GeoGebra - Kursplanering

GeoGebra i
matematikundervisningen
- Inspirationsdagar för gymnasielärare
Karlstads universitet 19-20 april
Exempel på elevaktiviteter
framtagna i skolutvecklingsprojektet
IKT och lärande i matematik1
GeoGebra
1
Ett samarbete mellan Matematikavdelningen vid Karlstads universitet och Älvkullegymnasiet i Karlstad.
1
Innehåll
Vektorer
Informationsblad……………………1
Elevblad……………………………2-7
Räta linjer
Informationsblad …………………..8
Elevblad…………………………..9-12
Andragradsfunktioner
Informationsblad ………………….13
Elevblad…………………………14-19
Inversa funktioner
Informationsblad …………………20
Elevblad…………………………21-23
2
Informationsblad
Rubrik
Vektorer
Ämnesinnehåll
DEL 1
• Konstruktion av en vektor mellan två punkter.
DEL 2
• Addition med vektorer
a) algebraiskt
b) grafiskt
- Parallellogrammetoden
- Polygonmetoden
DEL 3
• Multiplikation av en vektor med ett tal.
• Uppdelning i komposanter
Kurs
1c (Kan även användas inom Fysik 1)
Ämnesplan
Innehåll
Förmågor att
utveckla
•
•
Begreppet vektor och dess representationer såsom riktad
sträcka och punkt i ett koordinatsystem.
Addition och subtraktion med vektorer och produkten av en
skalär och en vektor.
•
•
Arbetsform
Använda och beskriva begreppet vektor.
Hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär
utan och med verktyg.
• Analysera och lösa matematiska problem.
• Följa och föra matematiska resonemang.
• Kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt
och i handling.
Klassrumsaktivitet - parvis
Tidsåtgång
2 lektioner a´60 min.
Didaktiska
kommentarer
Aktiviteten fungerar som introduktion till momentet vektorer
(efter kort genomgång).
1
VEKTORER
DEL 1
Vi ska nu använda GeoGebra för att studera vektorer. Börja med att högerklicka i
ritområdet och markera rutnät så att det i ritområdet visas ett koordinatsystem med rutnät.
VEKTOR MELLAN TVÅ PUNKTER
• I GeoGebra finns ett speciellt verktyg för att konstruera en vektor mellan två punkter:
Använd detta verktyg för att konstruera en vektor med startpunkt (1,2) och
slutpunkt (3,7).
• Vektorn har troligtvis fått beteckningen u och i algebrafönstret kan man se hur vektorn
 2
r
beskrivs i GeoGebra: u =   . I boken skulle detta istället skrivas u = (2,5).
5
1. Markera vektorn och flytta runt den i koordinatsystemet utan att ändra dess längd eller
riktning. Studera samtidigt vektorn i algebrafönstret.
Slutsats:
2. Flytta nu vektorn så att punkt A (vektorns startpunkt) hamnar i origo. Var hamnar
punkt B (vektorns slutpunkt)? ________________
Slutsats: ____________________
3. Gissa först (utifrån dina slutsatser ovan) och kontrollera därefter med GeoGebra var
punkt B hamnar om
a) A = (3,2)
Gissning: B =___________
Kontroll: B =_________
b) A = (-1,4) Gissning: B =___________
Kontroll: B =_________
• Undersök vad som händer med vektorn u om man istället för att markera och flytta
hela vektorn bara markerar och flyttar en punkt (A eller B).
4. Flytta punkterna så att följande vektorer konstrueras:
 4
 5 
 − 2
a) u =  
b) u =  
c) u =  
1 
 − 3
−1 
d) På hur många olika sätt kan man välja punkterna A och B i uppgifterna a), b) och c)
ovan?________________________________________________________
5. Gissa först och kontrollera därefter med GeoGebra vilken vektor som fås om
a) A = (2,1) och B = (6,4)
Gissning: __________
Kontroll:___________
b) A = (-3,2) och B = (1,7)
Gissning: __________
Kontroll:___________
c) A = (3,-1) och B = (2,-4)
Gissning: __________
Kontroll:___________
2
DEL 2
ADDITION AV VEKTORER
Vi ska nu använda GeoGebra för att studera hur vektorer kan adderas.
• Börja med att placera punkten A i origo och punkten B i (2,3). Konstruera därefter en
ny vektor v genom att skriva in v = (4,2) i ”input-fönstret” längst ner i GeoGebra.
