Lärande och samhälle
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
15 högskolepoäng på avancerad nivå
Perspektivet på problemlösning
i matematik enligt den aktuella
läroplanen Lgr 11
Perspectives on mathematical problem solving
in the current curriculum Lgr11
Saleha Ahmadi
Lärarexamen 210 hp
Examinator: Peter Bengtsson/
Matematik och lärande
Agneta Rehn
Datum: 2013-06-05
Handledare: Troels Lange
1
2
Förord
Som förord vill jag framhålla ett varmt tack till personerna som bidragit till hjälp och
stöd för denna studie.
Först och främst vill jag rikta ett varmt och hjärtligt tack till Lena Andersson och
Margareta Bynke och övriga matematikpedagoger vid Malmö högskola, lärande och
samhälle för en väl bemötande, stöd och uppmuntran under hela min utbildningsgång.
Det var era stöd som gjorde att jag fick möjlighet att undersöka ett ämne som alltid har
varit intressant.
Ett särskilt stort tack till min handledare Troels Lange för hans inspirerande handledning, som aldrig förtröttas att ge mig idéer och vägledning och alltid har hittat nya utgångspunkter, då det uppstått problem.
Högskolslektor Eva Reisbeck har haft vänligheten att ge mig värdefulla idéer om
uppsatsens titel.
Slutligen, tack min underbara familj för ert oerhörda stöd och tålamod genom hela
den här processen. Utan er hjälp hade jag inte kunnat genomföra min undersökning.
Ett stort tack till er alla!
3
4
Sammanfattning
Studiens ursprungliga och övergripande syfte var att ge uppslag till diskussion rörande
förändringar och utvecklingar av undervisning i matematik i problemlösning. Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, (2000) redovisade i sin analys hur problemlösning beskrevs i olika officiella dokument så som läroplaner. Wyndhamn et al. valde att beskriva
resultaten av sina analyser i termer av tre prepositioner som alla hade använts i samband
med problemlösning – för, om och genom. Syftet med min studie var att undersöka
dessa förändringar och utvecklingar och ta reda på i vilket perspektiv problemlösning
hade framställts i den aktuella läroplanen Lgr 11 jämfört med de tidigare läroplanerna
från Lgr 69 (Skolöverstyrelsen, 1969), Lgr, 80 (Skolöverstyrelse, 1980) och Lpo 94
(utbildningsdepartementet, 1994).
Studien genomfördes som en textanalys av styrdokument. Resultatet framställde att
perspektivet på problemlösning enligt Skolverket (Lgr 11) var byggd på den sociokulturella teorin, där lärarens roll beskrevs som en mediator och organisatör. Lärarens roll
förändrades från att överföra, förmedla, handleda information och regler till att organisera och vara resurs för medierade lärandeerfarenheter. Elevens lärande beskrevs som
aktivt medierad lärande. Eleven i sin lärande var självgående och självstyrande och sågs
som en skapare, en kreatör och framförallt som en frambringare. Alltså kan problemlösning sägas vara framställd i ett nytt perspektiv och förklaras med en ny preposition. Enligt min analys av Lgr 11 skall läraren undervisa i problemlösning i matematik.
Studiens slutsatser framhävde att det traditionella för perspektivet i problemlösning
skulle förändras, om perspektivet skulle byggas vidare och genom perspektivet skulle
granskas och utvecklas inför nästa kommande läroplan.
Nyckelord: Elevens lärande, Karaktären hos skolmatematikens uppgifter, Lärarens roll,
Läroplan
5
6
Innehåll
1.
Inledning ................................................................................................................... 9
1.1 Bakgrund ................................................................................................................ 9
1.2 Studiens syfte........................................................................................................ 11
1.3 Frågeställning ....................................................................................................... 11
2.
Teoretisk inramning................................................................................................ 12
2.1 Några teoretiska perspektiv på lärande ................................................................. 12
2.2 Behaviorism .......................................................................................................... 12
2.3 Svag-konstruktivism (kognitivism) ...................................................................... 14
2.4 Social konstruktivism ........................................................................................... 15
2.5 Teoretiskt perspektiv på lärande enligt Lgr 11 ..................................................... 16
2.5.1 Sociokulturellt perspektiv .............................................................................. 16
2.5.2 Kommunikation ............................................................................................. 17
2. 5. 3 Medierande artefakter .................................................................................. 18
2.5.4 Lärarens roll i klassrumskommunikation ...................................................... 18
2.5.5 Teorin om medierade lärandeerfarenheter (MLE)......................................... 19
2.6 En sammanfattande översiktlig jämförelse av lärande- teorier ............................ 19
2.7 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter ........................................................ 20
2.7.1 En historisk genomgång av begreppet problemlösning................................. 20
2.7.2. Karaktären hos skolmatematikens uppgift i för perspektivet ....................... 21
2.7.3 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter i om perspektivet..................... 22
2.7.4 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter i genom perspektivet ............... 22
2.8 Sammanfattning .................................................................................................... 24
3. Val och motivering av metod ..................................................................................... 26
3.1 Datainsamling ....................................................................................................... 27
3.2 Beskrivning av undersökningsförfarande ............................................................. 27
3.3 Etiska överväganden ............................................................................................. 28
3.3.1 Studiens tillförlitlighet ................................................................................... 29
4. Analys och teoretisk tolkning (utifrån Lgr11) ............................................................ 30
4.1 Struktur i den nu rådande läroplanen .................................................................... 30
4.1.2 Förmågor ....................................................................................................... 31
4.1.3 Problemlösningsförmåga ............................................................................... 31
7
4.2 Lärarens roll enligt Lgr 11 .................................................................................... 34
4.2.1 Kommunikationsförmåga .............................................................................. 35
4.3 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter enligt Lgr 11 .................................. 36
5. Diskussion .................................................................................................................. 39
5.1 Koppling till frågeställning och resultat ............................................................... 39
5.2 Slutsats .................................................................................................................. 41
5.3 Förslag till fortsatt forskning ................................................................................ 44
6. Referenser ................................................................................................................... 45
8
1.
Inledning
I detta kapitel beskriver jag hur intresset för mitt ämnesval växt fram. Därefter beskrivs
syfte och frågeställning och argumentation till varför denna forskningsfråga anses vara
viktigt i lärarprofessionen. I anslutningen till bakgrunden ges en kort genomgång av det
som ligger utanför studiens fokus.
1.1. Bakgrund
Att säga att skolan – liksom för övrigt all utbildning i dagsläget – befinner sig i en tydlig
förändringsfas är egentligen inte något nytt. För att diskussionen om olika omställningar
ska bli meningsfull är det av största betydelse att olika utvecklingstendenser synliggörs,
och studera hur de beskrivs och sedan värderas (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz,
2000). Som blivande lärare i matematik för grundskolans tidigare år är jag en av de som
är intresserad och vill gärna framhålla dessa omställningar i min studie. Avsikten är att
beskriva och synliggöra förändringar och utvecklingar i området problemlösning i matematik och genom det utveckla och reflektera en bättre förståelse av och medvetenhet
om matematikundervisning. En förståelseinriktad matematikundervisning blir intressantare för både eleverna och läraren och bidrar i sin tur till att förbereda eleverna för
kommande studier och livet utanför skolan vilket är ett av de övergripande syftena med
problemlösning enligt samtliga läroplaner (Engström, Engvall & Samuelsson, 2007). Ett
vidare syfte med studien är den oron som vuxit fram under min verksamhetsförlagda tid
för elevernas bristande förmåga att lösa problem.
Problemlösningens roll förändras i våra kursplaner för grundskolan under senare
hälften av 1900-talet. Wyndhamn et al. (2000) beskriver dessa förändringar genom att
använda sig av prepositionerna för, om och genom. Författaren har placerat in vad
grundskolans olika läroplaner huvudsakligen ser som problemlösning. I läroplanen för
grundskolan Lgr 69 (Skolöverstyrelsen, 1969) och tidigare läroplaner sågs problemlösning som målet för övrigt lärande. I nästa läroplan för grundskolan, från 1980, Lgr 80,
(Skolöverstyrelsen, 1980) blev problemlösning ett eget huvudmoment. Läraren skulle
undervisa om problemlösning och målet var att eleverna på egen hand sedan skulle klara
av att hitta en lämplig lösningsstrategi till de uppgifterna som ställs i matematikundervisningen. I Läroplan för det obligatoriska skolväsendet Lpo 94 (utbildningsdepartementet, 1994)) ser man på problemlösning mer som ett medel att få eleverna att tänka
9
matematiskt och därigenom utveckla sina kunskaper i ämnet. Lärarna ska undervisa i
matematik genom problemlösningen (Wyndhamn et al., 2000). Den nuvarande kursplanen Lgr 11 har formulerat kunskapsområdet problemlösning på följande sätt:
Genom undervisning i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik
samt värdera valda strategier och metoder, (Skolverket, 2011a, s. 62).
Vi ser utifrån citatet att det nuvarande läroplanen lyfter fram arbetet med problemlösning som en väsentlig, kreativ och reflekterande aktivitet. En läroplan och tillhörande
kursplan är tidsdokument och återspeglar vissa teorier även om det är svårt att i läroplanerna finna några tydliga konkretiseringar av och motiveringar för dem (Wyndhamnet
et al., 2000). Som jag kommer att redovisa i denna studie är Lgr 11 i stort sätt byggd på
sociokulturella idéer, med tanke på ett kommunikativt drag.
I kommentarer till gällande kursplan i matematik står det att viktiga utgångspunkter
för förändringar i kursplanen som Third international Mathematics and Science study
(TIMSS) och Programme for International student Assessment (PISA) har rapporterat
att undervisningen i matematik i stort sätt präglas av enskild räkning, vilket får till följd
att eleverna i undervisningen har begränsade möjligheter att utveckla förmåga att lösa
problem. Det innebär också att eleverna sällan har fått möjligheter att använda matematik i vardagen och inom olika ämnesområden. Mot bakgrund av detta är ambitionen med
nya kursplanen att betona vikten av att eleverna ges möjlighet att använda matematik i
olika sammanhang, utveckla förmåga att lösa problem, använda logiska resonemang
samt att kommunicera matematik med hjälp av olika uttrycksformer (Skolverket,
2011b)”. Vidare rapporterar Skolverket att internationella studier visar att Svenska elever behärskar de enkla och rutinartade uppgifterna medan uppgifter som efterfrågar analys och problemlösning framstår som problematiska (Skolverket, 2006). Vi ser att min
påstående angående elevernas bristande förmåga i problemlösning kommer också överens med de nationella och internationella utvärderingarna gällande elevernas förmåga
att lösa matematiska problem.
Utifrån de ovanstående rapporteringarna anser jag att problemlösning är en viktig
forskningsfråga i lärarprofessionen. Problemlösning är inte bara yrkesmässigt relevant
utan också vetenskapligt. Den vetenskapliga relevansen är att genom att lösa problem
kan man utveckla tankar, idéer, självtroende, analysförmåga, kreativitet och tålamod.
10
Man lär sig att planera, upptäcka, samband förfina det logiska tänkandet och skaffa sig
beredskap att klara situationer i livet (Ahlström et al., 2009).
