Diffraktion i ett gitter

Vågoptik
Inledning
Vi skall nu beakta ljusets vågegenskaper. Ljuset går inte alltid exakt rakt fram. Detta kan
enkelt observeras om man t.ex. tittar på något långt borta samtidigt som man rör ett finger
framför och strax intill ögat. Den bild man observerar blir något förskjuten alldeles i närheten av fingret. Denna effekt kan vi inte förklara med vår tidigare beskrivna stråloptik, utan kan
endast förklaras med beaktande av ljusets vågnatur. Ljusvågen har krökts kring fingret. Vågor
har vi träffat på i vår vardag mest som vattenvågor. Dessa är av två typer: De vågor som
innebär förflyttningar av stora mängder vatten t.ex. havsvågor och de små ytvågor som skapas
då en blank vattenyta utsätts för en liten störning. Något svårare att observera är de vågor och
svängningar som uppträder i musikinstrument. Dessa svängningar skapar i luften små
tryckvariationer, ljudvågor, vilka når vårt öra med en hastighet av ungefär 340 m/s. Ljudet kan
också fortplanta sig i en vätska t.ex. vatten eller ett fast matrial t.ex. stål. I dessa medier blir
hastigheten för utbredning annorlunda och är för vatten ungefär 1450 m/s och i stål 5000 m/s.
Ljudet kräver för sin utbredning ett medium eftersom det är rörelser i mediet som är själva
ljudvågen. Till ljuset behövde man också ett medium för att bättre förstå dess egenskaper.
Därför hittade man på den sk. etern och man gjorde många försök för att bevisa dess existens, men först då Einstein framlagt sin relativitetsteori kunde etern helt förkastas. Enligt
Einstein är ljusets hastighet lika stor i alla delar av universum och i alla riktningar. Den är
också oberoende av observatörens egen rörelse. Det hjälper således inte att man rör sig mot
ljuset, den hastighet man mäter är alltid:
c= 299 792 458 m/s
Ljuset är något som utbreder sig i vacuum på samma sätt som t.ex. partiklar i yttre rymden,
men vågen är av elektromagnetisk natur. Man kan säga att fotonen eller ljusvågen bärs fram
av sitt eget genererade elektriska och magnetiska fält.
y
E0
B
Magnetfält
z
Elektriskt fält
E
x
Fig. 50. Det elektriska och magnetiska fältet i en ljusvåg.
När man beskriver en ljusvåg är det ofta tillräckligt att ange det elektriska fältet, trots att även
det magnetiska borde vara med. (Fig. 50.)
Vågoptik s 1
Vågors egenskaper
En våg kan allmänt beskrivas med en sinusfunktion. Låt t.ex. en lampa rotera på en cirkulär
skiva (Fig. 51.).
y
y0
v
t
Fig. 51. En våg är en projicerad cirkelrörelse.
Lampans läge vid olika tidpunkter kan då skrivas:
y = y0 sin v
där v är en vinkel som är direkt proportionell mot tiden. (om v är 0 då t är 0).
I högra delen av figur 51 får vi en kurva som ser ut som en våg. För en ljusvåg som rör sig
längs positiva x-axeln blir det matematiska uttrycket:
E = E0 sin( kx − ω t )
Detta är en funktion av både x (läget) och t (tiden). Vi fryser nu tiden (t är konstant) och då
kan vi rita upp det elektriska fältet som funktion av x (Fig. 52.).
E
λ
E0
x0
Utbredning åt höger
med hastigheten c
x
Fig. 52. En våg som utbreder sig åt höger betraktad vid en viss tidpunkt t = t!.
Vågoptik s 2
Avståndet mellan två toppar är våglängden λ. Maximala värdet på elektriska fältstyrkan är
amplituden !! . Om vi i stället fryser läget (x = konstant = x! ) och tittar hur det elektriska
fältet varierar med tiden får vi följande figur. (Fig. 53.)
E
T
t0
t
Fig. 53. Samma våg som i fig. 52 observerad i olika tidpunkter men bara i en punkt i
rummet x = x! .
Avståndet i tidhänseende mellan två toppar är nu svängningstiden T. Observera hur de två
kurvorna hänger ihop. Fältet vid en senare tid är lika med fältet i en punkt till vänster om x! i
den övre figuren (Fig. 52.).
Följande samband gäller mellan de olika variablerna:
c ⋅ T = λ , ωT = 2π , k ⋅ λ = 2π
Det första sambandet följer av att efter periodtiden T har vågen rört sig en våglängd, då har
också (kx − ω t ) minskat med 2π vilket ger nästa samband. Det tredje sambandet får vi av att
(kx − ω t ) ökar med 2π då vi ökar x med en våglängd λ. (t är fixt). Man brukar också ange
frekvensen f för en våg och denna definieras genom:
1
T
Frekvensen anges i hertz (Hz) eller perioder per sekund.
f =
Exempel: För en ljusvåg med våglängden 500 nm = 5⋅10"#m är periodtiden:
T=
λ 5 ⋅10−7
=
≈ 1,7 ⋅10−15 s
8
c 3 ⋅ 10
Frekvensen ges då av:
f =
1
1
=
≈ 6 ⋅1014 Hz
15
T 1,7 ⋅10
Vågoptik s 3
Sambandet:
c ⋅ t = λ , kan också skrivas: c ⋅
1
=λ
f
Detta betyder att om ljusets våglängd minskas kommer frekvensen att öka (Fig. 54.).
Om emellertid ljushastigheten minskar som t.ex. då ljuset går in i ett tätare medium (högre
brytningsindex) blir våglängden kortare. Frekvensen är däremot den samma i de två medierna.
Man kan fråga sig om insidan av en vattenfylld gul spann blir grön då man fyllt den med
vatten och man stoppar ner huvudet i vattnet. Svaret får man om man gör exprimentet.
Fig. 54. Om våglängden minskar ökar frekvensen, ty antalet vågor som passerar en given
punkt per sekund ökar också.
Huygens' princip
Då en våg skall illustreras sammanbinder man punkter på vågen som har samma
svängningsfas (t.ex. de punkter där E-fältet är maximalt). Den linje eller yta utefter vilken
detta gäller kallar man för en vågfront. Med Huygens' princip från slutet av 1600-talet kunde
vågfronters utbredning beskrivas. Principen lyder:
Varje punkt på en primär vågfront blir utgångspunkt för nya elementarvågor, och
den nya vågfronten fås genom att dessa elementarvågor sammansättes.
