MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16
Något om trigonometri
Mikael Hindgren
12 februari 2016
Cirkelns ekvation
Exempel 1
Beräkna avståndet mellan punkterna (4, 6) och (1, 2).
Lösning:
−1
7
(4, 6)
6
5
d
4
6−2=4
3
2
(1, 2)
1
4−1=3
Pythagoras sats:
d2
=
⇔ d
=
d>0
=
(4 − 1)2 + (6 − 2)2
q
(4 − 1)2 + (6 − 2)2
p
√
√
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5
1 2 3 4 5 6
Avståndsformeln
Avståndet d mellan punkterna (x1 , y2 ) och (x2 , y2 ) ges av
q
d = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
Akademin för Informationsteknologi - ITE
MA002X Bastermin - matematik VT16
Något om trigonometri
2 / 21
Cirkelns ekvation
(x, y)
r
(a, b)
En cirkel består av alla punkter (x, y ) som befinner
sig på avståndet r från en medelpunkt (a, b).
⇒ Punkten (x, y ) ligger på cirkeln om:
q
r = (x − a)2 + (y − b)2
Cirkelns ekvation
Ekvationen för en cirkel med medelpunkt (a, b) och radie r ges av
(x − a)2 + (y − b)2 = r 2
Exempel 2
Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1, 2) som har radien 3.
Lösning:
Cirkelns ekvation:
(x − 1)2 + (y − 2)2 = 32
Akademin för Informationsteknologi - ITE
MA002X Bastermin - matematik VT16
Något om trigonometri
3 / 21
Cirkelns ekvation
Exempel 3
Ligger punkterna (1, 0) och (−2, 3) på cirkeln (x − 3)2 + (y − 4)2 = 20?
Lösning:
Insättning i cirkelns ekvation:
x = 1, y = 0
⇒
(1 − 3)2 + (0 − 4)2 = 22 + 42 = 4 + 16 = 20
x = 2, y = 7
⇒
(2 − 3)2 + (7 − 4)2 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10 6= 20
OK!
∴ (1, 0) ligger på cirkeln men det gör inte (2, 7).
Exempel 4
Bestäm en ekvation för en cirkel som innehåller punkten (5, 3) och har
medelpunkt i (2, −1).
Lösning:
(5, 3) ligger på cirkeln:
Cirkelns ekvation:
Akademin för Informationsteknologi - ITE
r=
q
p
√
(5 − 2)2 + (3 − (−1))2 = 32 + 42 = 25 = 5
(x − 2)2 + (y + 1)2 = 52
MA002X Bastermin - matematik VT16
Något om trigonometri
4 / 21
Cirkelns ekvation
Exempel 5
Beskriver ekvationen
x 2 + y 2 + 2y − 3 = 0
en cirkel? Bestäm i så fall dess medelpunkt och radie.
Lösning:
x 2 + y 2 + 2y − 3
=
x 2 + (y + 1)2 − 1 − 3 = (x − 0)2 + (y + 1)2 − 22 = 0
⇔
(x − 0)2 + (y − (−1))2 = 22
∴ En cirkel med medelpunkt i (0, −1) och radie 2.
Akademin för Informationsteknologi - ITE
MA002X Bastermin - matematik VT16
Något om trigonometri
5 / 21
Enhetscirkeln
Definition 1 (Vinkelmåttet radianer)
1
1 l.e.
Den vinkel som motsvarar en båge med
längden 1 l.e. i enhetscirkeln är 1 radian
1
Vridning moturs motsvarar positiv vinkel
1 radian
Omkretsen av en cirkel är 2πr :
⇒ 1 varv i e.c. (360◦ ) motsv 2π radianer
Omvandling mellan grader och radianer:
1◦
=
1 radian
=
1
π
· 2π =
radianer
360
180
◦
1
180
· 360 =
≈ 57.3◦
2π
π
Anm: Normalt anges ingen enhet då vinkeln anges i radianer.
Akademin för Informationsteknologi - ITE
MA002X Bastermin - matematik VT16
Något om trigonometri
6 / 21
Enhetscirkeln
Exempel 6
Exempel 7
Grader → radianer:
π
30◦ = 30 ·
180
π
45◦ = 45 ·
180
π
60◦ = 60 ·
180
π
90◦ = 90 ·
180
=
=
=
=
π
6
π
4
π
3
π
2
Radianer → grader:
3π
3π 180◦
=
·
= 270◦
2
2
π
3π
3π 180◦
=
·
= 135◦
4
4
π
180◦
3π = 3π ·
= 540◦ (1.5 varv i e.c.)
