2301
OBS! x används som beteckning för
både vinkeln x och som x-koordinat
A Punkten P har koordinaterna x och y
P = (x, y)
i enhetscirkeln gäller att
x = cos x
{ y = sin x ⇒ 𝑃 = (cos x , sin x)
För vinkeln x = 0° har P koordinaterna (1, 0)
och då är x = 1 ⇒ cos x = 1
B Punkten P har koordinaterna x och y
P = (x, y)
i enhetscirkeln gäller att
x = cos x
{ y = sin x ⇒ 𝑃 = (cos x , sin x)
För vinkeln x = 90° har P koordinaterna (0, 1)
och då är y = 1 ⇒ sin x = 1
Svar: A visar cos x och B visar sin x
2302 a
Den trigonometriska funktionen är
y = sin x
och den andra funktionen är
y = 0.8
I skärningspunketerna har funktionerna
samma funktionsvärde, dvs y = y
vilket ger ekvationen
sin x = 0.8
Svar: Ekvationen som vi kan lösa är sin x = 0.8
b
Grafisk lösning
Vi kan uppskatta lösningarna genom att
studera grafen.
En ruta i x-led motsvarar 30°,
om vi uppskattar att den första
skärningspunkten ligger på
en och två tredjedels ruta från origo
så blir vinkeln x ≈ 50°
Då den trigonmetriska funktionen är
y = sin x så fås den andra lösningen,
på grund av symmetrin i enhetscirkeln, av
180° − 50° = 130°
Då sin x är periodisk med 360°
så fås de andra lösningarna
i intervallet av
50° + 360° = 410°
130° + 360° = 490°
Svar:
Lösningarna i intervallet 0° ≤ 𝑥 < 540° är
x = 50°, 130°, 410°, 490°
Om vi behöver större noggrannhet
så kan vi lösa ekvationen algebraiskt
sin x = 0.8
Fall 1
x = sin−1 (0.8) + n ⋅ 360°
x ≈ 53.1° + n ⋅ 360° markerade med
Då 0° ≤ x < 540° finns fler lösningar
x ≈ 53.1° + 0 ⋅ 360° = 53.1°
x ≈ 53.1° + 1 ⋅ 360° = 413°
Fall 2
x = 180° − sin−1 (0.8) + n ⋅ 360°
x ≈ 127° + n ⋅ 360° markerade med
Då 0° ≤ x < 540° finns fler lösningar
x ≈ 127° + 0 ⋅ 360° = 127°
x ≈ 127° + 1 ⋅ 360° = 487°
Svar: x = 53.1°, 127°, 413°, 487°
2303
Likheter
Definitionsmängd: D = {x ∈ ℝ }
Värdemängd: V = {−1 ≤ y ≤ 1 | y ∈ ℝ }
Exakt samma form
Amplitud A = 1 , mer om detta i nästa avsnitt
Period = 360°, mer om detta i nästa avsnitt
Skillnader
De är förskjutna 90° i förhållande till varandra
Om y = sin x används som referens så är
y = cos x förskjuten 90° åt vänster
den ligger 90° före
2304
Grafisk lösning TI-räknare
intersect
Grafisk lösning Geogebra
Algebraisk lösning
sin x = 0.3
Fall 1
Fall 2
x = sin−1 (0.3) + n ⋅ 360°
x = 180° − sin−1 (0.3) + n ⋅ 360°
x ≈ 17.5° + n ⋅ 360°
x ≈ 163° + n ⋅ 360°
markerade med
markerade med
Då x ∈ ℝ finns obegränsat
Då x ∈ ℝ finns obegränsat
många lösningar
många lösningar
exempel på lösningar är
exempel på lösningar är
x ≈ 17.5° + 0 ⋅ 360° = 17.5° x ≈ 163° + 0 ⋅ 360° = 163°
x ≈ 17.5° + 1 ⋅ 360° = 377° x ≈ 163° + 1 ⋅ 360° = 523°
⋮
⋮
x ≈ 17.5° + n ⋅ 360°
Svar: Alla lösningar {
x ≈ 163° + n ⋅ 360°
Exempel på lösningar: x ≈ 17.5°, 163°, 377°, 523°
2305
Grafisk lösning TI-räknare
intersect
Grafisk lösning Geogebra
Algebraisk lösning
cos x = −0.5
x = cos−1(−0.5) + n ⋅ 360°
TI-räknare
x = ±120° + n ⋅ 360°
Fall 1
Fall 2
x = 120° + n ⋅ 360°
x = −120° + n ⋅ 360°
markerade med
markerade med
Då x ∈ ℝ finns obegränsat
Då x ∈ ℝ finns obegränsat
många lösningar
många lösningar
exempel på lösningar är
exempel på lösningar är
x ≈ 120° + 0 ⋅ 360° = 120° x ≈ −120° + 0 ⋅ 360° = −120°
x ≈ 120° + 1 ⋅ 360° = 480° x ≈ −120° + 1 ⋅ 360° = 240°
⋮
⋮
Svar:
Alla lösningar x = ±120° + n ⋅ 360°
Exempel på lösningar: x = −120°, 120°, 240°, 480°
2306 a, b, c
sin x = 𝑏
Vi utgår från att 𝑏 är en konstant
lösningarna ska vara
x = n ⋅ 2π = n ⋅ 360°
x = 0 + n ⋅ 2π
exempel på lösningar är
x = 0, 2π, 4π, … markerade med
för att få dessa lösningar måste b
antaga värdet noll, dvs HL i ekvationen är noll.