• Nu ska vi låta GeoGebra ta fram summan u + v. Detta kan man göra genom att helt
enkelt skriva in u + v i ”input-fönstret”. Denna vektor kallas för resultanten till u och
v. Studera resultanten, både i ritområdet och i algebrafönstret.
• Flytta punkten B så att vektorn u ändras och studera hur resultanten ändras.
• Ändra på vektorn v genom att dra i vektorns spets och studera hur resultanten ändras.
6. Gissa först och kontrollera därefter med GeoGebra vad u + v blir om
1 
 5
a) u =   och v =  
 2
1 
Gissning: __________
Kontroll:___________
 3 
 − 2
b) u =   och v =  
 − 2
 5 
Gissning: __________
Kontroll:___________
7. Ibland behöver man kunna addera vektorer grafiskt utan att använda vektorernas
koordinater. Använd konstruktionen ovan för att försöka komma fram till en metod för
hur detta kan göras. Illustrera din metod genom att konstruera resultanten till u och v i
figuren nedan:
v
u
3
Nedan presenteras två olika metoder för att grafiskt konstruera resultanten till två
vektorer med hjälp av GeoGebra. Förhoppningsvis stämmer någon av metoderna överens
med din metod i uppgift 7.
Metod 1: Parallellogrammetoden
• Öppna ett nytt GeoGebra-fönster genom att gå till ”Arkiv” och därefter ”Nytt”.
Använd verktyget ”Vektor mellan två punkter” för att konstruera två vektorer. En
vektor u som har startpunkt i A = (2,1) och slutpunkt i B = (5,2) och en vektor v som
har startpunkt i A = (2,1) och slutpunkt i C = (3,5).
• Konstruera därefter en linje som går genom punkten B och är parallell med vektorn v
med hjälp av verktyget:
• Konstruera på motsvarande sätt en linje som går genom punkten C och är parallell
med vektorn u.
• Konstruera därefter skärningspunkten mellan de båda linjerna med hjälp av verktyget:
• Summan u + v kan nu representeras av den vektor som har startpunkt i punkten A och
slutpunkt i den erhållna skärningspunkten D. Konstruera denna vektor.
• För att göra figuren lite snyggar kan man dölja de båda linjerna. Gör detta genom att
avmarkera de gröna markeringarna som finns framför linjerna (a och b) i
algebrafönstret. Konstruera istället ett segment mellan punkterna B och D och ett
segment mellan punkterna C och D med hjälp av verktyget:
• Att konstruera en parallellogram på detta vis är en metod som ofta används för att
konstruera resultanten till två vektorer. Om man vill snygga till figuren ytterligare kan
man t.ex. välja en annan färg på resultanten (t.ex. röd) och ha de båda segmenten
streckade i en annan färg. Detta kan man enklast göra genom att klicka på den lilla
triangeln uppe till höger i GeoGebra:
Nu visas en ny meny ovanför ritområdet. När man klickar på den vektor eller det
segment man vill ändra utseendet på visas vilka möjligheter som ges i den nya menyn.
Gör de förändringar du tycker är lämpliga för snygga till konstruktionen.
8. Flytta runt punkterna B och C och studera hur hela konstruktionen följer med och hur
resultanten till vektorerna u och v hela tiden visas.
Använd den nya konstruktionen för att ännu en gång kontrollera dina resultat i uppgift 6.
4
Metod 2: Polygonmetoden
• Öppna ett nytt GeoGebra-fönster genom att gå till ”Arkiv” och därefter ”Nytt”.
Använd återigen verktyget ”Vektor mellan två punkter” för att konstruera två vektorer.
En vektor u som har startpunkt i A = (2,1) och slutpunkt i B = (5,2) och en vektor v
som har startpunkt i B = (5,2) och slutpunkt i C = (6,6).
• Vi har alltså gjort en konstruktion där u:s slutpunkt sammanfaller med v:s startpunkt.
Summan u + v kan nu representeras av den vektor som har A (u:s startpunkt) som
startpunkt och C (v:s slutpunkt) som slutpunkt. Konstruera denna vektor och byt gärna
färg på den.
9. Flytta runt punkterna B och C och studera hur u och v samt summan u + v ändras.
Använd den nya konstruktionen för att ännu en gång kontrollera dina resultat i uppgift 6.
• En fördel med polygonmetoden är att den enkelt kan utvidgas om man vill addera fler
än två vektorer.
