76
7.
7
LINJÄRA RUM
Linjära rum
Definition 7.1. Vi säger att en mängd V är ett linjärt rum om V har följande
egenskaper:
1. För varje u ∈ V och v ∈ V finns ett element u + v ∈ V som kallas summan av
u och v.
2. För varje λ ∈ R och u ∈ V finns ett element λu ∈ V som kallas produkten av
λ och u.
3. Följande räknelagar skall gälla i V :
(a) Kommutativa lagen
u+v =v+u
(b) Associativa lagen
u + (v + w) = (u + v) + w
(c) Distributiva lagarna
(λ + µ)u = λu + µu,
λ, µ ∈ R
λ(u + v) = λu + λv
Anmärkning 7.2. Elementen i ett linjärt rum kan t.ex. vara funktioner; ändå brukar dessa
kallas vektorer och ofta kallas linjära rum för vektorrum.
Exempel 7.3. Det viktigaste exemplet på linjära rum i den här kursen är Rn som är
mängden av alla reella tal n-tipler (n × 1-matriser)
x1
x2
·
x=
·
xn
med komponentvis addition
x+y =
x1
x2
·
·
xn
+
y1
y2
·
·
yn
λx1
λx2
·
·
λxn
=
x1 + y1
x2 + y2
·
·
xn + yn
och multiplikatipon med tal
λx = λ
x1
x2
·
·
xn
=
.
77
Med nollelementet i R menar vi 0 =
n
uppfyllda och Rn är ett linjärt rum.
0
0
·
·
0
. Räknelagarna i Definition 7.1 är därmed
Exempel 7.4. Låt Mmn vara mängden av alla m × n matriser. Med matrisen 0 menar vi
den matris av typ m × n som har elemnet 0. På det sätt vi tidigare har definierat addition
och multiplikation med tal på följer att räknelagarna i Definition 7.1 är uppfyllda och Mmn
är alltså ett linjärt rum.
Exempel 7.5. Betrakta den linjära homogena differentialekvationen y 00 +ay 0 +by = 0. Från
analyskursen vet vi att om y1 och y2 är lösningar, så är även y = Ay1 + By2 en lösning, dvs
y1 +y2 och λy1 är också lösningar. Alltså om L är mängden av lösningar till y 00 +ay 0 +by = 0,
så är L ett linjärt rum, ty även y ≡ 0 tillhör L.
Exempel 7.6. Låt Pn vara mängden av alla polynom av grad ≤ n,
a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn .
Om p, q ∈ Pn , så är även p + q ∈ Pn och λp ∈ Pn . Pn är ett vektorrum.
Exempel 7.7. Låt C[a, b] beteckna mängden av alla reellvärda kontinuerliga funktioner på
intervallet a ≤ t ≤ b. Låt också 0 beteckna den funktion som är identiskt lika med noll.
Antag att f, g ∈ C[a, b] och λ ∈ R. Definierar vi addition på C[a, b] och multiplikation med
tal via
(f + g)(t) = f (t) + g(t),
(λf )(t) = λf (t),
så är räknelagarna i Definition 7.1 uppfyllda och C[a, b] blir ett linjärt rum.
Exempel 7.8. Låt M vara mängden av alla reellvärda kontinuerliga funktioner på intervallet [a, b], sådana att f (a) = f (b) = 1. Är M ett vektorrum?
Lösning:
78
7
7.1.
LINJÄRA RUM
Underrum
Definition 7.9. En icke-tom delmängd U i ett linjärt rum V kallas ett underrum i
V om för varje u, v ∈ U och varje reellt tal λ gäller att
1. u + v ∈ U .
2. λu ∈ U .
Anmärkning 7.10. Vi kan tydligen på ett ganska enkelt sätt avgöra vilka mängder som
inte är underrum i ett linjärt rum. Eftersom vi kan välja λ = 0 så att λu = 0 i satsen ovan,
så måste nollelementet ligga i U annars är det inget linjärt rum.
Exempel 7.11. I R3 är följande mängder underrum:
1. Origo, dvs, den mängd som består av elementet 0.
2. Räta linjer genom origo.
3. Plan genom origo.
Lösning: 1. Trivialt.
