Endimensionell analys (FMAA05)
Anders Källén
Föreläsning 5
Innehåll: Trigonometriska funktioner
Kapitel 8.4, T.3-T.4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Definition av de trigonometriska funktionerna
Satser om trianglar
Additionsformlerna
De viktiga formlerna för halv och dubbla vinkeln
Hjälpvinkelsatsen
Att stämma ett piano
Epilog: komplex exponentialfunktion
bc sin α
2
Bevis: beräkna höjden med hjälp av sinusfunktionen
sin α
sin β
sin γ
Sinussatsen:
=
=
a
b
c
Bevis: areasatsen! (alt: dra höjder)
Cosinussatsen: a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
Bevis: Pythagoras sats 2 gånger + lite algebra
Areasatsen: Arean =
Exempel Herons formel säger att triangelns area också kan beräknas
genom formeln
Efter dagens föreläsning måste du kunna
- de trigonometriska funktionerna och deras grundläggande egenskaper
- formulera och bevisa sinus- och cosinussatserna
- additionsformlerna för de trigonometriska funktionerna
- Kunna (!!) formlerna för dubbla och halva vinkeln
Definition av de trigonometriska funktionerna
A=
q
p( p − a)( p − b)( p − c),
a+b+c
.
2
Denna härleds ur areasatsen och cosinussatsen men det krävs lite räknande!
Additionsformler för cosinus och sinus
Betrakta triangeln nedan:
a
y
x
tan x
sin x
p=
b
1
x
cos x
Areasatsen ger
Anmärkning Tangens är inte definierad för ±π/2 och är π-periodisk
istället för 2π-periodisk som sinus och cosinus är.
Anmärkning Om en linje lutar α (radianer) relativt x-axlen, så är dess
riktningskoefficient tan α.
Anmärkning Röd triangel ≤ cirkelsektor ≤ Rätvinklig triangel (areor)
⇒
x
1
sin x
1
sin x ≤ ≤ tan x ⇔ cos x ≤
≤ 1.
2
2
2
x
Relevant då | x | är litet. Medför att
ab sin( x + y)
a sin x b sin y
=
+
2
2
2
⇔
sin( x + y) =
1
1
sin x + sin y.
b
a
Men
a = 1/ cos x,
b = 1/ cos y,
varför det följer att
sin( x + y) = sin x cos y + sin y cos x.
Anmärkning Se beviset som en minnesregel! Förutsättningen för beviset (men inte formeln) är att 0 < x, y < π2 . Hur visar vi att
sin( x − y) = sin x cos y − sin y cos x
sin x
→ 0 då x → 0.
x
Samband mellan de trigonometriska funktionerna
geometriskt om 0 < x <
bevis finns i boken.
Självklara samband direkt ur definitionen ovan (VV-fall för triangel)
Byter vi x mot
1. cos2 x + sin2 x = 1,
sin x
2. tan x =
,
cos x
1
3. 1 + tan2 x =
,
cos2 x
4. cos( π2 − x ) = sin x och sin( π2 − x ) = cos x
5. cos( π2 + x ) = − sin x men sin( π2 + x ) = cos x
π
2
π
2 ,0
< y < x? (Jfr cosinussatsen.) Ett annat
− x och y mot −y följer att
cos( x + y) = cos x cos y − sin x sin y.
Ur detta får vi sedan
tan( x + y) =
tan x + tan y
.
1 − tan x tan y
De viktiga formlerna för halva och dubbla vinkeln
Satser om trianglar
Sätter vi y = x får vi två mycket viktiga formler:
c
a
β
(
sin 2x = 2 cos x sin x
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x.
γ
α
b
Här har vi också använt den trigonometriska ettan i de två sista likheterna. Dessa formler måste sitta i ryggmärgen!
Ur formeln för cosinus av dubbla vinkeln får man också
2 cos2 x = 1 + cos 2x,
2 sin2 x = 1 − cos 2x,
och byter vi här x mot x/2 får vi de lika viktiga formlerna för halva
vinkeln:
cos2 x = 1 + cos x
2
2
1 − cos x
sin2 x =
.
2
2
Även de måste sitta i ryggmärgen!
Exempel Beräkna sin
(Figuren adderar 12 och 13 Hz.)
Epilog: komplex exponentialfunktion
Denna diskussion tillhör egentligen B2-kursen.
Punkter i planet kan också uppfattas som komplexa tal. Komplexa
tal innebär att man definierar ett sätt att multiplicera talpar ( x, y):
( x, y) ↔ z = x + iy. Multipliceras med räkneregeln i2 = −1.
Man inför eiθ som det komplexa tal som uppkommer om man roterar
1 θ radianer moturs:
π
8.
Hjälpvinkelsatsen
eiθ
sin θ
Adderar man två svängningar med samma frekvens får man en ny,
fasförskjuten, sådan:
θ
cos θ
a sin x + b cos x = A(cos φ sin x + sin φ cos x ) = A sin( x + φ),
√
där A = a2 + b2 och vinkeln φ är vald så att (rita figur!)
cos φ =
a
,
A
sin φ =
b
.
A
Klart att
eiθ = cos θ + i sin θ.
Exempel
Hur stor är amplituden och försförskjutningen av cos x +
√
3 sin x?
Att stämma ett piano
Adderar vi formlerna
En rotation θ följt av en annan rotation ω ger en total rotation på θ + ω,
så
ei(θ +ω ) = eiω eiθ
Denna formel är ekvivalent med additionsformlerna ovan för sin x
och cos x! Visa det!!
sin( x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y.
Om z = x + iy istället ligger på cirkeln med radien r kan vi skriva
får vi att
x + iy = reiθ .
sin( x + y) + sin( x − y) = 2 sin x cos y.
Skriv nu
(
(
x+y = α
⇔
x−y = β
x=
y=
Kallas polär form av komplexa tal, men används också annars på formen
( x, y) = (r cos θ, r sin θ ).
α+ β
2
α− β
2
så får vi formeln
Notera att r =
sin α + sin β = 2 cos
Ett mycket viktigare tillämpningsområde för de trigonometriska
funktionerna än trianglar är att de beskriver rena svängningar, t.ex.
ljud. Funktionen sin ωt beskriver en sådan svängning som får en frekvens f som ges av ω = 2π f (varför?).
Exempel Slå ner tangenten för A (440 Hz) och för B (497 Hz) samtidigt på ett piano. Frekvensen f genererar en svängning cos(2π f t),
och det vi hör är summan av dessa (sätt deras amplitud till ett):
57
937
t) sin(2π
t ).
2
2
Andra faktorn ger tonen 468.5 Hz medan faktorn 2 cos(57πt) fungerar
som en tidsbeorende amplitud (svävning). Detta fenomen används
till att stämma stränginstrument (skruva tills svävningen försvinner).
2
y
1
t
0.5
−1
−2
1
1.5
2
2.5
x2 + y2 och x är vinkeln ovan.
Det kan vara värt att repetera lite komplexa tal redan nu, även om
det tillhör andra delkursen, eftersom “många reella upptäckter går
genom det komplexa”.
α−β
α+β
sin
2
2
sin(2π440t) + sin(2π497t) = 2 cos(2π
p
3
