TENTAMEN Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Examinator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning och betygsgränser: HF0021 Matematik för basår I TENA Tekniskt basår Niclas Hjelm & Sara Sebelius Niclas Hjelm 2017-06-07 13:00-17:00 Formelsamling: ISBN 978-91-27-72279-8 eller ISBN 978-91-27-42245-2 (utan anteckningar). Inga andra formelsamlingar är tillåtna! Miniräknare, penna, radergummi, linjal, gradskiva Poäng 11 12 – 14 15 – 17 18 – 20 21 – 23 24 – 26 Betyg Fx E D C B A Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. Lösningarna skall vara tydliga och lätta att följa. Införda beteckningar skall definieras. Uppställda samband skall motiveras. Skriv helst med blyertspenna! Lycka till! 1. Lös ekvationen 2t 2 t 3 15t (2p) 2. En stege som är 5,00 m lång lutas mot en vägg. a) Säkerhetsföreskrifterna anger att lutningsvinkeln (vinkeln mellan stegen och marken) inte får bli mer än 60°. Hur högt upp på väggen kan stegen då nå? (1p) b) Lisa placerar stegens lägsta punkt 3,00 m från väggen. Hur stor är då lutningsvinkeln? (1p) 3. En rät linje 6 x 2 y 10 0 är given. a) Bestäm linjens riktningskoefficient. b) Bestäm konstanten a så att punkten (a,11) ligger på linjen (1p) (1p) (1p) 2 a 2 a 3 ( 2a ) 2 4. a) Förenkla uttrycket så långt som möjligt. a 1 a 4 r 2 h b) Lös ut den positiva storheten r ur formeln V 3 (1p) 5. Vektorerna a ( 2,1) och b (1,3) är givna. Bestäm längden av vektorn b a . 6. Förenkla uttrycket 7. Lös ekvationen 8. Lös ekvationen (2p) x2 x4 så långt som möjligt x 1 (2p) 1 2 2 x x x (2p) x2 x 1 3 x (2p) 9. Lös olikheten 3 x 2(4 5 x) (2p) 10. Lös ekvationen x 1 x 2 5 (3p) 11. Bestäm för vilka värden på konstanten a som f ( g (a)) g ( f (a)) om f ( x) x 2 och g ( x) 4 x 1 . (2p) C 12. I en rätvinklig triangel ABC är hypotenusan 1,0 m. Sträckan AD är 24 cm kortare än sidan AB. Hur lång är sträckan AD? (3p) D A B Lösningsförslag 1. 2t 2 t 3 15t t 3 2t 2 15t 0 t (t 2 2t 15) 0 t 0 t 2 2t 15 0 t 1 12 15 t 1 4 t 3 t 5 Svar: Ekvationen har lösningarna t1 3, t 2 0, t 3 5 . 2. a. sin 60 b. cos v L L 5,00 sin 60 4,33 m 5,00 3,00 v 53,1 5,00 3a. 6 x 2 y 10 0 2 y 6 x 10 y 3x 5 Svar: k 3 3b. 6 x 2 y 10 0 6 a 2 11 10 0 6a 12 a2 4a. 2 a 2 a 3 (2a) 2 a 2 a 32 2 2 a 2 4a 26 2 4 4a 2 3 4a 5 5 1 4 1 4 3 a a a a a 4b. r 2 h V 3 3V r2 h 3V r h Negativa lösningen måste ju förkastas ty r>0 var givet. 5. b a (1,3) (2,1) (1 2,3 1) (1,2) b a (1) 2 2 2 5 6. x 2 x 4 x 2 (1 x 2 ) x 2 (1 x)(1 x) x 2 (1 x)( x 1) x 2 (1 x) x 1 x 1 x 1 x 1 7. 