MaII_2_150811

TENTAMEN
Kursnummer:
Moment:
Program:
Rättande lärare:
Examinator:
Datum:
Tid:
Hjälpmedel:
HF0024
Matematik för basår II
TEN2
Tekniskt basår
Marina Arakelyan
Niclas Hjelm
2015-08-11
08:15-12:15
Formelsamling: Björk m fl ”Formler och
tabeller” utan anteckningar, passare,
gradskiva, penna, radergummi och linjal
Omfattning och
betygsgränser:
Miniräknare är ej tillåten!
För betyget P krävs 12p.
Slutbetyget på kursen ges av poängsumman
från TEN1 och TEN2. Dessa måste båda ha
avklarats med betyg P.
Poäng
24 – 28
29 – 34
35 – 40
41 – 46
47 – 52
Betyg
E
D
C
B
A
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga
lösningar. Lösningarna skall vara tydliga
och lätta att följa.
Införda beteckningar skall definieras.
Uppställda samband skall motiveras.
Skriv helst med blyertspenna!
Lycka till!
Imz
Rez
1 Ange en ekvation för de tal z som
motsvaras av cirkeln i det komplexa
talplanet i figuren.
1
2
-i
(1p)
-2i
2 Bestäm realdelen av av z =
6i
5  4i
(2p)
200
3 Beräkna
 (2k  3)
(2p)
k 1
4 Beräkna (1  i)10 . Svara på formen a+bi
(2p)
5 Man har differentialekvationen y   5 y  0
(2p)
1
Bestäm y(3) då man vet att y   1 . Svara exakt.
5
6
r
Ett glas med konisk form fylls sakta på med vätska. Vätskeytans radie, r, är
hälften av höjden, h, se figur. Vid den tidpunkt då höjden är 4,0 cm ökar
höjden med 0,25 cm/s. Hur snabbt ökar vätskevolymen i glaset vid denna
tidpunkt?
(2p)
h
.
7 Kurvorna y  x 2 och y  x begränsar ett område i första kvadranten.
När detta område roterar runt x-axeln alstras en rotationskropp.
Beräkna kroppens volym.
(3p)
8 Bestäm den allmänna lösningen till: y   y   6  y  2 x 2
(3p)
9 z  3  2i är en lösning till ekvationen z 3  10 z 2  37 z  52 .
Bestäm ekvationens övriga lösningar.
(3p)
10 Lös differentialekvationen y   x 2 y 2 ln x  0
(3p)
11 Accelerationen för en farkost som bromsas in är proportionell mot farkostens hastighet.
När inbromsningen börjar är hastigheten 20 m/s och accelerationen  2,0 m/s 2 .
Hur långt rör sig farkosten innan den stannar (den s k bromssträckan)?
.
(3p)
Lösningar
1
Mittpunkt : 1  2i
radien  1
z  (1  2i )  1
Svar : z  1  2i  1
2
6i
(6  i )(5  4i ) 30  24i  5i  4i 2 30  19i  4  (1)




5  4i (5  4i )(5  4i )
25  16  (1)
25  16i 2
34  19i 34 19

 i
41
41 41
34
34
Re z 
Svar :
41
41
z
200
3
 (2k  3)  (2·1  3)  (2·2  3)  (2·3  3)  ...  (2·200  3)  5  7  9  ...  403
k 1
sökt : s200 
4
200(5  403)
 100·408  40800 ·
2
Sätt z  1  i 
arg z 

4
och z 
Svar : 4 0800
2
10

 



(1  i )   2 (cos  i sin )   2 (cos  i sin )10 
4
4 
4
4



5
5
2 5 (cos 10·  i sin 10· )  2 5 (cos
 i sin
)  2 5 (0  i·1)  2 5 i
4
4
2
2
Svar : 32i
10
10
5
y  5 y  0
y  Ce5 x
1  Ce
C
1
e
5·

1 5x
e  e 5 x 1
e
y (3)  e 5·31  e14
y
1
5
Svar : e14
6
Känt : r 
Sökt :
h
dh
, h  4,0 cm 
 0,25 cm / s
2
dt
dV
dt
dV dh dV


dt
dt dh
2
V 
h
  ·h
h 3
2
V ( h)   

3
12
r 2 h
,
3
dV 3h 2 h 2


dh
12
4
2
dV
h
 0,25·
dt
4
dV
 ·4 2
 0,25·
cm 3 / s   cm 3 / s
dt
4
7
Svar : 3,1 cm 3 / s
Skärningspunkter :
x  x2
x1  0
x2  1
1
V  
 x  dx    x 
2
0
1
0
2 2
 1 1  5
2
    
  
 2 5   10 10 
 
1
 x2 x5 
dx    ( x  x )dx      
5 0
2
0
1
4
3
10
Svar :
8 Lösning: Lös motsvarande homogena ekvation: y   y   6  y  0
Karakteristisk ekvation: r 2  r  6  0 ,
1
1
1
25
1 5  3
6   
  
med lösning: r   
2
4
2
4
2 2 2
Reella och olika rötter:
3
v.e
10
y h  C  e 3 x  D  e 2 x
Partikulärlösning, ansats: y p  ax 2  bx  c  yp  2ax  b  yp  2a ,
Insättes i ekvationen: V .L.  y   y   6  y  2a  2ax  b  6  (ax 2  bx  c) 
 6ax 2  (2a  6b)  x  (2a  b  6c)  2 x 2  H .L.

  6a  2

Detta ger ett ekvationssystem:  2a  6b  0

2a  b  6c  0

Partikulärlösning blir:
 a
1
3
1
9
7
 c
54
 b
1
1
7
yp    x2   x 
3
9
54
Allmän lösning till den givna ekvationen är:
1
1
7
y  y h  y p  C  e 3 x  D  e 2 x   x 2   x 
3
9
54
Svar:
1
1
7
y  C  e 3 x  D  e 2 x   x 2   x 
3
9
54
9 z 3  10 z 2  37 z  52  z 3  10 z 2  37 z  52  0 .
z  3  2i är en lösning till ekvationen som har reella koefficienter. Då är även z  3  2i
en lösning.
Enligt faktorsatsen är då z  (3  2i )  z  3  2i och z  (3  2i )  z  3  2i faktorer i
ekvationens vänstra led. Då är även ( z  3  2i)( z  3  2i)  z 2  6 z  13 en faktor i
ekvationens vänstra led.
z4
z 3  10 z 2  37 z  52
z 2  6 z  13
 ( z 3  6 z 2  13 z )
 4 z 2  24 z  52
 (4 z 2  24 z  52)
0
Polynomdivision ger att ekvationen kan skrivas ( z 2  6 z  13)( z  4)  0 . Därmed inses att
z  4 är ytterligare en lösning till ekvationen.
Svar: Ekvationens övriga lösningar är z  3  2i och z  4
10
y   x 2 y 2 ln x  0
y   x 2 y 2 ln x
1 dy
·  x 2 ln x
2
y dx
1
·dy  x 2 ln xdx
2
y

1
·dy   x 2 ln xdx
2
y
där
VL  
y 1
1
1
2
·
dy

y
dy

   C1

2
1
y
y
partiell
 x3
x3 1
x3
x2
x3
x3
HL   x 2 ln xdx  

·ln
x

·
dx

·ln
x

dx

·ln
x

 C2

3 x
3
3
3
9
integratio n  3
1 x3
x3
  ·ln x 
C
y 3
9
1
1
1
y 3
 3
Svar : y  3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
·ln x 
C
 ·ln x  C
 ·ln x  D
3
9
9
3
9
3
11.
dv dy 2
dy
 2  y , v 
 y
dt dt
dt
a  k·v k  0 då det är en inbromsnin g
a
a  2,0

  0,10
v
20
y   0,10 y 
y   0,10 y   0
k
r 2  0,10r  0 r (r  0,10r )  0 r1  0 r2  0,10
reella rötter 
y  Ce 0  De 0,10t
y  C  De 0,10t
y ( 0)  0 :
0CD
C  D
y   0,10 De 0,10t
y (0)  20
20  0,10 De 0,10·0

D
20
  200
 0,10
C  200
y  200  200e 0,10t  200(1  e 0,10t )
y  200 då t    Bromssträc kan  200 m
Rättningsmall
Generella riktlinjer för tentamensrättning
Varje beräkningsfel
(Därefter fortsatt rättning enligt nya förutsättningar)
Beräkningsfel; allvarliga och/eller leder till förenkling
Prövning istället för generell metod
Felaktiga antaganden/ansatser
-1 poäng
Lösning svår att följa och/eller Svaret framgår inte tydligt
Om ’=’ saknas (t.ex. ’=>’ används istället)
Om ’=’ används felaktigt (t.ex. istället för ’=>’)
-1 poäng eller mer
-1 poäng/tenta
-1 poäng/tenta
Teoretiska uppgifter:
Avrundat svar
-1 poäng/tenta
Tillämpade uppgifter:
Enhet saknas/fel
Avrundningar i delberäkningar som ger fel svar
Svar med felaktigt antal värdesiffror ( ±1 värdesiffra ok)
-1 poäng/tenta
-1 poäng/tenta
-1 poäng/tenta
-2 poäng eller mer
- samtliga poäng
- samtliga poäng
Riktlinjer för specifika uppgifter
1 Rätt eller fel
2 Förenklar rätt men svarar
34 19
 i
41 41
-1p
3 4 Svarar ej på formen a+bi
-1p
5 Använder ej bivillkoret
Fel vid användning av bivillkoret
Beräknar ej y(3) / Fel vid beräkning av y(3)
-2p
-1p
-1p
6 Svarar exakt
Deriveringsfel
-0p
-2p
7 Beräknar fel volym
Skärningspunkterna ej analytiskt bestämda
-3p
-0p
8 Fel homogen lösning
Felaktig ansats för inhomogena diff ekv
Korrekt ansats för inhomogena diff ekv, och korrekt uppställt ekv syst,
sedan fel
-1p
-2p
-1p
9 Korrekt uppställd polynomdivision (d v s inser att z  3  2i är en lösning och
multiplicerar ihop de kända faktorerna), sedan fel
-2p
10 Fel primitiv funktion till
x
2
ln xdx
Integrationskonstanten saknas
Korrekt integrerat, fel när y löses ut ur sambandet
Svarar med konstanten –C i stället för D
11 Fel karaktäristisk ekvation
Varje felaktigt bestämd konstant
-3p
-1p
-1p
OK
-3p
-1p
Fel vid beräkning bromsssträckan, d v s
lim
t
s (t )
-1p