Ladda ner utdrag ur Fördjupning år 9

Fördjup9kap1
05-08-22
10.27
Sida 12
Rationella tal
Här ser du några
exempel på rationella
tal. Rationella tal är
tal som kan skrivas
som ett bråk mellan
två heltal.
3
0,72
0,245245245 … 7
0,333333333 …
Irrationella tal
På engelska
säger man ”the ratio
between 3 and 7”.
Tal som inte kan skrivas som ett bråk kallas för irrationella tal.
π och 2 är exempel på irrationella tal.
x2 = 2
Vi skriver svaret som
Använd räknaren och räkna ut följande bråks decimaler.
Hur många siffror har perioden i bråket?
2
3
4
77
a)
b)
c)
d)
3
11
33
111
Nu ska vi skriva talet 0,15151515… som ett bråk.
Vi kallar talet för x. x = 0,15151515… Eftersom perioden har 2 siffror
multiplicerar vi talet med 100 och gör följande uppställning:
1
100x = 15,15151515…
100x – x = 15,15151515…. – 0,15151515… Ta 100x – x för att få bort decimalerna.
99x = 15
Här är det viktigt att
förstå att antalet decimaler inte har
blivit färre när vi multiplicerade
med 100. Antalet decimaler är
fortfarande oändligt.
27
a) 0,45454545…
b) 0,242424…
28
a) 0,123123123…
b) 0,468468468…
29
a) 0,4444444444…
b) 0,643264326432…
30
Använd ovanstående metod för att visa att 0,99999999… = 1
12
Mer om tal
1
32
Skriv talen som ett bråk.
Glöm inte att förenkla så långt som möjligt.
c) 0,656565…
Kolla
perioden!
x = 2
Även de irrationella talen kan exakt
markeras på en tallinje genom att
utnyttja Pythagoras sats flera gånger.
Figuren visar hur man med hjälp en
passare kan konstruera kvadratroten
ur alla heltal. Rita ett koordinatsystem
och konstruera de irrationella talen
från 2 till 9.
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
31
5
Alltså är 0,15151515… = 33 .
Det finns inget rationell tal som
multiplicerat med sig självt blir 2.
x = 1,41421356237309…
Om talet har en oändlig decimalföljd som är periodisk, dvs. samma
decimaler som återkommer, kan man skriva det som ett bråk.
Talet 0,245245245… har oändligt många decimaler med perioden 3.
Siffergruppen 245 återkommer hela tiden.
15
5
x = 99 = 33
1
1
Enlig Pythagoras sats är x2 = 12 + 12
5
Har talet inga decimaler är det enkelt att skriva talet i bråkform, t.ex. 5 = 1 .
När det finns ändligt många decimaler kan man alltid
72
skriva talet som ett bråk med nämnaren 10, 100, 1000 osv, t.ex. 0,72 = 100 .
26
x
Behovet av irrationella tal uppkom då man t.ex. skulle
bestämma hypotenusan i den rätvinkliga tringeln här bredvid.
Hur många decimaler vi än tar med
kommer vi aldrig att hitta en period.
Pythagoras ( ca 580–500 f .Kr.) grundade en skola på Kroton i södra Italien.
Skolan var i det närmaste ett slutet sällskap där delar av kunskapen delgavs
endast en utvald grupp. Pytagoreerna
levde i en sorts kollektiv med stränga
regler. En av de viktigaste lärorna i den
pytagoreiska skolan var att allt kunde
beskrivas med heltal och med förhållanden mellan heltal.
Till exempel i den rätvinkliga triangeln
med sidorna 3, 4 och 5 kan förhållandet
mellan sidorna skrivas som ett bråk,
som en kvot av heltal.
2
5
3
1 2
2
3
➤
2
x = 3
x2 = 12 + 2
x2 = 1 + 2
x2 = 3
x = 3
Tänk ut en praktisk ”ritmetod” som du
skulle kunna använda om du vill markera
talet π på en tallinje. Utnyttja att cirkelns
omkrets O = π · d. Om d = 1 blir O = π.
Vilka hjälpmedel behöver du?
4
Om vi istället tar en rätvinklig triangel
där båda kateterna är 1 (se figur i rutan)
så kan man inte skriva förhållandet mellan en kort sida och den långa sidan
som en kvot mellan två heltal.
Historikern Diogenes berättar att upptäckten gjordes av Hippos från Metapontion. Hippos tillhörde pytagoreerna.
Hans kollegor förde ut honom till havs
och vräkte honom överbord därför att
han kullkastat deras tro på att allt
kunde uttryckas som heltal och kvoter
mellan heltal. Om Hippos öde är en
sägen eller en historisk händelse får vi
kanske aldrig reda på. Men det är ändå
fascinerande att talen hade en sådan
makt över människorna så att upptäckten av de irrationella talen har kunnat
ge upphov till en sådan berättelse.
Mer om tal
13
Fördjup9kap2
05-08-22
10.30
Sida 24
Rotutdragning
22 = 4
4 = 2
4
Två i kvadrat = 4
Kvadratroten ur 4 = 2 eftersom 2 · 2 = 4
Kubikroten ur 8 = 2 eftersom 2 · 2 · 2 = 8
8
a) Skriv en formel för hur man räknar ut volymen
av glaset. Använd figurens beteckningar.
10
a) 32
b) 42
11
a) 5 i kvadrat
b) 5 i kubik
c) 33
c) Vilket värde ska r ha för att glaset ska rymma
1 deciliter?
2
Platonska kroppar
2
d) 43
tetraeder
2a3
V=
12
oktaeder
2a3
V=
3
a) 36
3
b) 100
c) 125
3
d) 1 000
13
Hur lång är sidan i en kvadrat som har arean 100 cm2?
14
3
20
Räkna ut volymen om sidlängden a är 5 cm i
a) tetraedern
b) oktaedern
Hur lång är sidan i en kub som har volymen 1 000 cm ?
c) dodekaedern
d) ikosaedern
21
För att räkna ut kubikroten ur vilket tal som helst så
behöver du en räknare med
en knapp som har en
x
funktion som beskrivs: .
3
1 000 gör du så här:
Om du ska räkna ut ❮
15
3
16
1
0
0
0
10
=
Räkna ut
a) 27
3
b) 216
3
c) 512
3
d) 125 000
3
3
b) 50
3
c) 100
3
d) 500
17
Hur lång är sidan i en kub som har volymen 1 liter?
18
Räkna ut hur lång sidan är i en kub som har volymen 3 dl.
Svara i hela millimeter.
24
Geometri
a) Skriv om formeln för tetraederns
volym så att du kan räkna ut
sidan a. Börja så här:
2a3
V=
12
12V = 2a3
12V
a3 =
2
a=…
ikosaeder
5(3 + 5)a3
V=
12
b) Räkna ut sidan a i ”mjölktetran”
med volymen 1 liter.
Räkna ut och avrunda till två decimaler.
a) 10
dodekaeder
(15 + 75)a3
V=
4
Pröva
dig fram!
Hur mycket är
2nd F
r
2
Räkna ut
3
r
b) Lös ut r ur din formel.
Två i kubik = 8
Man kan också säga ”tredje roten ur 8”.
12
2
2
Man kan också säga ”roten ur 4”.
23 = 8
3
8 = 2
19
22
a) Gör på samma sätt som i uppgift
21 och skriv om formeln för
oktaederns volym så att du kan
räkna ut sidan a.
b) Räkna ut kantlängden a i en
oktaeder med volymen 2 liter.
Geometri
25
Fördjup9kap4
05-08-22
10.36
Sida 54
➤
Maximum och minimum
y
6
Exempel
y = x2 – 3
5
För alla andragradsfunktioner gäller att
Hjälp fårskötare Ullström med staketet.
4
•
kurvan har samma slags form och kallas en parabel
3
•
den är symmetrisk kring en lodrät mittlinje
Kalla en sida för x. Då blir övriga sidor x och 120 – 2x.
Kalla arean för y. Då blir y = (120 – 2x) · x = 120x – 2x2
•
om koefficienten framför x -termen är positiv har
kurvan en lägsta punkt som kallas minimipunkt
Gör en värdetabell och rita funktionen. x kan variera
mellan 0 m och 60 m.
1
–3 –2 –1
–1
om koefficienten framför x2-termen är negativ har
kurvan en högsta punkt som kallas maximipunkt
1
2
➤
4 x
3
➤
•
2
2
x
–2
y = 3 – x2
–3
0
10
20
30
40
50
60
–4
–5
Ange om funktionens vändpunkt är
en minimi- eller maximipunkt.
–6
36
a) y = x2 – 3
b) y = 2 – x2
c) y = 2x2
37
a) y = 4 + 2x2
b) y = x2 + 3x
c) y = 2 + 2x – x2
y
F1: y = x2 + 1
1
F2: y = 2x + 1
–1
–1
2
y
3
1
1
➤
x
–1
–1
y
1 000
0
10
20
30
40
50
➤
60 x
1
1
➤
x
–1
–1
1
➤
40
Morfar ska inhägna en hönsgård med 16 m
hönsnät. Han bygger hönsgården mot
hönshuset så han behöver bara nät till tre
sidor. Vilken är den största rektangelformade
hönsgård han kan inhägna? Gör som
exemplet i rutan. I värdetabellen ska x
vara 0, 1, 2, 3, …, 7, 8 m.
41
Hur stort är det största rektangelformade område som du inhägna
med ett 60 m långt rep? Börja så här: Kalla en sida för x. Längden
av den andra sidan blir då (30 – x). Kalla arean för y.
Då blir y = (30 – x) · x = 30x – x2.
x
F3: y = 1 – x2
39
0
000
600
800
600
000
0
➤
1
➤
Para ihop funktionerna
F1–F3 med rätt graf 1–3
1
1
1
1
1
y
1 800
Det största området är 1 800 m2 och bildas när sidorna är 30 m,
30 m och 60 m långa.
➤
38
y = 120x – 2x 2
a) Rita grafen till y = x2 – 9. Gör först en värdetabell. Pricka
sedan in värdena i ett koordinatsystem och rita grafen.
b) Vilken är grafens symmetrilinje?
c) Vilka är koordinaterna för grafens minimipunkt?
Många praktiska problem handlar om att finna ett största värde. Sådana problem
kan ofta lösas med hjälp av andragradsfunktioner. Ett sätt är att först hitta ett
lämpligt uttryck för andragradsfunktionen. Därefter ritar man en graf och bestämmer
maximi- eller minimivärdet.
a) Mellan vilka värden kan x variera?
Här är ett exempel.
c) Hur stor är den största arean?
Fårskötare Ullström äger ett område intill ån
där han vill att fåren ska få beta. Han har
lyckats köpa 120 m stängsel. Sidan mot ån
behöver inte stängslas in. Vilket är det största
rektangelformade område som Ullström kan
inhägna med hjälp av det inköpta stängslet?
b) Gör en värdetabell och rita funktionens graf.
d) Vilka mått har rektangeln som ger det största området?
42
Summan av basen och höjden i en triangel är 40 cm. Kalla basen för x.
a) Skriv ett uttryck för höjden.
b) Skriv ett uttryck för arean.
c) Räkna ut vilka mått basen och höjden har när triangeln har sin
största area.
54
Fu n k t i o n e r o c h a l g e b ra
Fu n k t i o n e r o c h a l g e b ra
55
Fördjup9kap6
05-08-22
10.57
Sida 76
Trigonometri
Förhållandet mellan de olika sidorna har olika namn.
hypotenusa, c
Trigonometri bygger på förhållandet
mellan sidorna i en rätvinklig triangel.
motstående
katet, b
v
närliggande katet, a
motstående katet
Vi räknar ut
för vinkeln v i de fyra trianglarna.
hypotenusan
triangeln P:
3
= 0,6
5
R
v
26
S
2,5
v
2
6
triangeln R:
närliggande katet
kallas cosinus för vinkeln v
hypotenusan
cos v =
a
c
motstående katet
kallas tangens för vinkeln v
närliggande katet
tan v =
b
a
Vilken sida är motstående katet till vinkeln
c
b
v
a
z
y
b) w
10
4,5
= 0,6
7,5
1,5
= 0,6
2,5
b
c
a) v
1,5
w
v
6
x
Q
5
triangeln S:
sin v =
7,5
4,5
6
triangeln Q:
= 0,6
10
motstående katet
kallas sinus för vinkeln v
hypotenusan
P
v
3
4
Vinkeln v är lika stor i alla trianglarna. Då är förhållandet
Räkna ut och svara med två
decimaler.
v
8
motstående katet
också lika.
hypotenusan
w
13
5
27
a) sin v
b) cos v
c) tan v
28
a) sin w
b) cos w
c) tan w
v
12
24
25
närliggande katet
för vinkeln v i de fyra trianglarna.
hypotenusan
b) Jämför resultatet för de fyra trianglarna.
a) Räkna ut
Hur stor är vinkeln om
motstående katet
för vinkeln v i de fyra trianglarna.
närliggande katet
b) Jämför resultatet för de fyra trianglarna.
a) sin v = 0,34
a) Räkna ut
76
S t y va l i n a n
b) cos v = 0,73
För att ta reda på det kan man ta hjälp
av en avancerad räknare.
a) 2ndF SIN
Trigonometri betyder triangelmätning.
Denna del av matematiken utvecklades redan under antiken då framförallt
astronomerna använde trigonometriska beräkningar till att bestämma olika
stjärnors och planeters positioner. Till
vänster på träsnittet från 1500-talet
ser man astronomer i arbete. I bakgrunden visas hur lantmätare kan
bestämma dels avstånd till en byggnad, dels höjden på ett kyrktorn. Idag
har instrumenten naturligtvis förfinats
men principerna för mätmetoderna är
desamma.
Kontrollera
att räknaren räknar med
enheten grader.
Exempel
0
.
3
4
=
19.876874
.
7
3
=
43.113606
Vinkeln v ≈ 19,9°
b) 2ndF COS 0
Vinkeln v ≈ 43,1°
Hur stor är vinkeln om
29
a) sin v = 0,17
b) sin v = 0,83
c) sin v = 0,02
30
a) cos v = 0,38
b) cos v = 0,67
c) tan v = 1
S t y va l i n a n
77