Malmö Högskola
Lärande och samhälle
Skolutveckling och ledarskap
Självständigt arbete
avancerad nivå, 30 högskolepoäng
Konkret matematik – en del av
undervisningen
Concrete mathematics – a part of teaching
Jenny Ormsby
Masterprogram i Pedagogik, 120 hp
Examinator:
Handledare:
Cecilia
Ange
Olsson
handledare
Jers
Slutseminarium: 2015-06-16
Handledare: Anna Wernberg
2
Sammanfattning
Ormsby, Jenny (2015), Konkret matematik – en del av undervisningen, (Concrete
mathematics – a part of teaching). Magister/Master i Pedagogik, Skolutveckling och
ledarskap, Lärande och samhälle, Malmö Högskola.
Syftet med denna uppsats är att undersöka huruvida verksamma lärare i grundskolans tidigare
år använder sig av konkret material som en del i sin vardagliga undervisning och hur de i så
fall använder sig av det. I denna undersökning är innebörden av konkret matematik ett tydligt
objekt som kan upplevas genom kroppens sinnen och som kan användas i det verkliga livet.
Undersökningen begränsades till de tre första åren av grundskolan där fem lärare från två
olika kommuner deltog. Undersökningen bygger på en kvalitativ studie där observationer
används som stimuli till de intervjuer som genomfördes.
Undersökningen visade att samtliga lärare använder sig av konkret matematik i större eller
mindre utsträckning som en del i sin undervisning. De kunde inte ange hur stor del av deras
undervisning i matematik som bestod av ett konkret arbetssätt. Lärarna beskrev ett varierat
arbetssätt i matematik där den enskilda eleven är i fokus. Lärarna arbetar med konkret
matematik genom kroppen, sinnena och material som de förankrar i elevernas verklighet och
vardag. Samtliga lärare utom en visar på en djup förståelse av vad konkret matematik är.
Samtliga lärare såg möjligheter och begränsningar med att använda konkret matematik i
undervisningen. Möjligheterna visar att konkret matematik kan synliggöra för eleverna och att
de genom det konkreta får en möjlighet till förståelse. Flertalet av lärarna påpekade även
variation som en möjlighet genom att eleverna får olika former av lärandesituationer som kan
väcka en nyfikenhet hos eleverna. Lärarna såg dock fler begränsningar än möjligheter med
användandet av konkret matematik. Personal, utrymme, pengar, tid och lek var begränsningar
som framkom i studien. Även då studiens resultat från lärarna visar fler begränsningar än
möjligheter åskådliggör lärarna ändå olika metoder att komma från begränsningarna och
vända dem till möjligheter istället.
Nyckelord: Konkret matematik, laborativ matematik, läromedel, matematikundervisning.
3
Förord
Denna masteruppsats har genomförts vid Malmö Högskola. Masteruppsatsen avser trettio
högskolepoäng och utgör den avslutande delen av min masterutbildning i pedagogik. Min
ambition med uppsatsen har varit att i praktiken omsätta de kunskaper jag har tillägnat mig
under min lärarutbildning och även under min masterutbildning. Under både min
lärarutbildning samt masterutbildning i pedagogik har jag haft möjlighet att utveckla mitt
intresse för matematik.
Jag vill tacka alla som har bidragit till möjligheten att kunna genomföra min masteruppsats.
Först vill jag tacka de lärare som har ställt upp på intervjuer och på så sätt medverkat i min
undersökning. Jag är väldigt tacksam för den tid min handledare, Anna Wernberg, har tagit
sig för att vägleda mig under arbetets gång. Ett särskilt tack vill jag rikta till min familj och
mina vänner som har stöttat mig under min masterutbildning. Utan er hade denna uppsats
inte varit möjlig.
Helsingborg i juni 2015.
Jenny Ormsby
4
Innehållsförteckning
Sammanfattning ................................................................................................................ 3 Förord ............................................................................................................................... 4 1 Inledning ...................................................................................................................... 7 1.1 Problembakgrund ............................................................................................................. 7 1.2 Avgränsning ...................................................................................................................... 8 1.3 Syfte och frågeställning ..................................................................................................... 8 2 Matematik ................................................................................................................... 9 2.1 Vad är matematik? .......................................................................................................... 9 2.2 Konkret matematik som begrepp ..................................................................................... 9 3 Tidigare forskning .................................................................................................... 11 3.1 Matematikens historia .................................................................................................... 11 3.2 Skolmatematik ................................................................................................................ 13 3.3 Varför ska vi lära oss matematik? .................................................................................. 14 3.4 Konkret matematik som en del i den vardagliga undervisningen .................................. 15 3.5 Möjligheter med konkret matematik .............................................................................. 17 3.6 Begränsningar med konkret matematik ......................................................................... 18 3.7 Var kommer läroboken in? ............................................................................................. 20 3.8 Att konkretisera och lärarens roll .................................................................................. 22 3.9 Internationella studier .................................................................................................... 23 3.9.1 TIMSS ............................................................................................................................. 23 3.9.2 PISA ................................................................................................................................. 24 4 Teoretisk förankring .................................................................................................. 26 4.1 Det konstruktivistiska perspektivets utveckling ............................................................. 26 4.2 Det konstruktivistiska perspektivets lärandeteori .......................................................... 27 4.3 Konstruktivismen och det sociala samspelet ................................................................... 30 4.4 Argumentation för val av inriktning inom det teoretiska perspektivet .......................... 31 5 Metod och genomförande ......................................................................................... 32 5.1 Metodval och datainsamlingsmetoder ............................................................................ 32 5.1.1 Observation ...................................................................................................................... 32 5.1.2 Intervju ............................................................................................................................. 33 5.2 Urval ............................................................................................................................... 35 5.3 Etiska ställningstaganden ............................................................................................... 35 5.4 Genomförande ................................................................................................................ 36 5.5 Analysmetod ................................................................................................................... 37 5.5.1 Analys utifrån mina intervjuer ......................................................................................... 39 5.6 Validitet och reliabilitet i en kvalitativ undersökning .................................................... 40 5.6.1 Validitet och reliabilitet i min uppsats ............................................................................. 40 5.7 Lärarnas bakgrund ......................................................................................................... 41 6 Resultat och analys .................................................................................................... 42 6.1 Avgränsning av begreppet .............................................................................................. 42 6.1.1 Sinnen och kroppen ......................................................................................................... 42 6.1.2 Verklighet och vardag ...................................................................................................... 42 6.1.3 Material av olika slag ....................................................................................................... 43 6.1.4 Analys av avgränsning av begreppet .............................................................................. 44 6.2 Möjligheter ..................................................................................................................... 45 6.2.1 Förtydliga genom variation .............................................................................................. 45 5
6.2.2 Analys av möjligheter ...................................................................................................... 46 6.3 Begränsningar ................................................................................................................. 47 6.3.1 Personal och utrymme ..................................................................................................... 47 6.3.2 Tid .................................................................................................................................... 48 6.3.3 Lek ................................................................................................................................... 48 6.3.4 Pengar .............................................................................................................................. 49 6.3.5 Analys av begränsningar .................................................................................................. 49 6.4 Lärandesituationer ......................................................................................................... 51 6.4.1 Utan avslutande diskussion .............................................................................................. 51 6.4.2 Med avslutande diskussion .............................................................................................. 53 6.4.3 Lärobok ............................................................................................................................ 54 6.4.4 Analys av lärandesituationer ............................................................................................ 55 6.5 Läroplanen ...................................................................................................................... 58 6.5.1 Stöd .................................................................................................................................. 58 6.5.2 Analys av läroplanen ....................................................................................................... 58 6.6 Sammanfattning av resultatet ......................................................................................... 59 7 Diskussion .................................................................................................................. 62 7.1 Metoddiskussion ............................................................................................................. 62 7.2 På vilket sätt anser verksamma lärare att de tillämpar konkret matematik i sin
undervisning? .......................................................................................................................... 64 7.3 Vilka möjligheter och/eller begränsningar finns det av att använda sig av konkret
matematik i den dagliga undervisningen? ............................................................................... 69 7.3 Sammanfattande diskussion ........................................................................................... 72 7.4 Förslag till vidare forskning ........................................................................................... 73 8 Litteraturförteckning ................................................................................................ 75 Bilagor ............................................................................................................................. 80 Bilaga 1 Informationsbrev .................................................................................................... 80 Bilaga 2 Underlag till intervju ............................................................................................. 81 6
1
Inledning
1.1
Problembakgrund
När jag ansökte till lärarutbildningen hade jag en tydlig föreställning om vilket huvudämne
som skulle ligga till grund för min examen. Matematik hade sedan min egen skolgång varit
det ämne som jag funnit ett stort intresse för. Under min egen skolgång handlade matematik
om att räkna i en lärobok efter att läraren haft en genomgång vid tavlan. Denna enformiga
undervisning var sig lik från det att jag började årskurs 1 tills det att jag gick ut gymnasiet.
Mitt intresse för matematik avtog inte men föreställningen om att matematik kunde vara ett
roligt ämne avtog. Intresset för att lära ut matematik på ett mer intressant och roligt sätt växte
hos mig när det var dags att söka sig vidare till högre studier. Under min utbildning till
grundskollärare växte intresset för konkret matematik fram. Begreppet konkret matematik
samt innebörden av detta undervisningssätt återkom kontinuerligt under min utbildning och
mitt intresse för detta begrepp växte fram när jag förstod betydelsen av konkret matematik
som ett undervisningssätt. Under den verksamhetsförlagda tiden på lärarutbildningen samt
under de år som jag har arbetat som lärare har jag inte mött en undervisning bland de tidigare
skolåren där man har arbetat med konkret matematik. Den matematikundervisning som jag
har stött på har mestadels bestått av att hämta en lärobok och sätta sig ner på sin plats för att
börja räkna. Ett arbetssätt som liknade det jag själv varit med om under min skolgång. Jag
har mött en del elever i de tidiga skolåren som har en negativ inställning till matematik.
Eleverna tycker att matematik är tråkigt och undrar varför vi behöver lära oss matematik. Jag
har även mött många elever som tycker att matematik är en tävling där det viktiga är att hinna
så långt som möjligt i läroboken i matematik. I Skolverkets rapport Lusten att lära – med
fokus på matematik (2003, ss.7-17) står det att alla elever ska få möjligheten att lära sig
matematik och skaffa sig matematikkunskaper. Även grundskolans läroplan trycker på
skolans ansvar för att alla elever efter genomgången grundskola ”kan använda sig av
matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet” (Skolverket 2011b, s.13). I ovan
nämnd rapport beskrivs vidare att många tyvärr har negativa erfarenheter av matematiken.
Den anses svår att förstå och meningslös. På så sätt kan matematik bidra till ångest och en
känsla av misslyckande vilket följer personen in i vuxen ålder. På så sätt finns även en risk att
denna negativa syn överförs till nästa generation. Därför är det viktigt att eleverna i skolan får
en förståelse om matematik som såväl i matematik. Användningen av matematiken ändras
under åren i grundskolan vilket i sin tur bidrar till att elevernas lust att lära förändras.
7
Rapporten visar på en ökande olust till matematik hos många elever. Det finns inte en
undervisningsmetod som är den rätta utan olika sätt att arbeta bidrar till att man kan möta
varje elev gällande innehåll, material och arbetssätt.
1.2
Avgränsning
I min undersökning har jag valt att studera om lärare i grundskolans tidigare år tillämpar
konkret matematik i vardagen. Undersökningen kommer att avgränsas till de tre första
skolåren av grundskolan i två kommuner i Södra Sverige. Två kommuner har valts på grund
av att intresset bland deltagande lärare var för svagt i den primära kommunen.
En annan avgränsning som bör tydliggöras är innebörden av konkret matematik. Som titeln på
uppsatsen uppger handlar undersökningen om konkret matematik som en del av
undervisningen. I denna undersökning kommer innebörden av konkret matematik vara ett
tydligt objekt som kan upplevas genom kroppens sinnen och som kan användas i det verkliga
livet.
1.3
Syfte och frågeställning
Syftet med uppsatsen är att undersöka om verksamma lärare arbetar med konkret matematik i
sitt vardagliga arbete och hur de i så fall använder sig av det.
Utifrån detta syfte har jag formulerat följande frågeställningar,
-
På vilket sätt anser verksamma lärare att de tillämpar konkret matematik i sin
undervisning?
-
Vilka möjligheter och/eller begränsningar finns det av att använda sig av konkret
matematik i den dagliga undervisningen?
8
2
Matematik
2.1
Vad är matematik?
För att skapa sig en förståelse för vad matematik är följer nedan en beskrivning av detta.
Matematik kan ha olika betydelse för olika personer på grund av kunskaper och/eller
erfarenheter inom ämnet. Även om personer har olika uppfattningar om begreppet matematik
finns det mer noggranna definitioner om vad matematik är. Därför har jag valt att ange en
tydlig definition av begreppet matematik. Definitionen av matematik är enligt
Nationalencyklopedin följande:
Matematik[…], en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling. Definitionen kan
kommenteras på följande sätt. Matematiken är abstrakt: den har frigjort sig från det konkreta ursprunget hos
problemen, vilket är en förutsättning för att den skall kunna vara generell, dvs. tillämpbar i en mångfald
situationer, men också för den logiska giltigheten hos resonemangen skall kunna klarläggas. Matematiken är
inriktad på stadium och uppbyggnad av strukturer av de mest skilda slag, såväl för att lösa speciella problem som
för att utveckla allmänna metoder att lösa problem och ange dessa problems begränsningar (Sökord: matematik).
I Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr11, finns
kursplanen i matematik. I inledningen finns följande beskrivning av vad matematik är:
Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl
ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.
Matematisk verksamhet är till sin art en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet som
är nära kopplad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper i matematik
ger människor förutsättningar att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer
och ökar möjligheterna att delta i samhällets beslutsprocesser (Skolverket 2011b, s. 62).
2.2
Konkret matematik som begrepp
Under föregående rubrik har jag redogjort för definitionen av matematik. För att få en
kännedom om vad som menas med konkret matematik kommer jag nedan att redogöra för
begreppet konkret. Eftersom uppsatsens innehåll är riktat mot begreppet konkret matematik
och tillika att detta ord finns med i kursplanen för ämnet matematik är det av vikt att detta ord
får en innebörd i denna uppsats. För att synliggöra konkret matematik ännu mer har jag valt
att även definiera motsatsordet till konkret vilket är abstrakt.
Definitionen av konkret är enligt Nationalencyklopedin följande:
9
Konkret substantiv, substantiv som betecknar något som kan vägas och direkt uppfattas med
sinnena, t.ex. varelser, föremål och material. Motsats: abstrakt substantiv (Sökord: konkret
substantiv).
Definitionen av abstrakt är enligt Nationalencyklopedin följande:
Abstrakt substantiv, substantiv som betecknar ett icke-påtagligt fenomen (utan massa), t.ex.
egenskap, tillstånd, händelse och tid. Många abstrakta substantiv är avledningar av adjektiv eller
verb. Motsats: konkret substantiv (Sökord: abstrakt substantiv).
Jag vill även definiera ordet laborativ eftersom det ofta förekommer i sammanhang som har
med konkret matematik att göra. Enligt Nationalencyklopedin är laborativ undervisning
följande:
Laborativ undervisning, metoder för undervisning och inlärning med stöd av experiment och
försök, vanligen i naturvetenskapliga ämnen. Termen har också använts om undervisning som
kombinerar teoretiska och praktiska uppgifter enligt John Deweys princip ”learning by doing”
(Sökord: laborativ undervisning).
I definitionen för laborativ undervisning från Nationalencyklopedin nämns att laborativ
undervisning även kan innebära en undervisning där teoretiska och praktiska uppgifter
kombineras (Sökord: laborativ undervisning). Eftersom orden praktiska uppgifter framträder
har jag valt att även definiera ordet praktisk för att få en helhet av vad en konkret
undervisning innebär. Definitionen av praktisk är enligt Nationalencyklopedin följande:
Pra´ktisk, som har att göra med (konkreta) företeelser och händelser i det verkliga livet; som
har gott handlag och lätt finner lösningar på problem i (vardags)livet; som är lätt att använda och
kommer till god nytta (särskilt i vardagslivet) (Sökord: praktisk).
I denna uppsats kommer innebörden av konkret matematik vara ett påtagligt föremål som kan
upplevas genom kroppens sinnen och som kan användas i det verkliga livet.
10
3
Tidigare forskning
För att mer ingående få reda på hur och var matematiken uppstod samt hur det kom att bli en
vetenskap inleds detta kapitel med en sammanfattning av matematikens historia från
tiotusentals år sedan och fram tills idag.
3.1
Matematikens historia
Man tror att matematiska problem har intresserat människor så tidigt som för tiotusentals år
sedan. Varför man tror detta är på grund av att man hittat geometriska mönster som
utsmyckning. Vid samma tillfälle uppstod en nödvändighet, denna nödvändighet var behovet
av att ange antal. Det visade man med streckmarkeringar eller en samling likartade föremål.
Detta var skapandet av den första matematiska modellen. Olyckligtvis bestod de flesta skrifter
från denna tid av obeständigt material vilket innebär att de flesta av spåren i form av skrifter
har försvunnit. De skrifter som är bevarade har gett information om den tidiga matematiken.
Denna information kommer från de kulturområden som uppstod i floddalarna kring Hoangho,
Indus, Eufrat, Tigris samt Nilen. Man tror att många av de papyrusrullar som bestod av
obeständigt material innehöll samlingar av teknik samt matematik. Det finns två papyrusrullar
som bestod av material som man har kunnat bevara. Dessa två papyrusrullar är Rhindpapyrusen och Moskva-papyrusen. Rhind-papyrusen skrevs av Ahmes ungefär 1700 f.Kr. En
annan mycket viktig informationskälla är de lertavlor som presenterar babyloniernas
matematik i form av kilskrift. I floddalarna fanns det olika typer av behov eftersom alla vuxna
inte kunde delta i jordbruksarbetet. Därför skapades det arbetsuppgifter som exempelvis att
hålla reda på skörd och åkerarealer samt konstruera vattenreglering och tabeller för
årstidsväxlingar. Aritmetiken och geometrin blev en del av kulturen på grund av de nya
praktiska matematiska arbetsuppgifter som uppstod. Matematikens utveckling ägde rum i
Kina, Indien, Babylonien och Egypten. Matematiken har sedan överförts till olika kulturer
varav grekerna tog över arvet ca 600 f.Kr. Grekerna hade kunskapscentra i de områden som
ingick i det grekiska stormaktsväldet, bland annat i egyptiska Alexandria. Från år 100 f.Kr. till
ca 500 e.Kr. framträdde Romarriket starkast kring Medelhavsområdet. Under tiden som
Grekland utvecklade sin matematik tror man att det även skedde en betydande utveckling av
matematiken i Afrika och Amerika. År 500 e.Kr. faller Romarriket och då tar indierna och
araberna över och de bidrog med de viktigaste bidragen till att utveckla matematik inom
naturvetenskapen och tekniken. Den utveckling som skedde var upptäckten av
11
positionssystemet, talet noll samt siffrorna. Ett litet antal framsteg gjordes mellan år 1000
e.Kr. och 1500 e.Kr. Exempel på några framsteg under denna tid var Fibonaccis bok, Liber
Abaci samt att de grekiska skrifterna översattes till europeiska språk. Man tror att anledningen
till denna minimala utveckling berodde på att man saknade ett matematiskt symbolspråk. Det
fanns ingen möjlighet att formulera algebraiska uttryck, formler eller ekvationer. I slutet av
1400-talet börjar dock utvecklingen ta fart igen och på grund av geografiska upptäckter och
behovet av exempelvis navigation och expanderat handelsutbyte behövdes ytterligare
kunskaper inom matematiken. Det fanns nu gott om papper och man gick från att räkna på
abakusen till att använda papper istället. De romerska siffrorna blir gammalmodiga och det
arabisk-indiska siffer- och positionssystemet slår igenom samt ett användande av de fyra
räknesätten börjar ta form. Under 1600-talet och framåt sker utveckling inom bland annat den
analytiska geometrin och derivata- och integralbegreppet. Från att ha varit en hjälpvetenskap
blir nu matematik en egen vetenskap (Olsson 1999, ss. 62-65). Några betydande banbrytande
matematiker från 1600-talet var René Descartes, som var filosof och matematiker, samt Pierre
Fermat, som var jurist. Under 1700-talet levde en matematiker vid namn Leonhard Euler som
kom att bli den produktivaste matematiker som har funnits. Han kom från Schweiz och löste
matematiska problem som mynnade ut i grafteorin och topologin. I slutet på 1700-talet och i
början av 1800-talet blir matematikerna mer specialiserade. Den analytiska matematiken
utvecklades vilket ledde till stora framsteg under 1900-talet. På grund av den förfining man
gjorde av den matematiska analysen kunde fysikerna utforma teorierna om kvantmekanik och
relativitet vilket i sin tur bidrog till att helt ny matematik skapats. Mängdläran är ett exempel
på ny matematik som skapats, det var Georg Cantor som utvecklade teorin om oändliga
mängder. Som nämnt tidigare fanns det många viktiga upptäcker och utvecklingar av
matematiken efter 1600-talet och framförallt på 1800-talet. Matematiken blir mer abstrakt
samt omfattande under 1900-talet. Under detta århundrade skapades även datorn som kom att
bli en del av den matematiska utvecklingen. År 1976 löstes det första matematiska problemet
med hjälp av en dator (Dahl 1991, ss. 38-41).
Under 1960-talet infördes även grundskolan i Sverige och mer precist skedde detta år 1962.
Detta år fick även grundskolan sin första läroplan, Lgr62. Det fanns fem principer som skulle
gälla för undervisningen i denna läroplan och det var motivation, aktivitet, konkretion,
individualisering samt samarbete. Sju år senare fick grundskolan en ny läroplan, Lgr69, där
det gavs större utrymme för lärarna att använda sig av ett varierat arbetssätt. Detta utrymme
ökade ytterligare i Lgr80 och temastudier infördes som en ny arbetsform. År 1994 fick
grundskolan en helt ny typ av läroplan, Lpo94. Samtidigt som den nya läroplanen infördes
12
övergick även skolan samtidigt från regelstyrning till målstyrning och arbetssätten i
grundskolan förändrades märkbart (Hartman 2012, ss. 56-76). År 2011 infördes Läroplanen
för grundskolan förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr11. I läroplanen finns en
kursplan för varje ämne i grundskolan och den anger undervisningens syfte där de förmågor
som eleverna ska ges förutsättningar att utveckla genom undervisningen framgår. Kursplanen
innehåller även ett centralt innehåll som anger vilket obligatoriskt innehåll som ska behandlas
i undervisningen samt de kunskapskrav som eleverna ska ha uppnått i slutet av årskurs 3, 6
och 9 (Skolverket 2011b, ss. 66-67). Detta leder fram till nästa rubriks innehåll, det vill säga
vad den nuvarande kursplanen i matematik innebär.
3.2
Skolmatematik
I Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 (Skolverket 2011b,
s.62-68) kan man läsa att syftet med matematiken i skolan bland annat är att undervisningen
ska bidra till att eleverna utvecklar ett intresse för matematik samt att eleverna ska våga lita på
sin förmåga att använda matematiken i olika situationer. Eleverna ska utveckla kunskaper om
matematiken, dess användning i vardagen samt inom olika ämnesområden. Eleverna ska även
ges möjlighet att begrunda matematikens betydelse, användning och begränsning i
vardagslivet, i andra skolämnen samt under historiska skeenden och på så sätt skapa sig en
förståelse för matematikens sammanhang och relevans. I slutet av syftesbeskrivningen finns
de förmågor sammanfattade som eleverna genom undervisningen i matematik ska ges
förutsättningar att utveckla. Dessa förmågor lyder enligt följande;
•
formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och
metoder,
•
använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,
•
välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa
rutinuppgifter,
•
föra och följa matematiska resonemang, och
•
använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra
för frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket 2011b, s. 63).
