Begreppsförståelse

Lärarutbildningen
Skolutveckling och ledarskap
Examensarbete
10 poäng
Begreppsförståelse
Förutsättningar för elever i matematiksvårigheter
Understanding of concepts.
Prerequisites of pupils with difficulties in mathematics
Agneta Lindqvist
Ann-Charlotte Pettersson
Specialpedagogisk påbyggnadsutbildning, 60 p
Höstterminen 2006
Handledare: Börje Lindblom
Examinator: Ann-Elise Persson
Malmö högskola
Lärarutbildningen
Skolutveckling och ledarskap
Specialpedagogisk påbyggnadsutbildning
Höstterminen 2006
Lindqvist, Agneta & Pettersson, Ann-Charlotte. (2006). Begreppsförståelse. Förutsättningar för elever i matematiksvårigheter. (Understanding of
Concepts. Prerequisites of pupils with difficulties in mathematics).
Skolutveckling och ledarskap, Specialpedagogisk påbyggnadsutbildning,
Lärarutbildningen, Malmö högskola.
Syftet med arbetet är att undersöka och kartlägga pedagogers uppfattning
och erfarenhet av vad som ger elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse och därmed bättre förutsättningar att lösa matematiska
problem.
Arbetet ger en översikt över tidigare forskning om begreppsförståelse. Med
hjälp av enkätundersökning och intervjuer ville vi se vilka grundläggande
förutsättningar och arbetssätt/strategier som gynnar begreppsförståelsen
hos elever i matematiksvårigheter. Vi ville också se vilka hinder som pedagoger möter i arbetet med att utveckla begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter.
Sammanfattningsvis pekar resultaten av våra undersökningar på att om resurser prioriteras så att en elev i matematiksvårigheter får arbeta språkligt
aktivt med varierat arbetssätt i en liten grupp under ledning av en kompetent pedagog/specialpedagog, har han/hon goda förutsättningar att nå en
ökad begreppsförståelse.
Nyckelord: begreppsförståelse, gruppstorlek, kompetens, matematiksvårigheter, specialpedagogik, språket
Agneta Lindqvist
Tjugby Brunnsgård
599 94 Ödeshög
Ann-Charlotte Pettersson
Danskvägen 21
573 99 Tranås
Handledare:
Börje Lindblom
Examinator:
Ann-Elise Persson
FÖRORD
Vi vill tacka alla pedagoger som på ett så engagerat och positivt sätt ställt
upp på våra intervjuer för att dela med sig av sin kunskap om vad som ger
elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse.
Vi vill tacka vår handledare Börje Lindblom för sakkunnig hjälp med vårt
examensarbete.
Vi vill tacka våra familjer som tålmodigt stått vid vår sida under arbetets
gång.
Vi vill också tacka varandra för ett gott och givande samarbete.
INNEHÅLL
1 INLEDNING ..................................................................................................... 7
1.1 Bakgrund ..................................................................................................... 7
2 SYFTE ............................................................................................................. 11
3 LITTERATURGENOMGÅNG ...................................................................... 13
3.1 Definitioner ............................................................................................... 13
3.1.1 Definition av ordet begrepp................................................................ 13
3.1.2 Definition av organisations-, grupp- och individnivå........................ 14
3.2 Aktuell forskning ...................................................................................... 16
3.3 Grundläggande förutsättningar i skolans värld som gynnar
begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter.................................. 19
3.3.1 Organisationsnivå .............................................................................. 19
3.3.2 Gruppnivå ........................................................................................... 20
3.3.3 Individnivå .......................................................................................... 21
3.3.4 Pedagogens roll.................................................................................. 24
3.4 Arbetssätt och strategier som gynnar begreppsförståelsen hos elever i
matematiksvårigheter ...................................................................................... 25
3.4.1 Organisationsnivå .............................................................................. 25
3.4.2 Gruppnivå ........................................................................................... 26
3.4.3 Individnivå .......................................................................................... 27
3.4.4 Pedagogens roll.................................................................................. 28
3.5 Hinder i arbetet med att utveckla begreppsförståelsen hos elever i
matematiksvårigheter ...................................................................................... 31
3.5.1 Organisationsnivå .............................................................................. 31
3.5.2 Gruppnivå ........................................................................................... 32
3.5.3 Individnivå .......................................................................................... 32
4 TEORI ............................................................................................................. 35
4.1 Teorier om lärande .................................................................................... 35
4.1.1 Metakognitiv teori med kognitiv teori ................................................ 35
4.1.2 Symbolisk interaktionism.................................................................... 36
4.1.3 Socialkonstruktivistisk teori................................................................ 36
4.1.4 Vygotskij ............................................................................................. 36
5 METOD ........................................................................................................... 39
5.1 Allmänt om metod .................................................................................... 39
5.2 Metodval ................................................................................................... 40
5.3 Pilotstudie.................................................................................................. 41
5.4 Undersökningsgrupp ................................................................................. 42
5.5 Genomförande........................................................................................... 42
5.6 Databearbetning ........................................................................................ 43
5.7 Reliabilitet och validitet ............................................................................ 43
5.8 Etik ............................................................................................................ 44
6 RESULTAT..................................................................................................... 47
6.1 Grundläggande förutsättningar i skolans värld som gynnar
begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter.................................. 48
6.2 Arbetssätt och strategier som gynnar begreppsförståelsen hos elever i
matematiksvårigheter ...................................................................................... 51
6.3 Hinder i arbetet med att utveckla begreppsförståelse hos elever i
matematiksvårigheter ...................................................................................... 55
7 ANALYS AV RESULTATET........................................................................ 59
7.1 Grundläggande förutsättningar i skolans värld som gynnar
begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter.................................. 59
7.2 Arbetssätt och strategier som gynnar begreppsförståelsen hos elever i
matematiksvårigheter ...................................................................................... 60
7.3 Hinder i arbetet med att utveckla begreppsförståelsen hos elever i
matematiksvårigheter ...................................................................................... 61
8 SAMMANFATTNING OCH DISKUSSION................................................. 63
8.1 Sammanfattning ........................................................................................ 63
8.2 Diskussion ................................................................................................. 64
8.2.1 Specialpedagogens roll....................................................................... 71
8.2.2 Våra teorier ........................................................................................ 71
8.2.3 Reflektioner på vår datainsamling ..................................................... 72
9 FORTSATT FORSKNING ............................................................................. 73
REFERENSER ................................................................................................... 75
BILAGOR
1 INLEDNING
Matematik har en mer än femtusenårig historia och dess verksamhet är i
ständig utveckling. Matematiska begrepp, metoder och modeller används i
såväl vardags- och yrkesliv som i samhälleliga och vetenskapliga sammanhang. Alla elever ska ha möjlighet att erövra matematikkunskaper som bidrar till självförtroende, kompetens och reella möjligheter att påverka och
delta i vårt samhälle (Skolverket, 2003).
Lpo 94 föreskriver att skolan skall sträva efter att varje elev ska lära sig
att använda sina kunskaper i matematik som redskap för att formulera, pröva antaganden och lösa problem, reflektera över erfarenheter och kritiskt
granska, värdera påståenden och förhållanden. Lpo 94 föreskriver även att
skolan ansvarar för att varje elev efter genomgången grundskola behärskar
grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet.
Matematik har nära samband med andra skolämnen. Eleven hämtar erfarenheter från omvärlden och omsätter sina matematiska kunskaper i ett
meningsfullt sammanhang. I matematikämnet har problemlösning en central plats. För att utöva matematik med gott resultat krävs att eleverna får
kunskaper om matematiska begrepp, uttrycksformer och metoder (Skolverket, 2000).
Språket har stor betydelse för utvecklandet av det matematiska tänkandet. Har eleven ett väl fungerande språk har han/hon goda förutsättningar
för en effektiv inlärning, medan eleven med ett bristfälligt ordförråd ofta
får svårigheter att tillägna sig den grundläggande begreppsbildningen.
(Malmer, 2002).
Forskning under senare år uppmärksammar betydelsen av en god begreppsförståelse som en viktig förutsättning för att lösa matematiska problem (Johnsen HØines, 2002; Malmer, 2002; Sterner & Lundberg, 2004).
I det här arbetet ska vi belysa erfarenheter och kunskaper från aktiva
pedagoger i deras arbete med begreppsförståelse för elever i matematiksvårigheter. Vi kommer även att relatera pedagogernas erfarenhet och kunskap
till teori, litteratur och aktuell forskning.
1.1 Bakgrund
I vårt arbete som pedagoger kommer vi dagligen i kontakt med elever i behov av särskilt stöd i svenska och matematik. I Lusten att lära - med fokus
på matematik (Skolverket, 2003) poängteras att sambandet mellan god
språkbehärskning och matematisk förståelse är väl belagt såväl i pedagogiskt arbete som i forskning.
7
I vår teoridel redovisar vi olika inlärningsteorier och fokuserar på Vygotskij som har hävdat språkets stora betydelse för allt lärande.
Med hjälp av språket utvecklas matematiska begrepp. Vår undersökning kommer att behandla kunskapsområdet begreppsförståelse. Genom
litteraturstudier kommer vi att ta reda på och definiera vad begreppsförståelse innebär. Vi vill i vår undersökning fördjupa oss i pedagogers uppfattning och erfarenhet av vilka grundläggande förutsättningar i skolans värld
som inverkar på/gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter.
Det är viktigt att fånga upp och observera elevernas egna erfarenheter
och föreställningar så att mötet med matematikaktiviteter, språk och begrepp blir meningsfullt och lustfyllt för eleverna. Genom val av arbetssätt
och arbetsformer i relation till matematikinnehåll kan pedagogen gynna
utveckling av begrepp (NCM, 2006). Vi vill i vår undersökning ta reda på
pedagogers uppfattning och erfarenhet av vilka inlärningsstrategier och arbetssätt som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter.
Att eleven känner att han/hon kan, förstår, lyckas och lär sig är det första som påverkar lusten att lära. Lusten och glädjen uppstår i känslan av att
lyckas med någonting vilket även skapar motivation. Elever som möter
ständiga misslyckanden förlorar istället raskt motivationen och lusten att
lära (Skolverket, 2003). Vi vill i vår undersökning belysa pedagogers uppfattning och erfarenhet av vilka hinder som finns för ett utvecklande arbete
som främjar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter.
Som blivande specialpedagoger kommer vi att möta elever i matematiksvårigheter. När vi tidigare i vår utbildning läste litteratur om matematik,
blev vi intresserade av hur vi i mötet med elever i matematisksvårigheter på
bästa sätt kan utveckla deras begreppsförståelse och därmed ge dem bättre
förutsättningar att lösa matematiska problem. I vår nya yrkesroll ska vi
kunna genomföra pedagogiska utredningar och analysera individers svårigheter på individ-, grupp- och organisationsnivå. I vår undersökning kommer vi därför att utgå ifrån dessa tre perspektiv. Detta gör det också möjligt
för oss att se eleven i ett helhetsperspektiv.
Vi arbetar i en liten kommun och har erfarenhet från förskola, förskoleklass, grundskola och grundsärskola. Eftersom vi i undervisningen träffar
elever i olika åldrar och på olika utvecklingsnivå har vi blandade förkunskaper, vilket vi ser som en tillgång som vi kan ta tillvara i vår undersökning. Åldersgruppen för vår undersökning koncentreras till elever från förskoleklass till år sex. Vi vill utforska och kartlägga pedagogers erfarenhet
och kunskap när det gäller vad som ger elever i matematiksvårigheter en
ökad begreppsförståelse och därmed bättre förutsättningar att lösa matematiska problem.
8
Vi väljer att göra undersökningen i vår kommun för att på så sätt ta tillvara den kompetens som finns inom vårt kunskapsområde i kommunen.
Den vill vi att pedagogerna får del av för att på så sätt ge dem en fördjupad
kunskap och därmed bättre förutsättningar att ge elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse. Eftersom vår undersökning även behandlar organisationens betydelse vill vi att ledningen tar del av vår kunskap,
för att på så sätt få en bättre förståelse för vilka förutsättningar som krävs
för att ge elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse.
Vi har skrivit det här examensarbetet tillsammans och har båda varit
delaktiga i arbetets alla delar. Som kritiska vänner har vi diskuterat innehållet under arbetets gång. Vårt goda samarbete har möjliggjorts genom täta
möten, telefon- och mailkontakter.
9
10
2 SYFTE
Syftet med arbetet är att undersöka och kartlägga pedagogers uppfattning
och erfarenhet av vad som ger elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse och därmed bättre förutsättningar att lösa matematiska
problem.
Vi utgår från följande frågeställningar i vårt arbete:
Vilka grundläggande förutsättningar i skolans värld inverkar på/gynnar
begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter?
Vilka arbetssätt och strategier inom matematikundervisningen gynnar/stärker begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter?
Vilka hinder möter pedagoger i arbetet med att utveckla begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter?
11
12
3 LITTERATURGENOMGÅNG
I följande kapitel redogör vi för den litteratur som vi valt att utgå från när vi
beskriver det kunskapsområde som vår uppsats behandlar. Litteraturgenomgången innehåller aktuell forskningslitteratur, matematikdidaktisk
litteratur, styrdokument, rapporter och litteratur om elever i behov av särskilt stöd. Inledningsvis redovisar vi en beskrivning av hur vi enligt litteraturen valt att definiera ordet begrepp samt förtydligar hur vi enligt litteraturen valt att definiera organisations-, grupp- och individnivå. Därefter följer
aktuell forskning i ämnet. Vidare utgår vi i vårt arbete från de tre frågeställningarna: grundläggande förutsättningar, arbetssätt och strategier samt
hinder. Utifrån dessa frågeställningar redogör vi för litteraturens uppfattning om förutsättningar som påverkar möjligheten att ge elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse. Vi tar upp perspektiven organisations-, grupp- och individnivå samt pedagogens roll inom de olika frågeställningarna.
3.1 Definitioner
I vårt arbete använder vi orden begrepp, organisations-, grupp- och individnivå. Innebörden av dessa ord kan ibland variera hos olika författare.
För att läsaren ska bli säker på vad vi menar följer här vår definition enligt
vald litteratur. Dessa definitioner kommer vi fortsättningsvis att använda i
vårt arbete.
3.1.1 Definition av ordet begrepp
I boken Matematikverkstad beskriver Rystedt och Trygg (2005) ordet begrepp enligt följande:
Ordet begrepp kommer ursprungligen från det fornsvenska begripa som i sin tur kan härledas
från det lågtyska begripen med betydelsen gripa (med tanken). Med begrepp menas ofta en
sammanfattning av utmärkande egenskaper hos exempelvis en grupp objekt, en grupp händelser eller en grupp beteenden. Förståelse för begreppet area innefattar t.ex. insikter i:
att det är ett mått på storleken av en begränsad yta
att områden med olika form kan ha samma area
att även om två områden har samma omkrets kan arean variera
vad som skiljer area från andra egenskaper hos ett geometriskt objekt
hur area kan bestämmas och vilka enheter som kan användas
(a.a., s. 55)
I boken Bra matematik för alla delger Malmer (2002) en matematikordlista
med viktiga begrepp när det gäller benämningar för t.ex.:
färg, form, storlek och utseende
13
jämförelseord som svarar på frågan hur, t.ex.
storlek, t.ex. liten - mindre - minst
antal, t.ex. färre, flest
kvantitet (volym), t.ex. litet - mindre - minst
massa (vikt), t.ex. lättare, tyngre
längd, t.ex. lång- längre - längst
höjd, t.ex. låg - lägre - lägst
bredd, t.ex. bred - bredare - bredast
tjocklek, t.ex. tunn - tunnare - tunnast
ålder, t.ex. gammal - äldre - äldst, ung - yngre - yngst
pris, t.ex. dyr - dyrare - dyrast, billig - billigare - billigast
och
ord som ofta används i kombination med jämförelseorden,
t.ex. hälften, halv, udda, ringa, drygt, knappt
lägesord som svarar på frågan var, t.ex.
i, på, över, först, sist, före, efter, överst, i början, i slutet, framför,
bakom, bredvid, mellan, närmast, utanför, ovanför
tidsord som svarar på frågan när, t.ex.
varannan, i förrgår, i fjol, i övermorgon, ständigt, sällan, ibland,
emellanåt .
3.1.2 Definition av organisations-, grupp- och individnivå
I boken Att möta barns olikheter beskriver Ljungblad (2003) orden organisations-, grupp- och individnivå enligt följande.
Organisationsnivå
Organisationsnivå är den nivå där politiker och ledning ger förutsättningarna för skolans arbete och den nivå där pedagogen inte själv kan bestämma
över eller förändra på egen hand. Det kan vara svårt att avgöra vad som hör
till organisationsnivå och vad som hör till gruppnivå då det inte finns några
tydliga gränser utan kan variera från skola till skola. Förutsättningar som
påverkar elevens situation på organisationsnivå är:
styrdokumenten
timplanen
skolans värdegrund
skolans syn på elever i svårigheter
skolans starka och svaga sidor
skolans resurser
pedagogernas kompetens
arbetslaget
samarbete mellan arbetslag
14
specialpedagogisk kompetens
elevhälsoteam
tillgång till annan yrkeskompetens ex. psykolog
pedagogisk handledning
flexibla gruppstorlekar
lokalernas utformning.
Gruppnivå
På gruppnivå är pedagogerna på skolan själva med och påverkar och förändrar. Den pedagogiska och didaktiska verksamheten i arbetslaget ligger
på gruppnivå, där pedagogerna har inflytande över relationerna människor
emellan. Det kan vara mellan pedagog och elev och mellan olika elever.
Eleven påverkas på gruppnivån av:
relationerna mellan eleverna
arbetet i arbetslaget
arbetet mellan arbetslaget
relationerna mellan eleverna och läraren
att ta tillvara på den specialpedagogiska kompetensen i gruppen
reflektion i arbetslaget
läromedlets roll i gruppen
arbetsformer och arbetssätt
möjlighet till ämnesöverskridande temaarbete
pedagogisk differentiering, nivågruppering
elevernas delaktighet
gruppens struktur
gruppens planering
kontinuerlig dokumentation
provtillfällenas utformning och variation
inköp av material och läromedel
läxhjälp
tillgången av vikarier.
Individnivå
På individnivå är det pedagogens ansvar att se varje enskild elevs behov
och förutsättningar.
Eleven påverkas på individnivå av:
hela sin situation
sina individuella förutsättningar gällande; syn, hörsel, motorik, social
förmåga, kognitiv förmåga, koncentrationsförmåga och förmåga till
uppmärksamhet
sin förmåga att utvecklas i matematik
15
sina starka sidor
sin delaktighet i matematikarbetet
provsituationernas utformning
hur arbetet är organiserat
vilka arbetssätt och metoder som används
tillgången till hjälpmedel, ex. miniräknare, bilder
tillgången till konkret, laborativt material
att kunna se sin egen utveckling
matematiksvårigheter
kommunikationssvårigheter
läs- och skrivsvårigheter
sina upplevelser av matematikarbetet.
3.2 Aktuell forskning
I så gott som all didaktisk litteratur framhålls språkets betydelse för begreppsbildning i matematik. Både skriftspråket och matematiken bygger på
språk i form av text, instruktioner och symboler (Sterner & Lundberg,
2004). Johnsen HØines (2002) talar i boken Matematik som språk om begreppsinnehåll och begreppsuttryck. Begreppsinnehåll är t.ex. tankar och
uppfattningar som vi har av omvärlden och begreppsuttryck är det språk
med vilket vi kan uttrycka dessa tankar och idéer.
En viktig del av begreppsutvecklingen blir att uttrycka sig språkligt.
Sådant samspel och kommunikation mellan elever och mellan elever och
pedagog sker t.ex. när eleverna löser problem i par eller i grupp av elever
där de diskuterar olika förslag på lösningar och val av strategier. Därmed
kan elevernas förståelse utvecklas och fördjupas när de möter andras sätt att
tänka (Gran, 1998; Sterner & Lundberg, 2004). I det flerstämmiga, dialogiska klassrummet har språket en central betydelse för inlärningsprocessen.
Det finns en nära koppling mellan språk och tanke och språket är en skapande kraft i relationer till andra människor (Dysthe, 1996).
Motivation är grundläggande för lärandet, kanske minst lika viktig som
inlärningskapacitet eller begåvning. Kreativitet och variation är andra
nyckelord i arbetet med att öka intresset för och att lära sig matematik
(Magne, 1998).
Det finns ett viktigt samband mellan de två kärnämnena svenska och
matematik, där språket har stor betydelse för utvecklande av det logiska
tänkandet och därmed för hela personligheten (Malmer, 2002). Förmågan
att förstå matematik hänger nära samman med språklig förståelse. Särskilt
ordförståelse har ett tydligt samband med elevernas matematikförståelse
(Skolutvecklingsenheten, 2003).
16
För att kunna bilda begrepp är det nödvändigt att kunna benämna ting
och företeelser i omvärlden. Det sker genom språket. Begrepp kan vara
öppna, dvs. självklarheter anses inte behöva utsägas, eller de kan vara
stängda. Matematiska begrepp är i regel stängda (NCM, 2005). Många av
begreppen lär sig barnen omedvetet under vardagliga situationer före skolstarten. I förskolan tas matematiska begrepp upp genom att man i den dagliga verksamheten räknar, klassificerar, benämner och mäter tillsammans
med barnen (Skolverket, 2003). Det tar tid att bygga upp förståelse i matematik. Därför är det bra att eleverna på detta sätt får möta matematikbegrepp tidigt utan att det är kopplat till krav. När barnen börjar skolan har de
med sig sina egna uppfattningar om vad begreppen betyder, baserade på
sina egna erfarenheter. Att förstå ett begrepp eller en symbol genom att ha
en föreställning om vad de refererar till och att genom förförståelse kunna
knyta an till och jämföra med tidigare erfarenheter är oerhört viktigt. Eleverna bör i undervisningen erbjudas en bred referensram, som kan hjälpa
dem att förstå matematiska begrepp (Skolutvecklingsenheten, 2003). Abstrakta begrepp hos barn bygger på tidigare inlärda eller på annat sätt förvärvade begrepp. Det är viktigt att barnet har begreppen i form av ord
kopplade till erfarenhet innan det kan översätta dem till det kortfattade matematiska symbolspråket. Det handlar i hög grad om att utveckla ett matematiskt talspråk. Talspråket bildar en nödvändig grund för den matematiska
begreppsbildningen och för det matematiska symbolspråket på samma sätt
som det bildar en nödvändig grund för läsinlärning (Malmer, 2000). Undervisning genom verbal beskrivning tycks i klassrummet vara det vanligaste sättet för begreppsinlärning, därnäst bilder, skisser och diagram
(NCM, 2005).
