2146 a
c
v = 38°
v = 38° ⋅ omvandlingsfaktor rad
𝜋
v = 38° ⋅
rad
180°
v = 0.6632 … rad
v ≈ 0.7 rad
v = 290°
v = 290° ⋅ omvandlingsfaktor rad
𝜋
v = 290° ⋅
rad
180°
v = 5.061 … rad
v ≈ 5.1 rad
b
v = 196°
v = 196° ⋅ omvandlingsfaktor rad
𝜋
v = 196° ⋅
rad
180°
v = 3.4208 … rad
v ≈ 3.4 rad
2147
2148 a
Vinkel i grader
v = 0°
v = 30°
v = 45°
v = 60°
v = 90°
v = 120°
Vinkel i radianer
π
rad = 0 rad
180°
π
𝜋
v = 30° ⋅
rad = rad
180°
6
π
𝜋
v = 45° ⋅
rad = rad
180°
4
π
𝜋
v = 60° ⋅
rad = rad
180°
3
π
𝜋
v = 90° ⋅
rad = rad
180°
2
v = 0° ⋅
v = 120° ⋅
π
2𝜋
rad =
rad
180°
3
𝜋
2𝜋
v = 120° = 2 ⋅ 60° = (2 ⋅ ) rad =
rad
3
3
v = 135°
v = 135° ⋅
π
3𝜋
rad =
rad
180°
4
𝜋
3𝜋
v = 135° = 3 ⋅ 45° = (3 ⋅ ) rad =
rad
4
4
v = 150°
v = 150° ⋅
π
5𝜋
rad =
rad
180°
6
𝜋
5𝜋
v = 150° = 5 ⋅ 30° = (5 ⋅ ) rad =
rad
6
6
π
v = 180° ⋅
rad = 𝜋 rad
v = 180°
180°
π
7𝜋
v = 210°
v = 210° ⋅
rad =
rad
180°
6
𝜋
7𝜋
v = 210° = 7 ⋅ 30° = (7 ⋅ ) rad =
rad
6
6
v = 270°
v = 270° ⋅
v = 1.5 rad
v = (1.5 ⋅ omvandlingsfaktor )°
180°
v = (1.5 ⋅
)°
𝜋
v ≈ 86°
π
3𝜋
rad =
rad
180°
2
𝜋
3𝜋
v = 270° = 3 ⋅ 90° = (3 ⋅ ) rad =
rad
2
2
π
v = 360° ⋅
rad = 2𝜋 rad
v = 360°
180°
b
v = 0.8 rad
v = (0.8 ⋅ omvandlingsfaktor )°
180°
v = (0.8 ⋅
)°
𝜋
v ≈ 46°
c
2149 a
v = 6.3 rad
v = (6.3 ⋅ omvandlingsfaktor )°
180°
v = (6.3 ⋅
)°
𝜋
v ≈ 361°
Areacirkelsektor = andel ⋅ hela cirklens area
v
A=
⋅ πr 2
360°
Då 360° = 2π rad fås
v
A=
⋅ πr 2
2π
A=
v ⋅ r2
2
sätt in värden på v och r
A=
1.7 ⋅ 42
2
A = 1.7 ⋅ 8
A ≈ 14 cm2
d
v = 4.1 rad
v = (4.1 ⋅ omvandlingsfaktor )°
180°
v = (4.1 ⋅
)°
𝜋
v ≈ 235°
b
2150 a
Areacirkelsektor = andel ⋅ hela cirklens area
v
A=
⋅ πr 2
360°
Då 360° = 2π rad fås
v
A=
⋅ πr 2
2π
A=
vr 2
2
sätt in värden på v och r
5𝜋 2
⋅2
A= 6
2
5π
A=
⋅4
12
5π
A=
3
A ≈ 5.2 dm2
Cirkelbåge = andel ⋅ omkrets
v
b=
⋅ 2πr
360°
Då 360° = 2π rad fås
v
b=
⋅ 2πr
2𝜋
b =v⋅r
Lös ut v
v=
b
r
Kommentar: Hur många radier lång är cirkelbågen,
svarar på frågan hur stor vinkeln är i radianer.