Under rubriken för kunskapskraven för godtagbara kunskaper i slutet av årskurs 3 nämns
ordet konkret vid två tillfällen;
13
Eleven ska ha grundläggande kunskaper om matematiska begrepp och visar det genom att
använda dem i vanligt förekommande sammanhang på ett i huvudsak fungerande sätt. Eleven
kan beskriva begreppens egenskaper med hjälp av symboler och konkret material eller
bilder/…/Eleven kan beskriva och samtala om tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande
sätt och använder då konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer
med viss anpassning till sammanhanget (Skolverket 2011b, s. 67).
3.3
Varför ska vi lära oss matematik?
Precis som att det kan finnas många uppfattningar till vad matematik är kan det finnas lika
många uppfattningar till varför vi ska lära oss matematik. Olsson och Forsbäck (2008, ss. 5-6)
menar att en stor del av det vi gör, beslutar och arbetar med under en dag faktiskt är
matematik. Från det att väckarklockan ringer till det att man går och lägger sig på kvällen har
man hunnit med många varierande områden inom matematiken. Exempel på detta är under
frukosten, vägen till arbetet, arbetsuppgifterna under dagen, i livsmedelsaffären och lagning
av kvällsmat. Redan som barn möter man matematiken i vardagen och den återkommer
ständigt exempelvis genom upptäckten och användningen av mönster, att räkna föremål samt
sortering av lego. Barn måste få förstå sin omvärld och det gör de genom att leka samt att
tillsammans med vuxna få hjälp att sätta ord på upplevelserna och upptäckterna. Detta är
grundläggande kunskaper och begrepp som barn tar in under sin uppväxt vilket bidrar till
deras utveckling inom den formella matematiken. Därför är det viktigt att den matematiken
barnen möter innan de börjar skolan samt den matematik de sedan möter utanför skolan är så
innehållsrik som möjligt. Löwing och Kilborn (2002, s. 17) anser att man i det moderna
samhället dagligen möter situationer där man behöver kunna tolka samt bearbeta numerisk
information. Målet med undervisningen av matematik i grundskolan blir därför att förbereda
eleverna för detta. För att kunna nå detta mål menar författarna att en del mot målet är att få
förståelse och kunna hantera den matematik som finns i övriga skolämnen som exempelvis
No, So, hemkunskap, idrott och slöjd. Beroende på vilken miljö respektive verksamhet som
matematiken finns i yttrar den sig i många olika former, formella som informella. I Lusten att
lära – med fokus på matematik (Skolverket 2003, s. 7) står det att det används begrepp,
metoder och modeller från matematiken i vardags- och yrkesliv samt i samhällelig och
vetenskaplig verksamhet. Genom att ha kunskaper i matematik kan man påverka och delta i
beslutsprocesser gällande landets och kommunens ekonomi och miljö, vilket även är en
demokratisk rättighet. Dessa matematiska kunskaper är något som alla elever ska ha möjlighet
att införskaffa. Genom dessa kunskaper kan man även lösa vardagsproblem, förstå
14
information och reklam, fungera som en medborgare samt kunna granska och värdera
påståenden från exempelvis politiker. Matematik är således ett viktigt ämne för utbildning.
Kunskaper i matematik är inte tillräckligt utan vi behöver även kunskaper om matematik på
grund av det livslånga lärandet.
3.4
Konkret matematik som en del i den vardagliga undervisningen
I Lusten att lära – med fokus på matematik (Skolverket 2003, ss. 7-49) står det uttryckligen att
undervisningen på många skolor är bra och intressant och gynnar elevernas lust att lära samt
bidrar till motivation. Detta gäller inte enbart för ämnet matematik utan även för andra ämnen
och ämnesområden. Det går dock inte att på ett enkelt sätt ange vilka typiska lärmiljöer som
skapar lust eller olust och att kategoriskt säga exempelvis att individualisering är bra eller att
katederundervisning är dålig. Olika elever och elevgrupper samt elever i olika åldrar har
varierande behov och reagerar olika på samma undervisningssituationer. De menar på att det
inte finns en modell som garanterar hög kvalitet. Vad man kommit fram till i studien är att det
finns en rad olika faktorer inom undervisningsstrukturerna som är det viktiga och som skapar
lust eller olust. Engagerade och intresserade elever har de funnit i undervisningssituationer
där det funnits utrymme för känsla, tanke, upptäckarglädje, engagemang samt aktivitet hos
elever och lärare. Det har varit en variation i innehåll och arbetsform där laborativt och
undersökande arbetssätt varit en del. Elevernas glädje och lust att lära är under de tidigare
skolåren fortfarande levande och genom lek, temaarbeten och språkaktiviteter är innehållet
konkret och omväxlande samt blir då arbetssätt och läromedel varierande. Lärarna försöker
behålla det lustfyllda lärandet. Det finns alltså inte enligt rapporten en speciell
undervisningsmodell som är den rätta. Olika elever behöver olika innehåll, material och
arbetsmetoder.
Den större delen av matematikundervisningen i skolan är mekaniskt räknande. Det är
viktigt att öva räknefärdigheter och det är inte säkert att det bidrar till en negativ lust till att
lära hos eleverna. Det kan för stunden vara tillfredsställande. Men det som blir motigt i en
sådan situation är när räknandet inte har en mening och när man inte förstår vad man gör
längre. Det kan också bli motigt när lektionerna ser likadana ut och man på egen hand måste
skapa sig förståelsen. För att skapa en lust att lära är det viktigt att det finns en variation,
flexibilitet och ett undvikande av det monotona. Olika sätt att lära in bidrar till att olika
elevers behov av att lära tillgodoses. Författarna till rapporten menar att utbildningens kvalitet
15
kan förbättras genom att bland annat ha en mer varierad undervisning, ett varierat arbetssätt
med inslag av laborativt material och att minska lärobokens dominans.
Olsson och Forsbäck (2008, ss. 7-12, 14) anser att vi oftast i vardagen möter matematiken i en
konkret form och att många vuxna mött matematiken i skolan på en abstrakt nivå utan att ha
fått hjälp att koppla det till egna vardagserfarenheter. På detta sätt blir ofta matematiken något
som ska reproduceras och då skapas det inte någon mening med matematiken. Genom att
börja arbeta från de egna erfarenheterna som vi möter i vardagen till att samtala om hur det
kan formuleras på ett matematiskt språk till att slutligen räkna ut talet kan man skapa sig en
förståelse för vad det är man gör. Genom att översätta uppgifter till en vardagshändelse kan
exempelvis en uppgift om i vilken ordning de olika beräkningarna ska göras klargöras. Det är
ett stort steg mellan det konkreta vi möter i vardagen och det abstrakta matematikspråket i den
matematik vi har i skolan. Det är ett steg som vi måste hjälpa barnen att klara. Författarna
förklarar det genom att dra en parallell med ett hyreshus. De menar att ingen byggmästare ens
skulle tänka tanken att be byggnadsarbetarna börja bygga den översta våningen på ett nytt
hyreshus. Grunden är det som huset ska stå på och det får man inte slarva med. Det är likadant
med matematiken i skolan. Det som eleverna arbetar med i årskurs 1 kan verka väldigt enkelt
och att skriva rätt svar till exempelvis 3 + 2 = ____ tycks inte som något större problem. Alla
klarar säkert det på något sätt men precis som i husgrunden kan det finnas dolda svagheter
som kan ge stora problem längre upp i åldrarna om det inte tas itu med. Det finns kanske
något barn som inte riktigt förstår begreppen och kanske enbart uppfattar den dynamiska
aspekten av likhetstecknet (Sfard 1995, ss.15-39). Kvaliteten på kunskaperna måste hålla för
att barnen ska fortsätta att lära. Steget från det konkreta till det abstrakta är stort vilket avser
varje tillfälle som barnen möter nya moment inom matematiken. Därför är det viktigt att
grunden i begreppshuset byggs rätt från början genom att samtala och uppmärksamma
matematiska begrepp samt koppla dem till barnens erfarenheter. På så sätt utvecklar barnen en
stadig bas för att utveckla sina matematikkunskaper (Olsson och Forsbäck 2008, ss.7-12, 14).
I en rapport utgiven av Skolverket, Laborativ matematik, konkretiserande undervisning och
matematikverkstäder (2011a, ss. 28-29) skriver Löwing, Fredriksson och Färjsjö att
kopplingen konkret – abstrakt inte finns utan att det är något som måste skapas av läraren. De
menar att man borde fokusera på verbet konkretisera istället för ordet konkret då det kan leda
till missuppfattningar om att materialet har ett liv och ett värde i sig. Genom att konkretisera
ska abstraktionen, förståelsen, underlättas. Det är inte det konkreta materialet som ska leda till
abstraktion utan det är hur materialet används och vad läraren lyfter fram med hjälp av
materialet som är det viktiga. Det huvudsakliga är att använda materialet på ett lämpligt sätt
16
för att förklara det som ska abstraheras. Alla sinnen behöver inte användas vid konkretisering
utan det kan räcka med att eleven använder ett sinne för att abstraktion ska nås. Det finns även
upplevda händelser och metaforer som kan vara mer konkretiserande än material för elever.
Det betyder att konkretisering inte behöver bestå av material. En metafor eller en upplevd
händelse kan vara konkretiserande för en elev. Det matematiska innehållet ska synliggöras
med hjälp av materialet vilket innebär att konkretisering inte handlar om att arbeta med
material. Författarna skriver:
Vi menar att avsikten med all matematikundervisning är att den ska leda till abstraktion, även
om det gäller en så elementär kunskap som att 1 + 1 = 2 oberoende av vad man räknar. För att
underlätta abstraktion kan man som lärare hjälpa eleverna genom att konkretisera det som ska
läras. Konkretisering går då ut på att med hjälp av material eller en metafor lyfta fram den idé
eleverna ska abstrahera. Det innebär att det material som används måste presenteras och
organiseras på ett sådant sätt att man för eleverna lyfter fram den aktuella idén. Materialet
behöver därför ha en strukturlikhet med den matematik som ska förklaras. Det handlar således
inte om att ta i materialet (gripa) utan att med materialets hjälp begripa, alltså abstrahera. När
detta har skett har materialet spelat ut sin roll. Då är det abstraktionen som gäller. Målet är att
eleverna med tanken ska förstå hur och varför aktuella operationer och procedurer ska utföras
(Skolverket 2011a, s. 29).
Vidare menar författarna för en ökad framgångsrik konkretisering behövs tillgång till
beprövat material med beprövade arbetsinstruktioner (Skolverket 2011a, s. 28-29). Löwing
(2006, ss.130-141) menar att matematik på alla nivåer handlar om att abstrahera. När man
abstraherar har eleverna skaffat sig en mental bild och ett effektivt språk som kan användas
till att snabbt och effektivt lösa nya matematiska problem. Om eleverna har förstått något
genom konkretisering innebär det inte automatiskt att eleverna behärskar motsvarande
operation. Det måste också färdighetstränas så att eleverna känner igen uppgifterna som
passar för strategin så att eleverna kan använda strategin med flyt. Konkretiseringen ska med
andra ord vara en hjälp till att abstrahera.
3.5
Möjligheter med konkret matematik
Bernerskog (2007, ss. 3-8) har skrivit en rapport som handlar om möjligheter att arbeta med
kroppen som laborativt redskap i matematikundervisningen för att på så sätt göra
undervisningen mer laborativ. Författaren menar att den tidiga matematikundervisningen
utgår från det konkreta med laborativt material för att sedan gradvis övergå till abstrakt
17
matematiktänkande. Genom sina studier kom författaren fram till att den egna kroppen kan
fungera som ett laborativt hjälpmedel för att förstå de första momenten inom
matematikundervisningen bland de tidiga skolåren. Det fanns många vinster med detta
arbetssätt både inom ämnet matematik men även inom andra ämnen. Exempel på dessa
vinster var att eleverna upplevde övningarna positivt, de fick fysisk aktivitet varje dag och
läsförståelse samt ordkunskap tränades. Det konkreta tillvägagångssättet med rörelse gjorde
att eleverna tog till sig nya moment lättare samt att de befäste kunskaperna på ett nytt sätt. De
elever som hade svårt att sitta still och koncentrera sig fick genom matematikövningar med
kroppen en möjlighet att kunna gå ut och ändå träna sig i matematik. Bernerskog anser att det
finns många vinster med att använda kroppen som ett laborativt hjälpmedel i den tidiga
matematikundervisningen. D’Angelo och Iliev (2012, s.1-5) menar att användandet av
laborativt material är nödvändigt när man undervisar unga barn i matematik. Den konkreta
upplevelsen som eleverna får av materialet ger dem en större förståelse om lärarna använder
materialet på ett effektivt sätt. Ett konkret och verkligt material skapar en rik miljö där
eleverna kan undersöka sina idéer kritiskt samt lösa problem. Eleverna blir då nyfikna och
utvecklar ett livslångt lärande. Det är av vikt att eleverna får en exponering av ett varierat
antal matematiska verktyg. Det konkreta materialet tydliggör matematiska begrepp och
koncept för eleverna och hjälper dem att hantera det som är abstrakt genom att göra det
konkret. Författarna refererar i sin artikel till NCTM, National Council of Teachers of
Mathematics, som rekommenderar användandet av laborativt material i alla årskurser. Alla
elever oavsett ålder har nytta av laborativt material i sin undervisning. Det konkreta materialet
skapar en övergång mellan det konkreta och det abstrakta under det att eleverna mognar i sitt
matematiska vetande. Ju tidigare en elev börjar arbeta med laborativt material desto stabilare
blir grunden för kunskapen hos eleven.
3.6
Begränsningar med konkret matematik
Under föregående rubrik nämns möjligheter med att använda konkret matematik som en del i
undervisningen. Under denna rubrik nämns vilka begränsningar som kan finnas med konkret
matematik.
Ahlberg (2000, s.52) skriver att det är viktigt att elever arbetar med olika hjälpmedel och inte
fäster sig för mycket vid ett enda laborativt material. Risken finns att eleverna känner sig
alltför beroende av materialet och tycker att det är jobbigt att klara sig utan det och på så sätt
18
få svårt att släppa materialet. Det som också kan ske är att ett barn som skulle behöva ett
laborativt material som stöd inte vill använda det för att det kan kännas pinsamt eller
obehagligt att använda det inför klasskamraterna. Wistedt (1992, ss. 65, 111-112) skriver
också om att det finns problem med att vardags anknyta matematiken i skolan på grund av att
vi inte kan vara säkra på att eleverna lär sig matematik. De intressanta matematiska
aspekterna av sammanhanget kan gås miste om. Wistedt menar att vardagsmatematiken har
en plats i skolan men att det viktiga är att komma ihåg att själva övningarna inte ger någon
matematisk förståelse i sig. Många elever förlorar sig i de konkreta exemplen som ges och
missar då vad de är exempel på. Det finns dokumenterat i tidigare forskning att elever kan
fastna i konkretioner. Wistedt refererar i sin text till Bergqvist (1990) som berättar om elever
som ska lära sig om solsystemets uppbyggnad genom att konstruera en modell av ballonger i
papier maché. Eleverna blir i detta konkreta exempel så upptagna av att blåsa ballonger i rätt
storlek att de inte tar in syftet med övningen. Wistedt anser att om eleverna ska kunna
använda sig av de erfarenheter de skapat i matematikinlärningen måste de ha relevanta
erfarenheter att knyta an till samt måste eleverna även göras medvetna om dessa erfarenheter.
De måste se erfarenheterna i nya sammanhang. Riesbeck (2008, ss. 48-49) har gjort en studie
där det beskrivs hur en undervisning fortlöper. Eleverna har av sin lärare fått i uppgift att i en
grupporganiserad verksamhet bevisa att triangelns area är hälften av en rektangel. Eleverna
ska lösa uppgiften med hjälp av konkret material, de ska klippa, färglägga, bevisa samt
diskutera sig fram. De har även fått tillgång till ett papper där de kan se en triangel i en
rektangel. De svårigheter som eleverna stöter på är att de inte förstått lärarens budskap, det är
inte tydligt nog samt att de inte har ett språk för att förklara vad de gör och tänker. Elevernas
samtal förs på ett vardagsspråk vilket gör det svårt att förena det med det matematiska
språket. Läraren försöker förankra de geometriska begrepp som eleverna behöver men dessa
försvinner i de laborativa övningarna som eleverna gör i gruppen på grund av att de inte är
förankrade. Vidare menar Riesbeck (2008, ss. 61-62) att eleverna i denna uppgift pendlar
mellan att arbeta med konkret material och samtidigt med hjälp av matematiska tecken,
begrepp eller symboler försöka bevisa formeln för triangelns area utan att veta i vilken diskurs
de befinner sig i. Författaren menar att eleverna hamnar i olika diskurser när de försöker lösa
vardagsproblem och att det är svårt att förena dessa. I denna studie blir eleverna kvar i det
konkreta och på så sätt inte delaktiga i lärarens sätt att passera dessa diskursiva gränser. Ett
problem var också att varken läraren eller eleverna visste de gemensamma målen för
aktiviteten. Eleverna tar inte till sig de matematiska begrepp som läraren tänkt sig när de
arbetar med det laborativa materialet. Szendrei (1996, s. 411, 423-424) beskriver faror med att
19
använda sig av konkret material i sin undervisning. Faror som hon ser är om lärarna inte har
kunskapen om materialet som används kan det bidra till att materialet inte används på rätt sätt,
om tiden man lägger ner på användandet av konkret material återfås samt om kunskapen
eleverna får genom användandet av konkret material är effektivt i vardagen. Författaren
menar att konkret material kan vara både till nytta och till skada. Användandet av material i
undervisningen ska planeras och användas med försiktighet. D’Angelo och Iliev (2012, s.5)
uttrycker begränsningar med användandet av laborativt material. Elever kan se materialet som
leksaker vilket innebär att läraren måste introducera materialet. Genom att läraren visar hur
materialet används kan eleverna fysiskt se hur materialet ska användas. Lärarna måste även
noggrant planera lektionerna där användandet av material förekommer samt måste läraren
vara aktiv.
3.7
Var kommer läroboken in?
Till störst del är det lärarna som är ansvariga vid inköp av läromedel vilket innebär att det är
läraren som själv avgör valet av vilken lärobok som ska användas i undervisningen. Rektorn
har det ekonomiska ansvaret i denna process på grund av fördelningen av de ekonomiska
resurserna. På detta sätt är rektorn endast lite involverad vid inköp av läromedel
(Skolinspektionen 2011, s. 6-7). I Skolverkets rapport, Lusten att lära – med fokus på
matematik (Skolverket 2003, s.28), står det att matematik verkar vara det ämne som är mest
beroende av en lärobok. Författarna menar att detta kan vara både på gott och ont. Ett bra
läromedel kan bidra till en positiv utveckling av undervisningen men samtidigt kan ett
ensidigt användande av läroboken göra matematiken enformig vilket kan leda till att elever tar
avstånd till ämnet. Undersökningen som Skolverket gjort visar att läroboken har en
dominerande roll i undervisningen samt att läroboken har en betydande roll vad gäller lust och
olust inför elevernas matematiklärande. Detta gäller delvis i de tidigare åren men är mer
uppenbar från år 4-5 och uppåt vilket också inkluderar gymnasiet och vuxenutbildning.
Matematikens innehåll, upplägg och undervisning domineras av läroboken. Eftersom
läroboken används till stor del i de svenska klassrummen skapas det problem på grund av att
lärobokens innehåll ofta endast fokuserar på att räkna utifrån lösta exempel (Skolinspektionen
2009, s.17). Genom denna form av undervisning begränsas eleverna att utveckla andra
kompetenser. Ett sätt att komma från detta problem är att komplettera uppgifterna i läroboken
med andra uppgifter. Malmer (1990, s.46) anser att läromedel i allmänhet tar upp avsnitt som
är tematiska som exempelvis verklighetsanknuten matematik. Exempel på områden av denna
20
art som tas upp i läroböcker kan vara posten, klockan, kommunikation och skogen. Dessa
områden har ofta uppgifter som är bra utformade och det finns ofta många övningsexempel
till varje område. Malmer menar att det i läroboken finns uppgifter som är strukturerade och
tillrättalagda samt försedda med facit. Detta kan man inte säga om verkligheten utan den är
ofta komplicerad och svårtolkad. Malmer anser därför att det är viktigt att lärare använder
läroboken som utgångspunkt för undervisningen. Johansson (2006, ss. 9, 27-30) undersöker i
sin avhandling lärobokens styrande roll i klassrummet. Johansson beskriver sin egen
uppfattning av ämnet matematik där hon minns ämnet som nästintill definierbart med en
lärobok. Hur bra man var mättes i antalet sidor man hade hunnit med att räkna i boken. Detta
är ofta kulturen i våra svenska klassrum när det gäller matematik. I Sverige är läraren ansvarig
för undervisningen samt innehållet i lektionen. Detta kan leda till att utbudet av läroböcker i
matematik blir smalt på grund av att utvecklingen av läroböcker följer efterfrågan och
förväntningarna på själva boken. Om lärare väljer samma typ av lärobok blir valet av
läroböcker på marknaden begränsad. På detta sätt är det läraren som blir ansvarig för vilken
typ av läroböcker som finns på marknaden. Läroboken underlättar det dagliga arbetet för
läraren och genom att använda sig av en lärobok minskar arbetsbördan för läraren. Det är
mycket tid som går förlorad för läraren om han/hon ska utveckla och komma på nytt material
från grunden. När det kommer till individualisering finns det oftast i läroböckerna även
uppgifter som är graderade efter svårighetsgrad vilket gör att boken även kan individualisera.
Detta gör undervisningen i matematik relativt enkel för lärarna. I Sverige är traditionen med
läroböcker i matematik djupt rotad och många förväntar sig att läraren använder en lärobok
just för att kunna vara säker på att eleverna lär sig det som ska lära sig. Är läraren inte säker i
ämnet kan läroboken vara en säkerhet att luta sig tillbaka på. Johansson menar att
lärarstudenter måste få hjälp med att välja vilka läroböcker som är bra att använda sig av samt
hur de ska användas. Läroboken ska vara en ram för undervisningen där läraren bestämmer
hur styrande denna ram ska vara. I rapporten kommer Johansson fram till att det är självklart
att lärare kan avvika från läroboken. Läraren måste utvärdera boken och hitta dess potentialer
samt begränsningar. Läroboken ska vara stöd till undervisningen, det vill säga att man ska
utveckla det redskap som läroboken redan är. Boken Matematik från början består utav ett
urval av författartexter varav en text är skriven av Ahlberg som forskar inom undervisning
och barns lärande i matematik. Ahlberg (2000, ss. 21-22) menar att lärare har ett varierat
arbetssätt gällande läroboken. Några lärare arbetar med stödet av en lärobok medan andra inte
alls använder sig av en lärobok. Författaren anser att det måste få ta tid för lärarna att överge
”den trygga” läroboken och övergå till ett annat arbetssätt. Om man väljer att övergå till ett
21
annat arbetssätt än att följa boken är det viktigt att man har tydliga mål med sin undervisning
och en fast struktur i sitt arbete. Som nämndes ovan är variationen stor bland hur lärare
använder sig av läroboken. Ahlberg har funnit tre olika inriktningar som förekommer i
undervisningen. Den första inriktningen är att läraren endast använder sig av läroboken. Den
andra inriktningen är att läroboken är den huvudsakliga utgångspunkten. Den tredje
inriktningen är att läraren utgår från barnens erfarenheter och planerar undervisningen utifrån
detta samt att läroboken endast används till färdighetsträning. Fortsättningsvis skriver
Ahlberg att forskare samt matematikdidaktiker menar att det finns en risk att formalisera
undervisningen för tidigt genom att barnen arbetar med abstrakta begrepp och symboler som
inte utgår från barnens eget sätt att tänka. Oftast tycker barnen det är roligt att få en lärobok i
matematik men det är inte alltid den har en positiv påverkan på barnet lärande.
Undervisningen måste ha en utgångspunkt i barnens egen föreställningsvärld om de ska ges
möjligheter till nya erfarenheter.