Hur dessa elementarvågor sammansättes framgår av följande figur (Fig. 55.).
Vågoptik s 4
vt
Fig. 55. Utbredning av en vågfront enligt Huygens' princip.
Denna princip fungerar bra till att förstå vågutbredning, men man bör tänka på att ingen
bakåtgående våg skapas. Denna modifiering av Huygens' princip gjordes samtidigt som
idéerna i Huygens' princip fick korrekt matematisk förankring i en formel kallad FresnelKirchhoffs diffraktionsformel.
Vi skall titta på vad Huygens' princip innebär för ett så enkelt fall som vanlig brytning (Fig.
56.).
1
θi
A
v t
c t
θi
sAB
θt
n
B
θt
Fig. 56. Huygens' princip tillämpad på brytning.
Ur figuren framgår det att olika elementarvågor som skapas vid gränsytan har nått olika långt
ner i det tätare mediet och den nya vågfronten blir därmed ej parallell med den ursprungliga.
Ur figuren får vi:
sAB ⋅ sin θ i = c ⋅ t
sin θ i c
⇒
= =n
sAB ⋅ sin θ t = v ⋅ t sin θ t v
Vi har således visat brytningslagen.
Vågoptik s 5
Fasvektorer
Då flera ljusvågor skall sammansättas (t.ex. då Huygens' princip til- lämpas) är det lämpligt att
beskriva ljusvågor med fasvektorer. En sådan är en pil med en längd som anger svängningens
amplitud och pilens riktning ger svängningstillståndet eller fasen.
Re
Im
Fig. 57. En ljusvåg och fasvektorerna i olika delar av vågen. Det verkliga elektriska fältet
är projektionen längs den reella axeln (Re i figuren).
Ovan visas hur fasvektorerna är riktade i olika lägen i en ljusvåg. Det elektriska fält som
skulle kunna mätas är projektionen av fasvek- torn i en viss riktning. Då fältet från flera
ljuskällor skall beräk- nas i en viss punkt, adderas alla bidragen till punkten. Den resulte- rade
vektorn roterar ett varv under svängningstiden (om alla delvekto- rer hör till samma frekvens,
fig. 58.).
Resulterande
fasvektor
Fig. 58. Addition av fasvektorer. I figuren är fasvektorernas rotationsriktning markerad (t
ökar).
Vågoptik s 6
Moire'
Då man skall addera flera ljusvågor kan också moire'-teknik användas. Denna innebär att en
ljusvåg ersätts med ett gittermönster vars period motsvarar ljusvåglängden. (Fig. 59.).
Fig. 59. En ljusvåg kan beskrivas med ett gittermönster.
Genom att olika gittermönster kombineras kommer moire'-mönster att uppstå vilka motsvarar
interferensfenomen. Dessa kan då beskrivas på ett enkelt sätt. Se nedan t.ex. fig. 60.
Sammansättning av vågor
Ljusvågor med samma frekvens
Då två ljusvågor med samma frekvens och amplitud sammansättes erhål- les, om vågorna är i
fas med varandra, en fördubbling av amplituden. Om vågorna är i motfas blir däremot det
resulterande fältet alltid noll (Fig. 60.). I det första fallet är fasvektorerna riktade åt samma
håll och den resulterade vektorn blir då dubbelt så lång som varje enskild vektor. (Fig. 60c.)
Vågor i motfas innebär motriktade fasvektorer och de kommer att ta ut varandra. (Fig. 60d.)
Då gittermönstret adderas blir det ingen skill- nad om vågorna är i fas med varandra (Fig.
60e.) medan då vågorna är i motfas erhålles ett jämnt svart fält (Fig. 60f.).
Den fördubbling av amplituden som erhölls i första fallet gör att belysningen fyrdubblas
eftersom intensiteten är proportionell mot amplituden i kvadrat.
Vågoptik s 7
Fig. 60. Sammansättning av två ljusvågor i fas och i motfas.
a) Vågor i fas med varandra och motsvarande fasvektorer i en punkt.
b) Vågor i motfas och motsvarande fasvektorer i en punkt.
c) och d) motsvarande addition av gittermönster.
Vågoptik s 8
I följande figurer visas också resultatet då ljusvågor har andra fasrelationer och andra
amplitudrelationer. (Fig. 61. och fig. 62.) Den resulterande ljusvågen är alltid en ny sinusvåg
vars amplitud och fas ges av den resulterande fasvektorn.
Fig. 61. Addition av ljusvågor och fasvektorer då ljusvågorna har olika fas men samma
amplitud. Figuren visar också fasvekteroerna i en viss punkt.
Fig. 62. Addition av ljusvågor med både olika fas och amplitud. I figuren finns också
motsvarande fasvektorer.
Vågoptik s 9
Stående vågor
Om två ljusvågor går mot varandra erhålles en stående våg (Fig. 63.). I den stående vågen är
det elektriska fältet alltid noll i vissa punkter (nodpunkterna) och i andra punkter svänger
fältet kraftigt (svängningsbukar). I figuren finns också fasvektorer som i detta fall roterar mot
varandra. Observera att det är bara vertikala komponenter av fasvektorerna som representerar
de verkliga elektriska fälten.
d)
a)
b)
c)
e)
f)
g)
Fig. 63. Addition av två motriktade ljusvågor.
a) - c) ljusvågor och motsvarande fasvektorer
d) - f) de resulterade fälten vid de tre olika tidpunkterna
g) resultrande stående vågmönster.
Vågoptik s 10
Svävningar
Om två vågor med olika frekvens sammansättes erhålles svävningar. I figuren (Fig. 64.), finns
överst två gittermönster med olika frekvens ovanpå varandra och ger ett moire'-mönster.
Nedanför är de två vågorna lagda ovanpå varandra och nederst är det resulterande fältet
uppritat.
Fig. 64. Svävningar:
a) Två gittermönster och moire'.
b) De två vågorna överlagrade.
c) Addition av vågorna.
Vågoptik s 11
I figur 65 kan vi tydligare se hur en stor signal erhålles då de två fälten svänger i fas med
varandra, medan signalen blir noll då fälten tar ut varandra. Vi får svängingsburkar och
svängningsnoder. Sväng- ningarna kan vi höra om t.ex. två strängar svänger med nästan
samma frekvens. Då kommer ljudet att pulsera med en frekvens som beror på
frekvensskillnaden.
Fig. 65. Svävning. Amplituden blir störst där vågorna är i fas med varandra.
Fig. 66. Addition av två vågor med både olika frekvens och amplitud.
Om de två vågorna har både olika amplitud och frekvens går fältet ner till nodpunkterna.
(Fig.66.)
Vågoptik s 12
Ljusets polarisation
Planpolariserat ljus
Med polaroidglasögon kan reflexer vid havet kraftigt reduceras. Detta är ett exempel på ljusets
polarisation. Att ljuset är polariserat betyder att det elektriska fältet kan ha en bestämd
riktning i rummet. Då ljus utbreder sig i luft ligger den elektriska fältvektorn i ett plan
vinkelrätt mot utbredningsriktningen. I detta plan (xy-planet i fig. 67.) kan det elektriska fältet
hela tiden ligga längs en viss linje. I så fall kallas ljuset linjärpolariserat, eftersom
utbredningsriktningen och den elektriska fältvektorn då alltid ligger i ett enda plan.
y
Ey
E
Ex
x
z
Fig. 67. Planpolariseat ljus. E-vektorn pekar alltid i en viss riktning i xy-planet.
Om två planpolariserade ljusvågor adderas erhålles en ny planpolarisead ljusvåg om vågorna
har samma eller motsatt fas. Den resulterande amplituden erhåller man om vågornas verkliga
fältvektorer adderas (Fig. 68.).
y
E = E 1+ E 2
E2
E1
x
z
Fig. 68. Två planpolariserade ljusvågor i fas adderas och ger en ny planpolariserad
ljusvåg.
Vågoptik s 13
Polarisation vid reflexion
Då opolariserat ljus träffar en yta, kommer det reflekterade ljuset (och därmed även det
transmitterade) att vara mer eller mindre polariserat. För ljus som infaller mot en yta under en
viss speciell vinkel, brewstervikeln, blir det reflekterade ljuset helt polariserat. Det
transmitterade ljuset blir endast delvis polariserat i den vinkelräta riktningen (Fig. 69.).
Vid brewstervinkeln är denna infallsvinkeln θ$% given av :
tan θ br =
nt
ni
där n& och n' är första och andra mediets brytningsindex.
Opolariserat
ljus
θ
Helt polariserat
ljus
br
90° Delvis polariserat
ljus
Fig. 69. Polarisation vid reflexion. Då den reflekterade och den brutna stålen bildar 90°:s
vinkeln med varandra infaller ljuset i brewstervinkeln. Då är det reflekterade ljuset
helt polariserat.
Elliptiskt och cirkulärpolariserat ljus
Om två planpolariserade ljusvågor adderas med en annan fasdifferens än 0, π, och 2π, osv. fås
elliptiskt polariserat ljus såvida inte amplituderna är lika hos de två ljusvågorna. (Fig. 70.)
Ey
Ex
∆
0
π/4
π/2
3π/4
π
5π/4
3π/2
7π/4
2π
Fig. 70. Olika polarisationstillstånd erhålles då två vinkelräta planpolariserade ljusvågor
adderas. Då fasskillnaden är ett helt antal π blir det resulterande ljuset
planpolariserat.
Om amplituderna är lika blir ljuset cirkulärpolariserat då fasskillnaden är π/2 och 3π/2 osv.
Cirkulärpolariserat ljus innebär att den elektriska fältvektorn har konstant längd och roterar ett
varv längs utbredningsriktningen för en våglängd (Fig. 71.).
Vågoptik s 14
y
E
E
x
Ey
z
Ex
Fig. 71. Cirkulärpolariserat ljus. Den resulterande E-vektorn roterar runt utbredningsriktnigen.
Polarisation hos himmelsljuset
Polariserat ljus kan åstadkommas på många olika sätt. Förutom den ovan nämnda
polarisationen i en vattenyta, blir det spridda himmelsljuset också polariserat. Om t.ex. solen
befinner sig nära horisonten kan god vertikal polarisation (inte helt fullständig) erhållas i en
riktning 90° från solriktningen (Fig. 72.).
Fig. 72. Spridning av ljus mot molekyler i atmosfären ger polariserat ljus. Eftersom ljuset
sprids flera gånger blir det inte helt polariserat.
Vågoptik s 15
Polarisation i kristaller
I vissa kristaller får man också polarisationseffekter. Detta beror på att en sådan kristall har
olika optiska egenskaper i olika riktningar. Man skiljer på två fenomen: dubbelbrytning och
optisk aktivitet.
Dubbelbrytning
Dubbelbrytning får man om plan polariserat ljus infaller vinkelrätt mot en kristalls optiska
axel (en riktning i kristallen kring vilken det finns en speciell symmetri). Det infallande ljuset
delas upp i två olika vågor, en ordinär våg med polarisationsriktningen vinkelrät mot optiska
axeln och en extraordinär våg med polarisationsriktningen parallell med den optiska axeln
(Fig. 73.a.).
o
Eo
E
Ee
o
e
e
Optisk axel
Optisk axel
Fig. 73. Dubbelbrytning i en kristall.
a) Uppdelning av infallande ljus i två vågor. Man tittar mot ljuset.
b) Den ordinära och den extra ordinära vågen har olika utbredningshastighet.
Ljuset betraktat uppifrån.
De två olika vågorna har olika utbredningshastighet i kristallen, vilket leder till fasskillnad
mellan vågorna (Fig. 73b.). Då vågorna har passerat kristallen med tjockleken d ges denna
fasskillnad av:
δ=
2π
(n − n ) ⋅ d
λ e o
där n( och ") är brytningsindex för den extraordinära och den ordinära vågen.
Om kristallen orienteras så att den optiska axeln ligger i 45°:s vinkel i förhållande till den
infallande ljusvågens svängningsriktning blir de två vågornas amplituder lika stora i kristallen
(Fig. 74.). En fasändring på udda eller jämnt antal π, gör att ljuset ut från kristallen blir
polariserat vinkelrät mot eller parallellt med den ursprungliga riktningen. För andra
fasändringar blir ljuset elliptiskt eller cirkulärt polariserat.
Vågoptik s 16
∆ = π +n 2 π
∆= n 2 π
g
g
vå
.
eo
pt
vå
o.
O
o.
isk
ax
el
Infallande våg
vå
g
g
vå
.
eo
o.
vå
g
g
vå
.
eo
Fig. 74. En planpolariserad ljusvåg delas upp i en ordinär och en extraordinär ljusvåg. De
två högra figurerna visar den resulterande ljusvågens polarisationsplan efter
passage genom kristallen.
Betraktas det utgående ljuset i ett spektroskop placerat efter en analysator och den senare är
parallell eller vinkelrät med infallande ljusets polarisationsriktning fås ett spektrum med
mörka band (Fig.75.)
Analysatorn parallell
med infallsriktningen
λ
Analysatorn vinkelrät
mot infallsriktningen
Fig. 75. Dubbelbrytning. Spektra observerat i en spektrometer.
En dubbelbrytande kristall kan avpassas så att den ger cirkulärpolariserat ljus av ingående
planpolariserat ljus. En sådan platta (kort kristall) kallas för en λ/4-platta. Denna ger då en
fasskillnad på π/2 (motsvarar λ/4) mellan den ordinära och den extraordinära strålen. Då blir
det utgående ljuset cirkulärpolariserat. Om man i stället har en λ/2-platta kan man få en
ändring av det ingående planpolariserade ljusets svängningsriktning (Se Fig. 76 nästa sida).
Vågoptik s 17
Optisk axel
θ
Extraordinär våg
Ordinär våg
θ
E
Fig. 76. Halvvågsplatta. Denna ger i detta fall en ändring av polarisationsplanet med 90°.
Ändringen av svängningsriktningen är beroende av hur kristallens optiska axel är orienterad i
förhållande till det infallande ljuset (Fig. 77.). Den nya svängningsriktningen avviker från den
ursprungliga med vikeln 2⋅v, där v är vinkeln mellan infallande ljusets svängningsplan och den
optiska axeln. I Fig. 77b visas hur en halvvågsplatta i kombination med en polariserande
stråldelarkub ger en variabel stråldelare.
<2%
Infallande ljus
>97%
Utgående ljus
v
Op
tis
ka
xe
l
Halvvågsplatta
<97%
v
Linjärt
polariserat 2w
laserljus w
~2%
Halvvågsplatta
Vektor vriden 180°
a)
b)
Fig. 77. a) Ändring av svängningsplanet då ljuset passerat en λ/2-platta.
b) Halvvågsplatta kombinerad med polariserande stråldelarkub.
Vågoptik s 18
Optisk aktivitet
Om man låter ljus infalla längs den optiska axeln i en kristall kan optisk aktivitet observeras
för vissa kristaller. Optisk aktivitet innebär att svängningsplanet hos en planpolariserad
ljusvåg vrider sig inne i kristallen (Fig. 78.). Detta orsakas av att ljusvågen i kristallen delas
upp i två cirkulärpolariserade ljusvågor vars rotationsriktning är motsatt.
Optisk axel
Fig. 78. Optisk aktivitet. Ljusvågens polarisation ändras gradvis då ljuset går igenom
kristallen.
I nedanstående figur visas hur olika hastighet hos de två roterande E-vektorerna ger en
vridning av spänningsplanet.
V
H
V
H
Fig. 79. Infallande vertikalt ljus (vi tittar mot ljuset) delas upp i två motsatt roterande cirkulärpolariserade ljusvågor som efter passage av kristallen har roterat olika
mycket.
a) vid inträdet i kristallen. b) strax efter kristallen.
Observerar man med ett spektroskop ljuset som passerat en optiskt aktiv kristall placerad
mellan två polarioder får man ett mörkt band i spektrum. Detta beror på att vridningen av
svängningsplanet är våglängdsberoende (Fig. 80.).
Rött
Blått
Rött
Blått
Vänstervridande kristall
Högervridande kristall
Fig. 80. Olika färger vrids olika mycket i en kristall. Polarisations riktningen är angiven
efter passage av kristallen (vi ser mot ljuset).
Vågoptik s 19
Våglängdsberoendet beskrivs med följande formel:
φ=
θ
b
=a+ 2
λ
d
φ kallas specifika vridningen
θ är aktuell vridning
d är kristallens tjocklek
a och b är konstanter som beror på det optiskt aktiva mediet
För kvarts är den specifika vridningen 21,7°/mm medan den för vätskor är betydligt lägre t.ex.
37°/ dm för terpentin. I lösningar är den specifika vridningen beroende av koncentrationen av
det optiskt aktiva ämnet. Detta betyder att man kan t.ex. bestämma koncentrationen av socker
i olika sockerlösningar med en enkel optisk metod.
Spänningsoptik
Då ett genomskinligt ämne t.ex. plexiglas utsätts för krafter uppkommer spänningar i
materialet. Dessa spänningar kan observeras som färgade områden om objektet placeras
mellan två korsade polaroider. Allmänt kallas fenomenet fotoelasticitet och det beror på att
spänningar ger ett ämne olika optiska egenskaper i olika riktningar.
Interferens
Allmänt
Vi skall nu titta på ett fenomen, interferens, vilket orsakas av att ett ändligt antal ljusvågor
sammansättes. De vackra färger vi kan observera då en såpbubbla belyses med solljus är ett
typiskt exempel på interferens. Vi kan också observera liknan- de färgfenomen då ett tunt
oljelager spridit ut sig på en vattenyta. Vi säger att interferens innebär att ljusvågor påverkar
varandra, men egentligen gör de inte det utan vågornas amplituder adderas bara. Eftersom det
är intensiteter vi observerar, avviker emellertid den resulterande intensiteten ofta helt från
summan av de intensiteter som de ingående ljusvågorna skulle ge. Låter vi t.ex. ett område
träffas samtidigt av ljusvågor med vardera intensiteten 10 W, kan den uppmätta totala
intensiteten bli 40 W som mest och 0 W som minst. Kan vi på detta sätt skapa energi? Nej. Då
vi skall sammanföra två ljusvågor enligt ovan kommer en del ljus att försvinna åt ett annat
håll.
Vågoptik s 20
Två plana ljusvågor bildar vinkel med varandra
Vi har tidigare diskuterat hur det blir när två ljusvågor som överlappar varandra sammansättes
och de är inbördes fasförskjutna. I nedanstående figurer (Fig. 81a och 81b.) visas med moire'teknik hur detblir när två plana ljusvågor träffar varandra under olika vinklar. I det område där
ljusvågorna finns samtidigt skapas ett stationärt mönster dvs. ett mönster där intensiteten är
konstant trots att ljusvågorna ju rör sig snabbt i förhållande till varandra. Mitt emellan de två
riktningar som ljusvågorna har skapas fransar. Då vinkeln är liten mellan vågorna blir det
bildande interferensmönstret grovt dvs. avståndet blir stort mellan två fransar. Om däremot
vinkeln är stor mellan ljusvågorna blir mönstret tätt.
a)
b)
Fig. 81. Två interfererande ljusvågor med Moire'-teknik.
a) Liten vinkel mellan ljusvågorna ger stort avstånd mellan fransarna.
b) Stor vinkel mellan ljusvågorna ger ett tätt mönster.
Tittar vi mera i detalj på interferensen mellan två plana ljusvågor ser vi som i figur 82 att
ljusvåg l har längre till punkten B än till punkten A. Tvärtom gäller för ljusvåg 2. Av
symmetriskäl bildas fransar i A och B så att de delar vikeln α mitt itu. Då gäller:
d ⋅ sin
α λ
=
2 2
Lju
åg 1
v
s
Lju
svå
g2
α
α/2 α/2
A
d
Fig. 82. Fransar vid interferens mellan två ljusvågor.
Vågoptik s 21
B
Jämfört med moiré-mönstret blir motsvarande interferensmönster för ljus mycket finare (λ är
så mycket mindre) eller vinkeln måste vara mycket mindre för att ett så grovt mönster skall
erhållas.
Två ljuskällor
Om vi har två ljuskällor med samma frekvens som svänger i takt med varandra (är koherenta,
se nedan) erhåller vi med ljus ett interferensmönster som är analogt med mönstret i figur 83a.
Här är mönstret ganska grovt på grund av det lilla avståndet mellan vågkällorna och därmed är
det också små vinklar mellan vågorna.
Fig. 83a. Interferens mellan två punktljuskällor på litet avstånd från varandra.
Fig. 83b. Interferens mellan två punktljuskällor på stort avstånd från varandra.
Då källorna flyttas isär mera blir mönstret tätare. (Fig. 83b.) I nedanstående figur (Fig. 84.)
finns motsvarande vågmönster skapat i en vågmaskin som gör vattenvågor.
Vågoptik s 22
Fig. 84. Interferens mellan punktformiga vågkällor i vatten.
Med ljus kan motsvarande interferensmönster erhållas på en skärm placerad efter två smala
spaltöppningar. Om vi tittar på en punkt på skärmen där vi har mörkt måste de två interfererade vågorna ta ut varandra där (Fig. 85.). Av detta kan vi dra slutsatsen att vågorna
gått långt och i detta fall är vägskillnaden en halv våglängd dvs:
d ⋅ sin α =
λ
2
Allmänt gäller för mörk frans:
λ
d ⋅ sin α = (2m + 1) ; m = 0,1,2..
2
Vägskillnaden skall vara ett udda antal halva våglängder.
A
d
α
λ/2
Fig. 85 De vågor som når samma punkt från två ljuskällor är i motfas. Till höger
fasvektorer.
Vågoptik s 23
Om mönstret kan observeras på stort avstånd från spalterna återfinnes vinkeln α enligt figur
86. Då gäller för små vinklar α:
y
(2m + 1) ⋅ λ
= tan α ≈ sin α =
s
2d
α
y
s
Fig. 86. Interferensmönster från två spalter observerat på en skärm på stort avstånd från
spalterna. I denna skala syns inte de separata spalterna.
Polarisation vid interferens
Det är viktigt att ljusvågorna som utgår från de två spalterna har samma polarisation. Om de
två E-fälten är vinkelräta med varandra blir det nämligen ingen interferens. Ett specialfall har
vi om vi låter två ljusvågor bilda 90°:s vinkel med varandra. (Fig. 87.) Då blir det inte heller
någon interferens trots att båda vågorna har samma polarisation.
Fig. 87. Två ljusvågor med horisontell polarisation ger ingen interferens om de träffar
varandra under rät vinkel. Ljusvågorna ärsedda uppifrån.
Vågoptik s 24
Två ljuskällor på annat sätt
Det finns flera andra sätt att skapa två ljuskällor som har samma egenskaper. Ett sätt är att
belysa ett biprisma med en punktformig ljuskälla. Då erhålles två virtuella ljuskällor vars
avstånd beror på prismats vinklar (Fig. 88.). Ett interferensmönster erhålles på skär- men i
det område där de två bildade ljusvågorna överlagras.
∼1°
Mörkt
S1
θ
a S
S2
Ljust
Mörkt
d
s
Fig. 88. Ett Fresnel's
interfererar.
biprisma ger två ljuskällor av en. De två erhållna ljusvågorna
I ovanstående interferensfall har en vågfront delats till två ljuskällor eller olika delar av en hel
vågfront har riktats in mot samma område. Denna typ av interferens kallas vågfrontsdelning.
Vi skall nu diskutera ett annat sätt att skapa två eller flera ljusvågor av en, nämligen
amplituddelning. En sådan delning sker i t.ex. stråldelare eller då ljuset träffar en eller flera
glasytor.
Vågoptik s 25
Michelsoninterferometern
Den enklaste typen av amplituddelning har vi i en Michelsoninterferometer. I en sådan delas
ljuset från en utbredd ljuskälla upp i två lika ljusvågor, vilka båda får träffa var sin spegel
(Fig. 89).
Mirror
Beam splitter
Light
source
Ground
glass
Mirror
Glass plate
Observer
Fig. 89. Bild av en Michelsoninterferometer sedd uppifrån.
Efter reflexionerna och ånyo passage genom stråldelaren får ljusvågorna interferera. I stråldelaren kan man då se två bilder av ljuskällan överlagrade på varandra. Dessa två bilder
interfererar med varandra och ger vid korrekt inställning av speglarna en ljus eller mörk bild
av ljuskällan som vid förskjutning av den ena spegeln övergår till ett ringmönster. En
Michelsoninterferometer kan användas till att mäta och styra små förflyttningar eller till att
undersöka planheten hos optiska komponenter.
I en Michelsoninterfermeter fås två vågor med samma amplitud genom att stråldelaren är
belagd med t.ex. ett halvgenomskinligt metallskikt. Två vågor med ungefär samma amplitud
erhålles också i reflekterat ljus från en glasplatta.
Interferens i en glasplatta
Vinkelrätt infallande ljus reflekteras till 4% i en glasplatta. Detta gäller första ytan. Ungefär
3,5% erhålles också tillbaka från nästa yta. Det mesta ljuset går rakt igenom nämligen ca:
92%. Ytterligare reflexioner ger betydligt svagare reflexer.
