Formelsamling, Fysik, tffy24

Formelsamling, Fysik, TFYA14
Vågens utbredningshastighet, v, ges av
v
En harmonisk svängningsrörelse kan tecknas
x(t )  xm cos(t   )
där x är avvikelsen från jämviktsläget, xm är svängningens
(läges)amplitud och (t+) svängningens fas.  kallas
faskonstanten. Svängningens vinkelfrekvens, , ges av
T
 f
(1)
2
T
En partikel med massan m som rör sig under inverkan av Hookes
lag, F  kx , svänger harmoniskt med
P
A
Ljudintensitetsnivån, , är definierad som
Utbredningshastigheten för en ljudvåg i ett medium med
elasticitetsmodulen B (bulk modulus) och densiteten  ges av
B
  10 log
I
(dB)
I0
där I0 = 110-12 W/m2 är en referensnivå.

Svävning
I en ljudvåg varierar trycket med p (p=p0+p).
Linjär oscillator
I
Ljudintensitetsnivå
Ljudvågor
v
Intensiteten, I, hos en ljudvåg vid en yta är vågens medelenergi
per tidsenhet och areaenhet som transporteras genom (eller till)
ytan
där P är effekten (energi per tidsenhet) och A är arean hos ytan
som vågen träffar.

v

där f är frekvensen och T är periodtiden.
p  pm sin(kx  t )
där pm är tryckamplituden och p0 är jämviktstrycket.
Svävning är ett fenomen som uppstår när vågor med närliggande
frekvenser, f1 och f2, samverkar. Svävningsfrekvensen, fbeat, ges
av
fbeat  f1  f 2
k

Dopplereffekten
m
Ett sådant system kallas (linjär, enkel) harmonisk oscillator.
För en fjäder kallas k för fjäderkonstanten.
Energi vid harmonisk svängning
En horisontellt, harmoniskt svängande partikel har i varje
tidpunkt en kinetisk energi, K 
1
mv2 och en potentiell
2
1 2
kx . Om friktionen kan försummas är den
2
mekaniska energin, E  K  U , konstant under hela
svängningsförloppet.
Harmoniska vågor
En sinusformad våg som rör sig i positiv x-led kan tecknas
y( x, t )  ym sin(kx  t   )
där ym är vågens amplitud, k vågtalet,  vinkelfrekvensen och
(kx  t   ) är vågens fas. Vågtalet är relaterat till våglängden
k
k

Utbredningshastigheten för en våg på en sträng, spänd med
kraften  och med en massa per längdenhet , ges av
Harmonisk svängning
energi, U 

Våg på spänd sträng
1. VÅGFYSIK
  2f 

Ljudintensitet
2

Generella vågor i en dimension
Varje funktion
y( x, t )  h(kx  t )
kan representera en våg som utbreder sig med en hastighet enligt
ekv. (1).
Superpositionsprincipen
Om två eller flera vågor samverkar blir den resulterande vågen
summan av delvågornas inverkan.
Interferens (samverkan)
Hur två vågor samverkar i en punkt, beror på deras fasskillnad,
. Om fasskillnaden enbart beror på en skillnad i gångsträcka,
L, så är den

L

2
Fasvektordiagram och/eller trigonometriska ekvationer kan vara
till hjälp för att beräkna den resulterande vågen vid interferens.
När en vågkälla och/eller vågdetektor rör sig i förhållande till det
medium som vågen utbreder sig i, skiljer sig den detekterade
frekvensen, f ', från den utsända, f.
f f
v  vD
v  vS
där vD är detektorns hastighet relativt mediet och vS är källans
hastighet relativt mediet. v är vågens utbredningshastighet i
mediet. Tecknen i täljare och nämnare beror på hur sändare och
mottagare rör sig.
Elektromagnetiska vågor
En harmonisk elektromagnetisk våg som utbreder sig längs xaxeln har ett elektriskt fält, E , och ett magnetiskt fält, B .
Dessa båda fält är vinkelräta mot varann och mot
utbredningsriktningen. Storleken på fälten kan tecknas
E  Em sin(kx  t )
B  Bm sin(kx  t )
där Em och Bm är de två fältens amplituder.
Utbredningshastigheten hos en elektromagnetisk våg i vakuum, c,
kan tecknas
c
E

