Projekt bågbro
Inledande ingenjörskurs
Högskoleingenjörsprogrammet i byggteknik
Projekt bågbro
Sid 2 (8)
1. Kedjebåge
En kedja eller lina är ett strukturelement som endast kan ta dragkrafter. Vid belastning formar
sig linan på ett sådant sätt att endast dragkraft finns i linan. Vid belastning med jämnt utbredd
last (till exempel egentyngd) får kedjan en form enligt den matematiska funktionen cosinus
hyperbolicus, även kallad kedjekurva eller catenaria (av latin: catena, "kedja").
En kedjekurva är den form en böjlig kedja eller kabel får av tyngdkraften då den hänger fritt
mellan två infästningar. Vid infästningen uppbär kedjan den största tyngden och lutar där
kraftigast. Mot kedjans mitt avtar lutningen eftersom kedjan bär mindre och mindre av sin
egen vikt, se Figur 1.
Figur 1: Jämnt utbredd last på en kedja eller lina ger formen enligt cosinus hyperbolicus,
även kallad kedjekurvan
Kedjekurvans ekvation
De bärande dragkrafterna i en kedjekurva belastad med egentyngd visas i Figur 2a. Kurvan är
symmetrisk i x-led. Ekvationen för kedjekurvan är en differential ekvation:
(1)
där s är kurvans längd och c är en koefficient som bestämmer hur mycket kedjekurvan vidgas,
se Figur 2b. Ju större värden på c desto större blir avståndet mellan kurvans ändar. Parametern
c kan skrivas som:
(2)
där H är den horisontella dragkraften och w är kedjans vikt per längdenhet.
Projekt bågbro
Sid 3 (8)
a
b
Figur 2: a. Kedjekurva med bärande krafter. b. Inverkan av parametern c på kedjekurvans form
Integrering av ekvation (1) ger följande uttryck:
( )
(3)
( )
(4)
Ekvation (1) beskriver lutningen och därmed vinkeln, . Det medför att:
⇒
där
()
( )
(5)
( ) ibland betecknas ”arctan”.
2. Omvänd kedjebåge
En hängande lina kan endast uppta dragkrafter. Vänder man på kedjekurvan och lasten så får
man en båge med endast tryckkrafter, se figur 3. Detta är den optimala formen på en bärande
båge om materialet i bågen bara tål tryckkrafter.
Figur3. Upplagen till en båge måste kunna ta horisontalkraft
Projekt bågbro
Sid 4 (8)
Kedjekurvan är alltså den ideala formen för en båge som bara ska bära sin egen vikt. Om en
sådan båge byggs upp av konstruktionselement vars snittytor är bildar rät vinkel med
centrumlinjen för bågen överförs tyngden genom enbart tryck mellan snittytorna. Tyngden
fortplantar sig då ned i marken längs kedjekurvans förlängning. Sådana konstruktioner var vanliga
i byggnader innan armerad betong började användas som konstruktionsmaterial.
Ekvationer för omvänd kedjebåge
De ekvationer som beskriver kedjekurvan kan användas för att beskriva den omvända kedjebågen,
dock måste man då ta hänsyn kurvans nya utformning med i y-led. Utgår man från ekvation (3) så
kan man skriva följande generella uttryck för en omvänd kedjebåge:
( )
(6)
där K är en konstant. Lutningen (på centrumlinjen för ett element i kedjebågen) beräknas, liksom
förut, genom att derivera ekvation (6):
( )
(7)
Och vinkeln på elementet kan beräknas ut ekvation (5).
Ekvation (6) visar att kurvans utseende bestäms av c och K. Om man väljer c = −200 mm och K
så att y = 0 då x = 500 mm (basens längd =1.0 m), blir K = 1226 mm. Tips: cosh(−2) = cosh(2),
dvs. kurvan är symmetrisk på båda sidorna i x-led.
3. Uppgift
Varje grupp ska beräkna och tillverka en omvänd kedjebåge av träklossar (se exemplet i Figur 3).
Klossarna sågas ur en bräda med tvärsnitt 34x70 mm. Grupperna får fritt välja konstanten c i
kedjekurvans ekvation. Bågen ska dock inte bli större än att den ryms på ett bord. Lämplig bredd
mellan stöden kan variera mellan 80 cm och 40 cm.