Att utveckla förståelse innebär inte bara att knyta ny kunskap till tidigare kunskap utan också att skapa rika integrerade kunskapsstrukturer. Struktureringen av kunskap gör den möjlig att använda i olika sammanhang.
Elever har större möjlighet att upptäcka hur deras befintliga kunskaper kan
relateras till nya situationer när de förstår samband mellan en mängd olika
begrepp. Att lära med förståelse innebär att eleverna parallellt med att de
utvecklar begreppslig förståelse också lär sig hur de kan använda sina kunskaper. Genom att sätta ord på tankar och idéer lyfts de upp och blir synliga
för reflektion och eftertanke och på så sätt kan en djupare förståelse nås
(Sterner & Lundberg, 2004).
Det inre talet är betydelsefullt för att vi ska kunna skapa inre representationer av ett innehåll, men även för att kunna hålla aktuell information i
minnet (a.a.). Johnsen HØines (2002) belyser Vygotskijs tankar om egocentriskt tal, dvs. att barn pratar med sig själva, som en viktig funktion i
begreppsbildningen. Efter hand slutar barnen att tala högt och går över i ett
17
tyst, inre tal och därefter i tänkandet. Talet försvinner inte, men tänkandet
utvecklar sig utifrån det och tar på så sätt över talet.
Elevernas begreppsutveckling är ett av de viktigaste målen för matematikundervisning och just inom detta område har laborativt arbete visat sig
värdefullt. Att kunna uttrycka sig med hjälp av flera representationsformer
och att uppfatta sambanden mellan dem är ett tecken på god förståelse i
matematik (Rystedt & Trygg, 2005). Hos såväl utvecklings- som inlärningspsykologer finns tanken att hanterandet av konkret material främjar
begreppsbildning. De har bidragit med synpunkter om hur barn kan bilda
begrepp, vilket är nödvändigt för barns intellektuella utveckling. I matematik - ett kommunikationsämne (NCM, 2005) understryker Dewey sin tes
learning by doing och Kilpatrick sin metod som innebär en syntes mellan
praktik och teori. Även Piaget betonar växelverkan mellan praktik och teori
och Bruner framhåller sin teori om de tre representationsformerna, dvs.
först ett manipulerande och undersökande av verkliga föremål, senare en
mental bild av föremålen och därefter benämningar av tingen i den omgivande verkligheten.
I undervisningen betonas numera vikten av att utgå från elevernas vardagliga erfarenheter och att söka åstadkomma växling mellan teori och
praktik. Eleven ska få känna på, handskas med och pröva konkret material
för att därigenom iaktta skillnader och likheter, dvs. generalisera och diskriminera. En upplevelse av ett tredimensionellt föremål genom manipulation ökar begreppsuppfattningen påtagligt (NCM, 2005).
I Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik (Sterner & Lundberg, 2004) presenteras forskning gällande begreppsbildning. Enligt författarna påpekar Miles att en elev skulle kunna lära sig förstå många begrepp
om man i undervisningen koncentrerade sig på att eleven ska förstå det underliggande begreppet och inte bara komma ihåg ordet. Författarna relaterar till van Oers som menar att symboler inte kan referera till situationer,
handlingar eller andra symboler om inte innebörden i dessa referenter är
kända. Enligt författarna betonar Kibel att språk och handling integrerar
och stöttar varandra och att det är viktigt att elever får den tid som krävs för
att språket ska kunna utvecklas. Avslutningsvis refererar författarna till
Anghileri som poängterar att på samma sätt som det tar lång tid att utveckla
skriftspråklig kompetens, tar det lång tid för elever att överföra konkreta
erfarenheter till mentala representationer och motsvarande matematiska
symboler.
Malmer (2002) menar att vid upptäckten av att elever har matematiksvårigheter, hänför sig dessa i de flesta fall till de mest elementära och
grundläggande begreppen. Det mest effektiva sättet att försöka förebygga
att elever får matematiksvårigheter är att se till att de får tillräckligt med tid
18
att bygga upp och befästa de grundläggande begreppen. Språklig träning
och utveckling av matematiska begrepp ska följas åt. Att ge eleven lust att
lära är betydelsefullt, eftersom lusten kommer med den djupa förståelsen.
Begreppen måste gå före symbolerna. Det gäller att utveckla ett matematiskt talspråk, eftersom det utgör grunden för den matematiska begreppsbildningen och det matematiska symbolspråket. Många pedagoger är medvetna om detta, men har ändå svårigheter att frigöra sig från beroendet av
en lärobok, tillägger hon.
Språket utgör grunden för tänkande och lärande, eftersom språket är det
viktigaste kommunikationsmedlet. Läsfärdighet och ordförråd har samband
med problemlösning men främst med den matematiska språkförmågan.
Alltså påverkas språklig förståelse och språkligt resonerande vid problemlösning. Språket vid matematikinlärning verkar således inte genom osorterad kommunikation utan genom relationer av tre slag: ordförrådets logik
dvs. lexikon, regelsystemet dvs. syntax och begriplighetens struktur dvs.
semantik (Magne, 1998).
3.3 Grundläggande förutsättningar i skolans värld som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter
3.3.1 Organisationsnivå
Förvaltningstjänstemän och politiker har ett övergripande ansvar för att ge
personella och ekonomiska resurser, möjligheter till kommunövergripande
samarbete och satsningar på kompetensutveckling i olika former, vilket ska
leda till att väcka och stödja elevernas lust att lära. Politikerna kan även ge
resurser så att det ges möjlighet för en dialog och kommunikation mellan
lärare i förskolan och skolan, samt mellan olika skolor i kommunen (Skolverket, 2003). Kommunen är också skyldig att se till elevernas behov och
bygga upp en fungerande verksamhet med specialister, som rektor, pedagog och föräldrar kan vända sig till då svårigheter uppkommer (Ljungblad,
2003).
Skolledningens ansvarsområde sammanfaller delvis med förvaltningstjänstemännens och politikernas ansvar. Dessutom ska skolledningen stimulera pedagogerna till erfarenhetsutbyte i vardagen, följa debatt och kunskapsutveckling, stödja kompetensutveckling i olika former och organisera
arbetssätt och innehåll i samarbete med pedagoger och elever (Skolverket,
2003). I Matematikdelegationens betänkande påpekas också skolledningens
viktiga ansvar att som pedagogiska ledare stimulera verksamheten så att
den utvecklas i enlighet med kursplanernas riktlinjer (Skolverket, 2004).
Ljungblad (2003) understryker att helhetssynen är viktig. Skolan måste
se alla delar av elevens liv för att förstå hans/hennes matematiksvårigheter.
Resurserna ska skapas så att de riktas direkt till eleverna för att möta deras
19
känslor, upplevelser och behov. Elever i matematiksvårigheter måste få arbeta tillsammans med utbildade lärare och specialpedagoger. Ibland kan
alla olika kompetenser som finns på skolan behövas för att på olika sätt ge
elever i svårigheter god undervisning både i praktiskt arbete och i dialog
för att stödja eleven, tillägger hon.
I Att lyfta matematiken - intresse, lärande, kompetens (Skolverket,
2004) poängteras att en satsning i förskola och de tidiga skolåren ger positiva effekter i hela utbildningssystemet från förskola till högskola och vuxenutbildning. Det unga barnets möte med matematik är ofta avgörande för
attityder, föreställningar och studieframgångar senare i livet. Att tidigt upptäcka och aktivt förhålla sig till starka och svaga sidor i barns och ungdomars kunskapsutveckling i matematik är mycket värdefullt både för individen och för samhället.
Malmer (2002) betonar språket som ett instrument för att nå kunskap.
Hon anser att tidig språkutveckling genom träning av språklig medvetenhet
redan i förskolan är en god investering inför framtiden.
3.3.2 Gruppnivå
På gruppnivå är pedagogerna på skolan själva med och påverkar och förändrar. Den pedagogiska och metodiska verksamheten i arbetslaget ligger
på gruppnivå, där pedagogerna har inflytande över relationerna människor
emellan (Ljungblad, 2003).
Lusten att lära matematik och tilliten till den egna förmågan är ett samband som är mycket stort. Då eleverna inte förstår eller ser nyttan med kunskapen har de heller ingen lust att lära. I undervisning som utmanar, där det
finns en glädje i att upptäcka och där det finns utrymme för känslor och
tankar stimuleras lusten att lära (Skolverket, 2004).
Då dialogen, flerstämmigheten dominerar i klassrummet, får eleverna
själva möjlighet att vara meningsskapande individer i samspel med varandra och pedagogen (Dysthe, 1996). Eleverna bör också få återkoppling
på sitt arbete och göras medvetna om sin viktiga roll. Samspelet mellan pedagogen och eleverna startar i bådas förutsättningar och undervisningen bör
byggas vidare utifrån elevernas tankesätt. Med hänsyn till elevernas olika
behov anpassas strategier och metoder. Viktiga inslag i undervisningen är
också gemensamma reflektioner och matematiska samtal (Skolverket,
2003).
För att eleverna ska våga ta risken att göra fel är det mycket viktigt att
det är ett öppet och tillitsfullt klimat i matematikundervisningen (Sterner &
Lundberg, 2004). Samtal och diskussioner i matematik som för elever är
svåra att förstå kräver öppenhet och trygghet (Ljungblad, 2003). Pedagogen
ska inte se det som att eleven svarar rätt eller fel, utan som att han/hon inte
20
förstått frågan. Därigenom kan pedagogen förhindra att eleven upplever sitt
bidrag som värdelöst och sig själv som dum. Eleverna måste få känna att de
kan och att de blir bejakade och accepterade. Undervisningen måste vara
individanpassad och möta eleverna på den nivå där de befinner sig (Malmer
2002). I föreläsningen Med lust och lek i tal och språk påvisar Juhlin
(2006-11-14) vikten av att eleven har rätt att göra fel och fadäser när han
eller hon använder ord för olika begrepp. Det är när eleven prövar och utmanas att använda nya ord som begreppen utvecklas.
Relationerna mellan eleverna är också viktigt att bevaka. Pedagogen
utvärderar kontinuerligt den grupprocess som pågår mellan eleverna och
känner in stämningen i gruppen. Eleverna bör få träning i att samarbeta
med olika kamrater och inte bara sin bästa kompis (Ljungblad, 2003).
Dialogen med pedagogerna och kamraterna är en resurs för utvecklingen av matematiska begrepp, problemlösning och annan matematisk förståelse. Genom samspel och kommunikation med kamraterna och pedagogen,
då eleverna diskuterar olika förslag på lösningar och val av strategier, kan
deras förståelse utvecklas när de möter andras sätt att tänka. Därigenom
kan de utveckla sitt eget tänkande, sin egen förståelse (Gran, 1998; Sterner
& Lundberg, 2004).
När eleven får kommunicera med sitt eget talade språk, använda sina
egna uttrycksformer, rita bilder eller arbeta laborativt, kan han/hon nå erfarenheter som sedan kan utvecklas till formella kunskaper och förståelse.
För elever i läs- och skrivsvårigheter kan symbolhanteringen vara särskilt
problematisk. Därför är åskådlighet och reflekterande samtal nödvändiga
på alla nivåer i undervisningen. (Sterner & Lundberg, 2004). Forskaren
Ahlberg fann i en studie att elever som fick angripa ett problem genom
både samtal, bilder och skrivande förbättrade sin problemlösningsförmåga
(Skolutvecklingsenheten, 2003).
3.3.3 Individnivå
Alla elever ska ha en individuell utvecklingsplan, IUP. I den kan pedagog,
elev och föräldrar följa elevens sociala utveckling och kunskapsutveckling i
relation till mål att sträva mot i läroplanen. Elevens IUP ska innehålla en
kartläggning av de kunskaper eleven har inom matematikämnet, elevens
starka och svaga sidor, mål för elevens lärande samt skolsituationen med
fokus på elevens sociala och emotionella utveckling (Utbildningsdepartementet, 2001). På individnivå är det pedagogens ansvar att se till varje enskild elevs behov och förutsättningar (Ljungblad, 2003). Pedagogen bör
utgå från elevens starka sidor och ge det stöd och hjälp som behövs för att
utveckla elevens svaga områden (Ljungblad, 1999).
21
Om det framkommer att en elev är i behov av särskilda stödåtgärder
skall åtgärdsprogram utarbetas. Åtgärdsprogrammet ska vara en särskild
planering för elever i behov av särskilt stöd. Det ska ta utgångspunkt i elevens hela skolsituation och det ska framgå vad man vill försöka åstadkomma samt med vilka medel och metoder man vill arbeta och hur det ska utvärderas (Utbildningsdepartementet, 2004). Åtgärdsprogrammet är ett skrivet dokument där det står hur personalen kring eleven samarbetar för att
utveckla eleven i svårigheter (Ljungblad, 2003).
I skriften Alla föräldrar kan! Hemmets läroplan vad föräldrar kan
göra för att barnen skall klara sig bra i skolan delger Grosin (2001) sin
uppfattning om vad föräldrar kan göra för att stötta sina barn. Han menar
bl.a. att föräldrar ska prata med sina barn om skolan, berätta om sina egna
kunskaper och erfarenheter samt hjälpa till med läxor och förbereda inför
prov.
Den största utvecklingspotentialen i svensk matematikutbildning finns
hos våra barn och ungdomar. Deras nyfikenhet, arbetsvilja och framtidsdrömmar är de viktigaste drivkrafterna i allt utvecklingsarbete (Skolverket,
2004). Ändå är det många elever som uppfattar matematiken som ett
främmande språk, som de inte känner någon gemenskap med. Därför är det
viktigt att pedagogen tar vara på elevens spontana berättande, då det ger
kunskap om hans/hennes språkliga uttrycksförmåga och egen verklighet.
Då eleven får syssla med och bearbeta ett matematiskt innehåll får pedagogen värdefull information om elevens språkliga utgångsläge. De uttrycksformer eleven använder visar ofta på fantasi och kreativitet och är i själva
verket ett betydelsefullt steg i den matematiska utvecklingen. I ett undersökande arbete skapas inlärning då ord behövs och blir efterfrågade när
eleven berättar och beskriver sina upptäckter och iakttagelser (Malmer,
2002).
Många elever har inte förmågan att i ord beskriva eller motivera vad
och hur de gjort. Det blir uppenbart vilken stor klyfta som råder mellan
tanke och språk, mellan det konkreta hanterandet och den abstrakta formuleringen. Elever som upplever svårigheter med matematiken har i allmänhet svag abstraktionsförmåga och oklara föreställningar, då deras ordförråd
ofta är begränsat. Förutsättningarna för deras begreppsbildning kan bli väsentligt större om de får arbeta med hand och öga i kombination med att de
berättar vad de gör och ser (a.a.).
Johnsen HØines (2002) beskriver hur Vygotskij inte ser språk som resultat av begreppsutvecklingen, utan som en del av själva begreppet. Språk
och tanke utvecklas dialektiskt. Begreppsuttryck är språk. Språk är allt uttryck för tanken såsom talat språk, tecken och kroppsspråk. Att uttrycka sig
genom språket är en viktig del av begreppsutvecklingen. När eleven använ-
22
der språket utvidgar han/hon förståelsen av olika begrepp och utvecklar sitt
sätt att språkligt uttrycka det. Det är svårt eller omöjligt att utveckla ett begreppsinnehåll utan att utveckla ett språk som täcker det. Genom olika erfarenheter och genom att använda begreppet i språket utvecklar eleven begreppet, både den innehållsmässiga och den språkliga sidan. När eleven har
förståelse för ett begrepp tolkar han/hon orden spontant och behöver inte
översätta det till andra ord han/hon har förståelse för. Enligt Johnsen HØines (2002) kallar Vygotskij detta språk av första ordningen. Om eleven
kommer i kontakt med begrepp som han/hon inte har förståelse för fungerar
det som ett främmande språk för honom/henne. Vygotskij (Johnsen HØines,
2002) benämner det som språk av andra ordningen. Detta begrepp måste då
översättas genom att använda elevens språk av första ordningen. Språket av
första ordningen blir då översättningsledet mellan det nya språket och barnets begreppsvärld. Johnsen HØines (2002) poängterar vidare att det är eleven själv som utvecklar sina begrepp och som bygger upp sin begreppsvärld. Pedagogen fungerar som ledare och inspiratör. Nya begrepp bör alltid ha anknytning och ge associationer till det redan kända. Därför är det
betydelsefullt att pedagogen i sitt arbete ständigt är medveten om att det är
eleven som är utgångspunkten. När pedagogen talar till eleverna med ord
som de är välbekanta med kan de koncentrera sig på innehållet och därmed
orsakar språket ringa svårigheter. Målet är att eleven genom sitt eget språk
ska finna matematik nyttig och att de får uppleva att de tänker och löser
problem genom den, poängterar hon.
Hur eleven tolkar en text kommer att bestämma vilka strategier
han/hon väljer för att komma fram till en lösning och hur han/hon värderar
uppgifternas lösningar. Enligt NCM (2001) betonar Mayer två delar som är
viktiga för läsförståelsen. Den ena är den semantiska förståelsen, dvs. förståelsen av innerbörder. Dessutom krävs speciell kunskap om betydelsen av
vissa begrepp som t.ex. mer än, likformig m.fl. Den andra delen är representation av textens innehåll, dvs. att läsaren gör sig en inre föreställning
och skapar en mental modell av innehållet.
När eleven sätter ord på tankar och idéer, lyfts de upp och blir synliga
för reflektion och eftertanke. På så sätt kan en djupare förståelse nås. Genom att kommunicera med sitt eget talade språk, använda sina egna uttrycksformer, rita bilder eller arbeta laborativt, kan eleven nå erfarenheter
som sedan kan utvecklas till formella kunskaper och förståelse. För elever i
läs- och skrivsvårigheter kan symbolhanteringen vara särskilt problematisk.
Därför är åskådlighet och reflekterande samtal nödvändiga på alla nivåer i
undervisningen (Sterner & Lundberg, 2004).
23
3.3.4 Pedagogens roll
Pedagoger som anknyter sin undervisning till verkligheten och visar hur
kunskaperna kan användas i vardagslivet har ofta en förmåga att förmedla
en lust att lära till eleverna. De talar med eleverna istället för till eleverna
och utgår från både sina egna och elevernas erfarenheter (Skolverket,
2004).
Pedagogens uppgift är att ge alla barn det stöd och den stimulans som
de behöver i mötet med skriftspråket och matematiken. Det förutsätter att
pedagoger som undervisar i matematik är väl bekanta med läroplaners och
kursplaners mål för matematik, men också att de har goda ämnesteoretiska,
pedagogiska och didaktiska kunskaper i och om matematik. De måste även
vara förtrogna med vad som kan bidra till läs- och skrivsvårigheter och
samband mellan sådana svårigheter och lärande i matematik (Sterner &
Lundberg, 2004).
Vid kartläggning av en elevs kunskap i matematik är det viktigt att pedagogen ser eleven i ett helhetsperspektiv. Det är betydelsefullt att ta reda
på vilka begrepp och metoder eleven är förtrogen med och kan använda,
hur eleven tänker, handlar och kan uttrycka sig med hjälp av olika material
såväl som språket, men också vilken inställning eleven har till matematik
och hur han/hon uppfattar sin egen roll. Då pedagogen får kännedom om
undervisningssätt och strategier som eleven mött tidigare och kommer att
möta i framtiden kan pedagogen följa upp tidigare kunskaper samt förbereda för grundläggande begrepp innan de tas upp i undervisningen. (Malmer,
2002). Det är viktigt att pedagogen har en genomtänkt plan för sin undervisning (Sterner & Lundberg, 2004).
Inlärningen sker på vägen från en tankestruktur till en annan. Denna
förändring av tankestrukturer blir matematiklärandets kärna. Då eleven lär
sig hantera ett problem eller försöker formulera sina tankar, sin verklighetsbeskrivning, sker inlärning. En av pedagogens viktigaste uppgifter är
därför att försätta eleven i problemsituationer som väcker reflektion och
eftertanke och som ger anledning till att eleven formulerar nya begrepp och
upptäcker nya sammanhang (Gran, 1998).
I Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik (Sterner & Lundberg, 2004) betonas pedagogens betydelsefulla roll för elevers lärande där,
enligt våra läroplaner, kommunikation och reflekterande samspel är viktiga
delar. Betydelsefullt är att pedagogen utvecklar en undervisning som bidrar
till att eleverna lär sig skapa inre bilder, inre representationer av tal och
händelser med anknytning till matematik, så att de även utvecklar ett formellt tänkande.
När man behöver använda speciella termer och symboler, gäller det att
konkretisera deras innerbörd och att genom diskussion med eleverna få
24
dem att förstå hur man använder de olika begreppen som ett komplement
till vardagsspråket (Löwing & Kilborn, 2002).
I Hög tid för matematik (NCM, 2001) betonas att eleverna behöver en
tydlig och väl strukturerad undervisning i läsförståelse i samband med matematik. Det fordrar att läraren har goda kunskaper om läsning och läsförståelse så att undervisningen kan anpassas till enskilda elevers behov.
Specialpedagogens uppgift är att förebygga svårigheter så långt det är
möjligt och undanröja svårigheter som uppstår så fort som möjligt. På organisationsnivå är de specialpedagogiska uppgifterna att ansvara för kompetensutveckling av lärare, arbetslag och skolpersonal. Dit hör också att
handleda pedagoger, assistenter och övrig personal (Liljegren, 2000). En
annan viktig uppgift som specialpedagogen har är att arbeta för kontinuitet
och samarbete mellan förskola och skola samt mellan olika skolformer
(Sterner & Lundberg, 2004).
Specialpedagogen ska tillsammans med pedagogen utarbeta åtgärdsprogram för de elever som behöver särskilda stödåtgärder. Åtgärdsprogrammet ska bygga på en omfattande kartläggning av elevens undervisningssituation. Åtgärderna bör omfatta det som berör det enskilda barnet
men även förändringsarbete på grupp- och organisationsnivå. I kursplanen
för grundskolan nämns att undervisningen i matematik ska främja elevernas
allsidiga utveckling och ge stöd åt de elever som behöver längre tid att lära.
(NCM, 2000).
