Lärande och samhälle
Skolutveckling och ledarskap
Examensarbete
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Att bekanta sig med det obekanta
Hur kan klasslärare och speciallärare tillsammans bidra till att öka
den grundläggande matematikkompetensen för elever i årskurs ett
To become familiar with the unfamiliar
How can classroom teachers and special education teachers together help to
increase the basic math skills for students in grade one
Ann-Charlott Friberg
Speciallärarexamen 90hp
Matematikutveckling 90 hp
Slutseminarium 2014-05-22
Examinator: Therese Vincenti Malmgren
Handledare: Birgitta Lansheim
2
Sammanfattning
Friberg, Ann-Charlott (2014). Att bekanta sig med det obekanta. (To become familiar
with the unfamiliar). Speciallärarexamen 90 hp matematikutveckling. Skolutveckling
och ledarskap, Lärande och samhälle, Malmö högskola.
Problemområde
Frågan som väckte idén till min studie är en ständigt återkommande diskussion på min
arbetsplast om varför eleverna i årskurs 1-2 inte längre förstår likhetstecknets innebörd,
då de börjar arbeta med obekanta tal som t.ex. 5=__+3.
Syfte och preciserade frågeställningar
Syftet med mitt examensarbete är att jag vill belysa hur klasslärare och speciallärare
tillsammans kan förebygga den tidiga matematikinlärningen i årskurs 1, så att eleverna
får rätt verktyg för en positiv kunskapsutveckling upp i skolåldern. Jag är intresserad av
att försöka fånga klasslärarnas uppfattningar och didaktiska val speciellt då det gäller
likhetstecknets innebörd och om det leder till att eleverna skapar en förstålse av
likhetstecknet. Jag vill även utifrån ett elevperspektiv undersöka vilken förståelse
eleverna i årskurs ett har för den mentala tallinjen och hur den påverkar innebörden av
likhetstecknet.
På vilket sätt tydliggör pedagogerna likhetstecknets innebörd för eleverna?
Vilka insatser menar pedagogerna behövs för att hjälpa elever att bygga upp den
mentala tallinjen?
Hur kan klasslärare och speciallärare tillsammans bidra till att utveckla den
grundläggande matematikkompetensen för elever i årskurs ett?
Teoretisk ram
Min studie baserars på Vygotskis sociokulturella teorier där lärandet mellan elev och
läraren ett viktigt samarbete i utvecklingszonen då eleven lånar begrepp som den ännu
inte har. I litteraturgenomgången framgår vikten av att tidigt förebygga att elever
hamnar i matematiksvårigheter genom att skapa en meningsfull och lustfylld
undervisning utifrån ett vardagligt språk med konkretisering. Forskarna menar att om
elever har förstått talens ordningsföljd och behärskar använda sig av tallinjen, hjälper
det eleverna att förstå innebörden av likhetstecknet.
3
Metod
Studien utgörs av kvalitativa intervjuer av två klasslärare och 23 elever i årskurs ett. I
samband med elevintervjuerna utförde de även ett matematiktest i ett försök att få en
djupare helhetsbild. Jag har valt namnge undersökningarna för studie 1 - elevintervjuer,
studie 2 - matematiktest och studie 3 - pedagogintervjuer.
Resultat med analys
Resultaten av studie 1 och 2 pekar på att ungefär hälften av eleverna hade full förståelse
för innebörden av likhetstecknet, att de kunde se tecknet som en våg och att det ska vara
lika mycket på båda sidor om det. Resultat och analys av studie 3 visar att pedagogernas
synsätt skiljer sig något avseende hur ett samarbete med klasslärare och speciallärare
skulle se ut. En pedagog kan tänka sig ett begynnande samarbete vilket mynnar ut i
specialpedagogiska insatser åt elever i behov. Den andra pedagogen vill hellre att
specialpedagogiska insatser ges direkt till de elever som är i behov.
Kunskapsbidrag
Jag kom i min studie fram till att pedagogerna försöker skapa en meningsfull och
användbar matematik i vardagen för eleverna trots att matematikboken styr
matematikundervisningen. I litteraturgenomgången framgår det att matematikboken
kan vara ett stöd i undervisningen men pedagoger bör ha ett kritiskt tänkande kring
användandet. Pedagogerna är medvetna om vikten av att tidiga insatser gynnar
elevernas fortsatta utveckling i matematik, men har svårt att se hur ett samarbete skulle
kunna gynna alla elever i klassen. Litteraturgenomgången påvisar att förebyggande
tidiga insatser för alla elever under tidiga skolår har stor betydelse för senare
skolprestationer i matematik.
Specialpedagogiska implikationer
Studiens resultat påvisar att pedagogerna bör skapa en meningsfull, välstrukturerad,
lustfylld och inspirerande undervisning som tar hänsyn till alla elever och inte som
Theglander (2004) menar att lärare ofta letar orsaken till inlärningssvårigheter hos
individen.
Nyckelord: likhetstecknet, matematikbok, matematikundervisning, samarbete,
speciallärare, tallinje, vardagsmatematik
4
Förord
Från början till slut blev det en betydligt längre resa än vad jag från början hade tänkt
mig då jag läste till grundskolelärare. Att få arbeta som speciallärare med det
”helikopterperspektiv” som behövs för att kunna se hela verksamheten som en helhet,
men också för att kunna hjälpa elever och stödja kolleger, har fått mig till insikt om att
jag har hittat rätt.
Att skriva ett sådant här arbete har inneburit träning i forskandets hantverk och jag
känner mig nöjd med allt jag lärt mig under vägens gång. Trots att resan varit lång så är
det ändå vägen till målet som varit viktigast, det är under den tiden som jag känt att jag
har växt och utvecklats.
Ett stort tack för stöd och handledning vill jag rikta till Birgitta Lansheim, min
handledare under den tid jag arbetat med mitt examensarbete.
Jag vill även tacka min underbara familj som stöttat mig i ur och skur, min man som
hela tiden pushat mig, mina barn som verkligen ställt upp. Jag vill även tacka föräldrar
och syskon för all positiv feedback och stöd, samt vänner och arbetsamrater.
Häljarp 2014
Lotta Friberg
5
6
Innehållsförteckning
1. Inledning ............................................................................................................................... 9
1.1 Bakgrund ............................................................................................................................. 9
1.2 Problemformulering ............................................................................................................ 9
1.3 Syfte och frågeställningar.................................................................................................. 11
2. Kunskapsbakgrund och teoretiskt perspektiv .......................................................................... 12
2.1 Specialpedagogikens inverkan i verksamheten. ................................................................ 12
2.2 Begreppsförmåga .............................................................................................................. 13
2.3 Orsaker till matematiksvårigheter ..................................................................................... 15
2.4 Elevers syn på innebörden av likhetstecknet ..................................................................... 18
2.5 Elevers förståelse av mental tallinje .................................................................................. 19
2.6 Teoretiskt perspektiv ......................................................................................................... 20
2.7 Litteratursammanfattning .................................................................................................. 21
3. Metod ...................................................................................................................................... 22
3.1 Lite kort om olika metoder ................................................................................................ 22
3.2 Metodval ........................................................................................................................... 23
3.3 Undersökningsgrupper ...................................................................................................... 24
3.4 Genomförande ................................................................................................................... 24
3.5 Bearbetning och analys ..................................................................................................... 26
3.6 Tillförlitlighet ................................................................................................................... 26
3.7 Trovärdighet ...................................................................................................................... 27
3.8 Etiska aspekter .................................................................................................................. 27
4. Resultat och analys av elevintervju ......................................................................................... 29
4.1 Delstudie 1 ........................................................................................................................ 29
4.1.1 Resultat och analys – fråga 1...................................................................................... 29
4.1.2 Resultat och analys – fråga 2...................................................................................... 30
4.1.3 Resultat och analys – fråga 3...................................................................................... 31
4.1.4 Resultat och analys – fråga 4...................................................................................... 32
4.1.5 Resultat och analys – frågor 5-7 ................................................................................. 32
4.1.6 Resultat och analys – fråga 8...................................................................................... 33
4.2 Sammanfattning ................................................................................................................ 34
5. Resultat och analys av elevtest ................................................................................................ 35
5.1 Delstudie 2 ...................................................................................................................... 35
5.1.1 Resultat och analys av elevtest i matematik – uppgifter 1-2 ...................................... 35
5.1.2 Resultat och analys – uppgifter 3a-3e ........................................................................ 35
6. Resultat och analys av pedagogintervjuer ............................................................................... 37
6.1 Delstudie 3 ........................................................................................................................ 37
7
6.1.1 Bakgrundsfråga .......................................................................................................... 37
6.1.2 Tal och symbolspråk .................................................................................................. 37
6.1.3 Arbetsformer och arbetssätt....................................................................................... 39
6.1.4 Samverkan .................................................................................................................. 41
6.2 Sammanfattande reflektioner ............................................................................................ 42
7. Slutsats .................................................................................................................................... 44
7.1 Resultatdiskussion ............................................................................................................. 44
7.2 Metoddiskussion ............................................................................................................... 48
7.3 Pedagogiska implikationer för undervisningen ................................................................. 48
7.4 Fortsatt forskning .............................................................................................................. 49
8. Referenslista ............................................................................................................................ 50
9. Bilagor ..................................................................................................................................... 53
8
1. Inledning
1.1 Bakgrund
I media är det just nu stora rubriker i många tidningar, samt olika debatter på tv om att i
den senaste TIMMS (2011) rapporten, visas att Sveriges skolelever blivit sämre i
matematik. Det här väcker många tankar, skapar diskussioner både i hem och skola
samt är en stor valfråga till höstens val. Frågan vi alla ställer oss är hur kunde det bli så
här och vad kan vi göra för att vända den negativa utvecklingen? I Lgr 11 för
grundskolan, går det under mål att läsa om skolans ansvar för att elever efter
genomgången grundskola ska ha ett så pass matematiskt tänkande så de klarar fortsatt
utbildning och vardagsaktiviteter. I kursplanen för matematik står det under rubriken
syfte att:
Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar intresse för
matematik och tilltro till sin egen förmåga att använda matematik i
olika sammanhang. Genom undervisningen ska eleverna ges
förutsättningar
att
utveckla
förtrogenhet
med
grundläggande
matematiska begrepp och metoder och deras användbarhet (Lgr11,
s.62).
I skolan använder vi ofta ordet pedagog som ett samlingsnamn för alla som arbetar med
eleverna. Jag har i mitt arbete valt att använda mig av ordet pedagog och jag menar då
vuxna med lärarexamen. Jag kommer även vid tillfällen då jag vill förtydliga mig i
arbetet använda mig av benämningen, lärare, klasslärare och speciallärare.
1.2 Problemformulering
Matematik finns överallt och vi använder den dagligen och den är en stor del av livet.
Innan någon elev hamnar i matematiksvårigheter och det ordinarie stödet i klassen inte
räcker till är det tänkt att specialpedagogiken ska komplettera lärmiljön för eleven.
Löwing (2006) poängterar att pedagoger behöver ha i åtanke och sträva efter att alla
elever, oavsett om de är i matematiksvårigheter eller inte, behöver få möjlighet att
arbeta med både laborativ och konkret matematik. Det är viktigt att synliggöra
matematiken för eleverna så att det leder till en förståelse, först då kan eleverna gå
vidare till det abstrakta inom matematiken. Då eleverna med hjälp av laborativt material
tillägnat sig en tankeform, bör de lämna det konkreta materialet och övergå till den nya
9
tankeformen. För att synliggöra matematiken för eleverna så att det leder till förståelse,
behöver de automatisera grundläggande tankeformer som ska leda till en färdighet så att
eleverna kan använda matematiken som ett verktyg. Det är först då eleverna kan gå
vidare till det abstrakta inom matematiken.
Under denna tid som jag skriver detta examensarbete, arbetar jag som speciallärare och
undervisar elever i behov av särskilt stöd i årskurserna 1-3. Min frågeställning till den
här studien grundar sig i klasslärarnas ständigt återkommande funderingar, om varför
elever har svårt att förstå likhetstecknets innebörd då de kommer in på obekanta tal.
Frågeställningen kommer oftast upp till diskussion av pedagogerna när eleverna går i
slutet av årskurs ett, eller i början av årskurs två och har börjat med obekanta tal i
matematikboken. Eftersom frågan återkommer varje år undrar jag om det är så som
Theglander (2004) lyfter fram, att pedagoger nästan alltid letar efter orsaken till
inlärningssvårigheter hos eleven? Om fallet är så, hur kan samarbetet mellan klasslärare
och speciallärare se ut så att vi tillsammans kan skapa de rätta förutsättningar elever
behöver för att nå mål och resultat, och där missuppfattningar om likhetstecknets
innebörd inte uppstår.
En annan intressant frågeställning som framkommit under arbetet med studien är hur
elevers mentala tallinje påverkar innebörden av likhetstecknet. Lundberg och Sterner
(2009) poängterar att om elever får möjlighet att utveckla en mental tallinje, så är det till
stöd för eleverna då de förstått talens ordningsföljd och uppfattar ett tals relation till
närstående tal. Kan jag i min studie finna ett samband mellan mental tallinje och
likhetstecknets innebörd? Lundberg och Sterner (a.a) menar att en välfungerande mental
tallinje är av avgörande betydelse för utvecklingen av matematisk förmåga.
Med tanke på likhetstecknets innebörd och förståelsen av den mentala tallinjen, är jag
intresserad av hur klasslärarna skapar en klassrumsmiljö som möjliggör för eleverna att
lära sig grundkunskaperna i matematik på bästa möjliga sätt. Är det enbart
matematikboken som styr undervisningen, eller är det läroplaner och kursplaner som
styr och matematikboken används som ett komplement? I TIMSS (2011) framgår det att
eleverna i Sverige räknar mer enskilt i matematikboken och har färre gemensamma
matematikgenomgångar än i t.ex. vårt grannland Finland.
Löwing (2006) kom i sin studie fram till att många pedagoger individualiserar
matematikundervisningen genom att låta eleverna arbeta i sin egen takt i
10
matematikboken. Hon menar att detta inte är individualisering då eleverna, trots olika
behov räknar samma uppgifter samt får samma instruktioner. Det kan leda till att
pedagogerna får svårt att hålla reda på varje elevs förkunskap, och kan då inte anpassa
innehållet till den enskilda eleven. Anselmsson (2011) poängterar att läroböckerna
innehåller många uppgifter som kan ge tips och idéer till undervisningen. Hon pekar på
att om pedagogerna väljer ut uppgifter och låter eleverna fördjupa sig i dem leder det till
att eleverna arbetar med ökat intresse och beredskap att lösa matematikproblem till
kontexten.
Det finns många aspekter att ta hänsyn till då det gäller elever i behov av särskilt stöd i
matematik. Lundberg och Sterner (2009) menar, att det är lätt att se om en elev har
svårigheter att följa med i undervisningen, det svåra är att förstå varför. Det kan bero på
många olika faktorer, därför är det viktigt att kartlägga och analysera problemen så att
eleven får rätt hjälp i skolan. Alla elever bör möta uppgifter som berör, engagerar och är
relevanta för att minimera risken att det uppstår matematiksvårigheter.