Förslag på arbetsgång
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Bestäm kurvans utseende genom att välja lämplig konstant c.
Dela in kurvan i ett antal dellängder i x-led.
Tips: välj en lämplig bas längd och beräkna då kurvans höjd eller vice versa!
Beräkna y i vid skärningarna i x-led.
Beräkna längd och lutning på klossens centrumlinje.
Derivera kurvan i skärningspunkterna för att få fram lutningen i skärningspunkterna.
Bestäm vinkeln på kapsnittet på träklossen vinkelrätt mot kurvans lutning.
Rita ut kapsnitt på träklossarna, se ex i Fiigur 4 nedan.
Kapa till klossarna med hjälp av en geringssåg.
Stödklossarnas vinklar mot underlaget tas lättast fram genom att lägga ut bågen på ett jämnt
underlag och med hjälp av en rak list eller liknande markera dessa.
Om bågen görs så låg att horisontella stödkrafter behövs för att inte stöden ska glida mot
underlaget kan stödklossarna fästas i underlaget med hjälp av dubbelhäftande tejp.
Projekt bågbro
Figur 3: Ett exempel på hur en båge kan konstrueras.
Figur 4: Exempel på en kloss med olika vinkel i ändarna. OBS! glöm inte att mäta klossens
totala bredd!
4. Redovisning
Redovisningen sker genom att varje grupp visar upp sin bågbro för projekthandledaren vid en
given tidpunkt. Förutom att bågbron ska kunna stå för sig själv ska gruppen även redovisa
arbetsgång vid tillverkning av bron med utgångspunkt från en tabell som visar hur längder och
vinklar för varje träbit har räknats fram. Exempel på en sådan tabell ses på nästa sida.
Sid 5 (8)
Projekt bågbro
Sid 6 (8)
Exempel på tabell för tillverkning av klossar till en bågbro
Kloss nr
Skarv
X
Skarv
Y
0,14
0,36
Längd
Lutning Vinkel
dy/dx
Diff
Vä
Diff
Hö
Diff
Vä
(mm)
Diff
Hö
(mm)
2,94
3,57
V
1
2
3
0,12
0,22
4
5
6
7
8
9
10
11
H
0,46
1,66
1,34
1,06
58,92
53,33
46,54
5,60
6,78
Projekt bågbro
5. Verktyg, Hjälpmedel och Material
För att tillverka klossarna till bågbron behövs följande hjälpmedel:
Bräda i trä (finns i maskinhallen)
Penna
Linjal
Gradskiva
Miniräknare
Vinkelhake
Geringssåg för att kapa brädan finns att låna i byggtekniks laborationssal A210.
6. Betyg och bedömning
Projektet syftar till att studenterna i grupp ska genomföra uppgiften att utifrån ett matematiskt
samband ta fram en ritning och tillverka en bågbro av trä. Utvärderingen syftar till att få studenter
att analysera och reflektera över för och nackdelar med konstruktionen.
Arbeten bedöms enligt kriterier nedan som antingen ”Godkänd” eller ”Icke-Godkänd. Vid
bedömning tas hänsyn till konstruktionsarbete, redovisning och utvärdering.
För betyget Godkänd skall gruppen vid redovisningstillfället:
1.
2.
3.
4.
Bygga upp den bågbro av trä som gruppen tillverkat.
Redovisa de beräkningar och ritningar som varit underlag för tillverkning av bågbron.
Reflektera över arbetssätt vid beräkning och tillverkning.
Reflektera över för- och nackdelar med konstruktionen.
Sid 7 (8)
Projekt bågbro
Sid 8 (8)
Bilaga: Formelsamling
Omvända kedjebågens ekvation:
( )
Där c och K är parametrar som bestämmer bågens form.
Ekvationen kan också skrivas i en enkel form som:
(
( ⁄ )
(
⁄ )
)
Lutningen på centrumlinjen för varje kloss:
( )
Alternativt skrivs ekvationen som:
(
( ⁄ )
(
⁄ )
)
Vinkeln för varje punkt fås som:
(
)
Längden för varje kloss fås genom Pythagoras sats:
√(
)
(
)