Undervisningssituationen bör helt naturligt utformas så, att elevernas möjligheter - utifrån
individuella förutsättningar - tas tillvara. Detta innebär också att uppläggningen i sig måste
inrymma rika tillfällen till nya upptäckter och vidgade erfarenheter. En noggrann och systematisk planering är speciellt viktig för de svagare eleverna. Här behöver läraren mera
målmedvetet leda barnet fram till uppgifter, som det har förutsättningar att klara av. I annat
fall kan ett redan dåligt självförtroende ytterligare urholkas med kanske svårbotade skador
som följd (Malmer, 2002, s. 16).
3.4 Arbetssätt och strategier som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter
3.4.1 Organisationsnivå
Rektorn har som pedagogisk ledare och chef för pedagogerna i skolan det
övergripande ansvaret för att verksamheten som helhet inriktas på att nå de
nationella målen. Det är också rektorns ansvar att pedagogerna får den
kompetensutveckling som krävs för att de professionellt ska kunna utföra
sina uppgifter (Lpo 94).
25
Fler utvecklingsprojekt inom skolans värld har visat att framför allt
barn i de lägre åldrarna behöver konfrontationer med verkligheten som underlag för att bilda begrepp och begreppsrelationer (NCM, 2005).
Det är betydelsefullt att utgå från elevens verklighetsbild, bygga på
hans/hennes nyfikenhet och arbeta med problem som eleven själv ställer.
Problembaserad inlärning, PBI, har numera blivit ett lösenord för detta, där
varvning mellan egna iakttagelser och teori och tillämpning i vardagslivet
rekommenderas (a.a.).
En matematikverkstad är en rymlig lokal som är välfylld med matematikmaterial. Den ska vara till hjälp för att locka fram nyfikenhet, fantasi och
kreativitet samt bidra till positiva upplevelser och erfarenheter av matematik. Den ska vara till för alla, både elever som behöver extra utmaningar
och elever i matematiksvårigheter. För att matematikverkstaden ska vara en
gynnsam lärandemiljö krävs att både lärare och elever är medvetna om syftet med arbetet i verkstaden och att matematikinnehållet är i fokus (Rystedt
& Trygg, 2005).
3.4.2 Gruppnivå
Skolan ska enligt Lpo 94 sträva efter att varje elev lär sig utforska, lära och
arbeta tillsammans med andra.
Enligt Skolutvecklingsenheten (2003) visar forskning att när man samtalar kring matematiska begrepp i klassrummet ökar elevernas förståelse.
När eleverna får arbeta med problemlösning i grupp konfronteras de även
med klasskamraternas sätt att tänka och diskutera vilket kan ge dem kunskap om nya strategier. Vygotskij menar att allt vårt tänkande har sitt ursprung i och utvecklas i relation till andra människor.
Språket behöver uppmärksammas i matematikundervisningen, vilket
gynnar elevernas lärande i matematik. I arbete med laborativ matematik
kan diskussioner kring ord och begrepp uppkomma spontant i en grupp
med elever, då de själva kan upptäcka att de behöver ha tillgång till ett större ordförråd. Vid aktivt arbete med språkutveckling kan lärare och elever
inför en aktivitet samla och lista ord och begrepp som är nödvändiga för att
de ska kunna diskutera matematiken i laborationen (Rystedt & Trygg,
2005).
Brügge, Glantz och Sandell (2001) menar att det finns många anledningar till att använda utomhuspedagogik som komplement till inomhusmiljön. Några viktiga anledningar är positiva effekter för barns hälsa, motoriska utveckling, lekbeteende och koncentrationsförmåga. Ytterligare motiv är att det ställs krav på samarbete, vilket utvecklar den sociala kompetensen. Utomhuspedagogiken ger också möjligheter att nå förståelse genom
olika sinnen. Intressanta frågeställningar av didaktisk betydelse när det
26
gäller utomhuspedagogik är; Vad kan vi göra ute för att öka motivationen
och förstahandserfarenheten? Vilka effekter kan det få för förståelsen av
olika begrepp? Utomhuspedagogiken ger möjlighet att ämnesövergripande
levandegöra olika abstrakta begrepp. Eleverna får möjlighet till en direktupplevd undervisnings- och inlärningssituation där känsla, handling och
tanke förenas. Utgångspunkten för själva lärandet blir i utomhuspedagogiken den direkta upplevelsen där man förstår med hela kroppen och där det
är viktigt att reflektera över vad man lärt och känt. Det ökar motivationen
och förståelsen av vår omvärld.
Lärarkompetensen, såväl den pedagogiska som ämneskompetensen är
den enskilda resurs som har störst betydelse för elevens resultat. Ett fruktbart samspel mellan engagerade och kunniga pedagoger och deras elever
leder till att eleverna upplever innehållet relevant och begripligt. Det medför att de känner att de lyckas, vilket leder till ett personligt växande och
ökad självtillit för var och en (Skolverket, 2003).
Nivågrupperingen ses främst som ett resultat av problemet att hantera
elever som har svårigheter och som behöver längre tid för inlärning. Skillnaden mellan grupperna handlar oftast om hur avancerade uppgifter eller
hur många moment eleverna i de olika grupperna ska hinna med (a.a.).
3.4.3 Individnivå
För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer.
Detta gäller alla elever, såväl de som är i behov av särskilt stöd som elever i behov av särskilda utmaningar (Skolverket, 2000, s. 28).
Eleven måste ha en aktiv, medveten vilja att lära sig. Viljan infinner sig
lättare om pedagogen kan skapa en atmosfär där eleven känner att man
räknar med honom/henne och också tar hänsyn till de omständigheter eleven lever under. Pedagogen bör ta vara på elevens specifika intressen och
utgå från elevens starka sidor (Malmer, 2002). Matematiska begrepp utvecklas med hjälp av språket, eleven blir medveten om sitt kunnande och
om hur man lär. Eleverna behöver därför arbeta med att förklara hur de har
tänkt, hur de löst uppgifter och delta i samtal kring matematik som ett led i
att utveckla sitt matematiska språk, sitt matematiska tänkande och sin förståelse (Skolverket, 2003).
Vid begreppsbildning kan man i undervisningen använda en deduktiv,
dvs. förklarande, eller induktiv, dvs. upptäckande metod. Vilken metod
som passar bäst vid begreppsbildning hos barn beror på vilket stoff man
arbetar med och svårighetsgraden hos detta. Tillgång till laborativt material
som tillåter en upptäckande undervisningsmetod anses dock ge mera bestående effekter (NCM, 2005). Det laborativa materialets funktion är att lyfta
27
fram det matematiska tänkandet och att stödja språkliga förklaringar (Sterner & Lundberg, 2004). De didaktiska frågorna måste ständigt uppmärksammas för att ge önskvärda effekter på elevens lärande. Vad eleven ska
lära dvs. innehållet, varför det ska läras dvs. målet och hur det ska läras
dvs. metoden. Vid laborativt arbete är det avgörande för elevens lärande att
det sker en förskjutning från enbart hur-frågan till att även behandla vadoch varför-frågorna (Rystedt & Trygg, 2005).
Det krävs för de allra flesta elever att de får vara aktiva och kreativa i
konkreta sammanhang för att kunna nå fram till förståelse av abstrakta begrepp. De måste få möjlighet och tillfälle att upptäcka matematiska samband och processer som sedan omkodas till det matematiska symbolspråket
(Malmer, 2002; Sterner & Lundberg, 2004).
Kan eleven använda flera olika sätt att beskriva samma begrepp har
eleven en rikare begreppsbild och därmed en mer funktionell begreppskunskap (Rystedt & Trygg, 2005). Eleverna känner i många fall till och upptäcker mer än de har förmåga att verbalt formulera. Det visar på vikten av
att det är nödvändigt att mycket medvetet arbeta för att utöka elevernas
ordförråd. Det kan handla om att göra jämförelser av t.ex. antal, storlek,
längd, ålder, tid etc. (Malmer, 2002).
Har eleven någon form av inlärningshinder har han/hon ofta ett större
behov av att möta nya moment fler-perceptuellt. För en elev kan en form av
varseblivning vara starkare än en annan. Ökad lyhördhet och flexibilitet för
elevernas reaktioner kan emellertid bidra till att fler elever får stöd och stimulans i lärandeprocessen (Malmer, 2002). Talet och aktiviteten med händerna är lika viktiga och utgör delar av samma komplexa funktion. Båda
behövs när eleven ställs inför problem som ska lösas (Skolverket, 2000).
Elever som har svårt med hur symboler hanteras bör alltid arbeta muntligt i
samband med att nya matematiska begrepp introduceras och att de får använda konkreta representationsformer innan de gör överföringar till de matematiska symbolerna (Sterner & Lundberg, 2004).
3.4.4 Pedagogens roll
Rystedt och Trygg (2005) refererar till flera rapporter, där det betonas att
pedagogen har stor betydelse för elevernas lärande och att pedagogens
kompetens är den enskilt viktigaste resursen för hur väl elever lyckas i sitt
lärande. Skolverket (2004) menar att eleverna vill ha ämneskunniga pedagoger som kan förklara på olika sätt, ge gensvar på deras sätt att tänka och
resonera samt ha en bred repertoar av undervisningsmetoder.
Lusten att lära är en viktig förutsättning för att utveckla goda matematikkunskaper. För att det ska bli lustfyllt för eleverna måste matematiklektionerna organiseras med; variation i innehåll och arbetsformer, utrymme
28
för både känsla och tanke, upptäckarglädje, engagemang och aktivitet hos
både elever och lärare, möjlighet att jobba både individuellt och i grupp,
prat och reflekterande kring olika sätt att lösa uppgifter, inslag av laborativt, undersökande arbetssätt, att eleverna får återkoppling på vad de gör
samt att läraren är lyhörd för elevernas egna, ibland okonventionella lösningar (Skolutvecklingsenheten, 2003).
Pedagogens uppgift är att skapa en positiv miljö, att hitta lämpliga aktiviteter som leder mot de uppsatta målen samt att hjälpa eleverna att utveckla sitt tänkande och kunnande (NCM, 2005). För att ett arbetsklimat ska
vara kreativt och utvecklande krävs enligt Rystedt & Trygg (2005) utmaning, frihet, idéstöd, tillit, livfullhet, lekfullhet - humor, debatt, konflikt,
risktagande och idétid. Dysthe (1996) menar, att om pedagogen har höga
förväntningar på vad eleverna säger och skriver i klassrummet, uppmuntras
eleverna att tänka själva och kontinuerligt integrera ny information med
tidigare kunskaper och erfarenheter. Detta kräver att pedagogen ger stöd till
eleverna utifrån individuella förutsättningar, för att därigenom säkerställa
att eleverna har möjlighet att nå förväntningarna.
Undervisningens innehåll måste anpassas efter vilka förutsättningar eleverna har. Viktigt är att ta hänsyn till både psykiska och sociala samband.
Eftersom alla elever är olika betyder detta att pedagogen måste vara flexibel och ha beredskap att variera svårighetsgrad och representationssätt.
Detta kräver omfattande kunskaper (Malmer, 2002).
1. Det är lärarens ansvar att planlägga arbetet så att det skapas bästa möjliga miljö för
lärande. Detta innebär bl. a att det ges utrymme för reflekterande samtal, där det sker
utbyte av erfarenheter, tankar och idéer.
2. Arbetsklimatet skapas i samverkan mellan lärare och elever. Det bör präglas av hänsyn
och respekt. Elever ska våga fråga. Felaktiga svar skall bemötas på ett sätt som inte
gör den som svarar generad. Det är viktigt att elever får lära sig att planera sitt arbete,
vänta på sin tur och inte i onödan störa andra. Det är också värdefullt att de lär sig lyssna.
3. Elevens ansvarstagande för den egna inlärningen måste successivt utökas, men läraren
fungerar som en erfaren och kunnig studievägledare. Endast genom elevens egen aktiva
medverkan kan en inlärning komma till stånd.
4. Genom återkommande utvärdering och diskussioner fördjupas lärarens och elevernas
gemensamma ansvar för undervisningen (a.a., s.25).
Det centrala är att alla elever känner att de har möjligheter och att de blir
accepterade och bejakade. Om de får arbeta med lämpligt stoff på den nivå
och i den takt de har förutsättningar för kan de känna motivation, uppleva
lust och glädje och tro att det är meningsfullt att lära matematik för framtiden. Sker en anpassning till individuella förutsättningar och ett laborativt
och undersökande arbetssätt kan övning av språket och utveckling av de
matematiska begreppen följas åt. Språket har stor betydelse för elevernas
29
möjligheter att förstå begrepp och förmåga att utveckla tankeprocesser. Det
är därför viktigt att pedagogen tar vara på elevens spontana berättande, då
det ger kunskap om elevens egen verklighet och språkliga uttrycksförmåga
(Malmer, 2002; Sterner & Lundberg, 2004). För att ge eleven ett gott ordförråd måste pedagogen skapa inlärningssituationer där ord behövs och blir
efterfrågade, vilket kan ske i ett undersökande och laborativt arbete där
eleven berättar och beskriver sina upptäckter och upplevelser (Malmer,
2002). Där kan pedagogen stödja elevens begreppsutveckling genom att
visa på likheter och skillnader i de olika begreppen. Viktigt är att eleverna
får snabb återkoppling när de arbetar med begreppsbildning, eftersom det
annars är stor risk för missuppfattning. För att få en positiv effekt i arbetet
är det betydelsefullt att pedagogen har ett syfte med arbetet och att det utförs på ett genomtänkt sätt (Rystedt & Trygg, 2005). Diskussioner och
samtal i och om matematik bör vara en naturlig del i matematikundervisningen (Skolverket, 2004).
Instruktioner och förklaringar i matematikböcker innehåller ofta ett
språk och uttryckssätt som eleverna behöver tydlig och strukturerad undervisning i för att lära sig. Detta verkar vara en god pedagogik för de flesta
elever, men för elever i läs- och skrivsvårigheter är det en nödvändighet
(Sterner & Lundberg, 2004).
Språk och konkretisering hör nära samman. Med hjälp av språket tillägnar sig eleven matematisk information som han/hon sedan bearbetar,
kommunicerar med och konstruerar som ny matematisk kunskap. Hur eleven tolkar den nya informationen beror på tidigare erfarenheter och förkunskaper. Därför är det viktigt att pedagogen konkretiserar undervisningen
genom ett laborativt arbetssätt där det nya kunskapsfältet kan belysas. Det
kan även ske genom att pedagogen anknyter till gemensamma erfarenheter
som belyser det som ska läras. Syftet är att underlätta en språklig tolkning
och en språklig förståelse av undervisningens innehåll, där språket kan
översättas från en konkret och informell nivå till en formell nivå. Språket
får inte användas för att lotsa eleven förbi de problem som ska behandlas,
då det förhindrar en meningsfull inlärning (Löwing & Kilborn, 2002).
Muntligt och skriftligt språk har stor betydelse för bildandet av nya
tankestrukturer. Elevens matematiska förmåga och färdigheter är påverkbara. Där spelar undervisningen, vilken bör bidra till att utveckla elevens matematiska tänkande, en avgörande roll. Betydelsefullt är att möta eleven där
han/hon befinner sig i utvecklingen. Undervisningen måste utformas utifrån
pedagogens kartläggning av elevens totala situation, både vad gäller prestation dvs. färdighet och förutsättningar dvs. förmåga. Att få eleverna att
själva bli mer aktiva och ansvarstagande påverkar också inlärningsprocessen (Malmer, 2000).
30
Barn utvecklas och lär genom lek. Därför är det viktigt att sätta in matematikundervisningen i lekens sammanhang, där barnen använder sina
naturliga tänkesätt när de utforskar, konstruerar och fabulerar med tal, former och mönster (Johnsen, HØines, 2002).
Det är oerhört viktigt att pedagogen litar på sin kompetens och ger eleverna den tid de behöver för att i den takt de har förutsättningar för lära och
förstå de grundläggande begreppen. Det är också viktigt att ge de elever
som behöver specialpedagogiska insatser adekvat stöd (Malmer, 2002).
3.5 Hinder i arbetet med att utveckla begreppsförståelsen hos elever i
matematiksvårigheter
3.5.1 Organisationsnivå
När en elev i skolan inte når de enligt styrdokumenten uppställda målen
anses han/hon ha inlärningssvårigheter. Elevernas svårigheter varierar och
insatta åtgärder måste anpassas efter de enskilda eleverna (Skolverket,
2003).
Orsaken till svårigheterna kan vara många. Malmer (2002) framhåller
att man kan säga att en del elever har matematiksvårigheter, men att det
tyvärr är alltför många som i samband med undervisningen får svårigheter,
om inte undervisning och resurser är organiserade utifrån elevens förutsättningar och möjligheter.
Organisatoriska åtgärder för att förbättra matematikundervisningen kan
vara mindre grupper, mer tid och nivågrupperingar. Skolan behöver uppmärksamma det hinder som nivågruppering kan medföra då en elev kan
hamna i fel grupp och få för låga eller höga krav (Skolverket, 2003).
Lärarutbildningen handlar idag till stor del om vilka metoder som kan
användas för att utveckla elevernas förmåga. Den tillmötesgår inte pedagogens behov av undervisningskunskap i matematik. Lärarutbildningen måste
ge pedagogen större kunskap om hur eleven bygger upp sitt matematiska
vetande (Löwing & Kilborn, 2002).
Pedagoger som vill förändra undervisningen kan ha flera hinder på vägen; lättare att förlita sig på en lärobok än på sin egen planering, kravet på
individuell anpassning är tidskrävande, en viss konservatism kan finnas hos
föräldrar vilket gör dem osäkra vid förändringar, svårigheter att få medel
för att skaffa de hjälpmedel och den utrustning som behövs samt att vardagen är tyngd av andra uppgifter, vilket gör att en förändring kan upplevas
som alltför krävande (Malmer, 2002).
31
3.5.2 Gruppnivå
Det sociala samspelet mellan eleverna är inte alltid så lätthanterligt. Några
elever vill dominera, andra håller sig villigt i bakgrunden. Om processen i
gruppen ska fungera på ett tillfredställande sätt beror på hur arbetsklimatet
är. De språksvaga eleverna måste få komma till tals annars kan deras situation ytterligare försämras. Det är viktigt att de vågar och får formulera sina
tankar och att deras inlägg bemöts positivt. De matematiksvaga eleverna
måste också accepteras och känna att pedagogen och kamraterna räknar
med dem, annars kan konsekvensen bli att de ger upp och dumförklarar sig
själva (Malmer, 2002).
Stress, osäkerhet och ångest kan visa sig hos elever i en grupp med negativa värderingar. Extra utsatta är ofta elever i svårigheter. Det kan också
hända mycket eleverna emellan på rasterna som kan påverka en del elevers
möjlighet att fokusera tankarna på lektionen (Ljungblad, 2003). Det är viktigt att pedagogen visar att det eleverna säger är intressant och värt att
kommentera, annars minskar elevernas självrespekt (Dysthe, 1996).
Samtal gruppvis är mycket utvecklande, men bygger på att pedagogen
inte ska styra utan vägleda elevernas diskussioner. Om pedagogen är alltför
aktiv kan eleverna passiviseras (Malmer, 2002).
Ett hinder kan vara att undervisningen bedrivs med mycket enskilt arbete och utan möjlighet till samtal. Vid detta samtalsfattiga arbetssätt tar
man inte i tillräckligt hög grad hänsyn till elevernas mycket olika behov,
pedagogiskt, kunskapsmässigt och socialt (Skolverket, 2003). Ett hinder
med det monologiska klassrummet är att undervisningen genom att utgå
från given kunskap, ofta i form av en lärobok, inte knyter an till elevernas
erfarenheter (Dysthe, 1996).
Pedagogerna anser att stora grupper omöjliggör ett varierat arbetssätt
med alternativa metoder såsom laborativt arbetssätt och problemlösning i
grupp, då det anses alltför betungande och svårt att hantera (Skolverket,
2003).
Det kan finnas olika anledningar till att elever får svårigheter och därför behöver stöd i skolan. Det kan vara pedagogiska förklaringar som för
stora klasser, outbildade pedagoger eller för få specialpedagoger (Ahlberg,
2001).
3.5.3 Individnivå
Det finns många olika förhållanden som kan orsaka att eleven får svårigheter med att utveckla förståelse av begrepp. Har eleven en svag kognitiv utveckling får han/hon ofta stora svårigheter i matematik, då det är ett ämne
som både kräver omfattande abstraktionsförmåga och koncentrationsförmåga. Neuropsykiatriska problem är ett annat hinder som ger eleven svå-
32
righeter med koncentration, uppmärksamhet och/eller hyperaktivitet. Ytterligare ett hinder för möjligheten att utveckla en god begreppsförståelse är
dyskalkyli, specifika matematiksvårigheter (Malmer, 2002). Andra individuella förutsättningar som kan försvåra inlärningen av matematik är brister
i perceptionen, hur individen tolkar det han hör och ser liksom den språkliga förmågan (Skolutvecklingsenheten, 2003).
Psykologiska orsaker såsom kognitiva funktionsnedsättningar eller
koncentrationssvårigheter är exempel på förklaringar till att elever behöver
extra stöd i skolan. En annan förklaring kan vara av sociologisk karaktär
som t.ex. brister i elevens hemmiljö. Det kan också finnas en medicinsk
förklaring såsom hjärnskada eller psykisk funktionsnedsättning (Ahlberg,
2001). För eleven som växer upp under sociala svårigheter kan vardagstillvaron vara oberäknelig, vilket innebär att eleven inte vet hur tillvaron gestaltar sig från en dag till en annan (Rosenberg & Werngren, 2004).
Att språket har en oerhört stor betydelse för begreppsbildning påvisar
all aktuell forskning. Språklig kompetens utgör en god grund för all inlärning. En elev med ett bristfälligt ordförråd eller en svag språklig medvetenhet får ofta stora svårigheter med den grundläggande begreppsbildningen. Det är i många fall brister i språket som gör att eleven inte kan uppfatta innehållet i textuppgifterna, även om han/hon behärskar de matematiska operationerna (Malmer, 2002; Sterner & Lundberg, 2004; Rystedt &
Trygg, 2005).
De flesta elever tycker att det är roligt att få en lärobok. Det är dock
inte självklart att den har en positiv inverkan på elevens lärande och förhållningssätt till matematik. Läroböckerna kan distansera en elev från den
praktiska användningen av matematik och underbygger inte alltid elevens
förståelse av matematiska begrepp (NCM, 2000). Det är vanligt att eleven i
matematiksvårigheter närmar sig läroboksuppgifter på ett mekaniskt sätt
där han/hon bortser från innehållet i texten och inte kopplar det till egna
erfarenheter och kunskaper. Det leder till att eleven får svårt att välja lämpligt räknesätt (Sterner & Lundberg, 2004). I Lusten att lära - med fokus på
matematik (Skolverket, 2003) påvisas att såväl innehåll, uppläggning som
hur undervisningen organiseras, i påfallande hög grad styrs av läroboken.
