Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister
Per-Anders Svensson
http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html
Fakulteten för teknik
Linnéuniversitetet
Linjära avbildningar III
Innehåll
Repetition: Linjära avbildningar
Inversen till en linjär avbildning
Nollrum och värderum
Dimensionssatsen
 mars 
2(24)
Repetition: Linjära avbildningar
Definition (Linjär avbildning)
En avbildning F av rummets (planets) vektorer kallas linjär, om det
för varje par av vektorer x1 och x2 och varje par av reella tal λ1
och λ2 gäller att
F (λ1 x1 + λ2 x2 ) = λ1 F (x1 ) + λ2 F (x2 ).
Sats
Givet en linjär avbildning F av rummet och bas (e1 , e2 , e3 ) för detta,
så finns det en 3 × 3-matris A som representerar F , i det avseendet
att ekvationen y = F (x) motsvaras av Y = AX, där Y och X är
kolonnmatriser svarar mot vektorerna y respektive x. Kolonnerna i A
består av koordinaterna för F (e1 ), F (e2 ) och F (e3 ).
Sats
Om F och G är linjära avbildningar av rummets (planets) vektorer,
med respektive avbildningsmatriser A och B, så är sammansättningen
G ◦ F , som definieras av G ◦ F (x) = G(F (x)), också en linjär
avbildning, med BA som avbildningsmatris.
 mars 
3(24)
Inversen till en linjär avbildning
Låt F vara en linjär avbildning av rummet (eller planet) som i en
given bas har avbildningsmatrisen A. Då motsvaras alltså ekvationen
y = F (x) av matrisekvationen Y = AX .
Antag nu att A är inverterbar. Låt G vara den linjära avbildning som
har A−1 som avbildningsmatris. Då motsvaras ekvationen y = G(x)
av Y = A−1 X . Vad är G för slags avbildning, jämfört med F ?
För att på något sätt kunna relatera G till F , undersöker vi
sammansättningen G ◦ F . Eftersom F och G har A respektive A−1
som avbildningsmatriser, så kommer G ◦ F ha avbildningsmatrisen
A−1 A = E , d.v.s. G ◦ F = I är identitetsavbildningen (I(x) = x för
alla x).
Man skulle kunna säga att G ”städar upp” efter F : Om F avbildar en
viss vektor x på en ny vektor y = F (x), så avbildar G i sin tur
tillbaka y på x, eftersom G(y) = G(F (x)) = G ◦ F (x) = I(x) = x.
På samma vis städar F upp efter G, ty även F ◦ G = I, i och med att
avbildningsmatrisen för F ◦ G också är enhetsmatrisen: AA−1 = E .
 mars 
4(24)
Exempel
e2
x
Låt F vara den avbildning som roterar
varje vektor i planet runt origo med
α
vinkeln α, såsom det visas i figuren till F (x)
e1
höger (där (e1 , e2 ) är en ON-bas).
y
α
Om G är den avbildning roterar varje
vektor i planet med samma vinkel α,
fast åt andra hållet, så gäller
G(y)
F ◦ G = G ◦ F = I.
Vi ser att G ”städar upp” efter F , genom att rotera varje vektor
tillbaka till ursprungsläget, d.v.s. om F (x) = y, så blir G(y) = x.
(Och omvänt, använder man först G, därefter F , så kommer F att
”städa upp” efter G på samma sätt.)
 mars 
5(24)
Vi har hittills konstaterat följande:
Om F är en linjär avbildning som har en inverterbar
avbildningsmatris A, så finns det en linjär avbildning G som
uppfyller F ◦ G = G ◦ F = I, nämligen den linjära avbildning
som har A−1 som sin avbildningsmatris.
Vi ska nu göra en liten generalisering, genom att släppa kravet på
att F är linjär. Då kan vi inte representera F med en matris. Men det
går ändå hitta villkor på F som gör att det finns en avbildning G med
egenskapen F ◦ G = G ◦ F = I.
För att idé om vad vilka krav F måste uppfylla, ska vi studera ett
konkret exempel där det inte finns ett G med ovanstående egenskaper.
 mars 
6(24)
Exempel
Låt F beteckna den ortogonala projektionen av rummets vektorer på
