Magisterkurs för lärare, MAD 790
Matematik med didaktisk inriktning, 40 poäng
Gymnasieelevers förståelse av
enhetscirkeln och trigonometri
-en undersökning av elevers förståelse av matematiska begrepp, samt vad
lärarna anser att nyblivna matematikstudenter bör kunna när de kommer till
högskola eller universitet.
Magisterarbete, 20 poäng
Framlagt vid Matematiska och systemtekniska institutionen, Växjö universitet
November 2002
Författare: Erika Stadler
Handledare: Håkan Sollervall & Inger Wistedt
Abstract
Abstract
The aim of my study is to investigate how last year students in upper secondary school
understand certain mathematical concepts, in particular the unit circle and its trigonometry.
I have used intentional analysis to interpret student’s actions when they solve certain tasks on
the basis of a cognitive, situated and cultural context.
Interviews with four university teachers in mathematics about the unit circle, trigonometry,
and mathematical understanding, serve both as background for the study and as basis for a
discussion, where I relate students understanding to what the teachers want new students to
know about these concepts when they begin university studies in mathematics.
The students were arranged in three groups with three students in each group. Each group was
presented with two tasks, one in which they were asked to calculate the cosine values for one
pointed, one blunt and one straight angle, each located in a separate triangle. They were also
asked to decide whether the points (0,71; 0,71) and ( 1 2 , 3 2 ) are located on the unit circle
or not.
My conclusion is that students mainly have an operational conception of the unit circle and
trigonometry. The lack of structural conceptions result in difficulties in seeing connections
between the concepts in unfamiliar situations. The students search for known strategies and
algorithms to solve the tasks. They know that the unit circle is a circle with radius 1 and
center at the origin. They are also familiar with related concepts. One student group shows
deep formal understanding, which is what the university teachers would like the students to
have. The other groups have difficulties separating different concepts and to use the
mathematical language properly.
Further research could include a socio-cultural study with the same empirical material. It
would also be interesting to study how the language and the graphical calculator influence
student’s understanding of mathematical concepts.
Sammanfattning
Sammanfattning
Syftet med min studie är att undersöka gymnasieelevers förståelse av matematiska begrepp,
samt i vilken utsträckning deras förståelse motsvarar vad högskolelärare anser att studenter
bör kunna när de kommer till högskola eller universitet. Bakgrunden till min studie utgörs
delvis av intervjuer med fyra universitetslektorer om enhetscirkeln, trigonometri och
matematisk förståelse.
Undersökningen bestod i att tre grupper med tre elever i varje grupp fick bestämma cosinusvärdet i trianglar för en spetsig, en trubbig och en rät vinkel, samt om punkterna (0,71; 0,71)
och ( 1 2 , 3 2 ) låg på enhetscirkeln. Med hjälp av intentionell analys har jag försökt tolka
elevernas intentioner med vad de säger och gör när de löser uppgifterna utifrån en kognitiv,
situerad och kulturell kontext.
Min slutsats är att elevernas konception av enhetscirkeln och trigonometri främst är av
operationell karaktär. Eleverna har svårt för att se helheter och samband, samt att kunna
använda sin befintliga kunskap i ett nytt sammanhang. Eleverna är fokuserade på
matematikens algoritmiska aspekt, vilken utgörs av de tekniker och standardiserade strategier
som kan användas när man löser en viss typ av uppgifter i matematik. Eleverna är bekanta
med enhetscirkelns syntetiska definition, samt de flesta begrepp som är nära förknippade med
enhetscirkeln. En grupp visar prov på den djupa formella förståelse som lärarna efterlyser,
medan de andra grupperna har svårigheter med att hålla isär olika begrepp och att använda det
matematiska språket på ett korrekt sätt.
Det finns möjlighet att göra en sociokulturell studie baserad på samma empiriska material.
Jag anser även att det vore intressant att göra djupare studier av hur språket och miniräknaren
påverkar elevers matematiska begreppsuppfattning.
Innehåll
Innehåll
1. INLEDNING .................................................................................................................... 1
2. BAKGRUND.................................................................................................................... 2
2.1 TRIGONOMETRI I GYMNASIESKOLAN .............................................................................. 2
2.2 LÄRARINTERVJUER ....................................................................................................... 5
2.2.1 Intervjufrågor........................................................................................................ 5
2.2.2 Deltagande lärare ................................................................................................. 5
2.2.3 Bearbetning av intervjuer ...................................................................................... 5
2.3 RESULTAT AV LÄRARINTERVJUERNA ............................................................................. 5
2.3.1 Definition av enhetscirkeln .................................................................................... 6
2.3.2 Enhetscirkeln i ett matematiskt sammanhang......................................................... 6
2.3.3 Skillnader och likheter mellan gymnasieskolans matematikundervisning och
matematikstudier på högskola och universitet ................................................................ 6
2.3.4 Nybörjarstudenters förkunskaper om enhetscirkeln ............................................... 7
2.3.5 Att förstå matematik .............................................................................................. 8
2.3.6 Miniräknaren ........................................................................................................ 8
2.3.7 Uppgiftskonstruktion ............................................................................................. 8
2.4 SAMMANFATTNING ....................................................................................................... 9
3. TEORETISKA ÖVERVÄGANDEN ............................................................................ 11
3.1 LÄRANDE OCH FÖRSTÅELSE......................................................................................... 11
3.2 VAD STYR INDIVIDERS MATEMATISKA BETEENDE? ....................................................... 12
3.3 INSTRUMENTELL INLÄRNING OCH RELATIONELL FÖRSTÅELSE ....................................... 14
3.4 STRUKTURELL OCH OPERATIONELL KONCEPTION ......................................................... 14
3.5 MINIRÄKNAREN OCH MATEMATISK FÖRSTÅELSE .......................................................... 15
4. SYFTE............................................................................................................................ 16
4.1 FRÅGESTÄLLNINGAR ................................................................................................... 16
5. METOD OCH GENOMFÖRANDE ............................................................................. 17
5.1 VAL AV METOD ........................................................................................................... 17
5.2 DELTAGANDE ELEVER ................................................................................................. 17
5.3 ELEVINSTRUKTIONER .................................................................................................. 18
5.4 TRIANGELUPPGIFTEN .................................................................................................. 18
5.5 PUNKTUPPGIFTEN ....................................................................................................... 19
5.6 INSAMLING OCH BEARBETNING AV DATA ..................................................................... 19
5.7 VAL AV ANALYSREDSKAP ........................................................................................... 19
6. RESULTAT ................................................................................................................... 21
6.1 ELEVERNA .................................................................................................................. 21
6.2 TRIANGELUPPGIFTEN .................................................................................................. 21
6.2.1 Hur flickgruppen löser triangeluppgiften............................................................. 21
6.2.2 Hur pojkgruppen löser triangeluppgiften............................................................. 23
6.2.3 Hur blandgruppen löser triangeluppgiften........................................................... 24
6.3 PUNKTUPPGIFTEN ....................................................................................................... 27
6.3.1 Hur flickgruppen löser punktuppgiften ................................................................ 27
6.3.2 Hur pojkgruppen löser punktuppgiften ................................................................ 28
6.3.3 Hur blandgruppen löser punktuppgiften .............................................................. 29
Innehåll
7. ANALYS ........................................................................................................................ 32
7.1 ANALYS AV HUR ELEVERNA LÖSER TRIANGELUPPGIFTEN, DEL A .................................. 32
7.2 ANALYS AV HUR ELEVERNA LÖSER TRIANGELUPPGIFTEN, DEL B .................................. 33
7.3 ANALYS AV HUR ELEVERNA LÖSER TRIANGELUPPGIFTEN, DEL C .................................. 33
7.4 ANALYS AV HUR ELEVERNA LÖSER PUNKTUPPGIFTEN ................................................... 34
7.5 DEN KOGNITIVA KONTEXTEN....................................................................................... 35
7.5.1 cos 0 = 90 ........................................................................................................... 35
7.5.2 Miniräknarens inflytande över begreppsuppfattningen ........................................ 36
7.5.3 Cosinus som en etikett ......................................................................................... 36
7.5.4 Är enhetscirkeln en ring eller en platta? .............................................................. 37
7.6 DEN SITUERADE KONTEXTEN ....................................................................................... 38
7.7 DEN KULTURELLA KONTEXTEN.................................................................................... 39
7.8 SAMMANFATTNING ..................................................................................................... 40
8. LÄRARNA OCH ELEVERNA – EN AVSTÄMNING ................................................ 42
9. DISKUSSION ................................................................................................................ 45
9.1 FELKÄLLOR OCH METODKRITIK ................................................................................... 46
9.2 FÖRSLAG TILL FORTSATT FORSKNING .......................................................................... 47
REFERENSER .................................................................................................................. 49
Bilagor 1-6
1. Inledning
1. Inledning
Det matematiska begrepp som ur ett lärande- och undervisningsperspektiv fascinerat mig mest
är enhetscirkeln. Från min egen gymnasietid har jag starka minnen av att jag aldrig förstod
hur sinus- och cosinusvärden för olika vinklar helt plötsligt kunde hamna i en cirkel. Idag, när
jag som yrkesverksam gymnasielärare själv har fått tillfälle att undervisa elever om enhetscirkeln, framstår dess koncept som genialt. Någonstans under resans gång har jag alltså själv
erhållit den förståelse av enhetscirkeln som jag aldrig uppnådde under min gymnasietid.
Trigonometri är ett centralt område inom matematiken. För de elever som skall läsa
matematik på universitets- och högskolenivå är det viktigt att få en god förståelse för
trigonometrin redan under gymnasietiden. Trigonometrin är exempelvis ett värdefullt
hjälpmedel inom den analytiska geometrin. Inom funktionsläran beskrivs många viktiga
periodiska förlopp med hjälp av trigonometriska funktioner. Enhetscirkeln kan bidra till att
öka elevernas förståelse av olika trigonometriska samband och utgör en brygga från
geometriska tillämpningar till periodiska förlopp.
Gymnasieelevers förståelse av enhetscirkeln präglas naturligtvis av hur lärare och läromedel
behandlar begreppet. Hur elever använder enhetscirkeln beror i stor utsträckning på vilka
undervisningsaktiviteter som sker i klassrummet. Alla nyblivna högskolestudenter har med sig
tidigare kunskaper i matematik från gymnasiet. Hur väl motsvarar dessa kunskaper det som
högskole- och universitetslärare vill att eleverna skall kunna? Många undersökningar visar att
elevernas förkunskaper i matematik generellt blir allt sämre (Högskoleverket, 2002). Finns det
brister även när det gäller gymnasieelevers förståelse av och kunskap om enhetscirkeln?
Dessa frågor och mina tidigare erfarenheter har resulterat i att jag i min uppsats vill undersöka
gymnasieelevers förståelse av enhetscirkeln och trigonometri, samt i vilken utsträckning deras
förståelse motsvarar vad högskolelärare anser att studenterna bör kunna när de kommer till
högskolan.
1
2. Bakgrund
2. Bakgrund
För att få en bild av hur enhetscirkeln och trigonometrin behandlas i gymnasieskolan ger jag
en översiktlig beskrivning av hur de vanligast förekommande läromedlen hanterar enhetscirkeln och trigonometri. Genom intervjuer med fyra högskole- och universitetslärare försöker
jag fånga deras syn på enhetscirkeln och dess trigonometri, men även hur de upplever att
matematikstudier i gymnasieskolan och på universitetsnivå kan skilja sig åt.
2.1 Trigonometri i gymnasieskolan
Medan andra ämnen, t ex svenska, samhällskunskap och religion, på ett naturligt sätt finns i
många gymnasieelevers vardag är matematik något de främst stöter på i skolsammanhang.
Elevernas kunskap om och förståelse för ämnet utvecklas i samband med gymnasieskolans
undervisning. Här följer därför en sammanfattning av hur trigonometri, enhetscirkeln och
periodiska funktioner behandlas i gymnasiekursen. Formler och samband som tas upp har
sammanställts i bilaga 1. För en utförligare behandling av den matematiska teorin hänvisas till
läroböcker i ämnet.
Trigonometri är ett grekiskt ord som betyder ”triangelmätning”. En annan beskrivning av
trigonometrin är att:
”Det är konsten att mäta trianglar, konsten att i en triangel efter behag gå över
från mätetalen för vinklarna till (förhållandet mellan) mätetalen för sidorna eller
omvänt och att, om man känner vissa av dessa, bestämma de andra.”
(Ur ”Matematikens gryning” av Émile Noël 2001, sid 107)
Till och med läsåret 1999/2000 ingick avsnittet ”Trigonometri i rätvinkliga trianglar” i
gymnasieskolans A-kurs i matematik.
Efter genomgången kurs skall eleven i geometri och trigonometri kunna använda
begreppen sinus och cosinus för att lösa enklare problem.
(Ur: Skolverkets kursplan för Ma 200 – Matematik A, 99/00, 2002a.
http://www3.skolverket.se/ki/SV/9900/sf/21/ol/index.html)
I läroböcker introduceras trigonometrin gärna med exempel på olika mätsituationer från
lantmäteri och astronomi för att skapa intresse och motivation hos eleverna (Ahlqvist,
Andersson, Nilsson, Olsson, Persson, Rodhe, Sollervall, Spjuth & Stridh, 1999; Axelsson,
Bratt, Jakobsson, Jakobsson, Nilson & Sikö, 1996; Björk, Borg & Brolin, 1995; Björup,
Oscarsson, Rosén, Sandhall, Selander & Söderström, 1994; Jacobsson, Wallin & Wiklund,
1994). Innan eleverna möter trigonometrin har de lärt sig att beräkna längden av olika sidor i
en rätvinklig triangel med hjälp av Pythagoras sats. Den säger dock inget om hur man
beräknar vinklarnas storlek om man känner längden på sidorna. Det är här trigonometrin
kommer in. Med hjälp av två likformiga trianglar visas att storleken på vinkeln v endast beror
på förhållandet mellan två sidor i en rätvinklig triangel. I en rätvinklig triangel kan två sidor
bilda sex olika kvoter. Tre av dessa har fått namnen tangens, sinus och cosinus (Björk &
Brolin, 1999).
För att eleverna skall lära sig de trigonometriska sambanden i rätvinkliga trianglar har
läromedelsförfattarna konstruerat många olika varianter på uppgifter. Eleverna skall
bestämma längden på en sida, då en vinkel och en sida är kända. Att bestämma sin v och cos v
2
2. Bakgrund
i en triangel där samtliga sidor är givna innebär att ställa upp och beräkna kvoter mellan
respektive sidor. Eleverna får även lära sig att med hjälp av inversa trigonometriska
funktioner beräkna vinklars storlek.
D-kursen i matematik läser de flesta elever i åk 2 eller åk 3. Det är först då som eleverna
kommer i kontakt med trigonometri i godtyckliga trianglar, trigonometriska funktioner och
enhetscirkeln. I kursplanen står det att:
−
−
−
−
Eleven skall kunna
använda enhetscirkeln för att definiera trigonometriska begrepp, visa
trigonometriska samband och ge fullständiga lösningar till enkla trigonometriska
ekvationer samt kunna utnyttja dessa vid problemlösning.
kunna rita grafer till trigonometriska funktioner samt använda dessa funktioner som
modeller för verkliga periodiska förlopp
kunna härleda och använda de formler som behövs för att omforma enkla
trigonometriska uttryck och lösa trigonometriska ekvationer
kunna beräkna sidor och vinklar i en godtycklig triangel
(Ur: Skolverkets kursplan för Ma 1204 – Matematik D, 01/02, 2002b.
http://www3.skolverket.se/ki/SV/0102/sf/21/ol/index.html.)
I rätvinkliga trianglar är de trigonometriska uttrycken endast definierade för spetsiga vinklar,
dvs vinklar i intervallet 0° till 90°. I läromedel för matematik D introduceras enhetscirkeln.
Syftet är i ett inledande skede att definiera de trigonometriska uttrycken för vinklar i
intervallet 0° ≤ v ≤ 180° så att man kan arbeta med trianglar med godtyckliga vinklar
(Axelsson et al, 1996, Björk et al, 1995; Björup et al, 1994; Jakobsson et al, 1994).
Enhetscirkeln är en cirkel i ett koordinatsystem med
medelpunkt i origo och radien 1 le. En rätvinklig triangel
kan ritas in i enhetscirkeln (se figur 1). Hypotenusan i
triangeln blir då 1 le. Med hjälp av definitionerna för
sinus och cosinus i rätvinkliga trianglar visas att
cos v = x och sin v = y. x och y kan tolkas som
koordinater för punkten P. Denna tolkning av de
trigonometriska funktionerna gör det möjligt att
bestämma sinus- och cosinusvärdet för vilken vinkel
som helst. Sidor och vinklar kan nu beräknas för en
godtycklig triangel med hjälp av sinus- och
cosinussatsen.
Enhetscirkeln gör det möjligt att på ett lättöverskådligt
sätt illustrera och förklara olika trigonometriska samband,
exempelvis att sin ( v) = sin v och cos ( v) = cos v, sin (180° v) = sin v
och cos (180° v) = cos v, samt att cos v = sin (90° v) och sin v = cos (90° v).
Figur 1
En variant av Pythagoras sats är avståndsformeln som används för att härleda
”Trigonometriska ettan” (Björk et al, 1995; Ahlqvist et al, 1999). Sambandet kan användas
för att skriva om trigonometriska uttryck i olika former (Björk et al, 1995) men det kan också
användas för att beräkna cos v då sin v är känt och tvärt om (Ahlqvist et al, 1999).
3
2. Bakgrund
Trigonometri handlar inte bara om vinklar. Med hjälp av de trigonometriska funktionerna kan
man studera vissa periodiska förlopp. Det är förlopp som upprepas med en viss regelbundenhet. Ett exempel är sinusfunktionen. Dess graf kan konstrueras genom att resonera utifrån
enhetscirkeln (Ahlqvist et al, 1999). Vad händer med y-koordinaten när en punkt roterar
moturs i enhetscirkeln? Efter en genomgång av vinkelmåttet radianer konstrueras grafen för y
som en funktion av vinkeln v mätt i radianer. Då erhålls en sinuskurva (se figur 2).
Cosinuskurvan konstrueras på samma sätt, men då studeras istället x-koordinaten som en
funktion av vinkeln.
Figur 2
Ett annat sätt att introducera de trigonometriska funktionerna och deras grafer är att helt
enkelt konstatera att sinus och cosinus kan skrivas som funktioner, y = sin x och y = cos x,
ställa upp deras värdetabeller och sedan rita deras grafer. I graferna framgår det att kurvan
upprepas var 360:e grad eftersom sinus- och cosinusfunktionerna har perioden 360° (Björk et
al, 1995; Danielsson et al, 1995; Jacobsson et al, 1994).
Periodiciteten är även lätt att visa med enhetscirkeln. Eftersom ett varv motsvarar 360° på
enhetscirkeln är det uppenbart att punkten kommer att hamna på exakt samma ställe oavsett
hur många hela varv den roterar, och oavsett åt vilket håll rotationen sker.
4
2. Bakgrund
2.2 Lärarintervjuer
För att få en bild av vad högskole- och universitetslärare anser att studenterna bör eller måste
kunna om enhetscirkeln och dess trigonometri när de påbörjar postgymnasiala studier i
matematik intervjuade jag fyra matematiklektorer. Resultatet utgjorde även grunden för
utformingen av min elevundersökning som jag sedan genomförde. Avstånd och de
ekonomiska förutsättningarna avgränsade delvis mitt urval, men min ambition var ändå att
intervjua lärare från både stora och små lärosäten som erbjuder kurser i matematik.
Intervjuerna genomfördes som ett samtal utifrån ett antal frågor som redovisas nedan.
2.2.1 Intervjufrågor
Samtalen inleddes med en kortfattad beskrivning av syftet med min uppsats. Därefter följde
intervjun med följande teman:
1. Definition av vad enhetscirkeln är.
2. Placera in enhetscirkeln i ett matematiskt sammanhang.
3. Vilka likheter och skillnader finns mellan gymnasieskolans matematikundervisning och
högskolestudier i matematik?
4. Vad bör gymnasieeleverna förstå/kunna om enhetscirkeln när de börjar läsa matematik på
högskola/universitet?
5. Konstruera en uppgift som syftar till
a) Inlärning av enhetscirkeln
b) Diagnostisera om eleven har de förkunskaper om enhetscirkeln som är
önskvärda när de påbörjar universitetsstudier i matematik.
c) Att ge eleven en känsla för matematikämnet på universitetet där enhetscirkeln
utgör det matematiska innehållet.
2.2.2 Deltagande lärare
Anders kommer från ett medelstort universitet.
Mats arbetar på en större teknisk högskola.
