GeoGebra introduktion

Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
GeoGebra introduktion
Nedslag i Matematik Origo 1c. Kap. 7 Geometri och bevis
Linje
Verktyget/knappen
och dess undermenyer.
Visa/dölja
”Börja med GeoGebra 1” sidan 18.
Verktyget/knappen
och dess undermenyer.
©www.ioprog.se
1
IOPROG
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
Stråle, sträcka
Konstruktionsprotokoll
”Börja med GeoGebra 1” sidan 17.
2
IOPROG
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Webbsida/Dynamiskt arbetsblad/e-learning
GeoGebra har bra möjlighet att skapa webbsida eller dynamiskt arbetsblad för demonstrationer/visualisering av och
framställning av undervisningsmaterial för GeoGebra exempel (se Börja med GeoGebra 1, sidan 3).
1) Aktivera Arkiv/File menu och välj Exportera/Export -> Dynamisk arbetsbok som Webbsida
(html)/Dynamic Worksheet as Webpage (html)
Följ därefter anvisningarna i det dialogfönstret som öppnas.
Länken http://wiki.geogebra.org/en/Export_Worksheet_Dialog
arbetsblad skapas.
innehåller information om hur webbsida/dynamiskt
2) Ett annat sätt att skapa webbsida/arbetsblad är att använda View/Construction Protocol
(Visa/Konstruktionsprotokoll).
Följ därefter anvisningarna i det dialogfönstret som öppnas.
En fil Linje_sträcka_stråle.html skapas av GeoGebra filen Linje_sträcka_stråle.ggb
3
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
Övningar/e-lärande/e-learning:
Besvara följande frågor i ett svarsdokument (text eller html) som öppnas i ett separat fönster!
Avmarkera alla kryssrutorna: Linje, Stråle, Sträcka och Vinkel
1) Markera Linje: Vad kännetecknar en linje?
2) Markera Stråle: Vad kännetecknar en stråle?
3) Markera Sträcka: Vad kännetecknar en sträcka
4) Höger-klicka på objekten stråle och sträcka och flytta start/ändpunkt till origo.
5) Byt färg på objekten.
6) Orientera objekten stråle och sträcka vertikalt.
Glidare/skjutreglage/reglerbart tal/slider
”Börja med GeoGebra 1”, sidan 10.
Skapa 3 st Glidare med Min = 0 och Max = 10.
4
IOPROG
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Triangelolikheten
http://sv.wikipedia.org/wiki/Triangelolikheten
Kommandot Segment
Klicka på knappen Input Help i högra hörnet i GeoGebra och öppna All Commands. Navigera till kommandot
Segment. Då erhålls fönstret
Klicka på knappen Show Online Help. Då öppnas länken http://wiki.geogebra.org/en/Segment_Command
Längst ner på den öppnade sidan anges också motsvarande verktyg/knapp till kommandot.
Längst ner på den öppnade sidan anges också motsvarande verktyg/knapp till kommandot.
Använd verktyget/knappen
och dess undermeny
Ange Glidaren a_1 i fältet för Length
5
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Det naturligaste valet av variabelnamn för glidarna hade varit a, b och c men vi vill reservera dessa variabelnamn
till den blivande triangelns sidolängder. Indexeringen för variabel namn skrivs som a_1, b_1 och c_1.
Längden av sidan/sträckan/segmentet AB kan nu regleras med Glidaren a_1, exempelvis till värdet a_1 = 5. Genom
att högerklicka på objektet för sida/sträcka/segment AB och använda Rename kan vi ge sida/sträcka/segment AB
sidlängden c som är ett naturligt val i den blivande triangeln ABC.
Med hjälp av skärningspunkten mellan cirklarna med medelpunkt i A resp B och radierna b_1 resp c_1 kan vi nu
skapa punkten C i triangeln ABC.