Elever med svag matematisk förmåga har svårt att hantera information.
Många saknar vanliga ord för att uttrycka jämförelser (Malmer, 2002). Det
kan också vara så att en elev har förståelsen för ord i sitt passiva ordförråd
men inte i det aktiva ordförrådet. Då förstår eleven ord som används men
använder dem inte spontant själv (Malmer, 2000). Matematiska muntliga
förklaringar och instruktioner, samt kontrasten mellan de precisa matematiska orden och deras innebörd och allmänna vardagliga ord kan då bli ett
33
problem för eleven. Detta visar vikten av att pedagogen instruerar eleven
på ett konkret sätt (Sterner & Lundberg, 2004).
En elev med bristfälligt ordsinne har särskilt stora svårigheter att förstå
ords uppbyggnad och har inte heller lätt att skifta uppmärksamheten från
vad ord betyder till hur de låter. Elevens inre föreställningar om hur orden
låter saknar detaljskärpa (NCM, 2001).
Ett hinder vid begreppsbildning kan vara att eleven har brister i fråga
om generalisering och diskriminering (NCM, 2005). Ytterligare hinder för
elevens begreppsförståelse är läs- och skrivsvårigheter. En elev med läsoch skrivsvårigheter har svårigheter med att lära sig nya ord och införliva
dem i sitt ordförråd. (Sterner & Lundberg, 2004).
Tal med text är ett hinder för elever med läs- och skrivsvårigheter, då
det påverkar elevens möjlighet till förståelse. Ju mer komplex språkmässigt
en benämnd matteuppgift är hur många ord och meningar som finns i texten, hur svåra orden är, om det finns bisatser med mera - desto större risk
att eleverna inte klarar att lösa uppgiften (Sterner & Lundberg, 2004;
Skolutvecklingsenheten, 2003). För eleven utgör en bristande textförståelse
ett hinder som påverkar problemlösningsprocessen allra mest, betydligt mer
än räkneförmågan (Rystedt & Trygg, 2005).
När eleven ska lösa ett problem krävs det att eleven förstår själva begreppet d.v.s. har kompetens för begreppet. Han/hon måste också behärska
den numeriska operation, d.v.s. färdigheten som krävs för att komma fram
till en korrekt lösning. Ju längre eleven i allmänhet har kommit inom kompetensnivån, desto längre har han/hon också kommit inom färdighetsnivån.
Har en elev kommit längre inom kompetensnivån än färdighetsnivån och
hela tiden möter uppgifter som kräver mer på färdighetsnivån än vad eleven
klarar av, är risken att eleven tappar modet och tror att det är det aktuella
begreppet han/hon inte förstår (Sterner & Lundberg, 2004).
En elev med språkliga svårigheter och bristfällig begreppsbildning kan
beroende på en god memoreringsförmåga lyckas hänga med i undervisningen förbluffande länge. Eleven lär sig modeller och mönster men har i
själva verket ingen förståelse för det han/hon gör (Malmer, 2002).
34
4 TEORI
Det finns en mängd teorier som försöker förklara hur inlärning sker. Vi har
valt att referera till de teorier som vi anser har betydelse för innehållet i vårt
arbete, där syftet är att undersöka och kartlägga pedagogers uppfattning och
erfarenhet av vad som ger elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse och därmed bättre förutsättningar att lösa matematiska problem.
Inledningsvis beskriver vi tre teorier som påverkat stoffet i våra läroplaner.
Ur en av dessa teorier framträder Vygotskijs idéer, vilka vi har funnit särskilt betydelsefulla för vårt arbete. Vi kommer att uppmärksamma Vygotskijs syn på språk och tänkande, den begreppsliga medvetenheten och den
närmaste utvecklingszonen.
4.1 Teorier om lärande
I skolverkets rapport Lusten att lära med fokus på matematik (Skolverket,
2003) nämns att läroplanerna stödjer sig på tre teorier om lärande: metakognitiv teori, symbolisk interaktionism och socialkonstruktivistisk teori.
4.1.1 Metakognitiv teori med kognitiv teori
BrØrup, Hauge och Lyager Thomsen (2006) beskriver att metakognition
och kognition är två kognitiva funktionssätt på olika nivåer och utgör det vi
brukar kalla för människans intellektuella kompetenser eller förmågor. De
två nivåerna arbetar efter olika principer. Den kognitiva nivån är färdighetsnivån som arbetar snabbt med rutinuppgifter. Den metakognitiva nivån
är den medvetna och reflekterande nivån som arbetar långsamt med problemsituationer.
Metakognition är det generella uttrycket för en människas förmåga att
se sin egen planering och förmågan till problemlösning. Det innefattar även
att kunna övervaka sina egna handlingar och vara medvetet uppmärksam på
sitt språk, sina känslor och sina avsikter. Detta handlar om att kunna tänka
på sitt eget tänkande, vilket är en specifikt mänsklig förmåga och är beroende av ett aktivt och engagerat själv för sin utveckling. Självet är väsentligt för elevens egen upplevelse av sin identitet. Elevens identitet är känslan
av att vara en individ som själv kan bestämma eller agera på det ena eller
andra sättet (a.a.).
Den metakognitiva teorin, där också kognitiv teori ingår, menar att
yngre elever lär sig genom att de först får göra, sedan får veta och till sist
kan förstå vad och hur de har lärt sig (Skolverket, 2003).
35
4.1.2 Symbolisk interaktionism
Enligt Skolverket (2003) handlar symbolisk interaktionism om elevernas
samspel med hjälp av symbolspråk. All interaktion är social och betyder att
vi samspelar med andra i växelverkan med oss själva både medvetet och
omedvetet. Symbolisk interaktionism innebär att använda olika språkliga
uttryck i undervisningen såsom tal-, skrift-, bild- och kroppsspråk. Språken
kan uttryckas genom olika kommunikationssystem i konst, drama, musik,
rörelser, spel och lekar. Den symboliska interaktionismen påvisar även att
det är av intresse att undervisningen är förankrad i elevernas erfarenheter
och uppfattningar av sammanhang som eleverna erövrat på sin fritid. Om
förutsättningarna för lärandet ska bli maximala ska undervisningen innehålla begripliga undervisningssituationer. Det måste finnas plats för kommunikation och social interaktion.
4.1.3 Socialkonstruktivistisk teori
Enligt Evenshaug och Hallen (2005) står både Piaget och Vygotskij för den
konstruktionistiska synen på inlärning och utveckling. Enligt detta synsätt
kan kunskap inte förmedlas utan var och en ses som sin egen resurs i lärandet. De anser att eleverna själva konstruerar sin kunskap. Piaget menar att
det i första hand är en fråga om elevens samspel med olika saker och händelser i omgivningen, vilket kallas kognitiv konstruktionism. Till skillnad
från denna kognitiva konstruktionism står Vygotskij för en social konstruktionism där kunskapen uppfattas som något som skapas först i samspel med
andra. Det är språket och de sociala förhållandena som möjliggör kunskapen.
4.1.4 Vygotskij
Lev Vygotskij verkade under sitt liv som rysk språkpsykolog. Hans teorier
om hur socialt samspel bidrar till barns lärande och utveckling är fortfarande aktuella för både pedagoger och psykologer runt om i världen.
Vygotskij (2005) hävdar språkets stora betydelse för allt lärande. Centralt i Vygotskijs språksyn är att språk och tänkande är oskiljaktiga. Språket
leder barnet framåt och språk och tanke utvecklas i en ständigt pågående
dialektik. Först befinner sig barns tänkande på ett icke-verbalt stadium och
deras tal på ett icke-intellektuellt stadium. Senare blir tänkande och språk
till ett, vilket Vygotskij benämner språkligt tänkande. Varje individs tankeprocesser är ett slags inre tal som är överfört och internaliserat med utgångspunkt i ett socialt samspel.
Den kognitiva utvecklingen hos barn hänger samman med deras förmåga att använda språket. Barnets sociokulturella upplevelser och erfarenheter har betydelse för deras språkliga utveckling. Begreppsutvecklingen
36
har avgörande betydelse för barnets språkutveckling. Vygotskij (2005) menar att begrepp hjälper oss att hålla ordning i det sociala och materiella
kaos som finns omkring oss. Utvecklingen av begrepp är en aktiv del av de
intellektuella processer som sker genom kommunikation, förståelse och
problemlösning. Interaktionen mellan människor har en avgörande betydelse för begreppsutveckling och för förmågan att skapa nya tankestrukturer.
Begreppsutveckling sker genom växelverkan mellan teori och praktik.
Vygotskij (2005) skiljer mellan spontana och vetenskapliga begrepp.
Spontana begrepp utvecklas genom sociala upplevelser i naturliga situationer i vardagslivet. De är omedvetna därför att de är osystematiska. Deras
utveckling börjar med det konkreta och fortsätter till det generella. Vetenskapliga begrepp är medvetna därför att det finns systematik i dem. Begreppsmedvetandet uppnås genom generaliseringar, från det generella till
det konkreta. Enligt Vygotskij är förhållandet mellan spontana och vetenskapliga begrepp sådant att de ömsesidigt påverkar varandra i utvecklingen.
Flera forskare (Bråten, 1996; Hydén, 1981) belyser att Vygotskij förespråkar en undervisning som utformas för att utveckla högre psykologiska
processer genom aktivt samspel mellan pedagogen och eleverna eller mellan eleverna och där varje enskild elev stimuleras att nå allt högre i sin utveckling. Utrymmet mellan den nivå eleven redan har nått och den nivå
han/hon är på väg mot kallar Vygotskij den närmaste utvecklingszonen.
Undervisning inom den närmaste utvecklingszonen utgår från de processer
som är under utveckling hos varje elev och stimulerar därigenom till vidare
utveckling. Den närmaste utvecklingszonen är således avståndet mellan vad
en elev kan utföra på egen hand utan hjälp och vad en elev kan utföra under
ledning av en vuxen eller i samarbete med kamraterna. Med god vägledning kan en elev lösa problem som annars skulle vara för svåra.
I en kort sammanfattning av Vygotskijs idéer lyfter Strandberg (2006) i
boken Vygotskij i praktiken fram att det mänskliga dialogiska mötet är en
skapande kraftkälla, att meningsfulla interaktioner utgör grunden till allt
lärande och att asymmetriska men jämlika relationer kan skapa utvecklingszoner.
Vi ser Vygotskijs syn på lärande som en viktig grund för att elever i
matematiksvårigheter ska utveckla en god begreppsförståelse.
37
38
5 METOD
Det här kapitlet inleds med en allmän metoddiskussion, där vi presenterar
olika alternativa metoder som kunde vara tänkbara för vår datainsamling.
Därefter beskriver vi den metod som vi valt att använda i vår undersökning,
samt motiverar varför vi valde just den metoden. Vi beskriver även två pilotintervjuer. Vidare följer en redogörelse kring valet av undersökningsgrupp, samt hur själva undersökningen gick till. Avslutningsvis presenterar
vi hur vi bearbetade och analyserade våra data, samt en diskussion gällande
reliabilitet, validitet och etik.
5.1 Allmänt om metod
En kartläggning av pedagogers uppfattning och erfarenhet av vad som ger
elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse kan genomföras
på olika sätt.
En möjlighet är att göra en kvantitativ enkätundersökning. Ytterligare
möjligheter är att göra fallstudier eller att be pedagoger att föra dagbok
över hur de arbetar med begreppsförståelsen i matematikundervisningen
under en vecka. En annan möjlighet är att göra kvalitativa forskningsintervjuer.
Dagböcker är en användbar metod för att ta reda på hur olika personer
använder sin arbetstid (Bell, 2000). Vi skulle kunna be pedagoger att föra
dagbok under en vecka över hur de arbetar med begreppsförståelsen i matematikundervisningen. Då pedagogerna i kommunen redan har en stor arbetsbelastning, tror vi inte att engagemanget skulle vara helt positivt. Dessutom skulle bristfälligt berättande påverka tillförlitligheten på ett negativt
sätt.
När man vill studera människors beteende och hur de samspelar med
sin omgivning är fallstudien en möjlig metod (Kvale, 1997). Inom pedagogiken kan fallbeskrivningar användas vid utvärdering, då de kan förklara
och beskriva den verkliga situationen (Merriam, 1994). Genom att göra
fallstudier skulle vi kunna få svar på hur pedagoger arbetar med begreppsförståelsen för elever i matematiksvårigheter. Detta skulle dock kräva
mycket tid och den tiden har vi inte till vårt förfogande.
En enkätundersökning ger kvantifierbara svar och går lätt att distribuera till många (Trost, 2001). Då vi valt att göra vår undersökning i en liten
kommun skulle en kvantitativ enkätundersökning inte ge tillräcklig information, då antalet pedagoger som arbetar från förskoleklass till år sex i
kommunen är begränsat. Risken för bortfall skulle dessutom påverka tillförlitlighetsaspekten negativt i en så liten enkätundersökning. Eftersom en
39
enkät kommunicerar verbalt blir den språkliga utformningen betydelsefull
(Stukát, 2005). Att ställa frågor med fasta svarsalternativ för att få del av
pedagogernas kunskap skulle vara svårt, då de frågeställningar som anges i
syftet av vår undersökning är alltför öppna, vilket skulle kräva utförliga
svar. Det skulle en kvantitativ enkätundersökning inte uppfylla.
Genom intervjuer skulle vi kunna ta del av den intervjuades livsvärld
och därmed få kunskap ur olika perspektiv. Den kvalitativa forskningsintervjun, som är som ett professionellt samtal med en struktur och ett syfte,
kom att framstå som den metod vi sökte. Med den metoden skulle vi kunna
vara lyhörda för de uppfattningar de intervjuade pedagogerna tog upp och
på så sätt få del av deras kunskap (Kvale, 1997).
Det behövs undersökningar av såväl kvantitativ som kvalitativ natur
och de kan ofta användas i kombination med varandra (Trost, 2001). Detta
fick oss att fundera på om vi kunde använda fler metoder i vår undersökning.
Efter noga överväganden bestämde vi att en enkätundersökning skulle
vara behjälplig för att uppmärksamma intressanta svar hos pedagoger som
har stor erfarenhet och kunskap om begreppsförståelsens betydelse för elever i matematiksvårigheter. På så sätt skulle vi genom enkätsvaren få hjälp
att välja lämpliga intervjupersoner. Den inledande enkätundersökningen
skulle följas av kompletterande intervjuer (Stukát, 2001). Genom den kvalitativa forskningsintervjun kunde vi få ta del av de intervjuades livsvärld
och därmed få kunskap ur olika perspektiv (Kvale, 1997).
5.2 Metodval
För att få en bred uppfattning om begreppsförståelsens betydelse för elever
i matematiksvårigheter valde vi att inleda vårt arbete med en enkätundersökning där pedagoger gav svar på givna frågor. Eftersom vi på förhand
hade god kännedom om det vi ville fråga om användes ett strukturerat formulär som innehöll frågor med fastställda svarsalternativ (Stukát, 2005).
Med enkätundersökningen besvarades framförallt frågorna vad, hur och när
(Bell, 2000). Dessa strukturerade frågor kompletterades med en öppen fråga, där pedagogen själv formulerade sitt svar. När vi utformade enkätfrågorna utgick vi från vårt syfte och dess frågeställningar (Stukát, 2005). Målet med enkätundersökningen var att få hjälp att välja intervjupersoner med
erfarenhet och kunskap om begreppsförståelsens betydelse för elever i matematiksvårigheter, samt ge oss lärdom om hur vi kunde fördjupa oss i vårt
problemområde.
Den inledande enkätundersökningen kom därför att följas av kompletterande intervjuer (Stukát, 2005). Genom att arbeta med vår huvudmetod,
kvalitativ forskningsintervju (Kvale, 1997), kunde vi få del av de intervjua-
40
de pedagogernas kunskap ur olika perspektiv. Med den metoden kunde vi
vara lyhörda för de uppfattningar de intervjuade pedagogerna, informanterna tog upp och på så sätt få del av deras kunskap (a.a.).
Den kvalitativa forskningsintervjun kan vara allt från helt öppen till
delvis strukturerad. Vi valde att genomföra en halvstrukturerad intervju.
Denna intervjuform kan också kallas semi-strukturerad (Stukát, 2005). Den
finns även omnämnd av Merriam (1994) men kallas då delvis strukturerad
intervju. Den halvstrukturerade intervjun kännetecknas av ett avgränsat
tema för intervjun och att det finns förslag på huvudfrågor.
Det är betydelsefullt att ställa bra frågor för att intervjun ska ge god information, vilket kräver erfarenhet och övning (Merriam, 1994). Frågorna
ska vara korta och enkla för att locka till utförliga svar, som följs upp och
tolkas under loppet av intervjun. Informanten kan då verifiera eller förtydliga sina uppfattningar (Kvale, 1997).
När vi utarbetade vår intervjuguide var det väsentligt att frågorna formulerades så att de inbjöd de intervjuade pedagogerna, informanterna, att
berätta utförligt om sina erfarenheter och kunskaper till frågeställningarna.
Fördelen med att använda huvudfrågor vid intervjuerna var att de gjorde
analysmetoden lättare, eftersom vi vid analystillfället kunde jämföra de olika informanternas svar för att eventuellt finna ett mönster inom vårt problemområde. Eftersom vi var två intervjuare var det väsentligt att vi kom
överens om en viss struktur vid intervjutillfällena för att vinna den kunskap
som syftet anger. Intervjumetoden gav oss möjlighet att göra förändringar
vad gällde frågornas form och ordningsföljd. Den gav oss också möjlighet
att följa upp vad informanterna tog upp genom att vi kunde ställa relevanta
följdfrågor (Kvale, 1997). Här kunde vi utnyttja samspelet för att få så fyllig information som möjligt (Stukát, 2005). Svaren följdes upp och tolkades
under intervjun. Den intervjuade kunde därmed verifiera eller förtydliga
sina ståndpunkter. Analysen blev på så sätt delvis inbyggd i intervjun.
För att kvaliteten på intervjuerna ska bli bra är det viktigt att vi som intervjuare har god kunskap om ämnet vi ska undersöka, att vi är empatiska
och öppna för nya aspekter i samspelssituationen samt att vi lyssnar kritiskt
och tolkande (Kvale, 1997). Eftersom vi är noviser på området var det särskilt viktigt att vi förberedde oss väl för att kunna utföra ett gott hantverk.
5.3 Pilotstudie
Avgörande för att en intervju ska ge god information är att ställa bra frågor,
vilket kräver erfarenhet och övning (Merriam, 1994). Vi har ringa erfarenhet av att göra intervjuer eller att utarbeta intervjufrågor. Därför bestämde
vi redan i examensarbetsplanen att det skulle vara betydelsefullt att genomföra pilotintervjuer före de egentliga undersökningsintervjuerna. Genom
41
denna praktik skulle vi få självförtroende och ökad förmåga till ett tryggt
samspel (a.a.). För att testa att våra intervjufrågor skulle ge god information
och utförliga svar valde vi att göra var sin pilotintervju. Den ena intervjun
gjordes med en pedagog som har lång erfarenhet av specialpedagogisk undervisning av elever år 4-9. Den andra intervjun gjordes med en pedagog
med erfarenhet från förskola och år 1-3. De fick båda den definition av ordet begrepp som vi valt enligt litteraturen, samt en intervjuguide med huvudfrågor, i god tid innan intervjutillfället. Detta för att de skulle få tänka
över frågorna innan intervjutillfället, för att på så sätt ges möjlighet att
lämna genomtänkta svar. Intervjuerna spelades in på band. Vi lyssnade
noga på de inspelade intervjuerna, först den egna och sedan på varandras.
På så sätt fick vi två oberoende tolkningar av varje intervju. När vi analyserade intervjuerna märktes att vi båda hade svårt att ställa bra följdfrågor.
Därför kompletterade vi vår egen intervjuguide med en mängd tänkbara
följdfrågor. Av informanternas svar märktes också en osäkerhet vid frågorna som rörde organisations- och gruppnivå. För att förtydliga dessa frågor
bestämde vi oss för att göra en definition av organisations-, grupp- och individnivå, vilken skulle skickas med i missivbrevet innan intervjutillfället
och även finnas med i vår uppsats.
5.4 Undersökningsgrupp
De intervjuade pedagogerna, vilka vi valde genom den enkätundersökning
vi tidigare redovisat, arbetar på fem olika stora skolor. Detta är samtliga
skolor med elever från förskoleklass till år 6 i vår kommun. Den största
skolan, ca 250 elever, ligger i centralorten och de övriga skolorna är små
bygdeskolor med elevantal från ca 10 - 70. Vi har numrerat de intervjuade
pedagogerna från 1 12.
Pedagog 1 och 2 arbetar i förskoleklass.
Pedagog 3, 4, 5 och 6 arbetar i år 1 3.
Pedagog 7, 8 och 9 arbetar i år 4 6.
Pedagog 10, 11 och 12 arbetar med specialundervisning år 1 6.
De intervjuade pedagogerna har en blandad erfarenhet av undervisning i
matematik, då några är nyutexaminerade och några har en lång erfarenhet i
yrket.
5.5 Genomförande
För att få hjälp att välja intervjupersoner med erfarenhet och kunskap om
begreppsförståelsens betydelse för elever i matematiksvårigheter inledde vi
vårt arbete med en enkätundersökning (bilaga A). Enkäten lämnades till 37
pedagoger som arbetar från förskoleklass till år sex samt i specialundervisningen inom alla rektorsområden i vår kommun. Till enkäten lämnades ett
42
missivbrev (bilaga B) med en definition av ordet begrepp (bilaga C). Vi
fick 32 svar av de 37 enkäter som vi lämnade ut. Utifrån dessa enkäter valde vi tolv pedagoger, med vilka vi tog personlig kontakt. Alla var positiva
till att bli intervjuade. De fick en kort information om syftet med undersökningen samt att den skulle spelas in på band. Vi kom överens om tid och
plats för intervjun. Vi valde att besöka varje pedagog som skulle intervjuas
på sin skola. Där, i ett klassrum/arbetsrum försäkrade vi oss om att få sitta
och samtala ostört ungefär en timme.
En vecka innan intervjuerna ägde rum fick intervjupersonerna ett missivbrev (bilaga D) tillsammans med definition av ordet begrepp, organisations-, grupp- och individnivå (bilaga E), samt intervjufrågorna (bilaga F).