1.3 Syfte och frågeställningar
Syftet med mitt examensarbete är att jag vill belysa hur klasslärare och speciallärare
tillsammans kan förebygga den tidiga matematikinlärningen i årskurs 1, så att eleverna
får rätt verktyg för en positiv kunskapsutveckling upp i skolåldern. Jag är intresserad av
att försöka fånga klasslärarnas uppfattningar och didaktiska val speciellt då det gäller
likhetstecknets innebörd och om det leder till att eleverna skapar en förstålse av
likhetstecknet. Jag vill även utifrån ett elevperspektiv undersöka vilken förståelse
eleverna i årskurs ett har för den mentala tallinjen och hur den påverkar innebörden av
likhetstecknet.
På vilket sätt tydliggör pedagogerna likhetstecknets innebörd för eleverna?
Vilka insatser menar pedagogerna behövs för att hjälpa elever att bygga upp den
mentala tallinjen?
Hur kan klasslärare och speciallärare tillsammans bidra till att utveckla den
grundläggande matematikkompetensen för elever i årskurs ett?
11
2. Kunskapsbakgrund och teoretiskt perspektiv
2.1 Specialpedagogikens inverkan i verksamheten.
I bland annat Lunde (2011), Lundberg och Sterner (2009) och Ahlberg (2002)
framkommer det att hjälpinsatser ska sättas in så tidigt som möjligt för att förebygga att
matematiksvårigheter uppkommer under senare skolålder. Elevernas möten med
matematik i tidig skolålder ska vara meningsfull, lustfylld och inspirerande. I Allmänna
Råd (2013) kan vi läsa att varje elev som är i behov av stöd har rätt att få det
pedagogiska stöd han eller hon behöver oberoende av formell diagnos. Lundberg och
Sterner (2009) menar att det krävs en god pedagogisk insats för att kartlägga elevens
svårigheter i matematik så att hjälpen tillgodoser elevens behov. Precis som jag skrev i
inledningen finns många aspekter att ta hänsyn till då det gäller elever i behov av
särskilt stöd i matematik. Det är inte är svårt att se om en elev inte följer med i
undervisningen, det svåra är att förstå varför? Då det kan bero på många olika faktorer
är det viktigt att kartlägga och analysera problemen så att eleven får rätt hjälp under sin
skoltid.
Löwing (2006) poängterar att det måste vara elevens behov som ställs i fokus vid
planering av undervisning i matematik. Då matematik handlar om att synligöra viktiga
matematiska egenskaper och strukturer måste dessa förklaras och konkretiseras på ett
begripligt sätt för eleverna. Häggblom (2013) lyfter fram att matematiklärandet är en
process som inte är självgående. Det krävs undervisning och möten mellan elever för att
kunskapen ska bli synlig och anpassas till lärandemål och elevernas förutsättningar.
Bråten (1998), lyfter fram att Vygotskij ansåg att skolundervisningen spelade en mycket
stor roll i barnets utveckling då den skapade utvecklingsmöjligheter för nya former av
tänkande. Vygotskij ansåg att själva kärnan i undervisningsprocessen är samarbetet
mellan vuxen och barn, vilket bidrar till elevens systematiska kunskapsutveckling.
Eriksson-Gustavsson, Göransson och Nilholm (2011) pekar på att det gäller för skolan
att komma underfund med hur eleven är mest mottagligt för lärandet och utifrån det
skapa lär-aktiviteter, vilka är relaterade till elevens förmåga. De menar även att vi
pedagoger bara kan ana oss till elevens proximala förmåga, den så kallade verkliga
förmågan. Det här innebär att vi därmed behöver vara varsamma och följsamma samt
lyssna till elevens reflektioner och handlingar. Löwing (2006) lyfter i sin studie fram att
många pedagogers individualiseringsmodell har sina rötter i Vygotskij´s (2001)
12
forskning. De menar att om eleverna arbetar enskilt så konsturerar de sin egen kunskap.
Enligt Vygotskij (2001) sker inlärning som en social process där tänkande och språk
utgör ett komplext förhållande. Detta innebär att utan social kommunikation sker ingen
utveckling i vare sig tanke eller språk. Denna sociokulturella utvecklingsteori kan ses
som utgångspunkt i all form av undervisning både när det gäller allmän som
specialpedagogisk.
Löwing (2006) tar även upp vikten av att skilja på individualisering och differentiering.
Hon menar att differentiering är en arbetsform som innebär att pedagogen låter eleverna
arbeta i olika grupper under kortare eller längre perioder. Dessa gruppindelningar kan
utgå från olika egenskaper som t.ex. ålder, kön intresse eller förkunskaper. Löwing (a.a)
menar att då vi individualiserar undervisningen för eleverna innebär det en anpassning
av innehållet till respektive elevs behov, förkunskap och förmåga.
Lunde (2011) pekar på vikten av att tidigt identifiera elever i specifika
matematiksvårigheter och utforma en bra lärmiljö för dessa elever. Alla elever bör möta
uppgifter som för dem berör, engagerar och är relevanta. Han menar även att vi borde
tala om elever i matematiksvårigheter i stället för elever med matematiksvårigheter,
detta eftersom elever är olika, tolkar situationer olika och presterar olika beroende på
den tolkningen de gör. Lunde (a.a) menar vidare att korta intensiva upplägg som är
tydligt koncentrerade på en viss färdighet är lätta att testa i efterhand jämfört med
långsiktiga upplägg som är mer omfattande. Det här är tänkvärt då Lunde (a.a) betonar
att det kan vara så att vissa kännetecken för matematiksvårigheter kan vara centrala
under de första skolåren medan andra blir centrala längre fram. I Gustavsson-Eriksson
m.fl. (2011) definieras förebyggande arbete i skolan som åtgärder vilka syftar till att så
få elever som möjligt ska hamna i riskzonen för att inte nå målen. De framhåller även
att om det ska ske någon större skolutveckling på skolor behöver pedagoger få en
samsyn om grundläggande värden. För att fokus ska hamna på miljön i stället för
individen krävs ett förebyggande arbete vilket utvecklar en skolverksamhet som möter
elevers olika förutsättningar.
2.2 Begreppsförmåga
Engström (2000) poängterar att lärande är att skapa mening åt det elever ska göra.
Det kommer alltid att finnas skillnader mellan elevers prestationer i matematik.
13
Han betonar att utgångspunkten i pedagogers arbete med elever inte ska vara det
vanligen förekommande, utan insikten om att alla elever är olika. Häggblom
(2013) menar att elever behöver få erfarenhet om ett begrepps användning för att
begreppet ska kunna bildas och bli användbart. Att hjälpa elever utveckla
begreppsförmåga kräver ett stort engagemang av pedagoger eftersom få elever kan
skapa hållbara begreppsmodeller själva. Enligt Ernest (2010) krävs det en öppen
pedagogik som har en känsla för elevernas intresse och önskemål. Det är av stor vikt att
matematikundervisningen engagerar eleverna och att undervisningen knyts an till deras
personliga erfarenheter, intressen och strävanden.
Häggblom (2013) menar att om pedagogerna är medvetna om elevernas kunskap och
inte lägger ribban för lågt, förstår elever den matematik de erbjuds vilket ökar lusten att
lära. Wistedt (2005) poängterar att detta gäller även för de elever som presterar över
förväntan i ämnet matematik. Det är inte alltid så att dessa elever arbetar flitigt i skolan
och om de då även blir understimulerade, finns det en risk att de tycker skolan blir
tråkig och presterar långt under sin kapacitet. Hon menar även att det finns elever som
är besvärade av att de kan så mycket inom ämnet och gör allt för att dölja sin kompetens
vilket leder till att pedagogen missuppfattar elevens kunskaper. En annan aspekt är att
pedagoger med bristande kompetens i matematik kan ha svårt att se värdet av lösningar
till att elevens prestationer döms ut.
Häggblom (2013), framhåller att pedagogerna som undervisar måste ha ett förstående
förhållningssätt och en vilja att anpassa undervisningen för att det ska leda till högre
utveckling för eleverna. Hon påpekar att en inbjudande miljö som utmanar eleverna att
utforska och lära även leder till förutsättningar för matematiska resonemang. Bentley
(2011) lyfter fram att pedagogens kompetens och erfarenhet är de faktorer som mest
påverkar eleverna till lyckade prestationer. Forskningsresultat visar, enligt Bentley (a.a)
att fortbildning av pedagoger med fokus på undervisningsproblem som de möter i sin
vardag är det bästa sättet att förbättra elevernas prestationer.
Eriksson-Gustavsson m.fl. (2011) menar att om elever ska kunna utveckla sina olika
matematiska kompetenser måste de få möjlighet att tillägna sig ett produktivt
förhållningssätt då de ser matematiken meningsfull och användbar i sin vardag och i
sina kommande studier. Elever måste även se matematiken ur ett helhetsperspektiv och
få en begreppslig förståelse för matematiska begrepp och operationer och hur de bildar
14
ett sammanhängande nätverk. Att kunna kommunicera i tal och skrift, argumentera och
skapa sig en strategisk kompetens är även faktorer som skapar helheten för elevens
kompetens inom matematik. Även Ahlberg (2002) lyfter fram att eleverna måste få se
matematiken i ett sammanhang och känna att de har nytta av det de lär, samt att de
konstant får växla mellan det konkreta och laborativa i skolan. Elever som får möjlighet
att känna, undersöka samt jämföra verkliga föremål lättare förstår matematikens
användbarhet i vardagslivet. Bentley (2011) poängterar att om inte begrepp fokuseras
mer i undervisningen, är risken stor att elever lär sig isolerade detaljer, utan
sammanhang som blir svårare för eleverna att memorera. Risken är att eleverna möter
uppgifter som inte passar in i mönstret, då räcker det men en liten avvikelse, för att få
svårigheter med att lösa uppgifterna.
I Clarke och Faragher (2010) diskuteras att elever med inlärningssvårigheter är hjälpta
av ”överinlärning”, då de får möjlighet till fortsatta repetitioner och övningar även efter
det att eleven visat sig förstå uppgiften. Det här är viktigt för att ytterligare kunna
befästa ny kunskap och förhindra att den nyvunna kunskapen försvinner för lätt.
Lundberg och Sterner (2009) menar också att om en färdighet ska etableras behöver
eleven få omfattande övning i pågående arbetsområde. Även Butterworth och Yeo
(2010) menar att elever i matematiksvårigheter behöver en stor mängd övningar
kombinerat med mycket repetition för att nå en framgångsrik utveckling. Löwing och
Kilborn (2002) poängterar att vid färdighetsträning behöver eleverna få arbeta i sin egen
takt med för dem anpassade uppgifter.
2.3 Orsaker till matematiksvårigheter
Många forskare har försökt hitta svaret men alla är inte eniga om orsakerna. Adler
(2007) menar att svårigheterna kan ha genetiska eller biologiska orsaker, det vill säga att
ett barn har den neurologiska skadan redan när det föds eller så är den ärvd av en eller
båda föräldrarna. En annan förklaring till matematiksvårigheter, menar Sjöberg (2006),
är att stressen i det matematiska ämnet kan ställa till problem hos eleven. Han
ifrågasätter
hur
tillförlitliga
testresultaten
är
då
man
vet
att
elever
i
matematiksvårigheter kan påverkas negativt i form av prov och diagnosängslan.
Engström (2012) anser att om en elev har räknesvårigheter är detta något som är
uppenbart och inte en sjukdom. För en elev som fått diagnosen räknesvårigheter är detta
ingen överraskning, det viktiga är istället varför eleven är i räknesvårigheter. Engström
15
(a.a) menar att skolan bör sluta leta fel hos eleverna och istället utveckla de pedagogiska
metoderna.
Redan efter dessa förklaringsmodeller visar det sig att matematiksvårigheter kan bero på
många saker. Adler (2007) menar att om det är känslomässiga blockeringar i
kombination med brister i undervisningen, är det troligen enligt honom den vanligaste
orsaken till att elever hamnar i matematiksvårigheter. Om en elev ofta misslyckas är det
stor risk att han/hon till slut känner sig dum eftersom matematik är ett ämne som är
starkt förknippat med begåvning. Lunde (2011) och Lundberg och Sterner (2009)
framhåller att en negativ självuppfattning kan ha en destruktiv inverkan på lärandet av
matematik. Kännetecken för utvecklingen av en sådan matematikångest är att det
uppstår en oro då eleven är i svårigheter och ser att andra klarar av att förstå
matematiken. Detta leder till att eleven kämpar men är rädd att misslyckas och det
uppstår en känsla av konflikt. Eleven ger till slut upp, blir passiv och låtsas bara utföra
”något”, eftersom eleven känner att förväntningarna blir för stora. Om eleven har en
lång historia av misslyckande bakom sig kan det leda till att de känner panik och ångest
vilket påverkar deras självkänsla.
Även Engström (2000) menar att det finns många orsaker till elevers misslyckande i
matematik. Det viktigaste är att pedagogerna måste fokusera mer på förklaringsmodeller
än diagnoser för att eleven ska kunna utvecklas positivt. Han anser att pedagoger måste
vara observanta och kunna hitta orsakerna till varför eleverna misslyckas. Om en elev
gör räknefel och det inte utreds vad som var felet, utan eleven istället får utföra ett
mekaniskt övande av liknande uppgifter, leder det till att de befäster den falska logiken.
Detta sänker i sin tur elevens självförtroende, eleven kan uppfatta sig som dum och
sänker kraven på sig själv. Risken är att pedagogerna till slut anser att eleven är i
matematiksvårigheter. Liknande brister i undervisningen kan enligt Bentley (2011) vara
att eleverna under alltför lång tid arbetat självständigt i matematikböckerna utan
uppföljning från pedagogens sida. Det här visades på resultaten av elevtesten i TIMSS
(2007) att eleverna hade missförstått stora delar av innehållet i läroböckerna. I TIMMS
(2011) visades också att läroboken används som basmaterial i matematik i högre grad i
Sverige än i EU/OECD-länderna.
Johansson (2011) betonar att då undervisningen låter sig styras av matematikboken
leder det till att läroplan, kursplan och lärare får en underordnad roll. Risken är att
16
undervisningen i klassrummet styrs av läromedlet och de delar inom matematiken som
inte finns med i läromedlet blir troligen aldrig presenterat för eleverna. Hon poängterar
dock att pedagoger som använder samma läromedel inte undervisar på samma sätt då de
tolkar bokens innehåll utifrån förförståelse och andra omständigheter. Johansson (a.a)
menar att matematikbok kan vara ett stöd i undervisningen, men pedagoger behöver ha
ett kritiskt tänkande kring lärobokens texter och uppgifter. Anselmsson (2011) betonar
att vid användning av matematikboken behöver pedagoger ha tilltro till sin egen
kunskap om elever och lärande, så att de skapar utmanande situationer där elevernas
tidigare kunskaper och erfarenheter kommer till användning.