Kommandot Cirkel
Klicka på knappen Input Help i högra hörnet i GeoGebra och öppna All Commands. Navigera till kommandot
Cirkel. Då erhålls fönstret
6
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
Klicka på knappen Show Online Help. Då öppnas länken http://wiki.geogebra.org/en/Circle_Command
Längst ner på den öppnade sidan anges också motsvarande verktyg/knapp till kommandot.
Använd verktyget/knappen
och dess undermeny
Konstruera en cirkel med medelpunkten i A och radien b_1.
7
IOPROG
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Konstruera en cirkel med medelpunkten i B och radien c_1.
Markera skärningspukter mellan cirklarna.
Klicka på knappen Input Help i högra hörnet i GeoGebra och öppna All Commands. Navigera till kommandot
Intercect. Då erhålls fönstret
8
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Klicka på knappen Show Online Help. Då öppnas länken http://wiki.geogebra.org/en/Intersect_Command
Längst ner på den öppnade sidan anges också motsvarande verktyg/knapp till kommandot.
Använd verktyget/knappen
och dess undermeny
9
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Skärningspunkten (erna) blir C (och D).
Konstruera triangelsidorna AC (b) och BC (a) med hjälp av verktyget/knapp ”Segment between Two Points”.
Namnen på sidlängderna a och b skapas genom ”Rename”.
Öppna objekten för cirklarna med högerklick och avmarkera ”Show Objeckt” eller avmarkera cirkelobjekten under
”Conic” i Algebra vyn. Lägg märke till att symbolerna (ringarna) för de matematiska uttrycken för cirklarna under
rubriken Conic i den Algebraiska vyn nu blivit ofyllda. Det går alltså lika bra att visa/dölja objekt grnom att klicka på
ringsymbolen i den Alebraiska vyn som att högerklicka på objektet.
10
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Skapa Text objekt som skriver ut när Triangelolikheten inte är uppfylld.
Klicka på knappen Input Help i högra hörnet i GeoGebra och öppna All Commands. Navigera till kommandot
Text. Då erhålls fönstret
Klicka på knappen Show Online Help. Då öppnas länken http://wiki.geogebra.org/en/Text_Command
Använd verktyget/knappen
och dess undermeny
11
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Ett objekt med texten ”Triangelolikheten är ej uppfylld!” skrivs ut.
Öppna Object Properties för textobjektet Text1 genom att högerklicka på objektet. Välj alternativet Advanced för
att ange ”Condition to show Object” dvs villkoret då triangelolikheten inte är uppfylld:
a + b <= c eller a + c <= b eller b + c <= a
Reglera valfri glidare eller alla tre så triangelolikheten inte är uppfylld, exempelvis b + c <= a: 4 + 3 = 7
12
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Skapa ett konstruktionsprotokoll:
Webbsida/Dynamiskt arbetsblad/e-learning
GeoGebra har bra möjlighet att skapa webbsida eller dynamiskt arbetsblad för demonstrationer/visualisering av och
framställning av undervisningsmaterial för GeoGebra exempel (se Börja med GeoGebra 1, sidan 3).
1) Aktivera Arkiv/File menu och välj Exportera/Export -> Dynamisk arbetsbok som Webbsida
(html)/Dynamic Worksheet as Webpage (html)
13
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Följ därefter anvisningarna i det dialogfönstret som öppnas.
Länken http://wiki.geogebra.org/en/Export_Worksheet_Dialog
arbetsblad skapas.
innehåller information om hur webbsida/dynamiskt
2) Ett annat sätt att skapa webbsida/arbetsblad är att använda View/Construction Protocol
(Visa/Konstruktionsprotokoll).
Följ därefter anvisningarna i det dialogfönstret som öppnas.
En fil Triangel_olikheten_sida1_2_3.html skapa av GeoGebra filen Triangel_olikheten_sida1_2_3.ggb
Den kan öppnas i en valfri webbläsare:
14
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Triangelolikheten:
I text: Summan av längderna av två valfria sidor i en triangel är större än längden av den återstående sidan.
