Lektion 1
Kurvor i planet och i rummet
Innehål
I
Plankurvor
I
Rymdkurvor
Innehål
I
Plankurvor
I
Rymdkurvor
I
Tangentvektorn och tangentens ekvation
Innehål
I
Plankurvor
I
Rymdkurvor
I
Tangentvektorn och tangentens ekvation
I
Längden av en kurva
Innehål
I
Plankurvor
I
Rymdkurvor
I
Tangentvektorn och tangentens ekvation
I
Längden av en kurva
I
Polära koordinater och polära kurvor
Innehål
I
Plankurvor
I
Rymdkurvor
I
Tangentvektorn och tangentens ekvation
I
Längden av en kurva
I
Polära koordinater och polära kurvor
Plankurvor (i rektangulära (kartesiska) koordinater)
Exempel 1: Linjen i planet
1. Ekvationen på explicitform; som en funktion av en variabel :
y = kx + m
Om k = 2, m = 1 så blir y = 2x + 1.
2. Ekvationen på implicitform; som ett sammband mellan
koordinater: y − kx − m = 0
Om k = 2, m = 1 så blir den implicita ekvationen
y − 2x − 1 = 0.
Plankurvor (i rektangulära (kartesiska) koordinater)
Exempel 1: Linjen i planet
1. Ekvationen på explicitform; som en funktion av en variabel :
y = kx + m
Om k = 2, m = 1 så blir y = 2x + 1.
2. Ekvationen på implicitform; som ett sammband mellan
koordinater: y − kx − m = 0
Om k = 2, m = 1 så blir den implicita ekvationen
y − 2x − 1 = 0.
3. Ekvationen på parameterform (vektorform); som en
vektorvärd funktion: Låt P0 = (x0 , y0 ), P1 = (x1 , y1 ) vara två
punkter som ligger på linjen.
x = x0 + t(x1 − x0 )
.
y = y0 + t(y1 − y0 )
där −∞ < t < ∞.
Plankurvor (i rektangulära (kartesiska) koordinater)
Exempel 1: Linjen i planet
1. Ekvationen på explicitform; som en funktion av en variabel :
y = kx + m
Om k = 2, m = 1 så blir y = 2x + 1.
2. Ekvationen på implicitform; som ett sammband mellan
koordinater: y − kx − m = 0
Om k = 2, m = 1 så blir den implicita ekvationen
y − 2x − 1 = 0.
3. Ekvationen på parameterform (vektorform); som en
vektorvärd funktion: Låt P0 = (x0 , y0 ), P1 = (x1 , y1 ) vara två
punkter som ligger på linjen.
x = x0 + t(x1 − x0 )
.
y = y0 + t(y1 − y0 )
där −∞ < t < ∞.
Om P0 = (0, 1), P1 = (1/2, 2) så får man
x = 0 + 2t
.
y = 1 + 2t
Det finns oändligt många ekvivalenta parameterframställningar. De
beskriver samma kurva. Trots detta kan de bestämma olika
orienteringar och ha olika ”rörelselagar!”
Exempel 2: Cirkeln med centrum, i (0,0) och radie 2
1. Ekvationen
på explicitform; som en funktion av en variabel :
√
y = 4 − x2
2. Ekvationen på implicitform; som ett sammband mellan
koordinater: x 2 + y 2 = 22
Exempel 2: Cirkeln med centrum, i (0,0) och radie 2
1. Ekvationen
på explicitform; som en funktion av en variabel :
√
y = 4 − x2
2. Ekvationen på implicitform; som ett sammband mellan
koordinater: x 2 + y 2 = 22
3. Ekvationen på parameterform; som en vektorvärd funktion av
en variabel:
x = 2 cos t
.
y = 2 sin t
där 0 ≤ t ≤ 2π. Cirkeln är en sluten kurva eftersom
f (0) = f (2π) och g (0) = g (2π). Eftersom parametern t är
vinkeln mellan x-axeln och radien OP, P(x, y ) brukar den
betecknas med den grekiska bokstaven θ. Orienteringen given
av denna parametrisering är moturs. Det finns oändligt många
parameterframställningar. (se t.ex Ex. 6 sid. 471). Cirkeln
given ovan är också enkel (det finns inga dubbelpunkter.)
