Tentamen i elektromagnetisk fältteori för E

Tentamen i elektromagnetisk fältteori för E
måndag, 16 dec 2013, kl. 8-13, Vic:1A-C
Del 1: flervalsfrågor (20p)
OBS. Endast svar (A)-(E) efterfrågas. Ingen motivation behövs i Del 1.
1. Gauss lag kan inte användas för att förenkla beräkningen av det elektriska fältet från
(A) en statisk elektrisk punktladdning
(B) en oändligt lång linje med jämnt fördelad elektrisk laddning
(C) ett oändligt stort plan med jämnt fördelad elektrisk laddning
(D) en statisk elektrisk punktdipol
(E) en ledande sfär med jämnt fördelad elektrisk laddning
2. Två elektriska laddningar -3q och +q är placerade som i figuren nedan. Var ska en tredje
laddning placeras så att den inte upplever någon kraft från de två övriga laddningarna?
OBS. 5
2.24, 3 1.73
y
-3q
+q
0
a
x
(A) Det är omöjligt
(B) x   3a
 5  1 a
x    3 / 2  1.5 a
(C) x 
(D)
(E) Inget av ovanstående alternativ
Sida 1 av 6
3. En oändligt stor ledande platta i x-y planet har en ytladdningsdensitet s. Vad är storleken av D
fältet (elektriska förskjutningen) vid ett avstånd R från planet?
(A) 0 C/m2 
(B) s
(C)
S
(D)
S
R
R2
C/m2 
C/m2 
C/m2 
(E) Inget av ovanstående alternativ
4. Vilket av följande påståenden är falskt:
(A) Amperes kraft lag F21 
0 I1 I 2
4


d l1  d l2  a R21
2
21
R
C1 C2

 N definierar den magnetiska kraften
mellan två strömförande kretsar.
(B) Gauss lag  D  
(C) Biot-Savarts lag B 
C/m3  är en av Maxwells ekvationer.
0 I
4
d l ' aR
R2
C'