HL representeras vid grafisk lösning av linjen y = 0
grön i figur nedan (x-axeln)
Bilden visar att vi även har lösningarna
x = π + n ⋅ 2π markerade med
Svar:
b) 𝑏 = 0
x = n ⋅ 2π = n ⋅ 360°
x = π + n ⋅ 2π = 180° + n ⋅ 360°
Samtliga lösningar beskrivs bättre
c) Lösningarna är {
med endast ett uttryck x = n ⋅ π = n ⋅ 180°
2307
sin x = cos x
Grafisk lösning TI-räknare
intersect
Grafisk lösning Geogebra
Algebraisk lösning
Lösningsalternativ 1
⋮
cos x − sin x = 0
Sålunda
bryt ut cos x
sin x
cos x (1 −
)=0
cos x
cos x (1 − tan x) = 0
x = ±90° + n ⋅ 360°
Använd nollprodukten
x = tan−1 (1) + n ⋅ 180°
cos x = 0
x = ±90° + n ⋅ 360°
x = 45° + n ⋅ 180°
Kontrollera lösningarna
Kontrollera lösningarna
i den ursprungliga ekvationen
i den ursprungliga ekvationen
med TI-räknare
med TI-räknare
utgör inga lösningar
1 − tan x = 0
tan x = 1
0 = falskt , 1 = sant
0 = falskt , 1 = sant
Svar: x = 45° + n ⋅ 180°
⋮
Lösningsalternativ 2
cos x = sin x
⋮
Kvadrera båda led
cos2 x = sin2 x
Negativa fallet av kvadraten
1
sin x = −
√2
Fall 1
1
x = sin−1 (− ) + n ⋅ 360°
√2
x = −45° + n ⋅ 360°
Trigonometriska ettan
Fall 2
sin2 v + cos2 v = 1
x = 180° − sin−1 (−
OBS! Kvadrering av ekvationer
kan introducera falska rötter,
kontrollera därför att
lösningarna är rötter till den
ursprungliga ekvationen.
cos2 v = 1 − sin2 v
1 − sin2 x = sin2 x
2 sin2 x = 1
1
sin2 x =
2
1
sin x = ±
√2
Positiva fallet av kvadraten
1
sin x =
√2
Fall 1
1
x = sin−1 ( ) + n ⋅ 360°
√2
x = 45° + n ⋅ 360°
1
√2
) + n ⋅ 360°
x = 225° + n ⋅ 360°
Vi får fyra lösningar
som måste testas i den
ursprungliga ekvationen
x = −45°, 45°, 135°, 225°
TI-räknare
0 = falskt , 1 = sant
Fall 2
1
x = 180° − sin−1 ( ) + n ⋅ 360°
√2
x = 45° + n ⋅ 360°
Svar: {
x = 135° + n ⋅ 360°
x = 225° + n ⋅ 360°
⋮
Samtliga lösningar beskrivs
bättre med endast ett uttryck
x = 45° + n ⋅ 180°
2308 a
y' är derivatan av y
och är ett mått på funktionens
förändringshastighet.
Vid varje punkt är derivatan y’
lutningen på en linje
som är tangent till kurvan.
y’ antar värdet noll, ingen förändring,
vid funktionens extremvärden,
dvs vid max- och minpunkter.
Svar: x = π⁄2 + n ⋅ π = 90° + n ⋅ 180°
b
y’ antar sitt största positiva värde då
x = 0 + n ⋅ 2π = n ⋅ 2π = n ⋅ 360°
y’ antar sitt största negativa värde då
x = π + n ⋅ 2π = 180° + n ⋅ 360°
EXTRA
y ′ = cos x
Funktionsvärdena för cos x stämmer överens med
tangentens lutning för sin x , mer om detta i avsnitt 3.2