Exempel 2: Cirkeln med centrum, i (0,0) och radie 2
1. Ekvationen
på explicitform; som en funktion av en variabel :
√
y = 4 − x2
2. Ekvationen på implicitform; som ett sammband mellan
koordinater: x 2 + y 2 = 22
3. Ekvationen på parameterform; som en vektorvärd funktion av
en variabel:
x = 2 cos t
.
y = 2 sin t
där 0 ≤ t ≤ 2π. Cirkeln är en sluten kurva eftersom
f (0) = f (2π) och g (0) = g (2π). Eftersom parametern t är
vinkeln mellan x-axeln och radien OP, P(x, y ) brukar den
betecknas med den grekiska bokstaven θ. Orienteringen given
av denna parametrisering är moturs. Det finns oändligt många
parameterframställningar. (se t.ex Ex. 6 sid. 471). Cirkeln
given ovan är också enkel (det finns inga dubbelpunkter.)
Exempel 3: Ellypsen med centrum, i (0,0)
1. Ekvationen på implicitform; som ett sammband mellan
2
2
koordinater: xa2 + yb2 = 1, a, b > 0
2. Ekvationen på parameterform; som en vektorvärd funktion av
en variabel:
x = a cos t
.
y = b sin t
där 0 ≤ t ≤ 2π.
Exempel 3: Ellypsen med centrum, i (0,0)
1. Ekvationen på implicitform; som ett sammband mellan
2
2
koordinater: xa2 + yb2 = 1, a, b > 0
2. Ekvationen på parameterform; som en vektorvärd funktion av
en variabel:
x = a cos t
.
y = b sin t
där 0 ≤ t ≤ 2π.
Exempel 4: Cykloiden (se sid. 471 i boken)
x = t sin t
.
y = 1 − cos t
F ör t = 2π fås en punkt på kurvan, där kurvan saknar tangent,
trots att både x, y är deriverbara överallt. Kurvan är inte slät.
Definition
: En plan kurva är en vektorvärd funktion av en variabel
x = f (t)
.
y = g (t)
där parametern t ligger i ett intervall I = [a, b], f , g är
kontinuerliga funktioner.
I
Om f (a) = f (b) och g (a) = g (b) kallas kurvan sluten.
I
Om f och g antar samma värde i två punkter t1 och t2 kallas
punkten (x1 , y1 ) = (f (t1 ), g (t1 )) multipel. En kurva som inte
har någån multipel punkt kallas enkel.
Definition
: En plan kurva är en vektorvärd funktion av en variabel
x = f (t)
.
y = g (t)
där parametern t ligger i ett intervall I = [a, b], f , g är
kontinuerliga funktioner.
I
Om f (a) = f (b) och g (a) = g (b) kallas kurvan sluten.
I
Om f och g antar samma värde i två punkter t1 och t2 kallas
punkten (x1 , y1 ) = (f (t1 ), g (t1 )) multipel. En kurva som inte
har någån multipel punkt kallas enkel.
Definition
: En plan kurva är en vektorvärd funktion av en variabel
x = f (t)
.
y = g (t)
där parametern t ligger i ett intervall I = [a, b], f , g är
kontinuerliga funktioner.
I
Om f (a) = f (b) och g (a) = g (b) kallas kurvan sluten.
I
Om f och g antar samma värde i två punkter t1 och t2 kallas
punkten (x1 , y1 ) = (f (t1 ), g (t1 )) multipel. En kurva som inte
har någån multipel punkt kallas enkel.
I
Varje parametrisering bestämer en orientering.
Definition
: En plan kurva är en vektorvärd funktion av en variabel
x = f (t)
.
y = g (t)
där parametern t ligger i ett intervall I = [a, b], f , g är
kontinuerliga funktioner.