givet plan genom origo. Här finns det ingen avbildning G som kan
”städa upp” efter F , av två anledningar:
1. Vektorn y ligger inte i planet. Vi vill att G(y) ska vara lika med
en vektor x som uppfyller F (x) = y. Men eftersom F är en
projektion på ett plan, ligger varje F (x) i detta plan. Alltså finns
det ingen vektor x, sådan att F (x) = y; G(y) kan ej definieras.
2. Vektorn z ligger i planet, så här går det att hitta x som uppfyller
F (x) = z. Men å andra sidan finns det här oändligt många
sådana x att välja på; i figuren skulle t.ex. både x = x1 och
x = x2 duga, och vi kan inte veta om vi ska ha G(z) = x1 eller
G(z) = x2 ; vi ”hittar inte tillbaka”!
x2
x1
z
y
 mars 
7(24)
Låt F vara en avbildning av rummet (planet). Med föregående
exempel i åtanke, kan vi formulera följande två krav på F som måste
vara uppfyllda, för att det ska finnas en avbildning G med egenskapen
F ◦ G = G ◦ F = I:
Låt y vara en vektor i rummet. Då ska G(y) vara lika med en
vektor x som uppfyller F (x) = y, vilket innebär att:
• För det första måste det finnas åtminstone ett x som uppfyller
F (x) = y, annars vet vi ju inte alls vad G ska ”hitta på” med y.
(F måste vara, som man säger, surjektiv.)
• För det andra får det inte finnas mer än ett x som uppfyller
F (x) = y, ty om det finns två olika vektorer x1 och x2 som
uppfyller F (x1 ) = F (x2 ) = y, så kan vi inte veta om G ska
avbilda y tillbaka på x1 eller på x2 . (F måste vara, som man
säger, injektiv.)
• Slutsatsen blir alltså att det måste finnas exakt ett x som
uppfyller F (x) = y. (F måste vara, som man säger, bijektiv.)
 mars 
8(24)
Definition (Injektiv, surjektiv, resp. bijektiv avbildning)
En avbildning F av rummet (planet) kallas
(i) injektiv, om F (x1 ) 6= F (x2 ) närhelst x1 6= x2 , eller ekvivalent:
För varje vektor y finns det högst en vektor x som uppfyller
F (x) = y.
(ii) surjektiv, om varje vektor y i rummet är bilden av någon
vektor x genom F , eller ekvivalent: För varje vektor y finns det
minst en vektor x som uppfyller F (x) = y.
(iii) bijektiv, om F är både injektiv och surjektiv, eller ekvivalent:
För varje vektor y finns det exakt en vektor x som uppfyller
F (x) = y.
Av den tidigare diskussionen framgår det att F måste vara bijektiv för
att garantera att det finns en avbildning G som ”städar upp” efter F .
Vi säger då att F har en invers:
Definition (Invers)
Låt F vara en avbildning av rummet (planet). Om det finns en
avbildning G som uppfyller F ◦ G = G ◦ F = I, så kallas G för en
invers till F , och vi skriver G = F −1 .
 mars 
9(24)
För just linjära avbildningar gäller följande sats:
Sats
Låt F vara en linjär avbildning av rummet och antag att F i basen
(e1 , e2 , e3 ) har avbildningsmatrisen A. Då är följande påståenden
ekvivalenta:
(i) F är injektiv
(ii) F är surjektiv
(iii) F är bijektiv
(iv) F (u) = 0 endast om u = 0
(v) (F (e1 ), F (e2 ), F (e3 )) är en bas
(vi) Kolonnvektorerna i A är linjärt oberoende
(vii) Radvektorerna i A är linjärt oberoende
(viii) A är inverterbar
(ix) det A 6= 0
(x) Ekvationssystemet AX = Y har en entydig lösning, för varje
högerled Y.
Om något av de tio villkoren ovan är uppfyllt, så har F en invers F −1 .
Denna är också linjär, och har A−1 som avbildningsmatris.
 mars 
10(24)
Exempel
I ett exempel från förra gången fann vi att om man i en positivt
orienterad ON-bas (e1 , e2 , e3 ) roterar varje vektor i rummet 90◦
runt e3 , i riktningen moturs sett från spetsen av e3 , så får man en
linjär avbildning R som i denna bas har avbildningsmatrisen


