Innehall
Kapitel 1. Elementart om talen och funktionerna
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
Inledning
Talsystemets uppbyggnad
Jamforelse av tal
Rakning med tal
Algebra
Likheter och olikheter
Absolutbeloppet av ett reellt tal
Intervall
Potenser
Kort om funktioner
Potensfunktioner
Exponentialfunktioner
Logaritmer
Logaritmfunktioner
Trigonometriska funktioner
Polynomfunktioner
Ovningar
till kapitel 1
1
3
4
6
9
13
15
16
18
20
21
23
26
27
35
42
Kapitel 2. Ekvationer
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Inledning
Polynomekvationer
Andragradskurvor
Exponential- och logaritmekvationer
Provning av rotter
Trigonometriska ekvationer
Trigonometriska formler och ekvationer
Ovningar
till kapitel 2
50
54
60
63
65
70
76
Kapitel 3. Komplexa tal
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Inledning
Presentation av de komplexa talen
Det komplexa talplanet
Komplexa tal i polar form
Komplexa tal i potensform
Tolkning av komplex multiplikation
Ovningar
till kapitel 3
79
83
86
89
92
96
Kapitel 4. Vektorgeometri
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Inledning
Planet och rummet
Avst
and i planet och rummet
Vektorer
Addition och subtraktion av vektorer
Multiplikation av vektor med tal
Langden av en vektor
Linjer i planet
98
100
104
107
109
112
117
4.8
4.9
4.10
4.11
Linjer i rummet
Skalarprodukten
Vektorprodukten
Plan i rummet
Ovningar
till kapitel 4
120
124
133
137
142
Kapitel 5. Linjara ekvationssystem
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Inledning
Tv
a ekvationer och tv
a obekanta
Tv
a ekvationer och tre obekanta
Tre ekvationer och tre obekanta
Totalmatris
Flera ekvationer och era obekanta
Ovningar
till kapitel 5
147
152
154
159
163
166
Kapitel 6. Matriser och determinanter
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
Inledning
Matriser och matrisprodukt
Matrisrakning
Invers matris och enhetsmatris
Berakning av invers matris
Determinanter av typ 2 2 och 3 3
Utveckling av determinant langs rad eller kolonn
Determinanter av typ 4 4 och storre
Ekvationssystem med lika m
anga ekvationer som obekanta
Egenvarden och egenvektorer
Ovningar
till kapitel 6
169
173
175
177
183
186
188
190
194
199
Kapitel 7. Funktioner
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
Inledning
Funktionsbegreppet
Talfoljder
Reella funktioner
Sammansatta funktioner
Monotona funktioner
Inversa funktioner
Arcusfunktioner
Ovningar
till kapitel 7
203
206
209
213
214
217
221
224
Kapitel 8. Gransvarden och kontinuitet
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Inledning
Gransvarde d
a x g
ar mot 1
Gransvarde d
a x g
ar mot a
Kontinuitet
Rationella funktioner
Gransvarde av en talfoljd d
a n g
ar mot 1
Ovningar till kapitel 8
228
234
241
245
248
250
Kapitel 9. Derivator och dierentialer
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
9.14
9.15
Inledning
Derivata och tangentlinjer
Dierentialrakning
Derivatans denition
Tidsderivatan som hastighetsmatare
Kedjeregeln
Produktregeln
Kvotregeln
Derivatan av xn for heltal n
Derivatan av de trigonometriska funktionerna
Implicit derivering
Derivatan av inversfunktionen
Derivatan av ex och ln x
Derivatan av ax och xa
Logaritmisk derivering
Feluppskattningar
Ovningar
till kapitel 9
253
257
261
262
263
267
269
271
272
275
277
280
282
284
285
287
Kapitel 10. Primitiva funktioner
10.1
10.2
10.3
10.4
Inledning
Antiderivatan
Partiell integration
Variabelsubstitution
Integraler av rationella funktioner
Ovningar
till kapitel 10
292
300
303
309
317
Kapitel 11. Bestamda integraler
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
Inledning
Omr
aden begransade av linjer
Trappstegsfunktioner
Denition av bestamd integral
Integralkalkylens medelvardessats
Integralkalkylens huvudsats
Fler bestamda integraler
Generaliserade integraler
Ovningar
till kapitel 11
319
321
325
330
331
336
341
346
Kapitel 12. Tillampningar av derivatan
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
Inledning
Dierentialkalkylens medelvardessats
Hogre derivator och acceleration
Extrempunkter
Grafritning
Optimering
Ovningar
till kapitel 12
349
351
353
362
364
366
Kapitel 13. Tillampningar av integralen
13.1
13.2
Inledning
Integralen av dierentialen
Rotationsvolymer
369
375
13.3
13.4
13.5
13.6
Dubbelintegraler
Kurvor och b
aglangd
Kurvintegraler och arbete
Harledning av ekvationer med derivator
Ovningar
till kapitel 13
380
388
391
394
396
Kapitel 14. Dierentialekvationer
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
14.9
14.10
Inledning
Ekvationer med derivator
Allman och partikular losning
Olika typer av dierentialekvationer
Separabla dierentialekvationer
Linjara dierentialekvationer av forsta ordningen
Homogena linjara dierentialekvationer av
andra ordningen med konstanta koeÆcienter
Inhomogena linjara dierentialekvationer av
andra ordningen med konstanta koeÆcienter
Dierentialekvationer av hogre ordning
med konstanta koeÆcienter
Svangningsekvationer
System av dierentialekvationer
Ovningar
till kapitel 14
399
402
405
406
410
415
420
428
430
435
441
Kapitel 15. Serier
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
Inledning
Allmant om serier
Harmoniska serien och andra p-serier
Jamforelse av positiva serier
Geometriska serier och kvotkriteriet
Absolutkonvergens och alternerande serier
Potensserier
Approximation av funktionen y = sin x
Maclaurinserier for elementara funktioner
L'Hospitals regel
Ovningar
till kapitel 15
448
451
454
456
462
464
466
469
476
479
Kapitel 16. Analys i era variabler
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
Inledning
Lutningar i ett plan
Tangentplan och partiella derivator
Dierentialer
Niv
akurvor
Optimering av ervariabelfunktioner
Optimering med bivillkor
Ovningar
till kapitel 16
482
485
488
492
496
498
501
Svar till testproblem
Svar till ovningar
Appendix
Index
505
521
551
557
