1. Linjära ekvationssystem

1
1.
Linjära ekvationssystem
Exempel 1.1. Vi vill bestämma alla tal x, y och z som uppfyller det linjära ekvationssystemet (1)–(3):

= 1
(1)
 x + y
x + 2y + 3z = 1
(2)

3x + 2y − z = 1
(3)
Vi eliminerar x ur ekvationerna (2) och (3) genom att multiplicera ekvation (1) med (−1)
och addera till ekvation (2) samt multiplicera ekvation (1) med (−3) och addera till ekvation
(3):

=
1
(4)
 x + y
y + 3z =
0
(5)

− y − z = −2
(6)
Observera att det nya systemet (4)–(6) har precis samma lösningar som det ursprungliga
systemet (1)–(3).
Därefter elimineras y ur ekvation (6) genom att addera ekvation (5) till ekvation (6):

=
1
(7)
 x + y
y + 3z =
0
(8)

2z = −2
(9)
Ekvation (9) ger att z = −1. Detta insatt i (8) ger att y − 3 = 0, dvs y = 3. Till sist ger
(7) att x + 3 = 1, dvs x = −2. Den entydiga bestämda lösningen till systemet (1)–(3)
är alltså x = −2, y = 3 och z = −1. Kontrollera alltid svaret!
Metoden ovan kallas för Gausselimination.
Lägg märke till att det enda som ändras när vi eliminerar de obekanta x, y och z är koefficienterna i systemet. Det räcker därför att hålla reda på dessa. Med detta som bakgrund
inför vi en praktisk notation för lösning av linjära ekvationssystem.
2
1
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Exempel 1.2. Vi struntar i att skriva ut de obekanta x, y och z och skriver istället systemet
på matrisform:


1 1 0 1
 1 2 3 1 .
3 2 −1 1
Lösning:
3

 2x + 3y + z = 0
Exempel 1.3. Lös det homogena systemet
x − y + 3z = 0

2x − 2y + 6z = 0
Lösning:
4
1
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

 x + 2y + 3z = 2
Exempel 1.4. Lös systemet
x − y + 3z = 1

3x + 6y + 9z = 2
Lösning:
5
Sats 1.5. Ett linjärt ekvationssystem har antingen
1. entydig lösning (precis en lösning)
2. oändligt många lösningar eller
3. ingen lösning alls
I exemplen ovan har vi haft lika många obekanta som ekvationer, men satsen gäller alla
typer av ekvationssystem.
Exempel 1.6. Lös systemet
Lösning:
x1 + x2 + x3 − x4 = 0
x1 + 2x2
+ x4 = 0
6
1
Exempel 1.7. Bestäm för varje
temet

 x
x

−x
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
värde på konstanten a antalet lösningar till ekvationssys+
3y + z = 4
+ (a + 2)y + 4z = 13
−
3y + az = 2
samt lös systemet i det eventuella fall då det finns oändligt många lösningar.
Lösning: Vi arbetar på matrisform
2 samt adderar rad 1 till rad 3:

1
3
1
 1 a+2 4
−1 −3 a
och multiplicerar rad 1 med (−1) och adderar till rad



4
4
1
3
1
3
13  ⇔  0 a − 1
9 .
0
0
a+1 6
2


1 3 1 4
För a = −1 fås systemet  0 −2 3 9  som tydligen saknar lösning.
0 0 0 6
Fallet a = 1 ger att:






1 3 1 4
1 3 1 4
1 3 1 4
 0 0 3 9  ⇔  0 0 1 3  ⇔  0 0 1 3 .
0 0 2 6
0 0 1 3
0 0 0 0
Detta har lösningen
x + 3y + z = 4
z = 3
⇔