π
Definition 2 (Trigonometriska funktioner)
1
P = (x, y)
y
I enhetscirkeln:
sin v = y
v
x
1
Akademin för Informationsteknologi - ITE
cos v = x
sin v
tan v =
,
cos v
MA002X Bastermin - matematik VT16
v 6=
π
+ nπ
2
Något om trigonometri
7 / 21
Rätvinkliga trianglar
c
b
1
y
v
x
De båda trianglarna är likformiga:
b
y
= = sin v
c
1
a
x
= = cos v
c
1
b
y
sin v
= =
= tan v
a
x
cos v
a
Trigonometriska samband i rätvinkliga trianglar
motstående katet
hypotenusan
närliggande katet
cos v =
hypotenusan
motstående katet
tan v =
närliggande katet
sin v =
Akademin för Informationsteknologi - ITE
MA002X Bastermin - matematik VT16
Något om trigonometri
8 / 21
Viktiga vinklar
Exempel 8
Bestäm sin v , cos v och tan v då v =
π
3
respektive v =
π
.
6
Lösning:
sin
1
π
3
=y =
q
12 −
π
= x = 12
3
sin π6 = x = 12
√
cos π6 = y = 23
sin π
tan π3 = cos 3π =
3
1 2
2
√
=
3
2
cos
1
π
6
y
π
3
x=
1
2
1
Akademin för Informationsteknologi - ITE
tan
π
6
=
sin π
6
cos π
6
=
MA002X Bastermin - matematik VT16
√
3
√1
3
Något om trigonometri
9 / 21
Viktiga vinklar
Exempel 9
Viktiga vinklar!
Bestäm sin v , cos v och tan v då v =
π
.
4
v
Lösning:
Pythagoras sats:
x 2 + x 2 = 12 ⇒ x =
1
√1
2
0◦
0
0
30◦
π
6
π
4
π
3
π
2
1
2
√1
√2
3
2
45◦
60◦
1
sin
x
π
4
x
1
Akademin för Informationsteknologi - ITE
π
4
√1
2
= √12
=x =
cos
π
4
=x
tan
π
4
=
sin π
4
cos π
4
sin v
90◦
1
cos v
tan v
1
0
3
2
√1
2
1
2
1
√
3
1
√
3
0
Ej def
√
=1
MA002X Bastermin - matematik VT16
Något om trigonometri
10 / 21
Symmetriegenskaper och samband
1
Symmetriegenskaper
y
sin(π − v ) = sin v
π−v
cos(π − v ) = − cos v
v
−x
−v
x
1
sin(−v ) = − sin v
cos(−v ) = cos v
−y
(udda funktion)
(jämn funktion)
sin( π2 ± v ) = cos v
cos( π2 ± v ) = ∓ sin v
1
1
Pythagoras sats ⇒ x 2 + y 2 = 12 ⇔
y
v
x
1
”Trigonometriska ettan”
cos2 v + sin2 v = 1
Akademin för Informationsteknologi - ITE
MA002X Bastermin - matematik VT16
Något om trigonometri
11 / 21
Areasatsen
Arean A av en triangel ges av
β
c
A=
a
h
α
Enligt figuren är:
γ
bh
2
h
= sin α ⇔ h = c sin α
c
Areasatsen
b
A=
bc sin α
ca sin β
ab sin γ
=
=
2
2
2
Exempel 10
I en triangel är en sidan är 3 cm, en annan sida är 4 cm och den mellanliggande
vinkeln är π4 . Bestäm triangelns area.
Lösning:
Areasatsen: A =
3 · 4 · sin
2
π
4
3·4·
=
2
1
√
2
√
12
= √ = 3 2 ≈ 4.24 a.e.
2 2
Anm: Areasatsen gäller även om vinkeln är trubbig.
Akademin för Informationsteknologi - ITE
MA002X Bastermin - matematik VT16
Något om trigonometri
12 / 21
Sinussatsen
Enligt Areasatsen har vi
β
c
bc sin α = ca sin β = ab sin γ
a
Dividerar vi med abc får vi
h
Sinussatsen
α
γ
b
sin α
sin β
sin γ
=
=
a
b
c
Exempel 11
En triangel har en vinkel som är π6 och den motstående sidan är 5 cm. En annan
vinkel i triangeln är π3 . Hur stor är den motstående sidan till denna vinkeln?