En annan orsak till att elever hamnar i matematiksvårigheter kan enligt Ahlberg (2002)
vara, om det ställs för stora och formella krav i den tidiga matematikundervisningen kan
det leda till att elever får felaktig inställning till matematik. Enligt henne behöver elever
i mötet med matematiken få möjlighet att koppla det matematiska innehållet till sin egen
erfarenhetsvärld. Innebörden är att eleverna får utforska och manipulera med olika saker
samt pröva sig fram för att skaffa sig många erfarenheter. Matematiksvårigheter kan
enligt Adler (2007) även bero på outbildade pedagoger eller skolor som väntat för länge
med att göra kunskapsbedömningar. Eleven kan ha fått fel hjälp under för lång tid,
ensidig hjälp på för låg nivå/för hög nivå, för långa arbetspass eller att den tidiga
matematikinlärningen mest varit fokuserad på minneskunskap.
Sjöberg (2008) har i sin avhandling funnit att för långa matematiklektioner, utebliven
kommunikation,
stökig
lärmiljö
kan
leda
till
att
eleverna
hamnar
i
matematiksvårigheter. Han menar att eleverna behöver få arbetsro och struktur i sin
matematikundervisning. Lundberg och Sterner (2009) pekar på att kognitiva krav, som
ställs inom matematik, är bra för uppmärksamhet, koncentration, uthållighet och ett gott
arbetsminne. Även Adler (2007) betonar att minnes eller koncentrationssvårigheter
leder till att eleven får svårt att hantera sitt lärande i sin vardag. Klingberg (2011) lyfter
fram att det finns en stark koppling mellan arbetsminne och matematik och det visar sig
då arbetsminnet behövs för att kunna utföra mellanliggande steg i uträkningar som
kräver flera operationer. Det här är även starkt kopplat till problemlösningsförmågan
och förmågan att hitta samband och dra slutaster oberoende av tidigare kunskap.
Lundberg och Sterner (2009) menar att matematik och läsning är kognitivt tänkande
verksamheter och om en elev har försenad kognitiv utveckling, räcker deras resurser
17
inte till för att uppnå goda färdigheter inom både läsning och matematik. I sin forskning
har de kommit fram till att det finns större risk att elever med försenad språkutveckling
eller dyslexi lättare hamnar i matematiksvårigheter.
2.4 Elevers syn på innebörden av likhetstecknet
Malmer (1999) menar att likhetstecknet är den mest missbrukade matematiska
symbolen inom matematiken, och att elever i tidig ålder måste få möjlighet till olika
laborativa övningar med att göra jämförelser. Även Grönmo (2011) anser att eleverna
behöver få erfarenheter av att reflektera runt likhetstecknet i olika sammanhang, så att
de kommer till insikt om att de inte alltid behöver utföra en operation. Stephens (2010)
lyfter fram att elever i de tidigare årskurserna uppfattar likhetstecknet som en
uppmaning att göra en uträkning av de tal som kommer före likhetstecknet. Bentley
(2011) betonar att elever alltför ofta lär sig likhetstecknets dynamiska betydelse, att
resultatet av beräkningen skrivs till höger om tecknet, vilket kan leda till att
likhetstecknets betydelse är bunden till denna speciella kontext. Om elever istället lär
sig den statiska betydelsen, att det finns lika mycket på båda sidor om likhetstecknet så
hade eleven inte haft några svårigheter att lösa uppgifter som 6 + 6 = __ + 8.
Heiberg, Alseth och Nordberg (2012) poängterar att likhetstecknet ofta uppfattas som
ett tecken för en handling, att det betyder ”räkna ut!” och inte att uttrycken på båda
sidor om likhetstecknet ska vara samma sak. De menar att elever behöver få uppleva
sambanden mellan addition och subtraktion, t.ex. 5+3=8, 8-3=5 och 8-5=3, för att förstå
att dessa tre talfakta hör ihop. Pedagoger bör fokusera på begreppet likhet och skapa
aktiviteter för eleverna så att de får vänja sig vid att det finns tal till höger om
likhetstecknet. Malmer (1999) anser att många pedagoger känner en tidsbrist och då kan
det hända att de introducerar nya begrepp för eleverna med ett för abstrakt symbolspråk.
Adler (2007) menar att då pedagoger introducerar likhetstecknet för elever, ska det
göras utan att använda tal och siffror. Han lyfter fram att eleverna behöver få träna
under så pass lång tid att de kan se olika former, men samtidigt bortse från andra och att
de kan göra (nästan) vad som helst, bara de gör på samma sätt på båda sidor om
likhetstecknet. Eleverna måste få förståelse för att vid användning av likhetstecknet, får
man inte förändra antalsjämnvikten.
Mason (2003) lyfter fram frågan hur pedagogerna ska kunna få eleverna att använda
sina mentala förmågor till matematiskt tänkande i undervisningen. Han menar att
18
klassificering är något som små barn kan innan de kommer till skolan. Att klassificera
innebär att eleverna kan urskilja och känna igen likheter och skillnader genom att lyfta
fram vissa egenskaper och bortse ifrån andra. Pedagogerna i skolan bör ta tillvara på
tillfällen som ges, att uppmärksamma elever på deras förmågor när de använder dem
spontant, att uppmuntra till en förnyad användning vilket i sin tur kan minska elevens
beroende av hjälp från läraren. Mason (2003) anser att det utgör kärnan i matematiken
och speciellt viktigt då eleverna kommer att arbeta med obekanta tal.
2.5 Elevers förståelse av mental tallinje
På en tallinje skrivs alla tal efter varandra på en linje vilken visar talens läge i
förhållande till varandra. Johansson (2010) menar att om man ger elever en möjlighet att
utveckla färdigheten att se talen som siffror i talserier, får eleven verktyg till att lösa
matematikproblem. Han menar att ett genombrott är när elever i förskoleklass kan räkna
till 40 och har upptäckt tiotalsregelbundenheten. Han poängterar även i sin forskning
att om elever behärskar att räkna fram och baklänges på tallinjen ökar deras
matematiska färdigheter inom andra områden. Detta innebär att eleverna klarar av att
lösgöra räkneorden från varandra och kan hålla kvar i minnet vilket ord man sagt och
vilket som ska komma efter.
Heiberg, Alseth och Nordberg (2012) poängterar att elevernas räknemetoder i årskurs
ett är kopplade till uppräkning. De anser att eleverna bör lära sig automatisera talföljden
upp till 20, kunna räkna baklänges samt utifrån en plats i talraden ange vilket tal som
kommer före och vilket tal som kommer efter ett angivet tal. Häggblom (2013) menar
att det kan vara bra att fundera på hur elever i årskurs 1-2 uppfattar tallinjen, då det är
en abstrakt konstruktion med en punkt på linjen enligt given indelning.
Klingberg (2011) betonar att då elever föreställer sig en mental tallinje är det inte bara
ett bifenomen, utan det berättar för oss hur hjärnan representerar tal med hjälp av en
rumslig bild. Elever använder den mentala tallinjen för att göra själva uträkningen för
att sen läsa av svaret. Klingberg (a.a) menar att det krävs bra arbetsminne för att hålla
kvar en inre minnesbild av uträkningen. För det krävs att nervcellerna som kodar för
den positionen är ständigt aktiva, och om aktiviteten bryts försvinner också minnet
vilket leder till att eleven hamnar i svårigheter.
19
Lundberg och Sterner (2009) diskuterar att en bristfälligt utvecklad tallinje handlar om
störningar
i
språkförmågan,
uppmärksamhet,
arbetsminne
och
visuell
föreställningsförmåga. De menar att elever behöver få möjlighet att utveckla en mental
tallinje, då det är ett kärnproblem för elever i matematisksvårigheter. Den mentala
tallinjen är till stort stöd för eleverna, då de förstått talens ordningsföljd och uppfattar ett
tals relation till närstående tal. När eleven förstått talens ordningsföljd och uppfattat ett
tals position i relation till närstående tal, kommer tallinjen att spela allt större roll för
eleven. Lundberg och Sterner (a.a) poängterar att om elever stimuleras i sin
taluppfattning redan i förskoleåldern, kan det gynna utvecklingen av uppfattningen av
tallinjen. Även Adler (2007) lyfter fram att en viktig grundpelare i matematik för eleven
är att han/hon har förståelse för att avståndet mellan varje heltal i tallinjen är ett, och att
elever behöver öva mycket på att skapa olika tallinjer.
2.6 Teoretiskt perspektiv
Min studie baserars på Vygotskis sociokulturella teorier. Lev Semjonovitj Vygotskij
(1896-1934) var en rysk, judisk utvecklingspsykolog som under sin korta levnadstid
formulerade idéer om barns intellektuella utveckling, vilket har fått stor betydelse för
vår syn på hur barn utvecklar och formar sitt tänkande och språk. Lärandet mellan elev
och läraren är enligt Vygotskij (2001) ett viktigt samarbete i utvecklingszonen, då
eleven lånar begrepp som den ännu inte har. Vygotskijs tankar är att språk och
kommunikation lyfts fram i alla ämnen. Han menar även att de vetenskapliga
begreppens utveckling banar väg för de vardagliga begreppens utveckling. Med det
menar Vygotskij (2001) att de vetenskapliga begreppen inte kan överföras direkt från
läraren till eleven, utan de skapar förutsättningar för fortsatt utveckling. Han lyfter fram
att elevens spontana tänkande utvecklas i mötet med den vuxnes vetenskapliga begrepp.
Bråten (1998) lyfter fram att Vygotskij lanserade uttrycket ”den närmaste
utvecklingszonen. Den närmaste utvecklingszonen betecknar alltså skillnaden mellan
det som ett barn kan handskas ensamt med på det kognitiva området, och de uppgifter
som det kan lösa under medverkan av en vuxen. Formaliserade samspel mellan det
spontana och det vetenskapliga bildar enligt Vygotskij i Bråten (1998), den viktigaste
grunden för individens utveckling av medvetenhet om och kontroll över sin egen
kunskap. Trots att motivation inte har någon central plats i Vygotskij´s teori ger den
närmaste utvecklingszonen ändå bidrag till förståelsen av detta pedagogiska begrepp.
Vygotskij uppfattade allt lärande och undervisning som kulturöverföring, vilket innebär
20
att innehållet därför på så sätt redan är givet. Utmaningen ligger i att skapa meningsfulla
undervisningsvillkor, både genom att lägga upp undervisningen så att den matchar
elevens aktuella och potentiella nivå och genom att tydliggöra nyttan och värdet av det
kulturellt givna stoffet. God undervisning är också en undervisning som skapar en ny
mening.
2.7 Litteratursammanfattning
Både Gustavsson- Eriksson m.fl. (2011) och Lundberg och Sterner (2009) poängterar att
det är viktigt att tidigt förebygga uppkomsten av matematiksvårigheter genom att skapa
en god undervisning som är meningsfull, lustfylld, inspirerande och som tar hänsyn till
alla elever. Det här ska ses som åtgärder som syftar till att så många elever som möjligt
ska nå målen. Löwing (2006) och Ahlberg (2002) menar att elever måste få uppleva och
upptäcka matematiken i omvärlden under lång tid, och att det krävs en process av
samspel mellan olika faktorer. Lunde (2011) lyfter fram att det finns ett tydligt samband
mellan lärarens kompetens och elevens lärande vilket även Häggblom (2013) påpekar,
då hon menar att matematiklärandet är en process som inte är självgående.
Clarke och Faragher (2010), Butterworth och Yeo (2010) samt Lundberg och Sterner
(2009) anser att det behövs mycket repetition och överinlärning för att minska risken för
elever att hamna i matematiksvårigheter. Är det verkligen så att eleverna kan ”öva” bort
matematiksvårigheter? Löwing (2006) anser att om eleverna ska färdighetsträna är det
viktigt att uppgifterna anpassas för dem. Engström (2000) menar att det viktigaste är att
hitta orsaken till vad eleven gjort för fel så att eleven inte färdighetstränar in fel sätt.
Vid introduktion av likhetstecknet menar Malmer (1999), Bentley (2011), Heiberg, m.fl.
(2012) och Adler (2007) att eleverna behöver få förkunskaper under lång tid utan att
använda tal och siffror. Pedagogerna bör lära eleverna den ”statiska” betydelsen, att det
finns lika mycket på båda sidor om likhetstecknet. Johansson (2010), Lundberg och
Sterner (2009) och Adler (2007) lyfter fram att elevernas färdigheter inom andra
områden i matematik ökar om de behärskar användningen av tallinjen. Den är till stöd
för eleverna, då de har förstått talens ordningsföljd och uppfattar tals relation till
närstående tal.
21
3. Metod
3.1 Lite kort om olika metoder
Jag har valt att göra en empirisk undersökning där jag kommer att samla in, bearbeta
och analysera data från intervjuer. Jag har valt att använda mig av kvalitativa intervjuer
i min studie vilket ger mig möjlighet att fråga om jag inte förstår ett svar, samt att jag
kan ställa följdfrågor. Fejes och Thornberg (2009) menar att en kvalitativ forskning är
t.ex. inspelade intervjuer där syftet är att tolka och förstå det som analyseras. De
poängterar att det handlar om att skilja mellan det betydelsefulla och det triviala och då
finna betydelsefulla mönster för att skapa mening ur en massiv mängd insamlad data.
Fejes och Thornberg (a.a) lyfter även fram vikten av hur jag som forskare försöker
analysera kvalitativa data öppet och fördomsfritt, vilket kräver att jag lägger teorin åt
sidan vid analysen. Detta för att utifrån insamlad data kunna identifiera mönster,
utveckla teman, begrepp, kategorier eller resonemang. Enligt Lantz (2007) får jag som
forskare genom den öppna intervjun, möjlighet att undersöka och genom analys dra
slutsatser om kvaliteter. Hon menar även att vid kvalitativa analyser ges det möjlighet
att beskriva fenomen på ett differentierat sätt, och komplexa sammanhang blir möjliga
att förstå för att belysa fenomenet ur ett nytt perspektiv. Forskning med kvalitativ ansats
kan beskrivas som att den syftar till att undersöka det vardagligas meningsnivå.
Thuren (1995) påpekar att då vetenskapsteorin ständigt söker sanningen samtidigt som
den ständigt förändras, innebär det att vi lägger ny fakta till det stora kunskapsbygget
samtidigt som utvecklingen förutsätter så att gamla åsikter förkastas. I Thuren (a.a)
beskrivs hermeneutiken som en förståelse- och tolkningslära vilken ger möjlighet till
inlevelse och förståelse för elevens och pedagogens perspektiv, på förståelsen för
likhetstecknets innebörd och den mentala tallinjen, vilket är mitt mål med studien.
Enligt Fejes och Thornberg (2009) kan hermeneutiken användas för att förmedla elevers
upplevelser av olika fenomen som är aktuella inom skolans värld. Lantz (2007) menar
att det är forskarens inlevelse och engagemang som är förutsättning för förståelse,
forskaren kan inta den intervjuades perspektiv. Forskaren behöver ta hänsyn till stor del
av sammanhanget för att kunna inbegripas i det som ska förstås.
Det finns negativa aspekter att ta i beaktning av metodvalet då Kvale och Brinkman
(2009), menar att forskningsintervjuer kan kritiseras på grund av att sanningshalten i
22
intervjupersonernas uttalanden är omöjliga att kontrollera. Metoden kan även leda till att
det underförstådda hos intervjupersonernas utsagor kan försvinna i tolkningen och att
det är omöjligt att göra alla människors tankar full rättvisa i en kvalitativ intervjustudie.
Thuren (1995) påpekar att vid tolkning av en hermeneutisk studie kan egna känslor och
upplevelser påverka resultatet. Kvale och Brinkman (2009) menar istället att intervjuer
vidgar
och
förändrar
forskarens
uppfattning
om
det
som
undersöks,
om
intervjupersonen lyfter fram nya och oväntade aspekter på frågeställningen. Det här kan
leda till att nya klarheter upptäcks under analysarbetet. Lantz (2007) poängterar att inom
vetenskaplig forskning så är induktion och deduktion vedertagna begrepp för att på
olika sätt att dra slutsatser. Induktion är när forskaren samlar information vilken
analyseras och slutsats dras, deduktion är mer att dra logiska slutsatser. Både induktion
och deduktion bygger på att jag som forskare har en föreställning om det jag ska
undersöka, jag söker efter något som jag har en förkunskap eller föraning om.
3.2 Metodval
Jag kommer att använda en kvalitativ hermeneutisk analys då jag vill förstå elever och
pedagogers uppfattningar och föreställningar kring matematik och tolka de uttalanden
jag får genom intervjuerna. Lantz (2007) menar att nackdelen med en kvalitativ ansats
kan vara att resultaten och slutsatsernas ansatser är svåra att kritisera och värdera. I den
kvalitativa analysen är underlaget beskrivande och relaterat till ett sammanhang. Det är
svårt att beskriva för andra vilka metoder som använts och hur resultaten har kommit till
eftersom det subjektivistiska har en framstående placering. Det här kan i sin tur leda till
svårigheter att i förväg finna bestämda modeller och metoder som i detalj föreskriver
hur datainsamlingen ska gå till.
Jag kommer även att utföra en del av undersökningen i min studie genom en kvantitativ
ansats. Direkt i anslutning till intervjun kommer eleverna att få utföra ett skriftligt
matematiktest (bilaga D), där en del av uppgifterna kommer från diagnosmaterialet
Diamant (2009) för årskurs ett. Enligt Löwing (2011) var uppdraget då Diamant
konstruerades att det skulle bli ett instrument med vars hjälp pedagogen kan följa
enskild elev, eller hela gruppens kunskapsutveckling. Jag valde att inte låta
matematikdiagnoserna vara tidsbegränsade för att inte riskera att tidspressen skulle
hämma eleverna. Bentley (2011) anser att skriftliga diagnostiska test ska ses som ett
komplement till intervjuer av elever, då testet i sig själv endast ger en grov indikation
23
om hur eleven löser en viss uppgift i specifika problemsituationer. Han menar, om en
elev inte lyckas lösa en testuppgift ska pedagoger inte omedelbart dra slutsatsen att
eleven inte kan. Det kan visa sig att eleven kan lösa en liknande uppgift vid ett annat
tillfälle. Lunde (2011) menar att det är viktigt att vara observant på om läsfärdighet kan
vara en tänkbar källa till mätfel då syftet i testet är att mäta matematik. Enligt honom
bör pedagoger vid testning av eleverna ha i åtanke om testen mäter det de ger sig ut för
att mäta.
3.3 Undersökningsgrupper
Denna studie fokuserar på elever och pedagoger som aktörer. Studiens målsättningar är
att bidra med en praktiknära studie med fokus på hur elever i årskurs ett har förståelse
för likhetstecknets innebörd och den mentala tallinjen, samt hur klasslärare och
speciallärare tillsammans kan skapa bra förutsättningar för elever i matematik i tidig
skolålder. Jag har valt att använda mig av både öppna och slutna frågor (Bilagor C och
E). Lantz (2007) poängterar att vid öppna frågor är det möjligt att fånga en persons
uppfattningar och upplevelser av för denne betydelsefulla kvaliteter.
Intervjuerna och matematikdiagnoserna utfördes i en kommunal f-6 skola, i sydvästra
Sverige. Alla vårdnadshavare fick en skriftlig förfrågan (se bilaga B) om de godkände
att deras barn deltog i studien eller inte. Jag fick in svar på den skriftliga förfrågan av 23
elever inom en period av 2 veckor. Valet av målgrupp föll på elever i årskurs ett då de
endast gått en termin i skolan och håller på att lära sig grunderna i ämnet matematik.
Undersökningen genomfördes på elever ur två klasser på samma skola. Jag valde även
att intervjua de klasslärare som arbetar med elever i de lägre åldrarna (Bilaga E). Detta i
ett
försök
att
fånga
deras
uppfattningar
och
didaktiska
val
kring
matematikundervisningen och ställningstagande kring samarbete med speciallärare i
årskurs ett. Då både klasslärare, förskollärare samt talpedagogen är inblandade i årskurs
1, innebär resursfördelningen att speciallärare inte är involverad i årskursen. Med elevoch pedagogintervjuer samt matematikdiagnoser åt eleverna, var min förhoppning om
att en mer fullständig bild utifrån studiens syfte skulle skapas.
3.4 Genomförande
För att ta reda på hur speciallärare och klasslärare tillsammans kan skapa goda
förutsättningar för att öka elevernas förståelse för likhetstecknets innebörd och
24
förståelsen för den mentala tallinjen, har jag intervjuat pedagoger som undervisar elever
i årskurs ett, i ett försök att fånga deras uppfattningar och didaktiska val. Jag har även
gjort korta intervjuer och ett litet matematiktest med elever i årskurs ett, i ett försök se
det ur deras perspektiv, intresse och sätt att förhålla sig till likhetstecknets innebörd och
den mentala tallinjen. Jag har använt mig av slutna frågor till eleverna då de är lättare
för eleverna att svara på, och att det är lättare att jämföra deras svar. Elev – och
pedagogintervjuerna samt matematikdiagnoserna genomfördes efter att berörd rektor
gett mig klartecken att komma ut på skolan och genomföra studien på plats.
I realiteten kom det att styras av de antal elever vars vårdnadshavare godkänt att deras
barn fick delta i undersökningen. Jag presenterade mig för eleverna och berättade om
mitt examensarbete innan jag skickade ut förfrågningar (se bilaga B) åt
vårdnadshavarna till totalt 40 elever. Jag fick godkännande av vårdnadshavare till att
utföra studien på 23 elever och valde att utföra intervjuerna och matematiktesterna på
dessa elever, då de alla var positiva till att delta i studien. Av dessa 23 elever fanns det
representanter från båda könen (10 pojkar och 13 flickor).
Intervjuerna och matematikdiagnoserna av elever och pedagoger genomförders under en
tre veckors period, både under skoltid och då eleverna var på fritids. Intervjuerna skedde
i ett enskilt rum för att elever och pedagoger skulle få lugn och ro att svara på frågorna
och utföra matematiktestet. Innan intervjuerna påbörjades talade jag om för elever och
pedagoger vad jag hade för syfte med intervjuerna och varför jag valde att spela in dem
på mobiltelefonen. Hade någon valt att inte bli inspelad hade jag respekterat det och
istället skrivit ner deras svar.
Kvale och Brinkmann (2009) påpekar vikten av att iscensätta intervjun så att
intervjupersonerna uppmuntras till att ge sina synpunkter på sitt liv och sin värld. Jag
som intervjuare bör skapa god kontakt genom att vara en god lyssnare som visar
intresse, förståelse och respekt för det som intervjupersonen berättar om. Tidsåtgången
till varje intervju/test beräknades till 15-25 minuter. Denna uppskattning visade sig
stämma ganska bra. I genomsnitt tog varje intervju/test av elever ca 20 minuter och
pedagogintervjuerna ca 15 minuter. I studien använde jag termen elev för alla elever,
barn och ungdomar som går i grundskolan. Som samlingsnamn för alla vuxna med
lärarexamen använde jag ordet pedagog. Vid resultatsammanställning och analys av
25
intervjuer och matematiktest valde jag att dela in de i tre delstudier. Delstudie 1 berör
elevintervjuerna, delstudie 2 matematiktestet och delstudie 3 pedagogintervjuerna.
3.5 Bearbetning och analys
Jag spelade in elever och pedagogers intervjuer på mobiltelefonen för att direkt efter
varje intervju transkribera elevernas och pedagogernas skildringar av sina erfarenheter
ordagrant. En av pedagogerna var först skeptisk till att bli inspelad men sa att det gick
bra ändå. Intervjusvaren skrevs ut ordagrant men endast specifika citat från elever och
pedagoger finns i studien för att förstärka bilden av de tillfrågades svar.
Intervjuerna skrevs ut och jag kvantifierade data utifrån frågeställningarna genom att
kategorisera svaren, vilka jag jämförde och analyserade i ett försök att hitta likheter och
skillnader. Då jag analyserade svaren kopplade jag det till relevant forskning från
litteraturgenomgången.
3.6 Tillförlitlighet
Jag som forskare fick en form av reliabilitet på intervjun då pedagogerna läst och
godkänt den skriftliga utsagan i efterhand. Det var mer komplicerat att fastställa
intervjuutskriftens validitet då det inte finns någon sann eller objektiv omvandling från
muntlig form till skriftlig. Kvale och Brinkman (2009) menar att kravet på
generaliserbar kunskap bygger på antagandet att vetenskaplig kunskap är giltig för alla
människor, platser och tider. Även Lantz (2007) framhåller att generaliserbarheten har
innebörden, att slutsatser som dras på grundval av en mindre grupp individer, även är
giltiga för en större population individer som inte undersökts.
Lantz (2007) poängterar vikten av att göra en eller flera provintervjuer och att det är bra
om intervjupersonerna tillhör samma kategori som de personer som senare ska komma
att intervjuas. En pilotstudie av frågorna till elevintervjun gjordes på ett par elever i en
annan skola med samma målgrupp, elever i årskurs ett, för att säkerhetsställa frågornas
tillämplighet.
Här upptäcktes missförstånd bland frågorna och matematiktestet
modifierades därefter för att bättre uppfylla syftet med studien och dess frågeställningar.
Kvale och Brinkman (2009) menar att intervjuarens frågor bör vara öppna, korta och
enkla för att få mer fullständiga svar. Här upptäckte jag även fördelen av att spela in
intervjuerna istället för att försöka skriva ner elevernas svar.
26
3.7 Trovärdighet
Min förhoppning var att kunna utföra så pass många intervjuer och matematiktester av
elever i årskurs ett, tills jag ansåg mig ha besvarat frågeställningarna. Mellan 4 av de
aktuella intervjueleverna och mig finns en relation vilken kan ha påverkat eleverna
under intervjuerna. Det här kan leda till att relationen bidrar med ett förtroende som gör
att de här eleverna kan prata relativt naturligt och uppriktigt vid intervjun.
Min första tanke var att intervjua alla pedagoger på skolan som arbetar med eleverna i
de lägre åldrarna. Då jag fått in svar från 23 elever, vilka alla var positiva till att delta
hade jag en diskussion med min handledare. Med anledning av tidsbrist kom vi överens
om, att jag endast skulle intervjua de två pedagoger som arbetade med elever i årskurs
ett vid det aktuella tillfället.
3.8 Etiska aspekter
I Vetenskapsrådet (2009) finns det att läsa om fyra forskningsetiska principer att ta
hänsyn
till:
informationskravet,
konfidentialitetskravet,
samtyckeskravet
och
nyttjandekravet. Tillfrågade elever, vårdnadshavare och pedagoger fick vid förfrågan
om att delta i min studie ett informationsbrev. Jag uppfyllde samtyckekravet genom att
alla mina deltagares medverkan byggde på frivillighet, de kunde när som helst avbryta
sin medverkan. Jag behandlade alla berörda som deltog i studien konfidentiellt då det
endast är intervjuaren och jag som vet vad som har sagts, samt att ingen kommer att
kunna identifieras. Både elever och pedagoger i studien är anonyma och kommer att ha
fingerade namn och därför går det inte att avslöja deras identitet. Nyttjandekravet
innebär att enskilda personer endast får användas till forskningsändamål.
Jag frågade de som skulle intervjuas om det gick bra att spela in intervjun då en del kan
känna sig besvärade och hämmade av en inspelning. Lantz (2007) menar att det är ett
absolut måste, att använda sig av inspelning eftersom det är svårt att hinna med att
skriva ner allt som sägs. Lantz (a.a) påpekar att trots inspelning av intervjuer är det
viktigt att tänka på att tolkningen av den kvalitativa analysens giltighet bestäms av hur
väl helhetens mening blivit bevarad. En nackdel med användningen av inspelning vid
intervjun är att det är tidskrävande att transkribera inspelningen samt att gester och
mimik försvinner. Alvesson och Kärreman (2011) menar att en annan nackdel kan vara
att då jag som forskare försöker säkra anonymiteten av intervjupersonerna, kan de ändå
27
identifieras av andra på skolan. Det här kan påverka intervjupersonerna och kanske
tänker de sig för en extra gång innan de svarar.
28
4. Resultat och analys av elevintervju
4.1 Delstudie 1
I följande avsnitt redovisas såväl resultat som analys av studiens kvalitativa del vars
syfte är att ta reda på om eleven vet och förstår att matematik finns i vår vardag. Elevens
uppfattning om hur han/hon arbetar vid inlärningen av matematik i skolan samt ta reda
på om det finns något inom matematik som eleven tycker är svårt/lätt. Om eleverna kan
räkna från första/största termen utan att behöva gå tillbaka och börja från ett, samt att ta
reda på om eleven kan räkna bakåt på talraden. Intervjufrågorna finns att se i bilaga C.
Eleverna fick lov att svara mer än ett alternativ på frågorna, men merparten av dem gav
bara ett svar. Jag har valt att tolka utifrån de svar eleverna gett mig, men är medveten
om att eleverna kan ha andra förståelser för hur de kan använda matematik och att de
kanske har förståelse för mer än ett alternativ.
4.1.1 Resultat och analys – fråga 1
Tabell 4.1 Fråga 1. Kan du berätta för mig vad man kan använda matematik till?