Karl-Johan verkar vid en mindre högskola.
Christian finns på ett större universitet.
2.2.3 Bearbetning av intervjuer
Under intervjuerna förde jag noggranna anteckningar. Förutom samtalet med Anders har jag
spelat in intervjuerna på kassettband och gjort ordagranna transkriptioner. Anteckningar och
intervjumaterial har sedan lästs och sammanfattats. Under mötet med Christian inträffade ett
tekniskt missöde, vilket medförde att endast delar av intervjun spelades in på band. Resultatredovisningen av intervjun med Christian är därför främst baserade på mina intervjuanteckningar.
2.3 Resultat av lärarintervjuerna
För att läsaren skall få en så god överblick som möjligt återges intervjuerna i huvudsak utan
direkta citat, sorterade under respektive fråga. Under intervjuerna uppkom frågor om vad
matematisk förståelse är, samt tankar om miniräknarens roll i matematikundervisningen.
Detta har jag också valt att redovisa. Trots att lärarnas utsagor redovisas under respektive
namn är mitt intresse av intervjuresultaten främst riktade till lärarna som grupp snarare än
som enskilda personer.
5
2. Bakgrund
2.3.1 Definition av enhetscirkeln
Anders konstaterar att enhetscirkeln definieras som en cirkel med radien 1 le. och centrum i
origo. Mats väljer att dela upp definitionen av enhetscirkeln i två delar. Ovanstående
beskrivning menar han är att ge en syntetisk definition av enhetscirkeln, medan en analytisk
definition av enhetscirkeln ges med hjälp av dess ekvation x 2 + y 2 = 1 .
Karl-Johan anpassar framställningen av enhetscirkeln definition beroende på vilket
elevklientel han har. För en gymnasieklass skulle han rita upp ett koordinatsystem med en
cirkel med radien 1 le. och centrum i origo och helt enkelt konstatera att det är enhetscirkeln.
Högskolestudenterna skulle få se samma figur tillsammans med enhetscirkelns ekvation
x2 + y2 = 1.
Christians definition av enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 le. och centrum i origo. Han
anser dock inte att enhetscirkeln är ett matematiskt begrepp i egentlig mening, då syftet med
enhetscirkeln främst är att definiera och illustrera andra trigonometriska begrepp. Dessutom är
enhetscirkeln inte ett självständigt matematiskt begrepp då det förutsätter ett koordinatsystem.
2.3.2 Enhetscirkeln i ett matematiskt sammanhang
Karl-Johan säger att det främsta syftet med att lära elever enhetscirkeln är för att definiera de
trigonometriska funktionerna, som man har användning av då man vill mäta vinklar och
sträckor. Han framhåller även vinsten med att visa olika trigonometriska samband med hjälp
av enhetscirkeln samt att visa vad som händer med sinus- och cosinusvärdet för vinklar större
än 90°.
Christian menar att triangelmätning inte är en genuin tillämpning av enhetscirkeln då det kan
åstadkommas på andra sätt. Istället anser han att enhetscirkeln är ett viktigt steg på väg från
trigonometri i trianglar till mer generella trigonometriska funktioner som inte alls behöver ha
något med geometri att göra.
Anders påpekar att enhetscirkeln kan användas för att göra svåra problem enkla. När det
gäller periodicitet, rotation och att arbeta med två variabler utgör enhetscirkeln ett utmärkt
hjälpmedel för detta. Enhetscirkeln spelar även en nyckelroll när det gäller att definiera de
trigonometriska funktionerna.
Enligt Mats är matematikens styrka att den är generell och transfererbar. Därför är det viktigt
att förstå den abstrakta idén med enhetscirkeln. Då kan man sedan transferera den idén mellan
olika matematiska sammanhang, vilket utgör motsatsen till konkret och situerad kunskap som
bara kan tillämpas i ett speciellt sammanhang. Mats menar att om man håller på med
trigonometri i rätvinkliga trianglar blir det visserligen enkelt, men det innebär samtidigt att
man fråntar matematiken dess mest produktiva egenskaper, nämligen det abstrakta, generella
och transfererbara.
2.3.3 Skillnader och likheter mellan gymnasieskolans matematikundervisning och
matematikstudier på högskola och universitet
Anders menar att nyblivna högskolestudenter i matematik har två brister. Det ena är att
studenterna under gymnasietiden ej tillgodogjort sig det algebraiska språket. Att hantera
matematiska symboler i olika beräkningar är en förutsättning för att kunna föra mer
komplicerade matematiska resonemang. Det andra är att studenterna ej förstår deduktiva
bevis. För många är skillnaden mellan definitioner och satser samt mellan det specifika och
generella luddig. Anders exemplifierar detta genom att berätta att studenterna ofta nöjer sig
6
2. Bakgrund
med ett exempel, även när syftet är att förklara något generellt. För dem är ”tag x godtyckligt”
samma sak som ”tag x = 3”.
Karl-Johan instämmer med att många studenter idag har brister i grundläggande algebraiska
färdigheter, t ex att manipulera och skriva om olika uttryck. Det bidrar i sin tur till att elever
får svårare att förstå matematiska resonemang. Han tror att de flesta elever kan känna igen
skillnader mellan definitioner, satser, bevis och exempel, åtminstone i en diskussion, men är
tveksam till om de själva skulle klara av att ge en exakt förklaring av skillnaden.
När Christian jämför matematikundervisningen på gymnasiet och högskolan pekar han på en
skillnad i hur man använder språket. Även om studenterna känner igen många termer krävs en
annan förståelse av varje begrepps exakta innebörd. Christian har även märkt att studenterna
sällan ger sig tid till att läsa matematiska texter och ta del av de logiska resonemang som de
innehåller. Istället är studenterna fokuserade på att snabbt komma igång med att lösa
övningsuppgifter.
Både Karl-Johan och Christian upplever att matematikundervisningen på gymnasiet främst
inriktas mot inlärning av algoritmer. Undervisningen är mer räknemässig och tonvikten läggs
på mekaniskt drillande och ”steg-för-steg-instruktioner” där eleverna sällan ser helheten.
Läraren visar ett exempel. Ett liknande exempel finns med fullständig lösning i läroboken.
Dessa utgör en mall för eleverna. Resten av lektionen ägnar eleverna åt att räkna ett antal
exakt likadana exempel. På högskola och universitet syftar undervisningen i matematik främst
till förståelse. Det medför att undervisningen delvis har en annorlunda utformning, där
matematiska resonemang ges stort utrymme. Karl-Johan menar att detta paradigmskifte är
något som många studenter upplever som jobbigt. För att illustrera detta berättar han en
historia:
Jag kommer ihåg en gång då jag själv hade en tydlig upplevelse av detta. Jag hade en kurs i linjär
algebra och då skulle jag, väldigt pedagogiskt, ge exempel på ett begrepp vi skulle prata om. Jag vet
inte hur många exempel jag gav, men kanske fem stycken, innan jag definierade begreppet. Och så kom
det nya begreppet: ”Ja, då kallar vi det så här och så här” sa jag. ”Ja, men då vill vi ha exemplet!”
var det flera studenter som sa. ”Ja, men det var ju fem exempel. Ni har ju sett fem exempel.” ”Ja, men
vi vill ha exemplet!” För dom fanns ett exempel. Sedan var allting bara att härma det exemplet. Så
allting är alltså likadant, som någon färdig algoritm från början.
2.3.4 Nybörjarstudenters förkunskaper om enhetscirkeln
Karl-Johans erfarenhet är att de flesta gymnasieelever inte känner till hur de trigonometriska
funktionerna definieras med hjälp av enhetscirkeln. Det behöver dock inte innebära att lärarna
på gymnasiet ej har behandlat det, utan att eleverna helt enkelt har glömt bort det.
Christian säger att studenterna förutsätts kunna koordinater, vinkel, cirkel och punkt samt att
de är bekanta med sinus- och cosinusbegreppen. Eleverna behöver dock inte kunna enhetscirkeln och hur den används eftersom de flesta matematikkurser på universitetet börjar ganska
grundligt, menar Christian. När studenterna kommer till universitetet får de börja repetera
trigonometri i rätvinkliga trianglar. Eftersom sinus och cosinus är förhållanden mellan två
sidor spelar trianglarnas storlek ingen roll. Då kan man lika gärna titta på en triangel med
hypotenusan 1 le. som sedan läggs in i enhetscirkeln. Eleverna får därefter undersöka
koordinaterna för olika vinklar och studera cosinussatsen.
7
2. Bakgrund
2.3.5 Att förstå matematik
Christian menar att matematisk förståelse finns på olika plan. En formell förståelse av ett
matematiskt begrepp kan t ex innebära att man kan använda matematiska definitioner för att
identifiera något eller att följa ett matematiskt bevis och undersöka om det stämmer. Att ha en
känsla för ett matematiskt begrepp, att kunna skapa en intuitiv bild som man ser framför sig
och kunna sätta in det i ett större sammanhang betecknar Christian som en djupare förståelse.
”Det viktiga är ej att räkna, det viktiga är att förstå” är ett påstående som Mats tycker saknar
relevans. Han menar att förståelse är olika saker för olika människor och i olika sammanhang.
Själv skiljer han på olika typer av matematisk förståelse. Algoritmisk förståelse innebär att
eleven lär sig att använda givna formler och följa instruktioner. Ett exempel på det är när
elever tittar på ett fullständigt löst exempel i läroboken för att sedan göra ett antal uppgifter av
exakt samma typ. Det finns lärare som menar att algoritmisk förståelse inte är förståelse över
huvudtaget, men Mats menar att algoritmisk förståelse är en förutsättning för att kunna
hantera en större komplex helhet.
Att förstå hur man kan använda enhetscirkeln för att härleda olika trigonometriska formler
samt att kunna placera in enhetscirkeln i ett större matematiskt sammanhang är ett exempel på
funktionell förståelse. En mer samlad förståelse gör att begreppet kan användas vid
problemlösning, menar Mats. Det är lätt att konstruera uppgifter som diagnostiserar
funktionell förståelse. Däremot anser Mats att det är svårt att konstruera problem som syftar
till att eleverna skall tillskansa sig den samma.
Karl-Johan menar att förmågan att kunna följa ett matematiskt resonemang är ett första steg
mot matematisk förståelse. Hans erfarenhet är dock att många elever saknar den förmågan på
grund av brister i grundläggande algebraiska färdigheter. Huvudpoängen i ett matematiskt
resonemang försvinner då eleverna inte kan följa de algebraiska manipulationer som stödjer
tankegången. Att själv kunna föra sådana resonemang utgör nästa steg. Allra längst kommer
de som kan formulera de problem runt vilka man sedan resonerar, vilket är ett bidrag till att
utveckla matematiken.
2.3.6 Miniräknaren
Mats ifrågasätter om elever lär sig något på att t ex beräkna vad sin 63° är genom att slå det på
miniräknaren och sedan få ut ett svar som väl överensstämmer med facit. Han menar också att
ju mer utvecklade grafritande miniräknare och andra elektroniska hjälpmedel blir, desto
mindre tvingas människor tänka och fundera över centrala matematiska begrepp.
Trots att miniräknaren har vissa positiva effekter menar Karl-Johan att den samtidigt lurar
studenterna på en massa algebraisk förståelse. Att utföra en beräkning kan i sig generera en
viss förståelse. Den går eleverna miste om när de använder räknaren. Förståelsen varför en
kalkyl fungerar passerar fullständigt oberört förbi, menar han.
2.3.7 Uppgiftskonstruktion
Karl-Johan:
• Verifiera om en punkt ligger på enhetscirkeln.
• Bevisa enkla trigonometriska formler med hjälp av enhetscirkeln, t ex sin (x + π/2)
• Geometriska uppgifter, t ex var räta linjer skär enhetscirkeln, villkor för att en linje över
huvudtaget skall skära samt hur cirkelns tangenter ser ut.
• Hitta en punkt på enhetscirkeln med 0,1≤ x ≤ 0,3 och se hur de behandlar ett sådant
problem.
8
2. Bakgrund
Anders:
• Vilka punkter ligger på enhetscirkeln? T ex (1,1) osv.
• Definiera en cirkel. Att göra en entydig och precis beskrivning av begreppet. Skilja mellan
definition och sats.
• Skriva upp 20 punkter som ligger på enhetscirkeln, dvs punkter som satisfierar
x2 + y2 = 1.
• Ge några vinklar vars koordinater man sedan beräknar.
• Öva på att mäta vinklar i grader och radianer och översättningen däremellan
• Varje punkt på enhetscirkeln svarar mot en vinkel. Skriv ut x = cos v och y = sin v. Be
eleverna att tala om hur sin och cos varierar när vi går runt enhetscirkeln.
• Be om cos och sin-värdet för minst 5 vinklar.
• Skriv upp sambandet mellan sinus och cosinus (trigonometriska ettan).
Christian:
• Uppgifter som visar kopplingen mellan vinkel, punkt och koordinater.
• Vilken punkt motsvarar en viss vinkel?
• Ange en spegelbild i origo, spegling i x-axeln och y-axeln.
• Läs av sinus- och cosinusvärden för olika vinklar i enhetscirkeln.
• Beräkna punkter med hjälp av Pythagoras sats för vinkeln 45°, 60°, 120° osv.
• Tag vinkeln 20°. Det går ej att hitta exakta värden för vinkelns koordinater i enhetscirkeln.
Ett sätt att lösa problemet är att uttrycka dem med hjälp av sinus och cosinus.
• Utgå ifrån en spetsig triangel och undersöka vad som händer med cosinusvärdet då
vinkeln successivt blir större.
Mats ger inga konkreta förslag på uppgifter. Han menar att det viktiga är att varje exempel
måste ges med intentionen av att nå en abstrakt och generell förståelse. Det kan bland annat
ske genom att undvika reproduktion och istället göra något på ett för eleverna nytt sätt. Att
med hjälp av enhetscirkeln bevisa Pythagoras sats, cosinussatsen och subtraktionsformeln för
cosinus skulle kunna vara en sådan uppgift.
2.4 Sammanfattning
Vad vill då högskole- och universitetslärare att nyblivna studenter skall kunna om
enhetscirkeln och dess trigonometri? I intervjuerna pekar lärarna på flera enskilda moment
som är viktiga att förstå när det gäller enhetscirkeln och trigometri, men lärarna diskuterar
också mer övergripande frågor när det gäller matematik och skillnader mellan matematikstudier på gymnasiet och högskolan som får konsekvenser för nyblivna studenter.
Alla lärare konstaterar att enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 le. och centrum i origo,
vilket känns igen från gymnasieskolans läroböcker om enhetscirkeln. Flera av lärarna menar
också att enhetscirkelns ekvation x 2 + y 2 = 1 utgör en viktig del av dess definition. Det
främsta syftet med enhetscirkeln är att kunna definiera de trigonometriska funktionerna.
Enhetscirkeln erbjuder också möjlighet att på ett visuellt sätt övergå från vinklar i trianglar till
att studera vinklar större än 90° och periodiska förlopp.
Att visa olika trigonometriska formler och samband med hjälp av enhetscirkeln är något som
behandlas i gymnasiets matematikkurs och som lärarna tycker är en väsentlig tillämpning av
enhetscirkeln. Lärarna betonar även att när det gäller enhetscirkeln är det viktigt att elever får
9
2. Bakgrund
göra uppgifter som visar kopplingen mellan vinkel och punkt i enhetscirkeln. Exempel på
sådana uppgifter kan vara att verifiera att en punkt ligger på enhetscirkeln, samt att eleverna
själva får hitta punkter som ligger där. Förutom att det ger en insikt om att till varje vinkel hör
en punkt, så utgör den typen av uppgifter en konkret tillämpning av Pythagoras sats och
cirkelns ekvation. När punkternas koordinater inte kan uttryckas exakt kan problemet lösas
genom att uttrycka dem med hjälp av sinus och cosinus.
Ett grundläggande karaktärsdrag för matematikundervisningen på gymnasiet är enligt lärarna
att den främst inriktas mot algoritmisk förståelse. Eleverna lär sig att räkna och tillämpa regler
efter en given mall. Det gör att eleverna får svårt att se helheter och samband i matematiken.
På högskola och universitet syftar undervisningen i matematik till förståelse. Tonvikten
förskjuts från att räkna till att läsa matematik. Det ställer andra delvis nya krav på studenterna.
En förutsättning för att kunna följa avancerade matematiska resonemang är förmåga att kunna
hantera det matematiska symbolspråket. Det matematiska språkbruket skiljer sig även i övrigt
gentemot det vardagliga genom dess exakthet och noggrannhet. När det gäller matematikens
formella delar är det viktigt att kunna skilja på definition, sats, bevis och hypotes.
Att matematisk förståelse finns på olika nivåer och i olika former instämmer lärarna med. En
typ av matematisk förståelse är att kunna följa ett matematiskt resonemang samt att använda
givna formler och följa instruktioner. Att ha en känsla för ett matematiskt begrepps egentliga
innebörd och kunna sätta in det i ett större sammanhang och se helheter och samband
betecknar flera av lärarna som en djupare matematiskt förståelse.
Ett par lärare påtalar de nackdelar som ett ivrigt användande av miniräknare medför. Att
utföra beräkningar för hand kan i sig generera en viss förståelse samt tvinga elever att fundera
över vissa centrala matematiska begrepp. Det missar eleverna om alla beräkningar
automatiseras.
10
3. Teoretiska överväganden
3. Teoretiska överväganden
I lärarintervjuerna framkommer bland annat hur lärarna ser på nybörjarstudenter,
enhetscirkeln och trigonometri, samt vilka skillnader och likheter som finns mellan
matematikstudier på gymnasieskola och på universitetsnivå. Hur väl motsvarar
gymnasieelevers förståelse dessa önskemål? En del av mitt syfte är att undersöka detta.
Vad menas då med förståelse och hur kan den beskrivas? Min studie tar sin utgångspunkt i
konstruktivismen. I avsnitt 3.1 redogör jag för denna ansats och hur begrepp som ”lärande”
och ”förståelse” skall tolkas utifrån detta teoretiska perspektiv. Jag ger också en beskrivning
av de kontexter som utgör grunden för min analys. Därefter följer en mer detaljerad teoretisk
beskrivning av innehållet i de olika kontexterna.
3.1 Lärande och förståelse
Konstruktivismen utgör ett paraply för flera olika uppfattningar om hur kunskap bildas och
hur lärande går till (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, 2000). Metaforen om att människan
konstruerar kunskap utifrån sina erfarenheter är dock gemensam. En människa bär med sig
kognitiva scheman som kan beskrivas som mönster för hur människan tänker (Imsen, 2000).
Dessa ger mening och sammanhang åt händelser, upplevelser och erfarenheter (Ernest, 1998).
Varje schema inrymmer tre delar (von Glaserfeld, 1998):
1. Igenkännande av en viss situation.
2. Associering av en specifik handling i samband med situationen.
3. Förväntan om ett visst resultat.
Lärande kan beskrivas som en konceptuell förändring av dessa scheman, då intuitiva och
naiva uppfattningar får ge vika och ersätts av mer livsdugliga och välutvecklade
föreställningar. Det finns två centrala begrepp för att beskriva denna process. Assimilation
innebär att kunskap kan tolkas med hjälp av redan existerande scheman. Om detta ej är
möjligt måste individen göra en omstrukturering eller förändring av befintliga scheman.
Denna process kallas för ackommodation (Ernest, 1998).
Flera likartade kognitiva scheman utgör tillsammans en kognitiv struktur (Imsen, a.a.). Ett
exempel på en kognitiv struktur är de rutiner och mönster i vårt sätt att tänka och bete oss i
olika situationer (Bauersfeld, 1998). I en klassrumssituation råder vissa interaktionsmönster.
De tycks uppkomma utan att någon närmare reflekterar över deras existens eller tillkomst.
Ingen enskild individ kan heller påstås ha orsakat eller utlöst dem. Genom att samtliga aktörer
efterlever dem kan undervisningen genomföras utan att dess grundläggande form och existens
ifrågasätts. Dessa interaktionsmönster blir något som eleverna tar för givet och som styr deras
handlingar i den aktuella situationen.
Konstruktivismen hävdar att människans lärande sker individuellt i social interaktion med
andra (Bauersfeld, 1998). Därmed får språk och kommunikation en central roll i
undervisningssituationen. Varken språket eller matematiken och dess facktermer i sig utgör
dock ett objektivt instrumentellt vetande. Dessa är inga bärare av en absolut kunskap eller
sanning och kan inte förmedla idéer eller kunskap. I en inlärningssituation måste eleven själv
konstruera en förståelse för det matematiska innehållet och det språk som matematiken
beskrivs med. När eleven, i samspel med andra, upptäcker att uppfattningen av ett
matematiskt begrepp och dess terminologi är ofullständig eller rent av felaktig kan elevens
kognition justeras. Då har eleven konstruerat en ny förståelse för begreppet (Bauersfeld, a.a.).
11
3. Teoretiska överväganden
Konstruktivismen erbjuder även ett sätt att tolka innebörden av begreppet ”förståelse”. Att
läraren kan få eleverna att utföra beräkningar enligt en viss algoritm behöver inte innebära att
eleven har förståelse. En person som lyssnar till ett budskap måste individuellt konstruera
innebörden av de ord och fraser som sägs (Glaserfeld, 1998; Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, 2000). Ur det perspektivet blir ”förståelse” snarare en fråga om ”likhet”, dvs elevens
uppfattningar verkar vara förenliga med lärarens. Lärarens enda möjlighet att upptäcka om så
ej är fallet är när eleven gör eller säger något som strider mot lärarens förväntningar.
I en studie av Wistedt och Brattström (in press) beskrivs begreppet kontext. Författarna
påpekar att kontext ur ett konstruktivistiskt perspektiv inte syftar på en fysisk miljö. Istället
avses individens egen tolkning av den omgivning i vilken lärande äger rum. En elevs
individuella bild av ett matematiskt begrepp som introducerats i en studiesituation är ett
exempel på en kognitiv kontext. Uppfattningar om matematikämnets natur, de aktiviteter som
normalt äger rum under en matematiklektion samt hur man kommunicerar om ämnet inryms i
en kulturell kontext. Hur studenterna tolkar den aktuella situationen och vilka handlingar som
är tillåtna och möjliga samt vilka aktiviteter och fysiska redskap som hör hemma där är en del
av den situerade kontexten.
Författarna ger flera exempel på hur de olika kontexterna påverkar studenters lärande i
matematik. Att arbeta med ett matematiskt begrepp och framgångsrikt löst övningsuppgifter
som behandlar begreppet utgör ingen garanti för att studenternas kognitiva kontextualisering
av begreppet är korrekt och fullständig. Då kan den bärande idén bli osynlig när begreppet
förekommer i en obekant situerad kontext. Studenters uppfattning om att matematiska bevis
skall utformas algebraiskt utgör en del av den kulturella kontext som studenterna har med sig,
vilket kan lägga en skugga över den kognitiva kontexten, dvs studenternas förståelse för vad
ett matematiskt bevis egentligen är.
Författarna diskuterar också vilka konsekvenser grupparbete i matematik får för slutresultatet.
Om gruppen består av studenter som alla har brister i sin uppfattning om ett matematiskt
begrepp är det svårt för gruppen att se nya vinklingar på problemet. Då kan grupparbetet
snarare fungera som konserverande.
3.2 Vad styr individers matematiska beteende?
Schoenfeld (1992) menar att olika metakognitiva processer har en avgörande betydelse för
hur elever går tillväga när de löser matematiska problem. Med metakognitiv process avser
Schoenfeld individens förmåga att reflektera över sina matematiska kunskaper och sin
förmåga att lösa matematiska problem. Matematisk förmåga handlar inte bara om vilka
kunskaper individen har. Eleven måste även vara medveten om att kunskapen existerar samt
när och hur kunskapen kan användas. När elever löser matematiska problem kan det under
arbetets gång visa sig att en vald strategi inte fungerar. Då måste eleven ha förmåga att ändra
riktning i arbetet eller till och med börja om från början. Detta är en självreglerande process
som tillsammans med elevens matematiska kunnande bidrar till hur framgångsrika
problemlösare de är.
En annan metakognitiv aspekt som i hög grad styr elevers beteende när de löser matematiska
problem är deras bild av matematikämnets natur. Schoenfeld (a.a.) refererar till
undersökningar som visar att elever i stor utsträckning ser matematik som en samling regler
som skall memoreras och övas på. Det är i elevernas ögon att syssla med matematik. Ett
matematiskt problem skall lösas relativt snabbt. Den metod som skall användas är den som
12
3. Teoretiska överväganden
läraren gått igenom. Det finns bara ett rätt svar, som bestäms av läraren eller facit. En vanlig
elev förväntar sig inte att någonsin förstå matematik, utan det gäller helt enkelt att memorera
och använda formler på ett mer eller mindre mekaniskt vis.
Alla elever har en uppsättning matematiska redskap med sig som kan användas när de sysslar
med matematik. Vid undersökningar om hur elever löser matematiska problem är
kunskapsbasens innehåll intressant, men enligt Schoenfeld (a.a.) är det också viktigt att titta
på hur eleven använder den. Eleven kan sakna den matematiska kunskap som krävs för att
lösa en uppgift, eleven kan sakna förmåga att använda det matematiska redskapet på rätt sätt
eller så kan kunskapsbasen innehålla felaktigheter.
Matematisk kunskap och förståelse kan enligt Fischbein (1994) belysas utifrån tre
grundläggande aspekter. Varje aspekt för sig, men även interaktionen dem emellan, har
betydelse för hur individen närmar sig matematiska problem:
1. Den formella aspekten omfattar axiom, definitioner, satser och bevis, vilka utgör
byggstenarna i matematiska resonemang.
2. Den algoritmiska aspekten avser färdighet i olika tekniker för hur man löser uppgifter,
samt vilka standardiserade strategier man bör använda sig av i olika situationer.
3. Den intuitiva aspekten syftar på intuitiv kognition, förståelse och lösningsstrategi. Det
är sådant som man så självklart anser sig veta, att man inte behöver verifiera det.
Att ha förståelse för matematikens formella aspekt är en förutsättning för att kunna ta del av
matematiska resonemang. För att tillägna sig definitioner, satser och bevis krävs oftast ett hårt
arbete, t ex genom att organisera, undersöka och aktivt använda dem. Matematiska
resonemang kan inte jämställas med beräkningar. Förståelse för matematiska resonemang
leder heller inte automatiskt till färdighet i att lösa matematiska problem. För att bli en god
problemlösare krävs färdighetsträning i att hantera icke-standardiserade situationer, där den
formella delen av matematiken är ett viktigt redskap.
Vid alla typer av matematiskt verksamhet pågår ett komplext samspel mellan formell kunskap
och intuitiv kognition. Medan definitioner och teorem är något vi lär oss att använda, menar
Fischbein (a.a.) att den intuitiva kognitionen har ett näst intill tvingande inflytande på våra
strategier för hur vi förstår, förklarar och resonerar. Då det uppstår motstridigheter mellan vår
formella kunskap och intuitiva kognition kan den senare bli ett hinder för lärande-, lösningsoch uppfinningsprocessen när det gäller matematik.
Att multiplikation alltid resulterar i något större, medan division resulterar i något mindre, är
ett exempel på hur vår intuitiva förståelse kan leda till formella fel. Ett annat exempel på en
vanlig intuitiv uppfattning är att en mängd i matematisk mening måste innehålla mer än ett
element eller att två mängder är lika om de innehåller samma antal element.
Ibland kan dock ett oreflekterat men korrekt användande av algoritmer leda till felaktigheter.
Fischbein (a.a.) nämner följande klassiska uppgift:
Sju arbetare slutför ett arbete på 28 dagar. Hur många dagar behöver
fem arbetare för att slutföra samma arbete?
Många elever utför en korrekt algebraisk beräkning och svarar att fem arbetare behöver 20
dagar. Intuitivt bör man dock förstå att färre arbetare behöver fler dagar på sig att slutföra
samma arbete.
13
3. Teoretiska överväganden
Att använda en standardiserad strategi kan ibland vara vanskligt om det sker utan en
medvetenhet om ett begrepps innebörd och definition. Ett vanligt fel som gymnasieelever gör
är att skriva sin (a+b) = sin a + sin b på grund av att likhet med den distributiva lagen, som
säger att a (b+c) = ab + ac.
3.3 Instrumentell inlärning och relationell förståelse
Pesek och Kirshner (2000) ger flera exempel på studier som visar att undervisning som
fokuseras på memorering och mekanisk tillämpning av formler kan utgöra ett hinder om
elever senare skall lära sig varför man gör på ett visst sätt. De hävdar även att det finns en
allmän uppfattning om att undervisning som främst inriktas mot mekaniska färdigheter är
mindre tidskrävande. Skolpolitiker, föräldrar och nationella prov sätter hård press på lärarna
att hinna med allt i kursen. Detta kan medföra att en stor del av undervisningen blir av
instrumentell karaktär då eleverna får lära sig hur de skall göra men inte varför, vilket kan
hämma elevernas senare utveckling av en djupare förståelse.
När tidigare kunskaper utgör ett hinder för elevers lärande kan det ske på flera sätt och av
olika orsaker. En intuitiv och spontan uppfattning av ett fenomen kan utgöra ett kognitivt
hinder för att ta till sig ny kunskap, i synnerhet om den är motstridig. Uppfattningen kan vara
så stark att eleverna inte ändrar den, trots att de själva ser att den är felaktig. Elevers
inställning och attityd till vad matematik är och vad som händer under en matematiklektion
samt hur en matematiklärare är, kan utgöra ett hinder då elever skall delta i aktiviteter som de
anser strider mot denna attityd. Metakognitiva hinder är ett mellanting mellan de två andra
kategorierna. Genom övning eller annat intellektuellt arbete har elever förvärvat kunskaper
om ett ämne som de inte är villig att ändra.
3.4 Strukturell och operationell konception
Sfard (1991) hävdar att förmågan att skapa sig en bild av abstrakta matematiska begrepp i den
egna tanken tycks utgöra en väsentlig del av den matematiska förmågan. Varje individ måste
skapa sig en egen bild av det matematiska fenomen som avses. Bilden kan variera beroende
på vilken konception individen har av det matematiska begrepp som avses.
Att förknippa ett matematiskt begrepp med processer, algoritmer och handlingar betecknar
Sfard (a.a.) som en operationell konception. Begreppet har potential att bli något efter en rad
olika handlingar. Nästa steg utgörs av en strukturell konception. Det innebär att individen har
skapat sig en visuell tankemässig bild av ett matematiskt begrepp och att det finns i personens
sinnevärld på samma sätt som bilden av en god väns ansikte. Den bärande idén står i fokus
och begreppet kan hanteras som en helhet utan att dela upp det i detaljer eller förknippa det
med en viss typ av handlande.
Sfard (a.a.) ger flera exempel på hur en strukturell och en operationell uppfattning av ett
matematiskt begrepp skiljer sig åt. Om man ser existensen av en cirkel som mängden av alla
punkter på lika avstånd från en given punkt kan detta anses vara en strukturell uppfattning av
cirkeln. En operationell uppfattning skulle då kunna vara att man betraktar cirkeln som en
kurva som uppkommer när en punkt roterar på ett bestämt avstånd från en annan fix punkt.
Att övergå från en operationell till en strukturell uppfattning av ett matematiskt begrepp är en
process som enligt Sfad (a.a.) kan delas in i tre steg:
14
3. Teoretiska överväganden
1. Interorisation (införliva). Man stiftar bekantskap med processer som senare kan ge upphov
till ett nytt begrepp. I vårt fall kan det vara att läsa av och pricka in punkter i ett
koordinatsystem. Det kan också vara att arbeta med cirkelns ekvation.
2. Kondensation (förtätning). Olika räkneoperationer som man arbetat med under föregående
fas kan nu betraktas som en helhet. På det här stadiet är det lättare att växla mellan olika
representationer av ett matematiskt begrepp. Kondensationsfasen fortgår så länge det nya
begreppet tätt förknippas med en speciell process, räkneoperation eller förfaringssätt.
3. Reifikation (förtingliga, att betrakta något som en sak) innebär ett ontologiskt skifte.
Plötsligt kan man se det man var tvungen att räkna på i ett helt nytt ljus eller betrakta det
matematiska begreppet i helt nya sammanhang. Interorisation och kondensation kan
beskrivas som gradvis, kvantitativa processer. Reifikation är ett kvalitativt steg in i ett
statiskt tillstånd. Begreppet som reificerats kan nu användas i en interorisationsprocess av
ett nytt begrepp.
3.5 Miniräknaren och matematisk förståelse
Ur ett historiskt perspektiv har matematiken alltid använt sig av olika hjälpmedel, varav
miniräknaren kan anses vara ett av de mest revolutionerande för skolundervisningen i
matematik (Brolin). En tanke som länge rättfärdigat användandet av miniräknare i matematikundervisningen är att det är tidseffektivt att utföra rutinberäkningar med hjälp av miniräknare.
Den tid som frigörs skulle istället kunna användas till att arbeta med förståelse av matematik
på en högre nivå (a.a.).
Dagens räknare klarar dock långt mycket mer än grundläggande aritmetiska räkneoperationer.
Idag kan eleverna visualisera matematiska begrepp med hjälp av datorer och grafritande
räknare på ett helt annat sätt än vad som vore möjligt med papper och penna. Dreyfus (1994)
menar att räknaren som tidigare ”bara räknade” har övergått till att bli ett kognitivt
hjälpmedel.
Enligt Dreyfus (a.a.) finns en hierarkisk ordning för hur manuella operationer som behärskas
kan automatiseras:
1. Aritmetiska beräkningar för att utveckla taluppfattning.
2. Automatisera aritmetiska beräkningar som skall utföras vid inlärning av algebra.
3. Automatisera algebraiska manipulationer som skall utföras vid inlärning av analys.
4. Automatisera integrering som skall utföras vid inlärning av differentialekvationer.
5. Automatisera lösandet av differentialekvationer vid inlärning av dynamik.
Dreyfus (a.a.) påpekar att det finns en risk att elever hoppar över de olika nivåerna i hierarkin.
Kan eleverna lära sig algebra utan att behärska algebraiska manipulationer? I vilken
utsträckning påverkar manipulativa färdigheter, eller praktiska erfarenheter den konceptuella
förståelsen av ett matematiskt begrepp? Det är frågor som Dreyfus ställer sig utan att kunna
ge ett entydigt svar.
15
4. Syfte
4. Syfte
Som nämnts i inledningen är syftet med min uppsats att undersöka gymnasieelevers förståelse
av matematiska begrepp, samt i vilken utsträckning deras förståelse motsvarar vad
högskolelärare anser att studenter bör kunna när de kommmer till högskola eller universitet.
Det teoretiska diskussionen ger möjlighet att precisera detta syfte i fyra frågeställningar. De
tre första frågeställningarna utgör grunden för min elevundersökning och analyseras utifrån
min teoretiska bakgrund. Den fjärde frågeställningen diskuteras utifrån resultatet av
lärarintervjuerna och elevundersökningen.
4.1 Frågeställningar
1. Hur ser elevernas kognitiva kontextualisering ut av enhetscirkeln och trigonometri?
2. Hur påverkar den situerade kontexten elevernas arbete med uppgifterna?
3. Hur påverkar den kulturella kontexten elevernas arbete med uppgifterna?
4. Hur förhåller sig elevernas förståelse och kunskap om enhetscirkeln och trigonometri
till vad högskolelärare anser att de bör kunna när de påbörjar matematikstudier på
högskola eller universitet?
16
5. Metod och genomförande
5. Metod och genomförande
För att uppnå syftet med min uppsats har jag valt att genomföra en intentionell analys (se
nedan) för att belysa elevernas kontextualisering av enhetscirkeln och trigonometri när de
arbetar i grupp. Genom att studera hur eleverna resonerar och agerar när de löser triangel- och
punktuppgiften försöker jag dra slutsatser om deras förståelse för enhetscirkeln och
cosinusvärdet för en vinkel. Resultatet analyseras och jämförs med den didaktiska forskning
som jag redovisat i min bakgrundsbeskrivning, med läroböckernas behandling av
enhetscirkeln samt universitetslektorernas syn på vad eleverna bör kunna.
5.1 Val av metod
Vid val av metod övervägde jag flera möjliga tillvägagångssätt för att undersöka elevers
förståelse av ett matematiskt begrepp. Ett sätt var att göra en skriftlig utvärdering av elevernas
förståelse av ett matematiskt begrepp. Till metodens fördelar hör att deltagandet i
undersökningen sker under samma betingelser (Möllehed, 2001). Min personliga erfarenhet är
dock att skriftliga lösningar inte alltid speglar det eleverna verkligen kan. Det kan delvis bero
på att eleverna har svårt att uttrycka sin förståelse skriftligt. Det kan också bero på att de inte
lyckats tillägna sig det matematiska språket eller att de helt enkelt inte orkar göra en fyllig
skriftlig lösning. En skriftlig utvärdering påminner i elevernas ögon i hög grad om ett vanligt
prov. Det kan bidra till att eleverna känner stress och får en negativ inställning till
undersökningen. Jag ansåg att dessa nackdelar övervägde i förhållande till de fördelar som en
skriftlig utvärdering innebar.
Jag valde istället att göra en muntlig utvärdering av några elevers förståelse. Det kan ske
genom att enskilda elever får lösa en eller flera uppgifter och samtidigt tänka högt. Risken
med detta tillvägagångssätt är dock att eleverna inte säger tillräckligt mycket. Om
undersökningsledaren då ingriper med frågor och kommentarer kan det leda till att eleverna
mer eller mindre medvetet blir styrda i sina tankar. Därför valde jag istället att låta tre elever
arbeta gemensamt i grupp och diskutera och resonera sig fram till en lösning som alla var
överens om. Detta tillvägagångssätt fyllde väl mitt syfte då elevers förståelse av ett
matematiskt begrepp tydligt framträder när eleven måste förklara och argumentera med sina
kamrater. Till viss del kombinerades detta med en skriftlig utvärdering genom att eleverna
fick skriva ner hur de tänkt, resonerat och vad de kommit fram till.
5.2 Deltagande elever
Elevundersökningen utfördes på en gymnasieskola i en medelstor kommun. Eleverna gick
sista året på naturvetenskapligt program och alla läste E-kursen i matematik. Undersökningen
genomfördes i tre grupper med tre elever i varje grupp. En grupp bestod enbart av flickor
(flickgruppen), en grupp bestod enbart av pojkar (pojkgruppen) och en grupp bestod av en
pojke och två flickor (blandgruppen).
•
Flickgruppen kom från en NVNa-klass och deltog under en matematiklektion. Gruppen
valdes ut av klassens matematiklärare och bestod av tre elever i klassen som inte läser
fysik B.
•
Pojkgruppen kom från en NVTe-klass och deltog under en religionslektion. Gruppen
valdes ut av klassens religionslärare och bestod av elever som under den aktuella lektionen
inte kunde redovisa ett projektarbete i religion på grund av frånvaro.
17
5. Metod och genomförande
•
Blandgruppen kom från en NVNa-klass och deltog under en religionslektion. Gruppen
bestod av elever som frivilligt ville delta efter att jag personligen besökt klassen och
berättat om mitt arbete.
5.3 Elevinstruktioner
Undersökningen inleddes med en kortfattad beskrivning av syftet med min uppsats och vilken
roll och betydelse deras deltagande skulle ha för mitt arbete. Eleverna informerades om att de
skulle bandas och videofilmas för att det skall vara möjligt för mig att analysera
undersökningen, men att de vid resultatredovisningen skulle vara anonyma.
Eleverna uppmanades att samarbeta och lösa uppgifterna gemensamt i gruppen. Jag
poängterade att det var viktigt att alla förstod och var överens om lösningen. Jag förklarade
för eleverna att de inte fick använda miniräknare. Uppgifterna var skrivna för hand på rutat
papper (se bilaga 2-3). Tanken var att handstilen förhoppningsvis skulle ge uppgifterna
mindre provkänsla. Trianglarna ritades på rutat papper för att ge eleverna möjlighet att mäta i
figurerna. Jag bifogade följande instruktion till varje grupp, även den skriven för hand.
,QVWUXNWLRQHU
1LInUWYnXSSJLIWHUVRPQLVNDOOO|VDLJUXSS$YVLNWHQlUDWWQLVNDOOGLVNXWHUDHU
IUDPWLOOHQO|VQLQJVRPDOODLJUXSSHQI|UVWnURFKlU|YHUHQVRP
9lOMVMlOYDYLONHQXSSJLIWQLVNDOOE|UMDPHG'HWlUP|MOLJWDWWO|VDXSSJLIWHUQDSn
IOHUDROLNDVlWW0RWLYHUDYDUI|UQLYlOMHUDWWO|VDXSSJLIWHQSnHWWVSHFLHOOWVlWW
$QWHFNQDKXUQLWlQNHURFKUHVRQHUDUQlUQLO|VHUXSSJLIWHUQD
0DWHULDOQLNDQKDDQYlQGQLQJDY
SHQQRU
UXWDWSDSSHU
JUDGVNLYD
VXGG
RKSODVW
SDVVDUH
OLQMDO
RKSHQQRU
VD[
5.4 Triangeluppgiften
Triangeluppgiften härstammar främst från Christians förslag om en uppgift där man utgår
ifrån en spetsig triangel och undersöker vad som händer med cosinusvärdet då vinkeln
successivt blir större. Uppgiften i min undersökning saknar dock ett dynamiskt inslag. Istället
är tre trianglar, numrerade från a-c, ritade på uppgiftspappret som är rutat för att göra det lätt
att mäta både sidor och vinklar. En vinkel v är markerad i varje triangel. Syftet med uppgiften
är att se om eleverna utnyttjar det samband som finns mellan vinklar i trianglar och vinklar i
enhetscirkeln eller vilka andra trigonometriska samband eleverna använder när de löser
uppgiften. Avsikten är också att uppgiften skall uppmuntra till elevdiskussioner som visar
elevernas förståelse för matematiska begrepp. Ett utförligt förslag på tänkbara lösningar
redovisas i bilaga 4. Uppgiften är formulerad på följande sätt:
Vad är cosinusvärdet för vinkeln v i de olika trianglarna?
18
5. Metod och genomförande
5.5 Punktuppgiften
När lärarna skall konstruera uppgifter föreslår flera av dem en uppgift som består i att
verifiera om olika punkter ligger på enhetscirkeln. Syftet med uppgiften är främst hur de
hanterar cirkelbegreppet och vilka metoder eleverna väljer att använda för att lösa uppgiften.
Avsikten är också att uppgiften skall uppmuntra till elevdiskussioner som visar elevernas
förståelse för matematiska begrepp. Ett utförligt förslag på tänkbara lösningar redovisas i
bilaga 5. Formuleringen av punktuppgiften lyder:
3 1
Avgör om följande punkter ligger på enhetscirkeln: (0,71 ; 0,71) och , .
2 2
5.6 Insamling och bearbetning av data
Undersökningarna genomfördes i ett grupprum på elevernas gymnasieskola. Elevernas arbete
dokumenterades med ljudupptagning från två minikassettbandspelare av freestylemodell med
inbyggd mikrofon. Bandspelarna låg på bordet framför eleverna. Jag använde även en liten
videokamera med inbyggd mikrofon för att göra en bildupptagning av undersökningarna.
Videokameran var placerad ett par meter framför eleverna. Elevernas uppgift var att lösa
triangel- och punktuppgiften, samt att fylla i en enkät med frågor om deras betyg, lärare,
inställning till matematikämnet och framtidsplaner (se bilaga 6).
Efter intervjuerna gjorde jag ordagranna transkriptioner av ljudupptagningarna. Som ett
komplement till transkriptionerna och som stöd för minnet har jag också sett videoinspelningarna av alla grupperna. Transkriptionerna har utgjort huvudmaterialet i min
undersökning, medan elevernas skriftliga redovisningar främst tjänat som en komplettering
och förtydligande av deras muntliga diskussioner. Materialet som används i resultatredovisningen har successivt valts ut efter upprepade genomläsningar av transkriptionerna.
Analysen har gjorts löpande under arbetets gång, både utifrån transkriptionerna och
resultatredovisningen.
5.7 Val av analysredskap
Utgångspunkten för en intentionell analys är att göra rimliga tolkningar av individers
handlande och yttrande i en given situation. Människan betraktas som intentionellt handlande,
dvs som om hon har en avsikt utifrån vilken hon handlar meningsfullt. Att förstå och uttolka
en innebörd i ett uttalande handlar då om att finna ett rimligt svar på frågan varför yttrandet
fälldes. Vilken innebörd har yttrandet och vad betyder det för de inblandade i situationen?
De teoretiska grunderna för ett intentionellt perspektiv finns i von Wrights verk ”Explanation
and understanding” (1971). von Wright betonar att vi inte söker ett orsakssamband, som
innebär att något händer därför att något annat tidigare inträffat. Istället riktas blicken mot
framtiden. Vad ämnar personen uppnå med det hon gör och säger? Det är den frågan som den
intentionella analysen söker svar på. Det är personens intention med sin handling eller
yttrande som är föremål för analys.
Samtal och handlingar utförs inte i ett kontextuellt vakuum. Istället har sammanhanget ett
stort inflytande över vad vi gör och säger. En majoritet av det mänskliga beteendet kan
betraktas som kulturellt sanktionerade handlingar som beror av omgivningen, miljön och
situationen (Bjerlöv, 1999). Att undersöka elevers förståelse av ett matematiskt begrepp när
de arbetar med matematikuppgifter i grupp måste därför göras genom att tillskriva deras
19
5. Metod och genomförande
handlingar och yttranden vissa intentioner som är rimliga utifrån den aktuella
undersökningssituationen. Eleverna har med sig uppfattningar om de konventioner som rör
matematik och matematikundervisning, befintliga kunskaper i matematik samt inre bilder av
sin egen matematiska förmåga. Det är med ledning av vad vi vet om det sammanhanget som
vi kan få hjälp att göra rimliga tolkningar av vad som sker när eleverna arbetar med
uppgifterna och ger uttryck för sin kunskap och förståelse. Alltså, med hjälp av den
intentionella analysen kommer jag att undersöka vilken matematisk förståelse som finns i
elevernas yttranden och handlingar utifrån undersökningssituationen, där min teoretiska
bakgrund utgör en mer detaljerad beskrivning av den kontext, både ur ett generellt och
psykologiskt perspektiv, utifrån vilken analysen sedan sker.
20
6. Resultat
6. Resultat
Resultatredovisningen inleds med en kort presentation av eleverna. Därefter följer referat av
elevernas dialoger, som har sammanfogats till berättelser för att ge läsaren ett sammanhang
och en bättre överblick av diskussionen. Elevernas namn är fingerade. Mina inlägg redovisas
dock med mitt eget namn, ”Erika”. Alla grupperna valde att börja med triangeluppgiften,
därför redovisas den först.
6.1 Eleverna
Flickgruppen Evelina, Karin & Sara.
Sara och Evelina har haft matematik tillsammans under hela gymnasietiden. En
omorganisering av klasserna gjorde att Karins hamnade i samma klass som Sara och Evelina i
åk 2. Karin har betyget VG på alla kurser i matematik och vill i framtiden jobba som läkare.
Evelina fick betyget MVG på matte B och matte D. Nu läser hon matte F och tycker att
matematik är både roligt, viktigt och präglat av logiskt tänkande. Hennes mål är att läsa på
någon civilingenjörsutbildning i framtiden. Sara hade VG på kurs A och B, för att sedan få G
på kurs C och D. Hon tycker inte att matematik är roligt, men det är viktigt och användbart i
vardagslivet och för framtida studier, då hon vill läsa något som har med arkitektur att göra.
Pojkgruppen Daniel, Niklas & Tobias.
I pojkgruppen är det Niklas som läst med en annan klass i åk 1. Niklas fick VG på kurs A.
Sedan har det blivit G och VG på varannan kurs. Han tycker att matematik är ett ämne som
kräver både logiskt tänkande och begåvning. Matematik är viktigt och användbart för framtida
studier. Han har siktet inställt på någon teknisk högskola, t ex KTH. Tobias har haft exakt
samma betyg som Niklas. Trots att han anser att matematik är svårare än de flesta andra
ämnen i skolan tycker han att det är både roligt, viktigt och användbart för framtida studier,
vilket förmodligen blir någon datateknisk utbildning. Daniel har haft MVG på de flesta av
matematikkurserna. För honom är matematik både roligt och viktigt samt användbart både i
vardagslivet och för framtida studier. Han vill läsa civilingenjörsutbildning med inriktning
mot teknisk fysik.
Blandgruppen Anna, Björn & Jenny.
Både Anna och Jenny har haft MVG på alla matematikkurser hittills. Medan Jenny tycker att
matematik är både roligt, viktigt och användbart tycker Anna att det mest är ett pluggämne
som består av memorering av formler. Båda instämmer dock med att matematik kräver logiskt
tänkande. Jenny vill utbilda sig till läkare. Anna har inte svarat på frågan, men hon är mycket
intresserad av att skriva och jobbar extra på ortens lokala morgontidning. Det enda Björn är
säker på är att han inte vill syssla med något tekniskt-naturorienterat i framtiden. För honom
är matematik ett pluggämne som kräver logiskt tänkande. Han har haft betyget VG utom på
kurs B då han fick ett G.
6.2 Triangeluppgiften
6.2.1 Hur flickgruppen löser triangeluppgiften
Flickgruppen börjar med att mäta trianglarnas olika sidor. När de ser gradskivan på bordet
mäter de även vinklarnas storlek. De är medvetna om att värdet på vinkeln inte är samma sak
som cosinusvärdet för vinkeln. Det demonstrerar Evelina genom att konstatera följande:
Evelina: Okej att vi kan mäta vinkeln, men vi vet ju inte cosinusvärdet för det.
21
6. Resultat
Däremot råder fortfarande en viss osäkerhet om vad cosinusvärdet egentligen är. Men efter
följande samtal har Evelina försäkrat sig om hur det ligger till och kommer även med ett
förslag på hur de skall gå tillväga.
Evelina: Men med cosinusvärde, menar dom då vad cos typ 30 är?
Karin: Eller vad det blir om man slår ut det.
Evelina: Ja, alltså ja. Det är det som menas med cosinusvärdet.
Karin: Ja, jag tror det. Eller jag vet inte.
Evelina: Ja, då kanske man kan göra en enhetscirkel.
Karin: Alltså att vi konstruerar en sådan eller? Så kan vi bara läsa av det sedan.
Därefter ritas vinklarna in i en enhetscirkel med radien 10 cm och flickorna läser av
vinklarnas cosinusvärde på x-axeln. Triangeln i b-uppgiften är 143 grader och gruppen
konstaterar att cosinusvärdet måste bli negativt. När jag frågar varför det blir så får jag
följande förklaring:
Karin: Men vi har ju ett sådant koordinatsystem och då blir det ju liksom. Den högra axeln
ritar man alltid positiv och den andra negativ.
Cos 90 grader är bekant och tjejerna konstaterar att cos 90º = 0. De kan också verifiera detta
med hjälp av enhetscirkeln.
Evelina: Den vet vi. Det är…
Alla samtidigt: Noll!!!
Erika: Hur kommer det sig att ni vet den?
Evelina: Den har man använt så många gånger. Varje gång man har cosinus 90 så blir det
noll. Det kan man ju se i den här också. (Pekar på enhetscirkeln)
Erika: Hur då?
