Cirkulationssatsen

1
Cirkulationssatsen
∫ H ⋅ dl = I om
ekv 6 : 6
C
Sambandet följer direkt ur Maxwells 4:e ekvation vid
elektrostatik.
Vi har tidigare med hjälp av Biot-Savarts lag funnit att för en
oändligt lång rak ledare så är
B=
µ0 I φˆ
2π R
I
z^
Vi kan få fram det mycket lättare med cirkulationssatsen. Med
hjälp av Biot-Savarts lag inser via att B = B ( R )φ̂ .
Nu väljer vi C att vara en cirkel med radie R i xy-planet med
centrum i origo. Strömmen I flyter utmed z-axeln. Vi får
2π
B ( R)
B ( R) ˆ
B ( R)
φ ⋅  Rdφφˆ  =
I = ∫ H ⋅ dl = ∫
R ∫ dφ =
2π R
µ0
µ0
µ0
C
C
0
och
B ( R) =
µ0 I
µ I
⇒ B = 0 φˆ
2π R
2π R
Cirkulationssatsen är mycket användbar för symmetriska
problem p.s.s. som Gauss sats i elektrostatiken.
2
Men man bör se upp!!
Exempel: Antag att vi har en ändlig rak strömförande ledare
som leder strömmen I.
I
H
-L/2
L/2
Blir H-fältet detsamma som för en oändlig ledare som leder
samma ström? Vi har ju symmetri!
Varför eller varför inte?
Se uppgift 6:1
B=
µ0 I
L
2π R L2 + R 2
Hur kommer vi runt detta dilemma?
Svar: Vi kan inte ha en ström som plötsligt börjar och plötsligt
slutar. Vi kommer att ha laddningsansamling i ändpunkterna.
Detta medför ett tidsberoende D-fält. Cirkulationssatsen ändras
∂D
∫ H ⋅ dl = Iom + ∫ ∂t
C
S
⋅ dS
3
Idealiseringen lång rak spole:
Strömmen: I
Längd: l
Antal varv: N
Inuti spolen antas att
B = Bzˆ, B konstant
Utanför spolen antas att
B=0
l
S ^n
C


Bl =  ∫ B ⋅ dl = µ0 I om  = µ0 NI
→
← C
⇓
B = µ0
NI
l
Idealisering!!! B = 0 utanför är orealistiskt!!
∫ B ⋅ dS = 0 ⇒ inga fältlinjer börjar eller slutaar någonstans.
C
4
Magnetiskt flöde
Φ = ∫ B ⋅ dS
ekv. 6:7
S
B
S
Ur detta följer att det är lämpligt att kalla B för magnetisk
flödestäthet.
Magnetiskt dipolmoment
Modell av en magnetisk dipol är en liten strömslinga som för
strömmen I.
^n
^
z,
S
I
Det magnetiska dipolmomentet
m = mzˆ = I ⋅ S = I ⋅ S ⋅ nˆ
Ideal dipol: låt S → 0, I → ∞, S ⋅ I hålls konstant
5
B-fältet från ett magnetiskt dipolmoment
B=
µ0 m
2 cosθ rˆ + sin θθˆ
3
4π r
(
)
ekv. 6:8
Jämför med fältet från ett elektriskt dipolmoment:
E=
(
p
2 cosθ rˆ + sin θθˆ
3
4πε ∞ r
)