Orsak
Att bara räkna i skolan
För att bli smartare
Matematik i vardagen
Använda som vuxen
Vet absolut inte
Elevsvar
11
1
8
1
2
Analys
Tio av eleverna är medvetna om att matematik är mer än bara att räkna i
matematikboken eller något de använder sig av i skolan. De hade lättast att se
användingen av matematik om de t.ex. skulle gå till affären för att handla. Eleverna
berättade att de kan använda matematik när man går och handlar, då de vet hur mycket
pengar som behövs när de ska betala och hur mycket pengar de ska få tillbaka. En elev
resonerade även som så att om pengarna inte räckte när man var i affären fick man
kanske lämna tillbaka en vara. En annan elev såg matematik som något man kan
använda när man blir vuxen. Precis som Engström (2000), Ernest (2010) och Lunde
(2011) menar är lärande att skapa mening åt det eleverna ska göra, de bör möta
29
uppgifter som för dem är relevanta och meningsfulla för att de ska se nyttan av det i
deras vardag.
Två av dessa tio elever hade stora svårigheter att lösa testet medan övriga åtta löste det
utan några större svårigheter. De två elever som inte hade en aning om vad man kan
använda matematik till löste de flesta uppgifterna i matematiktestet utan några större
svårigheter. Elva elever svarade att matematik bara är något man använder för att räkna
med i skolan. ”Man kan göra minus och plus” svarade en elev efter en lång stunds
betänketid. En elev menade att matematik är när ”fröken säger vilken sida vi ska räkna i
matteboken”. En elev sa att matematik var bra om man vill bli smartare, ”man kan veta
och svara snabbt”.
4.1.2 Resultat och analys – fråga 2
Tabell 4.2 Fråga 2. Hur arbetar du med matematik i skolan? Använder du
matematikbok? Använder du klossar och stavar?
Orsak
Endast matematikbok
Ma-bok + klossar
Ma-bok+ övriga saker
Elevsvar
7
10
6
Analys
Det framkom av svaren att alla eleverna i studien använder matematikboken mest i
skolan då de arbetar med ämnet. Sju elever svarade att de endast räknade i
matematikboken och aldrig använde klossar eller några andra hjälpmedel. Anselmsson
(2011) menar att matematikboken kan vara ett stöd i undervisningen, men pedagoger
behöver ha tilltro till sin egen kunskap om elever och lärande för att skapa situationer
där elevernas tidigare kunskaper och erfarenheter kommer till användning. En elev
berättade att ”fröken skriver på tavlan och vi skriver vad det ska bli”. Tio av eleverna
använder matematikboken och klossar som stöd medan sex elever tränar matematik på
andra sätt. Det här kunde enligt eleverna vara att de räknade minus med kakor då
pedagogen hade fyra kakor och åt upp en kaka, hur många kakor var då kvar. De här
eleverna var även medvetna om att när de använde sig av egentillverkade saker som
fiskar eller av kottar de plockat, så var det matematik de utförde. En elev var medveten
om att de haft matematik då de använt sig av ”sig själva” under matematiklektionen.
30
Eleven berättade att ”några ställer sig på golvet, sen får några ställa sig bredvid
varandra och så får man räkna ut hur mycket det blir”.
4.1.3 Resultat och analys – fråga 3
Tabell 4.3. Fråga 3. Finns det något i matematik som är extra roligt/lätt?
Orsak
Mönster
Räkna med addition
Räkna med subtraktion
Likhetstecknet
Tioskutta
Rita matematik
Räknehändelse
Multiplikation
Matematikbok
Mattekorsord
Allt var lätt/roligt
Inget var lätt/roligt
Elevsvar
2
8
5
1
1
2
3
1
1
2
2
3
Analys
De flesta av eleverna gav flera svar på vad de tyckte var lätt eller roligt i matematik.
Åtta elever tyckte att addition var lättast/roligast medan subtraktion var svårast. Två
elever berättade att de tyckte att allt inom matematik var lätt/roligt, en av de här
eleverna hade alla rätt på testet, medan den andra eleven hade två fel.
Tre elever kunde inte svara på frågan om vad de tyckte var lätt eller roligt i matematik.
Två av de tre eleverna hade i fråga 1 svarat att de visste vad man använde matematik
till, medan den tredje eleven inte visste vad man kan använda matematik till. Endast en
elev sa att matematikboken var roligast trots att det är den som dominerar elevernas
matematiklektioner.
31
4.1.4 Resultat och analys – fråga 4
Tabell 4.4. Fråga 4. Finns det något i matematik som du tycker är svårt?
Orsak
Subtraktion
Multiplikation
Mönster
Likhetstecknet
Stora tal
Ingenting är svårt
Elevantal
4
2
1
1
8
7
Analys
Åtta elever tycker att det är svårt att räkna med stora tal som hundratal, tusental och
miljontal, tal som eleverna inte har arbetet med i skolan. Två av de här eleverna tyckte
att talet 15 var stort. Fyra av eleverna tyckte att det var svårt med subtraktion, och
speciellt om det var med stora tal. Trots att eleverna inte har börjat arbeta med stora tal
tycker de att det är svårt. Två elever tyckte att multiplikation var svårast trots att de inte
har börjat använda räknesättet i skolan. Eleverna berättade då att de har räknat
multiplikation hemma med sina äldre syskon. För den elev som tyckte det var svårt med
mönster framkom det inte om det var svårigheten att hitta mönstret, eller svårigheten att
rita figurerna i mönstret. Sju av eleverna tycker inte att det finns något inom matematik
som är svårt.
4.1.5 Resultat och analys – frågor 5-7
Tabell 4.5. Frågorna: 5. Hur långt kan du räkna? 6. Kan du räkna från 5 och vidare? 7.
Kan du räkna bakåt från 10?
Frågor 5-7
Fråga 5. Räkna till 100
Fråga 5. Vad kommer efter
100
Fråga 6. Räkna uppåt från 5
Fråga 7. Räkna bakåt från 10
Ja
20
20
Nej
2
3
23
20
0
2
Tveksamt
1
0
0
1
32
Analys
Alla elever utom tre kan räkna till hundra. Av de elever som kunde räkna till hundra var
det tre elever som inte visste att 101 kom efter 100. Alla elever kunde räkna uppåt från 5
vilket visar på att de inte behöver räkna om från tallinjen. Merparten av eleverna klarade
att räkna bakåt från 10 till noll. Den ena eleven av de tre eleverna som inte kunde räkna
till hundra, räknade väldigt långsamt och sneglade samtidigt på tallinjen som sitter
uppsatt i rummet. Den andra eleven som inte kunde räkna till hundra klarade inte heller
att räkna bakåt från tio till noll. Samma elev kunde skriva talraden ett till tio i testet men
klarade inte talmönstret med udda och jämna skutt. I litteraturgenomgången
framkommer det att Johansson (2010) betonar att om elever behärskar att räkna fram
och baklänges på tallinjen ökar deras matematiska färdigheter inom andra områden.
4.1.6 Resultat och analys – fråga 8
Tabell 4.6. Fråga 8. Kan du berätta för mig vad det här tecknet (=)
betyder?
Elevers förklaringar till fråga 8
”Dynamiskt” svar, visade med uträkning
Förståelse för att det ska bli lika mycket på båda sidor
Vet inte
Att inte glömma göra två streck
Elevsvar
8
13
1
1
Analys
Åtta elever tyckte att likhetstecknet betyder att man räknar t.ex. 3+2=5, de resonerade
inte kring tecknets betydelse eller att det kan se ut på andra sätt. Då eleverna svarade på
frågan valde de att säga talen eller rita dem på tavlan, de nämnde ingenting om att det
skulle vara lika mycket på båda sidor om tecknet. Det var bara något de utförde. I
litteraturgenomgången lyfter Stephens (2010) fram att elever i tidig årskurs uppfattar
likhetstecknet som en uppmaning att göra en uträkning av de tal som kommer före
likhetstecknet.
Tretton av eleverna svarade under intervjun att tecknet heter lika med och att de ska
lägga till lika mycket på båda sidorna. En elev sa ”om jag har fem på ena sidan och två
på andra sidan så lägger jag till tre till tvåan så blir det fem”. Eleverna visade även med
symboler (de ritade på tavlan) att de förstod likhetstecknet. Av de elever som förstod
33
likhetstecknets innebörd visade alla upp den ”dynamiska” uppställningen där summan
står till höger om likhetstecknet t.ex. 2+3=5. Kan det var som Grönmo (2011) menar att
dessa elever behöver få mer erfarenhet och reflektion kring likhetstecknet i olika
sammanhang så att de får förståelse för den ”statiska innebörden t.ex. 2+__=3+1.
Två elever kunde inte förklara likhetstecknet, båda eleverna hade i testet problem med
talmönster, och att räkna uppgifterna där likhetstecknet inte är ”statiskt”. Den ena
eleven felvände siffrorna 2, 3 och 9. Den andra eleven gav sin förklaring till
likhetstecknet ”att man inte ska glömma att göra två streck för annars blir det minus”.
4.2 Sammanfattning
Utifrån resultatets tolkning vet åtta elever att matematik finns i vår vardag. Alla elever i
studien utom tre kunde räkna till hundra och hade god förståelse för tallinjen. De
klarade även av att räkna baklänges och Johnsson (2010) menar att det ökar elevers
matematiska färdigheter inom andra områden. Det visade sig att tretton av eleverna
hade försåtelse för likhetstecknets innebörd. Det här överensstämmer ganska bra med
det som Malmer (1999) lyfter fram i litteraturgenomgången, att likhetstecknet är det
mest missburkade matematiska symbolen. Löwing (2006) poängterar att om pedagoger
konkretiserar undervisningen för eleven, bidrar det till att ge förståelse till ny kunskap
utifrån de erfarenheter eleverna redan har.
34
5. Resultat och analys av elevtest
5.1 Delstudie 2
I följande avsnitt redovisas såväl resultat som analys av studiens kvantitativa del, vars
syfte är komplettera elevintervjuerna. Det görs utifrån ett test för att ta reda på om
eleverna är säkra på talraden, kan se talmönster samt ta reda på om eleverna har
förståelse för likhetstecknets innebörd. Matematiktestet finns att se som bilaga D.
5.1.1 Resultat och analys av elevtest i matematik – uppgifter 1-2
Tabell 5.1. Elevtest i matematik – tallinjen
Uppgifter
Uppgift 1: Skriv talraden från ett till tio
Uppgift 2a: Tallinje, jämna tal
Uppgift 2b: Tallinje, udda tal
Rätt
23
15
15
Fel
0
8
8
Analys
Alla elever klarade att skriva talraden från noll till tio, en av eleverna skrev siffrorna 2,
3 och nio felvända. Om en elev skriver tal i omvänd ordning behöver det inte vara
tecken på begreppslig missuppfattning, McIntosh (2009) menar att det oftast är en
övergående fas. Sex av de åtta eleverna som svarade fel på uppgifterna med jämna och
udda tal hade ”skuttat” fel på båda uppgifterna. De andra två eleverna hade fel på en av
uppgifterna.
5.1.2 Resultat och analys – uppgifter 3a-3e
Tabell 5.2. Elevtest i matematik – likhetstecknets innebörd
Uppgifter
Uppgift 3a:
6+1=7
Uppgift 3b:
6-1=__
Uppgift 3c:
4 +__= 9
Uppgift 3 d: 8 = 2 + __
Uppgift 3 e: 3 + 1 = __+ 2
Antal rätt
Antal fel
Totalt antal
92
84
76
70
20
0
8
16
22
49
92
92
92
92
69
35
Antal elever
med alla rätt
23
17
14
10
3
Analys
Alla 23 elever tyckte att uppgifterna 3a, där talen är ”dynamiska” var lätta och räknade
fort igenom dem med alla rätt. I uppgifterna 3b hade 17 elever alla rätt. I uppgifterna 3c
hade 14 elever rätt på alla uppgifterna, åtta elever hade några fel och en elev hade fel i
alla fyra uppgifterna. I uppgifterna 3d var det 10 elever som hade alla rätt och precis
som vid uppgifterna 3c, var det samma elev som även hade alla fel i 3d. Nio elever hade
klarat tre rätt av fyra på uppgifterna i 3d. I uppgifterna 3e hade endast tre elever alla rätt
och det kan bero på att eleverna är låsta vid att efter likhetstecknet ska det stå ett svar.
Enligt Grönmo (2011) behöver eleverna reflektera över andra betydelser av
likhetstecknet och pedagogerna göra eleverna medvetna om dessa uppgifter genom att
låta dem få möjlighet till diskussion och reflektion.
”Barn ser inte omvärlden utifrån matematiska stukturer och formella
uttryck utan utifrån sina erfarenheter och sina behov”.
Häggblom (2013 s.237)
36
6. Resultat och analys av pedagogintervjuer
6.1 Delstudie 3
I följande avsnitt redovisas såväl resultat som analys av studiens andra kvalitativa del.
Pedagogerna som blivit intervjuade benämns som P1 och P2. Intervjufrågorna är
sammanställda i fyra olika kategorier och frågorna finns att se i bilaga E.
6.1.1 Bakgrundsfråga
Erfarenhet som pedagog
De intervjuade blev färdigutbildade pedagoger 2007 respektive 2009. P1 har tidigare
arbetat i olika årsgrupper och då även som fritidspedagog, men har sedan 1½ år tillbaka
arbetat som klasslärare. P2 har arbetat i förskoleklass i 5 år samt varit klassföreståndare
i årskurserna 6-7, 8-9 under ett års tid samt 1½ år som klasslärare till nuvarande klass.
Båda pedagogerna är behöriga att undervisa och sätta betyg i matematik upp till årskurs
6.
Analys
Gemensamt för båda pedagogerna är att de är nyligen utbildade samt har behörighet för
undervisning i matematik och att det är deras första riktiga klasslärartjänst. De har
tidigare arbetat inom olika stadium i skolan och då både som fritidspedagog och
förskolelärare då de har dubbel behörighet. Båda pedagogerna har tillsammans med
förskolelärarna haft klasserna sedan förskoleklass. Faktorer som kan påverka
matematikundervisningen positivt är pedagogernas behörighet i matematik, en nackdel
kan vara att de har lite erfarenhet av undervisning i den grundläggande matematiken.
Både Adler (2007) och Bentley (2011) menar att det är både lärarens utbildning och
erfarenhet som har stor betydelse för hur eleverna ska lyckas. Bentley (2011) poängterar
att fortbildning är ett av de bästa sätten att förbättra elevernas prestationer.
6.1.2 Tal och symbolspråk
Introduktion av tal för åk 1
Båda pedagogerna introducerade tal för eleverna i förskoleklassen och då genom att låta
eleverna få förståelse för att matematik finns i deras vardag. Det här arbetssättet att
37
introducera tal, har pedagogerna fortsatt med upp i åk 1. P1 introducerade tal i
förskoleklass då de pratade om dagar, räknade frukt och försökte få in siffror i elevernas
vardag. P1 introducerade likhetstecknet för eleverna under höstterminen i åk 1.