I
Om f (a) = f (b) och g (a) = g (b) kallas kurvan sluten.
I
Om f och g antar samma värde i två punkter t1 och t2 kallas
punkten (x1 , y1 ) = (f (t1 ), g (t1 )) multipel. En kurva som inte
har någån multipel punkt kallas enkel.
I
Varje parametrisering bestämer en orientering.
Anta att en kurva är given av två funktioner med kontinuerliga
derivator. Om f 0 (t) 6= 0 eller g 0 (t) 6= 0, (t ∈ I ) så är kurvan glatt
och lutningen
dy
g 0 (t)
y 0 (x) =
(x) = 0
dx
f (t)
eller
x 0 (y ) =
f 0 (t)
dx
(y ) = 0 .
dy
g (t)
Alltså, en kurva är glatt med undantag, eventuellt, i punkter där
både f och g har derivatan lika med 0. För en slät kurva kan man
alltid, teoretiskt, gå från en ekvation (form) till en annan.
Exempel 1: Linjen i rummet
x = x0 + t(x1 − x0 )
y = y0 + t(y1 − y0 ) .
z = z0 + t(z1 − y0 )
där P0 = (x0 , y0 , z0 ) och P1 = (x1 , y1 , z1 ) är två punkter på linjen,
t ∈ I.
Om man elliminerar parametern t kan man skriva ekvationen på en
ekvivalent form
y − y0
z − z0
x − x0
=
=
u1
u2
u3
där (u1 , u2 , u3 ) är en riktningsvektor, dvs y = φ1 (x) och
z = φ2 (x), som skärningen mellan två plan eller ytor.
Definition:
En rymd kurva är en vektorvärd funktion av en variabel
x = f (t)
y = g (t) .
z = h(t)
där parametern t ligger i ett intervall I = [a, b], f , g , h är
kontinuerliga funktioner.
I
Om f (a) = f (b), g (a) = g (b), h(a) = h(b) kallas kurvan
sluten.
I
Varje parametrisering bestämmer en orientering.
Definition:
En rymd kurva är en vektorvärd funktion av en variabel
x = f (t)
y = g (t) .
z = h(t)
där parametern t ligger i ett intervall I = [a, b], f , g , h är
kontinuerliga funktioner.
I
Om f (a) = f (b), g (a) = g (b), h(a) = h(b) kallas kurvan
sluten.
I
Varje parametrisering bestämmer en orientering.
I
Allt annat är som för plankurvor.
Definition:
En rymd kurva är en vektorvärd funktion av en variabel
x = f (t)
y = g (t) .
z = h(t)
där parametern t ligger i ett intervall I = [a, b], f , g , h är
kontinuerliga funktioner.
I
Om f (a) = f (b), g (a) = g (b), h(a) = h(b) kallas kurvan
sluten.
I
Varje parametrisering bestämmer en orientering.
I
Allt annat är som för plankurvor.
Uppgift 1:
Visa att r (t) = (t, t 2 ), 0 ≤ t ≤ 1 och p(t) = (sin t, 1 − cos2 t),
0 ≤ t ≤ π/2 är två parameterframställningar för samma kurva.
Lösning: Elliminering av parametern mellan de två första
ekvationerna medför att y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 1, och
x 2 = sin2 t = 1 − cos2 t = y , dvs. samma ekvation, 0 ≤ x ≤ 1.
Observera också att varje kurva är enkel. Kurvan är en parrabel.
Tangentvektorn och tangentens ekvation
Kurvan
r(t) = (f (t), g (t)) = f (t)i + g (t)j
kan också tolkas som banan som en punkt M beskriver i sin rörelse.
r(t0 ) är punkten position vid tiden t0 .
v(t) = r0 (t) = (x 0 (t), y 0 (t))
är hastigheten och
a(t) = v0 (t) = (x 00 (t), y 00 (t))
är accelerationen
Samma definitioner för vektorvärda funktioner med tre
komponenter, dvs för banor i rymden.
r0 (t0 ) = (x 0 (t0 ), y 0 (t0 ), z 0 (t0 ) är alltså tangentvektorn i punkten t0 .