1 2 2 x x x 1 2 x 0, x 1 x x( x 1) 1 ( x 1) 2 x( x 1) x( x 1) x 1 2 x3 Svar: x 3 8. Rotekvationer löses genom ledvis kvadrering. Lösningarna måste prövas! x2 x 1 3 x 2 x 2 x 1 (3 x ) 2 x 2 x 1 9 6x x 2 5x 8 x 8 5 Prövning av lösningen 2 8 8 VL x x 1 1 5 5 8 15 8 7 HL 3 x 3 5 5 5 5 VL HL 2 Svar: x 64 40 25 25 25 25 49 25 49 25 7 5 8 5 9. 3 x 2( 4 5 x ) 3 x 8 10 x 9x 5 x 5 9 10. -2 x 1 ( x 1) ( x 2) 5 ( x 1) ( x 2) 5 x 1 x 2 5 x 1 x 2 5 6 2x 35 3 x Detta är inte uppfyllt för något Ligger i intervalle t, d v s värde på x, så i detta intervall tillåten lösning finns ingen lösning Svar: x1 3, x2 2 11. f ( x) x 2 g ( x) 4 x 1 f ( g (a)) f (4a 1) (4a 1) 2 16a 2 8a 1 g ( f (a)) g (a 2 ) 4a 2 1 x 1 x 2 5 2x 4 x2 Ligger i intervalle t, d v s tillåten lösning f ( g (a )) g ( f (a )) 16a 2 8a 1 4a 2 1; 12a 2 8a 0; 4a (3a 2) 0 0; a1 0 , Svar: a1 0 , a2 2 / 3 a2 2 / 3 C 12. ABD är likformig med ABC eftersom A är gemensam och båda trianglarna är rätvinkliga. Likformighet ger D x 24 x ; x 24 100 x 100 x ( x 24) 2 A 100 x x 2 48 x 576 0 x 2 52 x 576 x 26 (26) 2 576 x 26 10 x1 36 eller x2 16 Svar: AD är antingen 36 cm eller 16 cm x+24 B Rättningsmall Generella riktlinjer för tentamensrättning Varje beräkningsfel (Därefter fortsatt rättning enligt nya förutsättningar) -1 poäng Beräkningsfel; allvarliga och/eller leder till förenkling Prövning istället för generell metod Felaktiga antaganden/ansatser -2 poäng eller mer - samtliga poäng - samtliga poäng Lösning svår att följa och/eller Svaret framgår inte tydligt Matematiska symboler används felaktigt/saknas -1 poäng eller mer -1poäng eller mer Bl.a Om ’=’ saknas (t.ex. ’=>’ används istället) -1 poäng/tenta Om ’=’ används felaktigt (t.ex. istället för ’=>’) -1 poäng/tenta Teoretiska uppgifter: Avrundat svar -1 poäng/tenta Tillämpade uppgifter: Enhet saknas/fel Avrundningar i delberäkningar som ger fel svar Svar med felaktigt antal värdesiffror ( ±1 värdesiffra ok) Andra avrundningsfel -1 poäng/tenta -1 poäng/tenta -1 poäng/tenta -1 poäng/tenta 1. Varje saknad lösning -1p 2a. Rätt eller fel 2b. Rätt eller fel 3a. Rätt eller fel 3b. Rätt eller fel 4a. Rätt eller fel 4b. Rätt eller fel 5. Korrekt beräknad vektor b a , sedan fel 6. Förenklar till x 2 (1 x)(1 x) x 1 7. Förkastar inte x 0 Ofullständig definitionsmängd, x 1 saknas -1p +1p -1p -0p 8. Prövning saknas / Formellt felaktig prövning 9. Svarar x Svarar x -1p 5 9 -1p 5 5 eller x 9 9 -2p 10. Korrekt uppdelning av ekvationen i tre intervall Avsaknad av eller felaktigt resonemang kring lösningars giltighet +1p -1p 11. Rätt tecknad ekvation 16a 2 8a 1 4a 2 1 , sen fel -1p 12. Korrekt uppställd ekvation, därefter fel -1p Ingen kommentar om likformighet (text eller markerat i bild) -1p