• Om man vill addera tre vektorer låter man den första vektorns slutpunkt sammanfalla
med den andra vektorns startpunkt och den andra vektorns slutpunkt sammanfalla med
den tredje vektorns startpunkt.
• Summan av de tre vektorerna kan nu representeras av den vektor som har startpunkt i
den första vektorns startpunkt och slutpunkt i den tredje vektorns slutpunkt.
• Öppna ett nytt GeoGebra-fönster och gör en konstruktion för addition av tre vektorer.
Testa hur konstruktionen fungerar.
10. Gissa först och kontrollera därefter med GeoGebra vad u + v + w blir om
1 
 3
1
a) u =   , v =   och w =  
 2
 5
 −1
Gissning: ________ Kontroll:_________
 3 
 − 2
 4
b) u =   , v =   och w =  
 − 2
 5 
 − 3
Gissning: ________ Kontroll:_________
5
DEL 3
MULTIPLIKATION AV EN VEKTOR MED ETT TAL
Vi ska nu använda GeoGebra för att undersöka vad som händer när man multiplicerar en
vektor med ett tal.
• Öppna ett nytt GeoGebra-fönster genom att gå till ”Arkiv” och därefter ”Nytt”.
• Börja med att lägga in en glidare med hjälp av verktyget:
De förinställda värdena för ”Min”, ”Max” och ”Steglängd” kan användas.
• Ställ in glidaren så att a = 2.
• Konstruera en vektor u = (2,3) genom att skriva in detta i ”input-fönstret”.
• Skriv in v = a*u i ”input-fönstret”. Eftersom glidaren a är inställd på 2 fås nu vektorn
v = 2u.
• Byt färg på vektorn v.
11. Dra i glidaren och studera hur vektorn v beror av värdet på a. Testa även negativa
värden på a.
Slutsats:
12. Gissa först och kontrollera därefter med GeoGebra vilken vektor v man får om
a) u = (3,1) och v = 3u
Gissning:
Kontroll:
b) u = (3,1) och v = -2u
Gissning:
Kontroll:
c) u = (-1,4) och v = 3u
Gissning:
Kontroll:
d) u = (-1,4) och v = -2u
Gissning:
Kontroll:
UTMANING:
UPPDELNING AV EN VEKTOR I KOMPOSANTER
Ibland kan man behöva dela upp en given vektor i två vektorer, kallade komposanter,
längs speciella riktningar. Vi ska nu använda GeoGebra för att göra detta.
• Börja med att öppna ett nytt GeoGebra-fönster. Lägg därefter in en vektor med
startpunkt i A = (2,1) och slutpunkt i B = (5,2).
• Rita två strålar som båda startar i punkten A men som har olika riktningar, med hjälp
av verktyget:
• Ändra utseendet på dessa strålar så att de t.ex. blir streckade och får en annan färg (det
kan t.ex. se ut som i figuren på nästa sida).
6
13. Nu gäller det att dela upp vektorn u i två komposanter längs dessa båda riktningar.
Summan av komposanterna ska alltså vara lika med vektorn u. Försök att göra en
konstruktion i GeoGebra som ger de båda komposanterna.
(Ledning: Jämför med metod 1 för addition av vektorer)
Beskriv konstruktionen och illustrera gärna i figuren nedan:
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
7
Informationsblad
Rubrik
Räta linjer
Ämnesinnehåll
• Egenskaper hos räta linjer
• Grafisk och algebraisk representation av räta linjer samt
kopplingen mellan dessa 2 representationsformer
• Beräkning av lutningen hos en rät linje genom 2 punkter
• Bestämning av formeln för en rät linje genom 2 punkter
Kurs
1c
Ämnesplan
Innehåll
• Begreppen funktion, definitions- och värdemängd samt
egenskaper hos linjära funktioner samt potens- och
exponentialfunktioner.
• Representationer av funktioner i form av ord, funktionsuttryck,
tabeller och grafer.
Arbetsform
• använda och beskriva innebörden av räta linjer
• hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan
och med verktyg
• analysera och lösa matematiska problem
• följa och föra matematiska resonemang
• kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i
handling
Klassrumsaktivitet - parvis
Tidsåtgång
1 lektion
Didaktiska
kommentarer
Aktiviteten fungera som introduktion till räta linjens ekvation.
Förmågor att
utveckla
8
RÄTA LINJER
DEL 1
Vi ska nu använda GeoGebra för att studera räta linjer. Börja med att högerklicka i
ritområdet och markera rutnät så att det i ritområdet visas ett koordinatsystem med rutnät.
Räta linjer kan skrivas som funktioner på olika sätt. Vi ska studera räta linjer skrivna på
formen: y = kx + m , där k och m är konstanter som kan anta olika värden. Eftersom vi
vill undersöka hur funktionens utseende påverkas av värdena på dessa konstanter ska vi
lägga in dem som s.k. ”glidare” i GeoGebra.
•
Börja med att lägga in k och m som glidare genom att använda verktyget:
•
•
Ändra ”Namn” på glidarna. Ena glidaren skall heta ”k” och den andra ”m”.
Ändra även ”Min” och ”Max” samt ”Steglängd” som nedan:
Tips: Genom att peka på en glidare och hålla ned höger musknapp, kan glidaren flyttas
omkring på skärmen.
•
Flytta hela koordinatsystemet så att origo hamnar i mitten på skärmen.
Detta görs med hjälp av verktyget: .
•
•
1
Mata in funktionen y = k*x + m i ”Input”-fältet längst ned.
Lägg in formeln, som nu finns i algebrafönstret, i ritområdet genom att markera
formeln och ”dra” den till ritområdet.
Låt m = 0. Undersök vad som händer med den räta linjen då värdet på k ändras.
Studera samtidigt funktionens formel (testa även negativa värden på k).
Resultat:
__________________________________________________________________
Ställ in nytt värde på glidaren m och undersök om ditt resultat ovan fortfarande
verkar gälla.
Resultat:
Vad händer om k = 0?
9
Värdet på k brukar kallas linjens lutning. I GeoGebra finns ett speciellt verktyg för att
mäta och illustrera en linjes lutning:
Testa hur detta verktyg fungerar!
Kontrollera att det värde som anges i algebrafönstret (troligtvis k1) stämmer med värdet
på glidaren k, dvs. k-värdet i y = kx + m.
2
Linjens lutning illustreras alltså i GeoGebra med en speciell triangel. Undersök
hur triangeln är konstruerad (vad är konstant och vad varierar) och på vilket sätt
den illustrerar linjens lutning.
Resultat:
3
a) Låt k =1. Undersök vad som händer med den räta linjen då värdet på m ändras.
Resultat:
b) Värdet på m kan avläsas i koordinatsystemet. Hur?
c) Ställ in nytt värde på glidaren k och undersök om ditt resultat ovan fortfarande
verkar gälla.
Resultat:
10
DEL 2
Öppna ett nytt fönster och lägg in punkterna A = (1,1) och B = (2,4). Rita linjen som går
genom punkterna med följande verktyg:
4
Bestäm formeln för linjen genom att studera grafen.
Resultat:
Jämför ditt resultat med formeln i algebrafönstret.
Tips: Du kan behöva ändra formen på formeln. Detta görs t.ex. genom att högerklicka
på funktionen i algebrafönstret och välja önskad form.
5
Flytta punkten B så att B = (3,5). Bestäm formeln för linjen genom att studera grafen.
Resultat:
Jämför ditt resultat med formeln i algebrafönstret.
6
Flytta punkten B så att B = (-2,4). Bestäm formeln för linjen genom att studera grafen.
Resultat:
Jämför ditt resultat med formeln i algebrafönstret.
7
Flytta punkterna A och B så att följande räta linjer konstrueras.
Ange 2 lösningar per uppgift.
a) y = x + 1
b) y = 2 x + 2
c) y = −2 x − 1
A = _________
B = __________
A = _________
B = __________
A = _________
B = __________
A = _________
B = __________
A = _________
B = __________
A = _________
B = __________
11
8
Bestäm lutningen, dvs k-värdet, för linjerna som går genom punkterna A och B i
följande fall, utan att använda GeoGebra.
Kontrollera därefter ditt resultat med hjälp av GeoGebra .
Punkter på linjen
Linjens lutning (k)
A = (1,1) och B = (2,5)
A = (0,-2) och B = (2,4)
A = (0,-2) och B = (4,4)
A = (0,1) och B = (4,6)
A = (-1,-2) och B = (3,6)
A = (-2,5) och B = (2, 1)
Beskriv hur man kan räkna ut en linjes lutning, dvs k-värdet, då man känner till
två punkter på linjen.
9
Dagens utmaning!
Bestäm formeln för den räta linje som går genom punkterna (-3, -3) och (3,1)
utan att använda GeoGebra.
Resultat:
Kontrollera ditt resultat genom att mata in ditt svar ovan i ”Input”-fältet och
kontrollera att punkterna ovan ligger på linjen.
12
Informationsblad
Rubrik
Andragradsfunktioner
Ämnesinnehåll
DEL 1
• Undersökning av hur parametrarna a, b och c påverkar
utseendet på grafen till f ( x) = ax 2 + bx + c .
•
Grafisk lösning av andragradsekvationer med 0, 1 eller 2
reella rötter.
DEL 2
• Undersökning av hur parametrarna a, b och c påverkar
utseendet på grafen till f ( x) = a ( x + b) 2 + c .
•
Kurs
Ämnesplan
Innehåll
2c (Del 1 kan även användas i 2a och 2b)
•
•
•
•
Förmågor att
utveckla
Undersökning av sambandet mellan parametrarna och
funktionens extrempunkt.
•
•
•
Algebraiska och grafiska metoder för att lösa
andragradsekvationer.
Parabelns ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop
geometriska och algebraiska begrepp.
Egenskaper hos andragradsfunktioner.
Konstruktion av grafer till funktioner samt bestämning av
funktionsvärde och nollställe, med och utan digitala
verktyg.
Hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär
utan och med verktyg.
Följa och föra matematiska resonemang.
Kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt
och i handling.
Arbetsform
Klassrumsaktivitet - parvis
Tidsåtgång
Del 1: 2 x 40 min
Del 2: 1 x 40 min
Didaktiska
kommentarer
Förkunskaper Del 1: algebraisk lösning av andragradsekvationer
Förkunskaper Del 2: kvadratkomplettering
13
ANDRAGRADSFUNKTIONER
DEL 1
Andragradsfunktioner kan alltid skrivas på formen f ( x) = ax 2 + bx + c där a, b och c är
reella tal och a ≠ 0 . I del 1 ska vi studera andragradsfunktioner skrivna på denna form
med hjälp av GeoGebra.
• Börja med att lägga in a, b och c som glidare genom att använda verktyget:
•
Ändra ”Steglängd” till 0.5 för samtliga glidare.
Tips: Genom att peka på glidaren och hålla ned höger musknapp, kan glidaren flyttas
omkring på skärmen.
•
Flytta hela koordinatsystemet så att origo hamnar i mitten på skärmen.
Detta görs med hjälp av verktyget:
.
•
Mata in funktionen, a*x^2 + b*x + c, i ”Input”-fönstret längst ned.
•
Lägg in formeln, som nu finns i algebrafönstret, i ritområdet genom att markera
formeln och ”dra” den till ritområdet.
1. I den första uppgiften ska vi studera hur olika värden på konstanterna påverkar utseendet
på andragradsfunktionens graf.
a) Studera först hur grafen varierar för olika värden på konstanten c.
Ställ in glidare a på 1 och glidare b på 0 och studera hur kurvans utseende varierar
när värdet på glidare c ändras.
Formulera med egna ord hur grafens utseende varierar när värdet på c ändras.
Ställ in nya värden på glidarna a och b och undersök om ditt resultat ovan
fortfarande verkar gälla.
Resultat:____________________________________________________________
Värdet på konstanten c kan avläsas i koordinatsystemet. Hur?
Försök förklara varför värdet på konstanten c kan avläsas på detta sätt.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
14
b) Studera hur grafen varierar för olika värden på konstanten a.
Ställ in både glidare b och c på 0 och studera hur kurvans utseende varierar när
värdet på glidare a ändras.
Formulera med egna ord hur grafens utseende varierar när värdet på a ändras.
Ställ in nya värden på glidarna b och c och undersök om ditt resultat ovan
fortfarande verkar gälla.
Resultat:____________________________________________________________
Vad händer då a = 0?__________________________________________________
c) Studera hur grafen varierar för olika värden på konstanten b.
Ställ in glidare a på 1 och glidare c på 0 och studera hur kurvans utseende varierar
när värdet på glidare b ändras.
Formulera med egna ord hur grafens utseende varierar när värdet på b ändras.
Ställ in nya värden på glidarna a och c och undersök om ditt resultat ovan
fortfarande verkar gälla.
Resultat:____________________________________________________________
2. En andragradsfunktion har antingen en maximipunkt eller en minimipunkt. Undersök
genom att variera värdena på glidarna hur man kan se på funktionens formel om den har
en maximipunkt eller en minimipunkt.