Tillvägagångsättet var då både laborativt och teoretiskt. Vid arbete med laborativt
material låter P1 eleverna arbeta konkret med det innan de räknar i matematikboken och
då speciellt vid matematikgenomgång av ett nytt område. P1 berättar att varje gång de
gick igenom något nytt så har de lagt in likhetstecknet genom att prata om att det ska
vara lika mycket på båda sidor
P2 berättar att börja räkna gjorde eleverna redan i förskoleklass och då vid olika
tillfällen som t.ex. vid fruktstunden. P2 introducerade likhettecknet redan i
förskoleklassen och då med att göra jämförelser, de använde sig inte av symbolen. P2
berättar att övergången från elevernas symbolsprål till införsel av symboler skedde
snabbt då det gäller förståelsen av likhetstecknet. Tecknet fanns i boken redan i åk 1 och
då jobbar eleverna först med det laborativt innan de börjar arbeta i matteboken. P2
menar att de flesta eleverna vet att det är lika med tecknet, men säger att när eleverna
kommer till öppna utsagor i matteboken blir eleverna tveksamma till uppgifterna.
Analys
Resultatet visar att pedagogernas arbetssätt skiljer sig något då de introducerade
likhetstecknet för eleverna. P1 lät eleverna laborera mycket och få mer tid på sig innan
de började använda tecknet i matematikboken. P2 menade att tecknet infördes relativt
snabbt för eleverna då det redan tidigt fanns i matematikboken i årskurs 1. Butterworth
och Yeo (2010) menar att matematikundervisningen ofta blir abstrakt alltför fort. De
betonar att eleverna måste få möjlighet till lyckad övergång mellan konkret och abstrakt
arbete inom varje arbetsområde. Ahlberg (2002) betonar att pedagoger som lyfter fram
matematiken i vardagen tar tillvara på att låta eleverna träna på matematiska begrepp
och problem. Det är viktigt att skolan planerar och organiserar situationer där den
matematik som eleven möter i det dagliga arbetet synliggörs.
Skillnaden i pedagogernas introduktion av likhetstecknet är att P2 redan i förskoleklass
lät eleverna göra olika jämförelser utan att använda sig av symbolen, precis det
arbetssätt som Malmer (1999) belyser. Det som inte framkom i intervjun var om
introduktionen av likhetstecknet introducerades genom händelser i elevernas vardag.
38
Ernest (2010) menar att matematikundervisningen behöver engagera eleverna och knyta
an till elevernas personliga erfarenheter.
6.1.3 Arbetsformer och arbetssätt
Möjlighet till reflektion och användning av laborativt material
P1 försöker få in repetitionen naturligt i elevernas vardagliga händelser för att de inte
ska glömma, det behöver inte vara under just en mattelektion som P1 ställer frågor till
eleverna. Det kan vara vid samlingar, under gymnastiklektioner, i matsalen eller på
utedagar då P1 försöker göra eleverna medvetna om att matematik finns överallt och
inte bara i matteboken. P2 låter först eleverna arbeta praktiskt innan de arbetar i
matteboken, eleverna får även spela spel så att dem tränar på olika sätt. Då eleverna har
gjort diagnosen i matteboken ser P2 hur det gått för dem. De elever som inte klarat
diagnosen får enligt P2 öva extra genom att räkna i repetitionssidorna i
matematikboken, de får även extra träning i enskilt eller i liten grupp tills de förstått
arbetsområdet.
P1 menar att det går att bli bättre på att fråga eleverna och göra dem medvetna om vad
målet är till varje kapitel de arbetar med. Både P1 och P2 berättar att även om de lyfter
in matematiken i vardagen för eleverna så är inte alla elever medvetna om målen. Båda
pedagogerna tror att det går att utveckla reflektionen ännu mer för eleverna.
Bägge pedagogerna följer till stor del handledningen till matematikboken. De säger att
nästan alla elever tycker det är roligt att arbeta i matteboken. Då P1 ger eleverna en ny
matematikbok vid terminsstarten trots att de inte är klara med den gamla, så arbetar de
först med det nya arbetsområdet de haft genomgång med. Därefter får eleverna gå
tillbaka och arbeta klart i den gamla matteboken. P2 låter eleverna arbeta tillsammans
kapitelvis och alla elever har samma matematikbok. Då eleverna kommer till en diagnos
gör de den som om det vore vilken annan sida som helst i matteboken. P2 vill att
eleverna ska känna sig avslappnade och inte vara oroliga när de gör diagnosen för att de
ska prestera bättre. Om diagnosen gått bra får eleverna fortsätta. Om den inte gått bra
får eleverna räkna vidare i sidorna om repetition.
Båda pedagogerna låter eleverna ha fri tillgång till laborativt material som t.ex. klossar,
stavar, pengar, ental - och tiotalsmaterial. P1 låter även eleverna skapa eget laborativt
material och plockar då in kottar och stenar i undervisningen.
39
Analys
P1 låter eleverna färdighetsträna genom att repetera gjorda uppgifter ur elevernas
vardagliga händelser och då kan det vara i vilken situation som helst under skoldagen.
P2 låter eleverna färdighetsträna något mer teoretiskt med inslag av spel och då speciellt
de elever som inte klarat diagnosen inom ett visst arbetsområde. Både Clarke och
Faragher (2010), Lundberg och Sterner (2009) samt Butterworth och Yeo (2010) lyfter
fram vikten av att desto mer tid som läggs på en uppgift desto bättre resultat. Då P2
använder sig av diagnos för att se vilka elever som behöver träna mer är det precis som
Sjöberg (2006) betonar att pedagogerna ifrågasätter hur tillförlitliga testen är och att
elever kan utveckla en ängslan och oro inför ett test. Bentley (2011) menar att
pedagoger måste fokusera mer på begrepp i undervisningen så att inte elever lär in
isolerade detaljer utan sammanhang. Det här kan i så fall leda till att eleverna ser ut att
lösa sina övningsuppgifter korrekt men då de möter en uppgift som inte passar in i
mönstret är risken stor att eleverna misslyckas.
Båda pedagogerna är medvetna om att eleverna behöver mer tid på sig för att befästa det
de lärt sig. De har något skilda sätt vid genomförandet.
P1 låter eleverna utöver
matematiklektionerna få möjlighet till att befästa det de lärt vid olika situationer under
skoldagen. P2 fokuserar mer på att låta eleverna befästa det de lärt sig under
matematiklektionerna. Ahlberg (2002) menar att pedagoger som lyfter fram
matematiken i vardagen låter eleverna ta tillvara på att träna matematiska begrepp och
lösa problem så att matematiken i vardagen synliggörs för eleven.
P1 är medveten om att trots att matematiken lyfts in i vardagen finns det elever som inte
är medvetna om det. Eriksson-Gustafsson m.fl. (2011) menar att elever måste ges
möjlighet att inse att matematiken är meningsfull och användbar i deras vardag.
Theglander (2004) lyfter fram att skolan är den första institutionen elever möter och
skolan bör därför stärka elevernas självförtroende genom att ge dem möjlighet till
reflektion vid skoldagens slut.
Båda pedagogernas matematikundervisning styrs till stor del av matematikboken och
tillhörande handledning. Eleverna tränar även matematik vid genomgångar, de
laborerar, spelar spel och arbetar med olika extrauppgifter. Pedagogerna menar att
eleverna tycker det är kul att räkna i matteboken. P1 låter eleverna arbeta i sin egen takt
i matematikboken medan P2 håller alla elever inom samma arbetsområde. Löwing och
40
Kilborn (2002) poängterar att det finns en risk att låta eleverna arbeta självständigt i sin
egen takt ur ett läromedel. De poängterar att det blir svårare att individualisera
undervisningen samt hålla gemensam genomgång vilket leder till att pedagogen får
upprepa instruktionerna och elevernas väntetid för att få hjälp blir längre vilket leder till
mer stress för pedagogen. Andra problem som kan uppstå är att vid enskilt arbete finns
det ingen kommunikation i ämnet mellan eleverna, samt att det kan bli svårt för
pedagogen att sammanfatta och reflektera vid lektionens slut. Clarke och Clarke (2011)
betonar att duktiga pedagoger har förståelse för vad eleverna behöver lära sig och
strukturerar målinriktade uppgifter för att kunna utmana och stödja eleverna.
Båda pedagogerna erbjuder eleverna fri tillgång till laborativt material som ett
komplement till det de arbetar med i matematikboken eller vid genomgångar. P1 låter
eleverna skapa laborativt material vilket de även använder vid genomgångar av nya
arbetsområden. Malmer (1999) menar att det även är viktigt att eleverna får möjlighet
till olika laborativa övningar som t.ex. vid arbete med likhetstecknet, få göra
jämförelser.
6.1.4 Samverkan
Samarbete mellan klasslärare och speciallärare
P1 säger att det är viktigt att fånga upp elever tidigt så de inte halkar efter och att de
tycker det är roligt för då lär sig eleverna mer. Låter man det gå för långt, är det svårare
för eleverna att ta igen grunderna. Jag lyfter än en gång frågan om hur samarbetet skulle
kunna se ut: P1 svarar att det är svårt att veta hur samarbetet mellan klasslärare och
speciallärare ska se ut i åk 1. P1 tycker också att skolan bör prioritera vilka elever som
verkligen behöver stöd. Specialläraren behöver kanske ha timmar i klassen i början av
terminen, för att ta reda vilka elever som verkligen behöver stöd. Ett förslag hade
kanske varit att de elever som behöver stöd i både åk 1 och åk 2, och som befinner sig
på samma nivå, kan jobba ihop tillsammans med specialläraren, men säger sig inte veta
hur det skulle gå till. Jag frågar:” är det bättre att eleverna får stöd av speciallärare
enskilt eller i liten grupp, med handledning eller en kombination av detta?” P1 säger att
speciallärararen kan börja med att göra besök i klassen, ge klassläraren handledning och
om det inte fungerar så ska eleven/eleverna få någon sorts stöd.. P1 anser att dialogen
mellan klasslärare och speciallärare är viktig.
41
P2 menar att det är bra om pedagogerna testar eleverna tidigt, ju tidigare desto bättre. P2
tror att det kan vara svårt om specialläraren ska ge handledning åt klassen då det finns
18 elever och alla är på olika nivåer. P2 tycker att det är bättre att specialläraren arbetar
med eleverna enskilt eller i mindre grupp eftersom det kan vara olika saker de behöver
hjälp mer. Om en elev inte vet vad plus är, jobbar eleven med det och kan sen komma
tillbaka till klassundervinsingen.
Analys
Båda pedagogerna är medvetna om vikten av att fånga upp elever i tidig ålder.
Tyngdpunkten i deras svar var att speciallärarens insats i tidig skolålder är till syfte att
fånga upp elever i behov av särskilt stöd, istället för att tillsammans skapa en
undervisningssituation som gynnar alla elever i klassen. P1 är öppen för handledning åt
hela klassen om problem uppstår. Mason (2003) lyfter fram vikten av att undervisning
äger rum, när eleverna ges tillfällen att uppmärksamma och ta tillvara på sina förmågor
och idéer. Han menar att det viktiga är hur pedagogerna kan locka fram, använda och
utveckla elevernas förmågor. Lunde (2011), Lundberg och Sterner (2009) samt Ahlberg
(2002) lyfter fram att hjälpinsatser ska sättas in så tidigt som möjligt för att förebygga
matematiksvårigheter. P2 ser svårigheter att kunna få handledning till en klass med 18
elever då de alla har olika behov. P2 tycker att de elever som är i räknesvårigheter
behöver få enskild träning under en period, för att sedan kunna arbeta vidare i klassen.
Löwing (2006) menar, att skolor behöver använda resurserna på ett meningsfullt sätt för
att kunna individualisera. Hon ifrågasätter om vi pedagoger har prioriterat andra
områden på matematikens bekostnad, då vi inte kommit längre än så här. Ahlberg
(2002) poängterar att historiskt sett är specialpedagogikens huvudsyfte en utveckling av
metoder för att stödja och hjälpa elever.
6.2 Sammanfattande reflektioner
Av de 23 elever som blev intervjuade och genomförde matematiktestet var det tio som
visste att matematik är något vi använder i vår vardag. Elva av eleverna såg endast
matematik som något de gjorde under lektionerna i skolan, och då oftast i
matematikboken. Pedagogerna skiljer sig något i sina sätt att undervisa och synliggöra
matematiken i vardagen för eleverna. Det framkom av studien att alla elever har fri
tillgång till laborativt material. Sju av eleverna endast räknar i matematikboken, 10
elever använder klossar som stöd och sex elever använder klossar, kottar m.m.
42
Då eleverna svarade på frågan vad som var lättast/roligast visade resultatet att det var
addition och det svåraste var subtraktion. Alla elever förutom tre kunde räkna upp till
hundra, samt bakåt från tio till noll. De flesta visste även att efter 100 kom 101. Det
framgår av pedagogintervjuerna att eleverna fått arbeta med tal och siffror sedan
förskoleklass. De har då räknat frukt vid fruktstund, under idrottslektioner, i matsalen
eller när de ställt upp i kö m.m. En frågeställning som kvarstår är dock hur mycket
fokus pedagogerna lagt på själva förståelsen av tallinjen då de arbetat med att räkna
varandra och olika saker.
Då eleverna skulle berätta om likhetstecknets innebörd var det tretton elever som kunde
förklara att det inte spelade någon roll vad som stod på den ena sidan så länge det blev
lika mycket på andra sidan. Åtta av eleverna förstod hur de skulle använda tecknet men
kunde inte definiera det med ord. Testet visade att eleverna hade flest rätt vid
”dynamiska” tal som t.ex. 6+1=7, medan de fick det något svårare vid ”statiska” tal som
t.ex. 4+__= 9 och 8 = 2 + __. Flest fel hade eleverna vid tal som t.ex. 3+1=__+2.
Pedagogerna skiljer sig något i deras sätt att se hur stödet skulle kunna utformas. P 1
kan tänka sig få handledning och stöd som en första åtgärd för att sen ge specifikt riktat
stöd åt de elever som är i behov. P 2 anser att det skulle vara svårt för specialläraren att
ge handledning åt 18 olika individer och menade på att det var bättre ge specifikt enskilt
stöd under en period åt de elever som är i räknesvårigheter.
43
7. Slutsats
I litteraturgenomgången lyfter forskarna fram om viljan att anpassa undervisningen,
skapa en inbjudande miljö som utmanar eleverna för att det ska leda till högre
utveckling för eleverna. Eleverna måste se matematiken meningsfull och användbar i
sin vardag. Bägge pedagogerna försöker skapa dessa situationer och förutsättningar och
synliggöra matematiken i elevernas vardag trots att det till stor del är matematikboken
som styr undervisningen. Precis som Johansson (2011) i litteraturgenomgången påpekar
så kan matematikboken vara ett stöd i undervisningen men pedagoger behöver ha ett
kritiskt tänkande kring lärobokens texter och uppgifter. Hon lyfter även fram att
pedagoger som använder samma matematikbok tolkar innehållet på olika sätt utifrån
förförståelse och andra omständigheter vilket gäller för pedagogerna i studien.
