Linnéuniversitetet
Matematik
Hans Frisk
Uppgifter vecka 41, 2016, Geometeri, 1MA113, 7,5 hp
1. Konstruera, t.ex. med GeoGebra, en triangel i Poincarés övre halvplan (PÖH) med vinklarna α = π/4, β = π/4, γ = π/4. I nödfall så kan en av vinklarna ligga mellan 44 till 46
grader. Vinklarna är alltså vinklarna mellan tangenterna till cirklarna. Observera att om
två punkter ligger på en vertikal linje, vinkelrät mot x-axeln, så är den unika linjen mellan
punkterna just det vertikala linjesegmentet.
2. Givet linjen, m, mellan (− √12 , √12 ) och ( √12 , √12 ) i PÖH och en punkt A = (0, 2). Finn
parallellvinkeln α. Se sidan 4 i mina anteckningar. Använd koordinater och cirkelns ekvation
för att finna vinkeln. Alternativt använd Geogebra. Det är alltså linjen y = 0 som svarar
mot ∞.
3. De två avslutande uppgifterna handlar om den modell av HG som kallas Poincarés cirkel
(PC). Se länken: How to create lines in Poincaré’s disc and do tilings på webbsidan. Här
behöver man bara tänka på cirklar, inte HG, om man nu känner för det!
Lär dig att invertera en punkt i en cirkel (konstruktion 1.2). Vilket samband råder mellan
OA, OB och cirkelns radie r? Kontrollera att konstruktion 1.3 fungerar, alltså att om man
har två ortogonala cirklar med punkten A på C 0 så får man den inverterade punkten B
genom att finna den andra skärningen mellan OA och C 0 .
4. Givet två punkter A och B i PC, finn den hyperboliska linjen genom de två punkterna
(konstruktion 2.1). Förklara din konstrunktion!