B
1
 0 0
Intensitet hos elektromagnetisk våg
I
1
c 0
2
Erms
där Erms  Em / 2 .
Linjärpolariserande filter
Om opolariserat ljus med intensiteten I0 infaller mot ett (idealt)
linjärpolariserande filter kommer det ljus som går igenom
filtret att vara linjärpolariserat och ha intensiteten
I
I 0
2
Om det infallande ljuset är linjärpolariserat så kommer
intensiteten hos det ljus som går igenom filtret att bero på
vinkeln, , mellan polarisationsriktningarna hos ljuset och
filtret
I  I 0 cos2 
Brytning
Brytningsvinkeln, 2, hos en ljusstråle som passerar en gränsyta
mellan två transparenta media, beror på infallsvinkeln, 1,
n1 sin1  n2 sin2
där n1 och n2 är brytningsindex för de två medierna.
Polarisation vid reflektion
En reflekterad ljusvåg kommer att vara linjärpolariserad, med det
elektriska fältet vinkelrätt mot infallsplanet, om det träffar en
gränsyta vid Brewstervinkeln
n
 B  arctan( 2 )
n1
Våglängd och brytningsindex
Våglängden, n, hos ljus i ett medium med brytningsindex n är
n 

n
där  är våglängden i vakuum.
Interferens i tunna skikt
Diffraktion i gitter
Vid reflektion mot ett material med högre brytningsindex får den
reflekterade vågen ett fassprång på  (d.v.s. /2).
Vid diffraktion i N stycken spalter (ett gitter), där avståndet
mellan närliggande spalters centra är d (gitterkonstanten), ges
intensitetens vinkelberoende av
2
Youngs experiment
Två identiska punktkällor som sänder i fas ger upphov till ett
interferensmönster med intensiteten

2d
I  4 I 0 cos2 ( ) , där  
sin
2

I0 är intensiteten från en källa och d är avståndet mellan källorna.
Diffraktion i enkelspalt
Intensiteten, I, i diffraktionsmönstret från en enkelspalt är vid
en viss vinkel, ,
2
 sin 
 a 
I ( )  I m 
 där     sin
  
 
och Im är intensiteten i centralmaximum och a är spaltbredden.
Intensitetsminima fås för
a sin  m för m  1,  2,  3, ...
Diffraktion i cirkulärt hål
Det första minimat i diffraktionsmönstret från ett cirkulärt hål
med diametern d hamnar vid en vinkel  till centralmaximum
som ges av
sin  1.22

2
där I0 är intensiteten i centralmaximum från en spalt. Intensitetsmaxima fås vid vinklar  som ges av
d sin   m för m  0,  1,  2,  3, ...
om inte dessa släcks ut av enkelspaltsfaktorn. Intensitettopparnas
halva bredd (i radianer) ges av
 hw 

Nd cos
Ett gitter karaktäriseras av dess dispersion, D, och dess
upplösningsförmåga, R, vilka ges av
D
R

m

 d cos
avg

 Nm
där  är våglängdsskillnaden mellan två närliggande våglängder
och avg är våglängdernas medelvärde.
Röntgendiffraktion
d
Rayleighs kriterium
Två objekt kan precis upplösas (särskiljas) om centralmaximum
för det ena objektet hamnar vid första sidominimum för det andra
objektet. Deras vinkelskillnad ( i radianer) måste då minst vara
 R  1.22
 sin N   sin  
 
I ( )  I 0 

 sin     

Vid röntgendiffraktionsanalys kan man betrakta en kristall som
bestående av plan med karaktäristiska planavstånd, d.
Diffraktionsmaxima erhålls när infallsvinkeln , mätt från
vinkeln till dessa plan, uppfyller Braggs lag
2d sin  m för m  1, 2, 3, ...
d
Diffraktion i dubbelspalt
En våg som passerar en dubbelspalt, där avståndet mellan de två
spalternas centra är d, ger upphov till ett diffraktionsmönster där
intensiteten beror av diffraktionsvinkeln, , enligt
2. TERMODYNAMIK
2
 sin 
 a 
 d 
I ( )  I m cos2  
 , där     sin och     sin
  
 
  
Celsiusskalan och absolut temperatur
Celsiusskalan är definierad enligt
TC  T  273.15
där T är den absoluta temperaturen mätt i Kelvin (K).
För en process vid konstant tryck gäller
Termisk expansion
Värmeledning
Alla material ändrar storlek när temperaturen ändras. Om
temperaturen ändras med T, så ändras varje linjär dimension
från L till L+L där L ges av
Hastigheten, Pcond, med vilken värme leds genom ett eller flera
material med temperaturreservoarer, vid TH respektive TC, på
ömse sidor är
L  LT
där  är längdutvidgningskoefficienten. Volymändringen ges på
motsvarande sätt av
V  VT
där  = 3 och kallas volymutvidgningskoefficienten.
Värmekapacitet och specifik värmekapacitet
Om värmen Q tillförs ett objekt kommer dess temperatur att
ändras från Ti till Tf enligt
Q  C (T f  Ti )
där C kallas värmekapaciteten hos objektet. Om objektet har
massan m så är
Q  mc(T f  Ti ) och dQ  mcdT
där c är den specifika värmekapaciteten hos det material som
objektet består av.
Smältvärme och ångbildningsvärme
Mängden värme som krävs för att smälta (QF) respektive förånga
(QV) ett material, vid smält- respektive koktemperaturen, ges av
QF  LF m respektive QV  LV m
Där LF kallas smältvärme och LV ångbildningsvärme.
Arbete vid volymändring
En gas kan utbyta energi med sin omgivning genom att arbete
uträttas. Arbetet som en gas uträttar då den expanderar från
initialvolymen Vi till finalvolymen Vf ges av
W   dW   pdV
Termodynamikens 1:a huvudsats
Termodynamikens 1:a huvudsats uttrycker principen om energins
bevarande, vilket kan tecknas
Q  Eint  W eller
dQ  dEint  dW
Eint är materialets inre energi (= ”termiska energin”), Q är
värmeutbytet med omgivningen och W är utfört arbete.
Pcond
Q
T  TC
 A H
L
t
k

där A är materialens tvärsnittsarea, L deras längder och k är
materialens termiska konduktiviteter.
Q  nCp T , där Cp=CV+R.
Cp är den molära specifika värmekapaciteten vid konstant
tryck.
Frihetsgrader
Ekvipartitionsteoremet säger att varje frihetsgrad (d.v.s. varje
oberoende sätt att lagra energi) hos en molekyl är associerad med
en medelenergi på
1
2
per molekyl (= RT per mol gas). Om f
är antalet frihetsgrader så är
Ideala gaser
Hos en ideal gas är trycket, p, volymen, V, och temperaturen, T,
relaterade till varandra genom allmänna gaslagen
Eint 
pV  nRT  NkT
N
M
där n 
 sam är antalet mol av gasen, R är den allmänna
NA
M
gaskonstanten, k är Boltzmanns konstant, N är antalet molekyler,
NA är Avogadros konstant, Msam är massan hos ett prov och M
provets molmassa.
Molekylernas medelhastighet i en gas kan tecknas
vrms  ( v 2 )avg 
f
2
 f 
nRT och CV    R  4.16 f J/mol  K
2
Normalt är f = 3 för monoatomära och f = 5 för diatomära gaser.
Värmeutbyte för ideal gas
Värmeutbytet för en ideal gas ges av
dQ  dEint  dW  nCvdT  pdV
Adiabatisk process
Molekylhastighet
3RT
M
där M är molmassan hos molekylen i fråga.
När en ideal gas genomgår en adiabatisk process (Q = 0), som ej
är en fri expansion, är dess tryck och volym relaterade genom
pV   konstant
där  = Cp / CV. Vid fri expansion är dock pV = konstant.
Entropi
Medelfri väg
Den medelfria vägen, , för en gasmolekyl är medelvärdet av
dess gångväg mellan kollisioner och ges av