Resultat:
15
3. I denna uppgift ska vi undersöka kopplingen mellan en andragradsekvation och grafen
till motsvarande andragradsfunktion.
a) Lös andragradsekvationen x 2 − 4 x + 3 = 0 algebraiskt (för hand).
Ställ in glidarna så att grafen till funktionen f ( x) = x 2 − 4 x + 3 visas.
Lösningarna till motsvarande andragradsekvation, dvs. x 2 − 4 x + 3 = 0 ,
avläsas i koordinatsystemet. Hur?
kan
Försök förklara varför lösningarna kan avläsas på detta sätt.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
16
b) Lös andragradsekvationen x 2 + 4 x + 4 = 0 algebraiskt (för hand).
Ställ in glidarna så att grafen till funktionen f ( x) = x 2 + 4 x + 4 visas.
Lösningarna till motsvarande andragradsekvation, dvs. x 2 + 4 x + 4 = 0 , kan
avläsas i koordinatsystemet. Hur?
c) Ställ in glidarna så att grafen till funktionen f ( x) = x 2 − 2 x − 3 visas. Använd
grafen för att lösa ekvationen x 2 − 2 x − 3 = 0 .
Resultat:
d) Ställ in glidarna så att grafen till funktionen f ( x) = x 2 − 2 x + 3 visas. Hur kan
man se på grafen att motsvarande ekvation, dvs. x 2 − 2 x + 3 = 0 , saknar reella
lösningar?
17
DEL 2
Andragradsfunktionen f ( x) = x 2 + 4 x + 3 kan, efter omskrivning med hjälp av
kvadratkomplettering, skrivas på formen f ( x) = ( x + 2) 2 − 1 .
Testa gärna att detta stämmer!
Det är alltid möjligt att skriva en andragradsfunktion på kvadratkompletterad form.
Allmänt gäller att en andragradsfunktion kan skrivas på formen f ( x) = a ( x + d ) 2 + e , där
a, d och e är reella tal och a ≠ 0 . Vi ska nu studera andragradsfunktioner skrivna på
denna form med hjälp av GeoGebra.
•
Öppna ett nytt GeoGebra-fönster genom att gå till ”Arkiv” och därefter ”Nytt
fönster”.
•
Lägg in tre glidare a, d och e.
•
Ändra ”Steglängd” till 0.5 för samtliga glidare.
•
Mata in funktionen, a*(x + d)^2 + e, i ”Input”-fönstret längst ned.
•
Lägg in formeln, som nu finns i algebrafönstret, i ritområdet.
4. I denna uppgift ska vi studera hur olika värden på konstanterna påverkar utseendet på
andragradsfunktionens graf.
a) Studera först hur grafen varierar för olika värden på konstanten e.
Formulera med egna ord hur värdet på e påverkar grafens utseende.
Värdet på konstanten e kan avläsas i koordinatsystemet. Hur?
b) Studera hur grafen varierar för olika värden på konstanten a.
Formulera med egna ord hur värdet på a påverkar grafens utseende.
c) Studera hur grafen varierar för olika värden på konstanten d.
Formulera med egna ord hur värdet på d påverkar grafens utseende.
18
5. I denna uppgift ska vi undersöka hur man kan bestämma en andragradsfunktions
extrempunkt (dvs. maximi- eller minimipunkt) genom att studera funktionens formel.
•
Skriv in Extrempunkt[f] i ”Input”-fönstret.
•
För att få punktens koordinater utskrivna, klicka först på triangeln uppe till
höger i GeoGebra:
Markera punkten. Nu visas följande meny ovanför ritområdet:
Klicka här, välj ”Värde”
a) Studera vad det finns för samband mellan extrempunktens koordinater och
värdena på a, d och e. Beskriv detta samband.
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
b) Ange extrempunkternas koordinater (x- och y-värde) genom att endast studera
formlerna till följande andragradsfunktioner. Ange även vilken typ av
extrempunkt det handlar om (maximi- eller minimipunkt).
Testa ditt resultat i GeoGebra!
i) f ( x) = ( x + 3) 2 + 1
_________________________________________
ii) f ( x) = ( x − 4) 2 + 5
_________________________________________
iii) f ( x) = −2( x − 1) 2 − 3
_________________________________________
c) Dagens utmaning: Försök förklara varför extrempunktens koordinater kan
fås på detta sätt (dvs. genom att studera formeln).
