ADDITIONSTEOREMET FÖR SINUS OCH COSINUS
Additionsteoremet för sinus och cosinus lyder:
sin (u + v ) = sin (u ) cos(v ) + cos(u ) sin (v )
för godtyckliga reella tal u, v .
cos(u + v ) = cos(u ) cos(v ) − sin (u ) sin (v )
Bevisa dessa regler för u = α > 0, v = β > 0, α + β < π2 med hjälp av följande figur:
Bevisa sedan reglerna för godtyckliga u, v .
sin-cos-add-teorem
1
LÖSNING
För u = α > 0, v = β > 0, α + β < π2 :
Upptäck att vinkeln ODA = β och skriv in längderna på alla kanter
närkatet
motkatet
, sin = hypotenusa
):
( cos = hypotenusa
sin (α + β )
α β
cos(α + β )
1
α+β
α+β
sin(α ) sin( β )
cos α
cos(α ) cos(β )
sin α
β
Ο sin (α ) cos(β )
900
cos(α ) sin ( β )
För andra u, v använd räknereglerna
sin (0 ) = 0 = cos( π2 ) = sin (π ), cos(π ) = −1, sin (π − ω ) = sin (ω ), cos(π − ω ) = − cos ω ,
sin (ω + 2kπ ) = sin (ω ), cos(ω + 2kπ ) = cos(ω ) (k heltal),
sin ( π2 − α ) = sin (α ), cos( π2 − α ) = cos(α ) och sin ( − ω ) = − sin (ω ), cos(− ω ) = cos(ω ) .
sin-cos-add-teorem
2