Intervjuerna spelades in på band. Alla intervjuer gjordes under loppet
av två veckor.
5.6 Databearbetning
Vi lyssnade på de inspelade intervjuerna och skrev ner svaren näst intill
ordagrant. Därefter läste vi igenom anteckningarna flera gånger, både enskilt och tillsammans. Analysen skedde, utifrån syfte och frågeställningar,
genom att vi först gjorde en meningskoncentrering, där vi plockade ut de
meningsbärande resultaten. Sedan sammanförde vi meningskoncentraten i
kategorier. Detta för att ge en ökad tydlighet (Kvale, 1997). Vi sammanförde kategorierna i tabeller för att kunna göra jämförelser, söka efter likheter
och skillnader samt hitta mönster.
5.7 Reliabilitet och validitet
Vår inledande enkätundersökning gav en hög svarsfrekvens, 86 %. Tack
vare den höga svarsfrekvensen fick vi möjlighet att särskilja intervjupersoner ur en bred urvalsgrupp, vilket vi anser stärker tillförlitligheten inför intervjuundersökningen som redovisas i det följande.
Innan intervjutillfället fick de som skulle intervjuas ett missivbrev, där
de fick information om undersökningens syfte. Där kunde de även läsa definitionerna av ordet begrepp, organisations-, grupp- och individnivå, vilka
vi valt enligt litteraturen. Avsikten med detta var att alla skulle ha samma
förståelse vid intervjutillfället och att svaren därmed skulle bli jämförbara.
Vi skickade också intervjufrågorna till de valda pedagogerna, så att de fick
möjlighet att förbereda sig genom att tänka över frågorna i förväg. På detta
sätt ville vi försäkra oss om att få genomtänkta svar, vilket vi anser stärker
intervjuernas reliabilitet.
All forskning rymmer skevheter, bias. Ett sätt att minimera dessa skevheter är att vara uppmärksam och medveten om dem (Merriam, 1994). Därför var vår målsättning att ha en kritiskt granskande hållning och en med-
43
vetenhet om de tolkningar vi skulle göra under hela arbetet. Eftersom vi
avsåg att lyssna på varandras intervjuer kunde vi vara observanta på varandra och diskutera varandras tolkningar, så att kvalitetskontrollen kunde
upprätthålls Att använda flera uttolkare för samma intervju är ett sätt att
minimera faran för godtycklighet (Kvale, 1997). På så sätt skedde under
hela arbetet en löpande validering. Vi kunde säkra validiteten genom att
ifrågasätta och svara på frågorna vad och varför före frågan hur för att därigenom se till att innehåll och syfte kommer före metoden (a.a.). På samma
sätt kunde vi stärka reliabiliteten genom att se till att resultatets innehåll
stämde överens med det vi avsåg att undersöka (Stukát, 2005). Vi kunde
även validera genom att teoretisera, dvs. jämföra resultaten med vår litteratur.
Vi anser att vi hade möjlighet att stärka tillförlitligheten genom att använda oss av triangulering (a.a.), i vår undersökning enkät och intervju, då
den ena metodens svaga sidor ofta har den andras starka sidor.
Eftersom vi gjorde undersökningen i en liten kommun måste tillförlitligheten ifrågasättas, då valet av undersökningspersoner inte var slumpmässigt eller taget från en stor population. De pedagoger som vi valt att intervjua har vi valt utifrån enkäterna. Därmed har vi bara valt att intervjua pedagoger som har erfarenhet och kunskap om begreppsförståelsens betydelse för elever i matematiksvårigheter, vilket gör att svaren inte slumpmässigt
representerar alla aktiva pedagogers uppfattning. Vi vet dessutom inte om
vi skulle få samma resultat om undersökningen skulle göras i en annan
kommun som har andra förutsättningar.
5.8 Etik
Vår avsikt var att ta hänsyn till de olika etiska principer som enligt Stukát
(2005) är informationskrav, samtyckekrav, konfidentialitetskrav och nyttjandekrav.
Till enkäten bifogades ett missivbrev med information om enkätundersökningens syfte och genomförande. Där gavs tydlig information om att
enkätundersökningen inte skulle genomföras anonymt, utan att det skulle
framgå vem som lämnar enkätsvaren. Detta för att vi genom enkätsvaren
skulle få hjälp att välja intervjupersoner till vår fortsatta undersökning. Vi
informerade också om att vi skulle behandla enkäterna konfidentiellt och
att pedagogernas namn inte skulle röjas i vårt fortsatta arbete.
Vi tog personlig kontakt med tolv valda pedagoger för att genom informerat samtycke (Kvale, 1997) be om deras medverkan och förklara villkoren för intervjun. De som skulle intervjuas garanterades anonymitet och
att alla uppgifter de lämnar skulle behandlas konfidentiellt och att vi inte
44
skulle röja i vilken kommun vi genomförde undersökningen. Denna information sändes dessutom till intervjupersonerna i ett missivbrev innan
intervjutillfället. Vi berättade att vårt examensarbete kommer att publiceras
och att alla uppgifter endast skulle användas för vårt forskningsändamål.
Alla anteckningar och inspelningsband med de olika intervjuerna lovade vi
att förvara så att ingen utomstående kunde få tillgång till det under arbetets
gång. Vi informerade också om att allt material kommer att förstöras när
arbetet är slutfört (a.a.).
Alla kommer att få ett arbete när det är klart. Däremot kunde vi inte
lova att skicka utskrifter av analysen under tiden, pga. tidsbrist. Det skulle
annars vara ett bra sätt att verifiera tolkningarna (Kvale, 1997). Vi bestämde istället att vi kunde kontakta intervjupersonerna för att få ett förtydligande, om något i svaren var oklart.
Som forskare måste vi tänka på vår hederlighet. När vi söker ny kunskap, vid analys, tolkning och presentation av egna resultat eller citering av
andras, får vi inte förvränga eller försköna resultaten (Gustafsson, Hermerén & Petersson, 2004).
45
46
6 RESULTAT
Nedan redovisas resultatet av intervjuerna med utgångspunkt från våra tre
frågeställningar: grundläggande förutsättningar, arbetssätt och strategier
samt hinder. Resultatet redovisas delvis i tabellform med förklarande text
och valda citat av de intervjuade pedagogerna, delvis genom att enbart intervjusvaren citeras i sin helhet. Siffran inom parentes anger den pedagog
som uttryckt åsikten. Varje intervjuad pedagog finns tidigare redovisad, i
5.4 Undersökningsgrupp, utifrån sitt verksamhetsområde. Intervjufrågorna
finns redovisade i bilaga F.
Inför intervjuerna fick pedagogerna en beskrivning av hur vi enligt litteraturen valt att definiera ordet begrepp. Vi inledde fråga 1 med att samtala om hur beskrivningen stämmer överens med deras egen uppfattning. Alla
tolv anser att vår definition stämmer överens med deras egen mening. En
pedagog (5) berättar att definitionens förklaring att gripa med tanken och
begripa är en tilltalande förklaring, för om du inte begriper är det svårt att
förstå och gå vidare . En pedagog (10) uttrycker att ordningstalen också
borde ingå som ett begrepp.
De begrepp som flest dvs. åtta pedagoger (2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11) anser
viktiga att eleverna lär sig är jämförelseord. En pedagog (8) menar att dessa
ord är en slags nyckel för att eleven ska kunna omfatta, förstå och göra matematiken till sitt eget. Sju pedagoger (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9) uppger att begreppen för form är väsentliga. En pedagog (6) anser att många begrepp är viktiga men att form och mönster är grunden till all matematik. Färg, storlek
och utseende är betydelsefulla för hälften av pedagogerna (1, 2, 3, 5, 7, 9).
Ord som ofta används i kombination med jämförelseorden (5, 7, 9, 10, 11),
lägesord (2, 4, 5, 7, 9) och tidsord (5, 7, 9, 11, 12) anges som viktiga av
fem pedagoger vardera. En pedagog (9) anser att de flesta begrepp är viktiga, men att begrepp från vardagen ändå är mest angelägna.
Sju pedagoger (1, 3, 5, 6, 7, 9, 11) tycker att jämförelseord är svåra begrepp för eleverna att lära. Hälften av pedagogerna (1, 2, 3, 4, 8, 12) upplever tidsorden som svåra. En pedagog (4) menar att eleverna inte är vana vid
flera av dessa begrepp då de inte används i vardagen, vilket understryks av
två andra pedagoger (1, 2). Tre pedagoger (6, 10, 11) uttrycker att ord som
ofta används i kombination med jämförelseorden är krångliga.
47
6.1 Grundläggande förutsättningar i skolans värld som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter
I första området, grundläggande förutsättningar i skolans värld som gynnar
begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter, ingår fråga två och
fråga fem. Resultatet av fråga två redovisar vi på organisations- grupp och
individnivå.
Fråga 2 belyser grundläggande förutsättningar, förutom arbetssätt, som är
betydelsefulla för att elever i matematiksvårigheter ska nå en ökad begreppsförståelse.
Tabell 6.1.1
Grundläggande förutsättningar på organisationsnivå
Grundläggande förutsättningar
Antal
Respondenter
Små flexibla grupper
11
1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12
Specialpedagogisk kompetens
8
1,2,5,6,7,8,9,10
Lokaler
4
1,7,9,12
Skolans syn på elever i svårigheter
4
5,6,7,11
Material
3
1,7,12
Samarbete i arbetslaget
3
2,7,10
Samarbete mellan arbetslagen
2
2,7
Styrdokumenten
2
7,9
Politiker, ledning insatta i behoven
2
2,10
Pedagogens tid
1
3
Samarbete mellan skolor
1
2
Samtalspartner
1
10
Resurser som ger kvalité
1
5
På organisationsnivå anser elva pedagoger att små, flexibla grupper är en
grundförutsättning för att elever i matematiksvårigheter ska nå ökad begreppsförståelse. En pedagog (4) uttrycker: Det måste finnas resurser så
att man kan arbeta i flexibla gruppstorlekar och inte alltid vara hänvisad till
helklass . Två tredjedelar av respondenterna påvisar betydelsen av den
specialpedagogiska kompetensen. En respondent (1) menar: Ledningen
måste organisera den specialpedagogiska kompetensen så att den ger alla
elever i svårigheter möjlighet att utvecklas maximalt . En annan respondent (2) uttrycker: Jätteviktigt att det finns tillgång till specialpedagogisk
kompetens, jag tror att det behövs mer samarbete mellan skolorna då det är
svårt för den ensamme specialpedagogen eller specialläraren att själv ta
beslut och påvisa vad som verkligen behövs uppåt till ledningen och politikerna . Några pedagoger anger i intervjusvaren att det måste finnas ändamålsenliga lokaler. En pedagog (9) uttrycker: Det är viktigt att lokalerna
48
är utformade utifrån behoven i klassen . En annan grundläggande förutsättning som några pedagoger anser betydelsefull är skolans syn på elever i
svårigheter. En informant (11) uttrycker: Skolans syn på elever i svårigheter är viktig, inte bara specialläraren eller specialpedagogens, för vi är ju
bra på det, utan lärarna och ledningens syn, så att vi alla får en samsyn .
Andra synpunkter som framkommer är tillgången på material och att samarbetet fungerar i arbetslaget. Ett fåtal pedagoger menar att samarbete mellan arbetslagen, styrdokumenten eller att politiker och ledning är insatta i
behoven är betydelsefulla förutsättningar. Enstaka respondenter slår vakt
om pedagogens tid, att pedagogen har en samtalspartner, att det finns samarbete mellan olika skolor och att man vid resursfördelningen verkligen får
resurser som ger kvalitet.
Tabell 6.1.2 Grundläggande förutsättningar på gruppnivå
Grundläggande förutsättningar
Antal Respondenter
Kompetent pedagog
11 1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
Relationerna elev/elev
9
1,2,4,6,7,8,9,10,12
Relationerna pedagog/elev
8
1,4,5,6,7,8,10,12
Relationerna pedagog/pedagog
3
2,7,9
Nivågruppering
3
2,7,11
Ämnesövergripande temaarbete
2
2,7
Dokumentation
2
2,7
Tillgång till vikarier
1
7
Klassrumsmiljö
1
8
Pedagogernas syn på elever i svårigheter
1
11
Elva respondenter menar att det är viktigt med en kompetent pedagog i
gruppen. En pedagog (8) uttrycker: Man borde kunna renodla mera så att
det finns mattelärare, att man undervisar i tre ämnen istället för åtta . Nio
respondenter delger att relationerna mellan eleverna är betydelsefulla. Några menar att det måste vara ett tillåtande klimat i gruppen, där eleverna vågar misslyckas. Pedagogens relationer till eleverna anser sju respondenter
som viktiga grundläggande förutsättningar. En pedagog (8) uttrycker: Det
är betydelsefullt hur jag har det i klassrummet, om jag tillåter stök och bök
tror jag inte det stärker inlärandet av begrepp . Andra grundläggande förutsättningar på gruppnivå som ett mindre antal pedagoger anser viktiga är
relationerna mellan pedagogerna, möjlighet att nivågruppera eleverna, arbeta med ämnesövergripande temaarbete, dokumentation av elevernas
lärande, tillgången till vikarier, klassrumsmiljön och pedagogernas syn på
elever i svårigheter.
49
Tabell 6.1.3
Grundläggande förutsättningar på individnivå
Grundläggande förutsättningar
Antal Respondenter
Elevens förutsättningar
12
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
Hemmiljö/ sociala förutsättningar
8
1,2,3,7,8,9,10,12
Elevens starka sidor
3
2, 11,12
Elevens delaktighet
3
4,5,9
Lustfyllt lärande
2
1,2
Individanpassat
2
6
Läsning
1
6
Tillgång till material
1
9
Se sin egen utveckling
1
9
På individnivå är alla överens om att elevens förutsättningar är av grundläggande betydelse. En pedagog (11) menar: Vi måste möta eleverna på
den nivå de befinner sig . En annan (2) uttrycker: Det är viktigt att utgå
från elevens förutsättningar, att kolla av att allting fungerar t.ex. syn, hörsel, motorik och socialt, först då kan man möta eleven på rätt nivå . Åtta
pedagoger anser också att de sociala förutsättningarna i hemmiljön spelar
en stor roll. En pedagog (1) uttrycker: Barnen behöver så mycket som
möjligt med sig i sin ryggsäck och de måste redan som små få vara med i
vardagens sysslor och prata om vardagliga begrepp. Det är också viktigt att
eleven får sina grundläggande behov tillgodosedda hemma, mat, sömn och
hjälp med läxor . Ett fåtal pedagoger anger även elevens starka sidor, elevens delaktighet, lustfyllt lärande, individanpassning, läsning, tillgång till
material och att eleven kan se sin egen utveckling som grundläggande förutsättningar på individnivå.
50
På fråga 5 uppmanas pedagogerna att ge en bild av en önskesituation i arbetet med att ge elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse.
Tabell 6.1.4
Önskade förutsättningar för förståelse av begrepp
Önskade förutsättningar
Antal Respondenter
Flexibel liten grupp/nivågruppering
8
3,4,5,6,7,9,10,12
Variation i undervisningen
8
1,2,3,4,5,6,7,9
Individanpassat, ge tid
5
2,8,10,11,12
Matteverkstad
4
7,10,11,12
Kompetent pedagog på området
3
5,6,8
Undervisning av begrepp varje dag
2
3,9
Specialpedagogisk kompetens
2
1,4
Lustfyllt
1
1
Kartläggning och dokumentation
1
2
Ett bra läromedel
1
8
Intresserad och kreativ pedagog
1
11
Åtta respondenter menar att små flexibla grupper, ev. nivågrupperade, samt
variation i undervisningen är önskvärda förutsättningar. En informant (6)
uttrycker: Det måste vara variation i undervisningen, vi kan inte bara sitta
här inne i klassrummet, världen finns utanför, det är där barnen är sen, vi
måste varva teori, praktik och utomhuspedagogik . Fem pedagoger önskar
även möjligheten att kunna individanpassa. En informant (11) menar: Vi
måste möta eleven på hennes nivå, förstå elevens svårigheter och ge tid .
En tredjedel av respondenterna önskar någon form av matteverkstad. En av
dem (7) uttrycker: En matematiksal med gott om utrymme som jag kan
inreda med allt som behövs för en laborativ matematik . Ett fåtal önskar
kompetenta pedagoger, att undervisning av begrepp kan ske varje dag och
att det finns tillgång till specialpedagogisk kompetens. En informant vardera önskar att inlärningssituationen ska vara lustfylld, att pedagogen kartlägger och dokumenterar barnens tankar, ett bra läromedel samt mattelärare
som är kreativa och intresserade.
6.2 Arbetssätt och strategier som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter
I detta område ingår fråga 3 som behandlar arbetssätt och strategier som
gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter. Frågan belyser vilken roll pedagogerna anser att språket har för att elever i matematiksvårigheter ska nå ökad begreppsförståelse. Frågan rymmer även pedagogernas uppfattning om i vilken omfattning läroboken styr arbetet med
begrepp.
51
Tabell 6.2.1
Arbetssätt och strategier som gynnar begreppsförståelsen
Arbetssätt och strategier
Antal Respondenter
Matteprat
12
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
Bilder, rita
12
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
Konkret/laborativt material
12
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
Verklighetsbaserat
10
1,2,3,4,5,6,7,9,11,12
Variation
10
1,2,3,4,5,6,7,9,11,12
Lek, spel, drama, rörelse
9
1,2,3,5,6,7,9,11,12
Utomhuspedagogik
9
1,2,3,4,5,6,7,9,11
Dator
6
5,6,7,10,11,12
Kartläggning
3
4,6,10
Sång & musik
3
2,5,7
Problemlösning
1
2
Ge tid, repetition
1
11
Alla respondenter anser att de i sin undervisning kan gynna inlärning och
förståelse av begrepp genom att prata matematik, använda bilder, rita eller
använda konkret och laborativt material. Detta uttrycker en pedagog (11) så
här. Jag jobbade med en flicka som hade svårt med begrepp, vi pratade
bara vi två, vi använde mycket konkret material, mycket bilder, plockade
och jämförde. Tio respondenter menar att begreppsförståelsen gynnas genom att de varierar sina arbetssätt och använder verklighetsbaserad undervisning. En pedagog (9) säger: Jag försöker att variera arbetssätten och
utgår från vardagsmatematik, strategier ger jag dem gärna på tre olika sätt
så får eleverna välja det sätt de tycker är bäst . Nio respondenter svarar att
de använder lek, spel, drama eller rörelse. En pedagog (2) berättar: När vi
gör danslekar tränar vi begrepp då vi benämner inne, mitten, närmast, höger, framåt och bakåt . En pedagog (9) uttrycker: Eleverna får leka affär
och spela spel, de tycker det är kul och de lär sig jättemycket . Lika många
svarar att de använder sig av utomhuspedagogik för att inlärning och förståelse av begrepp ska gynnas. En informant (9) säger: Vi har varit ute och
samlat löv, eleverna fick sortera efter färg, form och storlek, pinnar fick de
sortera efter längd och tjocklek . Hälften av de intervjuade pedagogerna
använder datorn som komplement för att träna begreppsförståelsen. En pedagog (11) uttrycker: Eleverna tycker det är roligt att sitta vid datorn och
jag kan då använda den som morot och variation i undervisningen . Ett fåtal respondenter använder sig ibland av sång och musik och lika många
delger kartläggning som viktigt. En informant vardera menar att en strategi
som gynnar begreppsförståelsen är problemlösning och att ge eleven tid
och möjlighet att repetera.
52
Vilken roll språket har för att elever i matematiksvårigheter ska nå en ökad
begreppsförståelse presenteras i det följande. Vi väljer att redovisa citaten i
sin helhet, då de alla på olika sätt påvisar den stora betydelse språket har i
arbetet med att ge eleverna en ökad begreppsförståelse.
Stor betydelse. Barnen måste kunna få en förståelse för begreppet genom att använda begreppet i sitt tal, först lite trevande för att sedan ha erövrat och använda det i det vardagliga
språket. (1)
Jätteviktigt att eleverna får tillfälle att kommunicera. Då får de också ord på det de tänker.
Först då kan vi se hur de har tänkt. Vi måste stimulera dem så att de får utveckla sitt ordförråd. Många barn har ett jättedåligt ordförråd. De måste få chansen att höra samma ord och
begrepp många gånger så att de kan få förståelsen. (2)
Stor betydelse. Har de inte språket har de ingen förförståelse eller förmåga att uttrycka sig.
(3)
En viktig roll, för en förståelse behövs ord gärna i kombination med konkret material eller
bilder. Den som är van att uttrycka sig och beskriva tror jag också får lättare att förstå nya
begrepp själv. För det kan vara så att en elev inte riktigt förstått men under tiden man pratar
så kan man se - aha är det så det är! (4)
Språket har stor betydelse. Har man svårt för språket har man svårt redan här. (5)
Språket har en jättestor roll. Du måste som pedagog vara konsekvent och använda samma
begrepp och ord hela tiden, annars blir barnen förvirrade. När det gäller elevens språk är läsförståelsen viktig speciellt på sikt, det kommer lästal som de måste kunna förstå. Även om
de har den matematiska förmågan så kan de ju inte räkna om de inte kan läsa ut texten rätt.
De måste ha ordförståelsen. De kommer efter direkt annars, jag måste då hjälpa dem att läsa
och förstå problemet (6)
Stor betydelse. De måste ha en ordförståelse, de måste också lära sig det matematiska språket, att använda de matematiska uttrycken. (7)
Jätteviktigt. Du måste vara väldigt distinkt i det du säger. Du måste vara konsekvent. Du får
inte ena gången säga att det heter så, fungerar så och så nästa gång säger du något annat. Du
måste vara som jag upplever det ganska fyrkantig i ditt språk. Du måste ge eleverna den här
långsiktiga strategin för att på något vis kunna bygga på dom här begreppen. Man får inte
köra in eleverna i återvändsgränder för att det är smidigt just nu. Om de inte klarar, även om
det lite går över huvudet på en del, tror jag det är bättre att använda rätt benämning. Det tror
jag är viktigt. Redan från början, att man inte håller undan viss kunskap utan pratar om det
på ett sätt som är hållbart i längden. Att vara tydlig och konsekvent. (8)
Jag tror det är en viktig grund att man har en god språkförståelse, ett bra språk. Jag kan se
det på de tvåspråkiga eleverna. De har luckor när det gäller vissa begrepp och svårare att ta
det till sig, att förstå. Språket är viktigt. (9)
Lika viktigt här som i svenskan. Be barnen att förklara hur de tänkte. Hur kom du fram till
det där? Jag bara tänkte. Det tar flera månader innan de förstår vad jag vill få ut av det. Men
sen går det bra. Är de inte vana att förklara hur de kom fram till en lösning, då är det svårt.
(10)
53
Språket är jätteviktigt. Språket är ju det som blir begreppsförståelsen. Du ska kunna de här
orden. När orden ska bli din egendom. Helst ska det inte vara passivt, utan att du själv kan
använda dom. Språket är a och o. Jag tror att vi slänger oss med mycket ord i matematik
som barn inte förstår. Vi vuxna har förutfattade meningar att eleverna kan de här orden. Det
finns mycket som man behöver jobba med. (11)
Språket är det viktigaste, det är språket som gör att vi lär oss begreppen. Man måste kunna
använda språket när man lär sig begrepp, man måste ha ett bra ordförråd, det hänger samman. (12)
I vilken omfattning pedagogerna anser att läroboken styr undervisningen
vid inlärning av begrepp presenteras nedan.
Tabell 6.2.2
Lärobokens omfattning som styrande i undervisningen
Omfattning
Antal Respondenter
Läroboken som grund och kompletterar
9
3,4,5,6,7,9,10,11,12
med andra arbetssätt
Använder ingen lärobok
2
1,2
Styrs till stor del av läroboken
1
8
Nio respondenter anser att läroboken utgör en bra grund vid inlärning av
begrepp, men att de kompletterar med andra arbetssätt. En pedagog (7) menar: Jag är inte så styrd av matteboken vid inlärning av begrepp, jobbar
mycket bredvid med laborativt material, men skulle vilja ha en tunn mattebok med det viktigaste i alla områden och sedan ha utrymme för att göra
det på många olika sätt bredvid . En pedagog (4) berättar: För mig är läroboken ett viktigt redskap, men förhoppningsvis så styr den mig inte, där
kan man aldrig vara riktigt säker, men det är ett viktigt redskap och jag har
svårt att tänka mig att arbeta utan lärobok, men jag arbetar inte bara med
den utan kompletterar med t.ex. utomhuspedagogik . En annan pedagog (3)
uttrycker: Läroboken görs ofta till det viktigaste medlet, men inte för mig,
jag har den som ett hjälpmedel, att kolla vilka områden inom begrepp vi
ska behandla, men jag gör det på mitt sätt . Två pedagoger säger att de inte
är styrda av läroboken och använder ingen lärobok i undervisningen. En
pedagog (1) uttrycker: I förskoleklassen har vi ingen lärobok och jag känner inget behov av det, men det är viktigt med en grovplanering som jag
kan följa under året så att jag får med alla områden inom begrepp som eleverna i förskoleklass behöver bekanta sig med . En pedagog menar att hon
till stor del styrs av läroboken i undervisningen. Hon (8) uttrycker: Jag gör
även andra saker men styrs till stor del av läroboken, det är bra, författarna
är ju jätteintresserade av matematik och har suttit och tänkt, sen har de gjort
ett bra läromedel, sitt allra bästa, ska då jag säga att jag kan bättre? Jag ser
den som en positiv styrning .
54
6.3 Hinder i arbetet med att utveckla begreppsförståelse hos elever i
matematiksvårigheter
I detta område ingår fråga 4 som behandlar hinder i arbetet med att utveckla begreppsförståelse hos elever i matematiksvårigheter. Resultatet av fråga
fyra redovisar vi på organisation- grupp och individnivå.
Tabell 6.3.1
Hinder på organisationsnivå
Hinder
Antal
Stora grupper
11
Ingen specialpedagogisk kompetens
6
Pedagogens tid
5
Bristande ekonomi
3
Skolans syn på elever i svårigheter
3
Att inte få köpa individuella läromedel
2
Respondenter
1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12
3,5,6,8,10,11,
1,2,5,7,12
7,11,12
6,9,11
8, 12
Elva pedagoger anser att stora grupper är ett hinder för att elever i matematiksvårigheter ska nå en god begreppsförståelse. Barnen i stora klasser orkar vara koncentrerade max tio minuter , uttrycker en pedagog (10). Särskilt svårt är det för de som har myror i brallan , menar en annan pedagog
(8). Hälften av pedagogerna anger bristen på specialpedagogisk kompetens
som ett hinder. En pedagog (5) uttrycker: Avsaknad av specialpedagog är
ett hinder, de kan inte lämna allt ansvar till mig i klassen, finns inte det
specialpedagogiska tänket så tänker man inte kvalitet, det måste finnas på
ledarskapsnivå . Fem informanter menar att om pedagogens tid är otillräcklig leder det till svårigheter. En respondent (12) delger: Om pedagogens tid till eleverna, planering, dokumentation och utredning brister blir
det ett hinder . Planeringstiden i förskoleklass är otillräcklig, för att kunna
ge alla elever en god begreppsförståelse måste jag ha mer tid för planering,
dokumentation och diskussion med kollegor , menar en pedagog (1). Tre
pedagoger anser att bristande ekonomi ger svårigheter på organisationsnivå. Hur skolan ser på elever i svårigheter kan också utgöra ett hinder, menar tre respondenter. Ett fåtal pedagoger svarar att det blir ett hinder om de
inte kan köpa in individuella läromedel till elever som har behov av det i
sin undervisning.
55
Tabell 6.3.2
Hinder på gruppnivå
Hinder
Relationerna elev/elev
Bristande kompetens hos pedagogen
Relationerna pedagog/elev
Lokalerna
Schema klass/spec.grupp
Antal
10
10
5
5
2
Respondenter
1,2,3,6,7,8,9,10,11,12
1,2,4,5,6,8,9,10,11,12
1,3,6,9,11
1,4,7,9,11
8,12
Tio respondenter anger att dåliga relationer mellan eleverna i gruppen är ett
hinder. En grupp som inte fungerar tillsammans är ett hinder, när man
hämmar varandra, när man är osams eller nedvärderar varandra , menar en
pedagog (8). Lika många anser att bristande kompetens hos pedagogen kan
vara ett hinder. En respondent (6) uttrycker: Den specialpedagogiska kompetensen måste finnas för elever med svårigheter . Fem respondenter menar att dåliga relationer mellan pedagogen och eleverna medför svårigheter.
Som pedagog måste jag vara en tydlig ledare, pedagog, en vuxen, kunna
skoja krama dom och visa att jag tycker om dom, men även tala om att här
bestämmer jag, nu är jag arg och ledsen , säger en pedagog (6). Lika
många menar att lokalerna kan vara ett hinder. En pedagog (7) uttrycker:
Att ha laborativ matematik i en lokal som är för liten gör att eleverna stör
och blir störda av varandra . Två respondenter menar att en svårighet kan
vara när det inte går att få schema för klassen att passa ihop med möjligheten för elever att få tid tillsammans med den specialpedagogiska kompetensen.
Tabell 6.3.3
Hinder på individnivå
Hinder
Antal
Individens förutsättningar
10
Hemmiljö, sociala förutsättningar
9
Klassrumsmiljö
2
Ej lustfyllt
2
Brist på hjälpmedel
1
För snabbt tempo
1
Respondenter
1,3,5,6,7,8,9,10,11,12
1,2,3,4,6,7,8,10,12
6,11
1,9
10
11
Tio pedagoger anser att individens förutsättningar är ett hinder på individnivå. En pedagog (11) uttrycker: Det kan vara kognitiva svårigheter, matematiksvårigheter . En annan pedagog (8) säger: Läs- och skrivsvårigheter blir ett hinder vid problemlösning då eleven även har svårigheter att förstå de begrepp som finns med . Ytterligare en pedagog (3) menar: Det
måste finnas en förförståelse hos eleverna och de måste ha upplevt och pratat olika begrepp i verkliga situationer för annars blir det svårt för dem att
56
ta till sig nya begrepp Nio pedagoger menar att hemmiljön kan vara ett
hinder. En pedagog (6) uttrycker: Du kan ha elever som egentligen har
kompetensen men aldrig kan utnyttja den, han har kanske inte fått mat, han
har inte sovit, pappa har varit full och elevens tankar finns någon annanstans . En annan pedagog (4) menar: Elevens hemmiljö blir ett hinder om
eleven inte får möjlighet att samtala med många vuxna hemma . Ett fåtal
pedagoger anser att om eleven inte upplever att arbetet är lustfyllt eller om
klassrumsmiljön inte fungerar på ett önskvärt sätt hindras arbetet med att
utveckla begreppsförståelse hos elever i matematiksvårigheter. En pedagog
vardera menar att brist på hjälpmedel och att det är för snabbt tempo för
den enskilda eleven medför svårigheter.
57
58
7 ANALYS AV RESULTATET
I detta kapitel analyserar och tolkar vi de intervjusvar som utifrån syfte och
frågeställningar är intressanta att jämföra, diskutera och dra slutsatser av.
Vi har valt att dela upp analysen utifrån våra frågeställningar: grundläggande förutsättningar, arbetssätt och strategier samt hinder.
7.1 Grundläggande förutsättningar i skolans värld som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter
På organisationsnivå finner vi en stor samstämmighet hos pedagogerna att
små grupper är en grundläggande förutsättning för att elever i matematiksvårigheter ska nå ökad begreppsförståelse. Vi uppfattar att det är den förutsättning som pedagogerna anser viktigast för att gynna begreppsförståelsen. Denna synpunkt inbegriper även att det är flexibla gruppstorlekar som
kan förändras beroende på de behov eleverna har. Många pedagoger anger
även betydelsen av specialpedagogisk kompetens. Vi uppfattar att de menar
att det är viktigt att den organiseras på ett genomtänkt sätt. Några pedagoger uttrycker att det måste finnas ändamålsenliga lokaler. Skolans syn på
elever i svårigheter anses också som en viktig grundläggande förutsättning
av några pedagoger. Inte bara specialpedagogens roll, utan de övriga pedagogerna och framförallt ledningen, så det råder en samsyn över hela organisationen. Sedan kan vi notera att pedagogernas uppfattning om de grundläggande förutsättningarna på organisationsnivån är av skilda slag. Det som
nämns är resurser till material och resurser som ger kvalité. Även samarbete i arbetslaget, mellan arbetslagen och mellan skolor nämns. Likaså anges
tillgång till samtalspartner, pedagogens tid, vikten av att politiker och ledning är insatta i behoven samt styrdokumenten som grundläggande förutsättningar på organisationsnivå.
På gruppnivå anger nästan alla att en kompetent pedagog är en viktig
grundläggande förutsättning. Detta visar en näst intill enad uppfattning om
att pedagogens kompetens är av stor betydelse i gruppen. Många menar
också att relationerna mellan eleverna och mellan pedagogen och eleverna
är viktiga grundläggande förutsättningar. Sedan urskiljer vi att pedagogerna
delger flera olika uppfattningar om vad som är av betydelse på gruppnivå.
De olika uppfattningarna är relationerna mellan pedagogerna, möjlighet till
nivågruppering, ämnesövergripande temaarbete, dokumentation, tillgång
till vikarier, klassrumsmiljön och pedagogernas syn på elever i svårigheter.
Variationen i svaren tolkar vi som ett tecken på att olika förutsättningar är
olika viktiga för pedagogerna. Det kan också vara så att pedagogerna har
59
olika utgångspunkter i sitt arbete och de förutsättningar som de saknar ser
de som betydelsefulla medan de som redan finns känns självklara.
På individnivå uppfattar vi att alla pedagoger är helt överens om att elevens förutsättningar är av största grundläggande betydelse för begreppsförståelse. Vi uppfattar också att de flesta pedagoger menar att elevens sociala
förutsättningar i hemmiljön är en viktig grundläggande förutsättning. Sedan
kan vi av intervjusvaren notera att pedagogernas åsikter om de grundläggande förutsättningarna på individnivå är av skilda slag. Uppfattningar
som framkommer är elevens starka sidor, elevens delaktighet, lustfyllt
lärande, individanpassning, läsning, tillgång till material och elevens möjlighet att se sin utveckling. Intressant att notera är att båda pedagogerna
från förskoleklasserna har angett vikten av ett lustfyllt lärande för att gynna
begreppsförståelsen. Vår tolkning är att flera av de andra pedagogerna anser att det är lika viktigt att begrepp lärs på ett lustfyllt sätt från år ett till år
sex. Dessa pedagoger lyfter fram detta på andra ställen i intervjun och vi
uppfattar det därför som att de inte tänker på det som en grundläggande
förutsättning.
Vid analys av pedagogernas önskade förutsättningar kan vi skönja en
mängd variationer av små och stora idéer. De önskningar som är mest frekventa är små, flexibla grupper som eventuellt är nivågrupperade, samt variation av arbetssätt i undervisningen. Många eftertraktar också möjligheten
att kunna individanpassa undervisningen och ge varje elev den tid som behövs. En idé som några pedagoger önskar är en matteverkstad där det finns
gott om inspirerande material och utrymme för en laborativ matematik.
Några respondenter menar att pedagoger med god kompetens för aktuellt
område är en önskad förutsättning. Ett fåtal pedagoger anser att undervisning av begrepp för elever i matematiksvårigheter är önskvärd en liten
stund varje dag. Några få respondenter menar också att den specialpedagogiska kompetensen är eftertraktad. En pedagog vardera önskar en lustfylld
lärandesituation, möjlighet att kartlägga och dokumentera, ett bra läromedel samt en kreativ och intresserad pedagog. Vi tolkar pedagogernas önskeförutsättningar som rimliga i skolans värld idag och menar att de likväl kan
ingå i de grundläggande förutsättningarna. Orsaken till att vi inte får orimliga önskningar av pedagogerna tolkar vi som att pedagogerna är mycket
verklighetsnära och väl insatta i skolans begränsade ekonomiska ramar.
7.2 Arbetssätt och strategier som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter
Vår uppfattning är att alla respondenter är överens om att man som pedagog måste använda flera olika arbetssätt för att elever i matematiksvårigheter ska få förståelse för olika begrepp. De arbetssätt som alla menar
60
gynnar inlärning av begrepp är att prata matematik, arbeta med bilder eller
rita samt att använda konkret material som eleverna kan laborera med.
Andra arbetssätt som de allra flesta av pedagogerna anser gynnar inlärning
av begrepp är t.ex. lek, spel, drama, rörelse och utomhuspedagogik. Vi urskiljer också att nästan alla respondenter är överens om vikten av att det
man arbetar med utgår ifrån elevens verklighet.
Ett avvikande svar uttalas av en av pedagogerna som arbetar i förskoleklass. Hon berättar att hon medvetet arbetar med förståelse av begrepp genom problemlösning. Kanske finns det fler pedagoger som arbetar så, men
som inte tänker begreppsförståelse som huvudsyfte vid problemlösning och
därför inte nämner att det kan gynna inlärningen av begrepp.
Analysen av språkets betydelse för att elever i matematiksvårigheter
ska nå ökad begreppsförståelse ger ett samstämmigt svar av alla pedagoger.
De är ense om språkets betydande roll för att eleven ska kunna erövra en
ökad begreppsförståelse. Pedagogerna menar att språket hänger nära samman med ordförståelse och att eleven måste kunna uttrycka begreppen genom sitt språk. Det är språket som gör att eleven lär sig begreppen, språket
som blir begreppsförståelsen. Orsaken till att alla pedagoger ger liknande
svar är sannolikt att de i undervisningen så tydligt kan få en bild av hur eleven använder sitt språk och därmed kan se kopplingen mellan elevens förmåga att uttrycka sig, ordförståelse och begreppsförståelse.
Vi uppfattar att alla pedagoger anser att läroboken inte får styra undervisningen fullt ut och att den måste kompletteras med andra arbetssätt för
att ge elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse. De flesta
är överens om att läroboken kan utgöra en bra grund, men att det är viktigt
att undervisningen inte styrs för mycket av den. Pedagogerna som arbetar i
förskoleklass använder inte lärobok för inlärning av begrepp och båda menar att det inte behövs på den nivån. En pedagog avviker i intervjusvaren
och menar att hon till stor del styrs av läroboken, vilket hon tycker är en
positiv styrning. Det kan vara så att det är fler som till stor del styrs av läroboken, men att de uppfattar styrningen på olika sätt. Det kan också vara
så att just vid inlärning av begrepp finns det många andra arbetssätt som
pedagogen kanske föredrar istället för lärobok.
7.3 Hinder i arbetet med att utveckla begreppsförståelsen hos elever i
matematiksvårigheter
Vår uppfattning är att det hinder på organisationsnivå som pedagogerna
upplever som svårast är när gruppstorlekarna är för stora. Det sammanfaller
också med resultatet av att små grupper är den grundläggande förutsättning
som pedagogerna uttrycker som mest betydelsefull. Vi urskiljer även att
hälften av pedagogerna upplever bristen på tillgång av specialpedagogisk
61
kompetens som en svårighet i arbetet med att ge elever i matematiksvårigheter en god begreppsförståelse. Mindre än hälften har också betonat svårigheter att som pedagog få tiden att räcka till eleverna, planering, dokumentation, utredning, kartläggning och diskussion med kollegor. Bristande
ekonomi upplever några som ett hinder. Det sammanfaller med de övriga
svaren, förutom skolans syn på elever i svårigheter, eftersom stora grupper,
brist på specialpedagogisk kompetens, bristande tid för pedagogen och att
inte få köpa individuella läromedel kan bli ett hinder beroende på hur ledningen fördelar de resurser som finns till förfogande.
Vår tolkning av intervjusvaren på gruppnivå är att pedagogerna anser
att de största hindren finns när relationerna mellan eleverna i gruppen inte
fungerar eller när pedagogen har bristande kompetens. Vi ser även att relationen mellan pedagogen och eleverna samt lokalernas utformning kan utgöra hinder för inlärning av begrepp. Ett fåtal respondenter har också delgivit svårigheter med att få klassens schema och specialgruppernas tid att
passa ihop. En orsak till svårigheterna i relationerna mellan eleverna kan
vara att pedagogerna har stora grupper där det finns många elever med olika förutsättningar och på olika nivå i lärandet.
På individnivå uttolkar vi av pedagogernas svar att elevens förutsättningar och/eller hans/hennes sociala förutsättningar i hemmiljön upplevs
som de svåraste hindren. Några menar också att en hämmande klassrumsmiljö och en ej lustfylld lärandesituation är hindrande faktorer. En pedagog
vardera menar att brist på hjälpmedel samt ett för snabbt tempo för den enskilde eleven utgör hinder för att nå förståelse av begrepp. Orsaken till att
de flesta pedagogerna menar att elevens förutsättningar samt sociala förutsättningar i hemmiljön upplevs som hinder beror sannolikt på att de är så
märkbara i undervisningssituationen och att de även upplevs tydligt av pedagogen i relationen till eleven. Enstaka svar som avviker från de övriga är
brist på hjälpmedel eller för snabbt tempo. Dessa tolkar vi inte som orimliga, utan som upplevelser som fler håller med om men som de intervjuade
vid intervjutillfället inte hade i tanken just då.
62
8 SAMMANFATTNING OCH DISKUSSION
Syftet med arbetet är att undersöka och kartlägga pedagogers uppfattning
och erfarenhet av vad som ger elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse och därmed bättre förutsättningar att lösa matematiska
problem. Vi utgår från följande frågeställningar i vårt arbete: Vilka grundläggande förutsättningar i skolans värld inverkar på/gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter: Vilka arbetssätt och strategier
inom matematikundervisningen gynnar/stärker begreppsförståelsen hos
elever i matematiksvårigheter? Vilka hinder möter pedagoger i arbetet med
att utveckla begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter?
Kapitlet inleds med en kort sammanfattning. Därefter diskuterar vi vårt
resultat, vilket vi kopplar till aktuell forskning, litteratur och teori. Sedan
reflekterar vi kring specialpedagogens roll. Kapitlet avslutas med några
tankar om våra teorier om lärande samt kommentarer om vår datainsamling.
8.1 Sammanfattning
På organisationsnivå pekar resultatet av vår undersökning på att det är betydelsefullt att ledning och politiker ger skolan personella resurser i form
av kompetenta pedagoger och specialpedagogisk kompetens för att ge elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse. Det är också viktigt
att politiker och ledning ger resurser till verksamheten så att mindre grupper blir en möjlig strategi för att förbättra matematikundervisningen.
På gruppnivå visar vår undersökning att det är viktigt att arbetet i gruppen/klassen leds av en kompetent pedagog för att elever i matematiksvårigheter ska nå en ökad begreppsförståelse. Pedagogens relation till eleverna
har också stor betydelse. Det framkommer även att relationerna mellan eleverna i gruppen/klassen påverkar elevernas möjlighet att utveckla förståelse
för begrepp.
På individnivå pekar resultatet på att elevens förutsättningar är av stor
betydelse och att de kan utgöra både möjligheter och hinder. Många individuella förutsättningar kan påverka elevens möjlighet att nå en ökad begreppsförståelse, t.ex. elevens kognitiva utveckling, koncentrationsförmåga
och den språkliga förmågan. Elevens sociala hemsituation är en annan viktig grundläggande förutsättning som också kan utgöra ett hinder.
Vår undersökning visar att man som pedagog bör använda flera olika
arbetssätt för att elever i matematiksvårigheter ska nå förståelse för olika
begrepp. Arbetssätt som gynnar begreppsförståelse är t.ex. att prata matematik, arbeta med bilder eller rita samt att använda konkret material som
63
eleverna kan laborera med. Vikten av ett varierat och verklighetsbaserat
arbetssätt framkommer också i vår undersökning.
Vår undersökning påvisar språkets stora betydelse för att elever i matematiksvårigheter ska nå en ökad begreppsförståelse. Språket hänger nära
samman med ordförståelse och eleven måste kunna uttrycka begreppen genom sitt språk.
8.2 Diskussion
Pedagogerna delger många samstämmiga och en del avvikande uppfattningar om vilka grundläggande förutsättningar samt arbetssätt och
strategier som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter. Vilka hinder de möter i arbetet med att utveckla begreppsförståelsen
visar också både samstämmiga och avvikande uppfattningar.
