Formelsamling, Fysik, TFYA14 Vågens utbredningshastighet, v, ges av v En harmonisk svängningsrörelse kan tecknas x(t ) xm cos(t ) där x är avvikelsen från jämviktsläget, xm är svängningens (läges)amplitud och (t+) svängningens fas. kallas faskonstanten. Svängningens vinkelfrekvens, , ges av T f (1) 2 T En partikel med massan m som rör sig under inverkan av Hookes lag, F kx , svänger harmoniskt med P A Ljudintensitetsnivån, , är definierad som Utbredningshastigheten för en ljudvåg i ett medium med elasticitetsmodulen B (bulk modulus) och densiteten ges av B 10 log I (dB) I0 där I0 = 110-12 W/m2 är en referensnivå. Svävning I en ljudvåg varierar trycket med p (p=p0+p). Linjär oscillator I Ljudintensitetsnivå Ljudvågor v Intensiteten, I, hos en ljudvåg vid en yta är vågens medelenergi per tidsenhet och areaenhet som transporteras genom (eller till) ytan där P är effekten (energi per tidsenhet) och A är arean hos ytan som vågen träffar. v där f är frekvensen och T är periodtiden. p pm sin(kx t ) där pm är tryckamplituden och p0 är jämviktstrycket. Svävning är ett fenomen som uppstår när vågor med närliggande frekvenser, f1 och f2, samverkar. Svävningsfrekvensen, fbeat, ges av fbeat f1 f 2 k Dopplereffekten m Ett sådant system kallas (linjär, enkel) harmonisk oscillator. För en fjäder kallas k för fjäderkonstanten. Energi vid harmonisk svängning En horisontellt, harmoniskt svängande partikel har i varje tidpunkt en kinetisk energi, K 1 mv2 och en potentiell 2 1 2 kx . Om friktionen kan försummas är den 2 mekaniska energin, E K U , konstant under hela svängningsförloppet. Harmoniska vågor En sinusformad våg som rör sig i positiv x-led kan tecknas y( x, t ) ym sin(kx t ) där ym är vågens amplitud, k vågtalet, vinkelfrekvensen och (kx t ) är vågens fas. Vågtalet är relaterat till våglängden k k Utbredningshastigheten för en våg på en sträng, spänd med kraften och med en massa per längdenhet , ges av Harmonisk svängning energi, U Våg på spänd sträng 1. VÅGFYSIK 2f Ljudintensitet 2 Generella vågor i en dimension Varje funktion y( x, t ) h(kx t ) kan representera en våg som utbreder sig med en hastighet enligt ekv. (1). Superpositionsprincipen Om två eller flera vågor samverkar blir den resulterande vågen summan av delvågornas inverkan. Interferens (samverkan) Hur två vågor samverkar i en punkt, beror på deras fasskillnad, . Om fasskillnaden enbart beror på en skillnad i gångsträcka, L, så är den L 2 Fasvektordiagram och/eller trigonometriska ekvationer kan vara till hjälp för att beräkna den resulterande vågen vid interferens. När en vågkälla och/eller vågdetektor rör sig i förhållande till det medium som vågen utbreder sig i, skiljer sig den detekterade frekvensen, f ', från den utsända, f. f f v vD v vS där vD är detektorns hastighet relativt mediet och vS är källans hastighet relativt mediet. v är vågens utbredningshastighet i mediet. Tecknen i täljare och nämnare beror på hur sändare och mottagare rör sig. Elektromagnetiska vågor En harmonisk elektromagnetisk våg som utbreder sig längs xaxeln har ett elektriskt fält, E , och ett magnetiskt fält, B . Dessa båda fält är vinkelräta mot varann och mot utbredningsriktningen. Storleken på fälten kan tecknas E Em sin(kx t ) B Bm sin(kx t ) där Em och Bm är de två fältens amplituder. Utbredningshastigheten hos en elektromagnetisk våg i vakuum, c, kan tecknas c E B 1 0 0 Intensitet hos elektromagnetisk våg I 1 c 0 2 Erms där Erms Em / 2 . Linjärpolariserande filter Om opolariserat ljus med intensiteten I0 infaller mot ett (idealt) linjärpolariserande filter kommer det ljus som går igenom filtret att vara linjärpolariserat och ha intensiteten I I 0 2 Om det infallande ljuset är linjärpolariserat så kommer intensiteten hos det ljus som går igenom filtret att bero på vinkeln, , mellan polarisationsriktningarna hos ljuset och filtret I I 0 cos2 Brytning Brytningsvinkeln, 2, hos en ljusstråle som passerar en gränsyta mellan två transparenta media, beror på infallsvinkeln, 1, n1 sin1 n2 sin2 där n1 och n2 är brytningsindex för de två medierna. Polarisation vid reflektion En reflekterad ljusvåg kommer att vara linjärpolariserad, med det elektriska fältet vinkelrätt mot infallsplanet, om det träffar en gränsyta vid Brewstervinkeln n B arctan( 2 ) n1 Våglängd och brytningsindex Våglängden, n, hos ljus i ett medium med brytningsindex n är n n där är våglängden i vakuum. Interferens i tunna skikt Diffraktion i gitter Vid reflektion mot ett material med högre brytningsindex får den reflekterade vågen ett fassprång på (d.v.s. /2). Vid diffraktion i N stycken spalter (ett gitter), där avståndet mellan närliggande spalters centra är d (gitterkonstanten), ges intensitetens vinkelberoende av 2 Youngs experiment Två identiska punktkällor som sänder i fas ger upphov till ett interferensmönster med intensiteten 2d I 4 I 0 cos2 ( ) , där sin 2 I0 är intensiteten från en källa och d är avståndet mellan källorna. Diffraktion i enkelspalt Intensiteten, I, i diffraktionsmönstret från en enkelspalt är vid en viss vinkel, , 2 sin a I ( ) I m där sin och Im är intensiteten i centralmaximum och a är spaltbredden. Intensitetsminima fås för a sin m för m 1, 2, 3, ... Diffraktion i cirkulärt hål Det första minimat i diffraktionsmönstret från ett cirkulärt hål med diametern d hamnar vid en vinkel till centralmaximum som ges av sin 1.22 2 där I0 är intensiteten i centralmaximum från en spalt. Intensitetsmaxima fås vid vinklar som ges av d sin m för m 0, 1, 2, 3, ... om inte dessa släcks ut av enkelspaltsfaktorn. Intensitettopparnas halva bredd (i radianer) ges av hw Nd cos Ett gitter karaktäriseras av dess dispersion, D, och dess upplösningsförmåga, R, vilka ges av D R m d cos avg Nm där är våglängdsskillnaden mellan två närliggande våglängder och avg är våglängdernas medelvärde. Röntgendiffraktion d Rayleighs kriterium Två objekt kan precis upplösas (särskiljas) om centralmaximum för det ena objektet hamnar vid första sidominimum för det andra objektet. Deras vinkelskillnad ( i radianer) måste då minst vara R 1.22 sin N sin I ( ) I 0 sin Vid röntgendiffraktionsanalys kan man betrakta en kristall som bestående av plan med karaktäristiska planavstånd, d. Diffraktionsmaxima erhålls när infallsvinkeln , mätt från vinkeln till dessa plan, uppfyller Braggs lag 2d sin m för m 1, 2, 3, ... d Diffraktion i dubbelspalt En våg som passerar en dubbelspalt, där avståndet mellan de två spalternas centra är d, ger upphov till ett diffraktionsmönster där intensiteten beror av diffraktionsvinkeln, , enligt 2. TERMODYNAMIK 2 sin a d I ( ) I m cos2 , där sin och sin Celsiusskalan och absolut temperatur Celsiusskalan är definierad enligt TC T 273.15 där T är den absoluta temperaturen mätt i Kelvin (K). För en process vid konstant tryck gäller Termisk expansion Värmeledning Alla material ändrar storlek när temperaturen ändras. Om temperaturen ändras med T, så ändras varje linjär dimension från L till L+L där L ges av Hastigheten, Pcond, med vilken värme leds genom ett eller flera material med temperaturreservoarer, vid TH respektive TC, på ömse sidor är L LT där är längdutvidgningskoefficienten. Volymändringen ges på motsvarande sätt av V VT där = 3 och kallas volymutvidgningskoefficienten. Värmekapacitet och specifik värmekapacitet Om värmen Q tillförs ett objekt kommer dess temperatur att ändras från Ti till Tf enligt Q C (T f Ti ) där C kallas värmekapaciteten hos objektet. Om objektet har massan m så är Q mc(T f Ti ) och dQ mcdT där c är den specifika värmekapaciteten hos det material som objektet består av. Smältvärme och ångbildningsvärme Mängden värme som krävs för att smälta (QF) respektive förånga (QV) ett material, vid smält- respektive koktemperaturen, ges av QF LF m respektive QV LV m Där LF kallas smältvärme och LV ångbildningsvärme. Arbete vid volymändring En gas kan utbyta energi med sin omgivning genom att arbete uträttas. Arbetet som en gas uträttar då den expanderar från initialvolymen Vi till finalvolymen Vf ges av W dW pdV Termodynamikens 1:a huvudsats Termodynamikens 1:a huvudsats uttrycker principen om energins bevarande, vilket kan tecknas Q Eint W eller dQ dEint dW Eint är materialets inre energi (= ”termiska energin”), Q är värmeutbytet med omgivningen och W är utfört arbete. Pcond Q T TC A H L t k där A är materialens tvärsnittsarea, L deras längder och k är materialens termiska konduktiviteter. Q nCp T , där Cp=CV+R. Cp är den molära specifika värmekapaciteten vid konstant tryck. Frihetsgrader Ekvipartitionsteoremet säger att varje frihetsgrad (d.v.s. varje oberoende sätt att lagra energi) hos en molekyl är associerad med en medelenergi på 1 2 per molekyl (= RT per mol gas). Om f är antalet frihetsgrader så är Ideala gaser Hos en ideal gas är trycket, p, volymen, V, och temperaturen, T, relaterade till varandra genom allmänna gaslagen Eint pV nRT NkT N M där n sam är antalet mol av gasen, R är den allmänna NA M gaskonstanten, k är Boltzmanns konstant, N är antalet molekyler, NA är Avogadros konstant, Msam är massan hos ett prov och M provets molmassa. Molekylernas medelhastighet i en gas kan tecknas vrms ( v 2 )avg f 2 f nRT och CV R 4.16 f J/mol K 2 Normalt är f = 3 för monoatomära och f = 5 för diatomära gaser. Värmeutbyte för ideal gas Värmeutbytet för en ideal gas ges av dQ dEint dW nCvdT pdV Adiabatisk process Molekylhastighet 3RT M där M är molmassan hos molekylen i fråga. När en ideal gas genomgår en adiabatisk process (Q = 0), som ej är en fri expansion, är dess tryck och volym relaterade genom pV konstant där = Cp / CV. Vid fri expansion är dock pV = konstant. Entropi Medelfri väg Den medelfria vägen, , för en gasmolekyl är medelvärdet av dess gångväg mellan kollisioner och ges av 1 kT 2 1 2d 2 N V där N/V är antalet molekyler per volymsenhet och d är molekyldiametern. Molär specifik värmekapacitet För en ideal gas är Eint nCV T där CV är den molära specifika värmekapaciteten vid konstant volym. För en process vid konstant volym är Q nCV T Entropin, S, är ett mått på oordningen i ett system och kan tala om i vilken riktning en process kan ske spontant. Entropiändringen, S, för reversibla och irreversibla processer kan beräknas enligt S S f Si dS f i dQ T där dS dQ T Q är energin som tillförs eller förs bort under processen. Om temperaturändringen hos ett system är liten relativt temperaturen (i Kelvin) under processen, kan entropiändringen approximeras med S S f Si Q Tavg där Tavg är medeltemperaturen för systemet under processen. Termodynamikens 2:a huvudsats Om en process äger rum i ett slutet system, så kommer entropin att öka för irreversibla processer och vara konstant för reversibla processer. Den minskar aldrig. Detta kan sammanfattas SI-enheter 3. APPENDIX Trigonometri 1 1 sin sin 2 sin ( ) cos ( ) 2 2 Stot 0 Tillståndsvariabler En tillståndsvariabel har ett entydigt värde för ett system i jämvikt och förändringen av variablen är oberoende av vägen mellan initial- och finaltillstånd. Exempel på tillståndsvariabler är p, V, T, Eint och S. Däremot är Q och W inte tillståndsvariabler. Värmemaskiner En värmemaskin tillförs värme och gör ett arbete, W , under en 1 1 cos cos 2 cos ( ) cos ( ) 2 2 sin( ) sin cos cos sin sin2 2 sin cos Några fysikaliska egenskaper Luft (vid 20 C och 1 atm): Densitet Ljudhastighet Molmassa: Brytningsindex: W Qtillförd Trianglar I en ideal värmemaskin sker alla processer reversibelt och de enda nettoenergitransporterna under en cykel är Densitet Ljudhastighet Specifik värmekapacitet Smältvärme Ångbildningsvärme Molmassa: Brytningsindex: C b a värmemaskin med verkningsgraden QL T 1 L QH TH där QH och TH och QL och TL är värmeutbyten och temperaturer vid hög- respektive lågtemperaturreservoaren. 1.21 kg/m3 343 m/s 29.0·10-3 kg/mol 1.00029 Vatten: Qtillförd , W och Qavgiven . En Carnotmaskin är en ideal C 1 Hz rad/s N = kgm/s2 J = Nm W = J/s W/m2 V/m T K Pa = N/m2 cos( ) cos cos sin sin cykel. Verkningsgraden hos värmemaskinen är definierad som Frekvens, f Vinkelfrekvens, Kraft, F Energi, E (t.ex) Effekt, P Intensitet, I Elektrisk fältstyrka, E Magnetisk fältstyrka, B Temperatur, T Tryck, p B A c 2 2 1000 kg/m3 1460 m/s 4190 J/kgK 333 kJ/kg 2260 kJ/kg 18.0·10-3 kg/mol 1.33 2 c a b 2abcosC Omvandling mellan enheter Kylmaskiner När en kylmaskin (t.ex. kylskåp, luftkonditionering eller värmepump) körs under en cykel utförs ett arbete, W , av Fundamentala konstanter inom fysiken omgivningen. Värme, QL , utvinns från en lågtemperatur- Ljusets utbredningshastighet i vakuum c 3.00 108 m/s reservoar och värme, QH , avges till en högtemperaturreservoar. Dielektricitetskonstanten för vakuum 0 8.85 1012 F/m Permeabilitetskonstanten för vakuum 0 1.26 106 H/m Temperatur: QL W Allmänna gaskonstanten R 8.31J/mol K där T är den absoluta temperaturen mätt i Kelvin (K). Avogadros tal N A 6.02 1023 mol -1 9 TF TC 32 5 Boltzmanns konstant k 1.38 1023 J/K Kylmaskinens köldfaktor är definierad K En Carnot-kylmaskin är en Carnotmaskin där cykeln körs baklänges. För en sådan maskin är köldfaktorn KC QL QH QL TL TH TL Tryck: 1 atm = 1.01105 Pa Energi: 1 calori = 4.19 J TC T 273.15 TF är temperaturen i °Fahrenheit TC är temperaturen i °Celsius