Då en ljusvåg går igenom glas eller ett tätare medium blir vågen hoptryckt (Fig. 90.). Därför
motsvarar en väg i ett tätare medium en längre väg i vacuum, den optiska vägen. Denna väg är
sträckan d⋅n om d är den sträcka vågen färdas i ämnet med brytningsindex n. Då två vågor
gått olika vägar beror det resulterande interferensmönstret just på skillnaden i vågornas
optiska väg. Vid reflexioner tillkommer också en fasändring på π (motsvarande en halv
våglängd) då vågen träffar ett tätare medium.
Vågoptik s 26
Fig. 90. Då ljus går igenom ett ämne med högre brytningsindex blir våglängden kortare.
En väg i detta medium motsvarar en längre väg i vacuum (den optiska vägen).
Då enfärgat ljus infaller vinkelrätt mot en glasplatta blir den optiska vägskillnaden mellan de
två reflekterade strålarna:
λ
∆ = 2nd +
2
eftersom det vid första ytan sker reflexion mot tätare medium.
Då en glasplatta däremot belyses i en sned vinkel från en punktljuskälla erhålles på en skärm
parallella interferensfransar vars ojämnhet avslöjar glasplattans tjockleksvariationer. Bilden på
omslaget till holografikompendiet visar just ett sådant något ojämnt mönster.
Antireflexbehandling
I kameraobjektiv utnyttjas interferens i tunna skikt genom att ett speciellt skikt sk. antireflexionsskikt med en tjocklek d som ges av:
2⋅d ⋅ n =
λ
; λ = 580 nm
2
vacuumförångas utanpå en lins med brytningsindex n. Skiktes brytningsindex bör vara
ungefär n .
Med ett lager av magnesiumfluorid (MgF*+,(-+"+= 1,38) erhålles en reduktion från 4% till c:a
1% i hela det synliga området. Numera förser man kameralinser med flera olika skikt,
(multicoating) vilket gör att objektivets kontrast ytterligare kan ökas.
Vågoptik s 27
Newtons ringar
En variabel luftspalt mellan två glasplattor kan också ge upphov till interferens. Det fenomen
som då uppträder kallas för Newtons ringar och det syns bäst i reflekterat ljus. Exempelvis
syns sådana ringar bra om man belyser två hoppressade mikroskopglas (Fig. 91.). Vid
diaprojektion kan sådana interferenser också dyka upp, men de blir då svagare eftersom de
skapas i genomgående ljus.
Fig. 91. Newtons ringar i två mikroskopglas.
Fabry-Perot-interferometern
Ett optiskt instrument som bygger på interferens mellan ganska många ljusvågor är FabryPerot-interferometern. Denna består i princip av två plana högreflekterande ytor separerade
med ett avstånd d från varandra (Fig. 92.).
Fokuseringslins
Lins
P
s2
s1
Utbredd ljuskälla
d
Skärm
Fig. 92. Fabry-Perot-interferometer.
Då en utbredd ljuskälla belyser interferometern kommer en ljusstråle från en punkt s på ljuskällan att ge flera strålar inne i luftgapet mellan de speglade ytorna. Om strålarna då de
kommer ut ur luftgapet är i fas med varandra, erhålles en ljus punkt P på skärmen. För en
monokromatisk belysning av interferometern erhålles ett mönster enligt figur 93.
Fig. 93. Ringmönster observerat i en Fabry-Perot-interferometer.
Vågoptik s 28
Avståndet mellan ringarna minskar för ökande avstånd d, medan en ökning av våglängden ger
glesare fransar. Fransarnas bredd i interferometern är beroende av de speglade ytornas
reflexionsförmåga. Hög reflektivitet ger smala fransar (Fig. 94.).
Fig. 94. Fransarnas bredd i en Fabry-Perot-interferometer är beroende av de speglande
ytornas reflektivitet. Här är den 87%.
En laserkavitet fungerar väsentligen som en Fabry-Perot-interferometer. Eftersom avståndet
mellan speglarna är mycket stort kommer de våglängder som transmitteras i centrum av interferometern att ligga tätt. (Se holografikompendiet)
Diffraktion
Allmänt
Med diffraktion menar man vanligen det fenomen som uppkommer då ljus träffar små
öppningar, spalter, kanter eller små objekt. Man talar om diffraktionsbilder då ett objekt inte
ger skarpa skuggor, utan vågliknande mönster då det träffas av en ljusvåg. Diffraktion kan ses
som en överlagring av ett oändligt antal ljusvågor. Gränsen mellan diffraktion och interferens
är dock något flytande.
Två olika typer av diffraktion kan erhållas: Fraunhoferdiffraktion och fresneldiffraktion.
Då ett objekt belyses med en plan ljusvåg och det skapade mönstret betraktas på långt avstånd
eller i fokus till en lins, talar man om Fraunhoferdiffraktion. Om däremot objektet belyses av
en krökt ljusvåg t.ex. från en närbelägen punktljuskälla kommer vågens fas att variera i olika
delar av det belysta objektet och Fresneldiffraktion erhålles. Likaså, om objektets diffraktionsbild studeras på litet avstånd från det område där diffraktionen sker är det också fråga om
Fresneldiffraktion.
Vi skall koncentrera oss på den förra typen av diffraktion, fraunhoferdiffraktion.
Vågoptik s 29
Diffraktion i enkelspalt
Om vi belyser en spalt (långsmal öppning) med en ljusvåg så att ljusvågens fas är konstant i
hela spaltöppningen (dvs. vågen kan anses plan), kommer vi att få en ljus punkt på en skärm
mitt för spalten. Till denna punkt är alla sekundärvågorna från olika delar av spalten i fas med
varandra dvs. alla fasvektorerna har samma riktning. Väljer vi däremot en punkt på skärmen
så att vägskillnaden för ljusvågorna som kommit från de två kanterna på spalten är en hel
våglängd, kommer inget ljus att nå denna punkt ty alla fasvektorerna tar ut varandra (Fig. 95.).
Ur figuren får vi då:
d ⋅ sin α = λ
a
d
l
Fig. 95. Diffraktion i en spalt. Ljusvågorna från olika delar av spalten tar ut varandra.
Egentligen är proportionerna något fel i figuren ovan. Mönstret skall betraktas på ett stort
avstånd i enlighet med följande figur (Fig. 96.).
