Lösningar Tentamen Matematik D 2009-04-20
1. Beräkna vinkeln " i figuren nedan ( " är trubbig). Svara i hela grader.
!
(2p)
!
Lösning:
sin " sin 32°
=
8
5
8sin 32°
sin " =
5
8
" = sin#1 ( sin 32°)
5
" = 58°
eller " = 180° # 58° = 122°.
Eftersom den eftersökta vinkeln är trubbig är svaret: " = 122°.
!
2. I triangeln ABC är sidan AC 38 cm, vinkeln B 29° och vinkeln C 127°. Beräkna
!
längden av sidan BC.
!
Lösning:
Vinkel A=180° "127° " 29° = 24°
BC
38
=
sin24° sin29°
38sin24°
!
BC =
sin29°
BC = 31,88cm
Svar: Sidan BC är 32,88 cm lång.
!
(2p)
!
3. I figuren nedan har man ritat en enhetscirkel. Ange koordinaterna för punkten P i figuren.
Svaret skall ges både i exakt form och med ett närmevärde.
(2p)
Lösning:
P (cos225°,sin225°)
Närmevärde: P(-0.707,-0.707)
Exakt: 225°=180°+45°
1
1
P( "
,"
)
2
2
4. Visa att (2 " sin x)(2 + sin x) = 3 + cos2 x .
!
(2p)
Lösning:
(2 " sin x)(2 + sin x) = 4 " sin 2 x
!
4 " sin 2 x = 3 + cos 2 x
4 " (1" cos 2 x) = 3 + cos 2 x
4 "1+ cos2 x = 3 + cos 2 x
3 + cos2 x = 3 + cos 2 x
q.e.d.
5. Använd lämplig additions-/subtraktionssats på uttrycket
!
förenkla så långt som möjligt.
Lösning:
cos(" + # ) = cos " cos # $ sin " sin #
%
%
%
cos(x + ) = cos x cos $ sin x sin
4
4
4
%
1
1
cos(x + ) =
cos x $
sin x
4
2
2
%
1
cos(x + ) =
(cos x $ sin x)
4
2
%
2 cos(x + ) = cos x $ sin x
4
!
2 cos(x +
!
y = 9 + 16 sin(x + v)
y = 5sin(x + v)
Största värdet funktionen kan antar är 5 och minsta värdet är -5.
!
(2p)
!
6. Ange största och minsta värde för funktionen y = 3sin x " 4 cos x .
Lösning:
y = 3sin x " 4 cos x
"
) och
4
(2p)
Lösningar Tentamen Matematik D 2009-04-20
7. Lös fullständigt ekvationen sin x = 0,6 . Svara i hela grader.
Lösning:
sin x = 0.6
x = 37° + n360°
x = 143° + n360°
8.
(2p)
!
Kurvan i figuren nedan är av typen y = B + Asin kx . Bestäm kurvans ekvation.
(3p)
!
!
Lösning:
A=100
B=150
360° 3
k=
=
480° 4
Kurvans ekvation är: y=150+100sin(0.75x)
!
9.
Bestäm f "(x) då f (x) = (2x "1) 50 .
(2p)
Lösning:
!
! #1) 49 2
f "(x) = 50(2x
f "(x) = 100(2x #1) 49
10. Bestäm f "(#1) då f (x) = x 2e"x . Endast numeriskt svar ger ingen poäng.
!
Lösning:
! #x + 2xe#x
"(x) = x 2 (#1)e
f!
f "(#1) = 1(#1)e1 + 2(#1)e1
f "(#1) = e(#1# 2)
f "(#1) = #3e
!
(2p)
11. Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = x i den punkt där x = 4 .
(3p)
Lösning:
!
!
1
1 #
y" = x 2
2
1
1 #
1
y "(4) = 4 2 = = k
2
4
y = kx + m
x =4$ y = 4 =2
1
2 = 4 + m $ m =1
4
1
Svar: y = x + 1
4
12. Bestäm det största värde som f ""(x) kan anta då f (x) = 4 cos(5"x) . Svara exakt.
!
!
f (x) = 4 " cos(5#x)
f $(x) = %4 " sin(5#x) " 5#!
f $$(x) = %20# " cos(5#x) " 5#
(2p)
!
f $$(x) = %100# 2 " cos(5#x)
Svar: f ""(x) kan blir maximalt 100 " 2 .
!
!
!
!
!
!
!
13. Kurvan y = f (x) har en maximipunkt i punkten (-2,-1). Vilket av nedanstående alternativ
är korrekt?
!
a) f "(#2) < 0 och f ""(#2) = #1
b) f "(#2) > 0 och f ""(#2) > 0
!
c) f "(#2) = 0 och f ""(#2) = 0
d) f "(#2) = 0 och f ""(#2) > 0
!
e) f "(#2) = 0 och f ""(#2) < 0
(2p)
!
!
Lösning:
!
Alternativ e)!är korrekt!
14. Bestäm samtliga primitiva funktioner F(x) till f (x) = 2cos x + 4 sin x .
Lösning:
F(x) = 2sin x " 4 cos x + C
!
!
!
(2p)
Lösningar Tentamen Matematik D 2009-04-20
3
15. Beräkna integralen
" x(5x # 6)dx exakt genom användning av primitiv funktion.
(3p)
2
Lösning:
3
# x(5x " !6)dx =
2
3
# (5x
2
" 6x)dx =
2
x3
x2
"6 ]=
3
2
3
2
3
3
23
22
5 " 6 " (5 " 6 ) =
3
2
3
2
40
45 " 27 " ( "12) =
3
40 90 40 50
30 "
=
"
=
3
3
3
3
[5
Svar: Integralen är lika med 50/3 ae.
!
16. I en tank med 150 liter vatten rinner det in vatten med hastigheten (20 " 0,5x) liter/minut,
där x är tiden i minuter och 0 " x " 40 . Hur mycket vatten är det i tanken när det gått 20
minuter?
(3p)
Lösning:
!
!
!
20
150 +
# (20 " 0.5x)dx =
0
$
x2'
150 + &20x " 0.5 ) =
2(
%
200
150 + (400 "
)=
2
450L
Svar: Tanken innehåller efter 20 minuter 450 Liter.
!
17. Beräkna exakt arean av det område som begränsas av kurvan y = x 2 " 2x + 1 och
linjen y = x + 1 (streckat i figuren). Integrationsgränserna får tas direkt ur figuren. Svaret
ges på exakt form. Endast numeriskt svar ger ingen poäng.
(2p)
!
!
Lösning:
3
# ((x + 1) " (x
2
" 2x + 1))dx =
0
3
# (x + 1" x
2
+ 2x "1)dx =
0
3
# (3x " x
2
)dx =
0
$ x2 x3'
&3 " ) =
3(
% 2
9 27
" " (0) =
2 3
27 27
"
=
2
3
3* 27 " 2 * 27 27
=
= 4.5
6
6
3*
Svar: Arean av det skuggade området är 4.5 ae stort.
!
18. Hur många m 3 matjord går det åt om man vill täcka området i figuren nedan med ett lager
matjord med tjockleken 0,1 m ?
(2p)
!
!
Lösning:
Lösningar Tentamen Matematik D 2009-04-20
absinC
2
25 " 40 " sin60
T=
= 433m 2
2
T=
Svar: Det går åt 0.1m " 433m 2 = 43.3m 3 matjord.
!
!
