Konstruktion av sträckor med viss längd , , där k = 2 , 3 , 4

4. Plangeometriska konstruktioner
1. Konstruktion av en normal till en linje genom en given punkt på linjen.
E
C
1
D
P
C
D
P
C
D
P
P
Linjen l och punkten P är givna. Med P som medelpunkt uppritas en halvcirkel med
godtycklig radie. Halvcirkelbågen skär linjen l i punkterna C och D. Med C och D som
medelpunkter dras två nya cirkelbågar. Radien är i detta fall lika för båda bågarna men
något större än för halvcirkeln. De två nya bågarna skär varandra i punkten E. Linjen
som går genom punkterna P och E är normal till linjen l.
EP står vinkelrätt mot linjen l för att ⊿𝐶𝑃𝐸 är kongruent med ⊿𝐷𝑃𝐸 (sss). Vinklarna
vid P är lika stora sidovinklar. Obs! E får inte vara för nära P!
2. Konstruktion av en normal till en linje genom en given punkt utanför linjen.
P
1
P
1 C
P
D
1 C
P
D
E
1 C
D
E
Linjen l och punkten P är givna. Med P som medelpunkt dras en cirkelbåge med
godtycklig radie. Cirkelbågen ska vara större än avståndet mellan P och linjen l.
Cirkelbågen skär linjen l i punkterna C och D. C och D blir medelpunkter för två nya
cirkelbågar med samma radie. Dessa bågar skär varandra i punkten E. E och P binds
samman och så fås normalen.
PE är en normal till linjen för att PCED är en romb och i en romb skär diagonalerna
varandra vinkelrätt. (Dessutom halverar diagonalerna varandra.)
3. Konstruktion av en normal till en given sträcka genom dess ena ändpunkt.
F
E
D
D
E
A
B A
C
B
A
B
C
A
C
B
Sträckan AB är given. Med B som medelpunkt dras en cirkelbåge med godtycklig radie.
Denna cirkelbåge skär sträckan AB i punkten C. Cirkelbågens radie (BC) ritas sedan på
cirkelbågen två gånger efter varandra med utgångspunkt från C och då erhålls
punkterna D och E. D och E tas till medelpunkter för två cirkelbågar med samma radie.
Dessa bågar skär varandra i punkten F. BF blir då normalen till sträckan AB.
BF är normal till sträckan AB för att ⊿𝐵𝐶𝐷 och ⊿𝐵𝐷𝐸 är liksidiga dvs. BF halverar DE i
romben BCFE och BF halverar då också bågen DE och vinkeln DBE.
4. Konstruktion av en given sträckas mittpunktsnormal
C
A
B
A
C
B
D
A
B
D
Sträckans ändpunkter A och B är givna. De tas till medelpunkter för två cirkelbågar
med samma radie. Dessa bågar skär varandra i C och D. C och D sammanbinds och då
blir linjen CD mittpunktsnormal till linjen AB.
Diagonalerna i en romb halverar varandra och skär varandra vinkelrätt.
5. Konstruktion av en vinkel av samma storlek som en given vinkel
B
D
D
v
A
P
C
P
C
Vinkeln v är given. På en rät linje placeras punkten P. Med P som medelpunkt ritas en cirkel
med godtycklig radie. Med samma radie ritas en cirkelbåge över den givna vinkeln med
medelpunkten i vinkelspetsen. Denna cirkelbåge skär den givna vinkelns ben i punkterna A
och B. Motsvarande cirkelbåge skär den räta linjen i C. Längden av bågen AB avsätts från C till
D. Vinkeln CPD är den sökta vinkeln.
Vinklarna är lika stora för att i kongruenta trianglar (sss) är motsvarande vinklar lika.
6. Konstruktion av en given vinkels bisektris
B
B
B
C
v
v
v
A
S
C
A
S
A
S
Den givna vinkeln är v och vinkelspetsen S. S tas som medelpunkt för en cirkelbåge med
godtycklig radie. Denna cirkelbåge har vinkelbenen i A och B. A och B tas till medelpunkter för
cirkelbågar med en och samma radie, som skär varandra i punkten C. Linjen SC blir då den
sökta bisektrisen.
SC är en bisektris för att ⊿𝑆𝐴𝐶och ⊿𝑆𝐵𝐶 är kongruenta (sss) och vinklarna vid S är då
motsvarande och lika stora.
7. Konstruktion av en linje som är parallell med en given linje och går genom en given punkt.
C
P
C
P
l
P
l
A
B
l
A
B
A
Linjen l och punkten P är givna. Med P som medelpunkt och med godtycklig radie uppritas en
cirkelbåge som skär den givna linjen i A. Med A som medelpunkt dras sedan en cirkelbåge
genom P som skär den givna linjen i B. Längden av bågen BP avsätts från A till C. Linjen genom
P och C är den sökta.
Linjerna är parallella för att triangeln ABP är kongruent med triangeln PCB och då är BP=AC
och AB=CP=AP. Alltså är ACPB en parallellogram.
8. Konstruktion av en triangel med tre givna sträckor som sidor.
a
b
c
C
b
C
b
a
A
B
a
A
B
De givna sträckorna är a, b och c. Sträckan c avsätts horisontellt på en given linje som sträckan
AB. Med sträckans ena ändpunkten A som medelpunkt och sträckan b som radie ritas en
cirkelbåge. Sedan ritas en annan cirkelbåge med a som radie och ändpunkten B som
medelpunkt. De båda cirkelbågarna skär varandra i C. ABC är den sökta triangeln.
9. Konstruktion av en liksidig triangel med en sträcka som sida.
C
A
B
A
C
B
A
Den givna sträckan är AB. Med A och B som medelpunkter ritas två cirkelbågar med AB som
radie. Bågarna skär varandra i C. ACB är den sökta triangeln.
B
10. Konstruktion av en rätvinklig triangel med hypotenusan och höjden mot densamma givna.
AB
h
h
C
C
D
D
h
A
B
A
B
A
B
A
B
Den givna hypotenusan är AB och höjden h. Sträckan AB delas mitt itu och mittpunkten blir
medelpunkt för en halvbåge med halva AB som radie. En linje dras parallellt med AB på ett
avstånd = den givna höjden. Denna linje skär halvcirkelbågarna i punkterna C och D. Den sökta
triangeln är ACB eller ADB.
11. Konstruktion av en regelbunden åttahörning, inskriven i en given kvadrat
A
B
A
A
B
C
B
O
O
D
A
B
D
C
D
O
C
D
C
ABCD är den givna kvadraten. Diagonalerna AC och BD dras, de skär varandra i O. A, B, C och
D blir medelpunkter för cirkelbågar genom O. De punkter som uppstår när cirkelbågarna skär
kvadratens sidor sammanbinds som i figuren.
12. Konstruktion av en regelbunden sexhörning med en given sida
O
A
B
A
O
B
A
O
B
A
B
Sträckan AB är sexhörningens sida. A och B tas till medelpunkter för cirkelbågar med radien
AB. Dessa cirkelbågar skär varandra i O. O blir medelpunkt för cirkeln genom A och B. I denna
cirkel ritas kordor i följd av samma längd som AB med A eller B som utgångspunkt.
13. Konstruktion av en regelbunden femhörning och en regelbunden tiohörning – inskrivna i en
given cirkel
O
O
A
O
A
F
F
D
A
F
C
B
O
A
C
E
D
B
C
E
D
B
E
B
I den givna cirkeln dras två mot varandra vinkelräta diametrar. Hälften av den ena delas på
mitten i punkten A. A binds samman med den andra diameterns ena ändpunkt B. A tas som
medelpunkt för en cirkelbåge med radien AO. Denna cirkelbåge skär AB i C. Med B som
medelpunkt dras en cirkelbåge genom C. Denna cirkelbåge skär den givna cirkeln i punkterna
D och E samt sträckan BO i punkten F. Sträckan BO sägs nu vara delad med ”gyllene snittet” i
delarna BF och FO. Sträckan DE är den inskrivna regelbundna femhörningens sida och BD den
regelbundna tiohörningens sida.
Om vi koncentrerar oss på det gyllene snittet i figuren kan vi
börja med att lyfta ut triangeln BOA. Om sträckan OA sätts till
1, blir sträckan AC 1 och BO 2. Enligt Pythagoras sats blir
hypotenusan i triangeln √5 dvs. 22 + 12 = 𝑥 2 . Detta gör att
sträckan BC och BF är √5 − 1 samt att OF är 3 − √5.
Förhållandet mellan BF och OF räknas ut:
𝐵𝐹
√5 − 1 √5 − 1 3 + √5 3√5 + 5 − 3 − √5 2√5 + 2 √𝟓 + 𝟏
=
=
∙
=
=
=
𝑂𝐹
9−5
4
𝟐
3 − √5 3 − √5 3 + √5
(När man vill komma undan ett tal som 3 − √5 i nämnaren kan man multiplicera nämnaren och täljaren med
nämnarens konjugattal, i detta fall 3 + √5.)
Förhållandet mellan OF och BF räknas ut:
𝑂𝐹
2
2
√5 − 1 2(√5 − 1) √𝟓 − 𝟏
=
=
∙
=
=
𝐵𝐹 √5 + 1 √5 + 1 √5 − 1
4
𝟐
Det gyllene snittet
F
D
𝐴𝐸
𝐴𝐷
C
=
𝐴𝐷
𝐴𝐵
𝐴𝐸𝐹𝐷~𝐷𝐴𝐵𝐶
1
A x-1
E
𝑥−1
1
B
1
1
=𝑥
𝑥² − 𝑥 = 1
x
𝑥² − 𝑥 − 1 = 0
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥=
−1±√12 −4∙1∙(−1)
2∙1
𝑥=
1±√5
2
𝑥 ≈ 1,61803398875
1
𝑥
=
2
√5−1
=
√5−1
2
≈ 0,61803398875
𝑠
𝑟−𝑠
36°
𝑟
=𝑠
𝑠 2 = 𝑟 2 − 𝑟𝑠
s
𝑟² − 𝑟𝑠 − 𝑠² = 0
r
72°
108°
36°
D
𝑟²
𝑠²
72°
r-s
A
=
⊿ 𝐴𝐵𝐷 = ⊿ 𝐶𝐴𝐵
C
72°
√5−1
√5−1
36°
72°
s
B
∕ 𝑠²
𝑟
−𝑠−1=0
När man har en ekvation med två okända faktorer
kan man bara räkna ut förhållandet mellan dem.
Ekvationen behandlas som en vanlig andragradsekvation.
𝑟
= 1,61803398875
𝑠
14. Konstruktion av en regelbunden femhörning med en given sida
D
E
D
C
A
B
A
D
C
B
A
E
C
B
A
B
AB är den givna sidan. Till den dras en mittpunktsnormal, på vilken AB avsätts från
mittpunkten till C. C och B binds samman, och denna linje förlängs med halva AB till D. B tas
till medelpunkt för en cirkelbåge med radien BD. Cirkelbågen skär AB:s mittpunktsnormal i E.
A tas som medelpunkt för en till cirkelbåge med samma radie. Från E sätts på dessa
cirkelbågar sträckan AB till F och B. AFEGB är den sökta femhörningen.
𝑥 2 = 𝑎2 +
𝑥2 =
𝑎2
4
5𝑎2
4
𝑎
𝑥 = ± √5
2
∴ 𝐵𝐷 =
𝑎
𝑎 𝑎
√5 + = (√5 + 1)
2
2 2
15. Konstruktion av en cirkels medelpunkt.
O
En cirkels periferi är given, men cirkelns medelpunkt är inte känd. För att ta reda på
medelpunkten dras två godtyckliga kordor till cirkeln. Kordornas mittpunktsnormaler
konstrueras och de skär varandra i punkten O. Punkten O är den sökta medelpunkten.
Konstruktion av sträckor med viss längd , 𝑠√𝑘 , där k = 2 , 3 , 4 , …
1) 𝑠√2
Vi konstruerar en kvadrat med sidlängden s, då är det lätt att dra diagonalen och dess längd
kommer då att vara 𝑠√2 enligt Pythagoras sats.
2) 𝑠√3
Genom att halvera en liksidig triangel (vid höjden) får man typtriangeln ”30-60-90” som har
ena sidan 1, andra 2 och tredje √3 .
3) 𝑠√4
Vi konstruerar 2s.
4) 𝑠√5
Genom att sätta två kvadrater sida vid sida och dra en diagonal genom båda får man en
triangel med sidan 1, 2 och √5.
5) 𝑠√6
Genom att konstruera 𝑠√2 och 𝑠√3 i följd. (𝑠√6 = 𝑠√3 ∙ 𝑠√2) Ett annat sätt är att
konstruera en kvadrat med sidan √3 , då blir diagonalen √6.
6) 𝑠√7
Genom att konstruera en rätvinklig triangel med hypotenusan 4s och kateten 3s. Då fås den
andra kateten √7 .
7) 𝑠√8
En möjlighet är en rätvinklig triangel med kateterna 2s. Den andra möjligheten är att
konstruera en rätvinklig triangel med hypotenusan 3s och en katet s.
8) 𝑠√9
Vi konstruerar 3s.
9) 𝑠√10
En rätvinklig triangel med kateterna 3s och s.
10) 𝑠√11
Om man ser i rutan nedan är det lätt att se vilka två kvadrater man skall använda sig av för
att komma till kvadratroten ur ett udda tal. I detta fall skulle man använda sig av kateten 5
och hypotenusan 6 för att få en katet med längden √11
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
3 5 7 9 11 13 15 17 19
Så kan man fortsätta … och konstruera 𝒔√𝒌 , där k är ett godtyckligt positivt heltal!
Följande metoder kan användas:
-
jämna kvadrater ger direkt en multiplikation av s med heltalet √𝑘
-
uppdelning i faktorer, t.ex. √14 = 𝑠√7 ∙ √2 , och konstruktioner i följd
konstruktion av hypotenusan i en rätvinklig triangel, se t.ex. 7)
konstruktion av en katet i en rätvinklig triangel, se t.ex. 8)
Övn. Hur konstruerar man √44 , 𝑠√45 , 𝑠√46 och 𝑠√47 ?
Mer om geometriska konstruktioner
Vi har i våra konstruktioner använt passare och linjal, men egentligen är de godtyckligt valda.
Passare och linjal hör hemma i den Euklidiska geometrin Om vi använder andra instrument
får vi andra typer av konstruktioner.
Euklides’ axiomsystem
Euklides utgick ifrån (= postulerade) axiom, som handlar om (följande tre är de tre första):
1) Att dra en linje från en punkt till en annan.
2) Att förlänga en begränsad linje obegränsat. (Vi skulle kalla hans begränsade linje en
sträcka!)
3) Att upprita en cirkel med godtycklig medelpunkt och radie.
Redan de gamla grekerna sysslade med konstruktioner som var omöjliga med passare och
linjal. Bland annat sysselsatte de sig med följande konstruktioner som senare har bevisats
vara omöjliga att utföra:
a) tredelning av en vinkel
b) fördubbling av en kub(s volym)
c) cirkelns kvadratur, dvs. en kvadrat med samma area som en given cirkel
3
I b) och c) är nyckeltalen som inte kan konstrueras √2 respektive √𝜋 .
Exempel (på en approximativ konstruktion):
π kunde konstrueras om det vore ett rationellt tal
π bevisades vara irrationellt av den tyske matematikern Lindemann 1882
π kan man alltså på sin höjd konstruera approximativt
Vi konstruerar en rätvinklig triangel med kateterna 3d och
S = √9𝑑2 + (
√3+2 2
)𝑑
4
= d √9 +
7+4√3
16
𝑟
𝑑
√3 + r = 4 √3 +
2
𝑑
=
2
√3+2
d
4
= d √9,8705127 ≈ d · 3,1417372
Observera att π med sju decimaler är 3,1415926 !
.
Geometriska konstruktioner med andra hjälpmedel
1.
Neusis-konstruktion (med märkt linjal)
2.
Steiner-konstruktion (linjal + fix cirkel)
3.
Mascheroni-konstruktion (endast passare)
4.
Konstruktion med tvåkantad linjal
Exempel
Vinkelns tredelning som neusis-konstruktion (neusis kommer från ” nicka, böja sig”)
Härstammar från Arkimedes som dog 212 före Kristus.
(Genomgås om det finns tid!)