α
d
y
s
Fig. 96. Diffraktionsmönster från en spalt observerat på stort avstånd från spalten.
Ur figuren får vi:
sin α =
λ⋅s
y
y
⇒d⋅ =λ⇒d =
s
s
y
Detta betyder att ju bredare spalten är desto smalare blir diffraktionsmönstret.
Villkoret för alla minima för intensiteten är:
d ⋅ sin α = n ⋅ λ , n =1, 2, 3,...
Vågoptik s 30
Fig. 97. Diffraktion i en enkelspalt.
Intensiteten hos ljuset i centrala maximat är mycket större än intensiteten hos den första
maxima som finns vid sidorna (Fig. 97.).
Diffraktion i en dubbelspalt
En dubbelspalt som belyses med en plan ljusvåg ger diffraktionsbilder enligt figur 98a, som
då de överlagras ger ett mönster enligt figur 98b. Den överlagrade strukturen av mörka och
ljusa områden beror nu på interferens mellan ljus från de två spalterna på avståndet a.
Villkoret för mörka fransar är:
λ
a ⋅ sin α = (2m + 1) ⋅ , m = 1, 2, 3,...
2
Detta är helt i enlighet med interferens mellan två ljuskällor. Ju större avståndet är mellan
spalterna i förhållande till spaltbredden desto fler mörka fransar blir det inom det centrala,
ljusa området.
a)
b)
Fig. 98. Diffraktion i a) enkelspalt och i b) dubbelspalt. Avståndet mellan spalterna är
10ggr så stort som spalternas bredd.
Vågoptik s 31
Diffraktion i flera spalter
Fig. 99. Diffraktionsmönster för olika spaltsystem givna till vänster.
Belyses ett system av flera spalter med samma bredd och samma inbördes avstånd erhålles
diffraktionsmönster enligt figur 99. Ju fler spalter som belyses desto smalare blir de ljusaste
områdena (sk. huvudmaxima) medan antalet betydligt svagare maxima (sk. bimaxima) ökar.
Detta syns tydligare i figur 100, som visar hur diffraktionsbilderna ser ut för 2 och 6 smala
spalter
Vågoptik s 32
Ν=2
Ν=6
λ /a
0
2 λ/a
sin θ
Fig 100. Diffraktionsmönstret för två och sex smala spalter.
För något bredare spalter och större avstånd mellan spalterna som t.ex. i figur 101, där
avståndet mellan spalterna är 4ggr större än spaltbredden blir diffraktionsbilden något
annorlunda. Första och andra huvudmaximat blir inte lika ljusa som det centrala (det nollte).
(sinβ β ) 2
0
λ/a
2 λ/a
sin θ
Fig. 101 Diffraktionsmönster för 6 spalter på 4ggr större avstånd från varandra än
spaltbredden. Parametern β beror på spaltbredden.
Det är således spaltbredden som i stort bestämmer intensitetesfördelningen och avståndet
mellan spalterna som bestämmer hur tätt huvudmaximat kommer, medan antalet spalter
bestämmer bredden på varje huvudmaxima och antalet bimaxima.
Diffraktion i ett gitter
Ett gitter inehåller ett stort antal tätt liggande spalter (om det är ett transmissionsgitter). Vi
belyser ett gitter med parallellt ljus. I en speciell riktning α får vi ut mycket ljus om:
d ⋅ sin α = m ⋅ λ , m = 0, ± 1, ± 2,....
Ljuset ut från gittret kan antingen fokuseras med en lins (som i fig. 102a.) eller kan betraktas
på en skärm långt borta från gittret Bäst studeras diffraktion i ett gitter med hjälp av en laser
(fig 102b,c). På skärmen observerar vi då ett antal ordningar där nollte ordningen är ljuset som
gått rakt igenom gittret. Detta motsvarar m = 0 i formeln ovan. Symmetriskt kring denna
ordning får vi första, andra osv. ordningarna i två olika riktningar (t.ex. ordningar motVågoptik s 33
svarande m=+1 och -1 osv.). Ett tätt gitter ger stor uppdelning dvs. stora vinklar mellan de
olika ordningarna (Fig 102c). Gitter används i spektraluppdelande instrument, spektrografer
(för foto-grafisk registrering) eller spektroskop. Jämfört med prisma kan fås en större
utspridning av spektrat i ett gitter (dispersion).
m = +3
m = +2
m = +1
m= 0
m = -1
m = -2
m = -3
Laser
α
Grovt gitter
d
b)
m = +2
m = +1
P
Laser
m= 0
a)
m = -1
Fint gitter
m = -2
c)
Fig. 102. Diffraktion i ett gitter.
Diffraktion i ett hål
Ett hål som belyses med en plan ljusvåg ger en diffraktionsbild med ringar (Fig. 103.).
Fig. 103. Diffraktion i ett hål. a) 0,5 mm:s hål b) 1,0 mm:s hål
Ringarna blir tätare ju större hålet är och avståndet till första minima ges av:
d ⋅ sin α = 1,22 ⋅ λ
Inom den första ljusa ringen finns 84% av allt ljuset och för en liten öppning kommer detta
ljus att ge en stor ljuskon (Fig. 104 på nästa sida.).
Diffraktionsbildens radie q ges av:
q
1,22 ⋅ λ
= tan α ≈ sin α ⇒ q ≈
⋅R
R
d
Vågoptik s 34
a)
d
2α
b)
R
2q
D
2q
2α
f
Fig. 104. a) Ljuskonen ut från ett litet hål.
b) Minsta bildpunkt hos en lins.
Omvänt kan en lins aldrig avbildas till ett mindre område än med radien q (Fig. 104b.), där det
gäller:
q
1,22 ⋅ λ ⋅ f
= sin α ⇒ q =
f
D
Upplösning
Om ett objektiv avbildar två avlägsna objektpunkter med vinkelavståndet α, kommer båda
bilderna att hamna i fokus. Om vinkeln är stor kommer bilderna inte att överlappa varandra
(Fig. 105a.), medan om vinkeln blir för liten, kommer de inte att bli upplösta (Fig. 105b.)
a)
b)
Fig. 105. Upplösning hos en lins. a) icke överlappade diffraktionsbilder. b) Överlappande
diffraktionsbilder. Upplösningsgränsen.