Betydelsen av att undervisa i små grupper är en av de grundläggande
förutsättningar som alla pedagoger lyfter fram som gynnsam för elever i
matematiksvårigheter. De betonar även att stora grupper utgör ett hinder för
att elever i matematiksvårigheter ska nå en ökad begreppsförståelse. Detta
påvisar samma uppfattning som Skolverket (2003) redovisar i sin rapport,
där pedagogerna upplever stora grupper som hämmande för att kunna använda gynnsamma arbetssätt. Vi har samma uppfattning och håller även
med Ahlberg (2001) som menar att stora klasser kan vara en pedagogisk
förklaring till varför eleven får svårigheter. Här menar vi liksom Skolverket
(2003) och Ljungblad (2003) att ledningen och politiker har det övergripande ansvaret att ge resurser till verksamheten så att mindre grupper
blir en möjlig strategi för att förbättra matematikundervisningen. Dessa
synpunkter speglar Vygotskijs teorier, där han förordar en undervisning
som innehåller ett aktivt samspel mellan pedagogen och eleverna eller mellan eleverna (Bråten, 1996; Hydén, 1981; Vygotskij, 2005). Precis som
Strandberg (2006) menar vi att meningsfulla interaktioner utgör grunden
till allt lärande. För att det mänskliga dialogiska mötet ska bli en skapande
kraftkälla krävs just att undervisningen får ske i mindre grupper där varje
elev får samspela och kommunicera med andra för att utveckla sitt eget
tänkande, sin egen förståelse (Gran, 1998; Sterner & Lundberg, 2004).
Ledning och politiker har det övergripande ansvaret att ge skolan personella resurser i form av kompetenta pedagoger och specialpedagogisk
kompetens (Ljungblad, 2003; Skolverket, 2003). Vi instämmer i detta och
anser även att undervisningssituationerna måste organiseras på ett genomtänkt sätt så att pedagogens och specialpedagogens kompetens tas tillvara
på bästa sätt utifrån de möjligheter som finns, för att elever i matematiksvårigheter ska nå ökad begreppsförståelse. I skolans läroplan Lpo 94 beskrivs
att det är rektors ansvar att pedagogerna får den kompetensutveckling som
64
krävs för att de professionellt ska kunna utföra sina uppgifter. Personella
resurser i form av kompetenta pedagoger och specialpedagogisk kompetens
är pedagogerna i vår undersökning också överens om som en viktig grundläggande förutsättning. Det är som Ljungblad (2003) poängterar betydelsefullt att elever i matematiksvårigheter får arbeta tillsammans med utbildade
pedagoger och specialpedagoger. Ahlberg (2001) delar denna uppfattning
då hon anser att outbildade pedagoger eller för få specialpedagoger kan
göra att eleven får svårigheter i skolan. Sterner och Lundberg (2004) påvisar också vikten av att pedagogen har goda ämnesteoretiska, pedagogiska
och didaktiska kunskaper samt kunskaper om vad som kan vara bidragande
orsaker till läs- och skrivsvårigheter och därtill samband mellan sådana
svårigheter och lärande i matematik. Liljegren (2000) menar att det är specialpedagogens uppgift att förebygga svårigheter så långt det är möjligt och
undanröja svårigheter som uppstår så fort som möjligt. Det anser vi påvisar
betydelsen av att undervisningen organiseras med tillgång till specialpedagogisk kompetens i den omfattning som situationen kräver, annars blir det
som en informant uttryckte ingen kvalitet. Avsaknad av specialpedagog är
ett hinder, de kan inte lämna allt ansvar till mig i klassen, finns inte det
specialpedagogiska tänket så tänker man inte kvalitet, det måste finnas på
ledarskapsnivå . Specialpedagogen har också flera viktiga uppgifter för de
barn som behöver särskilda stödåtgärder, t.ex. att utarbeta åtgärdsprogram.
Malmer (2002) poängterar att det mest effektiva sättet att försöka förebygga att elever får matematiksvårigheter är att se till att de får tillräckligt
med tid att bygga upp och befästa de grundläggande begreppen. Anmärkningsvärt är därför att endast en pedagog anger vikten av pedagogens tid
som grundläggande förutsättning. Lika förvånande är att mindre än hälften
av pedagogerna lyfter fram brist på tid som ett hinder. Orsaker till detta tror
vi grundar sig i att pedagogen har fokuserat på andra saker t.ex. mindre
grupper. Då inbegriper deras svar även uppfattningen att de får mer tid för
varje elev för att bygga upp och befästa de grundläggande begreppen. Eftersom pedagogerna har koncentrerat sig på elevernas kunskapsutveckling
tror vi att de inte har tänkt på sin egen tid till planering och dokumentation
som en grundläggande förutsättning.
På organisationsnivå anser även några pedagoger att ändamålsenliga
lokaler, skolans syn på elever i svårigheter, resurser till material, resurser
som ger kvalité, samarbete i arbetslaget, mellan arbetslagen, mellan skolor
och tillgång till samtalspartner är viktiga grundläggande förutsättningar.
Alla dessa förutsättningar ser vi som möjliga, men förstår att det för kommunens politiker och skolans ledning är de ekonomiska resurserna som sätter gränser för hur mycket av dessa förutsättningar som det finns utrymme
för. Där menar vi att ledningen måste göra prioriteringar för vad som anses
65
mest betydelsefullt för att elever i matematiksvårigheter ska nå en ökad begreppsförståelse samt tydliggöra inriktningen för pedagogerna. Det är som
Skolverket (2003) menar skolledningens ansvar att fördela resurser, stimulera pedagogerna till erfarenhetsutbyte i vardagen, följa debatt och kunskapsutveckling, stödja kompetensutveckling och organisera arbetssätt och
innehåll i samarbete med pedagogerna.
I gruppen/klassen menar pedagogerna i vår undersökning samstämmigt
att pedagogens kompetens är av stor betydelse. De anser också att pedagogens relation till eleverna är av betydelse. Det är som en pedagog uttrycker
betydelsefullt hur jag har det i klassrummet, om jag tillåter stök och bök
tror jag inte det stärker inlärandet av begrepp . Sterner och Lundberg
(2004) påvisar betydelsen av pedagogens kompetens när det gäller vikten
av att ha kunskap om läroplanerna och kursplanernas mål för matematik.
Att pedagogen har en viktig roll i gruppen gällande såväl kompetens som
relationen till eleverna håller vi helt med om. Denna kunskap menar vi påvisar betydelsen av att vi som specialpedagoger arbetar för att det ges olika
former av kompetensutveckling. Vi kan även bidra med kunskap till pedagogerna genom handledning, både enskilt och i arbetslagen.
I vår undersökning uppfattar pedagogerna att relationerna mellan eleverna i gruppen har stor betydelse för att eleverna ska utveckla förståelse
för begrepp. Pedagogerna uttrycker goda relationer som en viktig grundläggande förutsättning samt att dåliga relationer i gruppen utgör ett hinder
vid inlärning av begrepp. En pedagog uttrycker: En grupp som inte fungerar tillsammans är ett hinder, när man hämmar varandra, när man är osams
eller nedvärderar varandra. Vikten av goda relationer eleverna emellan
påvisas i litteraturen (Dysthe, 1996; Ljungblad, 2003; Malmer, 2002; Sterner & Lundberg, 2004). Även Juhlin (2006-11-14) belyser detta i föreläsningen Med lust och lek i tal och språk. Vygotskij menar att kunskap skapas i samspel med andra och att det är språket och de sociala förhållandena
som möjliggör kunskapen (Bråten, 1996; Hydén, 1981; Vygotskij, 2005).
Vygotskijs teorier anser vi stärker ovan förda synpunkter i litteraturen och
av pedagogerna i vår undersökning, då goda relationer mellan eleverna i
gruppen är viktiga för att samspelet ska fungera utvecklande. Brørup, Hauge och Lyager Thomsen (2006) beskriver metakognition som människans
förmåga att övervaka sina egna handlingar och vara medvetet uppmärksam
på sitt språk, sina känslor och avsikter. Upplever eleven sin identitet som
en individ som själv kan bestämma eller agera på det ena eller andra sättet,
menar vi att det ger eleven möjligheter att våga agera inför sina kamrater på
ett utvecklande sätt utan att riskera att hämmas.
På gruppnivå urskiljer vi sedan att pedagogerna delger olika uppfattningar om vad som är av grundläggande betydelse samt kan utgöra hinder.
66
De olika uppfattningarna är relationerna mellan pedagogerna, möjlighet till
nivågruppering, lokalernas utformning, ämnesövergripande temaarbete,
dokumentation, tillgång till vikarier, klassrumsmiljön, schema för klass
som passar grupp för specialundervisning samt pedagogernas syn på elever
i svårigheter. De varierade svaren, menar vi, är inte mindre viktiga för pedagogerna, utan beror på att för en pedagog känns en förutsättning viktigare än andra beroende på vilken utgångspunkt pedagogen har i sitt arbete.
Pedagogerna i undersökningen framhåller elevens förutsättningar som
grundläggande och av största betydelse på individnivå. De menar att det är
elevens förutsättningar som utgör både möjligheter och hinder. Malmer
(2002) påtalar att det finns många individuella förutsättningar som påverkar
elevens möjlighet att nå en ökad begreppsförståelse, t.ex. elevens kognitiva
utveckling, förmåga att reglera aktivitetsnivån, koncentrationsförmåga och
förmåga till uppmärksamhet. Skolutvecklingsenheten (2003) menar att
andra individuella förutsättningar som kan försvåra inlärningen av matematik är brister i perceptionen, hur individen tolkar det han hör och ser liksom
den språkliga förmågan. I Matematik - ett kommunikations ämne (NCM,
2005) delges att ett hinder vid begreppsbildning kan vara att eleven har
brister i fråga om generalisering och diskriminering. Ytterligare förutsättningar som påverkar elevens begreppsförståelse menar Sterner och Lundberg (2004) är läs- och skrivsvårigheter. Vi anser att det är viktigt att som
en pedagog uttrycker vid intervjun möta eleverna på den nivå de befinner
sig . Detta vidhåller även Ljungblad (2003) genom att påvisa pedagogens
ansvar att se till varje enskild elevs behov och förutsättningar. Ljungblad
(1999) menar även att pedagogen bör utgå från elevens starka sidor och ge
det stöd och hjälp som behövs för att utveckla elevens svaga områden. Där
förenas hennes synpunkter med Utbildningsdepartementets (2001) intentioner om att varje elev ska ha en individuell utvecklingsplan, IUP, där elevens starka sidor och svaga sidor, kartläggning av kunskaper, mål för elevens lärande samt skolsituationen ska finnas med. Vår uppfattning sammanfaller med pedagogernas och litteraturens, då även vi ser vikten av att
lärandesituationen för varje elev utgår ifrån hans/hennes individuella förutsättningar och ger utmaningar på rätt nivå. Det är som Vygotskij menar
viktigt att ge eleven utmaningar i den närmaste utvecklingzonen, den zon
som utgör utrymmet mellan den nivå eleven redan nått och den nivå
han/hon är på väg mot i sin utveckling (Bråten, 1996; Hydén, 1981; Vygotskij, 2005).
Elevens sociala hemsituation är en annan grundläggande förutsättning
som pedagogerna i undersökningen påvisar är av betydelse för att eleven
ska nå en ökad begreppsförståelse. Pedagogerna nämner att hemmiljön kan
vara både en tillgång och ett hinder för elevens lärande. Grosin (2001) me-
67
nar att föräldrar har en viktig roll att stötta sina barn i skolarbetet, genom
att t.ex. prata med sina barn om skolan och hjälpa till med läxor. Hemmiljön kan också vara ett hinder, vilket en pedagog uttrycker: Du kan ha elever som egentligen har kompetensen men aldrig kan utnyttja den, han har
kanske inte fått mat, han har inte sovit, pappa har varit full och elevens tankar finns någon annanstans. Detta understryks av Rosenberg och Werngren (2004) i deras rapport, där de framhåller att för den elev som växer upp
under sociala svårigheter kan vardagstillvaron vara oberäknelig, vilket innebär att eleven inte vet hur tillvaron gestaltar sig från en dag till en annan.
Vi instämmer i uppfattningen att elevens sociala hemsituation är av
betydelse i arbetet med att ge elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse. Därför anser vi att skolan har en viktig roll att stötta de
elever som inte har en tillfredsställande hemsituation. Vi menar att Vygotskijs teori ger stöd även här, när han poängterar att den kognitiva utvecklingen hos barn hänger samman med deras förmåga att använda språket.
Deras sociokulturella upplevelser och erfarenheter har betydelse för deras
språkliga utveckling. Kunskapen skapas i samspel med andra (Bråten,
1996; Hydén, 1981; Vygotskij, 2005). Slutsatsen av detta resonemang är att
i en torftig hemmiljö sker inte det samspel och den utveckling av språket
som möjliggör kunskap. Andra villkor som ett fåtal av pedagogerna i vår
undersökning har påtalat som angelägna grundläggande förutsättningar på
individnivå är elevens delaktighet, lustfyllt lärande, individanpassning, tillgång till material och att eleven kan se sin egen utveckling. Ett fåtal har
även delgivit att klassrumsmiljön, ej lustfyllt lärande, brist på hjälpmedel
och för snabbt tempo för eleven i svårigheter utgör hinder på individnivå.
Alla dessa grundläggande förutsättningar och hinder upplever pedagogerna
säkert som viktiga på olika sätt, beroende på den utgångspunkt de har i sitt
arbete. Ändå grundar sig elevens utvecklingspotential i hans/hennes nyfikenhet, arbetsvilja och framtidsdrömmar, som är de viktigaste krafterna i
allt utvecklingsarbete enligt Skolverket (2004). Vi instämmer och menar
vidare att alla elever måste få chansen att utvecklas maximalt utifrån sina
förutsättningar och att det är skolans uppgift att ta tillvara deras nyfikenhet,
arbetsvilja och framtidsdrömmar.
I vår undersökning är alla som vi intervjuade överens om att man som
pedagog måste använda flera olika arbetssätt för att elever i matematiksvårigheter ska nå förståelse för olika begrepp. De arbetssätt som alla menar
gynnar inlärning av begrepp är att prata matematik, arbeta med bilder eller
rita samt att använda konkret material som eleverna kan laborera med.
Skolutvecklingsenheten (2003) delger att när man samtalar kring matematiska begrepp i klassrummet ökar elevernas förståelse. Detta speglar Vygotskijs syn, som hävdar språkets stora betydelse för allt lärande samt att
68
språk och tanke är oskiljaktiga Han hävdar även att allt vårt tänkande har
sitt ursprung i och utvecklas i relation till andra människor (Bråten, 1996;
Hydén, 1981; Vygotskij, 2005). Även I litteraturen framhålls vikten av att
eleverna får prata matematik (Malmer, 2002; Rystedt och Trygg, 2005;
Skolverket, 2003). Löwing och Kilborn (2002) menar att språk och konkretisering hör nära samman och förespråkar laborationer med konkret material tillsammans med matteprat. Sterner och Lundberg (2004) påvisar att det
laborativa materialets funktion är att lyfta fram det matematiska tänkandet
och att stödja språkliga förklaringar. Pedagogerna samt litteraturen är överens om att det är viktigt att variera arbetssätten, vilket även stöds av teorin
symbolisk interaktionism, vilken talar om elevernas samspel med hjälp av
olika symbolspråk (Skolverket, 2003). I undervisningen innebär det att använda olika språkliga uttryck såsom tal-, skrift-, bild- och kroppsspråk.
Språken kan komma till uttryck inom olika kommunikationssystem i konst,
drama, musik, rörelser, spel och lekar. Denna variation av språkliga uttryck
anser de allra flesta pedagogerna gynnar inlärning av begrepp. Exempel på
pedagogernas arbetssätt är sång, musik, bilder, dator, lek, spel, drama och
rörelse. En pedagog uttrycker: Eleverna får leka affär och spela spel, de
tycker det är kul och de lär sig jättemycket . De flesta pedagogerna framhåller också att det är viktigt att undervisningen är verklighetsförankrad,
vilket även den symboliska interaktionismen menar är av intresse (Skolverket, 2003). En pedagog uttrycker: Jag försöker att variera arbetssätten och
utgår från vardagsmatematik, strategier ger jag dem gärna på tre olika sätt
så får eleverna välja det sätt de tycker är bäst . Även litteraturen framhåller
att det är viktigt att eleven får använda matematiken i vardagsnära och meningsfulla sammanhang (Malmer, 2002; NCM, 2000; Rystedt & Trygg,
2005; Sterner & Lundberg, 2004). Många delger även utomhuspedagogik
som en variation av arbetssätt, vilken gynnar inlärning av begrepp. En pedagog belyser det i intervjun när hon säger: Vi har varit ute och samlat
löv, eleverna fick sortera efter färg, form och storlek, pinnar fick de sortera
efter längd och tjocklek. Utomhuspedagogiken ger möjligheter att nå förståelse genom olika sinnen, vilket Brügge, Glantz och Sandell (2001) påvisar. De menar även att utomhuspedagogiken ger positiva effekter för elevernas hälsa, motoriska utveckling, lekbeteende och koncentrationsförmåga. Ett fåtal pedagoger nämner även kartläggning, problemlösning samt
arbetssätt som ger tid och möjlighet att repetera som betydelsefulla. Vi håller med om vikten av ett verklighetsförankrat och varierat arbetssätt och
känner att det är av stor betydelse att alla pedagoger anammar dessa teoretiska och forskningsaktuella synpunkter för att elever i matematiksvårigheter ska nå en ökad begreppsförståelse. I vår specialpedagogiska roll har vi
69
viktiga uppgifter att utveckla, handleda och undervisa utifrån dessa kunskaper.
Vid intervjuerna framkommer pedagogernas önskemål om en matematikverkstad, där det finns gott om inspirerande material och utrymme för en
laborativ matematik. Rystedt och Trygg (2005) beskriver att en matematikverkstad ska vara till hjälp för att locka fram nyfikenhet, fantasi och kreativitet samt bidra till positiva upplevelser och erfarenheter av matematik. Vi
anser att en matematikverkstad är en gynnsam läromiljö för elever i matematiksvårigheter. Därför menar vi att resurser för utvecklande av en sådan
stimulerande miljö vore önskvärda.
I vår undersökning finner vi inte stöd för uppfattningen att läroboken
styr undervisningen (Skolverket, 2003). De pedagoger som vi intervjuat
använder alla lärobok, utom två, som arbetar i förskoleklass. Pedagogerna
anser att läroboken inte helt får styra undervisningen och att den måste
kompletteras med andra arbetssätt för att ge elever i matematiksvårigheter
en ökad begreppsförståelse. De menar att läroboken utgör en bra grund och
att de använder den för att det passar deras sätt att undervisa och deras teorier om matematik, men att också andra metoder eller annat material är
nödvändiga för att eleverna ska få förståelse för begreppen. I aktuell forskning betonas att det inte är självklart att läroboken har positiv inverkan på
elevernas lärande och förhållningssätt till matematik. Läroboken kan distansera en elev från den praktiska användningen av matematik och underbygger inte alltid elevens förståelse av matematiska begrepp (NCM, 2000).
Detta menar vi att pedagogerna är medvetna om eftersom de i sin undervisning gärna presenterar begreppen på olika sätt och med olika praktiska metoder. Symbolisk interaktionism är den teori som stöder detta (Skolverket,
2003). En pedagog anser sig styras positivt av läroboken, men gör också
andra saker för att ge elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse.
Språket löper som en röd tråd genom det här arbetet och väver ihop aktuell litteratur med teori och pedagogernas intervjusvar. De intervjusvar vi
tidigare redovisat i vårt arbete påvisar pedagogernas samstämmighet när
det gäller språkets stora betydelse för att elever i matematiksvårigheter ska
nå ökad begreppsförståelse. De menar att språket hänger nära samman med
ordförståelse och att eleven måste kunna uttrycka begreppen genom sitt
språk. Det är språket som gör att eleven lär sig begreppen, språket som blir
begreppsförståelse. Pedagogernas tankar stämmer väl överens med vad som
uttrycks i aktuell litteratur, där språkets betydelse för begreppsbildning i
matematik framhålls. Malmers (2002) synpunkt att språket har stor betydelse för det matematiska tänkandet anser vi stämmer väl med intervjusvaren. Precis som Malmer betonar pedagogerna att om eleven har ett väl fun-
70
gerande språk har han/hon goda förutsättningar för en effektiv inlärning,
medan eleven med ett bristfälligt ordförråd ofta får svårigheter att tillägna
sig grundläggande begreppsbildning. Detta styrks av Vygotskijs teori, där
han hävdar att den kognitiva utvecklingen hos barn hänger samman med
deras förmåga att använda språket och att begreppsutveckling har avgörande betydelse för barnets språkutveckling (Bråten, 1996; Hydén, 1981; Vygotskij, 2005).
8.2.1 Specialpedagogens roll
Med den kunskap vi fått genom vår undersökning, vilken vi redogjort för
här ovan, anser vi det betydelsefullt att utveckla det specialpedagogiska
arbetet på organisation-, grupp- och individnivå. På detta sätt kan vi se eleven i ett helhetsperspektiv och ge honom/henne möjlighet till god utveckling utifrån sina förutsättningar.
Vår undersökning har gett oss kunskap om viktiga grundläggande förutsättningar för att elever i matematiksvårigheter ska nå en ökad begreppsförståelse. Dessa kunskaper kommer vi att få användning av då vi i vårt
specialpedagogiska arbete undervisar elever, handleder pedagoger samt
bidrar till utveckling av matematikundervisningen.
8.2.2 Våra teorier
Sammanfattningsvis anser vi att de pedagoger vi intervjuat, med den kunskap om vad elever i matematiksvårigheter behöver för att nå ökad begreppsförståelse och hur de kan arbeta för att tillgodose dessa behov, väl
stödjer sig på de tre teorier om lärande som återfinns i läroplanerna. Dessa
teorier har vi tidigare redovisat i teorikapitlet. Speciellt Vygotskijs (2005)
idéer har framstått som betydelsefulla. Hans syn på det dialogiska mötet,
meningsfulla interaktioner och utvecklingszoner, liksom språkets betydelsefulla roll för begreppsutveckling och begreppsförståelse, återfinns hos
pedagogerna i vår undersökning. De teorier vi haft under arbetets gång
stämmer väl överens med de resultat vi fått i vår undersökning. Där framträder teorierna i pedagogernas samstämmighet att om en elev i matematiksvårigheter får arbeta språkligt aktivt med varierat arbetssätt i liten grupp
under ledning av en kompetent pedagog/specialpedagog, har eleven goda
förutsättningar att nå en ökad begreppsförståelse. Teorierna framträder också i pedagogernas samstämmighet att ett utvecklande samspel där eleverna
talar matematik är betydelsefullt, liksom att lärandesituationen för varje
elev utgår från hans/hennes individuella förutsättningar och ger utmaningar
på rätt nivå.