0 −1 0
0 0 .
A = 1
0
0 1
Vi har här det A = 1 6= 0, så satsen ovan ger att R har en invers R−1 .
Denna kan beskrivas som rotation 90◦ runt e3 i medurs riktning, sett
från spetsen av e3 , och har som avbildningsmatris


0 1 0
A−1 = −1 0 0 .
0 0 1
 mars 
11(24)
Exempel
Förra gången konstaterade vi att en spegling S i ett plan har en
avbildningsmatris, vars determinant är lika med −1. Eftersom −1 6= 0,
är alltså därför en spegling som avbildning alltid bijektiv, d.v.s. den
har en invers. Eftersom S ◦ S = I, är S −1 = S. För motsvarande
avbildningsmatriser gäller därmed A−1 = A.
Exempel
Förra gången konstaterade vi också att en (ortogonal eller sned)
projektion P på ett plan har en avbildningsmatris, vars determinant
är lika med 0. Föregående sats ger därmed att en sådan avbildning
saknar invers.
 mars 
12(24)
Nollrum och värderum
Vi definierar först fyra stycken linjära avbildningar av rummet, som vi
framöver ska använda för att illustrera s.k. nollrum och värderum till
linjära avbildningar.
1. F1 är den linjära avbildning som speglar varje vektor i planet
x1 + 2x2 − 2x3 = 0.
2. F2 är den linjära avbildning som projicerar varje vektor
ortogonalt mot planet 2x1 − 3x2 + x3 = 0.
3. F3 är den linjära avbildning som projicerar varje vektor
ortogonalt mot den räta linjen (x1 , x2 , x3 ) = t(1, −1, 1).
4. F4 är den linjära avbildning som avbildar varje vektor på
nollvektorn.
Vi beskriver översiktligt hur man plockar fram en avbildningsmatris
för respektive avbildning; fyll på egen hand i detaljerna.
 mars 
13(24)
F1 : Spegling i planet x1 + 2x2 − 2x3 = 0.
Om u är den ortogonala projektionen av x på planets
normalvektor n = (1, 2, −2), så är u = λn, där projektionsformeln ger
att λ = (x · n)/|n|2 . Vi får den allmänna formeln
F1 (x) = x − 2λn,
med vars hjälp vi kan beräkna F1 (e1 ), F1 (e2 ) och F1 (e3 ); dessa
vektorers koordinater blir sedan kolonnerna i matrisen för F1 .
n
x
2u = 2λn
F1 (x)
( 79 , − 49 , 94 ),
Det visar sig att F1 (e1 ) =
F1 (e2 ) = (− 49 , 91 , 98 ) och
4 8 1
F1 (e3 ) = ( 9 , 9 , 9 ), så F1 har som avbildningsmatris


7 −4 4
1
−4
1 8 .
A1 =
9
4
8 1
 mars 
14(24)
F2 : Ortogonal projektion på planet 2x1 − 3x2 + x3 = 0.
Om u är den ortogonala projektionen av x på planets
normalvektor n = (2, −3, 1), så är enligt projektionsformeln u = λn,
där λ = (x · n)/|n|2 . Den allmänna formeln blir
F2 (x) = x − λn,
med vars hjälp vi beräknar F2 (e1 ), F2 (e2 ) och F2 (e3 ); dessa vektorers
koordinater blir sedan kolonnerna i matrisen för F2 .
n
x
u = λn
F2 (x)
5
3
Vi får F2 (e1 ) = ( 57 , 73 , − 17 ), F2 (e2 ) = ( 73 , 14
, 14
) och
1 3 13
F2 (e3 ) = (− 7 , 14 , 14 ), så F2 har avbildningsmatrisen