Vid frågan om hur samarbetet mellan klasslärare och speciallärare skulle kunna se ut
framgick det utifrån tolkningen att båda pedagogerna kunde tänka sig få handledning i
syfte att finna elever i matematiksvårigheter. Pedagogerna är medvetna om att tidiga
insatser gynnar elevernas fortsatta utveckling i matematik, men de ser inte utifrån
tolkningen av resultatet hur ett samarbete skulle kunna gynna alla elever i klassen. Jag
tror att ett samarbete mellan klasslärarna hade gynnat alla elever då pedagogerna
tillsammans kan skapa en undervisning som Ahlberg (2002) lyfter fram i
litteraturgenomgången. Hon lyfter fram att eleverna i mötet med matematiken får
möjlighet att koppla det matematiska innehållet till sin egen erfarenhetsvärld. Ahlberg
(2002) menar att eleverna behöver få möjlighet att känna, undersöka och jämföra
verkliga föremål för att lättare förstå matematikens användbarhet i vardagslivet.
7.1 Resultatdiskussion
Teori och litteraturgenomgång samt det empiriska materialets målsättning har varit att
uppnå syftet med studien. Vad det gäller likhetstecknets innebörd var det en bekant
symbol för alla elever i studien vid både test och intervju. Min tolkning av resultaten
från test och elevintervju i studien, visade att tretton av eleverna hade kunskap om
likhetstecknets innebörd. De kunde se tecknet som en våg, och att det ska vara lika
mycket på båda sidor om det. De andra eleverna saknade full förståelse för
likhetstecknet innebörd, de kunde räkna uppgifter med den ”dynamiska” betydelsen
men hade svårt med den ”statiska betydelsen”, att det finns lika mycket på båda sidor
om likhetstecknet. Min tolkning av studiens resultat visar att eleverna, från början lärt
44
sig räkna med likhetstecknet då de utför något och svaret ska stå till höger om tecknet.
Om eleverna tränar in det ”dynamiska” sättet t.ex. 2+3=5, kan det leda till svårigheter
längre upp i skolåldern då eleverna kommer in på området algebra. Heiberg m.fl. (2012)
lyfter i litteraturgenomgången fram vikten av att pedagogerna bör låta eleverna fokusera
på begreppet likhet och få jämföra tal samt arbeta med uppgifter där det finns tal till
höger om tecknet.
Vid intervju av pedagogerna framgick det att en av pedagogerna introducerade
likhetstecknet redan i förskoleklass, eleverna fick då göra jämförelser utan att använda
sig av symboler. Den andra pedagogen introducerade likhetstecknet i årskurs 1 vid
matematikgenomgångar och i matematikboken. Trots att pedagogerna introducerat
likhetstecknet vid tidig skolålder saknar eleverna full förståelse för tecknet. I
litteraturgenomgången menar Mason (2003) att pedagoger måste kunna locka fram
elevernas förmågor så de får en möjlighet att använda och utveckla dem. Han menar
också att om eleverna uppmärksammas då de använder sina förmågor spontant, kan det
leda till att minska elevens behov av hjälp från pedagogen. Jag anser utifrån tolkningen
av resultaten, att de svårigheter som påvisades med bristande förståelse och innebörden
av likhetstecknet, till viss del kan bero på den läromedelsstyrda undervisningen. Då
eleverna arbetar tyst och enskilt missar de möjligheterna att kunna resonera om ett
problem och ta del av varandras sätt att tänka för att lösa det. Anselmsson (2011)
poängterar att om pedagogerna använder sig av matematikbokens goda idéer och
uppslag och låter eleverna fördjupa sig i utvalda uppgifter leder det till bättre beredskap
för eleven att lösa matematikproblem. Anselmsson (2011) betonar även att elever bör
erbjudas ett varierat arbetssätt med både enskilt tyst arbete och med diskussioner och
livliga undersökningar.
Vid tolkningen av resultatet från den mentala tallinjen, visade det sig att alla elever
utom tre kunde räkna upp till 100, samt att alla förutom tre visste att 101 kommer efter
100. Alla elever klarade att räkna uppåt från fem till tio, och tjugo av eleverna kunder
räkna bakåt från tio. I teorigenomgången redovisar Lundberg och Sterner (2009) om
elever har en god taluppfattning och förmåga att kunna utveckla en mental tallinje, så
minskar risken för dem att hamna i räknesvårigheter. Vid tolkningen av resultaten i
studien visade det sig att pedagogerna redan i förskoleklass pratar matematik i olika
vardagliga situationer. Det här är viktigt för elevernas kunskapsutveckling, men
samtidigt får pedagogerna inte låta sig luras. McIntosh (2009) menar, att om en elev kan
45
räkna till fem innebär detta inte automatiskt att eleven förstår principen hur vi med
uppräkning bestämmer antalet i en mängd med fem eller sex föremål.
Utifrån vad elevernas resultat visade, har jag tolkat att det för undervisande pedagoger
är en stor utmaning att låta eleverna träna mer på tallinjen tills de tränat upp den
mentalt. I litteraturgenomgången lyfter Lundberg och Sterner (2009) fram, att en
utveckling av den mentala tallinjen sker när eleverna fått förståelse då tal kopplas
samman med räkneord, de matematiska symbolerna och de ordningsmässiga
relationerna mellan tal. En intressant fråga är emellertid hur mycket fokus pedagogerna
lägger på själva förståelsen av den mentala tallinjen, då de arbetar med att räkna sina
kompisar och andra olika saker som finns i deras vardag. Hur medvetna görs eleverna
på att det är tallinjen de arbetar med? I litteraturgenomgången framgår det att elever vid
tidig ålder bör få möjlighet att presentera lösningar muntligt och skriftligt med konkreta
bilder och modeller. Häggblom (2013) menar att det är när eleverna använder sitt eget
språk för att beskriva ett begrepp, ett fenomen eller en räknestrategi som tankarna blir
synliga för både elever och pedagoger, vilket därefter leder till att elevernas
självreflektion utvecklas.
I resultatet av studien framgick det att pedagogerna har rätt behörighet i ämnet och det
är av stor vikt vilket Bentley (2011) lyfter fram i litteraturgenomgången. Han menar att
rätt lärarkompetens, fortbildning och erfarenhet hos pedagogerna är de faktorer som
mest påverkar elevernas prestationer. Det framgick dock att båda pedagogerna har lite
erfarenhet av den grundläggande matematikinlärningen i tidig skolålder. I min tolkning
av resultatet visade det sig att åtta elever var medvetna om att det fanns matematik
utanför skolan och matematikboken. De kunde ge konkreta förklaringar på hur
matematik används, både utanför skolan och under matematiklektioner. Häggblom
(2013) poängterar i litteraturgenomgången att matematik handlar om att pedagogerna
bör ge eleverna olika arbetssätt och strategier. Detta leder till att de ser sammanhanget
vilket leder till förståelsen för matematik. Bentley (2011) poängterar även att pedagoger
bör träna eleverna i att kunna transferera mellan kontexterna. Detta betyder att
kunskapen som lärts in i en kontext (ett sammanhang), överförs och kan tillämpas i en
annan bekant eller obekant kontext. Att kunna synliggöra vardagsmatematiken för
eleverna är enligt Ahlberg (2002), då pedagoger skapar förutsättningar genom att lyfta
fram matematiken i vardagen och låta eleverna träna matematiska begrepp.
46
Utifrån mina tolkningar av resultaten, så är det matematikboken som till stor del styr
båda pedagogers undervisning. Det framgick dock att pedagogerna arbetar laborativt
och med vardagsnära matematik fast på skilda sätt. P1 försöker skapa vardagsnära
situationer i alla sammanhang under elevernas skoldag, de arbetar i sin egen takt i
matematikboken under matematiklektionerna. P2 lyfter oftast fram den vardagsnära
matematiken under matematiklektionerna, och att eleverna arbetar gemensamt igenom
kapitlen i matematikboken. I litteraturgenomgången framgår det att om eleverna arbetar
självständigt i sin egen takt i matematikboken kan det leda till att pedagogen får
upprepa instruktioner och eleverna får mer väntetid. Det finns även en risk att
kommunikationen mellan elever minskar och svårigheter att sammanfatta och reflektera
över lektionen. Båda pedagogerna ger eleverna möjlighet till repetition och reflektion i
sin undervisning, men jag hade svårt att utifrån studiens resultat tolka om det skulle vara
tillräckligt mycket för eleverna. Theglander (2004) lyfter fram att då skolan är den
första institutionen eleverna stöter på bör pedagogerna sträva efter att bygga upp deras
självförtroende. Eleverna behöver få tid till daglig reflektion vid skoldagens slut, för att
kunna ge eleverna rätta förutsättningar som behövs då de ska kunna nå de mål och
resultat de vill.
Vid frågan om hur samarbetet mellan klasslärare och speciallärare skulle kunna se ut
framgick det lite olika resultat vilka var svårtolkade. Min tolkning av resultatet är att
pedagogerna är väl medvetna om hur viktigt det är att fånga upp elever i tidig skolålder,
samt vikten av ett samarbete mellan klasslärare och speciallärare. Vad som inte riktigt
framgick var om de förstod vikten av om ett samarbete med specialläraren skulle gynna
alla elever i tidig skolålder och då inte för att urskilja elever utan skapa möjligheter åt
alla elever. Utifrån tolkningen av resultatet visade det sig att pedagogerna kunde tänka
sig få handledning där syftet i slutändan var att finna elever i matematiksvårigheter, för
att kunna ge dem extra stöd. Lunde (2011), Lundberg och Sterner (2009) samt Ahlberg
(2002) menar att om man kan se en tidig identifiering av problemen så skulle man
kunna förebygga många av de senare mer omfattande matematiksvårigheter. Engström
(2000) poängterar att det finns många orsaker till elevers misslyckande i matematik och
pedagoger måste vara observanta och kunna hitta orsakerna. Lunde (a.a) betonar även
vikten av att om pedagoger ska kunna ge en elev i matematiksvårigheter rätt hjälp
behövs bakgrundsinformation om eleven. Detta kan vara vad eleven kan och inte kan,
47
hur eleven lär, elevens starka/svaga sidor och hur skolsituationen ser ut på individ,
grupp och organisationsnivå.
7.2 Metoddiskussion
För att kunna besvara studiens frågeställningar har två olika metoder använts. En
kvalitativ i form av elev och pedagogintervjuer samt en kvantitativ i form av ett
matematiktest. Syftets ambition har varit att undersöka hur klasslärare och speciallärare
tillsammans kan skapa bra förutsättningar så eleverna får förståelse för likhetstecknets
innebörd och förståelsen av den mentala tallinjen. Med tanke på det låga antalet
deltagande elever (23) har matematiktestet haft relativt låg reliabilitet och validitet.
Testets utformning bidrog till att det var lätt att genomföra och bör kunna replikeras
med liknande svar.
Valet av intervju som metod bidrog till att inskaffa fördjupad kunskap om vad som
orsakat studiens resultat. Då det gäller elevintervjuerna är resultatets validitet något
högre eftersom 23 elever blev intervjuade. När det gäller bearbetningen av den
kvalitativa resultatdelen med eleverna är denna förankrad i litteraturen vilket ger hög
validitet. Tolkningen av resultatsammanställningen kan anses vara mindre trovärdig då
en del elever svarade kortfattat. Lantz (2007) menar att reliabilitet och validitet
beskriver värdet av intervjun och att resultatet måste vara användbart.
Då det gäller intervju som metod av pedagoger är det ej möjligt att generalisera
slutsatserna på grund av det ringa antalet intervjuade. Jag som forskare fick en form av
reliabilitet på intervjun då pedagogerna läst och godkänt den skriftliga utsagan i
efterhand. Det var mer komplicerat att fastställa intervjuutskriftens validitet då det inte
finns någon sann eller objektiv omvandling från muntlig form till skriftlig. Resultatets
validitet skulle dock kunna stärkas med ett ökat antal intervjuer där t.ex. fler följdfrågor
skulle kunna belysa samarbetet med klasslärare och speciallärare.
7.3 Pedagogiska implikationer för undervisningen
Eriksson-Gustavsson m.fl. (2011), Lundberg och Sterner (2009) och Lunde (2011)
menar att det är påvisat att förebyggande insatser under tidiga skolår har betydelse för
senare skolprestationer i matematik. Studiens resultat påvisar att det med förhållandevis
enkla förändringar och ett samarbete mellan klasslärare och speciallärare går att
48
förbättra en grundläggande matematisk förståelse för alla elever. Pedagogerna bör skapa
en meningsfull, välstrukturerad, lustfylld och inspirerande undervisning som tar hänsyn
till alla elever och inte som Theglander (2004) menar att lärare ofta letar orsaken till
inlärningssvårigheter hos eleven. Alla elever bör möta uppgifter som för dem berör,
engagerar och är relevanta. Det är viktigt att alla pedagoger på skolan är medvetna om
att all personal har ansvar för alla barn i skolan. Fischbein (2006) poängterar att det ofta
är ett etiskt dilemma för specialläraren/specialpedagogen ska besluta vilka elever som
ska få stöd, men inte dess omfattning. Det är skolledningen som har det övergripande
ansvaret
för
prioritering
av
resurser
och
bör
därför
samverka
med
speciallärare/specialpedagog.
Matematikundervisningen visar enligt den senaste TIMSS rapporten från 2011, att
elever saknar grundkunskaper i matematik och användingen av matematikboken är
högre i Sverige än i andra länder. Om skolan har för avsikt att ta åt sig från rapporten
bör inte pedagogerna individualisera undervisningen genom att låta eleverna räkna i
egen takt i matematikboken. Löwing (2006) poängterar att om alla elever räknar samma
uppgifter men på olika tidpunkter kan pedagogen då få svårt att hålla reda på varje elevs
förkunskaper vilket leder till svårigheter att anpassa innehållet åt den enskilda eleven.
Enligt Vygotskij (1999) är det vid social kommunikation som utveckling sker vilket kan
ses som utgångspunkt i all form av undervisning, både ordinarie och specialpedagogisk.
”Låt oss hjälpa våra elever att utvecklas till tänkande, kreativa
individer som vågar utforska matematiken utan rädsla för att göra fel
eller för att bli efter i böckerna”.
(Anselmsson, 2011, s. 201)
7.4 Fortsatt forskning
En intressant aspekt till fortsatt forskning vore att göra en fördjupad studie i ett
samarbetsprojekt mellan klasslärare och speciallärare och följa två klasser från årskurs
1-3. I en av klasserna finns ett samarbete mellan klasslärare och speciallärare kontra en
klass utan samarbete med speciallärare och klasslärare. Detta i ett försök att undersöka
om samarbetet hade gynnat alla elever i den grundläggande matematikinlärningen då
eleverna kommer högre upp i skolåldern.