Med skalära enheter: a + b >= c eller a + c >= b eller b + c >= a
Med vektorer:
Låt
Låt
och
och
vara vektorer. Triangelolikheten ges av
vara komplexa tal. Triangelolikheten ges av
Generellt uttryck för triangelolikheten:
Övningar/e-lärande/e-learning:
Besvara följande frågor i ett svarsdokument (text eller html) som öppnas i ett separat fönster!
1.
2.
3.
4.
Undersök triangelolikheten a + b > c med hjälp av glidaren 𝑎1
Undersök triangelolikheten a + b > c med hjälp av glidarna 𝑎1 , 𝑏1 och 𝑐1
Gör motsvarande undersökning för triangelolikheterna a + c > b och c + b > a
Vad händer när a + b = c, a + c = b och c + b = a?
15
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
Vinklar/Angles
Verktyget/knappen
och dess undermenyer
Öppna länken http://wiki.geogebra.org/en/Angle_Tool
Kommandot Vinkel/Angle
Klicka på knappen Input Help i högra hörnet i GeoGebra och öppna All Commands. Då erhålls fönstret
(i engelsk version)
eller
(i svensk version)
Klicka på knappen Show Online Help. Då öppnas länken http://wiki.geogebra.org/en/Angle_Command
16
IOPROG
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
GeoGebra: Presentation av vinkelbegreppet (Matematik Origo 1c, kap 7, sidan 245-246).
Använd följande konstruktionsprotokoll (ingår som en del av en exporterad webbsida, se Webbsida/Dynamiskt
arbetsblad nedan)
för att skapa följande GeoGebra exempel för introduktion av vinkelbegreppet.
Webbsida/Dynamiskt arbetsblad
GeoGebra har bra möjlighet att skapa webbsida eller dynamiskt arbetsblad för demonstrationer/visualisering av och
framställning av undervisningsmaterial för GeoGebra exempel (se Börja med GeoGebra 1, sidan 3).
1) Aktivera Arkiv/File menu och välj Exportera/Export -> Dynamisk arbetsbok som Webbsida
(html)/Dynamic Worksheet as Webpage (html)
17
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Följ därefter anvisningarna i det dialogfönstret som öppnas.
Länken http://wiki.geogebra.org/en/Export_Worksheet_Dialog
arbetsblad skapas.
innehåller information om hur webbsida/dynamiskt
2) Ett annat sätt att skapa webbsida/arbetsblad är att använda View/Construction Protocol
(Visa/Konstruktionsprotokoll).
Följ därefter anvisningarna i det dialogfönstret som öppnas.
Övningar/e-lärande/e-learning:
Besvara följande frågor i ett svarsdokument (text eller html) som öppnas i ett separat fönster!
Avmarkera alla kryssrutan: Vinkel
Markera Vinkel:
1. Ställ in en spetsig vinkel. Gör en bild av svaret och kopiera in i svarsdokumentet.
2. Ställ in rät vinkel. Gör en bild av svaret och kopiera in i svarsdokumentet.
3. Ställ in en trubbig vinkel. Gör en bild av svaret och kopiera in i svarsdokumentet.
4. Ställ in en rak vinkel. Gör en bild av svaret och kopiera in i svarsdokumentet.
18
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
Likbelägna vinklar
Sidovinklar
19
IOPROG
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
Bissektris (Origo 1c sid 244)
Vinkelsumma (fyrhörning, Origo 1c sid 248)
Randvinkel (Origo 1c sid 287)
20
IOPROG
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Eqvilateral Triangles
Another classic geometry construction is eqvilateral triangels. Here is an abstract from
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_Elements
that gives an overview of Euclid's Elements a collection of 13 books written by the
Euclid in Alexandria about 300 BC.
Greek mathematician
A proof from Euclid's Elements that, given a line segment, an equilateral triangle exists that includes the segment
as one of its sides. The proof is by construction: an equilateral triangle ΑΒΓ is made by drawing circles Δ and Ε
centered on the points Α and Β, and taking one intersection of the circles as the third vertex of the triangle.