2. Antag att L är en linje som går igenom origo och har riktningsvektorn v. Låt x och y
vara ortsvektorer för två godtyckliga punkter på L. Då är summan en ortsvektor för en
punkt på L, ty
x + y = t1 v + t2 v = (t1 + t2 )v = tv,
och
λx = λt1 v = tv.
Om L inte går igenom origo utan igenom punkten P istället, så gäller att
−→
−→
−→
x + y =OP +t1 v+ OP +t2 v = 2 OP +tv,
som inte är en ortsvektor för en punkt på L.
3. Antag att ett plan går igenom origo och har riktningsvektorerna v 1 och v 2 . Om u och v
är två vektorer i detta plan, så gäller att
u + v = s1 v 1 + t1 v 2 + (s2 v 1 + t2 v 2 ) = (s1 + s2 )v 1 + (t1 + t2 )v 2 = sv 1 + tv 2 ,
och
λu = λ(s1 v 1 + t1 v2 ) = λs1 v1 + λt1 v 2 = sv1 + tv 2 .
Detta visar påståendet. På samma sätt som ovan kan man visa att ett plan som inte går
igenom origo inte kan vara ett underrum i rummet.
7.1
Underrum
79
Exempel 7.12. Låt M1 vara mängden av vektorer i rummet på planet x1 + x2 + x3 = 0,
dvs M1 = {x ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0}. Låt också M2 = {x ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 1}.
Är M1 och M2 underrum i R3 ?
Lösning:
Exempel 7.13. Mängden av reella tal R är ett ett underrum i vektorrummet C; mängden
av komplexa tal. Mängden av rationella tal Q är dock ej ett underrum till R.
Exempel 7.14. Mängden av n × n symmetriska matriser är ett underum i Mnn .
Exempel 7.15. C n [a, b] = mängden av alla n gånger kontinuerligt deriverbara funktioner
på intervallet [a, b] och Pn är båda underrum till C[a, b].
Exempel 7.16. Låt L(y) = y 00 + ay 0 + by för y ∈ C 2 (R) och låt Lp vara lösningsrummet
till differentialekvationen L(y) = f (x). Om yp ∈ Lp , så gäller att
L(λyp ) = (λyp )00 + a(λyp )0 + b(λyp ) = λ(yp00 + ayp0 + byp ) = λf (x).
Alltså är Lp inte ett underrum i C 2 (R).
Exempel 7.17. Låt LH vara mängden av lösningsvektorer i Rn till det linjära ekvationssystemet Ax = 0, dvs LH = {x ∈ Rn ; Ax = 0} och låt Lp vara lösningsrummet till det
inhomogena, dvs LP = {x ∈ Rn ; Ax = b}. Är LH respektive LP underrum i Rn ?
80
7.2.
7
LINJÄRA RUM
Linjärkombination
Definition 7.18. Låt M = {v 1 , v 2 , . . . , v n } i ett linjärt rum V . En vektor u av formen
u = λ1 v 1 + λ2 v2 · · · + λn v n ,
kallas en linjärkombination av M .
Exempel 7.19. Varje vektor x = (x1 , x2 , . . . , xn )t i Rn är en linjärkombination av vektorerna e1 = (1, 0, . . . , 0)t , e2 = (0, 1, 0, . . . , 0)t , . . . , en = (0, 0, . . . , 1)t , ty
x = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en .
Exempel 7.20. Varje andrgradspolynom p(x) = ax2 + bx + c ∈ P2 är en linjärkombination
av polymonen p0 (x) = 1, p1 (x) = x, och p2 (x) = x2 , ty
p(x) = ap2 (x) + bp1 (x) + cp0 (x).
a b
b c
Exempel 7.21. Varje symmetrisk matris
i M22 är en linärkombination av mängden
1 0
0 1
0 0
,
,
, ty
0 0
1 0
0 1
a b
1 0
0 1
0 0
=a
+b
+c
.
b c
0 0
1 0
0 1
Exempel 7.22. Undersök om vektorn u = (3, 4, 5)t är en linjärkombination av
M = {v 1 , v 2 , v 3 }, där v 1 = (1, 1, 0)t , v 2 = (1, 0, 1)t , v 3 = (0, 1, 1)t .
Lösning:
Exempel 7.23. Visa att i P1 är polynomet x en linjärkombination av M = {1 + x, 1 − x}.
