Tentamen i elektromagnetisk fältteori för E måndag, 16 dec 2013, kl. 8-13, Vic:1A-C Del 1: flervalsfrågor (20p) OBS. Endast svar (A)-(E) efterfrågas. Ingen motivation behövs i Del 1. 1. Gauss lag kan inte användas för att förenkla beräkningen av det elektriska fältet från (A) en statisk elektrisk punktladdning (B) en oändligt lång linje med jämnt fördelad elektrisk laddning (C) ett oändligt stort plan med jämnt fördelad elektrisk laddning (D) en statisk elektrisk punktdipol (E) en ledande sfär med jämnt fördelad elektrisk laddning 2. Två elektriska laddningar -3q och +q är placerade som i figuren nedan. Var ska en tredje laddning placeras så att den inte upplever någon kraft från de två övriga laddningarna? OBS. 5 2.24, 3 1.73 y -3q +q 0 a x (A) Det är omöjligt (B) x 3a 5 1 a x 3 / 2 1.5 a (C) x (D) (E) Inget av ovanstående alternativ Sida 1 av 6 3. En oändligt stor ledande platta i x-y planet har en ytladdningsdensitet s. Vad är storleken av D fältet (elektriska förskjutningen) vid ett avstånd R från planet? (A) 0 C/m2 (B) s (C) S (D) S R R2 C/m2 C/m2 C/m2 (E) Inget av ovanstående alternativ 4. Vilket av följande påståenden är falskt: (A) Amperes kraft lag F21 0 I1 I 2 4 d l1 d l2 a R21 2 21 R C1 C2 N definierar den magnetiska kraften mellan två strömförande kretsar. (B) Gauss lag D (C) Biot-Savarts lag B C/m3 är en av Maxwells ekvationer. 0 I 4 d l ' aR R2 C' T definierar hur strömförande kretsar producerar magnetfält. (D) Coulombs lag F q1q2 aR 4 0 R122 12 N ger den elektriska kraften mellan två statiska elektriska laddningar. (E) En av Maxwells ekvationer H J D t A/m2 är Amperes kretslag i sin ursprungliga form. Sida 2 av 6 5. Fem positiva laddningar av storleken +q är slumpmässigt fördelade längs ytan av en virtuell sfär med radien R. Vad är den elektriska potentialen och styrkan av det elektriska fältet E i centrum av sfären? (A) Potentialen är 0 (B) Potentialen är (C) Potentialen är (D) Potentialen är V och det elektriska fältets styrka är 0 V/m . 5q 4 0 R 5q 4 0 R 5q 4 0 R V och det elektriska fältets styrka är 0 V/m . V och det elektriska fältets styrka är okänd. V och det elektriska fältets styrka är 5q 4 0 R 2 V/m . (E) Både potentialen och det elektriska fältet är okända. 6. En plan våg infaller mot en plan gränsyta mellan två dielektriska medium med olika permittivitet och permeabilitet. Vilka randvillkor (parallella i x-y planet eller vinkelräta mot ytan längs z axeln) är nödvändiga för att uttrycka de reflekterade och utsända vågorna i termer av storleken hos den infallande vågen? x y dielektriska medium 1 dielektriska medium 2 z Ex Hy az I: Kontinuerligt elektriskt fält E parallellt med ytan II: Kontinuerligt elektriskt fält E vinkelrätt mot ytan III: Kontinuerligt magnetiskt fält H parallellt med ytan IV: Kontinuerligt magnetiskt fält H vinkelrätt mot ytan Sida 3 av 6 (A) endast I (B) endast III (C) I och II (D) I och III (E) II och IV 7. En elektromagnetisk våg som utbreder sig i z-riktningen ges av E t , z E0e jt jk0 z V/m . För en cirkulärt polariserad våg är E0 proportionell mot OBS. 2 1.41 1 ay 2 (B) a x ja y (A) a x (C) a x a y (D) a x 2 ja y (E) Inget av ovanstående alternativ 8. Betrakta följande skalära funktion f R 1 R , där R är positionsvektorn och R R . Vad är ytintegralen f R ds för en sfär med radien a centrerad vid origo O, där ds är ytelementet S med riktning vinkelrätt mot ytan S. Antag att f R är definierad. (A) (B) (C) (D) (E) 0 1 a 4 4 a Sida 4 av 6 Del 2: beräkningar (40p) Problem 1 En linjärpolariserad plan våg har det elektriska fältet E(R, t ) a z E0 cos t k R där k k0an , k0 / c0 V/m rad/m , an 0, 1, 0 m Vågen utbreder sig i vakuum. Ledning: Använd kartesiska koordinater R xa x ya y za z i beräkningen. a) Bestäm det magnetiska fältet H(R, t ) b) Bestäm strålningsvektorn A/m P (R, t ) E(R, t ) H(R, t ) W/m2 Problem 2 Två material vars konduktivitet är 1 och 2 fyller utrymmet mellan en circulärcylindrisk stav och ett circulärcylindriskt rör. Staven och röret har längden L och är tillverkade av ett material vars konduktivitet är oändlig (perfekt ledare). Stavens ytterradie är b och rörets innerradie är a. Bestäm resistansen R mellan inneledaren (staven) och ytterledaren (röret). 