Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar III Innehåll Repetition: Linjära avbildningar Inversen till en linjär avbildning Nollrum och värderum Dimensionssatsen mars 2(24) Repetition: Linjära avbildningar Definition (Linjär avbildning) En avbildning F av rummets (planets) vektorer kallas linjär, om det för varje par av vektorer x1 och x2 och varje par av reella tal λ1 och λ2 gäller att F (λ1 x1 + λ2 x2 ) = λ1 F (x1 ) + λ2 F (x2 ). Sats Givet en linjär avbildning F av rummet och bas (e1 , e2 , e3 ) för detta, så finns det en 3 × 3-matris A som representerar F , i det avseendet att ekvationen y = F (x) motsvaras av Y = AX, där Y och X är kolonnmatriser svarar mot vektorerna y respektive x. Kolonnerna i A består av koordinaterna för F (e1 ), F (e2 ) och F (e3 ). Sats Om F och G är linjära avbildningar av rummets (planets) vektorer, med respektive avbildningsmatriser A och B, så är sammansättningen G ◦ F , som definieras av G ◦ F (x) = G(F (x)), också en linjär avbildning, med BA som avbildningsmatris. mars 3(24) Inversen till en linjär avbildning Låt F vara en linjär avbildning av rummet (eller planet) som i en given bas har avbildningsmatrisen A. Då motsvaras alltså ekvationen y = F (x) av matrisekvationen Y = AX . Antag nu att A är inverterbar. Låt G vara den linjära avbildning som har A−1 som avbildningsmatris. Då motsvaras ekvationen y = G(x) av Y = A−1 X . Vad är G för slags avbildning, jämfört med F ? För att på något sätt kunna relatera G till F , undersöker vi sammansättningen G ◦ F . Eftersom F och G har A respektive A−1 som avbildningsmatriser, så kommer G ◦ F ha avbildningsmatrisen A−1 A = E , d.v.s. G ◦ F = I är identitetsavbildningen (I(x) = x för alla x). Man skulle kunna säga att G ”städar upp” efter F : Om F avbildar en viss vektor x på en ny vektor y = F (x), så avbildar G i sin tur tillbaka y på x, eftersom G(y) = G(F (x)) = G ◦ F (x) = I(x) = x. På samma vis städar F upp efter G, ty även F ◦ G = I, i och med att avbildningsmatrisen för F ◦ G också är enhetsmatrisen: AA−1 = E . mars 4(24) Exempel e2 x Låt F vara den avbildning som roterar varje vektor i planet runt origo med α vinkeln α, såsom det visas i figuren till F (x) e1 höger (där (e1 , e2 ) är en ON-bas). y α Om G är den avbildning roterar varje vektor i planet med samma vinkel α, fast åt andra hållet, så gäller G(y) F ◦ G = G ◦ F = I. Vi ser att G ”städar upp” efter F , genom att rotera varje vektor tillbaka till ursprungsläget, d.v.s. om F (x) = y, så blir G(y) = x. (Och omvänt, använder man först G, därefter F , så kommer F att ”städa upp” efter G på samma sätt.) mars 5(24) Vi har hittills konstaterat följande: Om F är en linjär avbildning som har en inverterbar avbildningsmatris A, så finns det en linjär avbildning G som uppfyller F ◦ G = G ◦ F = I, nämligen den linjära avbildning som har A−1 som sin avbildningsmatris. Vi ska nu göra en liten generalisering, genom att släppa kravet på att F är linjär. Då kan vi inte representera F med en matris. Men det går ändå hitta villkor på F som gör att det finns en avbildning G med egenskapen F ◦ G = G ◦ F = I. För att idé om vad vilka krav F måste uppfylla, ska vi studera ett konkret exempel där det inte finns ett G med ovanstående egenskaper. mars 6(24) Exempel Låt F beteckna den ortogonala projektionen av rummets vektorer på givet plan genom origo. Här finns det ingen avbildning G som kan ”städa upp” efter F , av två anledningar: 1. Vektorn y ligger inte i planet. Vi vill att G(y) ska vara lika med en vektor x som uppfyller F (x) = y. Men eftersom F är en projektion på ett plan, ligger varje F (x) i detta plan. Alltså finns det ingen vektor x, sådan att F (x) = y; G(y) kan ej definieras. 