Historisk har utveckling för våra kursplaner gått från att räkna till att lära genom problemlösning. I mycket grova drags ses den problemlösande eleven som härmare i för
perspektivet, som informationsbehandlare i om perspektivet och som tänkare i genom
perspektivet (Wyndhamn et al., 2000). Hur ses den problemlösande eleven enligt den
nya läroplanen? Hur ses lärarens roll och karaktären hos skolmatematikens uppgifter
enligt den aktuella läroplanen Lgr 11? Det är dessa frågor som denna studie lyfter fram
och söker kunskap genom.
Eftersom området problemlösning är mycket vidsträckt begränsas det till att omfatta
problemlösning i ämnet matematik och enbart gällande grundskolans tidigare år. Studien diskuterar bara läroplaner från (1969, 1980, 1994 och 2011). För att underlaget inte
blir för stor studeras och sedan analyseras varje perspektiv utifrån följande punkter:
Karaktären hos skolmatematikens uppgifter
Lärarens roll
Elevens lärande
Sammantaget kan uppsatsen läsas som en redovisning för förändring och utveckling i
perspektiven på problemlösning i matematikundervisning.
1.2. Studiens syfte
Syftet med undersökningen är att ta reda på i vilka perspektiv problemlösning beskrevs
med avseende på elevens lärande, karaktären hos skolmatematikens uppgifter och lärarens roll i de tidigare läroplanerna (1969, 1980 och 1994), samt att undersöka och beskriva perspektivet på problemlösning med avseende på lärarens roll, elevens lärande och
karaktären hos skolmatematikens uppgift enligt den aktuella läroplanen Lgr 11 för matematik i grundskolans tidigare år.
1.3 Frågeställning
I vilket perspektiv beskrivs problemlösning med avseende på elevens lärande, karaktären hos skolmatematikens uppgifter och lärarens roll i den aktuella läroplanen
Lgr 11 jämfört med läroplanerna i 1969, 1980 och 1994?
11
2.
Teoretisk inramning
För att få förståelse för vilka teorier som Lgr 11 speglar är det viktigt att titta tillbaka på
de tidigare lärandeteorierna och se hur dessa utvecklas genom tiden. Därför utförs i
detta kapitel en ideologianalys med syfte att belysa vilken syn på lärande läroplanerna
uttrycker. Teoriavsnittet delas in i två huvudavsnitt utifrån uppsatsens syfte och dess
frågeformulering. I första avsnittet redovisas uppsatsens två nyckelbegrepp utifrån några
teoretiska perspektiv på lärande, vilket förklarar elevens lärande och lärarens roll i respektive perspektiv. I det andra avsnittet redovisas karaktären hos skolmatematikens
uppgifter utifrån de tidigare läroplanerna med en genomgång av de resultaten som andra
forskare kommit fram till.
2.1 Några teoretiska perspektiv på lärande
De tre perspektiven på problemlösning som beskrivits med prepositionerna för, om och
genom kan relateras till olika pedagogiska skolor. För perspektivet relateras till stimulirespons (S – R) teorin som tillhör behaviorism. Om, genom och den aktuella läroplanens
perspektiv relateras till konstruktivism.
Det finns ett antal olika former av konstruktivism (svag, radikal och sociala konstruktivism) och jag anser att det är viktigt att man håller isär dem. Om perspektivet
kopplas till svag- konstruktivismen som definitionsmässigt bygger på den andra av von
Glasersfeld principer kognition. Genom perspektivet kopplas till socialkonstruktivism
som också har olika inriktningar. Den viktigaste skillnaden är om de är individualistiska
eller sociala till sin inriktning och i synnerhet om de är Piagetianska eller baserade på en
samhällsorienterad teori som Vygotskijs (Engström, 1998). När jag kopplar genomperspektivet och den aktuella läroplanens teorier till social-konstruktivism ser jag de
utifrån de både inriktningar, med skillnad att den aktuella läroplanen framhåller kunskapsområdet problemlösning mer utifrån kommunikativa processer.
2.2 Behaviorism
Förgrundsgestalt inom behaviorismen är Skinner. Det observerbara beteende benämns
inom behaviorismen respons (R). Respons föregås av händelser i miljön eller antydningar i omgivningen (”cues”). Dessa kallas stimuli (S) och ger villkoren för att ett beteende ska uppstå (Skinner, 1974). I skolans matematikundervisning har exempelvis
12
lärobokens många ”övningsuppgifter” funktionen av stimuli. Eleven reagerar på dessa
och ställer upp ett sifferuttryck och räknar ut ett svar. Detta svar kontrolleras sedan mot
ett ”facit” av något slag, kanske lärobokens facit eller en nick av läraren. Beteenden kan
observeras exempelvis genom antal rätt lösta huvudräkningsuppgifter på en viss tid.
Perspektivet är först måste man kunna, sedan kan man bygga på med (Wyndhamn et al.,
2000).
Enligt behaviorismen ses kunskap som någonting som kan förflyttas från en lärare
till en lärande. Läraren styr och definierar vad den lärande skall uppnå. Genom övning i
följder av lämpligt avpassande små steg skall eleverna lära sig vissa basfärdigheter för
att sedan tillämpa dem vid lösandet av problem.
Figur 1. Enligt behaviorismen ses kunskap som någonting som kan förflyttas från en
lärare till en lärande. Läraren styr och definierar vad den lärande skall uppnå.
(Strandvall, 2000).
Den typiska dragen i behaviorismen kan sammanfattas i dessa punkter:
Kunskapen är given och absolut.
Kunskapen är till övervägande passivt även om den sker under programmatiska
upprepande former.
Eleven ses som en passiv recipient.
Lärarens roll är auktoritativ, anvisade och kontrollerande (Wyndhamn et al.,
2000).
Sammanfattningsvis kan behaviorism metaforisk beskrivas med ett citat av Wyndhamn
et al. (2000) ” Människans själsliga förmågor (”mind”) finns i en svart låda vars lock är
ointressant att öppna” (s. 79). En kognitivist däremot gläntar gärna locket för att se vad
som finns inne i huvudet med syftet att kunna beskriva, förklara och förstå lärandet.
13
2.3 Svag-konstruktivism (kognitivism)
Wyndhamn et al. (2000) har definierat begrepp kognition enligt Nationalencyklopedin
på följande sätt:
De tankefunktioner med vilkas hjälp information och kunskap hämtas. Till de kognitiva
funktionerna räknas varseblivning, minne, begreppsbildning, resonerande, problemlösning och uppmärksamhet. (s. 80)
Den svaga konstruktivismen baseras på principen att all individuell mänsklig kunskap
konstrueras av den enskilda individen. Den svaga konstruktivismen representerar ett
mycket betydelsefullt steg bort från den klassiska behaviorismen. Den inser nämligen
”att vetandet är aktiv, att det är individuellt och personligt och att de bygger på tidigare
konstruerad kunskap” (Engström, 1998, s. 23).
I motsats till den behavioristiska psykologin, som betonar relationen mellan villkor i
omgivningen (stimuli) och uppenbart beteende (responsen) vid lärandet, så studerar man
i den kognitiva psykologin hur individer behandlar de stimuli de möter. Studiet av processen omfattar hur individer varseblir, tolkar och mentalt lagar den information de
mottar från sin omgivning. Kunskap ses på samma sätt inom de två inriktningarna som
given och absolut. I de båda skolorna används också gärna beteckning ”inlärning” med
betoning på in. Kognitivismen kan emellertid förstås som en reaktion mot behaviorism
då denna lämnar många frågor obesvarade om inlärning av komplexa beteenden som
exempelvis språkövning och kommunikation (Wyndhamn et al., 2000).
Utifrån en kognitivistisk synsätt undviker läraren att ge specifika förslag eller att
bryta ner problemet i delar. Läraren hanterar diskussionen i klassrummet på ett icke
styrande sätt, genom att vara ordförande, ibland frågeställare eller provokatör, aldrig
domare eller bedömare (Wyndhamn et al., 2000). Läraren undervisar om Polyas modell
(Polya, 1957). Vilket hjälper elever att förstå problemet, lägga upp en plan, genomföra
planen och sedan titta tillbaka och värdera lösningen I den här traditionen kan man höra
frågor av typen ”varför gör du så här?” och ”vad gör du?” (Riesbeck, 2000, s. 16).
Sammanfattningsvis finns det alltså tre aspekter av inlärning som tillsammans bildar
grunden för kognitivismen (Resnick, 1989).
Inlärning ses som kunskapskonstruktionsprocess och inte som en kunskapsregistreringsprocess.
Inlärning är kunskapsberoende, eftersom man använder befintlig kunskap för att
skapa ny kunskap.
Inlärning är mycket beroende av den situation där den försiggår.
14
2.4 Social konstruktivism
Det är genom Jean Piagets inflytande att konstruktivismen har etablerats som en ledande
teori om matematikinlärning. Den konstruktivistiska synen har gått längre än kognitivismen och riktar inte bara in sig på hur hjärnan behandlar information. Teorin hävdar att
lärande inte kan uppfattas och reduceras till varken ett passivt formande av vissa beteenden (behaviorism) eller en helt individuell, kognitiv mental och inåtriktad process
(kognitivism). Socialkonstruktivismen handlar om hur människor skapar förståelse utifrån erfarenheter och upplevelser. Elevens lärande är aktivt. Eleven bygger själv sin
egen kunskap när hon bearbetar de sinnesintryck som hon får från sin omgivning. När
hon konstruerar denna kunskap spelar hennes tidiga erfarenheter och kunskaper en stor
roll (Engström, 1998).
Kunskap kan inte överföras: Inlärningen är meningsfull då den lärande använder sig
av den kunskap och de färdigheter han eller hon redan har, för att lösa realistiska problem i en realistisk kontext. Kunskap hos en människa aldrig i sin helhet kan överföras
över till en annan (Jfr figur 1). Detta eftersom kunskap är resultat av en personlig tolkning av erfarenheter. Detta medför att när kunskap ”förflyttas” från en person till en
annan går en del av kunskap till spillo vid översättning (Strandvall, 2000).
Figur 2. Enligt den konstruktivistiska synen kan inte kunskap överföras över från läraren till de lärande, utan den skapas aktivt genom interaktion med andra jfr
figu1(Strandvall, 2000)
Lärarens roll i ett social-konstruktivistiskt perspektiv förklaras som en handledare. I
lärarens roll ingår val av lämpliga uppgifter samt att organisera klassrumssamtal för att
uppmuntra elevers matematiska förståelse. De främsta kraven för lärarens roll i detta
perspektiv är:
Den matematik som skall behandlas måste vara inbäddad i de utvalda problemuppgifterna.
Uppgifterna måste vara tillgängliga och utmanande för eleverna samt bygga på
vad de redan vet och kan göra.
15
Läraren har en mycket viktigt uppgift i att se till att de normer som finns i klassrummet verkligen uppmuntrar eleverna att lära sig på detta sätt (Lester & Lambdin, 2007). Sammanfattningsvis ser en lärare som följer idéer från den här teorin
i sin undervisning sig själva i första hand som handledare. Läraren anordnar inlärningstillfällen eller problemsituationer som först aktualiserar elevernas tidigare kunskaper och sedan får eleverna att tänka vidare själva (Engström, 1998).
