Lösningsförslag till tentamen TEN1, 27 sep 04, Word-fil

TENTAMEN
Datum: 27 sep 04
Kurs: MATEMATIK OCH MAT. STATISTIK 6H3000 ,
TEN 1 (Matematik)
Skrivtid: 13:15-17:15
Kurskod 6H3000
Hjälpmedel: Bifogat formelblad och miniräknare av vilken typ som helst.
Poängfördelning och betygsgränser:
För betyg 3, 4, 5 krävs 9, 13 respektive 16 poäng.
Lärare: Niclas Hjälm och Armin Halilovic
Examinator: Armin Halilovic
Denna tentamenlapp får ej behållas.
Uppgift 1) ( 3 poäng)
a) Bestäm imaginärdelen av z 
1 i
 4i 89 .
2
(1  i )

i
(e 4 ) 8 (2  2i) 2
b) Bestäm absolutbeloppet av w då w 
i10
c) Rita i det komplexa tal planet de punkter z som satisfierar:
3
 arg( z )  
1  | z |  4 och
4
Uppgift 2) ( 3 poäng)
Bestäm alla (fyra) lösningar till ekvationen
z 4  16  0
Svara på formen a  bi
Uppgift 3) ( 3 poäng)
a) Bestäm Taylorpolynomet kring x0  0 (=Maclaurinpolynomet) av grad 2 för
funktionen y  x  1
b) Beräkna approximativt 1.2 med hjälp av Taylorpolynomet
f (c) ( n1)
c) uppskatta felet med hjälp av formeln för restterm: R=
( x  x0 ) n1 , där c
(n  1)!
är ett tal mellan x 0 och x
Uppgift 4) ( 3 poäng)
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen
y (t )  y (t )  y (t )  6e t
Uppgift 5) ( 3 poäng)
Bestäm strömmen i(t) i nedanstående LRC krets om
t
1
L=1 H , R1= 3  , R2= 5  , C=
F och u (t )  e V då
12
i(0)=(0) A och i (0)  2
Uppgift 6 ( 3 poäng)
Det har regnat under en längre tid. Vatten har helt fyllt ett 100 m långt och 2 m brett dike.
Dikets vertikala genomskärningsprofil har V-form, i form av en halv kvadrat, delad längs en
horisontell diagonal, 2 m lång. Regnet har upphört vid tidpunkten t = 0.
a) Antag att diket nedtill är helt tät så att vattnet endast kan försvinna genom avdunstning
uppåt. Låt V(t) vara vattenvolymen vid tiden t > 0, med t mätt i dagar.
Visa att V(t) uppfyller en differentialekvation på formen
dV
 k V
dt
, k =positiv konstant, om avdunstningshastigheten(i m3/dag) är proportionell mot
den fria vattenytans area.
b) Bestäm V(t) om V(0) =100m3 (=helt fyllt dike) och V(1)=99m3.
c) När är diket torrlagt?
Lycka till!
TENTAMEN 27 sep 04
Lösningar:
Uppgift 1) ( 3 poäng)
1 i
 4i 89 .
(1  i ) 2
a) Bestäm imaginärdelen av z 

i
(e 4 ) 8 (2  2i) 2
b) Bestäm absolutbeloppet av w då w 
i10
c) Rita i det komplexa tal planet de punkter z som satisfierar:
3
1  | z |  4 och
 arg( z )  
4
1 i
1 i
(1  i )i
i 1
1 7
 4i 
 4i 
 4i 
 i
 4i 89 
2
1  2i  1
2i  i
2
2 2
(1  i)
7
svar a) Im(z)=
2
Lösning: a) z 

i

i
| e 4 |8 | 2  2i | 2 18  ( 8 ) 2
(e 4 ) 8 (2  2i) 2
8
b) | w ||
=
=
|
| 1 |10
| i |10
i 10
svar b) | w | 8
c) svar:
Uppgift 2) ( 3 poäng)
Bestäm alla (fyra) lösningar till ekvationen
z 4  16  0
Svara på formen a  bi
Lösning:
z 4  16  0  z 4  16
z 4  16e i
1
4
z  16 e
(   2 k ) i
4
i
4
z0  2e  2(cos
z1  2e
3 i
4
z 2  2e
z3  2e
5 i
4
7 i
4
,
k  0,1,2,3