Again GeoGebra is perfect for this construction.
Double-click on any of the GeoGebra WebStart icon, GeoGebra Installer icon or links to GeGebra4/GeoGebra5. The
GeoGebra tool opens the standard window.
Hide the Axes view.
Use the “New Point” tool to create a point A and point B.
Use the Circle tool “Compass” to draw a circle with the radius = distance between A and B. Activate the tool
“Compass” and click with the mounse on point A and B and then on A again to make A as the circle center.
Repeat the same scenario for a similar circle but center on the point B.
Create/fix the upper intersection point between the circles with the tool “Intersect Two Objects”.
21
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Create segment AB, AC and BC with the tool “Segment between Two Points”. Hide the Circle Object.
Use the tool “Angle” to control the eqvilateral triangle angels. Activate the toll “Angle” and click on the point B, A
and C to get the angle BAC.
Nivå2: 7108 (sid 246)
Klocka:
Öppna länken http://wiki.geogebra.org/en/Numbers_and_Angles för information om Numbers och Angles. Öppna
länken http://wiki.geogebra.org/en/Points_and_Vectors för information Points and Vectors.
Punkt/vektor i rätvinkliga koordinater: P = (1,0 ) resp v = (1,0).
Punkt/vektor i polära koordinater, (radie; vinkel): P = (1;0º) eller v = (1;0º). Använd ; för polära korrdinater.
Symbolen för grader används om vinkeln är i grader. Om symbolen för grader utelämnas tolkas vinkeln i radianer.
Skriv uttrycket v = (2;45º) eller v = (2;∏/4) i Input fältet. Detta avbildas på ritytan som en vektorpil med
längden 2 och vinkeln 45º från origo.
Ett polärt uttryck kan användas för att avbilda visare i en klocka. Gör en glidare med namnet m med talområdet 0
till 12*360 och ökningen 6 (motsvarar vinkeln som en minutvisare rör sig på 1 minut).
Skapa en minutvisare/vektorpil som är 3 enheter lång med uttrycket mm=(3;mº).
Skapa en timvisare/vektorpil som är 2 enheter lång med uttycket hh=(2;mº/12)
Symbolen för grader, º, får man med Alt+o i GeoGebra (Windows).
Visarna/vektorpilarna startar på x-axeln och rör sig moturs. Ändra detta genom att använda uttrycken
mm = (3; 90º - mº) resp hh = (2; 90º - mº/12)
Använd en glidare med stor bredd så att glidarens värden blir lätt att ställa in.
Nivå 2: 7108 (sid 246)
Använd verktyget/knappen
klocka 5
Vinkel eller kommandot v = Vinkel[hh, mm] för att bestämma vinkeln för
22
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
Nivå3:7110-7112 (sid 246)
Öppna Inställningar -> Avancerat. I detta fönster kan omställning mellan grader och radianer göras.
Använd följande konstruktionsprotokoll för 7110 och 7112
23
IOPROG
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
Pythagoras sats
24
IOPROG
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
Trigonometri – rätvinkliga trianglar
25
IOPROG
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Trigonometri – unit circle
Unit circle and definition of trigonometri functions sin α and cos α
In the context of the standard unit circle with radius 1, where a triangle is formed by a ray originating at the origin
and making some angle with the x-axis, the sine of the angle gives the length of the y-component (rise) of the
triangle, the cosine gives the length of the x-component (run), and the tangent function gives the slope (ycomponent divided by the x-component).
Step-by-step collaboration
The following Construction Protocol gives the step-by-step to construct a unit Circle, (a Circle with radius = 1), a
slider for assigning values to an angle, a movable point P on the circle and P:s x- and y- coordinates with sign,
visualized with the y-projection PB and x-projection PA. The x-coordinate is defined as sin α and the y-coordinate
is defined as cos α.