Detta är i mottsats till kognitivismen där läraren hanterade inlärningssituation
och till motsats till behaviorism där lärandet och kunskap förflyttades av läraren
till eleven.
2.5 Teoretiskt perspektiv på lärande enligt Lgr 11
I inledningsavsnittet nämnde jag att en läroplan och tillhörande kursplan är tidsdokument och återspeglar vissa teorier även om det är svårt att i läroplanerna finna några
tydliga konkretiseringar av och motiveringar för dem (Wyndhamn et al., 2000). För att
få syn på den lärandeteori som speglar Lgr 11 s kursplan för matematik utgår jag från ett
sociokulturellt perspektiv. För att se om det sociokulturella perspektivet speglar någon
av kursplanen så tittade jag på kommunikativa mål som är kärnan i en sociokulturell
teori. De kommunikativa målen synliggörs utifrån förmågorna som kursplanens matematik syftar till (Skolverket, 2011c). Genom att sätta problemlösningsförmåga i relation
till det sociokulturella perspektivet så blir bilden tydligare av vilken lärandeteori som
präglar den nu gällande kursplanen.
2.5.1 Sociokulturellt perspektiv
Det är Vygotskij som ses som förgrundsgestalt för ett sociokulturellt perspektiv. Sociokulturell syn på lärande innebär att interaktionen och samspelet med andra människor är
grundläggande för att tillägna sig kunskap samt etablera självförståelse och verklighetsuppfattning. Social konstruktivismen kan delas in i två olika teorier om kognition: utvecklings- och sociokulturell teori. Inom den första inriktning är det den individuella
lärande som skapar förståelsen. Utvecklingen av de egna kunskaper är då huvudmålet
för inlärningen. Den andra konstruktivistiska inlärningen, den sociokulturella, betonar
den social konstruktion av kunskap och avvisar Piagets individualistiska teori.
16
Figur 3. Enligt sociokulturell teorin ses kunskap som en konstruktion av individens interaktion med den sociala miljön. Interaktion mellan lärare och elever samt i mellan
elever (Strandvall, 2000).
Kinards och Kozulin (2012) hävdar att användning av Vygotskijs socialkulturella teori i
klassrummet baserar sig på begreppet lärandeverksamhet. Lärandeverksamheten kan
definieras som en undervisningsform som ska göra barnet till en självgående och självstyrande lärande person. Kärnan i en lärandeverksamhetsundervisning består av tre element: Analys av uppgiften, planering och åtgärd samt reflektion. Analys och planering
har en framstående plats i många pedagogiska modeller, men reflektion som ett centralt
inslag i undervisningen för de yngre barnen kan med rätta betraktas som ”varumärke”
för en lärandeverksamhet (Kinard & Kozulin, 2012).
När man utgår från principerna för lärandeverksamhet i klassrummet övergår barnen
från att endast samla information och regler till att lära sig att lära. En lärandeverksamhet har uteslutande som mål att utveckla barnet till att bli en oberoende och kritisk, lärande person. Eleverna i ett klassrum som realiserar lärandeverksamhet utvecklar en
övertygelse att det är att lära sig att lära som står i centrum för deras lärande och för
deras skolgång (Kinard & Kozulin, 2012). De viktiga begreppen som präglar idéerna
från denna teori är reflektion, språk, som sker i kommunikativa processer som behandlas i vidare avsnittet.
2.5.2 Kommunikation
Hagland, Hedrén och Taflin, (2005) har definierad den närmaste utvecklingszonen som
det kunskapsområde, där en elev inte kan klara en uppgift på egen hand men kan göra
det med endast litet stöd och hjälp från en kunnigare person. Eleven konstruerar sin
kunskap tillsammans med andra. Vid elevens byggande av kunskap spelar studiekamrater en stor roll. När elever, som har liknande erfarenheter och kunskaper, tillsammans
diskuterar ett problems lösning eller betydelsen av ett matematiskt begrepp, när de värderar och kritiserar varandra lösningar och tolkningar, då ges alla de deltagande personerna stora möjligheter att bygga på och fördjupa sina tidigare erhållna kunskaper. För17
fattarna anser att det för eleverna ligger närmare till hands att värdera och kritisera kamraternas påståenden än lärarens. Kamraterna är inte några auktoriteter på samma sätt
som läraren är. Med kamraterna har eleven ett gemensamt språk och är nära sitt eget
lärande Det här sagda hindrar naturligtvis inte att läraren eller andra kunniga personer
kan spela en stor roll vid elevens byggande av kunskap. Genom att ställa enkla men
relevanta frågor, genom att visa på hur elevens tankegångar enkelt kan utvidgas och
fördjupas kan de vara ett gott stöd vid elevens lärande.
2. 5. 3 Medierande artefakter
Språk: För att klara sig i världen har människan över tid skapat artefakter. Artefakter
betyder produkter och verktyg. Det kan vara allt från en hammare och en skiftnyckel
över en dator till ett språk (Wyndhamn et al., 2000). Språket spelar en viktig roll för
utvecklingen av elevernas tänkande och lärande i matematik. Eleverna begreppsliggör
deras erfarenheter tillsammans med andra genom språket.
Reflektion: Enligt Kinard och Kozulin (2012) finns det tre huvudaspekter på den reflektion som ska utvecklas under de tidigare skolåren:
förmåga att identifiera mål för sina och andra människors handlingar liksom metoder och medel för att uppnå dessa mål,
förmåga att förstå andra människors synsätt, inklusive att betrakta objekten, processerna och problemen från andra perspektiv än det egna,
förmåga att utvärdera sig själv och identifiera starka och svaga sidor av den egna
prestationen
2.5.4 Lärarens roll i klassrumskommunikation
En lärare som följer den sociokulturella idéer i sin undervisning i samband med klassrumskommunikation utgår från nedanstående punkterna: (Engström, 1998).
Ser lärande som en problemlösande aktivitet, där elevernas egna frågeställningar
och sätt att formulera problem ges ett stort utrymme.
Presenterar problemlösande aktiviteter som är öppna, som stimulerar till att arbeta fram olika lösningar.
Skapar en atmosfär i klassrummet som främjar utbyte av idéer.
Erbjuder åtskilliga tillfällen för eleverna att tala om och framställa idéer.
Underlättar organiseringen och omorganiseringen av elevgrupper för att åstadkomma lämpliga tillfällen för eleverna att ta del av information och idéer.
Stimulerar eleverna till att reflektera över sina matematiska aktiviteter.
18
2.5.5 Teorin om medierade lärandeerfarenheter (MLE)
Teorin om medierade lärandeerfarenheter tillhandahåller en modell för interaktionen
mellan lärare, elev och uppgifter. Från att ha varit endast en källa till information och
regler förväntas läraren i denna modell bli lyhörd för elevernas kognitiva behov och att
utforma undervisningen/lärandet på ett sätt som främjar kognitiva funktioner och strategier för problemlösning. Läraren ska bidra till mediering. Detta innebär att lärarens roll
förändras från att förse eleverna med information och regler till att bli en mediator. En
av de viktigaste skillnaderna mellan dessa båda roller är att läraren inte tar elevernas
kognitiva funktioner för givna, utan aktivt undersöker hur elevernas kognitiva förmåga
ser ut och utformar undervisningen så att den främjar en tankemässig utveckling. Enligt
författaren äger barns lärande rum i två former: direkt lärande, baserat på den vardagliga
interaktionen mellan barnen och deras omgivning, och guidat lärande som är beroende
av en annan människa t.ex. lärare. En mänsklig mediator väljer alltså ut, förstärker eller
reducerar, upprepar, sätter in i sammanhang och tolkar omvärlden för elever
(Feuerstein, 1990; refererad i Kinard & Kozulin., 2012).
2.6 En sammanfattande översiktlig jämförelse av lärandeteorier
I de tidigare avsnitten har olika teorier med bäring på inlärande och beskrivning av elevens lärande och lärarens roll utifrån respektive perspektiv presenterats. Det tidigare
beskrivna för perspektiv grundas på teorier av stimulus - respons typ. Behaviorismen
intresserar sig ju inte för det kognitiva arbetet utan enbart ett synligt beteende. Elevens
lärande ses som bildande av förbindelser eller band mellan stimuli (signaler från omgivningen) och svar eller reaktioner från någon på dessa signaler. (Wyndhamn et al., 2000).
Om–perspektivet grundas i ett synsätt där lärande inte enbart ses som tillägnande av
fakta, information och färdigheter, utan också lärande innebär hanterande av detta. Begreppet metakognition – omfattande bl.a. självreglering, kontroll och medveten styrning
av tänkandet – ges en framträdande plats (Wyndhamn et al., 2000).
Genom-perspektivet och sociokulturella perspektiv kan motiveras utifrån en konstruktivistisk idéströmning. Bärande utgångspunkter är att den lärande själv konstruerar
sin kunskap och att undervisning ska beakta den lärandes tidigare existerande och strukturerande kunskap. Lärande sker också i interaktionen och samspelet med andra männi-
19
skor som är grundläggande för att tillägna sig kunskap samt etablera självförståelse och
verklighetsuppfattning (Engström, 1998).
2.7 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter
Detta avsnitt inleds med en historisk genomgång av begreppet problemlösning utifrån
de tidigare läroplanerna. Därefter beskrivs karaktärens hos skolmatematikens uppgifter i
perspektivet för, om och genom utifrån de tidigare forskningsresultaten.
2.7.1 En historisk genomgång av begreppet problemlösning
Problemlösningens placering och status i skolmatematiken har varierat över tiden. I de
svenska kursplanerna levde den länge ett ganska underskymt liv för att få en central
ställning som eget huvudmoment. Därför finns det inte en riktig definition av begreppet
problem och problemlösning men endast ett historiskt förlopp för detta (Bergsten,
2006).
Traditionellt har man ofta identifierat ”problem” med matematiska uppgifter som ska
utföras. Det innebär att man till dem bl.a. hänfört också uppgifter vilkas primära syfte
har varit att erbjuda träning i en viss lösningsteknik. Ofta har därtill ett problem förutsatts vara en ”textuppgift” eller en ”benämnd uppgift”, vilket har haft till följd att man
ibland använt orden synonymt (Schoenfeld, 1992, s.337).
I undervisningsplan för folkskolan från år 1919 återfinns termerna problem, problemlösning överhuvudtaget inte. Där talas enbart om ”uppgifter” eller ”tillämpningsuppgifter” som ska lösas. Anvisningarna till realskolans kursplan upptar likaså ”uppgifter” och
”tillämpningar” men indelar samtidigt tillämningsuppgifterna i olika typer av ”problem”
exempelvis rörelseproblem, blandningsproblem (Carlgren, 1919., refererad i Wyndhamn et al., 2000).
I Lgr 69 använder författarna omväxlande termerna ”problem” och ”uppgifter”, och
”tillämpningsuppgifter” förekommer också. I Lgr 69 tas även in begreppet matematisk
modell.
I Lgr 80 är ”problem” och ”problemlösning” högfrekventa ord. Under 1980 talet var
mycket fokuset på problemlösning i sig som kognitiv och metakognitiv aktivitet med
betoning på kunskaper, processer och uppfattningar. I Lgr 80 och Lpo 94 ingår problemlösning gärna samman med ”undersökande” aktiviteter. Dessutom ingår problemlösning i alla andra huvudmoment. Det betonas att problemen ska ha öppen karaktär,
dvs. inte vara tillrättalagda för en viss typ av hantering. Enligt Lgr 80 ska problemet
20
också innebära en personlig, intellektuell prövning eller utmaning. Ett problem ska inte
vara av rutinkaraktär och kunna lösas efter ett schablonartat mönster.
Även i läroplanen från 1994 har problemlösning en kärnfunktion men ses inte längre
som ett ”moment” utan ges ett mer övergripande syfte och funktion (Wyndhamn et al.,
2000).
Sammanfattningsvis har synen i våra läroplaner på problemlösning under årens lopp
förändras. I läroplanen från 1919 sattes uteslutande procedurer mer eller mindre lika
med problemlösning (”hur man ska göra”). I läroplanerna från och 1969 omnämns vissa
uppgiftstyper som eleverna ska lära sig lösa efter en bestämd mall eller ett speciellt
mönster – något som kan betraktas som ett procedurförfarande och ett förenklat strategiförfarande (”Vad man ska tänka”). I läroplanen från 1980 (Lgr 80) betonas med kraft att
eleverna ska lära sig allmängiltiga strategier för att kunna lösa problem. Lärarna ska
undervisa om problemlösning (”Hur man kan tänka”). I läroplanen 1994 är problemlösning både mål och medel för undervisning. Läraren ska undervisa genom problemlösning (”varför man ska tänka”) (Wyndhamn et al., 2000).
2.7.2. Karaktären hos skolmatematikens uppgift i för perspektivet
Wyndhamn et al. (2000) har i sitt analysarbete identifierat karaktären hos skolmatematikens uppgift i för perspektivet som rutinuppgifter/standarduppgifter Nedan anges ett
exempel på en rutinuppgift, samt vad skiljer sig mellan en rutinuppgift och ett problem.
Rutin uppgift eller problem?
Ofta brukar en problemuppgift definieras som en uppgift där man inte vet lösningen direkt utan att det finns något hinder man måste klara av. Du har 3 kritor och får 2 till.
Hur många kritor har du då? inte någon problemuppgift för en sjuåring utan en rutinuppgift. Däremot är följande en problemuppgift: Moa köpte tre pinnglassar för 8.kr/st.
Hur många strutar för 12 kr/st skulle hon kunna få för samma kostnad? Men om vi ger
den uppgift till en elev i årskurs 6 så är det en rutinuppgift. Det som är problemuppgift
för en elev kan alltså vara en rutinuppgift för en annan. (Olsson, 2008, s.1)
Rutin- eller standarduppgifter definieras av Hagland et al (2005) på följande sätt: ”Rutin
eller standarduppgifter är en övning som inte leder till några svårigheter för den person
som löser den. Den är en uppgift som elever är bekant med och som innebär en rad färdighetsträning för henne/ honom” (s.27).
I en historisk genomgång av begreppet problemlösning redovisade jag att i Lgr 69 tas
även in begreppet ”matematisk modell”. Eftersom denna studie begränsas till grundsko-
21
lans tidigare år avstår jag att beskriva en matematisk modell som ingår i högstadiet enligt Lgr 69.
2.7.3 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter i om perspektivet
Wyndhamn et al. (2000) har identifierat problemets karaktär i om perspektiv som textuppgift/ benämnd uppgift/ vardagsproblem. Nedan anges ett exempel på vardagsproblem:
Tidtabellen:
Klockan är just nu 17 minuter i 9 och idag skall jag ta bussen till jobbet. Enligt tidtabellen är de närmaste bussavgångarna 08.49, 09.19, 09. 49 och 10.19. Vilken är den tidigaste buss jag hinner med, om det tar 15 minuter att klä mig och gå till busshållplatsen?
(Löwing & kilborn, 2002, s. 248)
Enligt Hagland et al. (2005) är denna typ uppgifter ”given med en text utöver eventuella
matematiska symboler” (s. 27). Denna text är till för att visa på en tillämpning av matematik och/eller leda till en matematisk modell. En sådan uppgift kan vara ett problem
om den uppfyller flöjlande tre villkor:
• personen vill eller behöver lösa uppgiften
• personen ifråga har inte en på förhand given procedur för att lösa uppgiften, och
• det krävs en ansträngning av henne eller honom att lösa (Skoogh, 1986). Jämfört med
för perspektivet att en rutin uppgift löstes efter en bestämd mall eller en speciell mall
eller ett speciellt mönster.
2.7.4 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter i genom perspektivet
(Lester & Lambdin., 2007) har karaktäriserat rika problem som skolmatematikens uppgifter i genom perspektivet. Författaren hävder att ”Eftersom undervisning genom problemlösning startar med ett problem, så måste problemet vara så rikt att de ger eleverna
möjlighet att befästa och utvidga vad de redan vet samt ge stimulans i lärandet” (s. 101).
”Rika problem innebär bland annat ett problem som bär på möjligheter till en givande
diskussion av matematiska begrepp och procedurer” (Hagland et al., 2005, s. 28). Kriterier för rika problem:
Problemet ska introducera viktiga matematiska idéer eller vissa lösnings strategier.
Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid.
Problemet ska kunna lösas på flera sätt, med olika strategier och representationer.
22
Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda
lösningar.
Problemet ska kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska områden.
Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med.
Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulera nya intressanta problem (Hagland et al., 2005, s. 28).
Exempel på karaktären hos skolmatematikens uppgifter i genom perspektivet:
32 godisbitar kostar 10 kronor. Hur många bitar får du för 25 kronor?
Den matematiska idé som detta problem kan leda eleverna fram till är proportionalitet i någon form. Några elever kanske nöjer sig med att fördubbla och halvera antalet bitar och motsvarande kostnad, andra kanske sätter upp en ekvation som direkt
utnyttjar proportionaliteten.
Åter andra elever kan tänkas använda sig av funktionslära. De kan antingen se att
man för 1 krona får 32/10 bitar och att man då kan skriva:
Y 3,2 där Y är antal bitar för X antal kronor, eller också inser de att en bit kostar
10/32 kronor och får då den invers funktionen Y 0,3125 , där y är kostnaden för x
bitar.
.
Med denna korta genomgång vill Hagland et al. (2005) visa att problemet kan uppfylla
villkoret att leda in eleverna på väsentliga matematiska begrepp och procedur (det första
kriteriet för rika problem). För att anpassa problemet till elever som av någon anledning
har svårigheter med matematik och/eller för yngre elever kan lärare agera på flera sätt.
Författaren ger första några exempel på enklare varianter av problem) än den ursprungliga:
32 godisbitar kostar 10 kronor. Hur många bitar får du för 15 kronor?
23
20 godisbitar kostar 10 kronor. Hur många bitar får du för 25 kronor?
4 godisbitar kostar 2 kronor. Hur många bitar får du för 5 kronor?
Man även kan presentera problem i bild eller konkret, exempelvis så här (den sista varianten av de tre exempel ovan):
Figur 4. Ett exempel av rika problem. (Hagland et al., 2005).
2.8 Sammanfattning
I detta avsnitt utförs en sammanfattning av hur problemlösning i avseende på elevens
lärande, lärarens roll och karaktären hos skolmatematikens uppgifter beskrevs i de tidigare läroplanerna utifrån de tidigare forskningsresultaten. I Lgr 69 sågs problemlösning
som målet för övrigt lärande i matematik. Läraren och eleverna arbetade med rutinuppgifter genom drill och praktiserande i små steg. Enligt detta perspektiv eleverna skulle
först lära sig de enskilda aritmetiska operationerna, som sedan skulle användas i problemlösandet. Lärarens roll beskrevs som auktoritär. Elevens lärande var passivt.
Nästa synsätt på problemlösning beskrevs genom undervisning om problemlösning. I
Lgr, 80 blev problemlösning ett eget huvudmoment. I Lgr 80 utfördes problemlösning
därefter med stegen göra upp en plan, genomföra planen och se tillbaka Karaktären hos
problemet identifierades som vardagsproblem Läraren beskrevs som en ordförande.
Enligt kognitivistiska idéer sågs alltså kunskap som given och absolut. Elevernas lärande innebar ”inlärning”.(Resnick, 1989).
Enligt Lpo 94 såg man på problemlösning som ett medel att få eleverna att tänka
matematiskt och därigenom utveckla sina kunskaper i ämnet. Läraren skulle undervisa i
matematik genom problemlösning Detta förutsatte bland annat att läraren har förmåga
att välja ut och använda sig av rika problem som kan få eleverna att befästa och fördjupa
sina kunskaper eller upptäcka nya begrepp och samband. Läraren beskrevs som handledare och elevernas lärande var aktivt (Wyndhamn et al., 2000, Riesbeck, 2000, Hagland
24
et al., 2005, Engström, 1998, Lester & Lamdin, 2007 & Löwing & kilborn, 2002). I den
nedanstående tabellen beskrivs en sammanfattning av studiens tre första nyckelbegrepp
utifrån teoriavsnittet.
Tabell 1. Sammanfattning av problemlösning i ett för, om och genom perspektiv:
Läroplan
Lgr, 1969
Lgr, 1980
Lpo, 1994
Lgr, 11
Perspektiv
för
om
genom
?
Karaktären hos
rutinuppgift
textuppgift
rika problem
skolmatematikens standarduppgift benämnd uppgift
uppgifter
?
vardagsuppgift
överförare
vägledare
Lärarens roll
auktoritär
ordförande
Elevens lärande
inlärning
inlärning
utlärning
passiv
passiv
aktiv
25
handledare
?
?
3. Val och motivering av metod
I det här avsnittet redogör jag för hur jag har gjort och varför jag har valt att göra på
detta sätt. Avsnittet delas in i tre huvuddelar: procedur, material och argumentation för
etiska överväganden.
Inom lärarutbildningen förekommer två olika modeller för val av undersökningsmetod, en konsumtions- och en produktionsmodell. En konsumtionsmodell kallas också för
textanalys. Den är en form av examensarbete som utgår ifrån reproducerbara källor och
där dessa ges status som huvudkällor för undersökningen Produktionsmodellen utgår att
man formulerar ett problem som undersöks empiriskt och därefter bearbetas och analyseras (Aspelin & Sundmark, 2012).
Stukat (2005) anser att när man gör sitt metodval är det viktigt att tänka på vilket
syfte man har med sin undersökning. När målet med studien inte är att generalisera och
få mätbara data utan istället få förståelse och kunskap för en special området är kvalitativa metoder att preferera. Eftersom min frågeställning innebär jämförelse av skrivna
dokument så söker den kunskap genom en konsumtionsmodell som också kallas för ett
kvalitativ inriktad textanalys. Avsikten är att genomföra en systematisk bearbetning och
analys av läroplaner, i syfte att belysa den valda studiens problem och forskningsfrågan.
Koncist söker denna studie kunskap genom förfarande av två olika textanalyser:
Innehållsanalys
ideologianalys
Först utförs en kvantitativ innehållsanalys. Denna analys hjälper mig för att analysera
läroplanernas struktur och innehåll. Läroplanernas struktur skiljer sig i mellan när det
gäller formulering av huvudrubriker t.ex. syfte, centralt innehåll, skolans uppdrag. Avsikten med denna analys är att kunna få en helhetssyn av materialet. Helhetssynen av
materialet fungerar som grund för en jämförelse där syfte är att beskriva textinnehållet
på ett systematiskt sätt samt att se skillnader i innehållet.
Sedan utförs en kvalitativ ideologianalys för att jämföra de fyra läroplanerna när det
gäller synen på lärandet. Utifrån denna analys beskrivs sedan elevens lärande och lärarens roll i respektive perspektiv. Ideologianalys är en kvalitativ textanalys som syftar till
att jämföra de idéer som en text formulerar. Det innebär att man utgår från ett specifikt
perspektiv där man jämför och analyserar de förändringar som skett över en viss tid
(Bergström & Boreus, 2000). När jag ska jämföra och analysera på vilket sätt den nu
26
gällande läroplanen skiljer sig åt från de tre tidigare läroplanerna gällande synen på elevens lärande och lärarens roll så innebär det att jag tittar på vilka förändringar som skett
över en viss tid och därför är denna metod den mest relevanta.
Utifrån de två systematiska analysen samlas studiens resultat i en tabell för att tydligt
synliggöra förändringar och utvecklingar i området problemlösning med avseende på
uppsatsens nyckelbegrepp vilket är det övergripande syftet för denna studie.
3.1 Datainsamling
Forskningsmaterialet utgörs av reproducerbara texter (tryckta och digitala). Det material
som jag samlat in består av befintliga, redan existerande dokument och texter så som
läroplaner, kursplaner, utvärderingar, kommentarmaterialet och diskussionsunderlaget
till kursplanen matematik.
3.2 Beskrivning av undersökningsförfarande
Studiens syfte var att beskriva perspektivet på problemlösning i den aktuella läroplanen
Lgr 11 med avseende på elevens lärande, lärarens roll och karaktären hos skolmatematikens uppgifter jämfört med de tidigare läroplanerna 1969, 1980 och 1994.
Läroplanerna studerades med syfte att jämföra motsvarande formuleringar angående:
Elevens lärande
Lärarens roll
Karaktären hos skolmatematikens uppgifter
Eftersom respektive läroplan skiljer sig strukturmässigt gick jag genom varenda huvudrubrik för att ta reda på de rubrikerna som framställer eller förklarar studiens respektive
nyckelbegrepp utifrån respektive läroplan. Detta gjorde jag utifrån en innehållsanalys.
Mer förklarning angående innehållsanalys anges i analys avsnittet.
Vid jämförelse har jag begränsat mig till att jämföra bara läroplanerna och kursplanerna för matematik i kunskapsområde problemlösning. Vid jämförelsen ställs konkreta
citat från respektive läroplan som motsvarar samma innehåll mot varandra för att påvisa
skillnader läroplanerna emellan.
Perspektiven för, om och genom med avseende på de tre ovanstående punkterna beskrevs utifrån respektive läroplan och dess tillhörande lärandeteorin utifrån de tidigare
forskningsresultaten. Eftersom kursplanen i matematik har i stort sett byggts utifrån
avsnitt 2.2 ”Kunskaper” utgår analysen utifrån detta avsnitt (Skolverket, 2011c). Ele-
27
vens lärande och lärarens roll beskrivs utifrån Syfteavsnittet i kursplanen för matematik.
Syftetexten anger de förmågorna som skolan och undervisningen ska ge eleverna (Skolverket, 2011b). En av de fem förmågorna är kunskapsområdet problemlösning.
Formulering av problemlösningsförmåga i sig förklarar lärarens arbetssätt och arbetsformer så lärarens roll också förklaras utifrån syftetexten samt utifrån avsnitt 2.2 ”Kunskaper” under rubriken ”Läraren ska” (s. 14). Karaktären hos skolmatematikens uppgift
framställs av ”centralt innehåll” (s, 64, 65). Eftersom alla vetenskapliga metoder kan
diskuteras i termer av deras relativa styrka eller svagheter vill jag också diskutera metodens för- och nackdelar. Fördelen med den valda metoden enligt Bryman (2008) är att
den är en ”öppen” forskningsmetod. Det är lätt att konkret beskriva hur man har gjort
sitt urval. Det gör att metoden ofta beskrivs som en objektiv analysmetod. Metoden får
ibland kritisk att det är tidskrävande med tanke att det är stora mängder material som
ska analyseras och bearbetas. Det går inte heller att generalisera resultat vilket det är
möjligt vid kvantitativa metoder (Stukat, 2005).
3.3 Etiska överväganden
Jag har valt utifrån Vetenskapsrådet (2011) att uppfölja de forskningsetiska aspekterna
som är relevant för denna studie. Anmärkningsvärt är att denna undersökning endast
analyserar offentliga dokument och den därför inte behöver rätta sig efter några etiska
aspekter för individen.
Enligt skriften förutsätter god forskningsetiska kvaliteter av forskning som ger nya
kunskaper, belyser tidigare ej kända förhållanden eller kastar ett nytt ljus över tidigare
kända företeelser och relationer – den ger mer tillförlitliga kunskapskartor att navigera
efter än de vi tidigare haft. Uppsatsens frågeställning fyller dessa krav.
Stukat (2005) hävdar att en helt annan aspekt av etik är hur man utnyttjar andra personens skriftliga tankar. Detta diskuteras i APA-manualen där den första principen tar
upp regeln om att man inte får stjäla – plagiera – andras resultat eller idéer och presentera dessa som om det vore ens egna. Eftersom mitt arbete har grundat sig på Wyndhamn et al. (2000) analysarbete har jag av hänsyn till materialet lagt stort vikt vid denna
åtskillnad och tydligt beskrivit vem som säger vad eller vems idé som beskrivits.
En forskningsrapport visar dålig forskningsetik om den har vetenskapliga brister när
det gäller precisionen i frågeställningen, använder felaktiga metoder eller etablerade
metoder på ett felaktigt sätt, systematiskt utelämnar observationer som inte passar ihop
28
med författarens tes eller använder en uppläggning av studien som inte gör det möjligt
att besvara frågan. I denna studie har jag med stor medvetenhet och omsorg tagit hänsyn
till de bristerna genom att följa nedanstående resonemangen.
3.3.1 Studiens tillförlitlighet
All forskning syftar till att producera giltiga och hållbara resultat på ett etiskt godtagbart
sätt. Denna studie är inget undantag. Frågor som rör reliabilitet, validitet och generaliserbarhet anses vara viktiga i denna studie.
Reliabilitet (mättnoggrannhet, tillförlitlighet) dvs. kvaliteten på själva ”mätinstrumentet” respektive, validitet (giltighet), dvs. om jag ”mäter” det som jag avser att
”mäta” samt generaliserbarhet dvs. för vem/ vilka riktas eller gäller mitt resultat (Stukat,
2005).
Utifrån litteraturen om dokumentanalys finns det några grundläggande strategier som
en forskare kan använda sig av för att säkerställa den inre validiteten samt reliabilitet
och generaliserbarhet. I denna studie har jag följt de kriterierna för de tre ovanstående
begreppen:
Utifrån flera källor: I denna studie har jag använt mig av flera relevanta källor,
för att samla information på många sätt som bekräftar sedan de resultat som efterhand visar sig.
Autenticitet och trovärdighet: Materialet som har samlats in för denna studie är
äkta och av ett otvetydigt ursprung. Användningen av sekundärkällor för denna
studie undviks så lång som är möjligt. Det används om originalverket är äldre eller svårtillgängligt (Lindhagen & Troedsson, 2011).
Representativ: I denna studie har kategoriserats och analyserats utifrån två egenskaper, objektivt sätt och systematik sätt (Bryman, 2008). Den förstnämnda
egenskapen betyder att mina egna personliga värderingar i så liten utsträckt som
möjligt ska på verka analysen. Den egenskap som rör systematik innebär att reglerna som jag har valt för analysen tillämpas på ett konsekvent sätt för att varje
form av skevhet och felkälla ska bli så liten som möjligt. Som en följd av de två
egenskaper kommer förhoppningsvis var och en som använder reglerna till
samma resultat.
29
4. Analys och teoretisk tolkning (utifrån Lgr11)
I detta avsnitt utförs en innehållsanalys av den aktuella läroplanen samt en jämförelse av
de tidigare läroplanerna. Avsikten är att tydligt markera skillnader i formuleringar mellan de fyra läroplanerna och därtill framställa uppsatsens nyckelbegrepp. I analysprocessen kommer jag ta hänsyn till två egenskaper, nämligen objektivitet och systematik
(Bryman, 2008) jmf metodavsnittet. Analysen av innehållet avser relationen mellan lärarens roll, elevens lärande och problemets karaktär.
Som data material används innehållet av läroplaner, kursplaner, diskussionsunderlaget
och kommentarmaterialet till kursplanen i matematik. Syftet med diskussionsmaterialen
är att sätta fokus på läroplanens uppbyggnad och struktur, samt visa hur den kan användas för planering av undervisning i ämnet (Skolverket, 2011c). Skolverket, (2011c)
skriver att i diskussionsunderlaget finns ett antal frågeställningar som rör kursplanens
syfte, centrala innehåll och kunskapskrav, läroplanens övergripande mål och deras relation till kursplanen i ämnet. Till varje kursplan finns dessutom ett kommentar material
med bakgrundsresonemang och motiveringar till urval och avgränsningar i kursplanen.
Diskussionsunderlagen och kommentarmaterialen är konstruerade för att komplettera
varandra. Avsnittet inleds med en redovisning av den aktuella läroplanens struktur.
4.1 Struktur i den nu rådande läroplanen
Den samlade läroplanen består av tre delar där de två första delarna utgörs av skolans
värdegrund och samlade uppdrag samt de övergripande mål och riktlinjer som gäller
för utbildningen. Läroplanen tredje del utgörs av de kursplaner och kunskapskrav
som gäller för skolformen (Skolverket, 2011c).
.
Figur 5 illustrerar den samlade läroplanens struktur av Lgr11 (Skolverket, 2011c).
30
Kursplanen för matematik Innehåller, syfte, centralt innehåll samt kunskapskrav för
godtagbara kunskaper i årskurs 3, 6 och 9.
Syfte i kursplanen anger de förmågorna som skolan och undervisningen ska ge eleverna
möjlighet att utveckla. Förmågorna som eleverna ska få möjlighet att utveckla anges
även i långsiktiga och är också de förmågor som ligger till grund för kunskapskraven
(Skolverket, 2011c). Syftetexten är formulerad så att det tydligt framgår vilket ansvar
undervisningen har för att eleverna ska kunna utveckla de kunskaper och förmågor som
anges (Skolverket, 2011b).
4.1.2 Förmågor
Avsnittet syfte avslutas med ett antal långsiktiga mål som är uttrycka som ämnesspecifika förmågor (Skolverket, 2011a).
Genom undervisning i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att
utveckla sin förmåga att:
formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och
metoder,
använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp
föra och följa matematiska resonemang och,
välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter,
använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för
frågeställningar, beräkningar och slutsatser. (s. 63)
Citatet framhäver att kursplanen för matematik utgår utifrån fem förmågor så kallade
problemlösningsförmåga, begreppsförmåga, procedursförmåga, resonemangsförmåga
och kommunikationsförmåga. Nedan anges en framställning av elevens lärande i samband med problemlösningsförmåga.
4.1.3 Problemlösningsförmåga
I detta kapitel utförs en analys av textinnehållet i respektive kursplan för att ta reda på
elevens lärande. För att upptäcka förändringar utifrån respektive citat, samlas in de olika
verben som beskriver elevernas problemlösningsförmåga. Resultatet samlas sedan in i
en tabell för att belysa förändring och utveckling i elevens lärande i samband med problemlösning. Korta formuleringar som är hämtade direkt från kursplanen är genomgående kursiverade i texten.
undervisning ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Eleverna ska även ges förutsättningar att utveckla
31
kunskaper för att kunna tolka vardagliga och matematiska situationer samt beskriva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycksformer (Skolver-
ket, 2011a, s. 62).
Citaten framhäver att problemlösning omfattar många delar av matematiken, såsom att
använda matematiska begrepp, metoder och uttrycksformer liksom att kunna resonera
matematik. Det omfattar också att kunna reflektera över och värdera rimligheten i resultatet i relation till problemet. Problemlösning ska utveckla kunskaper i att tolka vardagliga och matematiska situationer och vidare kunna beskriva och formulera dessa med
hjälp av matematikens uttrycksformer. Det här innebär att kunna tillägna sig det matematiska problemsituation, förklara innehållet och därefter utforma en matematisk frågeställning med hjälp av matematiska uttrycksformer (Skolverket, 2011b).
Elevens problemlösningsförmåga beskrivs med följande verb enligt Lgr 11:
formulera, lösa, reflektera, värdera, tolka, beskriva. I kursplanen för grundskolan 94
uttrycks problemlösningsförmåga med nästan samma formulering ”Skolan skall i sin
undervisning i matematik sträva efter att eleven förstår och kan formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt tolka och värdera lösningarna i förhållande till den
ursprungliga problemsituationen” (Lpo, 1994, s. 33). Verben som har beskrivit elevens
problemlösningsförmåga enligt Lpo 94 är följande:
förstå, formulera, lösa, tolka och värdera. Utifrån en jämförelse av de citerade verben
upptäcker vi förändringen i verben ”reflektera” och ”beskriva” Om vi återgår till teoriavsnittet och kopplar verbet reflektera till den sociokulturella teorin ser vi tydligt att det
var tre element som utgjorde kärnan i lärandeverksamhet: analys av uppgiften, planering
av handling samt reflektion. Analys och planering var framstående inslag i många
undervisningsmodeller, men reflektion som ett centralt element i undervisningen får
med rätta anses vara lärandeverksamhetens varumärke. På så sätt kan vi formulera att
det övergripande förändring i elevens lärande i den aktuella läroplanen jämfört med Lpo
94 är att eleven ska kunna reflektera över och värdera rimligheten i resultatet i relation
till problem.
I Lgr80 formuleras elevens problemlösningsförmåga med följande formulering:
”Eleven kan förstå problemet och har en lösningsmetod.
Eleven kan klara de numeriska beräkningar som krävs.
Eleven kan analysera, värdera och dra slutsatser av resultaten” (s. 100).
Verben som beskriver elevens problemlösningsförmåga är följande: förstå problem,
lösa, analysera, värdera, och dra slutsatser av resultat.
32
Efter jämförelse finner vi tydligt att enligt Lgr 80 finns det ett färdigt matematisk problem som eleven skulle utveckla förmågan att förstå, problemet, tolka, lösa, analysera,
värdera och dra slutsatser av det. Medan enligt Lgr 94 och Lgr 11 ska eleven utveckla
förmågan att självständig formulera ett problem, lösa, beskriva, värdera, tolka och enligt Lgr 11 även reflektera.
I Lgr 69 formuleras elevens problemlösningsförmåga under rubriken ”Huvudmoment” på följande sätt:” Problem hämtas från elevernas erfarenhetsvärld, från matematikens praktiska tillämpningar och från den matematiska teorin samt utformas så att de
utvecklar elevernas förmåga att kombinera och ge uppslag” (Skolöverstyrelsen, 1969,
s.138). Elevens problemlösningsförmåga förklaras med verben kombinera och ge uppslag, vilket beskriver att eleven ska lösa uppgiften samt att få ett svar, ingen problemformulering, analys och reflektion jämfört med de redan beskrivna citaten.
Sammanfattningsvis konstateras att den aktuella läroplanen lägger vikten mest till de
kognitiva och kommunikativa processerna så som analys, beskrivning och reflektion. I
teori avsnittet upplyste jag att enligt Kinard och Kozulin (2012) finns det tre huvudaspekter på den reflektion som ska utvecklas under de tidigare skolåren jmf teori avsnittet. När eleverna utvecklar förmåga att identifiera mål, metoder och medel för handlande, kräver det skapande av ett mentalt schema för handlingen. Eleverna uppmuntras
att analysera vad deras handlingar består av och använda symboliska redskap som tecken, symboler och schematiska ritningar för att representera det aktuella handlingsschemat.
Genom reflektion utvecklar elevernas förmåga att förstå en annan människas synsätt
som i sin tur utvecklar elevernas samarbete förmåga Under sådana aktiviteter uppmanas
eleverna explicit att reflektera över den andres problemlösningsstrategier. Kinard och
kozulin (2012) hävdar att en reflekterande undervisning bidrar till elevernas fördjupat
matematisk tänkande. Eleven styr sin lärande på en kreativ och självständigt sätt. I en
reflekterande undervisning blir eleverna till en självgående och självstyrande lärande
person (Kinard & Kozulin, 2012). I tabell 2 framställs elevens problemlösningsförmåga
med olika verb. I de ruterna som finns enstaka verb, markerar förändring och utveckling
i elevens problemlösningsförmåga.
33
Tabell 2 visar formuleringar av verb vilka används i elevernas problemlösnings förmåga.
Läroplan
Citat
som
elevernas
beskriver
problemlös-
1969
1980
1994
2011
Undervisningen
De grundläggande målen
för
ämnet
matematik är
att elever skall
förstå och kan:
Skolan skall i
sin undervisning i matematik sträva
efter
att
eleven förstå
och kan:
Undervisningen
ska bidra till att
eleverna
utvecklar
kunskaper för att
kunna:
formulera
formulera
Lösa
lösa
skall
utveckla
ningsförmåga med olika
elevernas
verb
förmåga att:
lösa
reflektera
värdera
Värdera
värdera
Tolka
tolka
beskriva
analysera
kombinera
ge uppslag
4.2 Lärarens roll enligt Lgr 11
När synen på lärande och kunskap ändras, förändras även lärarens roll som har ansvaret
för att organisera och förmedla denna kunskap. I förra avsnittet gav jag upp omslag till
formuleringar gällande elevens problemlösningsförmåga. Vi kom fram till att den övergripande utvecklingen i elevens problemlösningsförmåga var att eleven ska reflektera
över sin lärande i problemlösningsundervisning.
Utifrån förändringar i kursplanen för matematik kom vi också fram till att ”Det betydelsefulla i att eleverna utvecklar förmåga att lösa problem, använda logiska resonemang samt att kommunicera matematik med hjälp av olika uttrycksformer” (Skolverket,
2011b, s. 6) jmf inledningsavsnitt . Eftersom lärarens roll skiljer sig utifrån kunskapsområdet kommunikation i problemlösning kommer jag först beskriva kommunikationsförmåga. Därefter förklaras, vilken roll läraren har för att utveckla elevernas förmåga
att kommunicera matematik med olika uttrycksformer i problemlösning.
34
4.2.1 Kommunikationsförmåga
Syfte avsnittet uttrycker att:
”Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmåga att argumentera logiskt
och föra matematiska resonemang. Eleverna ska genom undervisningen också ges möjlighet att utveckla en förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan
användas för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang”. (Skolverket, 2011, s. 62)
Citatet framhäver att kursplanen anger att eleverna ska ges möjlighet att argumentera
logiskt och föra matematiska resonemang samt att utveckla en förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik (Skolverket, 2011b, s. 11). Att kommunicera innebär i sammanhang att utbyta information med andra om matematiska idéer och tankegångar, muntlig, skriftlig och med
hjälp av olika uttrycksformer (Skolverket, 2011b).
Lärarens roll i samband med kunskapsområdet kommunikation har framställts under
rubriken ”Kunskaper” på följande sätt ”Läraren ska … organisera och genomföra arbetet så att eleven … får stöd i sitt språk och kommunikations utveckling”(Skolverket,
2011a, s. 14). Enligt citatet framställs lärarens roll med ett nytt begrepp, verbet ”organisera” som kan omsättas med substantivet ”organisatör”.
Skolverket (2011b) skriver att i undervisning ska eleverna få möjlighet att utveckla
ett allt mer precist matematiskt språk, för att därigenom kunna anpassa sina samtal och
redogörelser till olika mottagare eller ändamål. Lika viktigt som att själv kunna kommunicera matematik är det att kunna lyssna till och ta del av andras beskrivningar, förklarningar och argument. För att eleverna ska kunna kommunicera matematik är det
viktigt att läraren skapa en atmosfär i klassrummet som ska främja utbyte av idéer. Läraren ska underlätta organiseringen och omorganiseringen av elevgrupper för att åstadkomma lämpliga tillfällen för eleverna att ta del av information och idéer jmf teori avsnittet (Engström, 1998).
Lester och Lambdin (2007) påpekar att lärarens orkestrering av klassrumskommunikation är en mycket komplex aktivitet. Förutom att avsätta rimlig tid för att diskutera
problem måste läraren också avgöra vilka aspekter av problemet som särskilt skall betonas. Hur ska elevernas arbete organiseras, vilka frågor ska ställas för att elever ska utmanas med olika kunskaper? Hur ska elever stöttas utan lotsning som tar bort utmaningen? (Lester & Lambdin, 2007). Lärarens roll och uppgift i detta perspektiv blir att
säkerställa att alla elever inte bara introduceras till enkla matematiska operationer utan
omfattar även ett ansvar för att alla elever ges förutsättningar att tillägna sig sådana tan35
keredskap som gör det möjligt för dem att självständigt utforska olika matematiska problem. Undervisning behöver i detta perspektiv organiseras så att eleverna både introduceras i matematiska verksamheter och lär sig använda olika slags tankeredskap för att
fördjupa matematiskt arbete (Kinard & Kozulin, 2012). Detta innebär att lärarens roll
förändras från att förse eleverna med information och regler till att bli en mediator jämfört med de tidigare perspektiven. En av de viktigaste skillnaderna mellan dessa båda
roller är att läraren inte tar elevernas kognitiva funktioner för givna, utan aktivt undersöker hur elevernas kognitiva förmåga ser ut och utformar undervisningen så att den
främjar en tankemässig utveckling jmf teoriavsnittet.
4.3 Karaktären hos skolmatematikens uppgifter enligt Lgr
11
I detta avsnitt beskrivs karaktären hos skolmatematikens uppgift utifrån ”centralt innehåll” i kunskapsområdet problemlösning:
”Strategier för problemlösning i vardaglig situationer och inom olika ämnesområden samt värdering av strategier och metoder.
Matematisk formulering av frågeställning utifrån vardagliga situationer och
olika ämnesområden.
Den aktuella läroplanen, Lgr 11, definierar matematiska problem som ”situationer eller
uppgifter där eleverna inte på förhand känner till hur problemet ska lösas. Istället måste
de undersöka och prova sig fram för att finna en lösning” (Skolverket, 2011b, s. 9). Matematiska problem kan då också beskrivas som uppgifter som inte är av rutinkaraktär.
Oftast förekommer ett problem i en konkret situation som gör att eleverna behöver göra
en matematisk tolkning av situationen. Ibland är problemen inommatematiska och saknar då direkt anknytning till en vardaglig situation. Problem kan ha kopplingar till olika
matematiska kunskapsområden och kan ta sin utgångspunkt i egna intressen, fantasier
eller verkliga situationer. Ett matematiskt problem kan betraktas som en relation mellan
eleven och hur långt eleven kommit i sin kunskapsutveckling. En elev som har kommit
långt i sin kunskapsutveckling kan uppleva en uppgift som en rutinuppgift om hon eller
han känner till en lösningsmetod. En annan elev kan i mötet med samma uppgift däremot behöva undersöka och pröva sig fram till en lösning (Skolverket, 2011b).
36
De olika matematiska kunskapsområden kan kopplas till de fem förmågorna som
kursplanens matematik syftar till. De fem förmågorna integreras genom att eleverna ska
utbyta information med andra om matematiska idéer och tankegångar, muntligt, skriftligt och med hjälp av olika uttrycksformer (Skolverket, 2011b). Ett exempel på att eleverna kommunicerar matematik med olika uttrycksformer är fyrfältsblad. Ett fyrfältsblad innebär att man förtydligar en matematisk problemlösningsuppgift och arbetar med
problemet utifrån olika sätt att presentera och lösa problemet (Andersson, 2010).
En estetisk lösning (lek, drama, bilder, laborativ material).
En logisk lösning (ord, samtal, resonemang).
En numerisk lösning (matematiska beräkningar).
En symbolisk lösning (formler och generaliseringar).
Andersson hävdar att forskning visar att de elever som lyckas bra är elever som i hög
grad reflekterar över sin lärandeprocess. De blir själva motorn i sitt eget kunskapsprojekt.
1.
2.
3.
4.
Vad gjorde jag? (estetisk lösning)
Hur tänkte jag och vad sa jag? (logisk lösning)
Hur räknade jag? (numerisk lösning)
Vad är detta för matematik? (symbolisk lösning)
37
Ett exempel på fyrfältsblad
ESTETISK LÖSNING
LOGISK LÖSNING
Bönspelet.
Likhetstecknets betydelse.
Spelplanen såg ut så här:
Har eleverna svårt att förstå varför de inte
skulle räkna ut något när det fanns ett
likhetstecken?
Har de svårigheter med hur de skulle anEleverna ska komma fram till hur många gripa problemet?
bönor det finns i asken.
t
Kan vi göra det enklare för dem?
Kan de hitta på egna liknande problem?
NUMERISK LÖSNING
SYMBOLISK LÖSNING
5 = 3+ _
5 3 x
12 + 8 = 3 + __
12 8 3 x
15 - __ = 7 + 2
15 x 7 2
x 16 8 y
_ + 16 = 8 + _
Figur 5 Ett exempel på fyrfältsblad.(Andersson, 2010).
Sammanfattningsvis kan karaktären hos skolmatematikens uppgift enligt Lgr 11 förklaras som vardagliga problem, uppgifter som inte är av rutin karaktär med skillnad i för
perspektivet. och Problem som kan ha kopplingar till olika matematiska kunskapsområden. Den sistnämnda fyller kriterierna för rika problem enligt Hagland et al. (2005).
38
5. Diskussion
Avsikten med denna studie var att undersöka och ta reda på perspektivet i problemlösning i matematik med avseende på elevens lärande, lärarens roll och problemets karaktär enligt den aktuella läroplanen Lgr11 jämfört med de tidigare läroplanerna i 1969,
1980 och 1994. Avsikten med att undersöka studiens syfte var att ge uppslag till diskussion rörande förändringar och utvecklingar av undervisning i matematik i problemlösning. Det övergripande syfte med denna diskussion var att behandla vilka konsekvenser man får i samband med undervisning i matematik utifrån respektive perspektiv
och hur dessa konsekvenser påverkar lärarprofession samt eleverna i skolan.
I inledningsavsnittet nämnde jag att genom att synliggöra förändringar och utvecklingar i området problemlösning utvecklas och reflekteras en bättre förståelse och medvetenhet i matematikundervisning. Detta i sin tur bidrar till att förbereda eleverna för
kommande studier och livet utanför skolan vilket är ett av de övergripande syftena med
problemlösning enligt samtliga läroplaner. Dessa två mål är naturligt relaterade till
varandra eftersom förståelse uppnås bäst med problemlösning (Lester & Lambdin,
2007). Utifrån de ovanstående motiveringarna anser jag att denna forskning har en stor
betydelse i matematikundervisning samt för min egen medvetenhet av synen på elevens
lärande och min roll som blivande matematik lärare.
Uppsatsens frågeställning besvarades genom att genomföra av en kvalitativ textanalys som metodval vilket var en relevant metod för denna studie med anledningen att
metoden besvarade studiens frågeställning. Svårigheterna som jag kämpats med under
studiens gång var brist på att hitta relevanta data för uppsatsens frågeställning som ansets vara relativt outforskad. Det var också svårt att hitta de äldre originalverken såsom
”folkskolan från år 1919”.
5.1 Koppling till frågeställning och resultat
I detta avsnitt redovisas resultatet på studiens frågeställning. Studiens frågeställning
handlade om ur vilket perspektiv problemlösning framställs med avseende på elevens
lärande, karaktären hos skolmatematikens uppgifter och lärarens roll i den aktuella läroplanen Lgr 11 jämfört med läroplanerna i 1969, 1980 och 1994.
Elevens lärande: Analysavsnittet rapporterar att den nuvarande kursplanen (Lgr 11)
ser problemlösning som en motor eller drivkraft i lärande. Perspektivet på problemlös-
39
ning är byggd utifrån den sociokulturella teorin. Där eleven beskrevs som en aktiv kritisk tänkande person. För elevens lärande används uttrycket ”lära sig att lära”. Den
övergripande utveckling i elevens lärande jämfört med de tidigare perspektiven var att
den reflekterande eleven var i sin lärande självgående och självreglerande och sågs som
en skapare, en kreatör och framförallt som en frambringare.
Lärarens roll: lärarens roll enligt den aktuella läroplanen beskrevs som en mediator
och organisatör jämfört med de tidigare perspektiven som läraren i sin roll förklarades
som en handledare, vägledare och auktoritär. Enligt den aktuella läroplanen förändrades
lärarens roll från att överföra, förmedla, handleda information och regler till att vara
resurs för medierade lärandeerfarenheter. En av de viktigaste skillnaderna mellan dessa
båda roller är att läraren inte tar elevernas kognitiva funktioner för givna, utan aktivt
undersöker hur elevernas kognitiva förmåga ser ut och utformar undervisningen så att
den främjar en tankemässig utveckling.
Karaktären hos skolmatematikens uppgifter: När det gäller karaktären hos skolmatematikens uppgifter betonar den nuvarande kursplanen tydligt att problemet inte ska
vara av rutin karaktär utan eleven ska utbyta information med andra om matematiska
idéer och tankegångar, muntligt, skriftligt och med hjälp av olika uttrycksformer. I tabell 3 har jag framställt sammanfattning av resultatet på studiens frågeställning med
avseende på studiens nyckelbegrepp.
40
Tabell 3 visar resultat på perspektiven på problemlösning med avseende på elevens
lärande lärarens roll och karaktären hos skolmatematikens uppgifter, utifrån de tidigare läroplanerna samt enligt den aktuella läroplanen Lgr 11.
Sammanfattning av resultat avsnittet
läroplan
Lgr, 1969
Lgr, 1980
Lpo, 1994
Lgr, 11
perspektivet
För
om
Genom
i
Karaktären
rutinuppgift
textuppgift
rika problem
hos
standardupp- benämnd
gift
uppgift
vardagsproblem
skolma-
tematikens
uppgifter
uppgifter
som inte är
av rutinkaraktär
vardagsproblem
rika problem
mediator
Lärarens roll
Elevens
rande
auktoritär
lä- inlärning
ordförande
handledare
inlärning
lärandet är ak- kreativt lärande
organisatör
lärandet är pas- lärandet är pas- tivt
sivt
sivt
Utifrån de ovanstående förändringarna ser jag att den rådande läroplanen lägger ett nytt
perspektiv på problemlösning. Jag föreslår att det nya perspektivet kan beskrivas med
prepositionen i. Enligt resultatet av denna studie ska läraren undervisa i problemlösning
i matematik.
5.2 Slutsats
Utifrån studiens syfte vill jag ha en genomgående diskussion kring uppsatsens resultat
för att komma fram till en formulering av studiens slutsatser.
Resultatet som kommit fram från för perspektivet rapporterar att eleverna först lärde
sig de enskilda aritmetiska operationerna som senare kunde användas i problemlösandet
(Wyndhamn et al., 2000). Uppgifterna som eleverna arbetar med kom framför allt från
41
läroboken. Dessa är i huvudsak korta, saknade kontext och är symboltyngda (Lester et
al., 2007).
Denna problematik enligt Kinard och Kozulin (2012) bidrar till att eleverna inte är fördjupat engagerade i ett arbete med att utveckla och behandla djupare strukturer i sitt
tänkande och känner sig inte heller utmanade att utifrån sina erfarenheter och grundläggande kunskaper skaffa sig den förståelse som behövs för att åstadkomma de underliggande abstraktionerna och generaliseringarna i matematik. Således avslutar många elever sina kurser i matematik med en illusorisk kompetens grundad på upprepning av
memorerat stoff (Kinard & Kozulin, 2012). Vidare påpekar författarna att eleverna inte
bygger upp den förståelse eller den flexibla struktur som krävs för äkta lärande och för
bildande av ny kunskap i olika sammanhang och situationer. Dessa ytliga erfarenheter
är inte meningsfulla, främjar inte någon kunskapsutveckling i matematik, konsekvenserna enligt författaren blir till att flera elever hoppar av sin utbildning i matematik. Vi
ser att perspektivet på problemlösning i Lgr 11 vill ändra situationen som den beskrivs
av Kinard och Kozulin (2112). Lester och Lambdins (2007), påstående kommer också
överens med Kinards och Kozulins (2012). Författarna hävder att:
olyckligaste konsekvensen med en traditionell undervisning är att eleverna även i bästa
fall lämnar skolan med bara en uppsättning av fakta, procedurer och formler som förstås på ett ytligt och osammanhängande sätt. Kanske är värre är att de knappast kommer
att ha en aning om hur det de lärt sig kan användas utanför skolan. (Lester et al., 2007,
s. 97)
Möllehed (1993) påpekar att man idag löser de problem, som finns i klassens lärobok
och som oftast är rutinartade eller följer en på förhand visad lösningsmodell. Författarens påstående stämmer överens med mina egna erfarenheter och upplevelser om problemlösningsundervisning under min egen skolgång samt den verksamhetsförlagda tiden och även med de utvärderingarna som redovisades i inledningsavsnittet. Lester et al.
(2007) betonar att idag leder enighet bland ledanda matematikutbildare om att problemlösningens roll i skolmatematiken bör få en ny karaktär. Idag är problemlösning ofta en
aktivitet som kommer efter att eleverna studerat begrepp och färdigheter. Istället bör
problemlösning betraktas som ett hjälpmedel för att utveckla nya kunskaper i matematik. Vi ser tydligt att det är många forskare som anser att för perspektivet ska förändras
och utvecklas.
Det resultat som kommit fram från om perspektivet var att eleverna på egen hand
skulle klara av att hitta en lämplig lösningsstrategi till de uppgifterna som ställs i mate-
42
matikundervisningen. Läraren skulle hantera diskussion i klassrummet på ett icke styrande sätt. Eftersom om perspektivet lämnade många frågor obesvarade om inlärning
som exempelvis språkövning och kommunikation sågs elevens lärande i detta perspektiv passiv. Det är därför om perspektivet ska byggas enligt den rådande läroplanen som
lägger stor vikt på kommunikativa processer och betonar att eleverna ska få stöd i sitt
språk och sin kommunikationsutveckling.
Det resultatet som kommit fram utifrån genom perspektivet på problemlösning påpekar att problemlösning ses mer som ett medel att få eleverna att tänka matematiskt och
därigenom utveckla sina kunskaper i ämnet (Wyndhamn et al., 2000).
Engström, Engvall och Samuelsson (2007) hävdar att i Lpo 94 diskuteras problemlösning som en viktig aspekt av matematikundervisningen. De positiva konsekvenserna
blir att eleverna inte endast lär sig matematik för att hantera vardagen utan de också lär
sig matematik därför att de ska bli duktigare i matematik. Eftersom genom perspektivet
lämnar frågorna som rör begreppet reflektion bör detta perspektiv granskas enligt den
nya läroplanen som betonar att eleverna ska reflektera över och värdera rimligheten i
resultatet i relation till problemet .
Det resultatet som kommit fram utifrån i perspektivet rapporterar att den nuvarande
kursplanen (Lgr, 11) för matematik ser problemlösning som en motor eller drivkraft i
lärande, (Skolverket, 2011). I ett Vygotskianskt perspektiv betonas undervisningsform
som ska göra barnet till en självgående och självreglerande lärande person. Kärnan i en
lärandeverksamhet består av tre element: Analys av uppgiften, planering och åtgärd och
reflektion speciellt språket och språkandet som resurs för utvecklingen av elevers matematiska tänkande. Sociokulturella perspektiv på lärande och kunskap har lett till en
ökad betoning på att se allt lärande som bundet till specifika praktiker och att se lärandet
som en fråga om att bli allt mer förtrogen med sådana praktiker (Kinard & Kozulin,
2012). För matematiskt lärande får detta konsekvenser även för undervisningens utformning. Eleverna får möjlighet att delta i innehållsligt rika matematiska verksamheter
och få tillgång till matematiska redskap och guidas i användning av dem för att kunna
utveckla en självständig problemlösande hållning. Undervisningen i problemlösning
således ger eleverna möjlighet att lära tänka och tala ”matematiska”.
Lärarens roll och uppgift i detta perspektiv blir att säkerställa att alla elever inte bara
introduceras till enkla matematiska operationer utan omfattar även ett ansvar för att alla
elever ges förutsättningar att tillägna sig sådana tankeredskap som gör det möjligt för
dem att självständigt utforska olika matematiska problem. Undervisning behöver i detta
43
perspektivorganiseras så att eleverna både introduceras i matematiska verksamheter och
lär sig använda olika slags tankeredskap för att fördjupa matematiskt arbete (Kinard et
al., 2012).
Sammanfattningsvis visar undersökningen att i perspektivet betraktar problemlösningsförmåga och -tänkande som ett sätt att ställa upp hypoteser, ge förklarningar och
skapa motiveringar. Vilket är matematikundervisningens mål och syfte (Kinard &
Kozulin, 2012). Mina slutsatser framhäver att för perspektivet ska förändras, om perspektivet ska byggas vidare och genom perspektivet ska granskas och utvecklas enligt
den aktuella läroplanen.
Vi som dagens lärare ska utveckla vissa matematiska färdigheter för problemlösning i
för perspektivet. Lärande behöver inte uppfattas som och reduceras till varken ett passivt formade av vissa beteenden (behaviorism) eller en helt individuell, kognitiv, mental
och inåtriktad process (kognitivism). Lärande kan också uppfattas som ett socialt fenomen som medieras av språket i sociala diskurser (sociokulturellt perspektiv) (Wyndhamn et al., 2000).
5.3 Förslag till fortsatt forskning
I min studie har jag genomfört en textanalys metod där jag beskrev problemlösning perspektiv med avseende på relation mellan problemets karaktär, lärarens roll och elevens
lärande utifrån en studie av de tidigare läroplanerna 1969, 1980, 1994 och den aktuella
2011.
Det vore intressant med en empirisk undersökning där man skulle undersöka i vilket
perspektiv dagens lärare undervisar problemlösning i matematik, vilket eller vilka typer
av problem som använts i undervisning och hur elevens lärande ses i relation med lärarens arbetssätt och arbetsformer. Man ska observera undervisning, intervjua lärare och
analysera undervisningsmaterial. Bryman (2008) anser genom att använda flera källor
och metoder för sin beskrivning kan vara ett tänkbart och lämpligt tillvägagångssätt för
att få ett område belyst på ett mer allsedigt sätt. Genom en empirisk undersökning syns
och granskas tydligt relation mellan lärarens roll, problemets karaktär och elevens lärande. Det som skulle vara intressant är att se i vilket streck resultatet från den empiriska undersökningen kommer överens med min kvalitativa textanalys eller med andra
ord, i vilken utsträckning Lgr11 förverkligas i matematikundervisningen.
44
6. Referenser
Ahlström, R., Bergius, B., Emanuelsson, G., Emanuelsson, L., Holmqvist, M., Restedt,
E., & Wallby, K. (2009). Matematik ett kommunikationsämne. Göteborg: Nämnaren.
Andersson, L. (2010). Fyrfältsblad, Pre- algebra. Malmö: Malmöhögskola. Tillgänglig
på Internet: https://mah.itslearning.com/main.aspx?CourseID=7261 (Hämtat
2013 05.09).
Aspelin, J & Sundmark, B. (2012). Examensarbetets former. Text/dokument - studie.
Malmö: Malmöhögskola.
Bergsten, C. (2006). En kommentar till den matematiska problemlösningsdidaktiken. I
L Häggblom, m.fl. Perspektiv på kunskapens och läromedel villkor (s. 165-176).
Vasa: Akademi.
Bergström, Göran & Boréus, Kristina. (2000). Textens mening och makt: metodbok i
Samhällsvetenskaplig textanalys. Lund: Studentlitteratur.
Bryman, A. (2008). Samhällsvetenskapliga metoder. Malmö: Liber.
Engström, Arne (red.). (1998). Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur.
Engström, A, Engvall, M & Samuelsson J. (2007). Att leda den tidiga matematikundervisningen. Linköping: Linkoping universitet.
Eriksson, I. (2009). Re-interpreting teaching: A divided task in self-regulated teaching
practices. Scandinavian journal of Educational Research, 53 (1), P. 53-70.
Hagland, K, Hedrén, R & Taflin, E. (2005). Matematiska problem. Stockholm: Liber.
Kinard, J & Kozulin, A (2012). Undervisning för fördjupat matematiskt tänkande.
Lund: Studentlitteratur AB.
Lester, F & Lambdin, D. (2007). Undervisa genom problemlösning. I Jesper Boesen,
Göran Emanuelsson, Anders Wallby & Karin Wallby (red.), Lära och undervisa
i matematik – internationella perspektiv (s.95-108). Göteborg: Nationellt Centrum för matematikutbildning, NCM.
Skolöverstyrelsen. (1969). Läroplan för grundskolan Lgr 69. Allmän del (del I). Stockholm: Liber AB.
Skolöverstyrelsen. (1980). Läroplan för grundskolan Lgr 80. Stockholm: Liber Utbildningsförlaget.
Utbildningsdepartementet. (1994). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet Lpo 94.
45
Möllehed, E. (1993). Problemlösning I matematik I grundskollärarutbildningen. Utvecklingsarbete 3. Lund: Lund universitet.
Löwing, M & Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik. Lund: studentlitteratur.
Olsson, I. (2008). Att lyckas med problemlösning – huvudmålet i grundskolans matematik.
Biennal,
(311).s,
1.
Hämtad
http://ncm.gu.se/media/biennal/-
dokumentation/2008/resources/file/311.pdf (2013-04-12).
Polya, G. (1957). How to solve it. Second Edition. Princeton: Princeton University
press.
Resnick, L. (1989). Introduktion ingår i L. Resnick (red.). Knowing learning, and instruction Essays in honour of Robert Glaser (s. 1- 24) Hillsdale, NJ: Lawrence
Erlbaum.
Riesbeck, E. (2000). Interaktion och problemlösning. Att kommunicera om och med
matematik. Linköping: Linköpings universitet.
Lindhagen, A & Troedsson, A. (2011). Hur skriver jag? En introduktion till APA stilen.
Lund: Lunds universitet.
Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically: Problem Solving, Met cognition and Sense Making. In D. Grows (Ed). Handbook of Research in Mathematics Teaching and Learning. New York: Macmillan publishing Company (pp.334370). Svenska Utbildnings förlaget Liber AB.
Skinner, B. F. (1974). About behaviorism. New York: Knopf.
Skolverket. (2006). Med fokus på matematik och naturvetenskap. En analys av skillnader och likheter mellan internationella jämförande studier och nationella kursplaner. Västerås: Edita.
Skolverket. (2011a). Läroplan för förskolan, förskoleklass och fritidshemmet 2011. Västerås: Edita.
Skolverket. (2011b). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Västerås: Edita.
Skolverket (2011 c) Diskussionsunderlag till kursplanen i matematik.Tillgänglig på
internet: http://www.skolverket.se/publikationer?id=2538(2013-05-01).
Skoogh, L. (1986). Kunskaper och färdigheter: Problemlösning viktigaste huvudmomentet
i
Lgr
80.
Nämnaren
(2-3)
22-23.
Hämtad
från
http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/2223_86-87_2-3.pdf
Strandvall, T. (2000). Inlärningsteorier och tillämpningar: Avhandling för pedagogik
Magisterexamen. Åbå Akademi pedagogiska fakulteten institution för lärarut-
46
bildning: Vasa. Tillgänglig på internet: http://www.vasa.abo.fi/users/tstrandv/kapitel21.htm (hämtat 04.05.2013).
Stukat, S. (2005). Att skriva examensarbete inom utbildningsvetenskap. Lund: Studentlitteratur.
Vetenskapsrådet
(2011).
Forskningsetiska
principer
inom
humanistisk-
samhällsvetenskaplig forskning (2011). Stockholm: Vetenskapsrådet. Tillgänglig
på Internet: http://www.cm.se/webbshop_vr/pdfer/2011_01.pdf (2013-02- 22).
Wyndhamn, J, Riesbeck, E & Schoultz, J. (2000). Problemlösning som metafor och
praktik. Linköping: Linköping University.
47