Lösning:
7.2
81
Linjärkombination
Definition 7.24. Låt V vara ett vektorrum och låt M vara en delmängd av V , dvs
M ⊂ V . Vi säger att mängden M spänner upp V om varje element i V är en
linjärkombination av M .
1 0
0 1
0 0
0 0
Exempel 7.25. Mängden
,
,
,
, spänner upp M22 ,
0 0
0 0
1 0
0 1
ty varje godtycklig matris är en linjärkombination enligt
1 0
0 1
0 0
0 0
a11 a12
= a11
+ a12
+ a21
+ a22
.
a21 a22
0 0
0 0
1 0
0 1
Exempel 7.26. Undersök om mängden M = {v 1 , v 2 , v 3 }, där v 1 = (1, 1, 0)t , v 2 = (1, 0, 1)t ,
v 3 = (0, 1, 1)t spänner upp R3 .
Lösning:
Exempel 7.27. Undersök om funktionsmängden M = {1, 1 + x, 1 + x + x2 } spänner upp
P2 .
Lösning:
82
7
7.3.
LINJÄRA RUM
Linjära höljet
Definition 7.28. Mängden av alla linjärkombinationer av M = {v 1 , v 2 , . . . , v n } i ett
linjärt rum V kallas för linjära höljet av M och betecknas [M ].
Exempel 7.29. Låt v1 och v 2 vara två vektorer i rummet. Då gäller att
1. Höljet M1 = [v 1 ] är en linje genom origo med riktningsvektorn v 1 .
2. Höljet M2 = [v 1 , v 2 ] är ett plan genom origo med riktningsvektorerna v 1 och v 2 .
Exempel 7.30. Vektorerna v 1 = (1, −1, 0)t och v2 = (1, 0, −1)t spänner upp ett plan på
en parameterform
1
1
x1
x = sv1 + tv 2 ⇔ x2 = s −1 + t 0 .
0
−1
x3
1. Vektorerna w1 = (2, −1, −1)t och w2 = (0, −1, 1)t kan fås som en linjärkombination av
v 1 och v 2 genom sätta s = t = 1 respektive s = 1 och t = −1.
2. Å andra sidan, så är v 1 respektive v 2 är en linjärkombination av w1 och w2 , ty
1
2
0
1
1
1
v 1 = w1 + w2 ⇔ −1 = −1 + −1
2
2
2
0
−1
1
och
1
v 2 = w1 − w2
2
⇔
2
0
1
0 = 1 −1 − 1 −1 .
2
2
−1
1
−1
Detta betyder att
[(1, −1, 0)t , (1, 0, −1)t ] = [(2, −1, −1)t , (0, −1, 1)t ].
3. Bestämmer vi normalen n = v 1 × v 2 = (1, 1, 1)t till detta plan kan ekvationen skrivas på
en normalform x1 + x2 + x3 = 0. Vi har alltså visat likheten
[(1, −1, 0)t , (1, 0, −1)t ] = {x ∈ R3 ; x1 + x2 + x3 = 0}.
7.3
Linjära höljet
Exempel 7.31. Låt M = {(1, 1, 0)t , (0, 1, 1)t }. Undersök om följande likheter gäller
1. [M ] = [(2, 1, −1)t , (1, 2, 1)t ]
2. [M ] = {x ∈ R3 ; x1 + x2 − x3 = 0}
3. [M ] = [(1, 1, −1)t , (3, 3, 0)t , (1, 0, −1)t ]
Lösning:
83
84
7.4.
7
LINJÄRA RUM
Linjärt beroende
Definition 7.32. Låt mängden M = {v 1 , v 2 , . . . , v n } vara i ett linjärt rum V . Vi säger
att M är linjärt beroende om det finns reella tal λ1 , λ2 , . . . , λn ej alla noll, så att
λ1 v 1 + λ2 v 2 · · · + λn v n = 0.
Annars säger vi att M är linjärt oberoende.
Exempel 7.33. Undersök om M = {v 1 , v 2 , v 3 }, där v 1 = (1, 1, 0)t , v 2 = (1, 0, 1)t , och
v 3 = (0, 1, 1)t är linjärt beroende.
Lösning:
Exempel 7.34. Är funktionsmängden M = {1 + x, 1 + x2 , 2 + x + x2 } linjärt beroende?
Lösning:
