2.4 2.4. 23 Linjärkombination Linjärkombination Definition 2.30. Låt v 1 , v 2 och v 3 vara vektorer i rummet. Ett uttryck av typen u = λ1 v 1 + λ2 v 2 + λ3 v 3 , där λ1 , λ2 och λ3 är reella tal kallas för en linjärkombination av vektorerna v 1 , v 2 och v 3 . 1024 2 Exempel 2.31. Vektorn u = är en linjärkombinaton av vektorn v = , ty 512 1 u = 512v. Geometriskt säger vi att u och v är parallella. 2 1 1 0 Exempel 2.32. Vektorn u = är en linjärkombination av vektorerna v 1 = 0 och v 2 = , ty det finns λ1 = 2 och λ2 = 1, så att 1 1 0 2 λ1 v 1 + λ2 v 2 = 2 +1 = = u. 0 1 1 1 0 Eftersom vektorerna och är vinkelräta och har längd 1 brukar dessa kallas 0 1 för standardbasen för planet. 1 −1 Exempel 2.33. Vektorn u = är en linjärkombination av vektorerna v 1 = 1 och v 2 = , ty det finns λ1 = 3 och λ2 = −2, så att 2 1 1 1 λ1 v 1 + λ2 v 2 = 3 −2 = = u. 1 2 −1 3 4 Exempel 2.34. Vektorn u = är ej en linjärkombination av vektorerna v 1 = 2 och v 2 = , ty det finns inga λ1 och λ2 , så att 2 1 2 3 λ1 + λ2 = 1 2 4 har lösning. 1 1 1 1 24 2 VEKTORGEOMETRI 1 3 Exempel 2.35. Vektorerna v 1 = 1 och v 2 = 3 är parallella, ty den ena −1 −3 är en linjärkombination av den andra; det finns λ = 1/3 så att 1 v1 = v2 . 3 Eller om man vill så finns λ = 3 så att v 2 = 3v 1 . 1 1 Exempel 2.36. Vektorerna v 1 = 0 och v 2 = 1 är ej parallella, ty den ena är 1 0 inte en linjärkombination av den andra; det finns inget λ så att v 1 = λv 2 . 1 1 Exempel 2.37. Vektorn u = −2 är en linjärkombination av v 1 = 0 och 3 1 1 v 2 = 1 , ty ekvationssystemet 0 1 1 3 λ 1 + λ2 1 λ1 v1 + λ2 v 2 = u ⇔ λ1 0 + λ2 1 = −1 ⇔ λ2 = −2 1 0 3 3 λ1 har lösningen λ1 = 3 och λ2 = −2. 1 1 Exempel 2.38. Vektorn u = 1 är ej en linjärkombination av v 1 = 0 och 1 1 1 v 2 = 1 , ty ekvationssystemet 0 1 1 1 λ 1 + λ2 3 λ1 v 1 + λ 2 v 2 = u ⇔ λ 1 0 + λ 2 1 = 1 ⇔ λ2 = −1 1 0 1 3 λ1 saknar lösning. 2.4 25 Linjärkombination 1 1 Exempel 2.39. Antag att v 1 = 0 och v 2 = 1 . Undersök om 1 0 0 a) v 3 = 1 1 3 b) v 4 = 2 1 kan skrivas som en linjärkombination av mängden {v 1 , v 2 }. Lösning: 26 2 VEKTORGEOMETRI Exempel 2.40. Vi har sett att det finns vektorer somär linjärkombination respektive 1 1 inte är en linjärkombination av v 1 = 0 och v 2 = 1 Kan man bestämma alla 1 0 linjärkombinationer av v1 och v 2 ? x Lösning: Om u = y skall vara en linjärkombinationer av v 1 z vi hittar λ1 och λ2 som löser systemet 1 1 0 1 = λ1 v 1 + λ2 v 2 = u ⇔ λ1 + λ1 1 0 Vi multiplicerar in λ1 + λ2 λ2 = λ1 och v 2 , så krävs det att x y . z λ1 och λ2 och skriver systemet på matrisform: x 1 1 x 0 λ 1 + λ2 = x y ⇔ λ2 = y ⇔ 0 1 y ⇔ 0 z λ1 = z 1 0 z 1 0 1 0 x−y−z . y z Enligt första raden i sista matrisen ovan så måste gälla att x − y − z = 0. Detta är ekvationen för det plan som går igenom origo och är parallellt med v 1 och v 2 . x Alltså, alla u = y som uppfyller ekvationen x − y − z = 0 är en linjärkombination av z 1 1 v 1 och v 2 ; t.ex. vektorn −2 men inte 1 . 3 1 2.5 2.5. Linjärt oberoende och beroende 27 Linjärt oberoende och beroende Definition 2.41. Låt v 1 , v 2 och v 3 vara en uppsättning vektorer i rummet. Vektorerna v 1 , v 2 och v 3 är linjärt beroende om det finns reella tal λ1 , λ2 och λ3 , ej alla noll, så att λ1 v1 + λ2 v 2 + λ3 v 3 = 0. Uppsättningen v 1 , v 2 och v 3 är linjärt oberoende om λ1 v1 + λ2 v 2 + λ3 v 3 = 0, endast för λ1 = λ2 = λ3 = 0. Exempel 2.42. Om mängden {v 1 , v 2 , v 3 } är linjärt beroende, så betyder det att en eller flera vektorer är en linjärkombination i dem andra. Geometriskt betyder det att vektorerna ligger i samma plan eller parallella med en linje. Figur 2.43. v2 v3 v1 v2 v1 v3 Exempel 2.44. Om mängden {v 1 , v 2 , v 3 } är linjärt oberoende, så är ingen vektor en linjärkombination av dem andra. Geometriskt betyder det att vektorerna spänner upp rummet. Figur 2.45. v3 v2 v1 28 2 VEKTORGEOMETRI 1 1 Exempel 2.46. Undersök om mängden {v 1 , v 2 , v 3 }, där v 1 = 0 , v 2 = 1 och 1 0 0 v 3 = 1 är linjärt beroende eller linjärt oberoende. 1 Lösning: 1 1 Exempel 2.47. Undersök om mängden {v 1 , v 2 , v 3 }, där v 1 = 0 , v 2 = 1 och 1 0 2 v 3 = 1 är linjärt beroende eller linjärt oberoende. 1 Lösning: 1 1 0 2 Exempel 2.48. Vektorerna v 1 = 0 , v2 = 1 , v3 = 1 och v 4 = 1 är 1 0 1 1 1 1 linjärt beroende men spänner upp rummet, medan v 1 = 0 och v 2 = 1 är linjärt 1 0 oberoende men spänner ej upp rummet. 2.5 Linjärt oberoende och beroende 29 Exempel 2.49. Ligger vektorerna u, v och w i samma plan om 1 1 0 a) u = 0 , v = 1 , och w = 1 1 0 1 b) 1 u = 0 , 1 1 v = 1 , 0 3 w = −4 1 och Lösning: a) Vektorerna u, v och w ligger i samma plan om mängden {u, v, w} är linjärt beroende. Eftersom 1 1 0 0 λ1 u + λ2 v + λ3 w = 0 ⇔ λ1 0 + λ2 1 + λ3 1 = 0 1 0 1 0 endast för λ1 = λ2 = λ3 = 0, så är mängden {u, v, w} linjärt oberoende och ligger därmed inte i samma plan. b) Vi undersöker linjärt beroende och får att 1 1 3 0 λ1 u + λ2 v + λ3 w = 0 ⇔ λ1 0 + λ2 1 + λ3 −4 = 0 1 0 1 0 har lösningen λ1 = −2, λ3 = 4, λ1 = 1. Detta betyder att mängden {u, v, w} är linjärt beroende och ligger därmed i samma plan. Figur 2.50. a) w b) v w v u u 30 2 2.6. VEKTORGEOMETRI Bas Definition 2.51. Mängden {e1 , e2 } är en bas för vektorerna i planet om den är linjärt oberoende. Om u = xe1 + ye2 , säger vi att u har koordinaterna (x, y) i basen {e1 , e2 }. 1 0 Exempel 2.52. Vi har tidigare definierat vektorerna , som en standardbas 0 1 x för planet. Detta eftersom varje vektor i planet är en linjärkombination av dessa: y x y =x 1 0 +y 0 1 . Vi gör en motsvarande definition i rummet. Definition 2.53. Mängden {e1 , e2 , e3 } är en bas för vektorerna i rummet om den är linjärt oberoende. Om u = xe1 + ye2 + ze3 , säger vi att u har koordinaterna (x, y, z) i basen {e1 , e2 , e3 }. 1 0 0 Exempel 2.54. Vi säger att vektorerna 0 , 1 och 0 är en standardbas 0 0 1 x för rummet, ty varje godtycklig vektor y i rummet är en linjärkobination av dessa: z x 1 0 0 y = x 0 + y 1 + z 0 . z 0 0 1 2.6 Bas 31 1 1 Exempel 2.55. Enligt Exempel 2.46, så är vektorerna v 1 = 0 , v 2 = 1 , och 1 0 0 v 3 = 1 linjärt oberoende. Därmed är de bas för rummet. Låt oss bestmma koordina1 2 terna för vektorn u = 2 i basen {v 1 , v 2 , v 3 }. Vi behöver alltså bestämma talen x, y 2 och z så att 1 1 0 2 u = xe1 + ye2 + ze3 ⇔ x 0 + y 1 + z 1 = 2 . 1 0 1 2 2 Löser vi ekvationssytemet får vi x = y = z = 1. Vektorn u = 2 har alltså koordina2 1 terna 1 i basen {v 1 , v 2 , v 3 }. 1 Figur 2.56. u = v1+v2+v3 v3 v3 v2 v2 v1 32 2 VEKTORGEOMETRI −2 Exempel 2.57. Visa att vektorn w = −1 ligger i samma plan som spänns upp av 2 1 1 u = 1 och v = 2 . Ange också koordinaterna för w i basen {u, v}. 5 1 Lösning: 2.6 Bas Exempel 2.58. Låt {e1 , e2 } vara en bas. Visa att f1 = e 1 + e2 f 2 = −e1 + e2 också är en bas och bestäm koordinaterna för u = e1 + 3e2 i denna bas. Lösning: Figur 2.59. 33 (2.4)