti en långsträckt spole, lindad med 1000 varv/meter skapa ett rum fritt
från magnetiskt flöde ?
26. Beräkna attraktionskraften per meter mellan två parallella ledare på 1 m avstånd
om strömstyrkan i ledarna är 1,0 A.
27. En elektron rör sig parallellt med plattorna inuti en plattkondensator över vilken
ligger spänningen 2000 V. Plattavståndet är 2,0 cm. Hur skall ett magnetfält
anbringas för att elektronen skall röra sig rätlinjigt ? Hur starkt magnetfält krävs
6
om elektronens hastighet är 1,0 . 10 m/s ?
28. En kvadratisk strömslinga med sidan 3,0 cm befinner sig i ett homogent magnetiskt
fält på 0,10 T. Antalet trådvarv i slingan är 10 och strömstyrkan 0,10 A. Beräkna
vridande momentet på slingan när slingans plan bildar vinkeln 30o med flödeslinjerna.
29. En elektron accelereras i en elektronkanon av en spänning på 50 V. Den kommer
in i ett homogent magnetfält, riktat vinkelrätt mot rörelseriktningen, där den kommer
att beskriva en cirkulär bana med radien 5,0 cm. Hur stor är magnetiska flödestätheten ?
5, Induktion.
Då en ledare i sin rörelse skär över ett magnetiskt fält induceras en emk över ledaren. Om
fältet, ledaren och hastigheten är vinkelräta varandra ges emk av
e = ℓ.v.B
där ℓ är ledarens längd och v dess hastighet.
Då det magnetiska flödet genom en slinga ändras induceras i slingan en emk. Denna ges
av
dΦ
e = - dt
I en spole med N varv induceras därvid en total emk
dΦ
e = - N dt
Den inducerade emk strävar att driva en ström i en sådan riktning att ändringen i det
magnetiska flödet motverkas (Lenz’ lag)
En strömändring i en spole innebär en flödesändring i spolen. P.g.a självinduktion
induceras därvid en emk i spolen som är proportionell mot strömändringen per tidsenhet
di
e = - L dt
L är spolens induktans. Enheten för induktans är 1 H = 1 Vs/A
Övningsexempel
30. Ett flygplan som har avståndet 15 m mellan vingspetsarna flyger söderut med en
fart av 500 km/h. Jordmagnetiska fältets vertikalkomponent är 30 μT. Beräkna den
mellan vingspetsarna inducerade elektromotoriska kraften.
31. En solenoid av längd 50 cm och diameter 1,0 cm är lindad med 800 varv ledningstråd. En sekundärspole med 10 varv är lindad runt solenoidens centrum. När
solenoiden ansluts till ett batteri växer strömstyrkan till en början med 5,0 A/s.
Hur stor inducerad emk kan mätas upp över sekundärspolen ?
32. När brytaren i kretsen slutes kommer strömmen
U
-(R/L)t
att växa enligt i = R (1-e
) . Hur stor är
strömstyrkan efter tiden t = L/R, dvs kretsens
tidskonstant ?
6. Växelström
Momentanvärdet för en sinusformad växelspänning och ström ges av
^
^
u = usin (ωt) respektive i = i sin (ωt)
Växelspänningen och strömmen kan representeras med visare som roterar med
vinkelhastigheten ω. Momentanvärdet kan därvid fås som projektionen av
toppvärdesvisaren.
Effektivvärdet av en växelström är storleken av den likström som i en resistor ger samma
värmeutveckling som växelströmmen i genomsnitt ger. För sinusformad växelström gäller
^
^
i
u
I=
och U =
2
2
I visardiagram används vanligen effektivvärdesvisare.
För resistor gäller sambandet
U = R.I
Visardiagram:
där spänning och ström är i fas med varandra.
För kondensator gäller sambandet
Visardiagram:
1 .
U=
I
ωC
där spänningen ligger π/2 efter strömmen
För resistansfri spole gäller sambandet
Visardiagram
.
U = ωL I
där spänningen ligger π/2 före strömmen
För godtycklig belastning gäller sambandet
U = Ζ.I
där Z är belastningens impedans. Allmänt är spänningen fasförskjuten en vinkel φ i
förhållande till strömmen.
Effektutvecklingen i belastningen är
P = U.I.cos φ
Övningsexempel
33. Hur stor kapacitans skall en kondensator ha för att vid 50-periodig växelström ha
impedansen 1,0 kΩ.
34. Vid vilken frekvens har en resistansfri spole med induktansen 15 mH en impedans
av 15 Ω.
35. Växelspänningen i figuren arbetar vid
1000 Hz och har toppvärdet 10 V. Rita
visardiagram och beräkna växelströmmens effektivvärde. Hur stor är
fasförskjutningen mellan ström och
pålagd spänning ?
36. En spole med resistansen 100 Ω och induktansen 0,10 H ansluts till en
växelspänning på 230 V, 50 Hz. Beräkna strömstyrka, fasförskjutning, och
effektförbrukning.
Svar
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
39
Förhållandet ≈ 2 10 .
F = 0,9 μN
2
2
F = Q /(2πεoa ) riktad rakt vänster i figuren.
E = 0,58 kV/m
U=3,0 kV
6
v = 6,1 . 10 m/s
U = 6,0 kV UP = 2,0 kV W = 2,0 kJ
2
8 2
Q = 2 μC
9. 0,011 m
1,1 . 10 m .
krets I: C = 5,0 μF, Q1 = 0,20 mC Q2= 0,30 mC
U1= U2=100V
krets II: C = 1,2 μF, Q1=Q2=0,12 mC, U1=60V, U2=40V.
Q = 18 nC resp. 44 nC
17
6 .10 elektroner/sekund
-5
vd = 7,4 . 10 m/s
Q = 0,63 C
R = 33 Ω
0,19 A, 0,11 A 0,08 A
Rs = 5,85 kΩ
Rp = 1,21 Ω
R = 214 Ω.
U = 8,7 V
Rx = 23,3 Ω.
R = 66,1 Ω.
q = 6,3 μC vid t=1 ms.
I = 32 mA
-7
F = 2.10 N/m (amperedefinitionen)
B = 0,1 T vinkelrätt mot v och E.
-5
τ = 7,8 10 Nm
B = 0,48 mT
e = 63 mV
e = 7,9 μV
i = 0,63 A vid t=0,05 s
C = 3,2 μF
f= 159 Hz
I = 13 mA (eff.värde), φ = 87o.
I = 2,2 A
φ = 17o P = 480 W.