10 6 −2
1 
6 5
3 .
A2 =
14
−2 3 13
 mars 
15(24)
F3 : Ortogonal projektion på den räta linjen (x1 , x2 , x3 ) = t(1, −1, 1).
Den allmänna formeln ges här av
F3 (x) = λv,
där v = (1, −1, 1) är en riktningsvektor för linjen och där
λ = (x · v)/|v|2 , enligt projektionsformeln.
F3 (x)
x
( 13 , − 13 , 31 ),
F3 (e2 ) = (− 13 , 31 , − 13 ) och
Det visar sig att F3 (e1 ) =
1 1
1
F3 (e3 ) = ( 3 , − 3 , 3 ), så avbildningsmatrisen till F3 ges av


1 −1
1
1
−1
1 −1 .
A3 =
3
1 −1
1
 mars 
16(24)
F4 : Varje vektor avbildas på nollvektorn.
Här har den allmänna formeln givetvis utseendet
F4 (x) = 0.
Avbildningsmatrisen till F4 är därmed

0 0
A4 = 0 0
0 0
nollmatrisen av typ 3 × 3, d.v.s.

0
0 ,
0
eftersom F4 (e1 ) = F4 (e2 ) = F4 (e3 ) = 0.
 mars 
17(24)
Definition (Värderum)
Låt F vara en linjär avbildning av rummet (planet). Då kallas
mängden av alla möjliga bilder F (u) för värderummet till F och
betecknas V (F ).
Exempel
Hur ser värderummet ut för avbildningarna F1 , F2 , F3 och F4 ?
(i) För F1 (spegling i planet x1 + 2x2 − 2x3 = 0) gäller att alla
vektorer i rummet är en spegelbild av någon vektor. Alltså är
V (F1 ) hela rummet.
(ii) För F2 (ortogonal projektion på planet 2x1 − 3x2 + x3 = 0) så är
V (F2 ) just detta plan. Alla vektorer projiceras ju dit, och till
varje vektor v i detta plan kan man hitta en vektor i rummet
som projiceras på v (t.ex. v själv).
(iii) Beträffande F3 (ortogonal projektion på den räta linjen
(x1 , x2 , x3 ) = t(1, −1, 1)), så utgör just denna linje V (F3 ); inses
med ett snarlikt resonemang som för V (F2 ).
(iv) Värderummet till avbildningen F4 (alla vektorer avbildas på
nollvektorn) består givetvis enbart av nollvektorn; V (F4 ) = {0}.
 mars 
18(24)
Varje bas för rummets vektorer består ju av tre vektorer. Vi säger
därför att rummet har dimensionen 3.
På samma sätt kan vi säga att ett plan genom origo har
dimensionen 2, eftersom ju det avkrävs två (icke-parallella) vektorer
för att spänna upp ett sådant plan.
En rät linje genom origo har å sin sida dimensionen 1, för vi behöver
endast en vektor (riktningsvektorn) för att specificera vilken linje det
är frågan om.
Vidare inför vi som praxis att en mängd som bara består av
nollvektorn har dimensionen 0.
Med föregående i exempel i åtanke, kan därför konstatera att V (F1 ),
V (F2 ), V (F3 ) och V (F4 ) i tur och ordning har dimensionen 3, 2, 1
respektive 0. Vi skriver detta som
dim V (F1 ) = 3
dim V (F2 ) = 2
dim V (F3 ) = 1
dim V (F4 ) = 0.
 mars 
19(24)
Definition (Nollrum)
Låt F vara en linjär avbildning av rummet (planet). Med nollrummet
till F avses mängden av alla vektorer som F avbildar på nollvektorn.
Vi betecknar denna mängd med N (F ). Med matematiska
beteckningar:
N (F ) = {x | F (x) = 0}
(vilket vi läser som ”mängden av alla x sådana att F (x) = 0”).
Exempel
Vi ska i tur och ordning bestämma nollrummet till var och av de
linjära avbildningarna F1 , F2 , F3 och F4 ovan.
F1 : Spegling i planet x1 + 2x2 − 2x3 = 0.
Nollrummet N (F1 ) består av alla vektorer som uppfyller F1 (x) = 0.
Eftersom F1 är bijektiv (alla speglingar är bijektiva), ger den sats vi
formulerade tidigare, att F1 (x) = 0 endast när x = 0. Alltså är
N (F1 ) = {0}, vilket betyder att dim N (F1 ) = 0.
 mars 
20(24)
F2 : Ortogonal projektion på planet 2x1 − 3x2 + x3 = 0.
Om vi tänker geometriskt, bör nollrummet bli linjen
(x1 , x2 , x3 ) = t(2, −3, 1), d.v.s. den linje som går genom origo och har
planets normalvektor n = (2, −3, 1) som riktningsvektor; detta på
grund av att denna linje är parallell med riktningen på projektionen.
Vi kan även bekräfta detta algebraiskt: Nollrummet N (F2 ) innehåller
ju alla vektorer x som uppfyller F2 (x) = 0, vilket på matrisform
svarar mot ekvationen A2 X = O, där