1
kT
2
1
2d 2 N V
där N/V är antalet molekyler per volymsenhet och d är
molekyldiametern.
Molär specifik värmekapacitet
För en ideal gas är
Eint  nCV T
där CV är den molära specifika värmekapaciteten vid konstant
volym. För en process vid konstant volym är
Q  nCV T
Entropin, S, är ett mått på oordningen i ett system och kan tala
om i vilken riktning en process kan ske spontant.
Entropiändringen, S, för reversibla och irreversibla
processer kan beräknas enligt
S  S f  Si   dS  
f
i
dQ
T
där
dS 
dQ
T
Q är energin som tillförs eller förs bort under processen. Om
temperaturändringen hos ett system är liten relativt temperaturen (i Kelvin) under processen, kan entropiändringen
approximeras med
S  S f  Si 
Q
Tavg
där Tavg är medeltemperaturen för systemet under processen.
Termodynamikens 2:a huvudsats
Om en process äger rum i ett slutet system, så kommer entropin
att öka för irreversibla processer och vara konstant för reversibla
processer. Den minskar aldrig. Detta kan sammanfattas
SI-enheter
3. APPENDIX
Trigonometri
1
1
sin  sin  2 sin (    ) cos (    )
2
2
Stot  0
Tillståndsvariabler
En tillståndsvariabel har ett entydigt värde för ett system i
jämvikt och förändringen av variablen är oberoende av vägen
mellan initial- och finaltillstånd. Exempel på tillståndsvariabler är
p, V, T, Eint och S. Däremot är Q och W inte tillståndsvariabler.
Värmemaskiner
En värmemaskin tillförs värme och gör ett arbete, W , under en
1
1
cos  cos   2 cos (    ) cos (    )
2
2
sin(   )  sin cos   cos sin
sin2  2 sin cos
Några fysikaliska egenskaper
Luft (vid 20 C och 1 atm):
Densitet
Ljudhastighet
Molmassa:
Brytningsindex:
W
Qtillförd
Trianglar
I en ideal värmemaskin sker alla processer reversibelt och de
enda nettoenergitransporterna under en cykel är
Densitet
Ljudhastighet
Specifik värmekapacitet
Smältvärme
Ångbildningsvärme
Molmassa:
Brytningsindex:
C
b
a
värmemaskin med verkningsgraden
QL
T
 1 L
QH
TH
där QH och TH och QL och TL är värmeutbyten och temperaturer
vid hög- respektive lågtemperaturreservoaren.
1.21 kg/m3
343 m/s
29.0·10-3 kg/mol
1.00029
Vatten:
Qtillförd , W och Qavgiven . En Carnotmaskin är en ideal
C  1 
Hz
rad/s
N = kgm/s2
J = Nm
W = J/s
W/m2
V/m
T
K
Pa = N/m2
cos(   )  cos cos   sin sin
cykel. Verkningsgraden hos värmemaskinen är definierad som

Frekvens, f
Vinkelfrekvens, 
Kraft, F
Energi, E (t.ex)
Effekt, P
Intensitet, I
Elektrisk fältstyrka, E
Magnetisk fältstyrka, B
Temperatur, T
Tryck, p
B
A
c
2
2
1000 kg/m3
1460 m/s
4190 J/kgK
333 kJ/kg
2260 kJ/kg
18.0·10-3 kg/mol
1.33
2
c  a  b  2abcosC
Omvandling mellan enheter
Kylmaskiner
När en kylmaskin (t.ex. kylskåp, luftkonditionering eller
värmepump) körs under en cykel utförs ett arbete, W , av
Fundamentala konstanter inom fysiken
omgivningen. Värme, QL , utvinns från en lågtemperatur-
Ljusets utbredningshastighet i vakuum c  3.00  108 m/s
reservoar och värme, QH , avges till en högtemperaturreservoar.
Dielektricitetskonstanten för vakuum
 0  8.85  1012 F/m
Permeabilitetskonstanten för vakuum
0  1.26  106 H/m
Temperatur:
QL
W
Allmänna gaskonstanten
R  8.31J/mol  K
där T är den absoluta temperaturen mätt i Kelvin (K).
Avogadros tal
N A  6.02  1023 mol -1
9
TF  TC  32 
5
Boltzmanns konstant
k  1.38  1023 J/K
Kylmaskinens köldfaktor är definierad
K
En Carnot-kylmaskin är en Carnotmaskin där cykeln körs
baklänges. För en sådan maskin är köldfaktorn
KC 
QL
QH  QL

TL
TH  TL
Tryck:
1 atm = 1.01105 Pa
Energi:
1 calori = 4.19 J
TC  T  273.15
TF är temperaturen i °Fahrenheit
TC är temperaturen i °Celsius