Vår studie har gett oss många goda tankar och kunskaper som vi kommer att ha stor nytta av i vårt kommande arbete som specialpedagoger.
71
8.2.3 Reflektioner på vår datainsamling
Vi inledde vår undersökning med en enkät till samtliga pedagoger som arbetar med matematik i förskoleklass till år sex i kommunen. Tack vare detta kunde vi utifrån enkätsvaren välja ut pedagoger med erfarenhet och kunskap om begreppsförståelsens betydelse för elever i matematiksvårigheter.
Vi anser att vi genom intervjuerna fick upplysningar som svarade på vårt
syfte och våra frågeställningar. Vår erfarenhet från intervjuerna är att pedagogerna har till stora delar samstämmig kunskap när det gäller vad som
gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter. Denna kunskap överensstämmer också väl med tidigare forskning inom området.
I våra pilotintervjuer kom vi fram till att vi behövde förtydliga och definiera orden organisations-, grupp- och individnivå. Vi valde definitionerna enligt litteraturen, vilka vi sedan skickade med i missivbrevet inför intervjuerna. Detta gjorde att pedagogerna fick en omfattande beskrivning av
vad som kan vara av betydelse på de olika nivåerna. Denna beskrivning
känner vi till viss del styrde deras svar vid intervjuerna och att det försvårade möjligheten att komma åt andra funderingar och tankar. Styrningen
blev för oss positiv i det avseendet att det blev lättare för oss att kategorisera de olika svaren.
Vid våra pilotintervjuer kom vi fram till att vi hade för få och otydliga
följdfrågor. Denna insikt gjorde att vi inför intervjuerna sammanställde
många tänkbara följdfrågor för att nå djupare kunskap i ämnet. Kanske blev
vi för fokuserade vid dessa frågor. Med facit i hand borde vi även haft med
en följdfråga angående pedagogens tid. Det hade förmodligen gett oss fler
värdefulla synpunkter om hur den påverkar elevens möjlighet att nå en
ökad begreppsförståelse och därmed bättre förutsättningar att lösa matematiska problem.
Avslutningsvis vill vi påstå att vi nått resultat som motsvarar vårt syfte,
att få en bild av pedagogers uppfattning och erfarenhet av vad som ger elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse och därmed bättre
förutsättningar att lösa matematiska problem.
72
9 FORTSATT FORSKNING
Under arbetets gång har vi funderat över betydelsen av att pedagogerna i
förskola, förskoleklass och skola har kunskap om hur man på de olika nivåerna arbetar med begreppsförståelse. Detta för att gynna barnets/elevens
utveckling och skapa en samsyn, en röd tråd från förskola till år 9. Utifrån
denna fundering ser vi flera intressanta frågor för vidare forskning.
Det vore intressant att forska om hur pedagogerna i förskolan arbetar
med att ge barn 1-5 år en god begreppsförståelse.
Det vore också intressant att forska om på vilka sätt, utöver läroboken,
som pedagogerna i år 7-9 arbetar med att ge en god begreppsförståelse för
elever i matematiksvårigheter.
En annan fråga av intresse är hur pedagogerna i de olika övergångarna;
från förskola till förskoleklass, från förskoleklass till år ett, från år tre till
fyra och år sex till sju i grundskolan, kan möta varje barn/elev på sin kunskapsnivå för att på så sätt utveckla en god begreppsförståelse.
73
74
REFERENSER
Ahlberg, Ann. (2001). Lärande och delaktighet. Lund: Studentlitteratur.
Bell, Judith. (2000). Introduktion till forskningsmetodik. Lund:
Studentlitteratur.
Brügge, Britta, Glantz, Matz & Sandell, Klas. (2001). Friluftslivets
pedagogik. För kunskap, känsla och livskvalitet. Borås: Liber AB och
författarna gemensamt.
Bråten, Ivar (red.) (1996). Vygotskij och pedagogiken. Lund:
Studentlitteratur.
BrØrup, Mogens, Hauge, Lene & Lyager Thomsen, Ulrik. (2006).
Psykologiboken om barn, unga och vuxna. Lund: Studentlitteratur.
Dysthe, Olga. (1996). Det flerstämmiga klassrummet. Lund:
Studentlitteratur.
Evenshaug, OddbjØrn & Hallen, Dag. (2005). Barn- och
ungdomspsykologi. Lund: Studentlitteratur.
Gran, Bertil (red). (1998). Matematik på elevens villkor. Lund:
Studentlitteratur.
Grosin, Lennart. (2001) Alla föräldrar kan - Vad föräldrar kan göra för att
barnen skall klara sig bra i skolan. Stockholm;
Pedagogiska institutionen, Stockholms universitet.
Gustafsson, Bengt, Hermerén, Göran & Petersson, Bo. (2004) Vad är god
forskningssed? Synpunkter, riktlinjer och exempel. Stockholm: Vetenskapsrådet, 2004.
Hydén, Lars-Christer. (1981). Psykologi och Dialektik. L.S. Vygotskij.
Malmö: Norstedt & Söners Förlag.
Johnsen HØines, Marit. (2002). Matematik som språk.
Verksamhetsteoretiska perspektiv. Kristianstad: Liber AB.
Juhlin, Lotta. (2006-11-14). Personlig kommunikation: Med lust och lek i
tal och språk. Konferensforum. HLK, Jönköping.
Liljegren, Britta. (2000). Elever i svårigheter. Lund: Studentlitteratur.
Ljungblad, Ann- Louise. (1999). Att räkna med barn. Varberg: Argument.
Ljungblad, Ann -Louise. (2003). Att möta barns olikheter. Varberg:
Argument.
Lpo -94. (1999). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet. Stockholm: Utbildningsdepartementet.
Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo. (2002). Baskunskaper i matematik
för skola, Hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur.
Kvale, Steinar. (1997). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund:
Studentlitteratur.
75
Magne, Olof. (1998). Att lyckas med matematik i grundskolan. Lund:
Studentlitteratur.
Malmer, Gudrun. (2000). Kreativ matematik. Solna: Ekelunds förlag AB.
Malmer, Gudrun. (2002). Bra matematik för alla. Nödvändig för elever
med inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur.
Merriam, Sharon. B. (1994). Fallstudien som forskningsmetod. Lund:
Studentlitteratur
NCM. (2000). Matematik från början. Nämnaren Tema. Göteborg:
Nationellt centrum för matematikutbildning.
NCM. (2001). Hög tid för matematik. NCM-rapport 2 001:1. Göteborg:
Nationellt Centrum för matematikutbildning.
NCM. (2005). Matematik - ett kommunikationsämne. Nämnaren Tema.
Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning.
NCM. (2006). Dialogcafé l. http://ncm.gu.se/index.php
(Acc. 2006 - 04 - 03)
Rosenberg, Carina & Werngren, Marie. (2004). En god lärmiljö för barn
som växer upp under sociala svårigheter. (Examensarbete).
Lärarutbildningen. Kristianstad: Högskolan.
Rystedt, Elisabeth & Trygg, Lena. (2005). Matematikverkstad. Göteborg:
Nationellt centrum för matematikutbildning.
Skolutvecklingsenheten. (2003). Vän med matematiken. Rapport 1. Tema:
Matematik. Göteborgs stad: Skolutvecklingsenheten.
Skolverket. (2000). Grundskolan Kursplaner och betygskriterier.
Stockholm: Skolverket och Fritzes
Skolverket. (2003). Lusten att lära - med fokus på matematik. Nationella
kvalitetsgranskningar 2001 - 2002. Örebro: Fritzes. Rapport nr. 221.
Skolverket. (2004). Att lyfta matematiken intresse, lärande, kompetens.
SOU 2004:97. Stockholm: Skolverket och Fritzes.
Sterner, Görel & Lundberg, Ingvar. (2004). Läs- och skrivsvårigheter och
lärande i matematik. NCM-rapport 2 002:2. Göteborgs universitet
Strandberg, Leif. (2006). Vygotskij i praktiken. Bland plugghästar och
fusklappar. Finland: Norstedts Akademiska Förlag.
Stukát, Staffan. (2005). Att skriva examensarbete inom
utbildningsvetenskap. Lund: Studentlitteratur
Trost, Jan. (2001). Enkätboken. Lund: Studentlitteratur
Utbildningsdepartementet. (2001). Elevens framgång skolans ansvar.
Stockholm: Ds 2 001:19.
Utbildningsdepartementet. (2004). Individuella utvecklingsplaner i
grundskolan, särskolan, specialskolan och sameskolan. Stockholm:
Dnr2004/2868/S
Vygotskij, Lev. (2005). Språk och tänkande. Uddevalla: Bokförlaget
Daidalos AB.
76
Bilaga A
BILAGOR
Enkät
Markera dina svar med ett eller flera kryss!
Jag arbetar med matematik med elever i
Förskoleklass
År 1 - 3
År 4 - 6
Specialundervisning
År:______
1. Arbetar du med elever som har svårigheter i matematik?
Ja, alltid
Ja, ofta
Ja, ibland
Nej, aldrig
Om Du svarat Nej, aldrig på fråga ett behöver du inte svara mera men det är ändå värdefullt
att vi får ta del av att du aldrig gör det.
2. Hur arbetar du med eleverna som har matematiksvårigheter?
I helklass
I halvklass
I liten grupp, 2 5 elever
Enskilt
3. Hur stor del av de elever i matematiksvårigheter som du arbetar med upplever du har
svårigheter med förståelse av begrepp?
Alla
De flesta
Ett fåtal
Ingen
4. Hur upptäcker du att en elev har en bristfällig förståelse av begrepp?
Kartläggning, prov eller test
Samtal i vardagliga situationer
Samtal/diskussion i matematikundervisning
Annat sätt:_________________________________
5. Hur viktigt anser du att det är med en god begreppsförståelse för elever i matematiksvårigheter?
Mycket viktigt
Ganska viktigt
Mindre viktigt
Inte viktigt
Bilaga A
6. Vilka av dessa organisatoriska exempel anser du gynnar inlärning av begrepp för elever i matematiksvårigheter?
Helklassundervisning
Halvklassundervisning
Tid i klassen av speciallärare/pedagog
Enskild tid för eleven hos
speciallärare/specialpedagog
Annan idé:_____________________
7. När anser du att en elev i matematiksvårigheter har störst möjlighet att nå förståelse av
begrepp? (Kryssa minst en och mest fyra av de viktigaste situationerna)
Enskilt arbete enligt instruktioner i material/lärobok
Enskilt arbete med konkret material/bilder
Enskilt samtal med pedagog
Arbete i smågrupper med konkret material/bilder
Smågruppsdiskussioner (2 5 elever)
Helklassdiskussioner
Dramalekar/övningar i grupp
Rörelselekar/övningar i grupp
Annan viktig situation:______________________
8. Om du får önska, hur skulle då matematikundervisningen för elever i matematiksvårigheter se ut, främst med tanke på inlärning av begrepp?
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
Namn:__________________________ Skola: __________________________
Ett stort TACK för att Du svarade på enkäten och lycka till i ditt fortsatta arbete!
Med vänliga hälsningar
Agneta Lindqvist och Lotta AC Petterson
Bilaga B
xxx den 15 september 2006
Bästa kollega!
Vi är två pedagoger som arbetar i kommunen. Under snart tre år har vi läst specialpedagogisk påbyggnadsutbildning 60 p på distans på Lärarhögskolan i Stockholm. Vi har nu
påbörjat vårt examensarbete inom området matematik, där vi fördjupar oss i hur skolan
kan ge elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse.
Vi vill i vår undersökning intervjua pedagoger som arbetar med matematik från förskoleklass till år 6 inom alla rektorsområden i vår kommun. För att få insikt i pedagogers
uppfattning och erfarenhet av möjligheten att ge elever i matematiksvårigheter en ökad
begreppsförståelse kommer vi att inleda vårt arbete med en enkätundersökning.
Vi ser det som mycket värdefullt att få veta Din uppfattning inom detta område och är
mycket tacksamma om Du vill hjälpa oss i vår undersökning genom att fylla i enkäten.
Målet med enkätundersökningen är att vi genom svaren ska få hjälp att välja intervjupersoner. Därför är enkätundersökningen inte anonym. Däremot behandlas alla enkätsvar konfidentiellt och inga namn kommer att röjas i vårt fortsatta arbete.
Enkäten innehåller frågor med fastställda svarsalternativ och kompletteras med en öppen fråga där Du själv formulerar Ditt svar.
Du får tillsammans med detta brev en beskrivning av hur vi enligt litteraturen valt att
definiera ordet begrepp. Detta för att alla ska ha samma förståelse när enkäten ska fyllas
i.
Vi är mycket tacksamma för Din hjälp och sänder ett stort TACK på förhand!
Med vänliga hälsningar
Agneta Lindqvist Ann-Charlotte Pettersson
tel. xxx
tel. xxx
Bilaga C
Definition av ordet begrepp
Ordet begrepp kommer ursprungligen från det fornsvenska begripa som i sin tur kan
härledas från det lågtyska begripen med betydelsen gripa (med tanken). Med begrepp
menas ofta en sammanfattning av utmärkande egenskaper hos exempelvis en grupp objekt, en grupp händelser eller en grupp beteenden. Förståelse för begreppet area innefattar t.ex. insikter i:
att det är ett mått på storleken av en begränsad yta
att områden med olika form kan ha samma area
att även om två områden har samma omkrets kan arean variera
vad som skiljer area från andra egenskaper hos ett geometriskt objekt
hur area kan bestämmas och vilka enheter som kan användas
(Rystedt & Trygg, 2005, s. 55)
Här följer en matematikordlista på viktiga begrepp enligt Malmers (2002) definition när
det gäller benämningar för t.ex.:
färg, form, storlek och utseende
jämförelseord som svarar på frågan hur, t.ex.
storlek, t.ex. liten - mindre - minst
antal, t.ex. flest, färre
kvantitet (volym), t.ex. litet - mindre - minst
massa (vikt), t.ex. tyngre, lättare
längd, t.ex lång- längre - längst
höjd, t.ex. låg - lägre - lägst
bredd, t.ex. bred - bredare - bredast
tjocklek, t.ex. tunn - tunnare - tunnast
ålder, t.ex.gammal - äldre - äldst, ung - yngre - yngst
pris, t.ex dyr - dyrare - dyrast, billig - billigare - billigast
och
ord som ofta används i kombination med jämförelseorden,
t.ex. hälften, halv, udda, ringa, drygt, knappt
lägesord som svarar på frågan var, t.ex.
i, på, över, först, sist, före, efter, överst, i början, i slutet, framför, bakom, bredvid, mellan, närmast, utanför, ovanför
tidsord som svarar på frågan när, t.ex.
varannan, i förrgår, i fjol, i övermorgon, ständigt, sällan, ibland, emellanåt.
Bilaga D
xxx 6 oktober 2006
Bästa kollega!
Med utgångspunkt från den enkätundersökning Du deltog i har vi valt ut tolv kolleger
att intervjua, vilka arbetar inom kommunens skolor från förskoleklass till år sex. Din
intervju, tillsammans med de övriga, kommer att utgöra underlag för vårt examensarbete. Syftet med vårt examensarbete är att undersöka och kartlägga pedagogers uppfattning och erfarenhet av vad som ger elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse och därmed bättre förutsättningar att lösa matematiska problem.
När vi talades vid och bestämde tid för intervjun fick Du information om de villkor som
gäller för intervjun. Vi kommer att spela in intervjuerna på band, för att kunna göra
noggranna analyser. Banden kommer att förstöras efter vår examination. All information som vi får ta del av under intervjuerna kommer att behandlas konfidentiellt. Givetvis kommer inga namn att förekomma i studien som kan härledas till Dig eller Din skola.
Du får tillsammans med detta brev en beskrivning av hur vi enligt litteraturen valt att
definiera ordet begrepp. Vi förtydligar också hur vi enligt litteraturen valt att definiera
organisations-, grupp- och individnivå. Detta för att alla ska ha samma förståelse vid
intervjutillfället.
Vi ser fram emot att få ta del av Din erfarenhet och kunskap. Om Du är intresserad
skickar vi gärna ett färdigt arbete till Dig.
Om Du undrar över något, så tag gärna kontakt med någon av oss.
Vi är mycket tacksamma för Din hjälp och sänder ett stort TACK på förhand!
Med vänliga hälsningar
Agneta Lindqvist Ann-Charlotte Pettersson
tel. xxx
tel. xxx
Bilaga E
Definition av ordet begrepp
Ordet begrepp kommer ursprungligen från det fornsvenska begripa som i sin tur kan
härledas från det lågtyska begripen med betydelsen gripa (med tanken). Med begrepp
menas ofta en sammanfattning av utmärkande egenskaper hos exempelvis en grupp objekt, en grupp händelser eller en grupp beteenden. Förståelse för begreppet area innefattar t.ex. insikter i:
att det är ett mått på storleken av en begränsad yta
att områden med olika form kan ha samma area
att även om två områden har samma omkrets kan arean variera
vad som skiljer area från andra egenskaper hos ett geometriskt objekt
hur area kan bestämmas och vilka enheter som kan användas
(Rystedt & Trygg, 2005, s. 55)
Här följer en matematikordlista på viktiga begrepp enligt Malmers (2002) definition när
det gäller benämningar för t.ex.:
färg, form, storlek och utseende
jämförelseord som svarar på frågan hur, t.ex.
storlek, t.ex. liten - mindre - minst
antal, t.ex. flest, färre
kvantitet (volym), t.ex. litet - mindre - minst
massa (vikt), t.ex. tyngre, lättare
längd, t.ex lång- längre - längst
höjd, t.ex. låg - lägre - lägst
bredd, t.ex. bred - bredare - bredast
tjocklek, t.ex. tunn - tunnare - tunnast
ålder, t.ex.gammal - äldre - äldst, ung - yngre - yngst
pris, t.ex dyr - dyrare - dyrast, billig - billigare - billigast
och
ord som ofta används i kombination med jämförelseorden,
t.ex. hälften, halv, udda, ringa, drygt, knappt
lägesord som svarar på frågan var, t.ex.
i, på, över, först, sist, före, efter, överst, i början, i slutet, framför, bakom, bredvid, mellan, närmast, utanför, ovanför
tidsord som svarar på frågan när, t.ex.
varannan, i förrgår, i fjol, i övermorgon, ständigt, sällan, ibland, emellanåt.
Bilaga E
Definition av organisations-, grupp- och individnivå.
Organisationsnivå
Organisationsnivå är den nivå där politiker och ledning ger förutsättningarna för skolans
arbete och den nivå där pedagogen inte själv kan bestämma över eller förändra på egen
hand. Det kan vara svårt att avgöra vad som hör till organisationsnivå och vad som hör
till gruppnivå då det inte finns några tydliga gränser utan kan variera från skola till skola. Förutsättningar som påverkar elevens situation på organisationsnivå är:
styrdokumenten
timplanen
skolans värdegrund
skolans syn på elever i svårigheter
skolans starka och svaga sidor
skolans resurser
pedagogernas kompetens
arbetslaget
samarbete mellan arbetslag
specialpedagogisk kompetens
elevhälsoteam
tillgång till annan yrkeskompetens ex. psykolog
pedagogisk handledning
flexibla gruppstorlekar
lokalernas utformning.
Gruppnivå
På gruppnivå är pedagogerna på skolan själva med och påverkar och förändrar. Den
pedagogiska och didaktiska verksamheten i arbetslaget ligger på gruppnivå, där pedagogerna har inflytande över relationerna människor emellan. Det kan vara mellan pedagog och elev och mellan olika elever.
Eleven påverkas på gruppnivån av:
relationerna mellan eleverna
arbetet i arbetslaget
arbetet mellan arbetslaget
relationerna mellan eleverna och läraren
att ta tillvara på den specialpedagogiska kompetensen i gruppen
reflektion i arbetslaget
läromedlets roll i gruppen
arbetsformer och arbetssätt
möjlighet till ämnesöverskridande temaarbete
pedagogisk differentiering, nivågruppering
elevernas delaktighet
gruppens struktur
gruppens planering
kontinuerlig dokumentation
provtillfällenas utformning och variation
inköp av material och läromedel
Bilaga E
läxhjälp och
tillgången av vikarier.
Individnivå
På individnivå är det pedagogens ansvar att se varje enskild elevs behov och förutsättningar.
Eleven påverkas på individnivå av:
hela sin situation
sina individuella förutsättningar gällande; syn, hörsel, motorik, social förmåga,
kognitiv förmåga, koncentrationsförmåga och förmåga till uppmärksamhet
sin förmåga att utvecklas i matematik
sina starka sidor
sin delaktighet i matematikarbetet
provsituationernas utformning
hur arbetet är organiserat
vilka arbetssätt och metoder som används
tillgången till hjälpmedel, ex. miniräknare, bilder
tillgången till konkret, laborativt material
att kunna se sin egen utveckling
matematiksvårigheter
kommunikationssvårigheter
läs- och skrivsvårigheter
sina upplevelser av matematikarbetet.
Ljungberg (2003)
Bilaga F
Intervjufrågor
1. Stämmer Din definition av ordet begrepp med den översända definition vi valt
enligt litteraturen?
Vilka begrepp är särskilt viktiga att eleverna lär sig?
Vilka begrepp är speciellt svåra?
2. Vilka grundläggande förutsättningar, förutom arbetssätt, är betydelsefulla för att
nå en ökad begreppsförståelse:
på organisationsnivå?
på gruppnivå?
på individnivå?
3. Vilka arbetssätt och strategier använder du för att ge elever i matematiksvårigheter en ökad begreppsförståelse? (metoder, läromedel, hjälpmedel, material, utomhuspedagogik, lek, drama, rörelse, sång & musik)
Vilken roll anser Du att språket har för att elever i matematiksvårigheter ska nå
en ökad begreppsförståelse?
I undersökningar och rapporter framställs många gånger att läroboken och inte
pedagogen styr undervisningen. Hur ser Du på det? Hur gör Du?
Är lärobokens sätt att förklara olika begrepp tillfredsställande?
4. För att förstå en elev i matematiksvårigheter måste man se till elevens hela situation. Vilka hinder finns som ger eleven svårigheter att nå en ökad begreppsförståelse:
på organisationsnivå?
på gruppnivå?
på individnivå?
5. Om Du får önska, hur skulle då matematikundervisningen för elever i matematiksvårigheter se ut, främst med tanke på möjligheten att nå en ökad begreppsförståelse? Ange de tre viktigaste synpunkterna.