3.8
Att konkretisera och lärarens roll
Löwing (2006, ss. 115-130) menar att konkretisering är en väg till abstraktion. För att
eleverna ska kunna abstrahera måste de veta vad som ska abstraheras. På grund av detta bör
undervisningen grundas på något som eleverna redan är bekanta med. Det som ska
abstraheras kan exempelvis knytas till en situation eller metafor som eleverna redan är
bekanta med. Man kan även använda sig av ett material som hjälp för att åskådliggöra det
som ska abstraheras. Det som är beskrivet ovan kan sammanfattas i ordet konkretisering.
Löwing menar att om man arbetar med laborativt material och inte abstraherar efteråt kan
man inte kalla det för konkretisering utan anser då att det endast är manipulation. Vidare
skriver författaren att skolans elever i verkligheten inte lär sig matematik genom att göra utan
istället genom att reflektera över det som görs. Meningen med konkretisering är att bidra till
en förståelse och att bygga upp ny kunskap utifrån de erfarenheter som eleverna redan har.
Konkretiseringen av matematikundervisningen kan ske på flera olika sätt. Många lärare pratar
ofta om konkret material som om materialet hade ett eget liv men Löwing menar att det
faktiskt är så att materialet inte är levande utan att det är dött och att det endast är lärarens
användning av materialet som kan ge det liv. Meningen med att konkretisera är att man vill
åskådliggöra ett matematiskt begrepp, samband eller en operation med hjälp av ett material,
en erfarenhet eller metafor. På så sätt används konkretiseringen som ett stöd för språket för att
få eleverna till att förstå. Men som nämnts tidigare måste användandet av ett konkret material
22
kopplas till en idé eller för att matematiken ska få ett djup. När eleverna har abstraherat, vilket
innebär att eleverna har förstått den idé man vill belysa, är det viktigt att eleverna får tänka
med utgångspunkt i den nya nivån. Om man inte låter eleverna göra detta hindrar man dem
från att expandera sitt vetande. I Skolverkets rapport (2011a, s. 29) skriver Löwing,
Fredriksson och Färjsjö att det gäller att ha rätt fokus när man använder sig av konkretisering.
Det är lärarens matematikdidaktiska ämneskunskaper som är av betydelse så att läraren
använder materialet på ett sätt som leder till de kunskapsmål som finns. Mycket av det
material som finns kan användas på många olika sätt med olika syften och här är det lärarens
uppgift att bestämma vilken matematik och vilket tänkande som ska synliggöras. Det är alltså
inte tillgången på material som är det viktiga utan det viktiga är hur materialet används.
Szendrei (1996, ss.429-433) menar att det inte är lätt för en lärare att planera en process från
det konkreta till det abstrakta och att lärarens roll i detta arbete är avgörande. Materialet i sig
är en artefakt som genom läraren får en mening om läraren använder materialet på rätt sätt.
Om materialet leder till konkretisering beror på läraren och dess kunskaper. D’Angelo och
Iliev (2012, s.3-5) skriver att lärarens support är vital i användandet av laborativt material.
Läraren måste veta när, varför och hur det laborativa materialet ska användas på det mest
effektiva sättet. Läraren måste även ha kunskaper som gör att de kan ställa givande frågor till
eleverna i situationer där en möjlighet till lärande uppstår.
3.9
Internationella studier
Nedan presenteras de resultat som presenterats i den senaste rapporten från TIMSS och PISA.
Jag har valt att ta med dessa resultat på grund av de försämrade resultaten i matematik bland
elever i den svenska grundskolan.
3.9.1
TIMSS
TIMSS är en förkortning av Trends in International Mathematics and Science Study och
organiseras av IEA. Länder från hela världen deltar i TIMSS och studien genomförs vart
fjärde år. De kunskaper som undersöks i studien är matematik och naturvetenskap i årskurs 4
och årskurs 8. TIMSS består av en förstudie och en huvudstudie, en förstudie genomförs för
att korrigera mätmetoder och mätinstrument inför huvudstudien. Syftet med studien är att
beskriva och jämföra elevers prestationer och att redovisa elevers erfarenheter av och attityder
till matematik och NO. Detta sker både nationellt och internationellt. Ett annat syfte med
studien är att försöka förklara och förstå trender inom länder och undersöka skillnader i
23
prestationer mellan länder. Detta sker mot bakgrund av skolans organisation, elevens attityder
och situation samt lärarens undervisning. Förutom ovanstående syften mäter och jämför
studien även skillnader mellan olika länders skolsystem. På så sätt kan stöd för förbättringar i
matematik och NO ges samt kan länderna upptäcka sina egna systems svaga och starka sidor
vilket kan bidra till en förbättrad skola (Skolverket 2013). Den senaste undersökningen
genomfördes 2011 och var den fjärde studien att genomföras. Resultaten i denna studie visar
att svenska fjärdeklassare har förbättrat sina kunskaper i naturvetenskap medan
åttondeklassarnas resultat i matematik har försämrats. Studien har även kommit fram till att
svenska elever lär sig mindre i matematik och naturvetenskap mellan årskurs 4 och 8 än i
andra länder. Resultatet i matematikkunskaper för årskurs 4 visar eleverna ett lägre resultat
om man jämför med genomsnittet för eleverna i EU/OECD-länderna. Om man jämför med
studien som genomfördes år 2007 så är kunskapsnivån i matematik bland elever i årskurs 4
oförändrad. Vad gäller elever i årskurs 8 är resultatbilden i jämförelse med andra länder
densamma som i årskurs 4. Svenska elevers resultat i årskurs 8 har försämrats markant om
man tittar på perioden från år 1995 till år 2011 dock har hastigheten på försämringen trappats
ner efter 2003. Studien från 2011 visar att elevernas intresse för matematik och
naturvetenskap är stort i årskurs 4 men svagt i årskurs 8. Denna undersökning är möjlig att
göra då samma årskull som deltog i årskurs 4 i TIMSS 2007 deltog i årskurs 8 i TIMSS 2011.
Resultaten visar även att elever med välutbildade föräldrar presterar bättre än elever som har
föräldrar med lägre utbildning. Elever med mer fördelaktig socioekonomisk bakgrund tycker
bättre om att räkna samt har i större utsträckning en hemmiljö som stimulerar lärande
(Skolverket 2012).
3.9.2
PISA
PISA är en studie som genomförts vart tredje år och står för Programme for International
Student Assessment. Det är en internationell studie som undersöker elevernas förmågor i
matematik, naturvetenskap och läsförståelse. Studien undersöker i vilken grad
utbildningssystemet bidrar till att femtonåriga elever är rustade att möta framtiden. Vart tredje
år som studien genomförs är ett av ämnena som undersöks huvudämne men alla
kunskapsområden undersöks varje gång. Detta gör det möjligt att jämföra över tid. Tonvikten
läggs på det livslånga lärandet och att eleverna fortsätter att lära sig under hela livet. Frågan
som ställs i undersökningen är om hur 15-åringar på ett konstruktivt sätt klarar att analysera,
resonera och föra fram sina tankar och idéer. Syftet med PISA är att öka förståelsen för
24
orsakerna till och konsekvenserna av observerade skillnader i förmåga. Ett annat syfte är att
ge politiker goda empiriska underlag. Genom undersökningarna i PISA kan man få
återkommande mätningar av resultat. Länderna kan upptäcka sina egna systems svaga och
starka sidor vilket kan bidra till en förbättrad skola (Skolverket 2014b). Den senaste
undersökningen genomfördes i mars år 2012. Det var 4700 15-åringar som deltog och dessa
barn var fördelade på 209 skolor. 2500 av dessa barn gjorde även ett digitalt prov. Utöver
proven besvarades även en enkät av eleverna där det till exempel fanns frågor om bakgrund,
lärande, engagemang samt motivation. Skolornas rektorer har också fått besvara frågor om till
exempel lärandemiljö, elevernas inställning och beteende samt lärarnas kompetens och
engagemang. Huvudämne för undersökningen har för andra gången varit matematik vilket har
gjort det möjligt att jämföra matematikens utveckling i skolan sedan 2003. Då detta är den
femte PISA-undersökningen har man kunnat göra trendanalyser i alla tre ämnen.
Undersökningen visar att svenska 15-åringars kunskaper i matematik, läsförståelse och
naturvetenskap fortsätter att försämras. I den senaste undersökningen presterar 25 av 34
länder bättre än Sverige i matematik. Resultaten i alla tre kunskapsområden har försämrats
ytterligare mellan 2009 och 2012. I den senaste undersökningen presterar svenska elever
under OECD-genomsnittet i matematik, läsförståelse och naturvetenskap. Nedgången i
matematik kunskaperna är lika stor hos lågpresterande elever som hos högpresterande elever.
Pojkar har försämrat sina resultat i större utsträckning än flickor inom alla tre
kunskapsområdena (Skolverket 2014a).
25
4
Teoretisk förankring
Nedan följer en beskrivning av det konstruktivistiska perspektivet och vilka teoretiker som
ligger till grund för denna teori.
4.1
Det konstruktivistiska perspektivets utveckling
Idén om att kunskap byggs upp genom ett aktivt deltagande istället för ett passivt mottagande
grundar sig i Socrates. Denna idé omfattas idag av de som kallar sig konstruktivister. Kunskap
kan inte överföras från förälder till barn eller från lärare till elev utan måste aktivt byggas upp
genom varje individs tankeförmåga. Den radikala inriktningen inom konstruktivismen
härstammar från den revolutionerande ståndpunkt som Jean Piaget förespråkade under 1930talet (Glaserfeld 1991, ss.xiii-xix). Piaget var inte den första som föreslog att vi konstruerar
våra föreställningar, skillnaden var dock att Piaget var den första som startade denna
utvecklingsprocess (Glaserfeld 1995a, ss. 1-18). Under 70 år tillverkade Piaget ett stort antal
böcker och artiklar samt redigerade rapporter vilket gör det svårt att få en sammanhängande
förklaring gällande kognitiv utveckling. Piagets tankar och idéer utvecklades och förändrades
under årens gång vilket även visade sig i hans verk. Eftersom Piaget producerade många verk
är det svårt att summera hans idéer utifrån endast ett fåtal av hans böcker. Den som gör det får
ett mycket begränsat perspektiv samt blir de omedvetna om innebörden från andra delar av
Piagets verk. Det finns ett stort antal psykologiböcker och artiklar som innehåller en
ofullständig syn på Piagets teori och som även i vissa fall kan innehålla en förvrängd tolkning
av hans grundläggande idéer. Det finns många recensenter som har missat eller med vilja har
bortsett från det revolutionerande synsätt som låg till grund för Piagets kunskapsteori. Piaget
tog ett medvetet steg utanför den västerländska filosofiska traditionen och utan denna
förståelse är det svårt att få en fullständig syn på hans kunskapsteori och av den modell han
byggde upp gällande barns införskaffning av kunskaper. Piaget var pionjär gällande det
konstruktivistiska synsättet av intellektuella funktioner under 1900-talet. Synsättet var
okonventionellt när Piaget utvecklade det under 1930-talet och än idag går det mot en
godtagbar syn. Det är ett obekvämt synsätt på grund av att det kräver drastiska förändringar
av några fundamentala begrepp som har tagits förgivet i flera år långt tillbaka i historien.
Bland dessa begrepp finner man ord som verklighet, sanning och uppfattningen av vad
26
kunskap är samt hur vi tar till oss kunskap. En del av Piagets tidigare verk innehåller
uttalanden som motsäger uttalanden i senare verk vilket visar på en utveckling av hans
synsätt. Det som motiverade Piaget i sin forskning var den process som behandlade de
intellektuella funktionerna hos barn. Han menar att kunskap uppstår från det aktiva subjektets
aktivitet, fysisk eller mental, och att det är en mål riktad aktivitet som ger kunskapen dess
struktur (Glaserfeld 1995a, ss.53-56).
4.2
Det konstruktivistiska perspektivets lärandeteori
I Piagets konstruktivism finns en kunskapsteori som grundar sig i en biologisk liknelse där
organismen måste anpassa sig till omgivningen för att överleva. För att människans
intelligens ska kunna förbli livskraftig måste den genomgå en anpassningsprocess. Dessa
anpassningsprocesser benämns assimilation samt ackommodation och utifrån dessa processer
formas personliga scheman (Säljö 2010, s.60). Assimilation och ackommodation är centrala
begrepp inom konstruktivismen. Med assimilation menas den process då individen tolkar nya
erfarenheter med hjälp av redan befintliga begreppsmässiga strukturer. Dessa redan befintliga
strukturer kan även benämnas som scheman (Glaserfeld 1995a, s.62). Däremot vid
ackommodation förändras vårt sätt att se på verkligheten. Det uppstår en obalans mellan vår
föreställningsvärld, våra kognitiva scheman och vår uppfattningsförmåga av verkligheten. För
att få balans igen måste en förändring av de kognitiva strukturerna ske vilket i sin tur leder till
att vi ackommoderat en ny typ av händelse. Därefter har vi fått nya kognitiva scheman vilket
tillåter oss att assimilera en ny nivå av händelser (Engström 1998, s.22). Denna kunskapsteori
kan sammanfattas med att kognitivt lärande och förändring äger rum när ett schema, istället
för att producera det förväntade resultatet, leder till perturbation som i sin tur leder till
ackommodation som återetablerar balans (Glaserfeld 1995a, s.68).
Konstruktivismen bör ses som en diskurs då den består av en stor teoretisk spännvidd. Detta
synsätt består det vill säga inte av någon homogen teoribildning utan kan beskrivas som ett
sätt att se på kunskap, lärande och undervisning. Konstruktivismen representerar därav inte
det korrekta perspektivet utan det viktiga är att förstå att det representerar ett sätt. Eftersom
konstruktivismen är en vetenskaplig verksamhet förändras och utvecklas detta perspektiv
genom att forskningens fokus ändras till andra områden och genom att nya frågor ställs inom
detta perspektiv. Inom konstruktivismen finns det olika inriktningar vilka har olika betydelser
27
både teoretiskt och praktiskt (Engström 1998, s.22; 144-145). Under denna kategori kommer
konstruktivismen att ta sin utgångspunkt i den radikala konstruktivismen.
I början av 1970-talet blev Piaget återigen aktuell i Amerika och fokus låg då på
konstruktivismen istället för på den stadieteori som Piaget tidigare hade presenterat. Författare
började försöka förklara den konstruktivistiska inriktningen men de verkade omedvetna om
Piagets grundläggande ståndpunkt i denna kunskapsteori. Piaget hade stor påverkan på
Glaserfeld och hans sätt att tänka vilket gjorde att när han undervisade i kunskapsteori ville
skilja på sitt synsätt på konstruktivismen som hans studenter kom att möta i annan litteratur.
På så sätt formade Glaserfeld ordet radikal med följande två grundsatser (Glaserfeld 1995a,
ss.1-18),
•
Knowledge is not passively recieved but build up by the cognizing subject,
•
The function of cognition is adaptive and serves the organization of the experimental
world, not the discovery of ontological reliaty (Glaserfeld 1995a, s.18).
Den radikala konstruktivismen menar att konsten med undervisning har lite att göra med
själva kunskapen i sig, dess grundläggande syfte måste vara att utveckla konsten att lära sig.
Konstruktivismen är en teori av kunskap som skiljer sig från den traditionella epistemologin.
Konstruktivismen accepterar inte de traditionella grunderna gällande kunskap där skolorna ses
som institutioner som ska överföra objektiv kunskap eftersom konstruktivismen ser kunskap
som instrumentell. Inom konstruktivismen är det viktigt att eleverna får grunden till varför
speciella sätt att agera och tänka är önskvärda. Kunskap som erhålls måste vara trovärdig att
fungera. Motivationen hos eleverna höjs om de kan se hur det kan vara användbart att
använda kunskapen. På det sätt som skolsystemet är uppbyggt leder till en vidsträckt
uppfattning om att man studerar för att klara en tentamen istället för att bli mer intellektuellt
kompetent. Detta gör att den värdefulla tillgången på kunskap ersätt med ett pappersvärde i
form av ett certifikat eller examina. Det finns skiljaktigheter med hur kunskaper på bästa sätt
ska införskaffas och grunden i den nuvarande krisen gällande undervisning är många och
olikartade. Även om en förändring av filosofin genomfördes skulle det inte med detsamma
bota denna problematik. Det tar tid att förändra attityder och förväntningar. Konstruktivismen
berättar inte för läraren om nya sätt att arbeta men den kan berätta varför vissa inställningar är
kontraproduktiva (Glaserfeld 1995a, ss.176-192). Inom den radikala konstruktivismen
konstrueras kunskap av individen genom en adaption av deras subjektiva upplevelse
(Glaserfeld 2000, s.4). Kunskapen handlar om vad vi kan göra i vår erfarenhetsbaserade värld
(Glaserfeld 1995b, s.7). Matematisk kunskap är inte något en individ skaffar sig genom att
28
lyssna på en lärare eller genom att lösa uppgifter i en lärobok. Eleverna måste själva
konstruera denna kunskap genom att aktivt söka och skapa mentala samband. När en elev
aktivt kopplar ihop hans eller hennes fysiska och sociala miljöer med speciella numeriska och
logiska begrepp uppnås en känsla av ägandeskap. Denna känsla av ägandeskap är oerhört
viktigt när man inom konstruktivismen pratar om skolmatematik. Lärare har uttryckt att
elever tidigare uppfattat skolmatematiken som traditionell där kunskapen redan är bestämt
och ägs av läraren eller läroboken. Dock skedde en förändring under 1980-talet då en mängd
olika konstruktivistiska matematiklärare runt om i världen försökte förändra detta synsätt. De
önskade att lärare skulle skapa undervisningsmiljöer där eleverna själva konstruerade
matematiken och på så sätt fick en känsla av ägandeskap över den matematik de lärde sig
(Ellerton 1992, ss.4-5). Den konstruktivistiska filosofin ger lärarna möjlighet att använda sin
spontana fantasi där det fantasifulla lärandet finns som bas. Det är av vikt att läraren inte
misslyckas med att ge uttryck för tron på att eleven har förmågan att tänka. Eleverna har det i
sig i form av en förmåga att konstruera och inte genom färdiga föreställningar (Glaserfeld
1995a, ss.176-192). Om elever ska kunna lösa ett problem i matematiken måste de ha en
begreppsmässig förståelse. Eleverna måste även kunna lösa problem med stor variation. De
elever som bygger en repertoar av begrepp kan bättre lyckas med nya problem som de möter.
Dessa begrepp kan inte överföras från lärare till elev utan begreppen måste ha uppfattats av
eleven. Den begreppsmässiga utvecklingen hos en elev som tar sin utgångspunkt i
konstruktivismen skapar ett samband mellan lärare och elev samt skapar en bra stämning hos
eleverna (Glaserfeld 1995b, s.4-5). Motivation för fortsatt lärande hos individen utvecklas
genom att leda eleven till att själv uppleva tillfredsställelse som finns i problemlösning.
Läraren måste lyssna på eleven samt tolka vad eleven gör och säger och försöka bygga upp en
modell för elevens begreppsmässiga struktur. Så länge räkneexempel från läraren ligger
utanför elevens kunskapsområde blir det svårt för eleven att ändra sin tankegång. Det är av
stor vikt att lära studenterna att se varför en särskild idé eller teori är gångbar i ett givet
praktiskt sammanhang än att presentera det som en priviligierad sanning (Glaserfeld 1995b,
ss.14-15) En variation av källor ger eleverna motivation till att lära vilket bidrar till att läraren
måste vara entusiastisk i sin undervisning. Undervisningens aktiviteter måste vara noga
utvalda och få eleverna att känna sig lustfyllda och trygga. Inom det konstruktivistiska
synsättet är det nödvändigt att eleverna får komma i kontakt med en variation av perceptuella
situationer där den begreppsmässiga konstruktionen är i fokus. Begreppen finns inte i fysiska
saker utan måste byggas upp individuellt genom reflektiv abstraktion. Med reflektiv
abstraktion menas att arbeta mentalt genom att bli kompatibel med att arbeta med det material
29
som finns till hands. Fysiskt material som finns till hands är användbara men de måste ses
som ett tillfälle att reflektera och abstrahera (Glaserfeld 1995a, ss.176-192).
4.3
Konstruktivismen och det sociala samspelet
Som tidigare nämnts har konstruktivismen som vuxit fram under senare tid grundat sig på
Piagets begrepp om assimilation och ackommodation av kunskap samt reflektiv abstraktion.
Detta kan förenklas genom att säga att man skapar sig en förståelse utifrån sina erfarenheter i
förhållande till existerande kunskap. Den radikala konstruktivismen har bidragit till givande
arbeten om matematikinlärning och att många författare brottas med hur problemet gällande
hur det sociala ska fogas in i konstruktivismen (Engström 1998, ss.26-28; 106-109). Om man
ser till den radikala konstruktivismen inriktar den sig utifrån ett individualistiskt perspektiv
vilket gör att man kan få en känsla av att Piaget utesluter social interaktion och att betydelsen
av sociala faktorer inte spelar in när kunskap konstrueras (Glaserfeld 1995b, ss.11-12). Piaget
har blivit kritiserad för att inte ha med det sociala samspelet i sitt synsätt vilket inte stämmer.
Piaget har med i nästan alla sina verk att de viktigaste orsakerna till att ackommodation
uppstår genom socialt samspel. Dock lade han inte ner mycket tid på det sociala samspelet
och hur detta samspel skulle fungera utan ägnade sig istället åt de logiska strukturerna. När
man pratar om socialt samspel syftar man oftast på språket. Det sociala samspelet har
grundläggande betydelse när man ska förvärva nya begrepp. Den sociala komponent som
finns med i utvecklingen av den begreppsmässiga kunskapen har kommit att kallas för social
konstruktivism. Den sociala konstruktivismen är något som utvecklats under senare tid inom
matematiken och grundar sig på teorier från Piaget vilket bidrar till att den sociala
konstruktivismen är en utveckling av den radikala konstruktivismen (Glaserfeld 1995b, ss.1112).
Utgångspunkten för denna kategori är den sociala aspekt av konstruktivismen som Glaserfeld
menar är nödvändig för vidare utveckling. Aspekten riktar sig mot att lokalisera studenters
matematiska utveckling i sociala och kulturella sammanhang och samtidigt betrakta lärandet
som en process av anpassningsbara omorganiseringar. Genom aktivitet bidrar den individuella
eleven till en utveckling av de matematiska övningar som utförs i klassrummet och denna
aktivitet kan både möjliggöra och begränsa eleverna i sin individuella process. Varken den
individuella studentens matematiska resonemang eller mikrokulturen i klassrummet är
tillräcklig om inte de andra i klassrummet är delaktiga. Det finns ett beroendeförhållande
30
mellan studenternas aktivitet och övningarna de deltar i. Det måste finnas ett fokus på den
matematiska utvecklingen som dels den individuella studenten gör samt av
klassrumsgemenskapen där individerna deltar (Cobb 2000, ss.152-156).
Ordet social som ett begrepp framför ordet konstruktivism är av betydelse och innefattar det
väsentliga samspelet av lärande samt vikten av språket. En stor del av lärandet sker genom
språk och andra symboliska system. Att lära genom rörelse och att röra förekommer också i
det sociala sammanhanget där språket också är en central del (Watson 2000 s.136). Glaserfeld
påpekar även språkets betydelse i lärandet och ser det som ett nödvändigt verktyg, särskilt i
arbetet med problemlösning. Styrkan i språket som ett pedagogiskt verktyg förstärks om
eleverna upplever problemlösningen som intressant (Glaserfeld 1995a, ss.176-192).
4.4
Argumentation för val av inriktning inom det teoretiska perspektivet
Eftersom studien är inriktad på konkret matematik som en del av undervisningen har jag valt
att placera min studie inom ramen för ett social konstruktivistiskt perspektiv.
