MaI_2_150114

TENTAMEN
Kursnummer:
Moment:
Program:
Rättande lärare:
Examinator:
Datum:
Tid:
Hjälpmedel:
Omfattning och
betygsgränser:
HF0021
Matematik för basår I
TEN2
Tekniskt basår
Marina Arakelyan, Jonas Stenholm & Håkan
Strömberg
Niclas Hjelm
2015-01-14
08:15-12:15
Formelsamling: ISBN 978-91-27-72279-8
eller ISBN 978-91-27-42245-2 (utan
anteckningar). Inga andra
formelsamlingar är tillåtna!
Miniräknare, penna, radergummi, linjal,
gradskiva
För betyget P krävs 12p.
Slutbetyget på kursen ges av poängsumman
från TEN1 och TEN2. Dessa måste båda ha
avklarats med betyg P.
Poäng
24 – 28
29 – 34
35 – 40
41 – 46
47 – 52
Betyg
E
D
C
B
A
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga
lösningar. Lösningarna skall vara tydliga
och lätta att följa.
Införda beteckningar skall definieras.
Uppställda samband skall motiveras.
Skriv helst med blyertspenna!
Lycka till!
1
Använd derivatans definition för att bestämma f ' ( x) om
(2p)
f ( x )  3x  2 x 2
2
Bestäm största och minsta värdet av funktionen
(2p)
f ( x)  x 3  6 x 2  9 x
i intervallet  1  x  2
3
Lös ekvationen, där x  0
(2p)
ln x  3 ln x  3
4
4
Bestäm eventuella värden på konstanten 𝑎 så att kurvorna till funktionerna
(2p)
f ( x)  x 2
och
g ( x )   x 2  12 x  a
tangerar varandra.
5
Lös ut x ur formeln
(2p)
T  y  lg
x
a
Alla storheter positiva.
6
Bestäm eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter till funktionen
(3p)
f ( x )  3x 4  4 x 3
7
En bil startar inbromsningen vid tiden t  0 (sek). Sträckan bilen har färdats
(i meter) som funktion av tiden
s(t )  80t  8t 2
a) Hur långt har bilen färdats efter 3 sekunder?
b) Vilken hastighet har bilen efter 4 sekunder?
c) Efter hur lång tid står bilen stilla?
Avrunda till närmaste heltal
(1p)
(1p)
(1p)
8
C
(2p)
x
b
A
B
I triangeln ∆𝐴𝐵𝐶 är vinkeln 𝐶 = 120°. Sidorna har längder som framgår av
figuren. Längdmåttet är cm. Beräkna sidornas längder.
9
10
I rektangeln 𝐴𝐵𝐶𝐷 är sidan 𝐶𝐷 27 cm. Punkten 𝐸 är så belägen på sidan 𝐴𝐵
att sträckan 𝐷𝐸 har längden 13 cm och vinkeln 𝐷𝐸𝐶 är 114°. Beräkna
längden av sträckan 𝐵𝐸.
(3p)
För funktionen f ( x )  a x där a är en konstant, finns ett värde på 𝑥 så att
f ( x )  2 och f ' ( x )  3 . Bestäm detta värde på x samt konstanten a.
(2p)
11
(3p)
Figuren visar ritningen över ett hus. Den centrala delen av huset utgör en
kvadrat med sidan a m. På varje sida av huset finns en likadan utbyggnad i
form av, även det, en kvadrat, med sidan b m. Man vet att husets omkrets är
60 m. Bestäm den minsta area huset kan ha.
Uppgift 1
f ( x  h)  f ( x )