1 2 a b 1 2 Sida 5 av 6 Problem 3 En tunn, cirkulär ring med radie a är uppladdad med en jämnt fördelad totalladdning Q. På ringens symmetriaxel, på avståndet 2a från ringens centrum, finns ett litet metallklot (radie a). Metallklotet har den totala laddningen Q. Hur stort yttre arbete krävs for att föra metallklotet till 2 ringens centrum via kurvan definierad av x z a a 2 . Ledning: W Q V Problem 4 En magnetisk dipol med dipolmomentet m ma z är placerad i origo O (0, 0, 0) (se nedan). I x-yplanet ligger en tunn, metallisk ring med radie b och centrum längs z-axeln. Ringen har resistansen R och försumbar självinduktans. Ringen rör sig med konstant hastighet υ a z längs z-axeln. Vad är den inducerade strömmen I t i ringen till belopp och riktning? Antag att d b och att z t (ringen passerar (- d, 0, 0) vid tiden t = 0). Ledning: Uttryck cos ,sin som funktioner av d och z. m = maz d b Sida 6 av 6 Tentamen i elektromagnetisk fältteori för E måndag, 16 dec 2013, kl. 8-13, Vic:1A-C Solutions Del 1 (20pt) 1. Answer: (D). It is very difficult to use Gauss’ law to calculate the electric field of a point dipole. field is non-zero there. x 3 / 2 1.5 a is the right answer. The third charge can be positive 2. Answer: (E), since at x 3 / 2 1.5 a the force on the third charge is not zero, since the or negative, it does not matter. 3. Answer: (B), by using Gauss’ law 4. Answer: (E). Ampere’s law in its original form is only valid for static fields. 5. Answer: (C). Potential field (a scalar field) is only dependent on the size of the charges and the distance R (no direction involved), whereas the electric field (a vector field) depends on the exact placement of the charges (direction is involved). 6. Answer: (D), see boundary conditions for E and H fields in Formelsamling (pages 2 and 6). 7. Answer: (B). There should be a j offset in time phase between the two waves and the magnitude should be the same for circular polarization. 8. Answer: (D). If we compare this formula to electric potential V q 4 0 R , then q 4 0 . Notice that the integral is Gauss’ law, E S ds V ds S Page 1 of 7 q 0 V ds 4 S Del 2 (40pt) Problem 1 (10pt) (a) In Cartesian Coordinates, E(R, t ) a z E0 cos t k R E( x, y, z, t ) a z E0 cos t k0 y E( y, t ) Since k R k0 0, 1, 0 V/m V/m x, y, z k0 y This is z-polarised plane wave propagating in the negative y axis. In the complex form and with cos t as reference phase E( y ) a z E0e jk0 y H( y ) 1 j0 E( y) (from formelsamling) ax But E( y ) x 0 H( y) 1 j0 1 j0 k0 0 1 0 a x ay y 0 az ax E0e jk0 y a x jk0 E0e jk0 y z y E0 e jk0 y E( y ) jk0 E0 e jk0 y E0 e jk0 y a x E0 e jk0 y a x H( y, t ) a x 0 E0 0 0 0 c0 0 0 k0 cos t k0 y A/m Page 2 of 7 Check with regeln om högersystem ak aE a H (formelsamling) Left hand side : a k a n a y Right hand side : aE a H a z a x a y (b) P (R, t ) E( y, t ) H( y, t ) a y E02 0 cos 2 t k0 y W/m2 Problem 2 (10pt) Notice the symmetry in the problem: only the conductivity varies between the four sectors. All other parameters remain the same. This means we only need to solve for one of the four sectors. Also notice that the four sectors (resistances R1, R2, R3, R4, respectively) are connected in parallel between the terminals (i.e., outer and inner conductors). The general formula for calculating resistance is: R l S Solving for the resistance of one of four sectors, i.e., Sector 1 Page 3 of 7 Note that the elemental resistance dR change in the radial direction. For a given radius r, dR1 dr 2S R1 dR1 R3 S 2 r / 4 L 2 a 1 2 dr ln a / b L r L 2 2 b by symmetry Note: There was a mistake in the text, a and b are swapped with respect to the figure, so accept both answers. Similarly, R2 and R4 differ from R1 and R3 only by the conductivity (i.e., 1 instead of 2 ) R2 R4 2 1 L ln a / b Therefore, the equivalent total resistance for the parallel resistors is 1 1 1 1 1 R R1 R2 R3 R4 2 1 ln a / b 2 1 2 1 L ln a / b L 1 2 Page 4 of 7 Problem 3 (10pt) Work done is independent of the path taken and depends only on the potential at the start and the end positions. dl a d r V z l dl , 4 0 C r Q 2 2 l 2 a , dl a d , r z a V z Q 4 0 z 2 a 2 W Q V 0 V 2a Q2 5 1 4 5a 0 J Problem 4 (10pt) To calculate the magnetic flux t in the small loop, since d b , the magnetic field is nearly constant within the loop, and approximated by the value at the center of the loop, at R from the magnetic dipole. B 0 m 2cos ar sin a 4 R3 But 180 (x-z plane) Page 5 of 7 ar sin a x cos a z a cos a x sin a z Define the unit vector of the surface element to be ds b2a z (in the direction of velocity) t B ds b2a z B S 0 mb2 4r 2cos sin 2 3 2 But we have z r d sin r cos r d 2 z2 z t m = maz d r b t 0 mb2 4 d t 2 2 5/2 2 t 2 d2 Therefore the induced emf can be calculated as follows: emf d t dt Page 6 of 7 2 2 2 2t 2 t d 2 4 t 5 0 mb 2 7/2 2 5/2 2 2 4 d 2 t 2 4 d t 0 mb 2 2t 2 2 4d 2 4 t 10 t 5d 2 7/2 2 4 d 2 t 4 d 2 t I 2 7/2 30 mb 2 2t 4 d 2 t 0 mb 2 2t 2 7/2 9d 2 6 t 2 3d 2 2 t 2 30 mb2 2t emf 2 R 4 R d 2 t 7/2 V 3d 2 2 t 2 A , in the clockwise direction as viewed from positive z axis (by Lenz’ law). Page 7 of 7