Det är problematiskt att beskriva den sociala konstruktivismen då den har flera olika
versioner. Den skillnad som är av störst vikt inom den sociala konstruktivismen är om den tar
sin utgångspunkt i det individualistiska perspektivet eller det sociala och om de är baserade på
teorier från Piaget eller Vygotskij. Den sociala konstruktivism som grundar sig på teorier från
Piaget ses som en utveckling av den radikala konstruktivismen. Den sociala konstruktivism
som grundar sig på teorier från Vygotskij är en nyare version av konstruktivism och detta är
inte en form av konstruktivism utan det är en form av socialkonstruktivism (Engström 1998,
ss.26-28). Denna studie kommer att utgå från den sociala konstruktivism som utvecklats från
den radikala konstruktivismen. Det innebär att det teoretiska perspektivet i studien grundar sig
på utvecklingar från Piagets kunskapsteorier. Studien bygger på att förståelse skapas utifrån
egna erfarenheter i förhållande till existerande kunskap där den sociala interaktionen och
betydelsen av sociala faktorer spelar in när kunskap konstrueras (Engström 1998, s.106-109).
Lärare som använder sig av laborativt material i sin undervisning skapar ett klassrum som är
baserat på konstruktivismen. Eleverna skapar sin egen kunskap genom att integrera med
världen runt omkring dem. Eleverna är inte passiva mottagare av matematiska idéer utan
eleverna är aktiva så inlärning kan ske. Genom att eleverna använder sig av laborativt
material som de kan samspela med bygger de nya schema genom att skapa ett sammanhang
mellan gamla och nya erfarenheter (D’Angelo och Iliev 2012, s.4).
31
5
Metod och genomförande
I det följande kapitlet redogörs för vilka metoder som jag har valt för att kunna besvara de
frågor som uppsatsen bygger på samt hur mitt genomförande har utförts. Vidare beskrivs det
urval samt de etiska aspekter som bör tänkas på vid en undersökning.
5.1
Metodval och datainsamlingsmetoder
För att få svar på mina frågeställningar har jag valt att använda mig av kvalitativa
undersökningsmetoder i form av intervju och observation. Jag ansåg att en kvalitativ
forskningsmetod bestående av intervju och observation var lämplig eftersom jag ville ta reda
på vilket sätt lärarna tillämpar konkret matematik i sin undervisning samt vilka möjligheter
och begränsningar det finns av att använda sig av konkret matematik i den dagliga
verksamheten. Genom intervjuer får jag möjlighet att få tillgång till lärarnas berättelser om sin
matematikundervisning. Min ambition med att komplettera intervjuerna med observationer
var för att få en djupare inblick i hur lärarna agerade i klassrummet och på vilket sätt de
arbetade med matematik under en lektion. Jag valde att göra observationen innan intervjun för
att de medverkande lärarna inte skulle påverkas av samtalet under intervjun och på så sätt
ändra sin tanke med kommande lektion som skulle observeras. Observationerna i denna
undersökning är en form av komplement till intervjuerna. Widerberg (2002, ss. 15-16) menar
att kvalitet handlar om egenskaperna eller karaktären hos någonting vilket leder till att den
kvalitativa forskningens syfte är att finna fenomenets innebörd eller mening. Författaren ger
exempel på vilken typ av frågor man brukar ställa vid kvalitativa undersökningar, dessa
exempel innefattar bland annat vad fenomenet betyder och vad fenomenet handlar om. Inom
den kvalitativa forskningen finns det olika angreppssätt som är anpassade efter
problemställningarna. Intervju samt observation tillhör de vanligaste metoderna vid
kvalitativa undersökningar.
5.1.1
Observation
Syftet med en observation var att få en djupare inblick i hur lärarna arbetade under en
matematiklektion samt hur de arbetade med matematik under lektionen. Enligt Widerberg
(2002, s.16) innebär observationer att man studerar, registrerar och tolkar andras kroppsliga
och språkliga uttryck och agerande. Jag valde att göra observationerna med de medverkande
32
lärarna innan de intervjuades. Detta valde jag på grund av att lärarna inte skulle påverkas av
samtalet under intervjun och på så sätt ändra sin tanke med kommande lektion som skulle
observeras. Widerberg (2002, s. 128-129) skriver att det finns för- och nackdelar med båda
sätten, det vill säga att utföra observationen före eller efter intervjun. En nackdel med att göra
observationen före intervjun kan vara att man har svårt att förstå den medverkande lärarens
agerande på grund av att man inte känner varandra. En nackdel med att göra intervjun före
observationen kan bidra med att både forskaren och den medverkande läraren känner sig
styrda och kontrollerade efter sina tidigare uttalanden och påståenden. Författaren menar dock
som en tumregel att man bör göra observationen före intervjun om man befinner sig i
personens egen kontext. Genom att följa upp en observation med en intervju kan man fråga
den medverkade om det man sett samt få deras kommentarer. Av etiska skäl bör en
observation följas av en intervju eller ett kortare samtal för att ge den medverkande en chans
att kommentera den bild vi fått samt den bild den medverkande tror att vi fått. Observationer
kan vara ett komplement till intervjuer och det är en observationsform som författaren
rekommenderar. Jag har valt att göra en öppen observation vilket enligt Holme och Solvang
(1997, s.111-113) är en observation där de deltagarna vet om och har accepterat att man
fungerar som en observatör. På så sätt kan man gå omkring fritt, ställa frågor samt titta på hur
saker fungerar i gruppen. Innan observationerna med de medverkande lärarna ägde rum
funderade jag på om jag skulle vara aktiv eller passiv i min observation. Jag tänkte att det får
vara upp till var och en av de olika observationerna jag ska göra då alla lärare och elever är
olika. Men i alla observationer jag genomförde hamnade jag i något mellanläge av aktivitet
och passivitet. Holme och Solvang (1997, s.115) menar att man kan delat aktivt eller passivt i
en observation. Genom att vara passiv kan man hämma de andras aktivitet, men motsatsen
kan också ske att gruppen blir mer aktiv för att kompensera observatörens passivitet. Genom
att vara aktiv tar man på sig en ledarroll och då är det observatören som styr utformningen av
aktiviteten och påverkan av observatören blir tydlig. Genom att istället hitta ett läge där man
är följsam och beter sig på ett sätt som gruppen förväntar sig ges den bästa möjligheten att
fungera på gruppens villkor. Observatörens effekt på gruppen blir i en sådan situation
obetydlig.
5.1.2
Intervju
Som tidigare nämnt valde jag att även använda mig av intervjuer i min undersökning. Enligt
Widerberg (2002, s.16) är intervjuer en samtalsform som forskaren använder för att få fram
33
andras muntliga uppgifter, berättelser samt förståelser. Intervjuer kan vara styrda eller så kan
intervjufrågor växa fram under intervjuns gång. En intervju som är styrd genom att frågor
ställs på samma sätt till intervjupersonerna är inte en kvalitativ intervju. Författaren menar att
vid en kvalitativ intervju ska den som intervjuar försöka få fram och följa upp just den
intervjuade personens uppgifter, berättelse och förståelse. Jag valde att använda mig av en
intervjuguide (se bilaga 2) som består av tolv frågor och är tänkt som en grund till samtalet.
Det kommer under intervjuns gång finnas utrymme för nya frågor samt följdfrågor som
uppkommer under intervjuns gång. Holme och Solvang (1997, s.101) skriver att man inte
använder sig av standardiserade frågeformulär i en kvalitativ intervju på grund av att det inte
ska finnas för stor styrning från forskaren vid intervjusituationen. Det som ska komma fram
under intervjun är undersökningspersonens egna uppfattningar och därför bör de få styra
intervjuns utveckling i största möjliga mån. Likaså har även forskaren innan intervjun en
tanke om vilka faktorer som är viktiga för samtalet. Dessa tankar kan forskaren skriva ner i en
manual eller en handledning som används till intervjun. Denna manual eller handledning
behöver inte följas till innehåll eller ordning men det är av vikt att intervjun täcker de
områden som manualen eller handledningen tar upp. Hänsyn måste tas till nya eller andra
idéer och uppfattningar som ersätter eller fördjupar de punkter som ingår i intervjumanualen.
Intervjun som jag genomförde ägde rum på skolan där den läraren som medverkade arbetar.
Intervjun skedde på den skola som läraren undervisar samt under lärarens arbetstid vilket
innebar att läraren som medverkade i intervjun inte påverkades privat vad gäller ekonomi
eller tid. Den tiden som lärarna förlorade på grund av intervjun var sin planeringstid eller
lunchrast. Widerberg (2002, s.93) menar att ett genomförande av en intervju på
intervjupersonens arbetsplats kan vara stressande för intervjupersonen då de inte kan koppla
bort jobbet på grund av att andra kan se och höra och bli nyfikna samt genom att de blir störda
mentalt och fysiskt genom exempelvis arbetskollegor eller telefoner. En möjlighet som
författaren nämner är att man hade kunnat välja ett arbetsneutralt ställe för intervjun som låg
nära intervjupersonens lokaler. Under intervjun valde jag att använda mig av en ljudinspelare
och att föra anteckningar. Widerberg (2002, s. 93) menar att anteckningar kan vara bra att föra
även om man använder sig av en ljudinspelare då detta är en säkerhetsåtgärd ifall ljudspelaren
inte skulle fungera. Likaså gör detta att man slipper stressen med att ha en ständig
ögonkontakt med intervjupersonen.
34
5.2
Urval
Förfrågan om att få intervjua samt observera lärare skickades ut till rektorerna på samtliga
skolor i en kommun i södra Sverige. Varför jag valde den kommunen som jag valde var på
grund av att de tidigare har varit utvalda till Sveriges bästa skolkommun. Därför fanns ett
intresse hos mig att undersöka hur lärare i denna kommun arbetar med konkret matematik.
Min utgångspunkt var att en klasslärare inom skolår 1 till 3 på respektive skola skulle
medverka, vilket maximalt skulle kunna ge 8 deltagare i undersökningen. Ytterligare en
utgångspunkt var att läraren under detta läsår skulle undervisa i matematik. Efter att jag
skickat ut förfrågan till rektorerna fick jag två svar. En rektor upplyste mig om att de endast
hade skolår 4 till 9 vilket gjorde det svårt för dem att medverka i undersökningen. På grund av
för lågt intresse i den utvalda kommunen valde jag att utöka min undersökning till ytterligare
en kommun i södra Sverige. Efter förfrågan i den nya tillagda kommunen fick jag tre svar
vilket gav mig 5 deltagare i min undersökning.
Urvalet av undersökningspersonerna är en avgörande del av den kvalitativa undersökningen.
Fel personer i urvalet kan leda till att undersökningen blir värdelös i relation till den
utgångspunkt man hade i början (Holme & Solvang 1997, s. 101). Först måste man formellt få
tillgång till undersökningspersonerna och det kan man göra genom att välja ut det område där
man ska genomföra undersökningen. Efter det kan man börja med att ringa in de enskilda
undersökningspersonerna. I kvalitativa intervjuer behövs inte slumpmässiga urval göras,
vilket man gör i kvantitativa undersökningar. Undersökningspersonerna väljs av forskaren
eller väljer de sig själva. Urvalen i kvalitativa undersökningar är ofta små. Det som är av vikt
är att få tillgång till handlingar och händelser som anses vara relevanta för undersökningens
problemställning (Ryen 2004, ss. 73-77).
5.3
Etiska ställningstaganden
När man gör en intervju samt en observation är det viktigt att tänka på de etiska
ställningstagandena. Jag har i min undersökning följt de fyra etiska regler som
Vetenskapsrådet har utformat. Dessa fyra regler omfattar informationskravet,
samtyckeskravet, konfidentialitetskravet samt nyttjandekravet (Vetenskapsråden 2002, ss. 714). Informationskravet handlar om att forskaren ska informera uppgiftslämnare och
undersökningsdeltagare om forskningens syfte samt vilka villkor som gäller för deras
deltagande. Det är av vikt att de medverkande får reda på att deltagandet är frivilligt, att de
35
kan avbryta sitt medverkande och att insamlade uppgifter endast används för den tilltänka
forskningen. Samtyckeskravet innebär att forskaren ska erhålla uppgiftslämnarens och
undersökningsdeltagarens samtycke. Är de undersökta under 15 år ska samtycke erhållas från
förälder/vårdnadshavare. De medverkande bestämmer själva om, hur länge och på vilka
villkor de ska delta. De ska kunna avbryta sitt medverkande utan negativa följder.
Konfidentialitetskravet innebär att de enskilda människorna som deltar i undersökningen inte
kan identifieras av utomstående vilket även innebär att det praktiskt sett ska vara omöjligt för
utomstående att komma åt uppgifterna. Den sista regeln, nyttjandekravet, handlar om att de
insamlade uppgifterna om de enskilda personerna endast får användas för forskningsändamål.
Personuppgifterna får inte användas, utom efter särskilt medgivande av den medverkande, för
åtgärder eller beslut som direkt kan påverka den medverkande personen.
5.4
Genomförande
Den första kontakten skedde med rektorerna i den utvalda kommunen vilket verkställdes
genom att ett informationsbrev (se bilaga 1) skickades ut per epost. Jag fick ett svar från tre
rektorer. Det första svaret innehöll information om att skolan endast hade skolår 4 till 9 vilket
gjorde det omöjligt för mig att ha med någon lärare i min undersökning från denna skola. De
andra två svaren innehöll kontaktuppgifter till två lärare som var intresserade av att medverka
i min undersökning. Den ena läraren som ville medverka önskade att bli kontaktad per epost
medan den andra ville bli kontaktad per telefon. Genom personlig kontakt med lärarna
bokades en tid för observation samt intervju. På grund av låg svarsfrekvens i min utvalda
kommun valde jag att utöka min undersökning till ytterligare en kommun i södra Sverige.
Genom att utöka min undersökning till ytterligare en kommun fick jag ytterligare intresse av
tre lärare som ville medverka. Lärarna ville kontaktas per telefon eller via epost. Genom
denna personliga kontakt bokades en tid för observation och intervju. Jag ville att
observationerna samt intervjuerna skulle ske innan eleverna hade slutade skolan under
vårterminen 2014. Detta var dock svårt vilket gjorde att de sista två observationerna och
intervjuerna skedde vid skolstart under höstterminen 2015. En observation, det vill säga en
matematiklektion, samt en intervju bokades in per medverkade lärare. Alla observationer och
intervjuer genomfördes under en period på fyra veckor innan sommarlovet samt under en
period på två veckor efter sommarlovet. Observationen gjordes på den skola där eleverna gick
och bestod av en matematiklektion. Jag var följsam under observationen för att inte vara för
passiv eller för aktiv i mitt deltagande under observationen. Observationen med en av de
36
medverkande lärarna kunde inte genomföras på bestämd dag på grund av att lärarens
arbetslag ändrade om i schemat och hade en heldag med andra aktiviteter. Läraren hade
försökt få tag på mig för att informera mig om detta men något tekniskt fel skedde med
eposten vilket bidrog till att denna information inte nådde fram till mig. Därför genomfördes
endast intervju med denna lärare. Intervjuerna genomfördes i det klassrum som läraren
undervisar i. Denna lokal var ledig att tillgå under den tid som intervjun var bokad. Tiden för
intervju uppskattades i förväg till ungefär 45 minuter. På grund av att lokalen var ledig under
pågående intervju kunde intervjuerna flyta på ostört. Intervjuerna hade utgångspunkt i de
frågor som finns i intervjuguiden (se bilaga 2) och intervjuerna genomfördes utan avbrott.
Innan intervjun startade hade jag frågat om tillåtelse av lärarna att spela in intervjuerna med
ljudupptagning. Jag förde anteckningar under både observationen samt intervjun.
5.5
Analysmetod
Jag har valt att använda mig av innehållsanalys som analysmetod av de intervjuer som jag
genomfört. Eftersom observationerna ligger som bakgrund till intervjuerna kommer inte dessa
att analyseras, observationerna fungerar som stimuli. Innehållsanalys tillhör den mest använda
analysmetoden och meningen med denna metod är att identifiera samband, mönster, likheter
och skillnader. Tillvägagångssättet vid en innehållsanalys börjar med att man samlar in data
som görs om till texter (Larsen 2009, ss.101-102). Innehållsanalys är en forskningsmetod som
handlar om att man gör en analys av dokument och texter. Dokumenten kan vara tryckta,
handskrivna eller finnas i elektronisk form. Dels kan man göra en kvantitativ analys där man
utifrån ett systematiskt och replikerbart sätt kvantifierar utifrån kategorier som formas i
förväg. Här specificerar man hur man klassificerar olika delar av råmaterialet till olika
kategorier. Ett annat sätt att använda sig av innehållsanalys är att göra en kvalitativ
innehållsanalys där man söker efter bakomliggande teman i det material som analyseras. En
kvalitativ innehållsanalys är detsamma som en etnografisk innehållsanalys. Det är denna
analysmetod som är aktuell i denna uppsats eftersom den bygger på en kvalitativ
undersökning. Som i de flesta etnografiska angreppssätten läggs tyngden på att kategorierna
ska visa sig utifrån en granskning av de data som är tillgängliga. Den kvalitativa
innehållsanalysen är det vanligaste tillvägagångssättet när det handlar om en kvalitativ analys
av dokument. Man söker efter bakomliggande teman i det material som analyseras. I denna
metod reviderar man kontinuerligt de teman eller kategorier som sållas fram utifrån
genomgången av dokumentet. Inledningsvis styrs undersökningen av kategorier men andra
37
kategorier tillåts och förväntas uppstå under studiens gång. Det vill säga en ständig jämförelse
mellan relevanta situationer, miljöer, stilar, bilder, innebörder samt nyanser. En av
skillnaderna mellan den kvantitativa och den kvalitativa innehållsanalysen är att i den
kvalitativa innehållsanalysen finns det en tydligare rörelse mellan begreppsbildning,
datainsamling, analys och tolkning. Som nämndes tidigare i texten innehåller den kvantitativa
innehållsanalysen ett par i förväg bestämda kategorier. I den kvalitativa innehållsanalysen
finns en viss initial kategorisering men utrymmet finns för att detaljera kategorierna efter
hand samt skapa nya kategorier. Strategin i den kvalitativa innehållsanalysen är sökandet efter
teman i de data man har som är central för de kodningsmetoder som används vid analysen
(Bryman 2011, ss. 281-283, ss. 505-506).
När man pratar om kvalitativ innehållsanalys är kodning den process där data bryts ner till
olika delar som benämns på ett eller annat sätt (Bryman 2011, s. 650). Texterna kodas och
klassificeras i teman eller kategorier för att sedan sortera datamaterialet i dessa teman (Larsen
2009, ss. 101-102). Det man brukar börja med vid kvalitativa analyser är som sagt en
kodning. Dessa bör man göra efterhand att materialet samlas in, det vill säga, börja med
kodningen så fort som möjligt. Genom att göra det kan man mildra upplevelsen av att drunkna
i data. Man börjar med att läsa igenom utskrifterna eller dokumenten utan att föra
anteckningar för att sedan läsa materialet ytterligare gånger då man med fördel kan skriva
notiser i marginalen om viktiga iakttagelser eller kommentarer. Till en början är
kommentarerna grundläggande och det man utför då är en kodning av materialet. Man
framställer en katalog eller index över termer som bidrar till den tolkning man gör av
materialet. Därefter granskar man koderna på nytt för att sedan relatera koderna till begrepp
eller kategorier. Här kan man se om man exempelvis finner samband mellan koderna.
Kodningen sker successivt och är en del av analysen och får inte blandas ihop med själva
ordet analys. För en del författare är ett tema mer eller mindre detsamma som en kod och för
andra kan ett tema vara mer än en kod och bestå av en grupp med koder. Genom att använda
sig av en tematisk analys kan man skapa ett index av centrala teman och subteman som har
identifierats och är resultatet av en noggrann läsning av utskrifterna (Bryman 2011, ss. 523530). Till sist utvärderas de meningsfulla mönster som man funnit mot befintlig teori och
forskning och ny kunskap utformas (Larsen 2009, ss. 101-102). Ett problem som kan uppstå
gällande själva kodningsförfarandet är att kontexten går förlorad i det som sägs på grund av
att man plockar ut textstycken från det sammanhang där det förekommer och på så sätt tappar
bort det sociala sammanhanget (Bryman 2011, ss. 523-530).
38
5.5.1
Analys utifrån mina intervjuer
Utifrån beskrivningen ovan som behandlar tillvägagångssättet för genomförandet av en
innehållsanalys beskrivs nedan hur jag gick tillväga för att analysera min data.
Jag började med att samla in data genom intervjuer vilket i sin tur transkriberades och gjordes
om till texter skrivna på dator. Detta skedde kontinuerligt efterhand som intervjuerna
genomfördes. Eftersom yttrandena skulle återges så precist som möjligt spelade jag upp
intervjuerna från ljudinspelaren flertalet gånger för att vara säker på att jag fått med alla
uttalanden. När jag hade transkriberat de fem intervjuerna valde jag att skriva ut dem på
papper för att lättare kunna gå igenom materialet. Jag läste igenom texterna flertalet gånger
utan att föra anteckningar för att sedan läsa igenom materialet ytterligare och började skriva
kommentarer i marginalerna av texterna, vilket innebar att jag kodade texterna. Eftersom jag
använde mig av en kvalitativ innehållsanalys sökte jag efter bakomliggande samband,
mönster, likheter och skillnader. För mig blev kategorierna mer än en kod vilket innebär att
den består av en grupp med koder, det vill säga en kategori med subkategorier. Inledningsvis
formades kategorier och subkategorier vilka kom att ändras kontinuerligt under
analysprocessen. Jag skapade även nya kategorier och subkategorier efter hand samt några
försvann då nya bakomliggande samband och mönster framträdde. Den slutgiltiga versionen
av kategorier och subkategorier presenteras nedan (se tabell 1).
Kategori
Avgränsning av begreppet
Subkategori
Sinnen och kroppen
Verklighet och vardag
Material av olika slag
Möjligheter
Förtydliga genom variation
Begränsningar
Personal och utrymme
Pengar
Tid
Lek
Lärandesituationer
Utan avslutande diskussion
Avslutande diskussion
39
Lärobok
Läroplanen
Stöd
Tabell 1 visar kategorier och subkategorier.
5.6
Validitet och reliabilitet i en kvalitativ undersökning
När man använder sig av kvantitativa metoder är man intresserad av hur representativ
informationen som man har är, om man har mätt det man vill mäta och om informationen är
pålitlig (reliabel). I kvalitativa undersökningar har inte detta samma betydelse. I kvalitativa
undersökningar vill man få en bättre förståelse för vissa förhållanden. Problemet med
kvalitativa undersökningar är att man får betydligt mindre giltig (valid) information än i
kvantitativa undersökningar. Detta beror på att man har större närhet till det som studeras.
Forskarens uppfattning av det som studeras kan vara felaktig och det kan vara svårt att veta
hur man ska få tag i information som är så valid som möjligt. Det är forskaren som måste vara
medveten om hur han/hon själv fungerar och sedan måste hänsyn tas i beaktande. Vad gäller
reliabilitet i kvalitativa undersökningar handlar det inte först och främst om att reproducera
informationen. I kvalitativa undersökningar är det man undersökt subjekt vilket innebär att de
som medverkar i undersökningen själva kan påverka reliabiliteten i undersökningen. Att
återskapa detta förlopp är svårt men kan underlättas genom ett samspel mellan forskaren och
det som undersöks. Genom samspel kan en djupare och mer balanserad förståelse växa fram
(Holme & Solvang 1997, s. 94-95).
5.6.1
Validitet och reliabilitet i min uppsats
Jag anser att jag har använt en lämplig analysmetod för att kategorisera det material som
undersökningen utgår från. För att kunna nå en hög validitet är det viktigt att kodningen mäter
det jag ville mäta i min undersökning, vilket jag anser att den har gjort. Tillvägagångssättet i
analysmetoden finns beskriven vilket borde bidra till en högre validitet. Genom att diskutera
med en annan författare olika kategorier och underkategorier utifrån det material som
undersöks skulle studien kunna nå en högre tillförlitlighet. Det fanns dock ingen möjlighet för
detta. Även genom att använda sig av flera personer i undersökningen hade det kunnat bidra
till en större tillförlitlighet. Jag har inte låtit deltagarna i undersökningen fått validera det som
skrivits i resultatdelen samt har inte en tredje person, det vill säga någon utöver författaren
40
och deltagarna, fått ha en åsikt. Detta gör att reliabiliteten, det vill säga tillförlitligheten,
minskar.