Sätt in värden på b och r
v=
8.7
3.8
v ≈ 2.3 rad
b
2151 a
Cirkelbåge = andel ⋅ omkrets
u
b=
⋅ 2πr
360°
Lösningsförslag 1
Då 360° = 2π rad fås
u
b=
⋅ 2πr
2𝜋
sin
𝜋 √3
=
kan fås ur kursens formelblad
3
2
Utdrag ur kursens formelblad
b=u⋅r
Lös ut v
u=
b
r
Kommentar: Hur många radier lång är cirkelbågen,
svarar på frågan hur stor vinkeln är i radianer.
Lösningsförslag 2
Sätt in värden på b och r
2𝜋 rad = 360° ⇔ 𝜋 rad = 180°
74
u=
13
sin
v = 2𝜋 −
74
13
v ≈ 0.6 rad
Omvandla till grader
𝜋
180°
= sin
= sin 60°
3
3
sin 60° har ett exakt värde, som finns i kursens
formelblad, se bild ovan
√3
sin 60° =
2
b
c
Lösningsförslag 1
sin 3 rad har inget exakt värde, så beräkningen
utförs lämpligen med en räknare, som är inställd
på radianer.
sin 3 ≈ 0.14
𝜋
= 0 om detta inte direkt inses så kan
2
det fås ur kursens formelblad
cos
Utdrag ur kursens formelblad
Lösningsförslag 2
Omvandla till grader
2𝜋 rad = 360° ⇔ 𝜋 rad = 180°
cos
𝜋
180°
= cos
= cos 90° = 0
2
2
d
cos 4.5 rad har inget exakt värde, så beräkningen
utförs lämpligen med en räknare, som är inställd
på radianer.
cos 4.5 ≈ −0.21
2152 a
b
sin x = 0.5
cos x + 0.5 = 0
cos x = −0.5
𝑥 = ±cos−1 (−0.5) + n ⋅ 2π
Fall 1
x = sin−1 (0.5) + n ⋅ 2π
1
π
sin−1(0.5) = sin−1 ( ) = rad
2
6
Utdrag ur kursens formelblad
Fall 1
x = cos−1(−0.5) + n ⋅ 2π
1
2π
cos−1(−0.5) = cos −1 (− ) =
rad
2
3
Utdrag ur kursens formelblad
x=
𝜋
+ n ⋅ 2π
6
Fall 2
x = π − sin−1(0.5) + n ⋅ 2π
𝜋
x = π − + n ⋅ 2π
6
5π
x=
+ n ⋅ 2π
6
Svar:
𝜋
x = + n ⋅ 2π
6
5π
x=
+ n ⋅ 2π
6
x=
2π
+ n ⋅ 2π
3
Fall 2
x = − cos −1 (−0.5) + n ⋅ 2π
2π
x=−
+ n ⋅ 2π
3
Svar:
2π
+ n ⋅ 2π
3
2π
4π
x=−
+ n ⋅ 2π =
+ n ⋅ 2π
3
3
x=
c
sin x = −1
x = sin−1 (−1) + n ⋅ 2π
Vi kan lösa denna uppgift genom att
betrakta enhetscirkeln
d
1
tan x =
√3
1
( ) + n ⋅ 180°
√3
−1
x = tan
Utdrag ur kursens formelblad
Det finns endast en vinkel per varv
som uppfyller ekvationen sin x = −1
och det är
3π
v = 270° =
2
3π
Svar: x =
+ n ⋅ 2π
2
𝜋
+ n ⋅ 180°
6
𝜋
Svar: x = + n ⋅ 180°
6
x=
Lösningsalternativ
tan x =