h 0
h
3( x  h)  2( x  h) 2  (3 x  2 x 2 )
 lim

h 0
h
3 x  3h  2( x 2  h 2  2 xh)  (3x  2 x 2 )
 lim

h 0
h
3 x  3h  2 x 2  2h 2  4 xh  3 x  2 x 2
 lim

h 0
h
3h  4 xh  2h 2
 lim

h 0
h
h (3  4 x  2h)
 lim

h 0
h
 lim 3  4 x  2h 
f ' ( x)  lim
h 0
 3  4x
Svar: f ' ( x )  3  4 x
Uppgift 2
f ( x)  x 3  6 x 2  9 x
f ' ( x )  3x 2  12 x  9
f ' ( x )  0 då
3x 2  12 x  9  0
1
3
3x
2
 12 x  9   13  0
x2  4x  3  0
x  42 
 42 2  3
x  2 43
x  2 1
x1  3
x2  1
Då x1 ligger utanför intervallet [-1,2] har vi tre funktionsvärden att beräkna.
f ( 1)  16
f (1)  4
f ( 2)  2
Svar: Största värdet är 4 och minsta -16
Uppgift 3
ln x 4  3 ln x  3
ln x 4  ln x 3  3
 x4 
ln  3   3
x 
ln x  3
x  e3
Svar: x  e 3
Uppgift 4
Två kurvor som tangerar varandra har samma derivata i tangeringspunkten.
f ( x)  x 2
f ' ( x)  2 x
g ( x )   x 2  12 x  a
g ' ( x )  2 x  12
Vi löser därför ekvationen f ' ( x )  g ' ( x )
2 x  2 x  12
Med roten x  3 . Då f (3)  9 så är också g (3)  9 . Vi får då
 32  12  3  a  9
 9  36  a  9
a  18
Svar: a  18
Uppgift 5
T  y  lg
T
y
 lg
 ax 
T
10 y  10
 ax 
lg
T
x
 10 y
a
T
x  a  10 y
Svar: x  a  10
T
y
x
a
Uppgift 6
f ( x )  3x 4  4 x 3
f ' ( x )  12 x 3  12 x 2
f ' ( x )  12 x 2 ( x  1)
Ekvationen f ' ( x )  0 ger direkt rötterna x1, 2  0 och x3  1 . Teckenstudium ger
x<0 x=0 0<x<1 x=1 x>1
f’(x)
0
0
+
Svar: Funktionen har ett lokalt minimum i (1,-1) och en terrasspunkt i (0,0)
Uppgift 7
s(t )  80t  8t 2
a)
s(3)  80  3  8  32  168
b)
s' (t )  80  16t
s' ( 4)  80  16  4  16
c) s' (t )  0 ger
80  16t  0
t 5
Svar: a) 168 m b) 16 m c) 5 s
Uppgift 8
Cosinussatsen ger
( x  6) 2  x 2  ( x  3) 2  2 x ( x  3) cos 120
x 2  12 x  36  x 2  x 2  6 x  9  ( 2 x 2  6 x )   12 
2 x 2  3x  27  0
x 2  23 x 
x  43 
x
27
2
9
16
0

9
2
Den negativa roten förkastas.
Svar: Sidorna är 4.5, 7.5 och 10.5 cm
27
2
Uppgift 9
Med hjälp av sinussatsen kan vi först bestämma vinkeln DCE (x)
sin x sin 114 

13
27
 13 sin 114  
  26.1
x  arctan 
27


En alternativ lösning skulle kunna vara 180  26.1  153.9 . Men då 153.9  114  180
förkastar vi denna. Detta betyder att vinkeln EDC är 180  114  26.1  39.9 . Som i sin
tur betyder att vinkeln ADE är 90  39.9  50.1 . Vi kan nu bestämma sträcken AE (y)
genom
y
sin 50.1 
13
y  13  sin 50.1  10.0
Till sist får vi så EB genom 27  10.0  17.0
Svar: Sträckan EB är 17 m
Uppgift 10
f ( x )  2 ger a x  2 och f ' ( x )  3 ger a x ln a  3 . Vi har ekvationssystemet
a x  2
 x
a ln a  3
Översta ekvationen insatt i den undre ger 2 ln a  3 . Vi får då
2 ln a  3
ln a  23
3
a  e2
3
a  e 2 insatt i a x  2 ger
3x
e2 2
3x
2
 ln 2
x  23 ln 2
3
Svar: x  23 ln 2 och a  e 2
Uppgift 11
Vi tecknar omkretsen 4( a  b)  12b  60 där 0  a  15 och 0  b  5
Vi tecknar arean A(a, b)  4b 2  a 2
Vi löser ut a ur ekvationen för omkretsen och får a  15  2b
Vi kan nu skriva om A( a, b) till A(b) genom att substituera
A(b)  4b 2  (15  2b) 2
A(b)  8b 2  60b  225
Vi löser så ekvationen A' (b)  0 där A' (b)  16b  60
16b  60  0
15
4
Då A' ' (b)  16  0 vet vi att vi funnit ett minimum och kan nu bestämma arean för detta
minimum.
b
A154   8  154   60  154   225
2
A154   112.5
Svar: Husets minsta area är 112.5 m2
Rättningsmall
1. Använder ej derivatans definition
Lim saknas
2. Undersöker bara intervallets ändpunkter -2p
Undersöker bara de punkter där f ' ( x)  0 utan att observera ett en av
dessa ligger utanför intervallet
Undersöker den punkt där f ' ( x)  0 som ligger i intervallet (och
konstaterar att minsta värde i så fall saknas)
Undersöker intervallgränser samt båda f´(x)=0
3. Definitionsmängd saknas
Kommer fram till ekvationen ln x  3 sedan fel
-2p
-1p
-2p
-1p
+1p
-0p
+1p
4. Använder bara villkoret f ' ( x)  g ' ( x) utan att kontrollera att f ( x)  g ( x)
för detta x-värde
-1p
5. Svarar ej på enklaste form
-1p
6. Svarar med x-värden istället för punkter
-1p
Svarar med funktionsvärden istället för punkter
-1p
Bestämmer ej punkternas karaktär / felaktig bestämning av punkternas karaktär -1p/gång
[Detta innebär ju rent konkret att det felaktiga resonemanget
” f ' ' (0)  0  Terrasspun kt ” ger
-1p]
7a. Rätt eller fel
7b. Rätt eller fel
7c. Rätt eller fel
8. Förkastar ej negativa lösningen
Svarar bara med en av sidorna
Använder sinussats utan att ta fram/kommentera två lösningar på vinkel
-1p
-1p
-1p
9. Enklare trigonometriskt fel
Får ej med vinkeln x  180   26,1 eller missar att förkasta den vinkeln
-1p
-1p
10. Svarar bara med ett av de sökta värdena
Svarar med avrundat värde/värden
-1p
-1p
11. Korrekt uppställd optimalfunktion i en variabel
Påvisar/verifierar ej maximum
+1p
-1p