5.7
Lärarnas bakgrund
Nedan följer en kort beskrivning av de medverkande lärarnas bakgrund. Detta för att tydligt
presentera det underlag som ligger till grund för uppsatsen. Samtliga lärare som medverkat är
presenterade med fingerade namn på grund av att de enskilda människorna som deltar i
undersökningen inte ska kunna identifieras av utomstående.
Anna är utbildad lärare i matematik och No för årskurs 1 till 7. Hon har läst 15 hp i
specialpedagogik som en valbar kurs och har även behörighet att undervisa i so för årskurs 1
till 3 samt engelska för årskurs 1 till 6. Anna har arbetat som lärare i fjorton år och har varit
på två arbetsplatser under sina år som lärare. Idag undervisar Anna en årskurs 3 i matematik.
Bea är utbildad lärare i svenska och So för årskurs 1 till 7. Hon har även behörighet att
undervisa matematik för årskurs 1 till 3. Bea har arbetat som lärare i tjugo år och undervisar
idag en årskurs 2 i matematik.
Carin har en Lågstadielärarexamen och har behörighet att undervisa i alla ämnen utom idrott
och musik. Matematik ingick som en del i hennes utbildning men Carin har även efter sin
utbildning kompletterat med fortbildning inom matematik. Carin har arbetat som lärare i 39 år
och undervisar idag en årskurs 3 i matematik.
Diana är utbildad lärare i svenska och So för årskurs 1 till 6 men är även behörig att undervisa
i matematik för årskurs 1 till 6. Diana har tidigare inte haft en egen klass och det är första
gången som hon ansvarar själv för matematikundervisningen. Hon har arbetat som lärare i 8
år och undervisar idag en årskurs 3 i matematik.
Eva är utbildad lärare i matematik och No för årskurs 1 till 6 men är även behörig i svenska.
Hon började arbeta direkt efter sin examen och har arbetat i 3 år som lärare. Idag undervisar
Eva årskurs 1 och 2 i matematik.
41
6
Resultat och analys
Nedan redovisas resultaten från de intervjuer som ägde rum med de lärare som deltog i
undersökningen. Resultatet kommer att presenteras utifrån gemensamma kategorier och
subkategorier från intervjuerna.
6.1
Avgränsning av begreppet
För fyra av lärarna var definitionen på konkret matematik något som innehöll flera olika
aspekter med olika utgångspunkter. De subkategorier som framkom ur kategorin och som
speglar lärarnas aspekter för den avgränsning som lärarna gjorde av konkret matematik var
sinnena och kroppen, vardag och verklighet samt material av olika slag. För en av lärarna
var definitionen på konkret matematik någon som endast innehöll en aspekt vilket faller in
under subkategorin material av olika slag.
6.1.1
Sinnen och kroppen
För Anna, Bea, Carin och Diana är konkret matematik något som man kan ta på, det vill säga
att arbeta med händerna och att uppleva med alla sinnen. Samtliga uttrycker på olika sätt att
det handlar om att aktivera våra sinnen. Anna menar att konkret matematik är ”sådant där
laborativt material och att man kan ta på det”. Bea uttrycker sig genom att säga ”att jobba
mycket med händerna”, vilket hon menar att eleverna får göra när de ser ett material och rör
vid det. Bea använder även kroppen i sin tolkning av konkret matematik. På lektionerna
använder hon sig av lekar där ”de hoppar och studsar”, leker stafett eller använder hoppringar.
Hon ger ett exempel på föregående lektion där de använde sig av en stafett när de arbetade
med multiplikation. Bea påpekar även att lekarna har ett syfte där matematiken är grunden.
Carin arbetar med att eleverna ska få en förståelse genom att se men även höra genom att
exempelvis använda sig av musik. Hon menar ”att barnen ska kunna pyssla praktiskt, uppleva
med alla sinnen”.
6.1.2
Verklighet och vardag
Anna, Bea och Carin ger även uttryck för att konkret matematik är knutet till verkligheten
eller vardagen. Genom att arbeta med något konkret på matematiklektionen kan man koppla
det till elevernas vardag för att öka deras förståelse och för att de ska se användningen av
matematik även utanför skolan. Anna berättar om skogen som de har tillgång till som ligger
42
nära skolans område vilket gör att man kan vara ute mycket, speciellt när det är fint väder och
där finns bra möjligheter. En av lärarna uttrycker sig på följande sätt;
Praktisk matematik för mig är att kunna utgå ifrån elevernas vardag. Att koppla det till
deras vardag så att dom ser nyttan av sin matematik/…/att arbeta med bra praktiskt
material som anknyter till det vi jobbar med, som är tydligt för eleverna. Då tycker jag
vardagsmaterial är bra men det finns så mycket bra pedagogiskt material som man kan
ta till som man också gör naturligtvis (Bea).
6.1.3
Material av olika slag
Laborativt material, praktiskt material, pyssla, spela spel, skogen, kusinärstavar, pengar, små
whiteboardtavlor och smartboard är begrepp som samlats från lärarna under denna
subkategori. Samtliga lärare nämner något av ovanstående begrepp för att beskriva vad
konkret matematik är. Innebörden i alla dessa begrepp är att konkret matematik är någon form
av material som man kan ta på och som åskådliggörs i en undervisningssituation. Bea menar
att konkret matematik är ”att arbeta med bra praktiskt material som anknyter till det vi jobbar
med, som är tydligt för eleverna”. Eva var den lärare som endast hade en aspekt på vad
konkret matematik är, material av olika slag. Hon menar att konkret matematik handlar om
laborativt material som exempelvis klossar, hundrasnören eller tjugosnören. På snörena sitter
kulor och snöret är längre än kulorna vilket gör att dem går att dela upp och på så sätt går att
räkna med. Nedan har jag valt ut några av lärarnas uttalanden om vad konkret matematik är
för dem med utgångspunkt i material av olika slag;
Ja, det är ju att barnen ska kunna pyssla praktiskt/…/jag har alltid konkret material som
typ pengar, stavar eller något annat framme (Carin).
Jag känner att konkret matematik för mig är egentligen en blandning av att se ett tal
eller uppgift teoretiskt med att kunna använda det med ett konkret material oavsett om
det är pengar eller klossar och så vidare. För då känner jag att det blir, det är det vi har
jobbat rätt mycket med här så att det inte bara blir den här mekaniska räknebiten eller
bara att sitta med konkret material (Diana).
43
Laborativt, alltså att man använder sånt material som man kan använda. Att det inte
bara är siffor utan man kan använda såna klossar som vi hade nu eller olika grejor. Vi
har såna olika hundrasnören, tjugosnören med tabellerna (Eva).
6.1.4
Analys av avgränsning av begreppet
De fem lärarna hade en tanke om vad konkret matematik är och valde att avgränsa begreppen
efter sin tolkning av innebörden av begreppet konkret. För fyra av lärarna var definitionen av
konkret matematik något som innehöll flera olika aspekter samt återkom definitionen av
konkret material hos dem kontinuerligt under intervjun vilket gjorde att deras personliga
avgränsningar av vad konkret matematik är blev mer tillförlitlig. Eva hade endast en aspekt på
vad konkret material är och hennes aspekt förklarades inte utförligt under intervjun. Detta
bidrar till att Evas uppfattning om vad konkret matematik är inte är lika tillförlitlig då den inte
synliggjordes på samma sätt av henne under intervjuns gång samt på grund av hennes korta
beskrivning av begreppet.
De ord som framkom under avgränsningen av begreppet var sinnen, kroppen, verklighet,
vardag och material av olika slag. Tre av lärarna menar att konkret material är knutet till
verkligheten eller vardagen vilket bidrar till att eleverna kan se användningen av matematik
även utanför skolan. En stor del av det vi gör, beslutar och arbetar med under en dag är
faktiskt matematik och barn möter denna matematik i vardagen och den återkommer ständigt
(Olsson & Forsbäck 2008, ss.5-6). Därför måste eleverna i skolan förberedas för att möta de
situationer i det dagliga livet som handlar om att bearbeta och tolka numerisk information
(Löwing & Kilborn 2002, s.17). Ofta möter man matematiken i vardagen i konkret form och
matematiken på den abstrakta nivån i skolan bör kopplas till egna vardagserfarenheter (Olsson
& Forsbäck 2008, ss.7-12). Utifrån definitionen som Nationalencyklopedin (sökord: konkret)
har gjort av konkret, med innebörden som något som kan upplevas med sinnena som
exempelvis ett föremål och material, visar på att lärarna har någon form av kunskap om vad
konkret matematik kan innebära. Ingen av lärarna nämnde motsatsen till konkret vilket är
abstrakt. Abstrakt är ett substantiv som innebär en icke-påtaglig företeelse
(Nationalencyklopedin, sökord: abstrakt). Genom att lärarna hade beskrivit ordet abstrakt
hade en ännu tydligare definition av konkret matematik kunnat synliggöras. Samtliga lärare
utom Eva hade tolkningar av konkret matematik som sammanfaller med den tolkningen som
konkret matematik har i denna uppsats. Avgränsningen för konkret matematik är i denna
studie ett påtagligt föremål som kan upplevas genom sinnena och som kan användas i det
44
verkliga livet. Ingen av lärarna nämnde något om att ordet konkret finns med i Läroplanen för
grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet (Skolverket 2011b, s.67). Ordet konkret finns
med två gånger under kunskapskraven för godtagbara kunskaper i slutet av årskurs 3. I
Läroplanen finns inte någon definition av ordet konkret men det är av vikt att lärarna vet
innebörden av ordet då det finns med upprepade gånger i Läroplanen för grundskolan,
förskoleklassen och fritidshemmet. Ett av syftena med uppsatsen är att undersöka om
verksamma lärare arbetar med konkret matematik i sitt vardagliga arbete. För att ta reda på
om de arbetar med det är det av vikt att veta om de känner till innebörden av ordet konkret.
Resultatet visar att lärarna arbetar med konkret material i sitt vardagliga arbete i större eller
mindre utsträckning. Dock har inte samtliga lärare en komplett syn på vad konkret matematik
är vilket är bekymmersamt eftersom ordet konkret finns med i kunskapskraven i läroplanen.
6.2
Möjligheter
Alla lärare ser någon form av möjlighet med att använda sig av konkret material. De hade alla
ungefär samma innehåll i det som de uttryckte som möjligheter och det var att på något sätt
förtydliga och ge eleverna en variation på deras undervisning. Utifrån lärarnas svar formades
subkategorin förtydliga genom variation.
6.2.1
Förtydliga genom variation
Carin, Diana, Bea och Eva anser att konkret material ger eleverna en möjlighet till
förtydligande. Genom att använda konkret material ges eleverna en möjlighet till att förstå
och på så sätt kan det konkreta materialet synliggöra för eleverna. Anna, Bea, Carin och
Diana talar om en variation i undervisningen. Genom att använda sig av konkret material får
eleverna en variation vilket gör att matematikundervisningen ger eleverna olika former av
lärandesituationer. Eleverna får en annan sorts kunskap att förstå och väcka en nyfikenhet.
Carin och Diana uttrycker att genom konkret material får eleverna även utforska mycket
själva och prova sig fram till olika lösningar. Diana understryker även att alla barn ges en
möjlighet till förståelse genom att använda konkret material. Lärarna beskrev möjligheterna
enligt följande;
Möjligheter är ju att det ger en annan sorts kunskap. Alltså jag tror att man lär sig det.
När man väl har jobbat med det och lärt sig konkret så kan man det. En del av det man
45
oftast gör på papper är oftast sånt man kan för stunden och sen måste man repetera och
repetera det (Anna).
För att få en förståelse så måste man se och röra vid det, prova och diskutera, se det
med ögon och händer. Inte bara se det på papper, siffror och text. Utan alla möjliga
inlärningssätt. För vissa ännu mer än andra fast alla ändå behöver det, det vet jag ju
(Bea).
Möjlighet är ju för att förtydliga för alla barn att alla ska få en möjlighet att förstå. Att
dom ska få se men även känna och prova sig fram till lösningar/…/att dom faktiskt får
prova sig fram på det för då blir det inte bara att man får se det på mattespråk så att
säga. Utan de får testa sig fram, det går inte och hur kan man då lösa det. Jag tycker ju
att det konkreta materialet utvecklar deras tänkande och en möjlighet att dom får prova
och utforska själv (Diana).
Det synliggör mer (Eva).
6.2.2
Analys av möjligheter
Alla lärare såg möjligheter med att använda sig av konkret matematik i sin undervisning.
Resultatet visar att konkret matematik kan synliggöra för eleverna och att de genom det
konkreta får en möjlighet till att förstå (D’Angelo och Iliev 2012, ss.1-5). Fyra av lärarna
påpekade även variation som en möjlighet. Genom att använda konkret material får eleverna
en variation vilket ger eleverna olika former av lärandesituationer. Detta kan i sig också väcka
en nyfikenhet hos eleverna. D’Angelo och Iliev (2012, ss.1-5) menar att en nyfikenhet väcks
genom ett varierat arbetssätt. En variation av källor bidrar också med en motivation till att lära
hos eleverna (Glaserfeld 1995a, ss.176-192). Två av lärarna uttalar även att eleverna ges
möjlighet att prova sig fram till olika lösningar i en situation med konkret material. Ett
konkret och verkligt material skapar en rik miljö där eleverna kan undersöka sina idéer och
lösa problem (D’Angelo och Iliev 2012, ss.1-5). Ingen av lärarna nämner rättfram någon form
av väckande av lust som möjlighet trots att det är något som man genom variation av
arbetssätt kan åstadkomma (Skolverket 2003, ss.7-49). Engagerade och intresserade elever
finns det i undervisningssituationer där det finns utrymme för känsla, tanke, upptäckarglädje
och aktivitet hos elever och lärare där laborativt och undersökande arbetssätt varit en del
(Skolverket 2003, ss.7-49). Läraren måste också vara entusiastisk i sin undervisning för att
skapa motivation hos eleverna (Glaserfeld 1995a, ss.176-192). Bea nämner att hon använder
46
sig av kroppen i sin tolkning av konkret matematik samt att hon på lektioner använder sig av
lekar där eleverna får använda sina egna kroppar. Enligt Bernerskog (2007, ss.3-8) är
användandet av kroppen som laborativt redskap i matematikundervisningen en möjlighet för
att skapa sig en förståelse för de första momenten inom matematikundervisningen bland de
tidiga skolåren. Genom att använda kroppen i matematikundervisningen får eleverna fysisk
aktivitet varje dag och det upplevdes positivt av eleverna. Bea använder sig exempelvis av
stafett vid inlärning av multiplikation. Beas sätt att använda kroppen visar på ett verkligt
arbetssätt att använda konkret matematik i undervisningen som gynnar eleverna på fler än ett
sätt. Det finns många vinster med att använda kroppen som ett laborativt hjälpmedel i den
tidiga matematikundervisningen (Bernerskog 2007, ss.3-8).
6.3
Begränsningar
Samtliga lärare ser förutom möjligheter även begränsningar med att använda konkret material.
De flesta av lärarna uttryckte fler begränsningar än möjligheter. Nedan förklaras de
subkategorier som utformades gällande begränsningar.
6.3.1
Personal och utrymme
Anna, Bea och Eva anser att gruppens storlek och personaltillgängligheten kan vara en
begränsning i användandet av konkret material. Anna anser även att utrymmet är en
begränsning. Hon berättar att de är två klasser som har ett extra klassrum att dela på vilket gör
att utrymmet för att arbeta med konkret material blir lättare och möjligt på ett annat sätt. Bea
tycker att begränsningarna är störst när man har en stor grupp. Hon tycker att det är lättare att
arbeta med konkret material när man är en liten grupp vilket hon har möjlighet att göra och då
utnyttjar hon det konkreta materialet mer. Bea uttrycker dock att genom att använda sig av
stationssystemen när man är en stor grupp kan man undgå detta problem och därför blir det
ingen begräsning utan istället en möjlighet. Eva har matematik med olika
gruppkonstellationer och har kommit fram till att det går bättre att använda konkret material i
mindre grupper.
Jag tycker inte det finns så mycket begränsningar. Jo, kanske begränsningarna är störst
när man har en stor grupp. Jag tycker det är lättare att arbeta med praktisk matematik
när man är en liten grupp eller halvgrupp. Det har jag möjlighet att göra och då utnyttjar
jag det mer. Det beror på för det går ju i helgrupp också. Men nu har jag en grupp som
47
kräver mycket. Och då tycker jag det fungerar mer eller det fungerar i en stor grupp
också genom stationssystem. Men det går att planera det på olika sätt kan jag tycka
(Bea).
6.3.2
Tid
Anna, Bea och Diana anser att tiden är en begränsning. Anna och Bea uttrycker inte på vilket
sätt de anser att tiden är en begränsning. Diana utvecklar sitt svar och menar att tiden är en
begränsning på så sätt att det tar tid från lektionen. Det tar tid att plocka fram materialet samt
tar det tid att sedan plocka ihop det. Hon tycker inte att hon har detta problem idag eftersom
hon har en liten och lugn grupp men hon antyder att om man har en rörigare grupp så kan det
ta mer av tiden och att man då begränsar sig med att använda konkret material. Diana och Eva
var tydliga med att påpeka att de inte anser att arbeta med konkret material var tidskrävande
för dem som lärare. Bea uttryckte dock att själva tiden av lektionen med det konkreta
materialet inte var någon begränsning då hon inte har någon sluttid på sina lektioner. Är det så
att eleverna inte hinner klart under en lektion får de fortsätta under nästa.
6.3.3
Lek
Anna, Carin, Diana och Eva nämner att det kan bli stökigt med användandet av konkret
material under matematiklektionerna och att det är en begränsning. Eleverna börjar ibland
istället att leka med materialet än att använda det i det syfte som det är tänkt. Lärarna menar
att det i dessa situationer gäller att få eleverna att arbeta med materialet på rätt sätt. Anna
menar att detta är något som måste tränas in. Eva brukar visa hur man använder materialet
istället för att berätta det genom att minska risken för lek med det konkreta materialet. Hon
menar att det konkreta materialet kan bli ett hinder istället för ett hjälpmedel om man som
lärare inte är tydlig med hur man använder det samt hjälper eleverna i situationen med ett
konkret material. Diana använder ibland tjugosnören och hundrasnören istället för klossar
eftersom det inte går att bygga lika lätt med dessa snören som med klossar. Snörena består av
kulor, antingen tjugo eller hundra, som sitter fast på ett snöre. Dock fungerar inte dessa snören
till alla räknesätt vilket gör att man även behöver använda sig av annat material. Diana har en
lösning på när material används som leksaker och det är att hon som lärare använder
materialet i en samling där eleverna sitter i en ring. Då kan hon visa materialet och eleverna
kan komma fram en och en eller två och två och använda materialet själva. Diana menar
också att genom att använda sig av Smartboard i sin undervisning kan man använda ett
48
konkret material som är fast på tavlan vilket gör att eleverna inte kan leka med det på samma
sätt som med annat konkret material. Eleverna får arbeta med något konkret samtidigt som det
minskar risken för lek.
6.3.4
Pengar
Anna och Bea anser att matematikmaterialet ibland är en begränsning på grund av att det inte
finns ekonomisk möjlighet till att köpa in material. Det gör att det inte alltid finns så mycket
material som de skulle vilja använda. Anna tycker att matematikmaterial kan vara dyrt att
köpa in vilket begränsar användningen. Dock nämner båda att man istället kan använda sig av
sin närhet som exempelvis skogen för att konkretisera matematiken.
Begränsningarna är väl i så fall att det inte alltid finns så mycket material som skulle
behövas. Å andra sådan kan man alltid hitta material i sin närhet som man kan använda
(Bea).
Vi har skogen här utanför också så man kan vara mycket ute när det är fint väder. Här
har man ganska bra möjligheter tycker jag ändå/…/alltså om man ser det till konkret
material alltså som matematikmaterial så är det ju begränsning om hur man får lov att
beställa vad man vill och pengamässigt. För det kan vara rätt dyrt (Anna).
6.3.5
Analys av begränsningar
Personal, utrymme, pengar, tid och lek är subkategorier som utformades under denna rubrik
och dessa ord speglar vad lärarna anser att begränsningarna med konkret matematik är.
Samtliga lärare såg begränsningar med användandet av konkret matematik och de flesta av
lärarna uttryckte fler begränsningar än möjligheter. Detta kan bidra till att lärarna inte
använder sig av konkret matematik i lika stor utsträckning då begränsningarna kan ta
överhanden över antalet möjligheter. Lärarna måste noggrant planera lektioner där
användandet av material förekommer (Szendrei 1996, s.411, 423-424 och D’Angelo & Iliev
2012, s.5). Genom att undervisningens aktiviteter noggrant väljs ut kan eleverna känna sig
lustfyllda och trygga (Glaserfeld 1995a, ss.176-192). Detta kan upplevas av lärarna att det tar
för mycket tid jämfört med planering av lektioner där material inte förekommer. Fyra lärare
uttrycker något om tiden när de får frågan om begränsningar med konkret material. Två av
lärarna utvecklar inte på vilket sätt de anser att tiden är en begränsning vilket gör det svårt att
49
veta på vilket sätt tiden begränsar dem. Två av de andra lärarna uttryckte i klarspråk att tiden
för dem som lärare med att förbereda lektioner med konkret material inte var en begränsning
för dem personligen. En av lärarna anser att konkret material tar tid från själva lektionen då
det tar tid att plocka fram samt tid att plocka ihop materialet och att det begränsar
användningen. En lösning på det problem som föregående lärare uttrycker är att göra som
Bea, det vill säga att inte ha någon sluttid på sina lektioner. På så sätt behöver tiden inte vara
en begränsning.
En annan begränsning som kom fram i resultatet av undersökningen var att det kan bli stökigt
med användandet av konkret material då eleverna istället börjar leka med materialet vilket
kan göra det konkreta materialet till ett hinder istället. Eva brukar visa hur man använder
materialet för att undvika lek. Elever kan se materialet som leksaker vilket innebär att läraren
måste introducera materialet. Genom att läraren visar hur materialet används kan eleverna
fysiskt se hur materialet ska användas (D’Angelo och Iliev 2012, s.5). Diana brukar istället
använda materialet i en samling där eleverna sitter i en ring och eleverna kan komma fram en
och en eller två och två för att använda materialet. Dessa arbetssätt gör att eleverna får arbeta
med något konkret samtidigt som det minskar risken för lek. Det finns också som Anna
uttrycker en möjlighet att använda annat material som eleverna inte lika lätt kan leka med.
Även fast resultatet bland lärarna visar fler begränsningar än möjligheter åskådliggör lärarna
ändå olika metoder att komma från begränsningarna och vända dem till möjligheter istället.
Även om de uttrycker att de inte kan påverka vissa begränsningar som exempelvis den
ekonomiska möjligheten att köpa in material så uttrycker lärarna en mening som visar på att
de skulle vända begränsningen till en möjlighet om de hade chansen att göra så. Två av
lärarna uttrycker dock att man kan använda sin närhet som exempelvis skogen när man
arbetar med konkret matematik. På så sätt får även undervisningen en variation och en
verklighetsanknytning för eleverna (Skolverket 2003, ss.7-49). En begränsning som är en fara
i och med arbetet med konkret material är att läraren inte har kunskapen om materialet som
används och att materialet då inte används på rätt sätt (Szendrei 1996, ss.411, 423-424).
Resultatet visat dock att de lärare som medverkat i studien har en kunskap om de material de
använder i sin undervisning vilket tydliggjordes hos samtliga lärare i observationen och/eller i
intervjun.
50
6.4
Lärandesituationer
Alla lärare använder sig i mindre eller större utsträckning av vad de anser att konkret
matematik är i sin undervisning. Ingen av lärarna kan ange hur stor del av matematiken som
riktar sig mot konkret matematik. På vilket sätt de använder sig av konkret material skiljer sig
mellan dem. Bea, Carin och Eva erbjuder konkret material på varje matematiklektion,
antingen i genomgången eller i det självständiga arbetet. Carin försöker individualisera det
konkreta materialet så att det passar varje elev. Anna och Eva beskriver att de ofta använder
sig av konkret material i sina genomgångar, Anna påpekar att hon använder det nästintill
alltid när hon ska introducera något nytt inslag i matematiken. Anna och Eva uttrycker även
att de arbetar mer med konkret material ju yngre eleverna är.