2. Vektorn z ligger i planet, så här går det att hitta x som uppfyller F (x) = z. Men å andra sidan finns det här oändligt många sådana x att välja på; i figuren skulle t.ex. både x = x1 och x = x2 duga, och vi kan inte veta om vi ska ha G(z) = x1 eller G(z) = x2 ; vi ”hittar inte tillbaka”! x2 x1 z y mars 7(24) Låt F vara en avbildning av rummet (planet). Med föregående exempel i åtanke, kan vi formulera följande två krav på F som måste vara uppfyllda, för att det ska finnas en avbildning G med egenskapen F ◦ G = G ◦ F = I: Låt y vara en vektor i rummet. Då ska G(y) vara lika med en vektor x som uppfyller F (x) = y, vilket innebär att: • För det första måste det finnas åtminstone ett x som uppfyller F (x) = y, annars vet vi ju inte alls vad G ska ”hitta på” med y. (F måste vara, som man säger, surjektiv.) • För det andra får det inte finnas mer än ett x som uppfyller F (x) = y, ty om det finns två olika vektorer x1 och x2 som uppfyller F (x1 ) = F (x2 ) = y, så kan vi inte veta om G ska avbilda y tillbaka på x1 eller på x2 . (F måste vara, som man säger, injektiv.) • Slutsatsen blir alltså att det måste finnas exakt ett x som uppfyller F (x) = y. (F måste vara, som man säger, bijektiv.) mars 8(24) Definition (Injektiv, surjektiv, resp. bijektiv avbildning) En avbildning F av rummet (planet) kallas (i) injektiv, om F (x1 ) 6= F (x2 ) närhelst x1 6= x2 , eller ekvivalent: För varje vektor y finns det högst en vektor x som uppfyller F (x) = y. (ii) surjektiv, om varje vektor y i rummet är bilden av någon vektor x genom F , eller ekvivalent: För varje vektor y finns det minst en vektor x som uppfyller F (x) = y. (iii) bijektiv, om F är både injektiv och surjektiv, eller ekvivalent: För varje vektor y finns det exakt en vektor x som uppfyller F (x) = y. Av den tidigare diskussionen framgår det att F måste vara bijektiv för att garantera att det finns en avbildning G som ”städar upp” efter F . Vi säger då att F har en invers: Definition (Invers) Låt F vara en avbildning av rummet (planet). Om det finns en avbildning G som uppfyller F ◦ G = G ◦ F = I, så kallas G för en invers till F , och vi skriver G = F −1 . mars 9(24) För just linjära avbildningar gäller följande sats: Sats Låt F vara en linjär avbildning av rummet och antag att F i basen (e1 , e2 , e3 ) har avbildningsmatrisen A. Då är följande påståenden ekvivalenta: (i) F är injektiv (ii) F är surjektiv (iii) F är bijektiv (iv) F (u) = 0 endast om u = 0 (v) (F (e1 ), F (e2 ), F (e3 )) är en bas (vi) Kolonnvektorerna i A är linjärt oberoende (vii) Radvektorerna i A är linjärt oberoende (viii) A är inverterbar (ix) det A 6= 0 (x) Ekvationssystemet AX = Y har en entydig lösning, för varje högerled Y. Om något av de tio villkoren ovan är uppfyllt, så har F en invers F −1 . Denna är också linjär, och har A−1 som avbildningsmatris. mars 10(24) Exempel I ett exempel från förra gången fann vi att om man i en positivt orienterad ON-bas (e1 , e2 , e3 ) roterar varje vektor i rummet 90◦ runt e3 , i riktningen moturs sett från spetsen av e3 , så får man en linjär avbildning R som i denna bas har avbildningsmatrisen 0 −1 0 0 0 . A = 1 0 0 1 Vi har här det A = 1 6= 0, så satsen ovan ger att R har en invers R−1 . Denna kan beskrivas som rotation 90◦ runt e3 i medurs riktning, sett från spetsen av e3 , och har som avbildningsmatris 0 1 0 A−1 = −1 0 0 . 0 0 1 mars 11(24) Exempel Förra gången konstaterade vi att en spegling S i ett plan har en avbildningsmatris, vars determinant är lika med −1. Eftersom −1 6= 0, är alltså därför en spegling som avbildning alltid bijektiv, d.v.s. den har en invers. Eftersom S ◦ S = I, är S −1 = S. För motsvarande avbildningsmatriser gäller därmed A−1 = A. Exempel Förra gången konstaterade vi också att en (ortogonal eller sned) projektion P på ett plan har en avbildningsmatris, vars determinant är lika med 0. Föregående sats ger därmed att en sådan avbildning saknar invers. mars 12(24) Nollrum och värderum Vi definierar först fyra stycken linjära avbildningar av rummet, som vi framöver ska använda för att illustrera s.k. nollrum och värderum till linjära avbildningar. 1. F1 är den linjära avbildning som speglar varje vektor i planet x1 + 2x2 − 2x3 = 0. 2. F2 är den linjära avbildning som projicerar varje vektor ortogonalt mot planet 2x1 − 3x2 + x3 = 0. 3. F3 är den linjära avbildning som projicerar varje vektor ortogonalt mot den räta linjen (x1 , x2 , x3 ) = t(1, −1, 1). 4. F4 är den linjära avbildning som avbildar varje vektor på nollvektorn. Vi beskriver översiktligt hur man plockar fram en avbildningsmatris för respektive avbildning; fyll på egen hand i detaljerna. mars 13(24) F1 : Spegling i planet x1 + 2x2 − 2x3 = 0. Om u är den ortogonala projektionen av x på planets normalvektor n = (1, 2, −2), så är u = λn, där projektionsformeln ger att λ = (x · n)/|n|2 . Vi får den allmänna formeln F1 (x) = x − 2λn, med vars hjälp vi kan beräkna F1 (e1 ), F1 (e2 ) och F1 (e3 ); dessa vektorers koordinater blir sedan kolonnerna i matrisen för F1 . n x 2u = 2λn F1 (x) ( 79 , − 49 , 94 ), Det visar sig att F1 (e1 ) = F1 (e2 ) = (− 49 , 91 , 98 ) och 4 8 1 F1 (e3 ) = ( 9 , 9 , 9 ), så F1 har som avbildningsmatris 7 −4 4 1 −4 1 8 . A1 = 9 4 8 1 mars 14(24) F2 : Ortogonal projektion på planet 2x1 − 3x2 + x3 = 0. Om u är den ortogonala projektionen av x på planets normalvektor n = (2, −3, 1), så är enligt projektionsformeln u = λn, där λ = (x · n)/|n|2 . Den allmänna formeln blir F2 (x) = x − λn, med vars hjälp vi beräknar F2 (e1 ), F2 (e2 ) och F2 (e3 ); dessa vektorers koordinater blir sedan kolonnerna i matrisen för F2 . n x u = λn F2 (x) 5 3 Vi får F2 (e1 ) = ( 57 , 73 , − 17 ), F2 (e2 ) = ( 73 , 14 , 14 ) och 1 3 13 F2 (e3 ) = (− 7 , 14 , 14 ), så F2 har avbildningsmatrisen 10 6 −2 1 6 5 3 . A2 = 14 −2 3 13 mars 15(24) F3 : Ortogonal projektion på den räta linjen (x1 , x2 , x3 ) = t(1, −1, 1). Den allmänna formeln ges här av F3 (x) = λv, där v = (1, −1, 1) är en riktningsvektor för linjen och där λ = (x · v)/|v|2 , enligt projektionsformeln. F3 (x) x ( 13 , − 13 , 31 ), F3 (e2 ) = (− 13 , 31 , − 13 ) och Det visar sig att F3 (e1 ) = 1 1 1 F3 (e3 ) = ( 3 , − 3 , 3 ), så avbildningsmatrisen till F3 ges av 1 −1 1 1 −1 1 −1 . A3 = 3 1 −1 1 mars 16(24) F4 : Varje vektor avbildas på nollvektorn. Här har den allmänna formeln givetvis utseendet F4 (x) = 0. Avbildningsmatrisen till F4 är därmed 0 0 A4 = 0 0 0 0 nollmatrisen av typ 3 × 3, d.v.s. 0 0 , 0 eftersom F4 (e1 ) = F4 (e2 ) = F4 (e3 ) = 0. mars 17(24) Definition (Värderum) Låt F vara en linjär avbildning av rummet (planet). Då kallas mängden av alla möjliga bilder F (u) för värderummet till F och betecknas V (F ). Exempel Hur ser värderummet ut för avbildningarna F1 , F2 , F3 och F4 ? (i) För F1 (spegling i planet x1 + 2x2 − 2x3 = 0) gäller att alla vektorer i rummet är en spegelbild av någon vektor. Alltså är V (F1 ) hela rummet. (ii) För F2 (ortogonal projektion på planet 2x1 − 3x2 + x3 = 0) så är V (F2 ) just detta plan. Alla vektorer projiceras ju dit, och till varje vektor v i detta plan kan man hitta en vektor i rummet som projiceras på v (t.ex. v själv). (iii) Beträffande F3 (ortogonal projektion på den räta linjen (x1 , x2 , x3 ) = t(1, −1, 1)), så utgör just denna linje V (F3 ); inses med ett snarlikt resonemang som för V (F2 ). (iv) Värderummet till avbildningen F4 (alla vektorer avbildas på nollvektorn) består givetvis enbart av nollvektorn; V (F4 ) = {0}. mars 18(24) Varje bas för rummets vektorer består ju av tre vektorer. Vi säger därför att rummet har dimensionen 3. På samma sätt kan vi säga att ett plan genom origo har dimensionen 2, eftersom ju det avkrävs två (icke-parallella) vektorer för att spänna upp ett sådant plan. En rät linje genom origo har å sin sida dimensionen 1, för vi behöver endast en vektor (riktningsvektorn) för att specificera