T definierar hur strömförande kretsar producerar
magnetfält.
(D) Coulombs lag F 
q1q2
aR
4 0 R122 12
 N
ger den elektriska kraften mellan två statiska elektriska
laddningar.
(E) En av Maxwells ekvationer   H  J 
D
t
 A/m2  är Amperes kretslag i sin
ursprungliga form.
Sida 2 av 6
5. Fem positiva laddningar av storleken +q är slumpmässigt fördelade längs ytan av en virtuell
sfär med radien R. Vad är den elektriska potentialen och styrkan av det elektriska fältet E i
centrum av sfären?
(A) Potentialen är 0
(B) Potentialen är
(C) Potentialen är
(D) Potentialen är
 V och det elektriska fältets styrka är 0  V/m .
5q
4 0 R
5q
4 0 R
5q
4 0 R
 V och det elektriska fältets styrka är 0  V/m .
 V och det elektriska fältets styrka är okänd.
 V och det elektriska fältets styrka är
5q
4 0 R 2
 V/m .
(E) Både potentialen och det elektriska fältet är okända.
6. En plan våg infaller mot en plan gränsyta mellan två dielektriska medium med olika
permittivitet och permeabilitet. Vilka randvillkor (parallella i x-y planet eller vinkelräta mot ytan
längs z axeln) är nödvändiga för att uttrycka de reflekterade och utsända vågorna i termer av
storleken hos den infallande vågen?
x
y
dielektriska medium 1
dielektriska medium 2
z
Ex
Hy
az
I: Kontinuerligt elektriskt fält E parallellt med ytan
II: Kontinuerligt elektriskt fält E vinkelrätt mot ytan
III: Kontinuerligt magnetiskt fält H parallellt med ytan
IV: Kontinuerligt magnetiskt fält H vinkelrätt mot ytan
Sida 3 av 6
(A) endast I
(B) endast III
(C) I och II
(D) I och III
(E) II och IV
7. En elektromagnetisk våg som utbreder sig i z-riktningen ges av E  t , z   E0e jt  jk0 z
V/m .
För en cirkulärt polariserad våg är E0 proportionell mot
OBS. 2 1.41
1
ay
2
(B) a x  ja y
(A) a x 
(C) a x  a y
(D) a x  2 ja y
(E) Inget av ovanstående alternativ
8. Betrakta följande skalära funktion f  R   1 R , där R är positionsvektorn och R  R . Vad
är ytintegralen
 f  R 
ds för en sfär med radien a centrerad vid origo O, där ds är ytelementet
S
med riktning vinkelrätt mot ytan S. Antag att f  R  är definierad.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
0
1
a
4
4 a
Sida 4 av 6
Del 2: beräkningar (40p)
Problem 1
En linjärpolariserad plan våg har det elektriska fältet
E(R, t )  a z E0 cos  t  k R 
där k  k0an , k0   / c0
V/m
rad/m ,
an   0,  1, 0 
 m
Vågen utbreder sig i vakuum. Ledning: Använd kartesiska koordinater R  xa x  ya y  za z i
beräkningen.
a) Bestäm det magnetiska fältet H(R, t )
b) Bestäm strålningsvektorn
A/m
P (R, t )  E(R, t )  H(R, t ) W/m2 
Problem 2
Två material vars konduktivitet är  1 och  2 fyller utrymmet mellan en circulärcylindrisk stav
och ett circulärcylindriskt rör. Staven och röret har längden L och är tillverkade av ett material
vars konduktivitet är oändlig (perfekt ledare). Stavens ytterradie är b och rörets innerradie är a.
Bestäm resistansen R mellan inneledaren (staven) och ytterledaren (röret).
1
2
a
b
1
2
Sida 5 av 6
Problem 3
En tunn, cirkulär ring med radie a är uppladdad med en jämnt fördelad totalladdning Q. På
ringens symmetriaxel, på avståndet 2a från ringens centrum, finns ett litet metallklot (radie
a).
Metallklotet har den totala laddningen Q. Hur stort yttre arbete krävs for att föra metallklotet till
2
ringens centrum via kurvan definierad av x    z  a   a 2 . Ledning: W  Q V
Problem 4
En magnetisk dipol med dipolmomentet m  ma z är placerad i origo O (0, 0, 0) (se nedan). I x-yplanet ligger en tunn, metallisk ring med radie b och centrum längs z-axeln. Ringen har resistansen R
och försumbar självinduktans. Ringen rör sig med konstant hastighet υ   a z längs z-axeln. Vad är
den inducerade strömmen I  t  i ringen till belopp och riktning? Antag att d b och att z   t
(ringen passerar (- d, 0, 0) vid tiden t = 0). Ledning: Uttryck cos  ,sin  som funktioner av d och z.
m = maz

d
b
Sida 6 av 6
Tentamen i elektromagnetisk fältteori för E
måndag, 16 dec 2013, kl. 8-13, Vic:1A-C
Solutions
Del 1 (20pt)
1. Answer: (D). It is very difficult to use Gauss’ law to calculate the electric field of a point
dipole.


field is non-zero there. x   3 / 2  1.5 a is the right answer. The third charge can be positive
2. Answer: (E), since at x   3 / 2  1.5 a the force on the third charge is not zero, since the
or negative, it does not matter.
3. Answer: (B), by using Gauss’ law
4. Answer: (E). Ampere’s law in its original form is only valid for static fields.
5. Answer: (C). Potential field (a scalar field) is only dependent on the size of the charges and the
distance R (no direction involved), whereas the electric field (a vector field) depends on the
exact placement of the charges (direction is involved).
6. Answer: (D), see boundary conditions for E and H fields in Formelsamling (pages 2 and 6).
7. Answer: (B). There should be a  j offset in time phase between the two waves and the
magnitude should be the same for circular polarization.
8. Answer: (D). If we compare this formula to electric potential V  q  4 0 R  , then q  4 0 .
Notice that the integral is Gauss’ law,
E
S
ds    V ds 
S
Page 1 of 7
q
0
  V ds  4
S
Del 2 (40pt)
Problem 1 (10pt)
(a) In Cartesian Coordinates, E(R, t )  a z E0 cos  t  k R 
 E( x, y, z, t )  a z E0 cos  t  k0 y   E( y, t )
Since k R  k0  0,  1, 0 
V/m
V/m
 x, y, z   k0 y
 This is z-polarised plane wave propagating in the negative y axis.
In the complex form and with cos  t  as reference phase
E( y )  a z E0e jk0 y
H( y ) 
1
 j0
  E( y) (from formelsamling)
ax

