Ma1 TENB 170112

TENTAMEN
Kursnummer:
Moment:
Program:
Rättande lärare:
Examinator:
Datum:
Tid:
Hjälpmedel:
HF0021
Matematik för basår I
TENB
Tekniskt basår
Niclas Hjelm, Sara Sebelius & Håkan
Strömberg
Niclas Hjelm
2017-01-12
08:00-12:00
Formelsamling: ISBN 978-91-27-72279-8
eller ISBN 978-91-27-42245-2 (utan
anteckningar). Inga andra
formelsamlingar är tillåtna!
Miniräknare, penna, radergummi, linjal,
gradskiva
Omfattning och
betygsgränser:
Poäng
11
12 – 14
15 – 17
18 – 20
21 – 23
24 – 26
Betyg
Fx
E
D
C
B
A
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga
lösningar. Lösningarna skall vara tydliga
och lätta att följa.
Införda beteckningar skall definieras.
Uppställda samband skall motiveras.
Skriv helst med blyertspenna!
Lycka till!
Är du godkänd på KS3 hoppar du över uppgift 1-4
1. Bestäm f ' ( x) med hjälp av derivatans definition om
2. Lös ekvationen 2 ln
f ( x)  5 x 2
1
 ln 2  2 ln 4
x
3. Lös ekvationen 5 x  6  2 3 x
(2p)
(2p)
(2p)
4. En kladdkaka stoppas in i en ugn för att gräddas. Temperaturen stiger enligt
y(t )  180  C  a t
där y är kakans temperatur i ˚C och t är den tid i minuter den stått i ugnen.
När kakan stoppas in i ugnen har den temperaturen 21,0 ˚C och
efter 11,0 minuter har den temperaturen 163 ˚C. Bestäm konstanterna C och a.
Ange konstanterna med 3 värdesiffror.
(2p)
Dessa uppgifter gör alla
5. En cirkel har medelpunkten (-2 ; -4). En punkt på cirkelperiferin är (2 ; -1).
Bestäm var cirkeln skär x-axeln.

2 
6.a) Beräkna f ' (2) om funktionen ges av f ( x)  3x 2  4 

x

1
6.b) Bestäm derivatan y ' ( x) av funktionen y ( x)  5e 2 x  x
e
7. I en likbent triangel är vinkeln mellan de två lika långa sidorna 98,0 ⁰ och
arean av triangeln 37,8 cm2. Bestäm triangelns sidlängder.
(2p)
(2p)
(1p)
(2p)
8. Funktionen f ( x)  a  x 2 är given. En linje går genom origo samt genom minst en punkt på
denna funktions graf. Bestäm för vilka värden på a som det är möjligt att denna linje har lutningen
lika med 1.
(2p)
9. Bestäm eventuella min- max och terrasspunkter till funktionen
f ( x)  3  x 3  x .
(3p)
1(2)
10. Ett 128 m långt stängsel används för att inhägna
en hage enligt figuren. Den längsta sidan begränsas
av en stallvägg. Beräkna avståndet mellan
stallväggen och den sida av stängslet som är parallell
med stallväggen, så att hagen får maximal area.
De spetsiga vinklarna i hagen måste båda vara 45,0⁰.
(3p)
45,0˚
STALL
HAGE
45,0˚
11. Funktionen f ( x)  e  x har en tangent som bildar vinkeln 22,0⁰ med x-axeln. Bestäm
tangentens ekvation.
Ange koefficienterna med 3 värdesiffror. (3p)
2(2)
LÖSNINGSFÖRSLAG
1. f ( x)  5 x 2
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
5(𝑥 + ℎ)2 − 5𝑥 2
𝑓´(𝑥) = lim
= lim
=
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
5𝑥 2 + 10𝑥ℎ + 5ℎ2 − 5𝑥 2
10𝑥ℎ + 5ℎ2
= lim
= lim
=
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
= lim (10𝑥 + 5ℎ) = 10𝑥 + 0 = 10𝑥
Svar: f ' ( x)  10 x
ℎ→0
2. Definitionsmängd: x  0
2
1
1
2 ln  ln 2  2 ln 4  ln    ln 2  ln 4 2
x
 x
1 1


 x2  8
2
8
x
 ln
1
2
 ln
2
16
x
Detta ger x  8 samt x   8 som är en falsk lösning då x  0 .
Svar: x  8
3.
5x
5  62