10 6 −2
1 
6 5
3
A2 =
14
−2 3 13
är avbildningsmatrisen för F2 . Vi löser detta ekvationssystem:


x1 = 2t
 10x1 + 6x2 − 2x3 = 0
6x1 + 5x2 + 3x3 = 0 ⇐⇒ x2 = −3t


x3 =
t
−2x1 + 3x2 + 13x3 = 0
och får att nollrummet blir precis den räta linje vi misstänkte.
Eftersom N (F2 ) blev en rät linje, konstaterar vi samtidigt att
dim N (F2 ) = 1.
 mars 
21(24)
F3 : Ortogonal projektion på den räta linjen (x1 , x2 , x3 ) = t(1, −1, 1).
Vi söker här alla vektorer som uppfyller F3 (x) = 0. På matrisform
blir detta A3 X = O, där


1 −1
1
1
−1
1 −1
A3 =
3
1 −1
1
är avbildningsmatrisen till F3 . Vi får ekvationssystemet

 x1 − x2 + x3 = 0
−x1 + x2 − x3 = 0

x1 − x3 + x3 = 0.
Här är alla tre ekvationerna ekvivalenta med x1 − x2 + x3 = 0, vilket
är ekvationen för det plan genom origo som har den givna räta linjens
riktningsvektor v = (1, −1, 1) som normalvektor. Detta plan utgör
alltså N (F3 ), så därmed är dim N (F3 ) = 2.
Ett geometriskt resonemang kan göras även i detta fall: Eftersom det
rör sig om en ortogonal projektion på en rät linje, bör nollrummet
bestå av alla vektorer som är ortogonala mot linjens riktningsvektor v.
Dessa vektorer ligger precis i det plan som har v som normalvektor.
 mars 
22(24)
F4 : Varje vektor avbildas på nollvektorn.
Eftersom det för samtliga vektorer x i rummet gäller att F4 (x) = 0,
så utgörs N (F4 ) av hela rummet. Således är dim N (F4 ) = 3.
Vi kan sammanfatta vår undersökning av nollrum och värderum hos
avbildningarna Fi , i = 1, 2, 3, 4, i form av följande tabell:
Fi
F1
F2
F3
F4
dim N (Fi )
0
1
2
3
dim V (Fi )
3
2
1
0
Summan av dimensionerna hos nollrum och värderum tycks
genomgående bli 3 . . .
 mars 
23(24)
Dimensionssatsen
Sats (Dimensionssatsen)
Om F är en linjär avbildning av rummet, så är
dim N (F ) + dim V (F ) = 3.
Satsen kan formuleras även för varje avbildning F av planet, fast då
blir alltid dim N (F ) + dim V (F ) = 2.
Nästa föreläsning kommer vi inleda med ett par exempel som visar
hur man med hjälp av dimensionssatsen för en linjär avbildning kan
bestämma dess nollrum och värderum, även om vi saknar en
geometrisk beskrivning av avbildningen (som vi hade med
avbildningarna Fi ovan; vi visste att dessa var speglingar eller
projektioner).
TO BE CONTINUED
 mars 
24(24)