Hur stor del är jättesvårt att säga. Nästan alla arbetsområden inleder jag ju med nått om det är
konkret rent materialmässigt eller om det är något exempel eller någonting som känns relevant.
Sen kommer det och går. Jag kan inte säga om det är si eller så mycket. Olika arbetsområden
kräver olika mycket material och olika mycket praktiska moment (Anna).
Om jag inte använder det i genomgången så plockar jag alltid fram det så att det finns. Som
hjälpmedel. Nu har jag bara undervisning med ettorna här inne, det där är egentligen
matterummet där inne och där finns allt material i ett skåp. Så när jag har tvåorna där inne så vet
de vad som finns. Och de är lite mer hemma med det så de kan ta fram det dom behöver (Eva).
När det gäller beskrivningen av en matematiklektion har lärarna gjort denna utifrån hur den
generellt kan se ut. Samtliga lärare beskrev en typisk matematiklektion med ungefär samma
upplägg. De börjar med något gemensamt i form av en genomgång, ett problem eller något
konkret som sedan övergår till antingen grupparbete eller individuellt arbete. Bea, Carin,
Diana och Eva avslutar sedan sin lektion med någonting gemensamt medan Anna stannar vid
det individuella arbetet eller grupparbetet och avslutar inte med någon form av gemensam
aktivitet. Även om upplägget av lektionerna är snarlika har de fem lärarna lite olika innebörd i
de olika delarna av lektionen. Med de olika delarna menar jag den gemensamma samlingen
samt det grupparbete eller individuella arbetet som följer.
6.4.1
Utan avslutande diskussion
Eva beskriver två sorters lektioner då hon undervisar matematik i två olika årskurser. När det
gäller de elever som går i årskurs 1 brukar hon börja med en genomgång för att sedan låta
eleverna arbeta individuellt i sina böcker eller med stenciler. När eleverna arbetar individuellt
51
plockar Eva fram konkret material som de kan använda som hjälpmedel till uppgifterna i
boken eller på stencilen. Under kommande rubrik beskrivs resultatet av Evas lektion med den
andra årskursen där lektionen har ett annat upplägg. Annas lektioner börjar också generellt
med någonting gemensamt. Ska de börja med ett nytt arbetsområde brukar hon inleda med
någon konkret rent materialmässigt. Annars brukar de bjuda varandra på matematiktankar för
att sedan prata om det moment de ska arbeta med under lektionen. Därefter arbetar eleverna i
sin lärobok eller med något praktiskt som exempelvis ett spel. Ibland arbetar de individuellt
och ibland i en grupp. Anna anser att olika arbetsområden kräver olika mycket material och
olika mycket praktiska moment.
Nedan följer några bilder från en lektion som Anna hade med sina elever där de arbetade med
statistik. Före den konkreta aktiviteten hade Anna en genomgång av stapeldiagram och längd
(meter). Därefter fick eleverna välja en valfri färg på ett A4 papper som de skulle vika ett
flygplan av. Därefter gjorde eleverna tillsammans med Anna en frekvenstabell (se bild 1) över
hur många som hade valt vilken färg. De kommer fram till att blå var den mest populära
färgen. Anna vill sedan att eleverna hjälper henne göra ett stapeldiagram utefter
frekvenstabellen (se bild 2).
Bild 1 visar en frekvenstabell.
Bild 2 visar ett stapeldiagram.
Eleverna skulle sedan ta reda på hur långt deras flygplan flyger. Ett måttband lades ut på
marken och längden mättes i hela meter. Eleverna fäster sina flygplan med häftmassa på
golvet där deras flygplan landar. De mäter sedan hur långt planet flög i hela meter (se bild 3).
Eleverna ska sedan individuellt på ett rutat papper rita upp en frekvenstabell över alla
flygplanens längd utifrån den mall de fått på tavlan (se bild 4). I kolumnen efter antal meter
skriver de streck för att i sista kolumnen skriva själva siffran. Efter att eleverna fyllt i
frekvenstabellen ska de göra ett stapeldiagram utifrån sin frekvenstabell. Läraren går runt och
hjälper eleverna individuellt när de ska skapar sitt stapeldiagram. Därefter sätts elevernas
bilder upp i korridoren och lektionen avslutas.
52
Bild 3 visar hur långt planen flyger.
Bild 4 visar en mall för en frekvenstabell.
6.4.2
Med avslutande diskussion
Bea, Carin och Diana börjar med en gemensam aktivitet i form av en genomgång, konkret
material eller ett problem som sedan övergår till enskilt arbete eller grupparbete. I slutet av
lektionen samlas eleverna och läraren för att ha en diskussion om dagens innehåll. De tre
lärarna har lite olika upplägg av sina lektioner även då de följer likartad struktur. Nedan
presenteras deras lektioner var för sig.
Bea startar ibland gemensamt där eleverna får en presentation av det som de ska arbeta med.
Därefter får de arbeta med något praktiskt material eller genomföra en lek för att sedan
diskutera vad de kommit fram till. Efter diskussionen arbetar eleverna med sitt
matematikhäfte för att sedan samlas och prata om dagens innehåll i lektionen. Beas lektioner
innehåller även en annan typ av arbetsform. Ibland startar hon lektionen med att lämna ett
problem till eleverna som de ska lösa istället för att ha en genomgång. Om Bea börjar
lektionen på detta sätt istället för en presentation av lektionen fortsätter eleverna på samma
sätt som nämndes under föregående rubrik. Eleverna får någon form av praktiskt material att
använda och utifrån det ska de lösa uppgifter. Efter det samlas de i helklass och diskuterar vad
de kommit fram till för att sedan arbeta i sina arbetshäften om det finns tid till det. Bea låter
eleverna vara två och två vid diskussionerna och menar att om de har en bra arbetspartner så
kan de utvecklas tillsammans.
Carina börjar med en genomgång som leder till att eleverna får arbeta vidare ibland i grupp
och ibland individuellt. Därefter samlas eleverna och läraren i slutet av lektionen för att prata
53
om dagens lektion. Oftast har eleverna konkret material framför sig att arbeta med i det
individuella arbetet eller i grupparbetet.
Diana försöker variera sina lektioner så mycket som möjligt. Oftast börjar även hon med en
gemensam genomgång med något praktiskt inslag för att sedan övergå till grupparbete eller
individuellt arbete. Diana använder sig av någon form av konkret uppgift/problem i slutet av
sina lektioner där hon knyter an till dagens innehåll som hon sedan diskuterar tillsammans
med eleverna. Ibland får eleverna tillsammans konstruera en räknesaga i slutet av lektionen
som refererar till lektionens innehåll som de sedan har en diskussion kring. Diana brukar
använda Smartboard som ett komplement till undervisningen och använder oftast denna i
genomgången som sker i början av lektionen. Genom att ha exempelvis en
problemlösningsuppgift med bilder på Smartborden kan eleverna komma fram till tavlan och
flytta runt bilderna tills det passar problemlösningsuppgiften och det blir även en diskussion
på gruppnivå kring det konkreta materialet som är fast på Smartborden.
Med årskurs 2 brukar Eva börja med en gemensam aktivitet som att de exempelvis börjar
med ett problem som eleverna får lösa. Därefter samlas eleverna och får presentera hur de löst
problemet samt diskutera om det som de kommit fram till är rätt och rimligt.
6.4.3
Lärobok
Bea använder sig inte av någon lärobok i sin undervisning utan hon gör eget material till
eleverna. Eleverna har denna termin gjort egna matematikhäften och tidigare har hon använt
sig av matematikpärmar där eleverna får uppgifter anpassade utefter den träning de behöver.
Genom att använda sig av en matematikpärm menar Bea att man kan lägga till och dra ifrån
uppgifter för allas behov. På så sätt kan alla få de utmaningar de behöver. Genom att göra
egna matematikhäften eller matematikpärmar menar Bea att man undviker jämförelsen
eleverna emellan. Hon antyder att det är mer tidskrävande för henne som lärare att göra eget
material än att använda sig av en lärobok men menar att det är värt det för elevernas skull
genom att de får material som är anpassade efter var och en.
Anna, Carin, Diana och Eva använder sig av en lärobok i sin matematikundervisning. Anna
använder en bok som heter Pixel. Anna beskriver hur läroboken är uppbyggd och menar att
den först bygger på att man gör något konkret, sedan något halvkonkret, sedan något
halvabstrakt för att sedan övergå till helt abstrakt. Dessa moment finns i alla kapitel. Anna
berättar även att lärarhandledningen bjuder på praktiska övningar. Anna använder det som
hon tycker är relevant i lärarhandledningen och i läroboken för eleverna. Carin, Diana och
54
Eva använder en bok som heter Prima Matematik och det är ett bas läromedel i matematik
som har sin förankring i Lgr11. Carina har läroboken som grund i sin undervisning, hon
börjar varje område med laborationer utifrån boken som eleverna sedan arbetar utefter. Carina
tycker att det har tagit tid innan hon lärt sig arbeta utefter denna bok. Hon säger också att hon
tycker om den mer och mer ju mer hon använder den. Diana anser att det är tryggt att använda
en lärobok i undervisningen eftersom hon inte tidigare undervisat i ämnet matematik. Hon
tillägger att hon inte följer den slaviskt. Hon har inte tidigare varit i kontakt med Prima men
anser att lärarhandledningen ger möjligheter till att göra saker praktiskt. Diana känner att hon
har allt samlat genom att använda en lärobok och vill gärna ha mer kött på benen som
matematiklärare innan hon delvis frångår läroboken. Eva uppskattar att hon använder
läroboken ungefär hälften av tiden i veckan. Hon har fyra pass i veckan så två av dessa
uppskattar hon att eleverna arbetar med läroboken. Eva använder läroboken mer till årskurs 1
än till de som går i årskurs 2.
6.4.4
Analys av lärandesituationer
Genom att lärarna beskrev hur en typisk matematiklektion kunde se ut speglades syftet av
uppsatsen. Samtliga lärare använder sig av konkret matematik i sin vardagliga undervisning.
Hos fyra av lärarna var definitionen av konkret matematik något som innehöll flera olika
aspekter som kontinuerligt återkom under intervjun. Gällande Eva är resultatet inte lika
trovärdigt eftersom hennes bestämning av konkret matematik endast innehöll en aspekt av vad
konkret matematik är samt att den inte förklarades återkommande under intervjun. Det bidrar
till att det finns en tveksamhet gällande Evas tolkning och användning av konkret matematik.
Det innebär inte att hon inte använder sig av konkret matematik men det kan innebära att hon
hade kunnat variera sin undervisning mer genom att använda sig av flera olika former av
konkret matematik. För att skapa en lust att lära är det viktigt att det finns en variation,
flexibilitet och ett undvikande av det monotona. Olika sätt att lära in bidrar till att olika
elevers behov av att lära tillgodoses (Skolverket 2003, ss.7-49). Likaså kan det finnas en
begränsning av att inte använda sig av flera olika konkreta material vilket kan leda till att
eleverna fäster sig alltför mycket vid ett enda laborativt material (Ahlberg 2000, s.52). Genom
att Eva använder sig av som hon uttrycker det laborativt material och inte uttryckligen berättar
att hon använder sig av annat konkret material kan det bidra till att eleverna fäster sig vid det
begränsade material de får tillgång till.
55
Hur stor del av undervisningen som består av konkret matematik samt på vilket sätt lärarna
använder sig av det skiljer sig mellan dem. Resultatet visar att det under varje lektion hos
samtliga lärare finns någon form av konkret material. Utifrån en social konstruktivistisk syn
på lärandet använder sig lärarna bland annat av ett laborativt material i sin undervisning
(D’Angelo & Iliev 2012, s.4). Lärarna arbetar mer eller mindre också med ett aktivt klassrum
vilket även det visar på ett social konstruktivistiskt perspektiv. Eleverna är inte passiva
mottagare av information utan är aktiva i sitt lärande vilket bidrar till att inlärning kan ske
(D’Angelo & Iliev 2012, s.4 och Ellerton 1992, ss.4-5). I stora drag visar resultatet att det
finns två typiska lektioner som framträder och det är att lektionerna antingen avslutas med
eller utan en avslutande diskussion. Anna använder sig av lektion utan avslutande diskussion
medan Bea, Carin, Diana använder sig av avslutande diskussion. Eva använder dock båda
formerna av lektioner då hon anpassar efter vilket årskurs hon undervisar. I resultatet
framkommer att Anna och Eva arbetar mer med konkret material ju yngre eleverna är.
Användning av ett laborativt material är rekommenderat i alla årskurser och att det är
nödvändigt i undervisningen av unga barn i matematik (D’Angelo & Iliev 2012, ss.1-5). Detta
visar på att Anna och Eva har en kunskap om att material är viktigt bland unga barn och att de
även fortsätter med det i följande årskurser som de undervisar eleverna, dock i mindre
utsträckning.
Utifrån det teoretiska perspektiv som ligger till grund för uppsatsen är det viktigt att det
förekommer ett socialt samspel under lektionen där eleverna får möjlighet att förvärva nya
begrepp (Glaserfeld 1995b, ss.11-12). En stor del av lärandet sker genom det väsentliga
samspelet där språket är en central del (Watson 2000, s.136). Resultatet av lärarnas generella
lektioner visar att samtliga lärare använder sig av gruppdiskussioner i sin undervisning och att
de även inom detta område arbetar utefter ett social konstruktivistiskt perspektiv. Bea, Carin,
Diana och Eva har mer gruppdiskussion i sin undervisning än Anna har uttryckt då de alltid
använder sig av en avslutande gruppdiskussion. Dock utesluts inte Anna från ett social
konstruktivistiskt synsätt eftersom hon använder sig av gruppdiskussioner men inte i samma
utsträckning. Tillsammans med att hon använder sig av laborativt material i sin undervisning
stärks hennes perspektiv då ett social konstruktivistiskt perspektiv som nämnts ovan
kännetecknas av ett stort inslag av laborativa aktiviteter (D’Angelo och Illiev 2012, s.4). Bea,
Carin, Diana och Eva använder sig ibland av ett problem i början av lektionen som eleverna
ska lösa. Utifrån en social konstruktivistisk undervisning presenterar läraren problemlösande
aktiviteter som inspirerar och motiverar eleverna till att arbeta fram lösningar (Glaserfeld
1995b, 14-15).
56
Samtliga lärare visar oavsett på upplägget av en lektion på ett varierat arbetssätt med inslag av
konkret matematik. Detta visar på att lärarna har kunskaper om att ett varierande innehåll och
en varierande arbetsform leder fram till elevers lust och glädje att lära genom att behålla det
lustfyllda lärandet (Skolverket 2003, ss.7-49). Lärarna använder sig av konkret material
antingen i sina genomgångar, i det individuella arbetet, i gruppdiskussioner eller i den
avslutande delen av lektionen där dagens innehåll knyts ihop. När det konkreta materialet
erbjuds för eleverna i det individuella arbetet är det av vikt att läraren introducerar materialet
och att läraren är aktiv i dessa situationer (D’Angelo & Iliev 2012, s.5).
När det gäller lärobok visar resultatet att samtliga lärare utom en använder sig av lärobok i sin
undervisning. Matematik verkar vara det ämne som är mest beroende av en lärobok och det
ämne där läroboken är dominerande (Skolverket 2003, s.28). Bea konstruerar egna
matematikhäften för eleverna för att på så sätt undvika jämförelsen elever emellan. Detta
bekräftas av Johansson (2006, ss.9, 27-30) som menar att det är en kultur i Sverige att vi
använder oss av lärobok, där hur bra man var mättes i antalet sidor. Bea anser att
konstruktionen av egna matematikhäften även individualiserar, uppgifter för färdighetsträning
kan läggas till och dras ifrån beroende på vad eleven behöver träna på. När det gäller
individualisering finns det oftast i läroböckerna även uppgifter som är graderade efter
svårighetsgrad vilket gör att boken även kan individualisera enligt Johansson (2006, ss.9, 2730). Likaså underlättar boken arbetsbördan för lärarna eftersom det går tid förlorad för läraren
om han/hon ska utveckla material från början (Johansson 2006, ss.9, 27-30). Här skiljer sig
Beas uppfattning eftersom hon anser att hon gärna lägger ner denna tid på att göra eget
material då hon menar att det är värt det för eleverna i längden då de får material anpassade
efter var och en. Diana anser att läroboken i matematik är en trygghet för henne eftersom det
är första året hon undervisar i matematik. Hon känner att hon vill ha mer kött på benen innan
hon frångår läroboken och uttrycker även att hon känner att hon har allt samlat på ett ställe
genom läroboken. Johansson (2006, ss.9, 27-30) bekräftar detta då hon menar att om läraren
inte är säker i ämnet så kan läroboken vara en säkerhet att luta sig tillbaka på. Ahlberg (2000,
ss.21-22) skriver att det måste få ta tid för lärarna att överge ”den trygga” läroboken och
övergå till ett annat arbetssätt. Samtliga lärare som använder sig av lärobok låter inte den
dominera undervisningen i matematik, det är ett hjälpmedel där lärarna får tips och eleverna
får möjlighet att färdighetsträna. Resultatet visar att även om lärarna använder sig av en
lärobok så använder de sig fortfarande av konkret matematik i sin undervisning, dels genom
egna konkreta idéer men även tips och idéer från läroboken. Läroboken ska vara en ram för
undervisningen där läraren bestämmer hur styrande denna ram ska vara. Läraren måste
57
utvärdera boken och hitta dess potentialer samt begränsningar (Johansson 2006, ss.9, 27-30).
Eva beskriver att hon använder läroboken mer till årskurs 1 än till årskurs 2 vilket motsäger
det som D’Angelo och Iliev menar. D’Angelo och Illiev (2012, s.1-5) anser att ju tidigare en
elev börjar arbeta med ett laborativt material desto stabilare blir grunden för kunskapen hos
eleven.
6.5
Läroplanen
6.5.1
Stöd
Samtliga lärare anser att de finner stöd för sitt arbetssätt i Lgr 11. Lärarna uttrycker sig enligt
följande;
Ja det tycker jag, annars skulle jag inte jobbat så (Anna).
Ja det tycker jag. Det står klart och tydligt hur vi ska arbeta och utefter barnens behov och
möjligheter och anknyta. Ja, det tycker jag verkligen och även inom arbetslaget, skolledning och
allt så bygger det mycket på att arbeta på detta sätt. Det är väl i så fall utan mattebok som inte är
så vanligt. Men det förstår man nu på ett annat sätt och föräldrarna också. Jag kan visa på mitt
arbetssätt att det stämmer enligt Lgr11 (Bea).
Ja, det hoppas jag. Jag hade mycket bra resultat på de nationella proven vilket gör att man nog
inte är ute och reser när det gäller matten utan de har klarat det väldigt bra (Carina).
Ja, det tycker jag faktiskt. Jag gillar ju Lgr11. Jag tycker den är bra och den är tydlig. Det jag har
haft svårt för är det här med pedagogiska planeringar och så för i och med att jag inte har haft
klass/…/det är väl där jag känner min största utmaning att jag har börjat spåna på den och börjat
med så vad man ska bedöma och hur man ska bedöma det (Diana).
Mmm, det känner jag. Det finns ju alltid lärarhandledning till böckerna och den är kopplad till
Lgr11 så det som ska tas upp är ju det som ingår i kraven som de ska kunna (Eva).
6.5.2
Analys av läroplanen
Läroplanen ska stå som grund för lärarens uppdrag och det är därför av vikt att läraren har
kunskap om vad som står i den. Resultatet i denna studie visar att samtliga lärare säger sig
finna stöd för sitt arbetssätt i Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet
2011. Däremot är tillförlitligheten i detta resultat för samtliga lärare svårt att förhålla sig till
58
på grund av deras korta och inte så innehållsrika svar. Ingen av lärarna har under
observationen eller under intervjuerna återkopplat till läroplanen utan de har endast besvarat
frågan i slutet av intervjun om de finner stöd för sitt arbetssätt. Som nämnts ovan nämnde
ingen av lärarna något om att ordet konkret finns med i Läroplanen. Ordet konkret finns med
två gånger under kunskapskraven för godtagbara kunskaper i slutet av årskurs 3 (Skolverket
2011b, s.67). Ett bekymmer är att resultatet visar att samtliga lärare inte har en fulländad syn
på vad konkret matematik är vilket är bekymmersamt eftersom ordet konkret finns med i
Läroplanen. Eftersom lärarna i slutet av årskurs 3 ska bedöma eleverna utifrån
kunskapskraven som finns i läroplanen bör lärarna ha påvisat en bredare och djupare
kompetens kring innehållet i Läroplanen. De förmågor samt det centrala innehåll som finns i
Läroplanen (Skolverket 2011b, ss.62-68) har inte någon av lärarna uttryckt vilket ökar
troligheten att de inte har den kunskap de bör ha kring innehållet i Läroplanen. I resultatet
framkommer det att Diana vid tillfället då intervjun skedde, det vill säga halvvägs in på den
första terminen precis hade börjat fundera på vad som ska bedömas i matematiken och hur det
ska bedömas. Det kan tyckas vara sent att börja tänka på vad de godtagbara kunskapskraven
för årskurs 3 säger vid denna tidpunkt för Diana då hon undervisar matematik i årskurs 3 detta
läsår. Eva nämner att det finns en lärarhandledning till matematikböckerna som är kopplat till
Lgr11 vilket ger henne en trygghet i kopplingen till Lgr11. En fara med detta är att Eva
tillförlitar sig för mycket på lärarhandledningen och inte sätter sig in i kursplanen för
matematik.
Samtliga lärare har i resultatet visat på en varierad undervisning och uttryckt att en varierad
matematikundervisning ger eleverna olika former av lärandesituationer. Enligt Läroplanen för
grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet (Skolverket 2011b, ss.62-68) står det
beskrivet att lärarna ger eleverna möjlighet att prova olika arbetssätt och arbetsformer.
Oavsett om lärarna följer en del av det som står i Läroplanen visar resultatet på ett behov av
en djupare förståelse för kursplanen i matematik.
6.6
Sammanfattning av resultatet
Samtliga lärare använder sig av konkret matematik i större eller mindre utsträckning i sin
matematikundervisning och anser att de finner stöd för detta arbetssätt i läroplanen. Lärarna
har svårt att ange exakt hur stor del av deras undervisning som bedrivs av konkret material.
Fyra av lärarna avgränsade begreppet konkret matematik till något som innehöll flera aspekter
59
och deras aspekter återkom kontinuerligt under intervjuns gång vilket gjorde deras personliga
avgränsningar mer tillförlitliga. De aspekter som framkom som avgränsning av begreppet
konkret matematik var sinnen, kroppen, verklighet, vardag och material av olika slag. Eva
hade endast en aspekt av vad konkret material är och hennes uppfattning innehöll endast
innebörden av laborativt material. Evas uppfattning av begreppet förklarades inte
återkommande och upprepades inte kontinuerligt under intervjun. Resultatet visar att fyra av
lärarna har en tolkning av konkret matematik som sammanfaller med den tolkning som
konkret matematik har i denna uppsats. Evas uppfattning om konkret matematik är inte lika
tillförlitlig då den inte synliggjordes på samma sätt. Alla lärare såg möjligheter med att
använda konkret matematik i undervisningen. Lärarna hade ungefär samma innehåll i det som
de uttryckte som möjligheter och det var att på något sätt förtydliga och ge eleverna en
variation på deras undervisning. Två av lärarna uttrycker även att konkret material får
eleverna att utforska själva och prova sig fram till lösningar. Lärarna uttryckte fler
begränsningar än möjligheter med användandet av konkret matematik. De begräsningar som
framkom i resultatet var personal, utrymme, pengar, tid och lek. Då lärarna i många
avseenden inte har möjlighet att påverka vissa begränsningar som exempelvis den
ekonomiska möjligheten att köpa in material eller bristen på personal så uttrycker lärarna en
mening som visar på att de skulle vända begränsningen till en möjlighet om de hade chansen
att göra så.