2
2
 i sin )  2(
i
)  2 i 2
4
4
2
2
 2(cos
3
3
 2
2
 i sin )  2(
i
)   2 i 2
4
4
2
2
5
 i sin
4
7
 2(cos
 i sin
4
 2(cos
5
 2
2
)  2(
i
)   2 i 2
4
2
2
7
2
2
)  2(
i
)  2 i 2
4
2
2
Uppgift 3) ( 3 poäng)
a) Bestäm Taylorpolynomet kring x0  0 (=Maclaurinpolynomet) av grad 2 för
funktionen y  x  1
b) Beräkna approximativt 1.2 med hjälp av Taylorpolynomet
f (c) ( n1)
c) uppskatta felet med hjälp av formeln för restterm: R=
( x  x0 ) n1 , där c
(n  1)!
är ett tal mellan x 0 och x
Lösning: a)
1
1
3
( x  1) 1 / 2 , f ( x)   ( x  1) 3 / 2 , f ( x)  ( x  1) 5 / 2
2
4
8
1
1
3
f (0)  1 , f (0)  , f (0)   , f (c)  (c  1) 5 / 2
2
4
8
Enligt Taylors formel kring x0  0 gäller
f (0)
f (0) 2
f ( x)  f (0) 
x
x R
1!
2!
f ( x)  x  1 ,
f ( x) 
f (c) 3
x , c är ett tal mellan 0 och x
3!
f (0)
f (0) 2
1
1 2
P2 ( x)  f (0) 
x
x = 1
x
x
1!
2!
2
8
1
1
Svar a) P2 ( x)  1  x  x 2
2
8
b) För att beräkna 1.2 substituerar vi x =0.2 i funktionen y  x  1 ,
som vi
1
1
approximerar med polynomet P2 ( x)  1  x  x 2 :
2
8
1
1
1.2  0.2  1  P2 (0.2)  1   0.2   0.2 2  1.095
2
8
Svar c) 1.2  1.095
c) För felet gäller
där R 
3
(c  1) 5 / 2
1
1
f (c )  3 8
1
x |=
0.2 3  0.0005
0.2 3 
|R|= |
0.2 3 =
5/ 2
3!
16
16 (c  1)
(3)!
Uppgift 4) ( 3 poäng)
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen
(*)
y (t )  y (t )  y (t )  6e t
Lösning:
Först löser vi den homogena ekvationen y (t )  y (t )  y (t )  0 som har konstanta
koefficienter.
Den karakteristiska ekvationen
r 3  r 2  r  0  r (r 2  r  1)  0
1 i 3

.
2
2
Lösningen tillhomogena ekvationen är
har lösningar r1  0 , r2,3 
1
 t
2
1
 t
t 3
t 3
y H (t )  C1  C 2 e cos(
)  C3 e 2 sin(
)
2
2
Vi ansätter y p (t )  Ae t
Efter substitution i ekv (*) for vi A=2 och därför
y p (t )  2e t
Svar: y (t )  y H (t )  C1  C 2 e
1
 t
2
1
cos(
 t
t 3
t 3
)  C3 e 2 sin(
)  2e t
2
2
Uppgift 5) ( 3 poäng)
Bestäm strömmen i(t) i nedanstående LRC krets om
t
1
L=1 H , R1= 3  , R2= 5  , C=
F och u (t )  e V då
12

i(0)=(0) A och i (0)  2
Lösning: Motsvarande ekvationen är
R1i (t )  Li (t )  R 2i(t ) 
q (t )
 e t dvs
C
i (t )  8i(t )  12q(t )  e t
Vi deriverar ekvationen , ersätter q (t ) med i (t ) och får
i (t )  8i (t )  12i(t )  e t
Härav
1
i H (t )  C1e 2t  C 2 e 6t och i p (t )   e t
5
Den allmänna lösningen är
1
i (t )  C1e  2t  C 2 e 6t  e t
5
Vi använder villkorna i(0)=(0) och i (0)  2 för att bestämma C1 och C2
1
Från i (t )  C1e  2t  C 2 e 6t  e t får vi
5
1
i (t )  2C1e  2t  6C 2 e 6t  e t ,
5
Härav :
1
i(0)=(0)  C1  C 2   0
(ekv1)
5
1
i (0)  2   2C1  6C 2   2 (ekv 2)
5
1
11
2*(ekv1)+(ekv2)   4C 2   2  C 2  
5
20
15 3

Substitutionen i ekv1 ger C1 
20 4
3
11
1
Svar: i (t )  e  2t  e 6t  e t
4
20
5
Uppgift 6 ( 3 poäng)
Det har regnat under en längre tid. Vatten har helt fyllt ett 100 m långt och 2 m brett dike.
Dikets vertikala genomskärningsprofil har V-form, i form av en halv kvadrat, delad längs en
horisontell diagonal, 2 m lång. Regnet har upphört vid tidpunkten t = 0.
a) Antag att diket nedtill är helt tät så att vattnet endast kan försvinna genom avdunstning
uppåt. Låt V(t) vara vattenvolymen vid tiden t > 0, med t mätt i dagar.
Visa att V(t) uppfyller en differentialekvation på formen
dV
 k V
dt
, k =positiv konstant, om avdunstningshastigheten(i m3/dag) är proportionell mot
den fria vattenytans area.
b) Bestäm V(t) om V(0) =100m3 (=helt fyllt dike) och V(1)=99m3.
c) När är diket torrlagt?
a) Låt A(t) = den fria vattenytans area.
Enligt förutsätningarna gäller
dV
 k1 A (*)
dt
Om h betecknar vattnets höjd då gäller
V
2h  h
V (t ) 
 100  100h 2  h 
2
10
och
V
= 20 V
A  2h 100  200h = 200 
10
Detta substituerar vi i ekvationen(*) och får
dV
 20k1 V Vi kan byta 20k1 med en ny koefficient k. Då kan vi skriva ekvationen på
dt
formen
dV
 k V . VS V
dt
b) Vi separerar variabler.
(Den triviala lösningen V  0 satisfierar inte andra begynnelse villkoret )
dV

1
2
 kdt   V dV    kdt 
V
2 V  kt  C
V(0)=0  C  20
V(1)=99  2 99  k  20  k  20  2 99  0.10025126
2 V  kt  C  2 V  (20  2 99 )t  20 
V  [(10  99 )t  10] 2
Svar b) V (t )  [(10  99 )t  10] 2
c) V (t )  0  [(10  99 )t  10] 2  0   (10  99 )t  10  0
10
 t
 199.5 dagar
(10  99 )