But   E( y ) 
x
0
H( y) 

1
 j0
1
 j0


k0
0
1
0
a
x
ay

y
0
az


 ax
E0e jk0 y  a x jk0 E0e jk0 y
z
y
E0 e jk0 y


  E( y )
jk0 E0 e jk0 y

E0 e jk0 y a x
E0 e jk0 y a x
 H( y, t )  a x

0 

E0
0
0
0 
 c0 0 

0
k0 
cos  t  k0 y 
A/m
Page 2 of 7
Check with regeln om högersystem
ak  aE  a H
(formelsamling)
Left hand side : a k  a n  a y
Right hand side : aE  a H  a z  a x  a y
(b)
P (R, t )  E( y, t )  H( y, t )
 a y
E02
0
cos 2 t  k0 y   W/m2 
Problem 2 (10pt)
Notice the symmetry in the problem: only the conductivity varies between the four sectors. All
other parameters remain the same. This means we only need to solve for one of the four sectors.
Also notice that the four sectors (resistances R1, R2, R3, R4, respectively) are connected in parallel
between the terminals (i.e., outer and inner conductors).
The general formula for calculating resistance is:
R
l
S
 
Solving for the resistance of one of four sectors, i.e., Sector 1
Page 3 of 7
Note that the elemental resistance dR change in the radial direction.
For a given radius r,
dR1 
dr
 2S
R1   dR1 
 R3
 S   2 r / 4  L 
2
a
1
2
dr 
ln  a / b 
 L  r
 L
2
2
b
 by symmetry
Note: There was a mistake in the text, a and b are swapped with respect to the figure, so accept
both answers.
Similarly, R2 and R4 differ from R1 and R3 only by the conductivity (i.e.,  1 instead of  2 )
R2  R4 
2
 1 L
ln  a / b 
Therefore, the equivalent total resistance for the parallel resistors is
1
 1
1
1
1 
R 



 R1 R2 R3 R4 
2
1

ln  a / b  2   1   2   1 
L
ln  a / b 


 L  1   2 
Page 4 of 7
Problem 3 (10pt)
Work done is independent of the path taken and depends only on the potential at the start and the
end positions.
dl  a d
r
V  z 
l dl
,
4 0 C r
Q

2
2
 l  2 a , dl  a d , r  z  a 
V  z 
Q
4 0 z 2  a 2
 W  Q V  0   V  2a  

Q2


5 1
4 5a 0
J
Problem 4 (10pt)
To calculate the magnetic flux   t  in the small loop, since d
b , the magnetic field is nearly
constant within the loop, and approximated by the value at the center of the loop, at R from the
magnetic dipole.
B
0 m
 2cos ar  sin  a 
4 R3
But   180 (x-z plane)
Page 5 of 7
ar   sin  a x  cos  a z
a   cos  a x  sin  a z
Define the unit vector of the surface element to be ds   b2a z (in the direction of velocity)
  t    B ds   b2a z B
S

0 mb2
4r
 2cos   sin  
2
3
2
But we have
z
r
d
sin  
r
cos  
r  d 2  z2
z  t
m = maz


d
r
b
  t  

0 mb2
4 d  t 
2

2 5/2
 2 t 
2
d2

Therefore the induced emf can be calculated as follows:
emf  
d  t 
dt
Page 6 of 7

2

2
2 2t 2  t   d 2
4

t
5



  0 mb 2 
 
7/2
2 5/2
2
 2  4 d 2  t 2
 4 d   t 
0 mb 2 2t
2
2

4d 2  4  t   10  t   5d 2
7/2
2
4 d 2   t 






4 d 2   t 

I 

2 7/2
30 mb 2 2t
4 d 2   t 




0 mb 2 2t


2 7/2
 9d
2
 6  t 
2

3d
2
 2  t 
2

30 mb2 2t
emf

2
R
4 R d 2  t 


7/2
 


V
3d
2
 2 t 
2

 A , in the clockwise direction as viewed from
positive z axis (by Lenz’ law).
Page 7 of 7