This Construction Protocol is realized in the following GeoGebra construction.
26
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
E-learning Trig_degree.html
Open the web page Trig_degree.html. Navigate in the web page and investigate the following exercises or select
others after your own choice
1. Find the values for sin α and cos α for the angle values
α = 0º
α = 90º
α = 180º
α = 360º
2. Which is the minimum and maximum value for sin α and cos α for angle values in
1st quadrant, 0 ≤ α ≤ 90
2nd quadrant, 90 ≤ α ≤ 180
3rd quadrant, 180 ≤ α ≤ 270
4th quadrant, 270 ≤ α ≤ 360
Express the answer with an intervall minValue ≤ sin α ≤ maxvalue and minValue ≤ cos α ≤ maxvalue
3. Find the value for the angle α when P has the coordinates
1
√3
2
1
2
P=(,
P=( ,
)
1
√2 √2
1 √15
P=(,
4
16
)
)
Use the Input Field. Calculate the numbers with the symbol √ with the function sqrt().
Step-by-step collaboration:
The trigonometric functions tan α and cot α are defined by the expressions
tan
α =
𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝛼
and cot α =
cos 𝛼
sin 𝛼
Continue the construction above (Unit Circle) and make the following step-by-steps 18 – 23:
Use the uniform triangles OBP and OXC to get the definition for tan α.
27
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
Step-by-step elaboration:
Continue the construction above (Unit Circle) and make the following step-by-step 18 – 24:
Use the uniform triangles OAP and OYD to get the definition for cot α.
Step-by-step elaboration
Investigate the trigonometric functions sin x, cos x, tanx and cot x measuring the angle in radians. In the
GeoGebra menu, open Options -> Settings -> Advanced to check the ”Angle Unit to Radians”.
E-learning Trig_radian.html
Open the web page Trig_radian.html. Navigate in the web page and make the same investigation as for exercises
for Trig_degree.html, now with the angles measured in radians.
E-learning Trig_CAS.html
Open the web page Trig_CAS.html. Navigate in the web page and investigate the following exercises or select
others/similar after your own choice.
4. Test the value of sinα2 + cosβ2 or sin2α + cos2β for optional values of α and β. The result is obvious when
applying the Pythagoras’ theorem on the unit circle construction. Verify that.
5. Use the Input field and function sin() or cos() and calculate values of sin(α + n*2π) or cos(α + n*2π)
13𝜋
𝜋
(sin(α + n*360º) or cos(α + n*360º)) for different values of α and n. For example sin
= sin( + 2*2𝜋)
𝜋
(sin 750º = sin(30º + 2*360º)), and compare this to sin
the properties of the angle rotation in the unit circle.
28
6
6
6
(sin 30º). Verify that the result is obvious from
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
IOPROG
The graphs y = sin x, y = cos x, y = tan x and y =cot x
Step-by-step collaboration
Construct the graph for y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x
Put the unit circle to the left in the graphics pane and locate a x-y-coordinate system to the right in the graphics
pane. Visualize the graph y = sin α with the point S = (α, sin α) as a red trace and the graph
y = cos α with the point C = (α, cos α) as a blue trace in the coordinate system. The angle α must be
measured in radians when it is plotted on the x-axis. Open Options -> Settings -> Advanced to check the “Angle
Unit to Radians”.
The following Construction Protocol gives the step-by-step collaboration to construct the graph y = sin x, y = cos x.
This Construction Protocol is realized in the following GeoGebra construction.
Step-by-step collaboration
Construct the graph for y = tan x.
Visualize the graph y = tan α with the point T = (α, tan α) as a brown trace and the graph
29
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
in the coordinate system.
This Construction Protocol is realized in the following GeoGebra construction.
30
IOPROG
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
Vektorer – addition
Vektor – subtraktion
31
IOPROG
Börja med GeoGebra 1,2,3/Begin with GeoGebra 1,2,3
32
IOPROG