 x = 1 − 3t
y =
t

z = 3,
t ∈ R.
Svar: För a 6= ±1 har systemet entydig lösning för varje fixt a (kontrollera detta!). För
a = −1 saknas lösning och för a = 1 är lösningen (x, y, z) = (1, 0, 3) + t(−3, 1, 0), där t ∈ R.
7
2.
2.1.
Vektorgeometri
Vektorbegreppet
−→
En riktad sträcka P Q, är ett linjestycke mellan två punkter P och Q i planet eller rummet,
där vi valt P som startpunkt och Q som slutpunkt för linjestycket.
−→
En nollsträcka är en riktad sträcka P P , där start och slutpunkt sammanfaller.
−→
Figur 2.1. Riktningen för P Q anges med en pil.
Q
PQ
P
En vektor är en mängd som består av alla riktade sträckor som är lika långa och som har
samma riktning. Varje riktad sträcka, som tillhör en viss vektor, kallas en representant
för vektorn.
Figur 2.2. Några representanter för en vektor.
8
2
VEKTORGEOMETRI
−→
−→
Ibland betecknar vi något oegentligt den vektor som representeras av P Q med just P Q.
→
Nollvektorn, betecknad O , är mängden av alla nollsträckor.
Origo, betecknad O, är en fix punkt i planet eller rummet.
En Ortsvektor hör till varje punkt P . Den startar i origo och slutar i punkten P och
−→
representeras av OP :
Figur 2.3.
P
R
Q
O
−→
Eftersom vektorn QR inte startar i origo, är den inte heller en ortsvektor för punkten R.
→
→
→
Längden, | v |, av en vektor v definieras som längden av en representant för v och rikt→
→
ningen för en vektor v definieras för en representant för v .
Anmärkning 2.4. Vi kommer också att använda beteckningarna v respektive v̄ för en
→
vektor v .
2.2
2.2.
Agebraiska operationer på vektorer
9
Agebraiska operationer på vektorer
Exempel 2.5. (Multiplikation med tal) Låt λ 6= 0 vara ett reellt tal och v 6= 0 en
vektor. Produkten av v med λ är den vektor λv som är |λ| gånger så lång som v och är
lika riktad som v om λ > 0 och motsatt riktad om λ < 0. Vi definierar 0v = 0 och λ0 = 0.
Figur 2.6.
2v
−v
v
−→
−→
Exempel 2.7. Låt u och v vara två vektorer som representeras av P Q respektive QR. Vi
−→
definierar då summan av u och v som den vektor u + v som representeras av P R:
Figur 2.8.
R
u + v = PQ
v
P
u
Q
Exempel 2.9. Vi visar den kommutativa lagen u + v = v + u.
Lösning:
u
u+v
v
v
u+v
v
u
u
Observera att definitionen är oberoende av valet av representanterna för u och v och att
u + v är diagonalen i den parallellogram som spänns upp av u och v.
10
2
−→
VEKTORGEOMETRI
−→
Exempel 2.10. (Differens) Låt P Q och P R vara representanter för u och v. Differensen
−→
u − v är då den vektor som representeras av RQ.
Figur 2.11.
R
u − v = RQ
v
P
Q
u
Exempel 2.12. Vi visar den kommutativa lagen u − v = −v + u.
Lösning:
v
v
u−v
u
u
−v
−v+u
−v
u
Tillsammans innebär räknelagarna för vektorer att mängderna av vektorer i planet och
rummet är vektorrum eller linjära rum.
2.2
Agebraiska operationer på vektorer
11
−→
−→
Exempel 2.13. En sträckas ändpunkter P och Q har ortsvektorerna u =OP och v =OQ
med avseende på en punkt O. Visa att sträckans mittpunkt M har ortsvektorn
−→
1
OM = (u + v).
2
Lösning:
12
2.3.
2
VEKTORGEOMETRI
ON-baser och koordinater
a) Plana fallet
Låt e1 och e2 vara två vinkelräta vektorer av längd 1, dvs |e1 | = |e2 | = 1, i planet och låt
u vara en godtycklig vektor. Om θ är vinkeln mellan u och e1 , gäller då att
u = |u| cos θ e1 + |u| sin θ e2 .
Figur 2.14.
y = |u| sinθ
e2
θ
e1
x = |u| cosθ
Linjärkombination:
Om vi sätter
x = |u| cos θ
och
y = |u| sin θ,
har vi alltså att u kan skrivas som en linjärkombination av e1 och e2 , dvs
u = xe1 + ye2 .
(2.2)
Koordinater:
Talen x och y kallas koordinaterna för u medan vektorerna xe1 och ye2 kallas u:s komposanter.
Eftersom vi med hjälp av e1 och e2 enligt (2.2) kan uttrycka vilken godtycklig vektor u som
helst säger vi att e1 och e2 spänner upp det plan de ligger i.
Av (2.2) följer också att vi inte behöver fler vektorer än e1 och e2 för att spänna upp ett
plan. Å andra sidan kan vi inte spänna upp ett plan med hjälp av enbart en enda vektor
säg e1 , ty vi har exempelvis att e1 och e2 är vinkelräta och därmed kan inte e2 skrivas som
en linjär kombination av e1 .
2.3
ON-baser och koordinater
13
Ortonormerad-bas:
Vektorerna e1 och e2 kallas en ortonormerad bas, ON-bas, för planet och brukar betecknas {e1 , e2 }. När missförstånd inte råder om att vi använder ON-basen {e1 , e2 }, kan vektorn
x
u = xe1 + ye2 skrivas kortare u = e
.
y
Sats 2.15. Låt u = x1 e1 + y1 e2 , dvs u = e
x2
e
. Då gäller följande räknelagar:
y2
x1
y1
och v = x2 e1 + y2 e2 , dvs v =
1. u + v = (x1 + x2 )e1 + (y1 + y2 )e2 , dvs u + v = e
2. λu = λx1 e1 + λy1 e2 , dvs λu = e
λx1
λy1
x1 + x2
y1 + y 2
, där λ ∈ R.
Rätvinkligt koordinatsystem:
Ett rätvinkligt koordinatsystem i planet består av en fix punkt O, kallad origo, och en
ON-bas {e1 , e2 }. Linjerna genom O, parallella med {e1 , e2 }, kallas koordinataxlar.
−→
x
Låt P vara en punkt i planet. Om ortsvektorn för punkten P ges av OP =
, skriver
y
vi P = (x, y).
P=(x,y)
e2
OP
O
e1
14
2
VEKTORGEOMETRI
Längd:
x
är given i en ON-bas {e1 , e2 }. Enligt Pythagoras sats gäller då att
y
längden av vektorn u, |u|, ges av
p
|u| = x2 + y 2 .
Antag att u =
Låt P1 = (x1 , y1 ) och P2 = (x2 , y2 ) vara två punkter. Då är
−→
−→
−→
x1
x 2 − x1
x2
−
=
.
P1 P2 =OP2 − OP1 =
y2
y1
y2 − y 1
Avstånd:
Avståndet mellan punkterna P1 och P2 ges då av
−→
| P1 P2 | =
p
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
P =(x ,y )
1
1 1
P P
e
1 2
2
OP1
P2=(x2,y2)
OP2
O
e1
(2.3)
2.3
ON-baser och koordinater
15
Exempel 2.16. Låt
Oe
1 e2 vara ett koordinatsystem
förplanet och låt vektoktorerna
1
−4
u = e1 + 2e2 = e
och v = −4e1 − 3e2 = e
. Då är
2
−3
2u + v = 2e
1
2
+e
−4
−3
=e
2
4
+e
−4
−3
=e
−2
1
och
−3u − v = −3e
1
2
−e
−4
−3
=e
−3
−6
−e
−4
−3
=e
Figur 2.17.
y
2u+v
u
x
−3u−v
v
1
−3
16
2
VEKTORGEOMETRI
b) Rymdfallet
Låt e1 , e2 och e3 vara tre vektorer som har längd 1, dvs |e1 | = |e2 | = |e3 | = 1, och är
vinkelräta mot varandra. Vi kallar dessa för en ON-bas i rummet.
Från vektorn u:s spets i punkten Q dras en med e3 parallell linje. Denna linje skär planet
genom e1 och e2 i punkten P . Vi får att u ges entydigt av
−→
−→
−→
u =OP + P Q=OP +ze3 .
Eftersom P är en punkt i planet och e1 och e2 är en bas för detta plan, så är P en
linjärkombination av e1 och e2 , dvs att det finns reella tal x och y, så att
−→
OP = xe1 + ye2 .
Vi får att x, y och z entydigt ges av