1
√3
Skriv om ekvationen
sin x
VL ∶ tan x =
cos x
HL ∶ dela både täljare och nämnare med 2
1
sin x
1
tan x =
= 2 =
cos x √3 √3
2
1
Den vinkel som har sinusvärdet och
2
π
√3
cosinusvärdet
är 30° =
2
6
π
π sin 6
tan =
=
6 cos π
6
Svar: x =
1
2 = 1
√3 √3
2
𝜋
+ n ⋅ 180°
6
2153 a
𝜋
2 cos (x − ) = √2
3
𝜋
√2
cos (x − ) =
3
2
𝜋
√2
x − = ± cos−1 ( ) + n ⋅ 2𝜋
3
2
𝜋
√2
x = ± cos −1 ( ) + n ⋅ 2𝜋
3
2
Fall 1
x=
b
sin 2x =
√3
2
Fall 1
2x = sin−1 (
√3
) + n ⋅ 2π
2
Utdrag ur kursens formelblad
𝜋
√2
+ cos −1 ( ) + n ⋅ 2𝜋
3
2
2
1
√2 √2 ⋅ √2
=
=
=
2
2 ⋅ √2
2 ⋅ √2 √2
Utdrag ur kursens formelblad
π
+ n ⋅ 2π
3
π
n ⋅ 2π
x= 3+
2
2
π
x= +n⋅π
6
Fall 2
2x =
2x = π − sin−1 (
𝜋 𝜋
+ +n⋅2
3 4
𝜋⋅4 𝜋⋅3
x=
+
+ n ⋅ 2𝜋
3⋅4 4⋅3
7𝜋
x=
+ +n ⋅ 2𝜋
12
x=
Fall 2
𝜋
√2
− cos −1 ( ) + n ⋅ 2𝜋
3
2
𝜋 𝜋
x = − +n⋅2
3 4
𝜋⋅4 𝜋⋅3
x=
−
+ n ⋅ 2𝜋
3⋅4 4⋅3
𝜋
x=
+ +n ⋅ 2𝜋
12
2x = π −
π
+ n ⋅ 2π
3
2π
+ n ⋅ 2π
3
2π
n ⋅ 2π
x= 3 +
2
2
π
x= +n⋅π
3
2x =
x=
Svar:
𝜋
x=
+ +n ⋅ 2𝜋
12
7𝜋
x=
+ +n ⋅ 2𝜋
12
√3
) + n ⋅ 2π
2
Svar:
π
x= +n⋅π
6
π
x= +n⋅π
3
d
c
tan (x +
x+
π
)=1
12
π
= tan−1 (1) + n ⋅ π
12
Utdrag ur kursens formelblad
π
𝜋
= +n⋅π
12 4
𝜋 π
x= −
+n⋅π
4 12
3⋅𝜋 π
x=
−
+n⋅π
3 ⋅ 4 12
3𝜋 π
x=
−
+n⋅π
12 12
2𝜋
x=
+n⋅π
12
𝜋
x= +n⋅π
6
x+
𝜋
Svar: x = + n ⋅ π
6
π
tan (2x − ) = √3
3
π
2x − = tan−1 (√3) + n ⋅ π
3
Utdrag ur kursens formelblad
π π
= +n⋅π
3 3
π π
2x = + + n ⋅ π
3 3
2π
2x =
+n⋅π
3
2π
n⋅π
x= 3 +
2
2
π
π
x= +n⋅
3
2
2x −
Svar: x =
π
π
+n⋅
3
2
2154 a
c
tan(2x − 0.2) = 3
x
1
cos ( − 0.2) =
2
3
Fall 1
x
1
− 0.2 = cos−1 ( ) + n ⋅ 2π
2
3
x
1
= 0.2 + cos−1 ( ) + n ⋅ 2π
2
3
1
x = 2 ⋅ 0.2 + 2 ⋅ cos −1 ( ) + 2 ⋅ n ⋅ 2π
3
1
x = 0.4 + 2 ⋅ cos−1 ( ) + n ⋅ 4π
3
1
cos−1 ( ) har inget exakt värde,
3
använd räknare
1
0.4 + 2 ⋅ cos−1 ( ) ≈ 2.86
3
x ≈ 2.86 + n ⋅ 4π
2x − 0.2 = tan−1 (3) + n ⋅ π
2x = tan−1 (3) + 0.2 + n ⋅ π
tan−1(3) 0.2 n ⋅ π
+
+
2
2
2
−1 (3)
tan
π
x=
+ 0.1 + n ⋅
2
2
tan−1 (3) har inget exakt värde,
x=
använd räknare
tan−1 (3)
+ 0.1 ≈ 0.72
2
π
x ≈ 0.72 + n ⋅
2
b
sin(2x − 0.2) = 3
Sinus för en vinkel lika med tre ? ? ?