vilken linje det är frågan om. Vidare inför vi som praxis att en mängd som bara består av nollvektorn har dimensionen 0. Med föregående i exempel i åtanke, kan därför konstatera att V (F1 ), V (F2 ), V (F3 ) och V (F4 ) i tur och ordning har dimensionen 3, 2, 1 respektive 0. Vi skriver detta som dim V (F1 ) = 3 dim V (F2 ) = 2 dim V (F3 ) = 1 dim V (F4 ) = 0. mars 19(24) Definition (Nollrum) Låt F vara en linjär avbildning av rummet (planet). Med nollrummet till F avses mängden av alla vektorer som F avbildar på nollvektorn. Vi betecknar denna mängd med N (F ). Med matematiska beteckningar: N (F ) = {x | F (x) = 0} (vilket vi läser som ”mängden av alla x sådana att F (x) = 0”). Exempel Vi ska i tur och ordning bestämma nollrummet till var och av de linjära avbildningarna F1 , F2 , F3 och F4 ovan. F1 : Spegling i planet x1 + 2x2 − 2x3 = 0. Nollrummet N (F1 ) består av alla vektorer som uppfyller F1 (x) = 0. Eftersom F1 är bijektiv (alla speglingar är bijektiva), ger den sats vi formulerade tidigare, att F1 (x) = 0 endast när x = 0. Alltså är N (F1 ) = {0}, vilket betyder att dim N (F1 ) = 0. mars 20(24) F2 : Ortogonal projektion på planet 2x1 − 3x2 + x3 = 0. Om vi tänker geometriskt, bör nollrummet bli linjen (x1 , x2 , x3 ) = t(2, −3, 1), d.v.s. den linje som går genom origo och har planets normalvektor n = (2, −3, 1) som riktningsvektor; detta på grund av att denna linje är parallell med riktningen på projektionen. Vi kan även bekräfta detta algebraiskt: Nollrummet N (F2 ) innehåller ju alla vektorer x som uppfyller F2 (x) = 0, vilket på matrisform svarar mot ekvationen A2 X = O, där 10 6 −2 1 6 5 3 A2 = 14 −2 3 13 är avbildningsmatrisen för F2 . Vi löser detta ekvationssystem: x1 = 2t 10x1 + 6x2 − 2x3 = 0 6x1 + 5x2 + 3x3 = 0 ⇐⇒ x2 = −3t x3 = t −2x1 + 3x2 + 13x3 = 0 och får att nollrummet blir precis den räta linje vi misstänkte. Eftersom N (F2 ) blev en rät linje, konstaterar vi samtidigt att dim N (F2 ) = 1. mars 21(24) F3 : Ortogonal projektion på den räta linjen (x1 , x2 , x3 ) = t(1, −1, 1). Vi söker här alla vektorer som uppfyller F3 (x) = 0. På matrisform blir detta A3 X = O, där 1 −1 1 1 −1 1 −1 A3 = 3 1 −1 1 är avbildningsmatrisen till F3 . Vi får ekvationssystemet x1 − x2 + x3 = 0 −x1 + x2 − x3 = 0 x1 − x3 + x3 = 0. Här är alla tre ekvationerna ekvivalenta med x1 − x2 + x3 = 0, vilket är ekvationen för det plan genom origo som har den givna räta linjens riktningsvektor v = (1, −1, 1) som normalvektor. Detta plan utgör alltså N (F3 ), så därmed är dim N (F3 ) = 2. Ett geometriskt resonemang kan göras även i detta fall: Eftersom det rör sig om en ortogonal projektion på en rät linje, bör nollrummet bestå av alla vektorer som är ortogonala mot linjens riktningsvektor v. Dessa vektorer ligger precis i det plan som har v som normalvektor. mars 22(24) F4 : Varje vektor avbildas på nollvektorn. Eftersom det för samtliga vektorer x i rummet gäller att F4 (x) = 0, så utgörs N (F4 ) av hela rummet. Således är dim N (F4 ) = 3. Vi kan sammanfatta vår undersökning av nollrum och värderum hos avbildningarna Fi , i = 1, 2, 3, 4, i form av följande tabell: Fi F1 F2 F3 F4 dim N (Fi ) 0 1 2 3 dim V (Fi ) 3 2 1 0 Summan av dimensionerna hos nollrum och värderum tycks genomgående bli 3 . . . mars 23(24) Dimensionssatsen Sats (Dimensionssatsen) Om F är en linjär avbildning av rummet, så är dim N (F ) + dim V (F ) = 3. Satsen kan formuleras även för varje avbildning F av planet, fast då blir alltid dim N (F ) + dim V (F ) = 2. Nästa föreläsning kommer vi inleda med ett par exempel som visar hur man med hjälp av dimensionssatsen för en linjär avbildning kan bestämma dess nollrum och värderum, även om vi saknar en geometrisk beskrivning av avbildningen (som vi hade med avbildningarna Fi ovan; vi visste att dessa var speglingar eller projektioner). TO BE CONTINUED mars 24(24)