u = xe1 + ye2 + ze3 ,
eller

x
u = e y .
z
Motsvarigheten till (2.2) och (2.3) i rummet är att längden, |u|, av vektorn u ges av
p
|u| = x2 + y 2 + z 2 ,
samt att avståndet mellan P1 = (x1 , y1 , z1 ) och P2 = (x2 , y2 , z2 ) ges av
−→
| P1 P2 | =
p
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
Figur 2.18.
e3
u = xe1 + ye2 + ze3
ze3
Q
u
ye2
O
e2
xe1
P
e1
2.3
ON-baser och koordinater
17
Exempel 2.19. Låt Oe1 e2 vara ett rättvinkligt koordinatsystem.
1. Bestäm ortsvektorn till punkten P = (3, 2).
−→
2. Ange den koordinaterna för punkten Q som har ortsvektorn OQ= e
3. Bestäm den vektor som startar i P och slutar i Q.
4. Bestäm avståndet mellan punkterna P och Q.
Lösning:
Figur 2.20.
−1
3
.
18
Exempel 2.21. Vektorn u =
2
2
3
VEKTORGEOMETRI
är given i en ON-bas. Bestäm en enhetsvektor med
samma riktning u.
Lösning: Vi söker en vektor û som är parallell med u och har längd 1, dvs vi söker ett tal
λ, så att
û = λu och |û| = 1.
Vi väljer λ > 0 så att vektorerna pekar åt samma håll. Nu är längden
p
√
|u| = 22 + 32 = 13.
Då har vi att
√
1
1 = |û| = |λ||u| = |λu| = λ 13 ⇒ λ = √ .
13
1
2
Alltså är û = √
.
13 3
Figur 2.22.
y
u
û
x
2.3
ON-baser och koordinater
19
Exempel 2.23. Låt Oe1 e2 vara ett ON-system för planet och betrakta vektorerna
3
1
−2
u=
,
v=
w=
.
1
3
2
1. Bestäm längden av u, v och w.
2. Är u, v och w efter parallellförflyttning kantvektorer i en triangel?
Lösning: Längden av vektorerna är
och
|w| =
|u| =
p
|v| =
p
√
12 + 32 = 10,
32 + 1 2 =
√
10,
p
√
√
(−2)2 + (2)2 = 8 = 2 2.
Vektorerna u, v och w är kantvektorer i en triangel, ty v − u = w.
Figur 2.24.
v
w
w
u
20
2
VEKTORGEOMETRI
Exempel 2.25. Låt Oe1 e2 vara ett ON-system för planet och antag att vektorn u har
5π
π
längd 3 samt bildar vinkeln
med e1 och vinkeln
med e2 . Bestäm koordinaterna för
6
3
vektorn u i basen e.
Lösning: Vi vet att talen x och y kallas för koordinater för vektorn u om
u = xe1 + ye2 .
Vi har att
√
5π
π
3 3
x = |u| cos θ = 3 cos
= −3 cos = −
,
6
6
2
och
y = |u| sin θ = 3 sin
Alltså har vi att
5π
π
3
= 3 cos = .
6
6
2
√
√
3 3
3
−3 3/2
u=−
.
e 1 + e2 = e
3/2
2
2
Figur 2.26.
u
y
π/6
x
π/3
e2
5π/6
e
1
2.3
ON-baser och koordinater
21
Exempel 2.27. Punkten C delar sträckan AB i förhållandet 1 : 2. Visa att
−→
OC=
2 −→ 1 −→
OA + OB .
3
3
Ange koordinaterna för punkten C om punkterna A = (−2, 2) och B = (4, 1).
Lösning: Med hjälp av ortsvektorerna får vi
−→
−→
−→
−→
−→
OA + AB − OB= O ,
och att
−→
−→
−→
−→
AB=OB − OA,
dvs
OC=OA + AC .
−→
−→
OA + AC − OC= O ,
−→
dvs
−→
−→
Uttnyttjar vi förutsättnigarna i uppgiften där
−→
AC=
1 −→
AB,
3
så får vi
−→ −→
−→ −→ −→
−→
1 −→ −→ 1 −→
2 −→ 1 −→
OC=OA + AC=OC=OA + AB=OA + (OB − OA) = OA + OB .
3
3
3
3
Om A = (−2, 2) och B = (4, 1) så gäller att
−→
2 −→ 1 −→ 2 −2
1 4
2
OC= OA + OB=
+
=
.
2
2
3
3
3
3 1
Koordinaterna för punkten C kan vi nu utläsa från ortsvektorn, så att C = (2, 2).
Figur 2.28.
A
C
B
OC
OA
OB
O
22
2
VEKTORGEOMETRI
Exempel 2.29. Ligger punkterna P = (1, 2, 3), Q = (2, 5, 7) och R = (3, 6, 10) på en rät
linje?
Lösning: