Moment
Viktiga exempel
Övningsuppgifter
4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.2.4
4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14
4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7
Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen kan beskrivas
med ett enda tal. Som till exempel omkretsen hos en triangel, summan av en serie eller
massan hos en kropp. I stället för tal kommer vi här ofta att använda ordet skalär.
Det finns dock andra objekt, som kräver flera tal för att låta sig beskrivas – en kraft eller
en förflyttning från en punkt till en annan. Dessa objekt beskrivs med en vektor.
Det mest klassiska exemplet för att visa skillnaden mellan en skalär och en vektor är
skillnaden mellan fart och hastighet. Fart ges som en skalär, 60 km/tim eller 10 m/s,
medan hastighet både kräver en storlek, farten, och en riktning , ”rakt norr ut”.
I denna föreläsning ska vi studera geometriska vektorer, som kommer att dyka upp i planet
eller rummet.
Figur 1: Sträckor
Riktad sträcka och vektor
I figur 1 ser vi två punkter, P1 och P2 i rummet. Linjestycket mellan två punkter kallas
sträcka. Sträckan i figur 1 betecknas P1 P2 . Om hänsyn tas till ordningen mellan punkterna
är sträckan P1 P2 inte samma sträcka som P2 P1 . Eftersom ordningen är viktig för oss kommer
−−→
vi fortsättningsvis att tala om riktad sträcka, som vi betecknar P3 P4 och ritar med en pil,
−−→
som i figuren. Den riktade sträckan P5 P5 kallar vi i en nollsträcka. I rummet finns förstås
oändligt många riktade sträckor, med samma storlek och riktning, som sträckan P3 P4 .
Definition 1. Vektor. En vektor ~v är mängden av riktade sträckor med samma längd och
riktning. Två riktade sträckor hör till samma vektor, om den ena kan överföras till den
andra, genom en parallellförflyttning
Som ett extra förtydligande betonar vi.
Håkan Strömberg
1
KTH Syd
Figur 2: 16 riktade sträckor men bara en vektor!
•
En riktad sträcka har längd, riktning, startpunkt och slutpunkt.
•
En vektor har endast längd och riktning.
Kör man rakt söder ut med 100 km/tim i Haparanda är det i vektoriellt sammanhang samma
sak, som att köra rakt söder ut med 100 km/tim i Ystad.
Koordinatsystem i planet
För att kunna räkna med vektorer på det sätt vi vill – analytiskt – måste vi införa ett
koordinatsystem.
Låt ~v vara en vektor i planet. Ofta, kommer vi att välja den representant för ~v som har sin
startpunkt i origo i ett vanligt rektangulärt koordinatsystem.
Koordinaterna för slutpunkten, (v1 , v2 ), kallas vektorns komponenter. Vi skriver så vektorn
som ~v = (v1 , v2 ).
~ är identiska då och endast då v1 = w1 och v2 = w2 , då komponenTvå vektorer ~v och w
terna är identiska.
Räkneoperationer för vektorer i planet
.
Definition 2. Vi adderar två vektorer ~v = (v1 , v2 ) och ~u = (u1 , u2 ) genom
~v + ~u = (v1 + u1 , v2 + u2 )
Vi subtraherar två vektorer ~v = (v1 , v2 ) och ~u = (u1 , u2 ) genom
~v − ~u = (v1 − u1 , v2 − u2 )
När vi multiplicerar en vektor ~v med en skalär k, får vi
k~v = (kv1 , kv2 )
Koordinatsystem i rummet
Precis som vektorer i planet kan uttryckas med hjälp av två reella tal, kan vektorer i rummet
uttryckas med tre reella tal. Vi väljer först en punkt som origo och sedan tre koordinataxlar,
genom origo som är parvis vinkelräta.
Håkan Strömberg
2
KTH Syd
Kallar vi axlarna x-axeln, y-axeln och z-axeln, vilket är vanligt, kan vi säga att varje par
av koordinataxlar ”spänner upp” ett plan, som i tur och ordning kallas xy-planet, xz-planet
och yz-planet.
Läget hos en punkt P i rummet kan bestämmas med hjälp av en taltrippel, (x, y, z), som
förstås kallas koordinaterna till punkten P.
Figur 3: fig 5
Precis som för vektorer i planet fastslår vi nu för vektorer i rummet:
Låt ~v vara en vektor i rummet. Om vi väljer den representant för ~v som har sin startpunkt
i origo, så får slutpunkten koordinaterna (v1 , v2 , v3 ), vilket vi kallar vektorns komponenter
och skriver vektorn som ~v = (v1 , v2 , v3 ).
~ är identiska då och endast då v1 = w1 , v2 = w2 och v3 = w3 – då
Två vektorer ~v och w
komponenterna är identiska.
Figur 4: Figuren visar att ~u + ~v = ~v + ~u vilket betyder att vektoraddition är kommutativ!
Vektorn ~0 = (0, 0, 0) kallas nollvektorn.
Håkan Strömberg
3
KTH Syd
Räkneoperationer för vektorer i rummet
Definition 3. Vi adderar två vektorer ~v = (v1 , v2 , v3 ) och ~u = (u1 , u2 , u3 ) genom
~v + ~u = (v1 + u1 , v2 + u2 , v3 + u3 )
och subtraherar vektorerna genom
~v − ~u = (v1 − u1 , v2 − u2 , v3 − u3 )
När vi multiplicerar en vektor ~v med en skalär k, får vi
k~v = (kv1 , kv2 , kv3 )
En vektors längd och avståndet mellan punkter
Sats 1. Längden av en vektor i planet. En vektor ~v = (v1 , v2 ) i planet är given. Vektorns
längd, skrivs |~v | och bestäms genom
q
|~v | = v21 + v22
Sats 2. Längden av en vektor i rummet. En vektor ~v = (v1 , v2 , v3 ) i rummet är given.
Vektorns längd bestäms genom
q
| ~v |= v21 + v22 + v23
Sats 3. Avståndsformeln. Om P1 (x1 , y1 , z1 ) och P2 (x2 , y2 , z2 ) är två punkter i rummet är
−−→
avståndet, d, mellan dessa punkter lika med längden av vektorn med en representant P1 P2 .
−−→
Eftersom P1 P2 = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) är
q
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
Parallella vektorer
Definition 4. Vi säger att vektorerna ~v och ~u är parallella, ~v k~u, om ~u kan skrivas som
~u = t~v. Alla vektorer anses vara parallella med nollvektorn ~0.
Punkten i rummet
−→
Varje punkt P i rummet bestäms av en vektor OP, en så kallad ortsvektor för P med
avseende på origo O. En punkt i rummet bestäms genom tre koordinater. Vi skriver punk−→
ten P = (x, y, z) och motsvarande ortsvektor OP = (x, y, z).
Håkan Strömberg
4
KTH Syd
Normerad vektor
Definition 5. En vektor ~v = (v1 , v2 , v3 ) har längden |~v |. Vektorn ~r som bestäms genom
~v
v1 v2 v3
~r =
=
,
,
|~v |
|~v | |~v | |~v |
kallas normerad och har samma riktning som ~v men längden 1.
Figur 5: fig 3
Linjärt beroende
Med hjälp av de två vektorerna ~u och ~v i figur 5 kan vi uttrycka vilken vektor ~a som helst
i planet. Det finns en linjärkombination ~a = c1~u + c2~v där c1 och c2 är skalärer.
Förutsättningen för att två vektorer ~v och ~u i planet ska ha denna egenskap är att de inte
är parallella. Två parallella vektorer i planet är linjärt beroende. Vilket betyder att vi kan
finna två skalärer λu och λv , så att λu~u + λv~v = ~0 utan att både λu = 0 och λv = 0.
~ i rummet
För samma resonemang i rummet krävs tre vektorer. Med tre vektorer ~u, ~v och w
~ –
kan man uttrycka alla vektorer ~a – det finns en linjärkombination ~a = c1~u + c2~v + c3 w
om
~ = ~0
λu~u + λv~v + λw w
endast då λu = λv = λw = 0. Då sägs vektorerna vara linjärt oberoende. Tre vektorer i
rummet är linjärt oberoende då inte alla tre ligger i samma plan.
Definition 6. Linjärt beroende. Vektorerna ~v1 , ~v2 . . .~vn , sägs vara linjärt beroende om
någon av dem kan skrivas som en linjärkombination av de övriga. Annars sägs de vara
linjärt oberoende.
Sats 4. Att vektorerna ~v1 , ~v2 . . .~vn är linjärt beroende är detsamma som att det finns
skalärer λ1 , λ2 . . . λn , av vilka minst en är skild från noll sådana att
λ1~v1 + λ2~v2 + . . . + λn~vn = ~0
•
•
•
•
Tre eller fler vektorer i planet är alltid linjärt beroende.
Fyra eller fler vektorer i rummet är alltid linjärt beroende.
Två vektorer i planet kan vara linjärt oberoende.
Två eller tre vektorer i rummet kan vara linjärt oberoende
Håkan Strömberg
5
KTH Syd
Exempel
Figur 6:
Exempel 1.
a) Uttryck ~g med hjälp av ~a och ~b
c) Uttryck ~e med hjälp av ~c och ~d
a) ~g = ~a + ~b
c) ~e = ~d − ~c
b) Uttryck ~f med hjälp av ~b och ~c
d) Uttryck ~e med hjälp av ~f,~g och ~h
b) ~f = ~b − ~c
d) ~e = ~f − ~g + ~h
Figur 7:
~ har storleken 75 N. Vinkeln
Exempel 2. En kraft ~F har storleken 60 N. En annan kraft G
◦
mellan krafterna är 45 . Bestäm resultanten till storlek och riktning.
~ Då vi känner sträckorna ON och NC kan vi enkelt
Vi ska alltså ta reda på längden hos OC.
bestämma OC med hjälp av Pythagoras sats.
Först konstaterar vi att CN = AC sin 45◦ . Eftersom AC = 75 får vi CN = 75 ·
På liknande sätt kan vi så bestämma AN = AC cos 45◦ = 75 ·
√1 .
2
√1 .
2
Till sist
75 2
75 2
√
=
+ 60 + √
2
s 2
75 2
5625
√
+ 60 +
OC =
2
2
OC2
OC ≈ 124.86
Håkan Strömberg
6
KTH Syd
Exempel 3. Bestäm avståndet d, mellan punkterna P1 = (1, 0, 5) och P2 = (3, −2, 6).
q
√
d((1, 0, 5), (3, −2, 6)) = (3 − 1)2 + (−2 − 0)2 + (6 − 5)2 = 4 + 4 + 1 = 3
Exempel 4. Bestäm den normerade vektorn ~r till ~v = (2, 3, −6). Vi startar med att bestämma |~v |
q
√
|~v | = 22 + 32 + (−6)2 = 49 = 7
~r blir då
~r =
2 3 6
, ,−
7 7 7
~ = (−4, −12, 28) parallella? Det vill säga
Exempel 5. Är vektorerna ~v = (3, 9, −21) och w
~
finns det ett reellt tal t sådant att t~v = w ? Vi får ett överbestämt ekvationssystem (vi kommer
att tala mer om dem längre fram), tre ekvationer med endast en obekant.
3t = −4
9t = −12
−21t = 28
För t = − 34 gäller likheten för alla tre ekvationerna. Vektorerna är visserligen parallella
men riktade åt olika håll!
~ = (3, 2, 1) linjärt oberoende? Om vi
Exempel 6. Är ~u = (1, −2, 3), ~v = (5, 6, −1) och w
lyckas hitta en uppstättning av λu , λv , λw där alla inte är noll, så att
~ = ~0
λu~u + λv~v + λw w
så är vektorerna linjärt beroende. Efter instättning får vi
(λu + 5λv + 3λw , −2λu + 6λv + 2λw , 3λu − λv + λw ) = (0, 0, 0)
vilket leder till ekvationssystemet:
λu + 5λv + 3λw = 0
−2λu + 6λv + 2λw = 0
3λu − λv + λw = 0
En av många lösningar till ekvationssystemet är λu = −1, λv = −1, λw = 2, vilket alltså
betyder att vektorerna är linjärt beroende
Håkan Strömberg
7
KTH Syd
Utför polynomdivisionen
x3 − 2x + 1
x−1
Vi ställer upp för en division enligt skolboken
x3
−2x +1 : x −1 = x2 +x −1
3
2
x −x
x2 −2x
x2
−x
−x +1
−x +1
0
Detta kan vara hämtat från en realistisk situation. Man har lyckats gissa sig till en rot x1 = 1.
Genom att dividera ekvationen med (x − 1) får vi en andragradsekvation x2 + x − 1 = 0
som vi sedan kan lösa.
~ = (−2, 7, −8) och ~u = (−1, −2, 2)
1 Addera vektorerna ~v = (3, −5, 6), w
2 Vi har en riktad sträcka som startar i P1 = (1, 3, 5) och slutar i P2 = (1, 1, 1). Vi söker
representanten för motsvarande vektor ~v, som har sin startpunkt i origo.
3 Placera en kub, med kantlängden 1, med ett hörn i origo och alla kanter parallella
med koordinataxlarna. I vilka koordinater kan det hörn som ligger längst från origo
befinna sig? Hur lång är kubens, så kallade, rymddiagonal?
~ = (5, 10, 5a) blir parallella.
4 Välj a så att vektorerna ~v = (a, 2, 1) och w
5 Är vektorn ~v = (2, 6, 4) dubbelt så lång som ~u = (1, 3, 2)?
Läxa 1. 4.1 a)
~a + ~b = (1, 1, 0) + (2, 2, 1) = (3, 3, 1)
Läxa 2. 4.1 b)
~a +
~b
1
1
5
+ 2~c = (1, 1, 0) + (2, 2, 1) + 2 (0, 1, 1) = (1, 1, 0) + 1, 1,
+ (0, 2, 2) = 2, 4,
2
2
2
2
Läxa 3. 4.1 c)
~b − 2~a = (2, 2, 1) − 2(1, 1, 0) = (0, 0, 1)
Läxa 4. 4.1 d)
|~a| =
Läxa 5. 4.1 e)
|~b| =
Håkan Strömberg
p
p
12 + 12 + 02 =
22 + 22 + 12 =
8
√
2
√
9=3
KTH Syd
Läxa 6. 4.1 f)
|~a − ~b| = |(1, 1, 0) − (2, 2, 1)| = |(−1, −1, −1)| =
Läxa 7. 4.1 g)
~a
1
a
^=
= √ (1, 1, 0) =
|~a|
2
Läxa 8. 4.1 h)
q
(−1)2 + (−1)2 + (−1)2 =
√
3
1 1
√ , √ ,0
2
2
~b
1
2 2 1
^
= (2, 2, 1) =
, ,
b=
3
3 3 3
|~b|
Läxa 9. 4.2. Tre vektorer ~i,~j och ~k all med längden 1 och sinsemellan vinkelräta mot
varandra (kommer vi att kunna bevisa senare) kan med fördela användas för att beskriva
vilken vektor eller punkt som helst i rummet. Då ~i = (1, 0, 0),~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1) får
vi punkternas koordinater till
P = (1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) − 7(0, 0, 1) = (1, 3, −7)
Q = 5(1, 0, 0) − 2(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1) = (5, −2, 4)
~ = (5, −2, 4) − (1, 3, 7) = (4, −5, 11) och dess längd
Vektorn PQ
q
√
~ = 42 + (−5)2 + 112 = 9 2
|PQ|
~
Den normerade vektorn med samma riktning som PQ
4
−5 11
√ , √ , √
9 2 9 2 9 2
Läxa 10. 4.3. Det tre enhetsvektorerna är ~i = (1, 0, 0),~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1). Med dess
hjälp kan vi närmare bestämma
~F1
~F2
~F3
~F4
=
=
=
=
3~i − 2~j + 5~k
−~i + 7~j − 3~k
5~i − ~j + 4~k
−2~j + 3~k
= (3, −2, 5)
= (−1, 7, −3)
= (5, −1, 4)
= (0, −2, 3)
Vi adderar de fyra vektorerna för att få reda på resultanten och kan sedan ta reda på hur
långt partikeln har förflyttat sig.
~F = ~F1 + ~F2 + ~F3 + ~F4 = (7, 2, 9)
√
√
|~F| = |~F1 + ~F2 + ~F3 + ~F4 | = 72 + 22 + 92 = 134
med beteckningen ^F menar vi den normerade vektorn (har längden 1) med samma riktning
som ~F.
^F = √ 7 , √ 2 , √ 9
134
134
134
Läxa 11. 4.4
~a = 3~i − 2~j + ~k =
(3, −2, 1)
~b = −2~i + 5~j + 4~k = (−2, 5, 4)
~c = −4~i + ~j − 2~k = (−4, 1, −2)
~d = 2~i − ~j + 4~k =
(2, −1, 4)
Håkan Strömberg
9
KTH Syd
3α − 2β − 4γ = 2
−2α + 5β + γ = −1
α + 4β − 2γ = 4
Detta är ett ekvationssystem med tre obekanta – jobbigt att lösa. Vi kommer senare i kursen
att berätta mer om ekvationssystem. Nu tar vi Maple till hjälp.
solve({-2*a+5*b+c=-1, a+4*b-2*c=4, 3*a-2*b-4*c=2})
ger svaret
α = 4, β = 1, γ = 2
Läxa 12. 4.5
~a = 2~i − 4~j − ~k = (2, −4, −1)
~b = 3~i + 2~j − 2~k = (3, 2, −2)
~c = 5~i − 2~j − 3~k = (5, −2, −3)
Vi testar och ser att ~a + ~b = ~c
(2, −4, −1) + (3, 2, −2) = (5, −2, −3)
Vi beräknar de tre vektorerna längder
p
√
|~a| = p22 + (−4)2 + (−1)2 = √21
|~b| = p32 + 22 + (−2)2 =
√17
2
2
2
|~c| =
5 + (−2) + (−3) =
38
Pythagoras sats ger oss |~a|2 + |~b|2 = |~c|2 , som leder till 21 + 17 = 38 och vi har bevisat att
de tre vektorerna bildar en rätvinklig triangel.
Läxa 13. 4.7
P(1, −3, 4)
Q(2, 2, 1)
R(3, 7, −2)
Vi bildar två vektorer
~ = (2, 2, 1) − (1, −3, 4) = (1, 5, −3)
PQ
~ = (3, 7, −2) − (2, 2, 1) = (1, 5, −3)
QR
~ = QR
~ vilket betyder att de tre punkterna ligger på en linje och att avstånden är lika.
PQ
PQ : QR = 1
Håkan Strömberg
10
KTH Syd
För att få tillgång till de funktioner som tillhör den linjära algebran öppnar man ett bibliotek
genom
with(LinearAlgebra);
Här får man samtidigt en lista över samtliga funktioner som ingår i biblioteket. Avslutar
man med kolon (:) slipper man denna lista.
Nu kan vi definiera till exempel vektorer genom
a:=<1,-2,3>;
b:=<2,3,-4>;
Vill man addera två vektorer skriver man bara
c:=a+b;
Vi kan nu tar reda på längden hos ~c genom
Norm(a,2);
2:an här är viktig för att ange att det handlar om den Euklidiska normen, som vi alltid
kommer att använda.
Vi ska så lösa läxa 12 med hjälp av Maple
i:=<1, 0, 0>;
j:=<0, 1, 0>;
k:=<0, 0, 1>;
a:=2*i-4*j-k;
b:=3*i+2*j-2*k;
c:=5*i-2*j-3*k;
a+b;
c;
Norm(a, 2)^2+Norm(b, 2)^2;
Norm(c, 2)^2;
38 38
Vi definierar de tre enhetsvektorerna, som går direkt in i uttrycken för att bestämma ~a, ~b
och ~c. Nu kan vi bestämma ~a + ~b och jämföra resultatet med ~c. Det stämmer! Återstår att
använda Pythagoras sats, där ~c är hypotenusa. Eftersom summan kateterna i kvadrat är lika
med hypotenusan i kvadrat så stämmer det hela.
Håkan Strömberg
11
KTH Syd
Svar till: De fyra korten
Vi översätter de fem satserna till lika många ”pusselbitar” Valörbitarna kan endast sättas
samman på ett sätt. Färgbitarna likaså. När vi sedan passar in färgkorten över raden av
valörkort, finns det även här endast en möjlighet och vi har svaret: hjärterdam, hjärterkung,
spaderkung och spaderdam.
Dagens problem: Finn skeppen
4
6
1
1
3
2
2
1
3
3
4
2
0
1
4
2
3
4
3
I figuren ovan till vänster ser vi ett hav bestående av 10 × 10 rutor. I havet finns ett antal
fyrar markerade med cirklar. Inuti cirklarna finns ett tal, som berättar hur många skepp
man kan se från fyren. Alla dessa skepp finns i samma rad eller kolumn som fyren. De åtta
rutor som maximalt kan omge ett skepp kan aldrig innehålla vare sig ett annat skepp eller
en fyr. Alla skepp syns från åtminstone en fyr. Var finns skeppen? Samma fråga för ’havet’
till höger i figuren.
Håkan Strömberg
12
KTH Syd
1 Det är riktigt, den resulterande vektorn är (0, 0, 0)
2 ~v = (1 − 1, 1 − 3, 1 − 5) = (0, −2, −4)
3 Det finns 8 möjligheter :(1, 1, 1), (1, 1, −1), (1, −1,p1), (1, −1, −1), (−1, 1, 1),√(−1, 1, −1),
(−1, −1, 1), (−1, −1, −1). Rymddiagonalen är (−1)2 + 12 + (−1)2 = 3, förstås
oavsett vilken av de tre punkterna för det motsatta hörnet man väljer.
4 Som sagt, det är frågan om huvudräkning, och det bör vara enkelt att se att a = 1
√
√
√
√
5 |~v | = 22 + 62 + 42 = 48 och |~u | = 12 + 32 + 22 = 14, då vi ser att
√
√
2 14 6= 48
Så svaret är nej
Håkan Strömberg
13
KTH Syd