Man kan skriva som vanligt tangentens ekvation i denna punkt.
Längden av en slät plankurva
Vi antar att kurvan är enkel och slät. Betrakta indelningen
Π : a = t0 < t1 < . . . < ti < ti + 1 < . . . < tn = b
av intervallet [a, b], så att alla delintervall har samma längd ∆t.
Summan av längderna av alla segment som denna inledning
bestämmer är:
n−1 q
X
(f (ti+1 ) − f (ti ))2 + (g (ti+1 ) − g (ti ))2
SΠ =
i=0
som enligt medelvärdesatsen kan skrivas
n−1 q
X
=
f 02 (τi ) + g 02 (σi )(ti+1 − ti ).
i=0
Enligt integralens definition fås, att längden av kurvan är
Z bq
n−1 q
X
S = lim
f 02 (τi ) + g 02 (σi )(ti+1 −ti ) =
f 02 (t) + g 02 (t)dt.
n→∞
i=0
a
Bågelement:
s(t) är kurvans längd från startpunkten till punkten M(t).
Betrakta intervallet [t, t + ∆t].
∆s =
q
q
(∆x)2 + (∆y )2 = (f (t + ∆t) − f (t))2 + (g (t + ∆t) − g (t))2 .
Om vi delar med ∆t och låter ∆t → 0 får man att
q
∆s
= f 02 (t) + g 02 (t)
s 0 (t) = lim
∆t→0 ∆t
eller
s 0 (t)dt = ds =
och s(t) =
Rt
a
p
dx 2 + dy 2
s 0 (t)dt
s 0 (t)dt = ds kallas ågelement och s(t) båglängd.
¯
Samma formel gäller för en rymdkurva.
Uppgift 2
Bestäm längden av kurvan med ekvationen
(x, y ) = (ln(1 + t 2 ), 2 arctan t), 0 ≤ t ≤ 1. Lösning: Vi beräknar
2
2t
0
först x 0 (t) = 1+t
2 , y (t) = 1+t 2 .
Enligt formeln är längden av kurvan:
1q
Z
x 02 (t) + y 02 (t)dt =
S=
0
Z
=
0
Z
0
1
√
1
s
4
4t 2
+
2
2
(1 + t )
(1 + t 2 )2
p
√
2
dt = 2 ln(t + 1 + t 2 )|10 = 2 ln(1 + 2).
1 + t2
Polära koordinater och polära kurvor
Istälet för att beskriva positionen av en punkt med hjälp av
rektangulära koordinater (x, y ) kan man beskriva punkten med
hjälp av polära koordinater [r , θ], där r är avståndet från origo till
punkten P och θ r vinkeln mellan x-axeln och OP. Vi har det
bijektiva sambandet
där r > 0,
x = r cos θ
,
y = r sin θ
p
0 ≤ θ < 2π eller r = x 2 + y 2 och tan θ = yx .kurva i
rektangulära koordinater ⇔kurva i polära koordinater
I många fall blir det lättare att beskriva en kurva i polära
koordinater, t.ex cirkeln med radien 1 har ekvationen r = 1 i polära
koordinater.
Uppgift(9/ sid 488 i boken ):
Beskriv kurvan
1
1 − cos θ
i rektangulära koordinater och identifiera den.
r=
Lösning: θ 6= 0. Anta att θ ∈ (0, 2π). Om vi använder
rektangulära koordinater kan ekvationen skrivas
p
x2 + y2 − x = 1
eller, efter kvadrering
x 2 + y 2 = x 2 + 2x + 1
eller
1 − y 2 = 2x
som är en parabell. Använd ett program för att rita kurvan
Efter denna lektion bör ni
I
känna igen ekvationerna till de vanligaste kurvorna
I
kunna gå från en ekvation av en kurva till en annan
I
kunna beräkna tangentvektorer till en kurva och skriva
tangentens ekvation
I
kunna beräkna längden av en kurva.