Vågoptik s 35
Gränsen för upplösning bestäms av när den ena bildens centrum hamnar i den andra bildens
första mörka ring. (Rayleigh-kriteriet). Då gäller om vinkeln α:
λ
q
≈ sin α ⇒ sin α = 1,22 ⋅
f
d
Fresneldiffraktion
Vi skall nu kort ge några exempel på Fresneldiffraktion, vilken vi erhåller då t.ex. en öppning
belyses av en sfärisk våg. Då kan de vågor som kommer från hålets kant ibland ha sådan fas
att de tar ut de vågor som kommer från hålets centrum (Fig. 106.).
Fig. 106. Fresneldiffraktion i ett antal hål med olika storlek.
Vågoptik s 36
I bildens centrum får vi en mörk punkt som för andra håldiametrar åter blir ljus. Vid
Fraunhoferdiffraktion blir däremot alltid den centrala fläcken ljus bakom ett hål, eftersom alla
ljusvågor där är i fas med varandra.
Fig. 107. Fresneldiffraktion vid en kant.
Då ljus träffar en kant kommer vi inte att få en skarp skugga utan en del ljus som kommer in
bakom kanten och ett diffraktionsmönster skapas inom det ljusa området (Fig. 107.). På
omslaget till holografikompendiet finns fransar som härrör från just Fresneldifrakton vid
skarpa kanter.
Koherens
Vågtåg
En idealisk monokromatisk ljuskälla skulle ge en oändligt lång oavbruten sinusvåg. För en
verklig ljuskälla kan ljuset sägas bestå av kortare eller längre vågpaket eller vågtåg (Fig.
108a.).
a)
t
b)
Fig. 108. a) Vågtåg och b) motsvarande frekvensfördelning.
Ju längre vågtågen är desto smalare blir frekvenskurvan.
Vågoptik s 37
f
Tidskoherens
I ett vågfält kommer E-fältet att svänga i olika punkter mer eller mindre regelbundet. Har vi
en idealisk punktformig monokromatisk ljuskälla skulle det elektriska fältet i varje punkt i
rummet exakt beskriva en sinussvängning med den givna frekvensen. Vi skulle ha en perfekt
korrelation av E-fälten i olika punkter i rummet. För en verklig punktformig ljuskälla kommer
ljuset ut som okopplade vågtåg och bara under en viss tid skulle svängningen av det elektriska
fältet i en viss punkt vara regelbunden. Vi har då en viss sk. tidskoherens. Tidskoherensen
kan vi mäta genom att låta ljuset från en punkt gå två olika vägar t.ex. i en
Michelsoninterferometer, så att två ljusvågor erhålles förskjutna en variabel tid i förhållande
till varandra. Så länge vi förskjuter vågorna inom vågtågens längd kan vi få interferens. Om
däremot tids- eller vägskillnaden blir för stor, kommer vågtågen att blandas och eftersom
dessa inte är kopplade till varandra blir det ingen interferens. Tidskoherensen kan alltså
beskrivas av koherenstiden eller koherenslängden, vilken är den sträcka ljuset går under
koherenstiden.
Rumskoherens
En utbredd ljuskälla som innehåller många helt okopplade delljuskällor (t.ex. en
spektralampa) ger ett vågfält där två åtskilda punkter i detta kan ha E-fält som svänger på helt
olika sätt. Detta betyder att punkterna är inkoherenta. Låt oss titta på ett exempel (Fig. 109.).
Ljuskällor
Hål
B
D
S1
S2
C
A
λ/2
λ/2
Skärm
Fig. 109. Två ljuskällor S och S belyser två hål A och B. Interferens undersökes i
punkterna C och D. Punkten C ligger lika långt ifrån A och B, medan punkten D
ligger en halv våglängd närmre B än A.
Antag att vi har endast två ljuskällor som sänder ut ljus helt oberoende av varandra. Vi kan för
enkelhets skull antaga att de två ljuskällorna sänder ut vars fyra vågtåg men fasskillnaden
mellan vågtågen är olika. (Fig. 110.) (Fasskillnadenerna är 0, π/2, π och 3π/2.). Det bör
påpekas att vågtågen för en typisk ljuskälla (spektrallampa) innehåller ungefär 10#+ - 10.
perioder jämfört med 4 i figuren.
Vågoptik s 38
Fig. 110. Utsända vågtåg från de inkoherenta ljuskällorna S1 och S2.
I punkten A där avståndet till de två ljuskällorna är lika erhålles ett fält enligt figur 111a.
Punkten B, som är vald så att det är en vägskillnad på en halv våglängd mellan ljus från S1
och S2, får ett fält enligt figur 111b.
a)
b)
c)
d)
Fig. 111. E-fältets variation i olika punkter i figur 109. a) E-fältet i A b) E-fältet i B c)
E-fältet i C d) E-fältet i D
Vågoptik s 39
För att undersöka om punkterna A och B är koherenta kan vi undersöka på en skärm längre
bort om vi kan få ett interferensmönster. I punkterna C och D får vi ett ljusfält enligt figurerna
111c och 111d. Punkten C är vald så att den är lika långt från A som från B, medan det för
punkten D är en vägskillnad på en halv våglängd. Av E-fältens variation att döma är det lika
ljust i C som i D. Vi har således ingen interferens, varför punkterna A och B är inkoherenta.
Skärm
Hål λ/2
E
Ljuskällor
S1
S2
F
A
< λ/2
G
Fig. 112. Interferens undersökes mellan ljusvågor från två närbelägna punkter E och A.
Om vi däremot jämför punkten A med en annan närbelägen punkt E (Fig. 112.) fås i punkten
F mitt för hålen ett E-fält enligt figur 113a, dvs där blir det ljust. I punkten G där
vägskillnaden till A och E är en halv våglängd, blir fältet alltid 0 (Fig. 113b.), dvs där blir det
mörkt.
a)
b)
Fig. 113. a) E-fältets variation i punkten F i figur 112.
b) E-fältets variation i punkten G.
Vi får således ett interferensmönster då vi jämför A med den närbelägna punkten E men ej
med den avlägsna punkten B. Denna koppling mellan fälten i rumsligt närbelägna punkter
kallas för rumskoherens. Rumskoherens kan ganska enkelt beräknas genom sin analogi med
diffraktionsbilder. För t.ex. en cirkulär ljuskälla erhålles rumskoherens inom det område som
motsvarar diffraktionsbilden av motsvarande cirkulära öppning.
Vågoptik s 40