Lösning:
Kallar vi den okända sidan för x har vi enligt Sinussatsen:
√
√
sin π6
sin π3
5 sin π3
5 · 23
=
⇔x =
= 5 3 ≈ 8.66 cm
π =
1
5
x
sin 6
2
Akademin för Informationsteknologi - ITE
MA002X Bastermin - matematik VT16
Något om trigonometri
13 / 21
Sinussatsen
Anm: Eftersom sin v = sin(π − v ) får man två olika fall om man bara känner
sidorna a och c samt vinkeln α motstående till a. Utan ytterligare information kan
man inte bestämma motstående vinkel till sidan c och därmed inte heller den
återstående sidan b.
c
α
a
π−γ
b
a
γ
γ
sin(π − γ)
sin α
sin γ
=
=
a
c
c
Är det γ eller π − γ som är motstående vinkel till sidan c ?
Om γ = π2 sammanfaller de båda fallen och vi får en rätvinklig triangel.
Akademin för Informationsteknologi - ITE
MA002X Bastermin - matematik VT16
Något om trigonometri
14 / 21
Cosinussatsen
Pythagoras sats applicerad på triangeln i figuren:
a
a2
b
α
c − b cos α
c
b cos α
=
(c − b cos α)2 + b2 − (b cos α)2
=
c 2 − 2bc cos α + (b cos α)2 + b2 − (b cos α)2
Cosinussatsen
a2 = b2 + c 2 − 2bc cos α
Exempel 12
I en triangel är två av sidornas längder 4 cm respektive 5 cm. Deras
mellanliggande vinkel är π3 . Beräkna längden av den tredje sidan i triangeln.
Lösning:
π
1
a2 = b2 + c 2 − 2bc cos α = 42 + 52 − 2 · 4 · 5 · cos = 16 + 25 − 40 · = 21
3
2
√
∴ Den tredje sidan är 21 ≈ 4.58 cm.
Anm: Cosinussatsen gäller även om den mellanliggande vinkeln är trubbig.
Pythagoras sats är ett specialfall av Cosinussatsen då triangeln är rätvinklig dvs
då cos α = cos π2 = 0.
Akademin för Informationsteknologi - ITE
MA002X Bastermin - matematik VT16
Något om trigonometri
15 / 21
Tillämpning av triangelsatserna
Exempel 13
En triangel har sidorna 3, 7 respektive 8 cm. Bestäm triangelns area.
√
Svar: Arean är 6 3 ≈ 10.4 a.e.
Exempel 14
I en triangel är en av sidorna 2 cm längre än en av de andra och den
mellanliggande vinkeln är 5π
. Triangelns area är 12 cm2 . Bestäm samtliga sidors
6
längder.
p
√
Svar: Sidorna är 6, 8 och 100 + 48 3 ≈ 13.53 cm.
Exempel 15
√
I triangeln ABC är vinkeln vid A π6 , sidan AB = 2 3 cm och sidan BC = 2 cm.
Bestäm längden av sidan AC samt övriga vinklar i triangeln.
Svar: Vi får två fall:
√
a = 2, b = 4, c = 2 3, α =
√
a = 2, b = 2, c = 2 3, α =
Akademin för Informationsteknologi - ITE
π
,
6
π
,
6
β=
β=
π
,
2
π
,
6
γ=
γ=
π
(Rätvinklig triangel)
3
2π
(Likbent triangel)
3
MA002X Bastermin - matematik VT16
Något om trigonometri
16 / 21
Additions och subtraktionssatserna
Sats 1
För alla vinklar u och v gäller:
1
sin(u + v ) = sin u cos v + sin v cos u
2
sin(u − v ) = sin u cos v − sin v cos u
3
cos(u + v ) = cos u cos v − sin u sin v
4
cos(u − v ) = cos u cos v + sin u sin v
Exempel 16
√
√
π
π π
π
π
π
π
1 1
3 1
3+1
√
√
√
cos
= cos( − ) = cos cos +sin sin =
+
=
12
3 4 (1.4)
3
4
3
4
2 2
2
2
2 2
u = v i (1) och (3) ger:
Sats 2 (Formler för dubbla vinkeln)
1
sin 2v = 2 sin v cos v
2
cos 2v = cos2 v − sin2 v = 2 cos2 v − 1 = 1 − 2 sin2 v
Akademin för Informationsteknologi - ITE
MA002X Bastermin - matematik VT16
Något om trigonometri
17 / 21