Begrepp :: Linjär ekvation

c Mikael Forsberg 2008
1
Begrepp :: Linjär ekvation
Att känna igen en linjär ekvation ::
En linjär ekvation1 kan skrivas
ax = b
a1 x1 + a2 x2 = b
a1 x1 + · · · + an xn = b
linjär ekvation i en variabel
linjär ekvation i två variabler
linjär ekvation i n variabler
Det är lätt att känna igen en linjär ekvation eftersom variablerna förekommer ensamma (inte
kvadrerade eller liknande) och att de är multiplicerade med konstanter.
Exempel 1 :: 3x2 − 4y = 0 är inte linjär
eftersom första variabeln x är kvadrerad (x2 är inte en
√
√
linjär funktion). Eftersom sin x och x heller inte är linjära så är ekvationen a sin x + b y = 1
inte linjär. 3xy = 0 är inte heller linjär eftersom produkten xy inte är linjär funktion i variablerna
x och y. Linjära ekvationer är i denna mening enkla typer av ekvationer men trots det så ger de
upphov till en rik och användbar teori.
Exempel 2 :: Uttrycket för den räta linjen y = kx + l är en linjär ekvation i de två variablerna
x och y eftersom den kan skrivas på formen −kx + y = l. Det första uttrycket för denna rät
linje kan inte generaliseras så att den kan beskriva lodräta linjer (som ges av ekationer av typen
x = d.) Genom att tolka det andra utrycket som en linjär ekvation så har det den allmänna linjära
ekvationen som en naturlig generalisering, dvs till ax + by = c, och har kapacitet att beskriva alla
räta linjer i planet. Det betyder att linjära ekvationer av två variabler alltid kan tolkas geometriskt
som räta linjer i planet.
Exempel 3 :: −x + 2y + 5z = 1 är en linjär ekvation i tre variabler x, y och z.
Linjärt ekvationssystem:: ett antal linjära ekvationer som tillsammans ska uppfyllas.
Lösning :: En lösning till ett linjärt ekvationssystem är värden på variablerna som uppfyller
alla systemets ekvationer.
Exempel 4:: Betrakta följande ekvationssystem:
2x + 3y
x + 5y
= −3
= 2
Man kan kontrollera att x = −3, y = 1 är en lösning till systemet genom att sätta in dessa värden
i båda ekvationernas vänstra led och verifiera att man får samma sak som det som står i höger
led.
1 Det hela bygger på begreppet linjär funktion och för våra linjära ekvationer på detta blad gäller att vänster led
ska vara en linjär funktion av variablerna. T.ex. f (x) = ax är linjär funktion eftersom
f (sx1 + tx2 ) = a(sx1 + tx2 ) = sax1 + tax2 = sf (x1 ) + tf (x2 )
c Mikael Forsberg 2008
2
Uppgift 2 :: Lös följande ekvationssystem:
x − 3y
2x + 3y
= 5
= 1
x + 2y
2x + 3y
= −2
= 7
x − 2y
−x + 4y
= 1
= −2
3x − y
2x − 3y
= 0
= 1
x + 3y
5x + 15y
=
=
2x + y
6x + 3y
= 1
= 0
1
5
• Hur löste ni dessa uppgifter?
• Kan ni använda lösningsmetoden för att lösa ett annat system av denna typ?
• Kan ni generalisera metoden till ett system med tre ekvationer i tre obekanta?