19
Informationsblad
Rubrik
Inversa funktioner
Ämnesinnehåll
•
Undersökning av det grafiska sambandet mellan en funktion
och dess invers (spegling i linjen y = x ).
•
Inversa funktionerna till :
- räta linjer
- y = x2 , x ≥ 0
-
•
y = 10 x
Grafisk representation av funktionerna:
- y= x
- y = lg x
Kurs
2c
Ämnesplan
Innehåll
•
•
•
Begreppet logaritm.
Räta linjens ekvation.
Konstruktion av grafer till funktioner med digitala verktyg.
Förmågor att
utveckla
•
Använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp
samt samband mellan begreppen.
Lösa uppgifter av standardkaraktär [räta linjens ekvation]
utan och med verktyg.
Analysera och lösa matematiska problem.
Följa, föra och bedöma matematiska resonemang.
Kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt
och i handling.
•
•
•
•
Arbetsform
Klassrumsaktivitet - parvis
Tidsåtgång
60 min
Didaktiska
kommentarer
Denna aktivitet kan användas som repetition när man jobbat med
logaritmer.
Bra att repetera funktionsbegreppet innan.
20
INVERSA FUNKTIONER
Vi ska nu använda GeoGebra för att studera inversen till några olika funktioner. Börja
med att högerklicka i ritområdet och markera rutnät.
•
•
•
Rita grafen till den räta linjen y = 2 x .
Rita därefter in linjen y = x i samma fönster.
Placera en punkt A på linjen y = 2 x .
Tips: För att få punktens koordinater utskrivna, klicka först på triangeln uppe till höger i
GeoGebra-fönstret:
Markera punkten. Nu visas följande meny ovanför ritområdet:
Klicka här, välj ”Namn och Värde”.
•
Spegla punkten A i linjen y = x med hjälp av GeoGebras inbyggda
speglingsverktyg:
Detta ger speglingspunkten A’.
1.
Jämför de båda punkternas x- och y-koordinater. Flytta punkten A och undersök
om det finns något samband som alltid verkar gälla.
Resultat:__________________________________________________________
•
2.
Högerklicka på punkten A’, markera ”spår på” och dra i punkten A.
Det spår som punkten A’ lämnar efter sig är grafen till den så kallade inversa
funktionen till y = 2 x . Försök att avgöra formeln för denna funktion.
Resultat:__________________________________________________________
Kontrollera ditt svar ovan genom att mata in din formel i ”Input”-fönstret och se
om grafen sammanfaller med spåret.
Resultat:__________________________________________________________
21
•
Radera spåret med hjälp av ”Ctrl + F”.
•
Radera den inversa funktionen.
•
1
x (genom att dubbelklicka på den i
3
algebrafönstret och ändra formeln).
Ändra funktionen y = 2 x till y =
1
x ser ut genom att undersöka
3
spåret av den speglade punkten A’. Försök att avgöra formeln för denna funktion.
Undersök hur den inversa funktionen till y =
3.
Resultat:__________________________________________________________
Kontrollera ditt svar ovan genom att mata in din formel i ”Input”-fönstret.
Resultat:__________________________________________________________
4.
•
Radera spåret och den inversa funktionen.
•
Ändra funktionen till y = x 2 .
Undersök hur den inversa funktionen till y = x 2 ser ut. Nu uppstår det dock ett
problem, vilket? (Tips: Använd definitionen av funktion)
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Funktionen y = x 2 är inte inverterbar om vi inte begränsar definitionsmängden
för funktionen. Om vi definierar funktionen endast för x ≥ 0, så är den inverterbar.
Försök bestämma formeln för den inversa funktionen.
Resultat:__________________________________________________________
Kontrollera ditt svar ovan genom att mata in din formel i ”Input”-fönstret.
Tips: Genom att klicka på triangeln längst ned i högra hörnet i GeoGebra-fönstret :
och därefter på ”Matematiska funktioner”, fås snabb-kommandon för flera
funktioner. Välj önskat kommando och dubbelklicka!
Resultat:__________________________________________________________
22
,
5.
•
Radera spåret och den inversa funktionen.
•
Ändra funktionen till y = 10 x .
Undersök hur den inversa funktionen till y = 10 x ser ut. Försök bestämma
formeln för den inversa funktionen.
Resultat:__________________________________________________________
Kontrollera ditt svar ovan genom att mata in din formel i ”Input”-fönstret.
Resultat:__________________________________________________________
23