Resultatet visar på att lärarna använder sig av ett varierat arbetssätt i sin
matematikundervisning. På vilket sätt de använder konkret matematik skiljer sig mellan
lärarna. De använder konkret matematik antingen i sina genomgångar, i det individuella
arbetet, i gruppdiskussioner eller i den avslutande delen av lektionen. Två av lärarna uttrycker
även att de arbetar mer med konkret matematik ju yngre eleverna är. Lärarna fick beskriva hur
en generell matematiklektion kan se ut och resultatet visade att alla lärare beskrev en typisk
matematiklektion med nästan lika upplägg. De börjar med något gemensamt i form av en
genomgång, ett problem eller något konkret som sedan övergår till grupparbete eller
individuellt arbete. Tre av lärarna avslutar sedan sin lektion med något gemensamt medan en
av lärarna stannar vid det individuella arbetet eller grupparbetet. En av lärarna använder båda
typerna av lektioner beroende på vilken årskurs hon undervisar. Resultatet uppvisar även att
fyra av lärarna använder sig av en lärobok i sin matematikundervisning. Lärarna låter inte
läroboken dominera undervisningen utan använder den som ett hjälpmedel till
undervisningen. En lärare använder sig inte av någon lärobok i sin undervisning utan skapar
egna matematikhäften till eleverna. Hon antyder att det är mer tidskrävande för henne som
60
lärare att göra eget material men menar att det är värt det för elevernas skull genom att de får
material som är anpassade efter var och en.
61
7
Diskussion
Jag har valt att föra en diskussion med studiens forskningsfrågor som utgångspunkt. Syftet
med uppsatsen var att undersöka om verksamma lärare arbetar med konkret matematik i sitt
vardagliga arbete och hur de i så fall använder sig av det. Utifrån detta syfte formulerades de
frågeställningar som jag har valt att använda som rubriker i diskussionsdelen. Eftersom det i
resultatet framkom en bristfällig förståelse hos samtliga lärare gällande kursplanen i
matematik har jag valt att även föra en diskussion kring detta överraskande resultat. Innan jag
går in på diskussionen av resultatet har jag valt att göra en metoddiskussion.
7.1
Metoddiskussion
Undersökningen grundar sig på kvalitativa metoder i form av intervju och observation. Jag
ansåg att denna metod var lämplig eftersom jag ville ta reda på vilket sätt lärare tillämpar
konkret matematik i sin undervisning samt vilka möjligheter och begräsningar det finns av att
använda sig av detta arbetssätt i den vardagliga verksamheten. Jag valde att göra en öppen
observation vilket innebär att deltagarna vet om och har accepterat att man fungerar som
observatör (Holme & Solvang 1997, ss.111-113). Under samtliga observationer fungerade jag
som observatör och eleverna accepterade mig som en del i klassrummet. Jag valde att anpassa
mitt medverkande i klassrummet utefter varje observation vilket ledde till att jag hamnade i
ett mellanläge av en aktivitet och en passivitet. Genom att hitta ett läge där man är följsam
och beter sig på ett sätt som gruppen förväntar sig ges bästa möjlighet att fungera på gruppens
villkor (Holme & Solvang 1997, s.115). Detta sätt att agera under samtliga observationer fick
mig att känna mig bekväm i min roll som observatör. Eftersom jag hade bestämt mig för att
utföra observationen innan intervjun blev det första mötet med läraren som skedde ungefär tio
minuter innan lektionen påbörjades lite stelt på grund av att tid för samtal innan observationen
startade var begränsad. En lösning på denna problematik hade varit att möta läraren med
större tidsram innan observationen ägde rum. Det hade dock kunnat leda till att läraren ville
försöka få reda på vad jag ville ha ut av observationen genom att ställa frågor. Detta ville jag
undvika och därför valde jag en snäv tidsram mellan mötet av läraren och start av den lektion
som skulle observeras. Eftersom observationerna verkade som stimuli till intervjuerna valde
jag att inte spela in observationerna på video samt gjordes endast en enkel transkribering av
materialet från observationerna. I efterhand hade en videoobservation kunnat vara en fördel
på grund av att observationerna hade kunnat verka som mer än stimuli till undersökningen. En
62
inspelning av observationerna på video hade även kunnat göra det möjligt att titta på dem
flera gånger.
Intervjuer användes för att få fram lärarnas muntliga berättelse och förståelse (Widerberg
2002, s.16). Jag använde mig av en intervjuguide som låg till grund för samtalet där det under
samtalets gång skulle finnas utrymme för nya frågor och följdfrågor. Detta för att det som ska
komma fram under intervjun är undersökningspersonens egna uppfattningar och därför bör de
få styra intervjuns utveckling i största mån (Holme & Solvang 1997, s.101). Jag känner i
efterhand att min intervjuguide borde ha haft ett innehåll av färre frågor på grund av att få
igång ett mindre styrt samtal vilket var min utgångspunkt. Jag tror att jag hade kunnat få ett
djupare perspektiv på en del frågor av lärarna om jag hade utelämnat några frågor i
intervjuguiden och låtit läraren styra samtalet till större del. Intervjuerna ägde rum på den
skola som läraren arbetade under dagtid när andra verksamheter fanns i byggnaden. Ett
genomförande av en intervju på intervjupersonens arbetsplats kan vara stressande för
intervjupersonen då de inte kan koppla bort jobbet (Widerberg 2002, s.93). Ingen av lärarna
uttryckte någon stress med att intervjun genomfördes på deras arbetsplats. Eftersom
intervjuerna ägde rum i det klassrum läraren vanligtvis undervisade i fanns det istället en
möjlighet för dem att visa material som de använde i sin undervisning. Jag valde att spela in
intervjuerna på en ljudinspelare samt föra anteckningar. Det kan vara bra att föra anteckningar
under intervjuns gång även om man använder sig av en ljudinspelare då detta är en
säkerhetsåtgärd ifall ljudspelaren inte skulle fungera (Widerberg 2002, s.93). Samtliga lärare
var positiva till att samtalet spelades in på en ljudinspelare. I efterhand hade en andra intervju
med samtliga lärare kunnat bidra till en djupare undersökning. Det fanns dock inte utrymme
tidsmässigt för lärarna att genomföra fler än en intervju.
Svarsfrekvensen bland de skolor i den kommun som först var tilltänkt att undersöka var
alldeles för låg vilket bidrog till att jag fick kontakta ännu en kommun. I den första
kommunen fick jag endast svar från tre skolor. Den ena av dessa skolor hade endast årskurs 4
till 9 vilket gjorde att de inte kunde medverka i undersökningen. Detta var en felaktighet från
min sida då jag borde gjort en noggrannare undersökning om vilka skolår respektive skola
undervisar. På de två andra skolorna som gav svar fanns det en lärare från respektive skola
som kunde tänka sig att ställa upp på en observation samt en intervju. Trots påminnelse och
nya utskick av förfrågningar till de skolor som blivit tillfrågade kom inget svar. Detta bidrog
till att jag kontaktade ytterligare en kommun för att få en större grund att basera min studie på.
I den andra tillfrågade kommunen fick jag svar från tre skolor där en lärare från respektive
skola ville medverka i en observation samt intervju. Anledningen till varför svarsfrekvensen
63
bland skolorna till denna undersökning var så låg kan bero på flera saker. Två anledningar
som jag anser kan ligga till grund är att lärarna inte anser sig ha tid till att ställa upp då
intervjun tar tid från dem privat eller på arbetet. En annan aspekt kan vara att lärarna inte vill
ställa upp på att bli granskade av sitt sätt att undervisa.
7.2
På vilket sätt anser verksamma lärare att de tillämpar konkret
matematik i sin undervisning?
Utifrån lärarnas förhållandevis vaga argument till att de finner stöd för sitt arbetssätt i Lgr11
sätts en tanke igång hos mig kring deras kunskap om själva läroplanen. År 2011 infördes
Lgr11 som anger de övergripande målen för förskola och skola och att kommunerna ansvarar
för genomförandet. Detta visar på att kommunerna har ett ansvar för att lärarna följer det som
står i läroplanen. Eftersom resultaten pekar mot en icke djupt rotad kunskap hos lärarna
gällande den nu rådande läroplanen kan man fråga sig om kommunen har tagit sitt ansvar för
att alla lärare ska kunna genomföra en undervisning baserad på läroplanen. Ur ett annat
perspektiv kan det tyckas svårt att som lärare genomföra en undervisning utan att ha
tillräcklig kunskap om vad läroplanen säger. I läroplanen finns en kursplan för varje ämne i
grundskolan och den anger undervisningens syfte där de förmågor som eleverna ska ges
förutsättningar att utveckla genom undervisningen framgår (Skolverket, 2011b, ss.62-68).
Vidare innehåller kursplanen även ett centralt innehåll som berättar vilket obligatoriskt
innehåll som ska behandlas i undervisningen samt de kunskapskrav som eleverna ska ha
uppnått i slutet av årskurs 3, 6 och 9. Om lärarna inte har kunskapen om innehållet i
läroplanen samt kursplanen för det ämne de undervisar kan man ställa sig frågan hur
rättssäker undervisningen blir för eleverna. Undervisningen som bedrivs ska ge eleverna
förutsättningar att utveckla förmågorna samt ta upp det centrala innehållet. En tydlig ambition
med den nya läroplanen och kursplanen i matematik är att de ska tas i bruk vid planeringen av
undervisningen (Jahnke 2012, s.5). Resultatet visar att lärarna i de båda kommunerna borde
ha större förståelse och bättre motivering till varför de finner stöd för sitt arbetssätt i
läroplanen. Likaså var det inte någon av lärarna som tog upp läroplanen i någon annan del av
intervjun vilket stärker studiens tillförlitlighet av lärarnas svaga kunskap om läroplanen. I en
rapport från Skolinspektionen (2014, s.12-13) framkommer det att den undervisning som
bedrivs i svenska skolor inte utgår från kursplanernas och läroplanernas mål i den grad som är
önskvärd. I undervisningen får eleverna endast ta del av delar från det centrala innehållet
vilket bidrar till att endast ett fåtal av förmågorna kan utvecklas. Detta kan i sin tur hämma
64
eleverna i deras utveckling. Tre av lärarna undervisar detta läsår årskurs 3 i matematik vilket
innebär att de i slutet av detta läsår ska kunna bedöma eleverna utifrån de kunskapskrav för
godtagbara kunskaper i slutet av årskurs 3 (Skolverket 2011b, ss.62-68). Utifrån det resultat
som framkommit ur studien visas även här en brist. Det känns tveksamt att lärarna ska kunna
ge en rättssäker bedömning till eleverna om de inte har en djupare kunskap om vad
kunskapskraven säger. En av de tre lärarna uttrycker även klart och tydligt sin otrygghet
gällande vad som ska bedömas i matematiken samt hur det ska bedömas. Framför allt för de
tre lärarna som undervisar årskurs 3 detta läsår känns detta som en mycket aktuell åtgärd.
Genom att använda bedömning på rätt sätt kan den enskilda elevens lärande påverkas positivt
och få stor betydelse. Läraren måste berätta för eleverna vad som ska bedömas samt skapa
situationer där eleverna kan visa dessa kunskaper (Pettersson 2013, s.1). Detta visar på
betydelsen av att läraren måste veta vad som står i kunskapskraven för att kunna bedöma.
Elevens fortsatta kunskapsutveckling, motivation och självuppfattning är direkt kopplade till
bedömning (Pettersson 2013, s.2). Tänkbara anledningar till lärarnas bristande kunskaper kan
vara att den behöver tolkas vilket leder till diskussioner om den är nödvändig (Jahnke 2010,
s.4). Vems ansvar är det att lärarna besitter denna kunskap, kommunen eller läraren själv?
Sett utifrån denna uppsats som fokuserar på konkret matematik som en del av
matematikundervisningen är det anmärkningsvärt att ingen av lärarna nämner något om att
ordet konkret står med i läroplanen. Ordet konkret står med två gånger under rubriken för
kunskapskraven för godtagbara kunskaper i slutet av årskurs 3 (Skolverket 2011b, s.67). Där
står det tydligt att eleven ska ha grundläggande kunskaper om matematiska begrepp och
kunna beskriva dess egenskaper med hjälp av symboler och konkret material eller bilder.
Fortsättningsvis står det att eleverna använder sig av ett konkret material, bilder, symboler
och andra matematiska uttrycksformer med anpassning till sammanhanget när de ska beskriva
och samtala om tillvägagångssätt på ett fungerande sätt (Skolverket 2011b, ss.62-68). Detta
leder in på lärarnas tolkningar av vad som menas med konkret matematik. Eftersom ordet
konkret som nämndes ovan finns med i läroplanen borde lärarna ha en vetskap om innebörden
i detta ord. Resultatet visar att de fem lärarna hade en tanke om vad konkret matematik är och
avgränsade begreppet efter sin egen tolkning. För fyra av lärarna var definitionen av konkret
matematik något som innehöll flera olika aspekter som exempelvis, sinnen, kroppen,
verklighet och vardag samt material av olika slag. Deras definition av begreppet återkom även
flera gånger under intervjuns gång vilket gjorde att lärarnas personliga avgränsningar av vad
konkret matematik är blev mer tillförlitlig. I Evas avgränsning av begreppet konkret
matematik fanns endast en aspekt med, vilket var laborativt material. Evas aspekt förklarades
65
inte återkommande och upprepades inte kontinuerligt under intervjun. Detta gör att Evas
uppfattning om vad konkret matematik är inte är lika tillförlitlig då den inte synliggjordes på
samma sätt av henne under intervjuns gång samt på grund av hennes korta beskrivning av
begreppet. Eftersom syftet med uppsatsen är att ta reda på om verksamma lärare arbetar med
konkret matematik som en del av sin undervisning är det av vikt att ta reda på om lärarna
känner till innebörden i begreppet konkret. Resultatet visar att fyra av fem lärare har en bred
förståelse av vad konkret matematik är. En av lärarna visar inte samma kunskap om detta
begrepp vilket är bekymmersamt då ordet förekommer i läroplanen. Resultatet visar dock att
alla lärare arbetar i större eller mindre utsträckning med konkret matematik i sin undervisning.
Även då Evas avgränsning av begreppet konkret material inte stämmer helt överens med den
innebörd begreppet har i denna uppsats visar resultatet att hon ändå använder sig av konkret
matematik i sin undervisning i mindre utsträckning. I denna uppsats avgränsades begreppet
konkret matematik till ett tydligt objekt som kan upplevas genom kroppens sinnen och som
kan användas i det verkliga livet.
Genom att lärarna använder sig av konkret matematik som en del av sin undervisning kan det
tolkas som att samtliga lärare använder sig av ett klassrum baserat på social konstruktivism
(D’Angelo & Iliev 2012, s.4). Genom att lärarna också i större eller mindre utsträckning har
ett aktivt klassrum där eleverna inte är passiva mottagare av information utan är aktiva i sitt
eget lärande stärks tillförlitligheten på att lärarna har ett klassrum baserat på social
konstruktivism (D’Angelo & Iliev 2012, s.4 och Ellerton 1992, ss.4-5). I resultatet framträder
i stora drag två olika typer av lektioner som antingen avslutas med eller utan en diskussion.
Anna använder sig av ett upplägg där hon inte använder sig av en avslutande diskussion på
sina lektioner medan resterande lärare använder sig av lektioner där de använder sig av en
avslutande diskussion. Eva använder sig av båda formerna beroende på vilket årskurs hon
undervisar. Samtliga lärare visar på gruppdiskussioner i sin undervisning vilket visar att de
arbetar utefter ett social konstruktivistiskt perspektiv. Genom att använda sig av
gruppdiskussioner under lektionen får eleverna möjlighet att ta del av det betydelsefulla
samspelet där språket är en central del (Watson 2000, s.136). Språkets betydelse är ett
nödvändigt verktyg för lärandet (Glaserfeld 1995a, ss.176-192). Alla deltagare i klassrummet
måste vara delaktiga i de resonemang som förs i klassrummet. Det räcker inte att en individ är
aktiv utan det krävs att även de andra i klassrummet är delaktiga (Cobb 2000, ss.152-156).
Återigen pekar lärarnas undervisning gällande gruppdiskussioner på ett social
konstruktivistiskt klassrum där både den individuella individen och klasskamraterna är aktiva
i matematiska resonemang. Resultatet visar att lärarna under varje lektion låter eleverna
66
komma i kontakt med någon form av konkret material. Genom att skapa ett klassrum där
eleverna arbetar med konkret material får eleverna en möjlighet att själva konstruera sin
matematik. Enligt det social konstruktivistiska perspektivet skaffar sig inte individen
matematisk kunskap genom att lösa uppgifter i en lärobok vilket betyder att kunskapen inte
ägs av läraren eller läroboken (Ellerton 1992, ss.4-5). Hur de använder sig av det konkreta
materialet skiljer sig dock mellan lärarna. Anna och Eva uttrycker att de arbetar mer med
konkret material ju yngre eleverna är. Hos övriga lärare var detta inte något som de uttalade
utan pratade generellt om sitt användande av konkret matematik. Det är dock rekommenderat
att använda sig av laborativt material i alla årskurser samt att det är nödvändigt i
undervisningen av unga barn i matematik (D’Angelo & Iliev 2012, ss.1-5). Detta är något
som lärarna borde bli upplysta om då två av lärarna i undersökningen betonade att de
använder mer konkret material ju yngre eleverna är. Detta kan bidra till att det minskas
kontinuerligt ju högre upp i årskurserna man kommer och till sist har användandet av konkret
material försvunnit när det kanske fortfarande behöver vara nödvändigt för elever i högre
årskurser.
Samtliga lärare visar på ett varierat arbetssätt i sin undervisning. Konkret matematik finns
som en del av deras undervisningssätt. Det konkreta materialet används av lärarna antingen i
genomgången, i det individuella arbetet, i gruppdiskussioner eller i den avslutande delen av
lektionen där dagens innehåll knyts samman. Genom att lärarna använder sig av ett varierat
innehåll och varierande arbetsform skapar de en lust och en glädje hos eleverna att lära genom
att skapa ett lustfyllt lärande. Ingen undervisningsmetod är den rätta utan att olika elever
behöver olika innehåll, material och arbetsmetoder. Genom att använda olika sätt att lära in
tillgodoses olika elevers behov (Skolverket 2003, ss.7-49). En fara med Evas arbetssätt
gällande konkret matematik är att hon endast använder en aspekt, det vill säga laborativt
material. Hon uttrycker inte specifikt variationen hon har i det laborativa materialet. Det som
är viktigt att uppmärksamma är dock att eleverna kan fästa sig för mycket vid ett enda
laborativt material (Ahlberg 2000, s.52).
Ingen av lärarna nämnde lärarens roll vid arbetet med konkret matematik. Det är lärarens
ämneskunskaper som är av stor betydelse när man arbetar med konkretisering så att läraren
använder materialet på rätt sätt (Skolverket 2011a, s.29). Läraren måste kunna bestämma
vilken matematik och vilket tänkande som ska synliggöras. Det är alltså inte tillgången på
materialet som är det viktiga utan det viktiga är hur materialet används (Skolverket 2011a,
29). Bea, Carin och Eva erbjuder konkret material på varje matematiklektion. Här är det av
vikt att lärarna tänker på syftet med materialet så att de inte bara ställer fram det till elevernas
67
förfogande utan eftertanke. Det kan leda till att det konkreta materialet inte får det syfte
lärarna hade tänkt.
Fyra av lärarna använder sig av en lärobok i sin matematikundervisning och en av lärarna
använder sig inte av någon lärobok utan gör eget material till eleverna. Det är inte ett
förvånande resultat att fyra av fem lärare använder sig av en lärobok i sin undervisning på
grund av att matematik verkar vara det ämne som är mest beroende av en lärobok och det
ämne där läroboken är dominerande (Skolverket 2003, s.28). Det som är intressant är varför
lärarna använder sig av en lärobok. Något som Diana uttryckte var att hon använder sig av en
lärobok för det ger henne trygghet i hennes undervisning eftersom hon är inte tidigare
undervisat i ämnet. Hon utger sig inte för att vara frågandes eller motsträvande till att frångå
läroboken utan vill endast ha mer kött på benen för att frångå den. Är läraren inte säker i
ämnet kan läroboken vara en säkerhet att luta sig tillbaka på (Johansson 2006, ss.9, 27-30).
Gällande de andra tre lärarna som arbetar med lärobok i sin undervisning har Anna arbetat i
14 år, Carina i 39 år och Eva i 3 år som lärare. Eva har inte lång erfarenhet av att undervisa i
matematik vilket kan vara en anledning till att hon använder sig av en lärobok i matematik.
Eva uttrycker att det finns en lärarhandledning till matematikboken hon använder som är
kopplad till Lgr 11 vilket kan tolkas som att hon i den ser en trygghet och på så sätt inte kan
göra fel i sin undervisning. Det måste få ta tid för lärarna att överge den trygga läroboken och
övergå till ett annat arbetssätt (Ahlberg 2000, s.52). En anledning till att lärarna inte överger
läroboken kan vara att deras bristande kunskaper om läroplanen gör att matematikboken är ett
säkert kort att använda. Matematikboken ger kanske lärarna en trygghet men något som är
ännu viktigare att begrunda är om det ger eleverna en trygghet i sin inlärning. Läroboken bör
vara en ram för undervisningen där läraren bestämmer hur styrande denna ram ska vara
(Johansson 2006, ss.9, 27-30). Det är viktigt att lärarna utvärderar boken och hittar dess
potentialer och begränsningar, på så vis kan lärarna använda läroboken som stöd i sin
undervisning. Resultatet visar att samtliga lärare som använder sig av en lärobok ändå
använder sig av ett varierat arbetssätt vilket innebär att de inte är helt styrda av läroboken.
Lärarna måste ha en undervisning som har en utgångspunkt i barnens egen föreställningsvärld
om de ska ges möjligheter till nya erfarenheter (Ahlberg 2000). Det är av vikt att komma ihåg
att matematisk kunskap inte är något en individ skaffar sig genom att lösa uppgifter i en
lärobok (Ellerton 1992, ss.4-5).
68
7.3
Vilka möjligheter och/eller begränsningar finns det av att använda sig
av konkret matematik i den dagliga undervisningen?
Samtliga lärare såg möjligheter och begränsningar med att använda sig av konkret matematik
i sin undervisning. Trots att samtliga lärare såg fler begränsningar än möjligheter åskådliggör
lärarna ändå olika metoder för att komma ifrån begränsningarna och vända dem till
möjligheter istället. Resultatet visade att de möjligheter som lärarna såg med konkret
matematik var att det kan synliggöra i förståelsen för eleverna samt att det ger en variation i
arbetssättet. Som tidigare nämnts ger en variation, en flexibilitet och ett undvikande av det
monotona en lust att lära (Skolverket 2003, ss.7-49). Kvaliteten på undervisningen kan
förbättras genom en varierad undervisning, ett varierat arbetssätt med inslag av laborativt
material och en minskning av lärobokens dominans (Skolverket 2003, ss.7-49). En variation i
undervisningen var något som var återkommande hos samtliga lärare under intervjuerna vilket
ger en större tillförlitlighet till att de inser vikten av ett varierat undervisningssätt. Ju mer
insikt lärarna har om möjligheterna med ett konkret undervisningssätt desto större kan
sannolikheten vara att de använder sig av det. Därför är det viktigt att synliggöra
möjligheterna av ett varierat undervisningssätt och vilken betydelse konkret matematik har.
Det är av vikt att eleverna får en exponering av ett varierat antal matematiska verktyg
(D’Angelo & Iliev 2012, s.1-5). En variation av källor ger eleverna motivation till att lära och
de aktiviteter som förekommer kan om de är noga utvalda få elever att känna sig lustfyllda.
De fysiska material som finns till hands är användbara men måste ses som ett tillfälle att
reflektera och abstrahera (Glaserfeld 1995a, ss.176-192). En liknelse kan göras med en
byggmästare som ska bygga ett nytt hus. Byggmästaren skulle aldrig tänka tanken att be
byggnadsarbetarna att börja bygga den översta våningen. Grunden är det som huset ska stå på
och den får man inte slarva med. Det är likadant med matematiken i skolan. Men i
husgrunden kan det finnas dolda svagheter som kan ge stora svårigheter längre upp i åldrarna
om det inte tas itu med. Kvaliteten på kunskaperna måste hålla för att barnen ska fortsätta
lära. Steget från det konkreta till det abstrakta är stort och därför är det viktigt att grunden i
huset byggs rätt från början (Olsson & Forsbäck 2008, s.14). Ju tidigare en elev börjar arbeta
med laborativt material desto stabilare blir grunden för kunskaper hos eleven (D’Angelo &
Iliev 2012, ss.1-5). Resultatet visar delvis att lärarna är på god väg till att skapa en bra grund
för eleverna. Det är frågandes om denna grund är stabil nog vilket jag baserar på lärarnas
kunskaper om läroplanen. Lärarna visar på ett bra användande av ett varierat innehåll och en
69
varierad undervisning. Men hur pålitlig grunden hos eleverna blir utan en djupare kunskap i
läroplanen av lärarna är en tveksamhet. Lärarna pratar även om att konkret matematik kan
synliggöra för eleverna och att de genom det konkreta får en möjlighet till att förstå. Om
lärarna använder materialet på ett effektivt sätt kan eleverna få en större förståelse av den
konkreta upplevelsen (D’Angelo& Iliev 2012, ss.1-5). Två av lärarna uttalar även att eleverna
ges möjlighet att prova sig fram till olika lösningar i en situation med konkret material. Ett
konkret och verkligt material skapar en rik miljö där eleverna kan undersöka sina idéer och
lösa problem (D’Angelo & Iliev 2012, ss.1-5). Anna och Bea visar på en bred kompetens av
användandet av konkret matematik samt en varierad undervisning då de använder saker även
utanför klassrummet som exempelvis skolgården och skogen i sin matematikundervisning.
Anna anser att skogen ger många möjligheter till lärande gällande matematiken och att hon
använder den ofta när det är fint väder ute. På detta sätt kan hon anknyta till verkligheten för
eleverna. Genom att börja arbeta från de egna erfarenheterna som vi möter i vardagen till att
samtala om hur det kan formuleras på ett matematiskt språk till att slutligen räkna ut talet kan
man skapa sig en förståelse för vad det är man gör (Olsson & Forsbäck 2008, ss-7-12).
Genom att förankra undervisningen i praktiska sammanhang och inte i påhittade situationer
grundar man sin undervisning i ett social konstruktivistiskt perspektiv (Glaserfeld 1995b,
ss.14-15). Bea nämner exempelvis användandet av stafett vid inlärning av multiplikation och
hon är noga att berätta att syftet med lektionerna är grundat i matematiken. Eleverna får
utöver alla andra möjligheter med att använda kroppen som laborativt material även fysisk
aktivitet i den annars ”vanliga” klassrumsundervisningen. Genom att använda kroppen som
ett laborativt redskap i matematikundervisningen får eleverna en möjlighet att skapa sig en
förståelse för de första momenten inom matematikundervisningen (Bernerskog 2007, ss.3-8).
Beas sätt att använda kroppen i undervisningen visar på ett verkligt arbetssätt att använda
konkret matematik i undervisningen som även gynnar eleverna på fler än ett sätt. Det finns
många vinster med att använda kroppen som ett laborativt hjälpmedel i den tidiga
matematikundervisningen (Bernerskog 2007, ss.3-8). Resultatet visar inte om de resterande
tre lärarna använder sig av sin närhet i undervisningen. Omgivningen kring de resterande tre
lärares skolor ger möjligheten till detta vilket gör att lärarna borde upplysas om vilka
möjligheter som finns runt omkring dem samt förståelsen av vad den kan bidra med till deras
matematikundervisning.
De begränsningar som lärarna uttryckte i resultatet var personal, utrymme, tid, lek och
pengar. Samtliga lärare såg begräsningar med användandet av konkret matematik och de
70
uttryckte fler begränsningar än möjligheter. På grund av att lärarna uttryckte fler
begränsningar än möjligheter kan det påverka lärarnas användning av att använda sig av
konkret matematik i sin undervisning. Dock visade resultatet på att samtliga lärare visar på
olika metoder för att komma ifrån begränsningarna och vända dem till möjligheter.
Fyra av lärarna nämner tid som en begränsning med att arbeta med konkret material. Anna
och Bea uttrycker inte på vilket sätt de anser att tiden är en begränsning vilket gör det svårt att
tolka på vilket sätt tiden kan begränsa dem i sitt arbete. Diana anser att en begränsning
gällande tid kan vara att det tar tid av lektionen att plocka fram materialet och sedan plocka
ihop materialet. Hon tycker inte att hon har detta problem idag men antyder att om man har en
rörigare grupp kan det ta mer av tiden. Diana och Eva var tydliga med att påpeka att tiden av
dem som lärare inte begränsar dem i användandet av konkret material. Användandet av
material måste planeras (Szendrei 1996, ss.411, 423-424) vilket gör att läraren noggrant måste
planera den lektion där det konkreta materialet ska användas (D’Angelo & Iliev 2012, ss.1-5
och Glaserfeld 1995a, ss.176-192). Resultatet visar att det finns två typer av begränsningar
med tid, den tid det tar för läraren att förbereda arbetet med det konkreta materialet samt att
det tar tid av lektionen. Även fast lärarna i resultatet påpekar dessa begränsningar är det inte
någon av lärarna som uttrycker att de begränsas av tiden. Här visar resultatet på en
begränsning som lärarna vänder till en möjlighet, då de ser vad som kan hindra dem i sitt
arbete med konkret material men att de väljer att inte låta det göra det. Bea anser sig ha hittat
en lösning på det hinder som kan uppstå gällande begränsningen där tiden av lektionen äts
upp av framplockandet och tillbakaplockandet av material. Lösningen som Bea ser är att inte
ha någon sluttid på lektionen vilket hon själv använder sig av i sin undervisning. Om eleverna
inte hinner klart under en lektion får de fortsätta under nästa lektion. Beas sätt att arbeta kan
ge elever samt lärare en icke stressad miljö där eleverna inte behöver känna att de måste hinna
klart. Tiden ska inte behöva vara en begräsning. En annan begränsning som framkom från
fyra av lärarna i resultatet var att det kan bli stökigt med användandet av konkret material
vilket kan leda till att det konkreta materialet istället blir ett hinder. Samtliga lärare som såg
denna begränsning gav exempel på hur denna begränsning kan hanteras. Återigen visar
lärarna på hur de vänder det som anses vara begränsningar till möjligheter istället. Eleverna
börjar ibland leka med materialet än att använda det i det syfte som är tänkt. Lärarna menar att
det i dessa situationer gäller att få eleverna att arbeta med materialet på rätt sätt. Eva brukar
visa hur man använder materialet för att minska risken för lek. Eleverna kan se materialet som
leksaker vilket innebär att läraren måste introducera materialet, om läraren visar hur
materialet används kan eleverna fysiskt se hur materialet ska användas (D’Angelo & Iliev
71
2012, ss.1-5). Eleverna kan också fastna i konkretionerna vilket kan belysas genom ett
exempel. Eleverna ska lära sig om solsystemets uppbyggnad genom att konstruera en modell
av ballonger i papier maché. I detta exempel blir eleverna så pass upptagna av att blåsa
ballonger i rätt storlek att de inte tar in syftet med övningen (Wistedt 1992, ss.65, 111-112).
Det är alltså inte tillgången på material som är det viktiga utan det viktiga är hur materialet
används (Skolverket 2011a, s.29). Om materialet leder till konkretisering beror på läraren
(Szendrei 1996, ss.429-433). I resultatet framkom från lärarna andra sätt att komma ifrån ett
lekande med materialet. Diana brukar ibland använda materialet i en samling där eleverna
sitter i en ring och de kommer fram en och en eller två och två för att använda materialet.
Anna byter ut material som inte är lika lätt att leka med om hon märker att det är behövligt. I
dessa situationer får eleverna arbeta med ett konkret material samtidigt som det minskar
risken för lek. Det står dock i Läroplanen att ”Skapande arbete och lek är väsentliga delar i det
aktiva lärandet” (Skolverket 2011b, s.4). Vidare står det att leken är av betydelse under de
tidiga skolåren då det gynnar eleverna i deras kunskapsinhämtning. Från en annan synvinkel
behöver lek med det konkreta materialet inte bli en begränsning om man ser det utifrån lekens
perspektiv då själva leken gynnar eleverna i att tillägna sig kunskaper. Samtliga lärare
åskådliggör trots antalet begräsningar under både observation och intervju med tydlighet olika
metoder att komma från begränsningar och vända dem till möjligheter istället. En fara som
inte framkommer i resultatet är att läraren inte har den kunskap om materialet som används
och att materialet då inte används på rätt sätt (Szendrei 1996, ss.429-433). Resultatet visar
dock att samtliga lärare i undersökningen har en kunskap om de material som de använder i
sin undervisning vilket tydliggjordes under observationen och/eller i intervjun.
7.3
Sammanfattande diskussion
I undersökningen framkommer det att fyra av fem lärare har god kunskap om konkret
matematik samt att alla lärare använder sig av konkret matematik i sin undervisning. Lärarnas
kunskaper om vikten av ett varierat arbetssätt är god men kan utvecklas. En möjlighet till att
öka användandet av konkret matematik kan vara att upplysa lärare om fler idéer om konkreta
arbetssätt och hur de kan användas i och utanför klassrummet. Att skapa ett bra samarbete
kollegor och arbetslag emellan kan även utöka kunskaperna om konkret matematik som en
del av undervisningen. På så sätt kan lärarna även spara tid genom att dela med sig av
planeringar och idéer samt att föra en kontinuerlig diskussion med varandra. Här kommer
72
exempelvis läroboken in som en aspekt. Genom att läraren som tillverkar egna
matematikböcker delar med sig av sina tankar, idéer och tillvägagångssätt till kollegor kan
kunskapen överföras, tid sparas samt ett samarbete påbörjas vilket i sin tur gynnar eleverna.
När det handlar om begränsningar respektive möjligheter uttryckte lärarna fler begränsningar
än möjligheter. Trots detta synliggjorde samtliga lärare olika metoder att vända
begränsningarna till möjligheter. I den begränsning som handlade om lek framkom det sätt att
vända denna begränsning till en möjlighet. I denna vändning håller dock lärarna kvar vid
syftet med den givna uppgiften. Här finns det ett tillfälle för lärarna att se leken som en
möjlighet för eleverna att inhämta kunskap oavsett vilket syfte materialet hade från början.
Istället för att se leken som en begränsning kan lärarna se leken som en möjlighet i det aktiva
lärandet. Läroplanen är högst aktuell gällande fördjupning hos samtliga lärare vilket grundar
sig i att resultatet pekar mot en icke djupt rotad kunskap hos lärarna gällande den nu rådande
läroplanen. Samtliga lärare har vaga argument till att de finner stöd för sitt arbetssätt i Lgr11.
Tre av lärarna undervisar detta läsår årskurs 3 i matematik vilket innebär att de i slutet av
kommande läsår ska bedöma eleverna. Det känns tveksamt att lärarna ska kunna ge eleverna
en rättssäker bedömning då de inte visar på en djupare förståelse om vad kursplanen i
matematik säger.
7.4
Förslag till vidare forskning
I detta arbete avgränsas studien till skolår 1 till 3 i två kommuner i södra Sverige. Förslag till
vidare forskning är att undersöka fler antal lärare i flera olika kommuner i Sverige. Det skulle
kunna ge en mer tillförlitlig undersökning genom att man får flera resultat inom samma
undersökningsområde med en större spridning. Ett annat förslag på vidare forskning är att
undersöka hur konkret matematik används i skolår 4 till 9, på gymnasiet eller i
vuxenutbildning. Detta kan vara intressant då den senaste rapporten från TIMSS visar på att
svenska åttondeklassarnas resultat i matematik har försämrats samt att studien visar att
svenska elever lär sig mindre i matematik mellan årskurs 4 och 8 än i andra länder
(Skolverket 2012). Likaså visar rapporten från PISA att svenska 15-åringars kunskaper i
matematik fortsätter att försämras (Skolverket 2014a). Det kan även vara av intresse att vidare
undersöka lärares kunskaper kring den nya läroplanen då detta var en ny infallsvinkel som
väcktes i denna uppsats.
73
74
8
Litteraturförteckning
Ahlberg, Ann (2000). Att se utvecklingsmöjligheter i barns lärande. I: Nämnaren Tema.
(Red.) Matematik från början. Göteborg: NCM/Nämnaren.
Bernerskog, Ann-Charlotte (2007). Matematik med hela kroppen – inte bara med knoppen.
Slutrapport: Gudrun Malmers Stiftelse. Tillgänglig på Internet:
http://dspace.mah.se/bitstream/handle/2043/3475/bernerskog2005.pdf?sequence=1&isAllowe
d=y (Hämtat 06.05.2014)
Cobb, Paul (2000). Constructivism in social context. In L.P. Steffe & P.W. Thompson (eds.):
Radical constructivism in action. Buildning on the pioneering work of Ernst von Glaserfeld, s.
152-178. London: RoutledgeFalmer.
Bryman, Alan (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. Malmö: Liber AB.
Dahl, Kristin (1991). Den fantastiska matematiken. Rimbo: Fischer & Co.
D’Angelo, Frank & Iliev, Nevin (2012). Teaching mathematics to young children through the
use of concrete and virtual manipulatives. Pennsylvania: Bloomsburg University of
Pennsylvania.
Ellerton, Nerida. F (1992). Some plus and minuses of Radical constructivism in mathematics
education. Mathematics Education Research Journal, Vol. 4, s. 1-22.
Engström, Arne (1998). Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur.
Glaserfeld, Ernst. von (1995a). Radical Constructivism. A way of knowing and learning.
London: The Falmer Press.
Glaserfeld, Ernst. von (1995b). A constructivistic approach to teaching. In L.p. Steffe & J.
Gale (eds.): Constructivism and Education, s. 3-16. Hillsdale, New Jersey: Lawrence
Erlbaum.
75
Glaserfeld, Ernst. von (1991). Radical Constructivism in Mathematics Education. The
Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Glaserfeld, Ernst. von (2000). Problems of Constructivism. In L.P. Steffe & P.W. Thompson
(eds.): Radical constructivism in action. Buildning on the pioneering work of Ernst von
Glaserfeld, s. 3-10. London: RoutledgeFalmer.
Hartman, Sven (2012). Det pedagogiska kulturarvet. Stockholm: Natur & Kultur.
Holme, Idar Magne & Solvang, Bernt Krohn (1997). Forskningsmetodik. Om kvalitativa och
kvantitativa metoder. Lund: Studentlitteratur.
Jahnke, Anette (2010). Ny läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet.
Tillgänglig på Internet: http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/0305_10_4.pdf (Hämtat 17.04.2015).
Johansson, Monica (2006). Teaching mathematics with textbooks. A classroom and
Curricular Perspective. Tillgängligt på Internet:
http://epubl.ltu.se/1402-1544/2006/23/LTU-DT-0623-SE.pdf (Hämtat 29.04.2014).
Larsen, Ann Kristin (2009). Metod helt enkelt. En introduktion till samhällsvetenskaplig
metod. Malmö: Gleerups.
Löwing, Madeleine (2006). Matematikundervisningens dilemman. Hur lärare kan hantera
lärandets komplexitet. Lund: Studentlitteratur.
Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo (2002). Baskunskaper i matematik för skola, hem och
samhälle. Lund: Studentlitteratur.
Malmer, Gudrun (1990). Kreativ matematik. Solna: Ekelunds Förlag AB.
Nationalencyklopedin. Sökord: abstrakt substantiv. Tillgängligt på Internet:
http://www.ne.se.proxy.mah.se/lang/abstrakt-substantiv (Hämtat 16.03.2014).
76
Nationalencyklopedin. Sökord: konkret substantiv. Tillgängligt på Internet:
http://www.ne.se.proxy.mah.se/lang/konkret-substantiv (Hämtat 16.03.2014).
Nationalencyklopedin. Sökord: laborativ undervisning. Tillgängligt på Internet:
http://www.ne.se.proxy.mah.se/laborativ-undervisning (Hämtat 15.04.2014).
Nationalencyklopedin. Sökord: läroplan. Tillgängligt på Internet:
http://www.ne.se.proxy.mah.se/lang/läroplan (Hämtat 15.04.2014)
Nationalencyklopedin. Sökord: matematik. Tillgängligt på Internet:
http://www.ne.se.proxy.mah.se/lang/matematik (Hämtat 15.03.2014).
Nationalencyklopedin. Sökord: praktisk. Tillgängligt på Internet:
http://www.ne.se.proxy.mah.se/kort/praktisk (Hämtat 15.04.2014).
Olsson, Ingrid & Forsbäck, Margareta (2008). Alla kan lära sig matematik. Stockholm: Natur
och kultur.
Olsson, Stig (1999). Matematiska nedslag i historien. Solna: Ekelunds Förlag.
Pettersson, Astrid (2013). Bedömning av kunskap för lärande och undervisning i matematik.
Tillgänglig på Internet: http://www.skolverket.se/om-skolverket/publikationer/visa-enskildpublikation?_xurl_=http%3A%2F%2Fwww5.skolverket.se%2Fwtpub%2Fws%2Fskolbok%2
Fwpubext%2Ftrycksak%2FBlob%2Fpdf2360.pdf%3Fk%3D2360 (Hämtat 16.04.2014).
Riesbeck, Eva (2008). På tal om matematik: matematiken, vardagen och den
matematikdidaktiska diskursen. Linköping: Linköpings Universitet.
Ryen, Anne (2004). Kvalitativ intervju. Malmö: Liber AB.
Sfard, Anna (1995). The development of algebra: Confronting historical and psychological
perspectives. The Journal of Mathematical Behavior, 14(1), s. 15-39.
Skolinspektionen (2014). Från huvudmannen till klassrummet – tät styrkedja viktig för
förbättrade kunskapsresultat. Tillgänglig på Internet:
77
http://www.skolinspektionen.se/Documents/publikationssok/regeringsrapporter/arsrapporter/a
rsrapport-2014.pdf (Hämtat 06.05.2014).
Skolinspektionen (2011:1). Innehåll i och användning av läromedel. Tillgänglig på Internet:
http://www.skolinspektionen.se/Documents/publikationssok/granskningsrapporter/kvalitetsgr
anskningar/2011/kemi/kvalgr-laromedel-slutrapport.pdf (Hämtat 05.05.2015).
Skolinspektionen (2009:5). Undervisning i matematik – utbildningens innehåll och
ändamålsenlighet. Tillgänglig på Internet::
http://www.skolinspektionen.se/Documents/publikationssok/granskningsrapporter/kvalitetsgr
anskningar/2009/matematik/granskningsrapport-matematik.pdf (Hämtat 05.05.2015).
Skolverket (2012). Fjärdeklassare har blivit bättre i naturvetenskap. Tillgänglig på Internet:
http://www.skolverket.se/statistik-och-utvardering/internationellastudier/timss/fjardeklassare-har-blivit-battre-i-naturvetenskap-1.84871 (Hämtat 11.06.2014).
Skolverket (2014a). Kraftig försämring i PISA. Tillgänglig på Internet:
http://www.skolverket.se/statistik-och-utvardering/internationella-studier/pisa/kraftigforsamring-i-pisa-1.167616 (Hämtat 11.06.2014).
Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Stockholm.
Skolverket (2011a). Laborativ matematik, konkretiserande undervisning och
matematikverkstäder. Stockholm.
Skolverket (2011b). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011.
Stockholm.
Skolverket (2014b). PISA i korthet. Tillgänglig på Internet:
http://www.skolverket.se/statistik-och-utvardering/internationella-studier/pisa (Hämtat
11.06.2014).
Skolverket (2013). TIMSS i korthet. Tillgänglig på Internet:
http://www.skolverket.se/statistik-och-utvardering/internationella-studier/timss (Hämtat
10.06.2014).
78
Szendrei, Julianna (1996). Concrete Materials in the Classroom. International Handbook of
Mathematics Education, s. 411-434. Dordrecht: Kluwer.
Säljö, Roger (2010). Lärande i praktiken. Ett sociokulturellt perspektiv. Stockholm:
Norstedts.
Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig
forskning. Stockholm.
Watson, Judith (2000). Constructive instruction and learning difficulties. Support for
learning, Vol. 15, s. 134-140.
Widerberg, Karin (2002). Kvalitativ forskning i praktiken. Lund: Studentlitteratur.
Wistedt, Inger (1992). Att vardagsanknyta matematikundervisningen. Stockholm: Stockholms
Universitet.
79
Bilagor Bilaga 1
Informationsbrev
Konkret matematik
Mitt namn är Jenny Ormsby och jag studerar på Malmö högskola. Jag skriver för närvarande
min Masteruppsats i pedagogik som handlar om konkret matematik. Jag har valt att undersöka
hur verksamma lärare i skolår 1 till 3 arbetar med konkret matematik i sin undervisning och
hur de ser på detta undervisningssätt. Betydelsen av konkret matematik kommer i denna
uppsats att ha innebörden av konkreta aktiviteter som man använder sig av både i och utanför
klassrummet. Motsatsen till konkret matematik kommer i denna undersökning att vara
abstrakt matematik.
För att samla in material till undersökningen skulle jag uppskatta din hjälp för att få reda på
mer om hur konkret matematik tillämpas i vardagen. Undersökningen kommer att avgränsas
till de tre första skolåren av grundskolan på åtta skolor i en kommun i södra Sverige. En
klasslärare inom skolår 1 till 3 på respektive skola har blivit tillfrågade att medverka vilket
totalt ger 8 deltagare i undersökningen. I min undersökning har jag valt att använda mig av
intervjuer samt observationer där jag kan få ta del av dina erfarenheter och uppfattningar
kring ämnet. Tidsåtgången för intervjun uppskattas till ungefär 45 minuter.
Intervjuerna samt observationerna kommer endast att användas till min Masteruppsats och
materialet kommer endast att sparas fram tills att uppsatsen har blivit godkänd. Materialet
förvaras så att det bara är åtkomligt för mig som genomför undersökningen. I rapporteringen
av resultatet i form av en uppsats på Malmö högskola eller i annan form av publicering
kommer informanterna att avidentifieras så att det inte går att koppla resultatet till enskilda
individer. I uppsatsen kommer nämnas att det är åtta skolor i en kommun i södra Sverige som
har medverkat i undersökningen. Ditt deltagande i undersökningen är helt frivilligt. Du kan
när som helst avbryta ditt deltagande utan närmare motivering.
Undersökningen kommer att presenteras i form av en uppsats på Malmö högskola. Vill Du
eller skolan ta del av det färdiga arbetet ber jag Dig eller rektorn på din skola att kontakta
mig. Var vänlig se kontaktinformation nedan.
Ytterligare upplysningar om studien kan lämnas av mig som genomför studien och jag kan
nås på,
Epost: [email protected]
Mobil: 0760180104
Du tillfrågas härmed om deltagande i denna undersökning.
Med vänliga hälsningar,
Jenny Ormsby
80
Bilaga 2
Underlag till intervju
Intervjuguide
•
Vilken utbildning har du?
•
Hur många år har du arbetat som lärare?
•
Vilken årskurs undervisar du i matematik detta läsår?
•
Har du studerat matematik/matematikdidaktik?
•
Vad är konkret matematik för dig?
•
Använder du dig av konkret matematik i din undervisning?
•
Om ja, på vilket sätt och till hur stor del?
•
Vilka möjligheter och/eller begränsningar ser du med att använda konkret matematik?
•
Använder du dig av en lärobok i matematikundervisningen?
•
Om ja, på vilket sätt använder du dig av läroboken i matematik?
•
Hur skulle du beskriva en typisk matematiklektion i ditt klassrum?
•
Har du stöd för ditt arbetssätt i Lgr11?
81