 6  5 x  2 3 x  6  5 x  (2 3 ) x  6  5 x  8 x  6
3 x
2
ln 6
 (5  8) x  6  40 x  6  ln( 40 x )  ln 6  x ln 40  ln 6  x 
ln 40
x
3 x
Alternativ :
5 x  6  2 3 x
 lg 5 x  lg( 6  2 3 x )  lg 5 x  lg 6  lg 2 3 x
 x lg 5  x  3 lg 2  lg 6  x(lg 5  3 lg 2)  lg 6  x 
Svar: x 
 x lg 5  lg 6  x  3 lg 2
lg 6
lg 5  3 lg 2
ln 6
ln 40
4. y(t )  180  C  a t och punkterna (0; 21) samt (11; 163) ger oss
0

21  180  C  a

11

163  180  C  a
(i )
(ii )
(i): 21  180  C 1 => C  159 (iii)
1
(ii) och (iii): 163  180  159  a
11
 17  11
=> 159  a  17 => a  
  0,81607...  0,816
 159 
11
Svar: C=159 och a=0,816
5. Cirkelns radie fås enligt följande:
r  (2  (2)) 2  (1  (4))  4 2  3 2  25  5
3(2)
Cirkeln ekvation blir: ( x  (2)) 2  ( y  (4)) 2  5 2
Cirkeln skär x-axeln då y=0, vilket ger ekvationen:
( x  2) 2  (0  4) 2  25
x  2,02
9
x  2,0   9
x1  3  2
och x2  3  2
x1  1 och x2  5
Svar: Cirkeln skär x-axeln i punkterna (1 ; 0) och (-5 ;0)

2 
6a) f ( x)  3x 2  4 

x

 12 x 2 
6x 2
x
 12 x 2  6 x
2
1
2
3
 12 x 2  6 x 2
1
3
f ' ( x)  12  2 x  6   x 2  24 x  9 x
2
f ' (4)  24  4  9 4  96  18  78
Svar: f ' (4)  78
6b) y ( x)  5  e 2 x 
1
 5  e 2x  e x
ex
y' ( x)  5  e2 x  2  e x  (1)  10  e2 x  e x
Svar: y' ( x)  10  e2 x  e x
7. Areasatsen ger:
x  x  sin 98,0
2  37,8
2  37,8
 37,8  x 2 
x
 x  8,737 cm då x  0
2
sin 98,0
sin 98,0
Den vänstra rätvinkliga triangeln ger:
98,0 b / 2
sin

 b  2 x  sin 49,0  2  8,737  sin 49,0  13,188 cm
2
x
Svar: Två av sidorna är 8,74 cm, en sida är 13,2 cm
x
98,0˚
x
b
8. En punkt på grafen har de allmänna koordinaterna ( x, a  x 2 ) .
Linjens lutning kan då uttryckas på följande sätt och sättas lika med 1:
4(2)
k
y a  x 2  0

 1  a  x2  x  x2  x  a  0
x
x0
2
1
1
Denna andragradsekvation har lösningarna: x      a
2
2
2
1
1
Ekvationen har minst en lösning om    a  0 d.v.s a  .
4
2
Svar: a 
1
4
Alternativ: Linjens ekvation fås direkt av den givna informationen y L  x
Skärningspunkter mellan linje och funktionen söks med ekvationen
y L ( x)  f ( x)
x  a  x 2 vilket är samma andragradsekvation som ovan.
9. f ( x)  3  x 3  x
f ' ( x)  9  x 2  1
f '' ( x)  18  x
Eventuella extrempunkter undersöks:
f ' ( x)  0  9  x 2  1  0 
x2 
1
9

x
1
3
Extrempunktens karaktär undersöks och deras y-koordinat bestäms:
1
1
1
f ''    18   0 d.v.s funktionen har ett lokalt minimum för x  .
3
3
3
3
2
1
1 1
f    3    
9
 3
 3 3
1
1
 1
f ''     18   0 d.v.s funktionen har ett lokalt maximum för x   .
3
3
 3
3
 1
 1  1 2
f    3     
 3
 3  3 9
2
1
Svar: Lokalt minimum i punkten  ,   . Lokalt maximum i punkten
3 9
 1 2
 , .
 3 9
5(2)
10. Area 
1
1
x  x  b  x  x  x  x 2  bx
2
2
l
(1)
l  l  b  128  b  128  2l
(2)
l 2  x 2  x 2  l 2  2x 2  l  2  x , x  0
(3)
45,0˚
x
(2) och (3) ger b  128  2 2  x
vilket insättes i samband (1) samt ger att definitionsmängden är
128
0 x
2 2
x
b
b
Area( x)  x 2  bx  x 2  (128  2 2 x) x  (1  2 2 ) x 2  128 x
x
Area ' ( x)  (1  2 2 )2 x  128
Area' ( x)  0  (1  2 2 )  2 x  128  0  x 
 128
24 2
45,0˚
l
Eventuella extrempunkter undersöks