49
8. Referenslista
Adler, Björn (2007). Dyskalkyli & Matematik. Kristianstad: Kristianstad Boktryckeri
AB.
Ahlberg, Ann (2002). Att se utvecklingsmöjligheter i barns lärande. I Ann Ahlberg,
Berit Bergius, Elisabeth Doverborg, Lilleror Emanuelsson, Ingrid Pramling Olsson och
Görel Sterner (red.), Matematik från början (s 9-97). Kungälv: NCM Grafikerna
Livréna i.
Alvesson, Mats & Kärreman, Dan (2011). Kreativ metod – skapa och lösa mysterier.
Sage, Thousands Oaks.
Anselmsson, Barbro (2011). Vad handlar det om? I Berit Bergius, Göran Emanuelsson,
Lillemor Emanuelsson och Ronnie Ryding (red.), Matematik-ett grundämne (s 21-26).
Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM.
Bentley, Per-Olof & Christine (2011). Det beror på hur man räknar. Polen: Dimograf.
Bråten, Ivar. Vygotskji och pedagogiken. (1998) Lund:Studentlitteratur,.
Butterworth, Brian & Yeo, Dorian (2010). Dyskalkyli – att hjälpa elever med specifika
matematiksvårigheter. Stockholm: Natur & Kultur.
Clarke, Barbara & Clarke, Doug (2011). Hur arbetar duktiga lärare? I Berit Bergius,
Göran Emanuelsson, Lillemor Emanuelsson och Ronnie Ryding (red.) Matematik-ett
grundämne (s 27-34). Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM.
Clarke, Barbara & Faragher, Rhonda (2010). Möjligheter – inte begränsningar. Att
undervisa barn med särskilda behov. I Jesper Boensen, Göran Emanuelsson, Anders
Wallby och Karin Wallby (red.), Lära och undervisa matematik-internationella
perspektiv (s 191-206). Göteborg: NCM, Litorapid Media AB.
Engström, Arne (2000). Det ser rätt ut – men är ändå fel. Nämnaren nr 4, 2000.
Tillgänglig på Internet den18 mars 2014: http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/2124_00_4.pdf
Engström, Arne (2012-11-03) Specialpedagogik. Tillgänglig på Internet den 18 mars
2014:
http://www.lararnasnyheter.se/specialpedagogik/2012/11/03/kritiserar-begreppetdyskalkyli
Eriksson-Gustavsson, Anna-Lena, Göransson, Kerstin & Nilholm, Claes (2011).
Specialpedagogisk verksamhet i grundskolan. Lund: Studentlitteratur AB.
Ernest, Paul (2010). Relevans och nytta. I Jesper Boensen, Göran Emanuelsson, Anders
Wallby och Karin Wallby (red.), Lära och undervisa matematik-internationella
perspektiv (s 165-178). Göteborg: NCM, Litorapid Media AB.
Fischbein, Siv (2006). Specialpedagogik i ett historiskt perspektiv. I Claes Nilholm &
Eva Björck-Åkesson (red.), Reflektioner kring specialpedagogik (s 17-27).
Vetenskapsrådets rapportserie. Bromma CM Digitaltryck.
50
Grönmo, Liv Sissel (2011). Likhetstecknets innebörd. I Berit Bergius, Göran
Emanuelsson, Lillemor Emanuelsson & Ronnie Ryding (red.) Matematik-ett grundämne
(s 123-126). Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM.
Heiberg Solem, Ida, Alseth, Björnar & Nordberg, Gunnar (2012). Tal och tanke –
matematikundervisning från förskoleklass till årskurs 3. Lund: Studentlitteratur AB.
Häggblom, Lisen (2013). Med matematiska förmågor som kompass. Studentlitteratur
AB, Lund.
Johansson, Bo (2010-04-10). Talraden en glömd metod. Tillgänglig på Internet den 2
februari 2014: http://www.lararnasnyheter.se/forskolan/2010/04/21/talraden-glomdmetod
Johansson, Monica (2011). ”Tänk så här”: didaktiska perspektiv på läroböcker i
matematik. I Gerd Brandell & Astrid Pettersson (red.) Matematikundervisningen.
Vetenskapliga perspektiv (s 149-186). Stockholms universitets förlag.
Klingberg, Torkel (2011). Den lärande hjärnan. Falkenberg: Team Media Sweden AB.
Kvale, Steinar & Brinkman, Svend (2009). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund:
Studentlitteratur.
Lantz, Annika (2007). Intervjumetodik. Lund: Studentlitteratur
Lundberg, Ingvar & Sterner, Görel (2009). Dyskalkyli – finns det? Göteborg: Livréna
AB.
Lunde, Olav (2011). När siffrorna skapar kaos. Egypten: Sahara Printing.
Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet, Lgr11 (2011). Tillgänglig
på Internet den 28 januari 2014: http://www.skolverket.se/publikationer?id=2575
Löwing, Madeleine (2006). Matematikundervinsingens dilemman. Hur kan lärare
hantera lärandets komplexitet. Lund: Studentlitteratur AB.
Löwing, Madeleine (2011). Elevers kunskaper i aritmetik. I Berit Bergius, Göran
Emanuelsson, Lillemor Emanuelsson och Ronnie Ryding (red.) Matematik-ett
grundämne (s 21-26). Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM.
Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo (2002). Baskunskaper i matematik för skola och
samhälle. Lund: Studentlitteratur AB.
Malmer, Gudrun (1999). Bra matematik för alla. Nödvändig för elever med
inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur AB.
Mason, John (2003). Att använda barns förmågor. Nämnaren nr.3, 2003. Tillgänglig på
Internet den 18 mars 2014: http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/1421_03_3.pdf
McIntosh, Allistar (2009). Förstå och använda tal – en handbok. Göteborg: Livréna
AB.
51
Sjöberg, Gunnar (2008). Alla dessa IG – kan dyskalkyli vara förklaringen. Nämnaren
NR.3 2008. Tillgänglig på Internet den 18 mars 2014:
http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/1318_08_3.pdf
Skolverket (2009). Diamant – ett diagnosmaterial i matematik. Tillgänglig på Internet
den 27 januari 2014: http://www.skolverket.se/bedomning/nationella-provbedomningsstod/grundskoleutbildning/bedomning-i-arskurs-46/bedomningsstod/matematik/diamant-1.196205
Skolverket (2013). Allmänna Råd. Arbete med åtgärdsprogram för elever i behov av
särskilt stöd. Tillgänglig på Internet den 27 januari
2014: http://www.skolverket.se/publikationer?id=3002
Stephens, Max (2010). Generalisering av numeriska utsagor. I Jesper Boensen, Göran
Emanuelsson, Anders Wallby och Karin Wallby (red.), Lära och undervisa matematikinternationella perspektiv (s 35-48). Göteborg: NCM, Litorapid Media AB.
Stúkat, Staffan (2005). Att skriva examensarbete inom utbildningsvetenskap. Lund:
Studentlitteratur.
Svenska elevers matematikkunskaper i TIMSS 2007. Skolverket. Tillgänglig på Internet
den 29 januari 2014: http://www.skolverket.se/publikationer?id=2126
Theglander, Britt-Louise (2004). Bygg upp elevens självförtroende. Tillgänglig på
Internet den 6 februari 2014:
http://www.lararnasnyheter.se/slojdforum/2004/02/11/bygg-upp-elevernassjalvfortoende
Thúren, Torsten (1991). Vetenskapsteori för nybörjare. Stockholm: Liber.
TIMSS 2011. Skolverket. Tillgänglig på Internet den 27 januari 2014:
http://www.skolverket.se/publikationer?id=2942
Vetenskapsrådet. (2009). Forskningsetiska principer inom humanistisksamhällsvetenskaplig forskning. Tillgänglig på Internet den 25 maj 2014:
http://codex.vr.se/texts/HSFR.pdf
Vygotskij, Lev Semenovich (2001). Tänkande och språk. Göteborg: Daidalos AB.
Westlund i Fejes, Andreas & Thornberg, Robert (red) (2009). Handbok I kvalitativ
analys. Stockholm. Liber
52
9. Bilagor
Bilaga A
Vårdnadshavares tillstånd till elevintervjuer
Information till vårdnadshavare
Mitt namn är Lotta Friberg och jag arbetar inom grundskolan, samtidigt som jag
studerar till speciallärare med inriktning Matematik på Malmö Högskola. Inför min
examen skall ett examensarbete skrivas och det jag vill undersöka är på vilket sätt
klasslärarna tydliggör likhetstecknet betydelse för eleverna i de lägre årskurserna. Jag
vill även undersöka hur klasslärarna och speciallärare tillsammans kan bidra till att öka
den grundläggande matematikkompetensen så att vi ger eleverna rätt verktyg för en
positiv kunskapsutveckling genom skolåren.
För att kunna genomföra min studie behöver jag intervjua elever och lärare. För att få
utföra intervjuer av elever behövs vårdnadshavares samtycke. Allt material från
intervjuerna kommer endast att användas till mitt examensarbete, samt raderas då
examensarbetet blivit godkänt.
Alla deltagares medverkan bygger på frivillighet, de kan när som helst avbryta sitt
deltagande. Anonymitet garanteras. Erhållen information utges endast med deltagares
godkännande. Det slutliga examensarbetet publiceras i Malmö Högskolas elektroniska
publicering (MUEP).
______________________________________________
Vi ger vårt samtyckte till deltagande i studien:
____________________________
____________________________
Elev
Ort/Datum
____________________________
____________________________
Vårdnadshavare 1
Vårdnadshavare 2
Önskas ytterligare upplysningar om den aktuella studien är Ni välkomna att höra av Er.
Lotta Friberg – student
Birgitta Lansheim - handledare
Tack för Ert deltagande
Med vänlig hälsning
Lotta Friberg
53
Bilaga B
Information till lärare angående intervju
Mitt namn är Lotta Friberg och jag arbetar inom kommunal grundskola samtidigt som
jag
studerar till speciallärare med inriktning Matematik på Malmö Högskola.
Inför min examen skall ett examensarbete skrivas, och det jag vill undersöka är på vilket
sätt klasslärarna tydliggör likhetstecknet betydelse för eleverna i de lägre årskurserna
och hur det påverkar elevernas fortsatta kunskapsutveckling. Jag vill även undersöka
hur klasslärarna och speciallärare tillsammans kan bidra till att öka den grundläggande
matematikkompetensen i förskoleklass och årskurs 1, så att vi ger eleverna rätt verktyg
för en positiv kunskapsutveckling genom skolåren.
Arbetet är tänkt att utgå från en empirisk insamling från intervjuer från både elever och
lärare. En blankett kommer att skickas ut till elever i åk 1 för ett godkännande av
vårdnadshavare.
En hög svarsfrekvens är viktig för studiens tillförlitlighet. Alla deltagares medverkan
bygger på frivillighet, de kan när som helst avbryta sin medverkan. Allt material från
intervjuerna kommer endast att användas till mitt examensarbete, samt raderas då
examensarbetet blivit godkänt. Anonymitet garanteras. Erhållen information utges
endast med deltagares godkännande. Det slutliga arbetet publiceras i Malmö högskolas
elektroniska publicering (MUEP).
Önskas ytterligare upplysningar om den aktuella studien är Ni välkomna att höra av Er.
Lotta Friberg - student
Birgitta Lansheim - handledare
Tack för Ert deltagande
Med vänlig hälsning
Lotta Friberg
54
Bilaga C
Intervjufrågor till elever i åk 1
1. Kan du berätta vad man kan använda matematik till?
Syfte: att ta reda på om eleven vet och förstår att matematik finns i vår vardag.
2. Hur arbetar du med matematik i skolan. Använder du matematikbok?
Använder du klossar och stavar?
Syfte: att ta reda på elevens uppfattning om hur han/hon arbetar vid inlärningen
av matematik i skolan.
3. Finns det något i matematiken som du tycker är extra roligt och lätt?
Syfte: att ta reda på om det är något speciellt inom matematik som är lätt för
eleven.
4. Finns det något i matematiken som du tycker är svårt?
Syfte: att ta reda på om det är något speciellt inom matematiken som är svårt för
eleven.
5. Hur långt kan du räkna?
Notera hur långt eleven kan räkna utan att staka sig.
Syfte: att ta reda på hur stor del av talraden eleven behärskar
6. Kan du räkna från 5 och vidare?
Notera Ja eller Nej.
Eleven behöver ibland hjälpas på traven så här: När man räknar från 3, så räknar
man (3), 4, 5, 6, 7 … försök nu räkna från 5.
Syfte: att ta reda på om eleven klarar av att ”räkna från första/största termen”, en
viktig förkunskap för addition.
7. Kan du räkna bakåt från 10?
Notera från vilket tal eleven kan räkna bakåt.
Om eleven inte klarar bakåträkning från 10, så pröva med 5. Om eleven klarar
bakåträkning från 10, så pröva med 15 och 20.
Syfte: att ta reda på om eleven kan räkna bakåt, en viktig förkunskap för
subtraktion.
8. Kan du berätta för mig vad det här tecknet betyder (=).
Visar eleven en lapp med likhetstecknet.
Syfte: att ta reda på om eleven kan förklara likhetstecknets innerbörd.
55
Bilaga D
Namn:________________________ Klass:_____ Datum:__________
1. Skriv siffrorna noll till tio.
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
2. Gör klart tallinjerna:
0
2
4
_____
_____
_____
_____
1
3
5
_____
_____
_____
_____
_____
Räkna ut:
3a.
6 + 1 = __
6 + 2 = __
3 + 3 = __
4 + 5 = __
8 – 2 = __
6 – 3 = __
8 – 6 = __
1 + __ = 7
2 + __ = 8
3 + __= 9
9 = 3 + __
7 = 4 + __
9 = 5 + __
__ + 4 = 1 + 5
5 – 1 = 7 – __
3b.
6 – 1 = __
3c.
4 + __ = 9
3d.
8 = 2 + __
3e.
3 + 1 = __ + 2
56
Bilaga E
Intervjufrågor till pedagoger
1. Hur länge har du arbetat som pedagog?
2. Hur och när introducerar du tal och siffror för eleverna i åk 1?
3. Hur och när introducerar du likhetstecknets för eleverna?
4. Hur sker övergången från elevernas eget symbolsspråk till införsel av symboler
då det gäller förståelsen av likhetstecknet?
5. På vilket sätt får eleverna möjlighet till färdighetsträning?
6. Hur lång tid lägger du på att eleverna får möjlighet till att sammanfatta/befästa
det de lärt sig?
7. På vilket sätt får eleverna möjlighet till reflektion över det de tränat på?
8. Hur mycket följer du matematikboken?
9. Hur mycket låter du eleverna laborera?
10. Har eleverna alltid tillgång till laborativt material i klassrummet?
11. På vilket sätt skapar du vardagsmatematik för eleverna?
12. Hur kan klasslärare och speciallärare samarbeta för att skapa en undervisning
som bidrar till att eleverna får rätt verktyg för en positiv kunskapsutveckling
genom skolåren.
57