Enhetscirkeln visar att
−1 ≤ y ≤ 1
då y = sin x fås
−1 ≤ sin x ≤ 1
vilket också kan uttryckas så att
värdemängden V för sin x är
V = {y ∈ ℝ ∶ −1 ≤ y ≤ 1 }
Fall 2
x
1
− 0.2 = − cos−1 ( ) + n ⋅ 2π
2
3
x
1
= 0.2 − cos−1 ( ) + n ⋅ 2π
2
3
1
x = 2 ⋅ 0.2 − 2 ⋅ cos −1 ( ) + 2 ⋅ n ⋅ 2π
3
1
x = 0.4 − 2 ⋅ cos−1 ( ) + n ⋅ 4π
3
1
cos−1 ( ) har inget exakt värde,
3
använd räknare
1
0.4 − 2 ⋅ cos−1 ( ) ≈ −2.06
3
x ≈ −2.06 + n ⋅ 4π
Svar:
x ≈ 2.86 + n ⋅ 4π
Svar: Ekvationen saknar lösning då
det inte finns några vinklar som gör att
VL blir 3
x ≈ −2.06 + n ⋅ 4π
2155
2156
Det mest kända vinkelmåttet är grader.
Ett annat vinkelmått är radianer.
I en rätvinklig triangel ges sambandet mellan
π
vinkeln och kateterna x och 8.1 av
5
π
x
tan =
5 8.1
π
x = 8.1 ⋅ tan
5
räknaren inställd på radianer ger korrekt
Radianer kan definieras som:
Den vinkel v en cirkelbåge av samma längd
som radien upptar, sedd från cirkelns
medelpunkt.
x ≈ 5.9 𝑙. 𝑒.
räknaren inställd på grader ger felaktigt
x ≈ 0.1 𝑙. 𝑒.
Kommentar:
π
≈ 0.63
5
0.63 g och 0.63 ton är förstås inte lika mycket,
På samma sätt är 0.63 grader inte lika mycket
För att gå ett varv i en enhetscirkel krävs drygt
6 radier eller exakt 2π radier, därför säger vi att
ett varv motsvaras av 2π radianer = 2π rad
Enhetsbeteckningen rad utelämnas ofta men det
görs inte med gradbeteckningen, så man kan se
till exempel 360° = 2π vilket ska tolkas som
”360 grader lika med 2π radianer”
som 0,63 radianer, så enheten har betydelse.
2157 a
b
Vinkeln ska omvandlas från radianer till grader.
Vi vet att vinkeln som motsvarar ett varv är
2π rad
arcsin(x) funktionerna i Geogebra för att
omvandla från grader till radianer
Beräkning
Vinkel i
Vinkel i
radianer
grader
2π
360
π
180
180
π
180
=1
180
π
=1
π
π
180
Nedan visas hur vi kan använda sin(x) och
180
grader
π
180
2 radianer motsvarar 2 ⋅
grader
π
180
x radianer motsvarar x ⋅
grader
π
Slutsats:
1 radian motsvarar
Multiplicera antalet radianer med
180
omvandlingsfaktorn
π
Om vi istället vill omvandla
från grader till radianer
Multiplicera antalet grader med
π
omvandlingsfaktorn
180
Kommentar
För att vinkeln ska beräknas
i grader måste vi skriva in
gradtecknet ° annars sker
beräkningen i radianer
arcsinus för sträckan
1
2
π
rad
6
Vi har sålunda omvandlat
π
30° till rad
6
ger vinkeln
Vi gör en ny beräkning
för 150° och får samma
resultat som för 30°
vilket är korrekt, då dessa
vinklar är spegelvinklar
för sinus
arcsinus för sträckan
1
2
π
rad vilket
6
𝑖𝑛𝑡𝑒 är korrekt
ger vinkeln
För att få rätt vinkel,
den speglade, tag
π − resultat ovan
2158 a
Areacirkelsektor = andel ⋅ hela cirkelns area
v
A=
⋅ πr 2
360°
b
då 360° = 2π rad fås
v
A=
⋅ πr 2
2π
v
A = ⋅ r2
2
vr 2
A=
2
c
vr 2
A=
2
Lös ut v
2A
v= 2
r
sätt in värden på A och r
2 ⋅ 84
v=
6.22
v ≈ 4.4 rad