128
4 2 2
 35,00...
Extrempunktens karaktär undersöks:
Area ' ' ( x)  (1  2 2 )2


Area ' ' (35,00...)  1  2 2 2  0 => lokalt maximum
Svar: Avståndet ska vara 35,0 meter
11.
Tangenten: Att tangenten bildar vinkeln 22,0⁰ med x-axeln innebär att k pos 
y
 tan 22,0 eller
x
k neg   tan 22,0 (lika stor lutning men negativ)
Kurvan: f ( x)  e  x => f ' ( x)  e  x
Vi noterar att f ’(x)<0 !
Tangeringspunkten: Antag att koordinaterna är xp och yp .
Kurvan och tangenten har samma (negativa) lutning i tangeringspunkten.
f ' ( x p )  k neg
e
e
xp
xp
  tan 22,0
 tan 22,0
 x p  ln  tan 22,0
x p   ln  tan 22,0  0,9062...
y p  f ( x p )  e lntan 22,0   tan 22,0  0,4040...
Tangenten: Enpunktsformeln y  y p  k  ( x  x p ) ger nu
y  tan 22,0   tan( 22,0)x   ln tan 22,0
y   tan 22  x  tan( 22,0) ln tan 22,0  tan( 22,0)
y  0,40402...x  0,7701...
Svar: y  0,404 x  0,770
6(2)
Preliminär Rättningsmall:
Generella riktlinjer för tentamensrättning
Varje beräkningsfel
(Därefter fortsatt rättning enligt nya förutsättningar)
Beräkningsfel; allvarliga och/eller leder till förenkling
Prövning istället för generell metod
Felaktiga antaganden/ansatser
-1 poäng
-2 poäng eller mer
- samtliga poäng
- samtliga poäng
Lösning svår att följa och/eller Svaret framgår inte tydligt
Matematiska symboler används felaktigt/saknas
Bl.a Om ’=’ saknas (t.ex. ’=>’ används istället)
Om ’=’ används felaktigt (t.ex. istället för ’=>’)
-1 poäng eller mer
-1poäng eller mer
-1 poäng/tenta
-1 poäng/tenta
Teoretiska uppgifter:
Avrundat svar
-1 poäng/tenta
Tillämpade uppgifter:
Enhet saknas/fel
Avrundningar i delberäkningar som ger fel svar
Svar med felaktigt antal värdesiffror ( ±1 värdesiffra ok)
Andra avrundningsfel
-1 poäng/tenta
-1 poäng/tenta
-1 poäng/tenta
-1 poäng/tenta
1. Använder ej derivatans definition (använder enbart deriveringsregeler)
f(x+h)−f(x)
f´(x) = lim
framgår ej
-2p
-1p
Något smärre formellt fel
-1p
2. Felaktig användning av logaritmlag
Falsk lösning i svaret eller ej godtagbar motivering vid förkastandet.
-2p
-1p
3. Felaktig användning av logaritmlag
Hittat korrekt lösning men felaktig eller ofullständig förenkling
-2p
-1p
4. Antar att C=21 ˚C
Korrekt uppställt ekvationssystem, därefter fel
-2p
-1p
5. Hittar bara en skärningspunkt
Anger enbart x-koordinater i svaret
-1p
OK
h→0
h
6a. –
6b. 7. En sida korrekt beräknad, därefter fel
Gradtecken saknas för vinklar mer än en gång
-1p
-1p
2
1
1
8. Hittat att x      a
2
2
+1p
9. Extrempunkternas karaktär ej bestämd
Svarar enbart med x-koordinater
-1p
-1p
10. Bestämt Arean som funktion av en variabel
Definitionsmängd saknas, felaktig eller ofullständig
+1p
-1p
7(2)
Visar inte att det är maximum på godtagbart sätt
-1p
11. Hittat k   tan 22,0 samt förkastat negativ lutning
+1p
8(2)