Evelina: Om du mäter upp 90. Så blir det precis 90 när den här är noll.
Jag frågar gruppen om det finns något annat sätt att få fram cosinusvärdet för vinklarna.
Flickorna säger att om de hade ritat en större enhetscirkel så hade de fått ett noggrannare
värde. De påpekar också att värdet hade blivit exakt om de hade fått använda miniräknare. Jag
frågar igen om de inte kan komma på ytterligare något sätt. Evelina föreslår att de skulle
kunna använda cosinussatsen, men kommer inte riktigt ihåg hur den löd. Sara är skeptisk
eftersom de ändå måste mäta trianglarnas sidor, vilket kan ge mätfel. Jag ger dem formeln
c2=a2+b2−a⋅b⋅cos v för cosinussatsen och uppmanar dem att undersöka om de har någon
användning för den. Efter en kort diskussion konstaterar de att faktiskt får fram cosinusvärdet
direkt. Flickorna sätter igång att räkna, men efter en stund upptäcker de att något är fel.
Evelina: Men det här kan ju inte stämma. Det blir ju inte alls som vi har fått innan.
Karin & Sara: Nej.
Evelina: Att vi får ett komma någonting…
Karin: Det kan ju inte bli större än ett väl?
Evelina: Nej.
När jag frågar varför cosinusvärdet inte kan bli större än ett blir gruppen upprörd och börjar
prata i munnen på varandra.
Evelina: Det går ju inte.
Sara: Det finns ju inte.
Karin: Det går ju till max ett.
Evelina: Det finns väl inte något cos-värde som blir större än ett!!!
Gruppen påbörjar ett intensivt felsökningsarbete. Efter en lång stund ser jag att det är jag som
gett dem fel formel.
22
6. Resultat
Erika: Hör ni, det är jag som har lurat er. Det skall vara med en tvåa framför, två gånger a…
Nu kan gruppen beräkna cosinusvärdet för vinklarna, vilket väl överensstämmer med vad de
mätt upp i enhetscirkeln.
6.2.2 Hur pojkgruppen löser triangeluppgiften
Pojkgruppen bestämmer sig för att börja med triangeluppgiften. Niklas kastar ett öga på den
första triangeln och säger att ”där har du ju 45 grader”.
Tobias: 45 grader. Hur får du den till det?
Daniel: Men det var ju som vi gissade, eller?
Niklas ändrar sig snabbt och konstaterar att ”den är ju inte 45 grader”.
Tobias: Nej, det är den inte.
Daniel: Men det tyckte jag den såg ut som.
Niklas: Ja ja…
Det är svårt att följa pojkarnas resonemang, då de är fåordiga och kommunicerar genom att
peka på uppgiftspappret.
Niklas: Vad blir den då?
Daniel: Jag vet inte. Sinus och cos är ju typ närliggande… Det måste bli så och så… så blir
det typ så.
Daniel bestämmer längden på kateterna genom att räkna antalet rutor. På svarspappret skriver
8
8
han att vinkeln är v = sin −1 vilket i sin tur ger att cos v = cos sin −1 . Det svaret gillar
6
6
dock inte Niklas.
Niklas: Nu ska vi se här. Det var cosinusvärdet. Positivt. Men det där behöver du inte ha med.
Sinus upphöjt till minus ett behöver du inte ha med.
Daniel: Nä hä.
Niklas: Cosinus, det är ju närliggande genom hypotenusan…
Daniel: Ja.
Niklas: …och det där är 6. Så skit i sinus.
Daniel: Då skriver vi så. Så där.
8
Daniel antecknar cos för den första triangeln, sedan fortsätter de med den trubbiga
6
triangeln.
Daniel: 180 minus…
Niklas: Precis.
Tobias: 180 minus cosinus.
Niklas: Cos upphöjt till minus ett.
Daniel: Ja.
Niklas: Du har fyra genom tre där. Då har du ju uttrycket för v.
Tobias: Det blir nog bra det där.
Niklas: Cosinus framför blir det då, va? Cosinusvärdet. Vi har ju bara uttrycket för vinkeln v.
Sätt det inom parentes.
Tobias: Cos 90 blir väl… Cosinus 90 blir väl ett eller noll. Något av dom.
Daniel ritar enhetscirkeln och markerar vinkeln 90º men läser av cosinusvärdet på y-axeln,
vilket gör att cos 90º = 1. Jag vill att han skall förtydliga sitt resonemang.
Erika: Vad var det som du hade där? Det var jag inte riktigt med på.
23
6. Resultat
Daniel: Nej, det var den cirkeln. Och så, så. Och så 90 grader. Så är det där. Och så tar du
cosinus. Så är du ju där uppe och letar. (Han pekar på y-axeln och punkten (0,1).)
Efter en stund tycker gruppen att de har besvarat den första frågan, men jag behöver ett
tydligare svar på vad gruppen har kommit fram till.
Erika: Vad kom ni fram till nu på den första? Vad var cosinusvärdet för den första vinkeln?
Niklas: Den första vinkeln? Cosinusvärdet.. ehh… Åtta genom sex.
Erika: Är det cosinusvärdet? Vad sa du?
Niklas: Nej, cosinusvärdet är ju cos upphöjt till minus åtta genom sex.
Erika: Ja ha. Okej. Mm.
Daniel: Men det är ju för vinkeln där.
Niklas: Ja, då får du vinkeln. Ja, det är cosinus åtta genom sex. Det är cosinusvärdet
8
är ungefär. Då inser Daniel att ”det är för mycket”.
6
Pojkarna vänder på siffrorna och Tobias konstaterar att ”då blir det cosinus 0,75”.
Jag tittar på svaret och frågar dem vad
Men är något som inte stämmer. Pojkarna mäter triangelns sidor en gång till.
Niklas: Cosinus är närliggande genom hypotenusan.
Daniel: Så blir det cos fyra genom fem.
Niklas: Japp, noll åtta.
Gruppen anger svaret ”cos 0,8” på den första uppgiften. Tobias menar att de även måste göra
4
om b-uppgiften som de då felaktigt får till cos −1 180 $ − cos −1 .
5
Jag påpekar att svaret ”cos 0,8” kan tolkas som om de tagit fram cosinusvärdet för vinkeln
0,8°. Niklas korrigerar snabbt felet och fastslår att de skall ”ta bort det där cosinus.
Cosinusvärdet är 0,8”.
För att ersätta b-uppgiftens uttryck för cosinusvärdet med en siffra ritar killarna upp en
enhetscirkel med radien 7 cm. Med hjälp av gradskiva ritas vinkeln 144° in. Värdet längs
4
y-axeln läses av vilket resulterar i att cosinusvärdet i den andra triangeln blir . När de mäter
7
vinkeln i den första triangeln får de exakt samma svar. Jag ifrågasätter om det är rimligt.
Tobias funderar på om vinkeln i b-uppgiften kanske skall bli negativ, men eftersom de läser
av cosinusvärdet på y-axeln blir det positivt i alla fall. Då förklarar jag för dem att
cosinusvärdet avläses på x-axeln.
Daniel: Ja!!!
Niklas: Jag skall strypa dej.
Tobias: Då skulle det varit negativt ändå.
6.2.3 Hur blandgruppen löser triangeluppgiften
Jenny inleder blandgruppens arbete med ett snabbt konstaterande att ”cosinus, då tar man
hypotenusan och närliggande”. Efter att ha mätt kateterna och beräknat hypotenusan med
hjälp av Pythagoras sats kommer hon fram till att ”cos v är lika med 5 genom roten ur 41”.
Detta är dock inget de anser att de kan beräkna utan miniräknare. Gruppen saknar idéer om
hur de skall gå vidare när de inte har någon miniräknare och gruppen blir osäker på om
5
cos v =
verkligen duger som svar.
41
24
6. Resultat
Jenny: Men nu står det ju cosinusvärdet för vinkeln. Det står ju inte…
Björn: Det står ju inte att du skall ange det i grader.
Efter en kort diskussion om vad cosinusvärdet egentligen är går de vidare till nästa deluppgift.
närliggande katet
Gruppen konstaterar att sambandet cos v =
endast gäller när vinkeln är
hypotenusan
mindre än 90º. Ett antal gånger påpekar Jenny att för att beräkna cosinusvärdet för vinkeln
kan de använda cosinussatsen, men får inget gehör för detta av de andra i gruppen. Eleverna
tittar även på supplementvinkeln till v och har en idé om att beräkna cos (180º-u) men inte
heller detta slutförs.
Trots att det uttryckligen står i instruktionerna att gradskivan får användas som ett hjälpmedel
är gruppen mycket tveksamma till om den kan användas.
Jenny: Vi har ju en gradskiva här också, fast den kanske vi inte får…
Erika: Jo, den får ni använda.
Anna: Men det känns precis som man ska lösa allting utan att använda sånt som är…
Björn: Ja, men vad då?!
Erika: Varför gör det det?
Anna: Men då behöver vi ju inte. Då kan vi ju ta den direkt ju.
Björn: Då behöver vi ju inte cosinus eller någonting.
Jenny: Men alltså, frågan är bara cosinusvärdet… cosinusvärdet…
Gruppen arbetar vidare men kommer inte framåt.
Jenny: Om vi hittar vinkeln så är det direkt. Att man bara tar cosinus vinkeln så får man ju
cosinusvärdet. Skall vi göra det istället?
Anna: Ja… cosinusvärdet. Ja, det är ju liksom cos…
Jenny: Ja, vi kan ju inte fortsätta på det här tror jag.
Anna: Men vad är det för mening med de här uppgifterna?
Efter en stund börjar gruppen åter diskutera gradskivan och hur enkel en uppgift som ingår i
en undersökning om matematik egentligen får vara.
Jenny: Det måste finnas en anledning till att vi har en gradskiva och så där. Då använder vi
den.
Anna: Men svaret kan ju inte bara vara så här. Ja ha, cos…
Jenny: Jo.
Björn: Men vad är cosinusvärde då?
Jenny: Va?! Cosinusvärdet, då skriver vi cos och vinkeln.
Anna: Men så enkelt kan det ju inte vara.
Jenny: Varför skulle det inte kunna vara det?
Anna: Skulle det ta en timme liksom? Ja ha, det är bara att mäta.
Björn: Men det är bara för att ingen annan har fattat det.
Jenny: Varför skulle gradskivorna ligga där om ingen skulle använda dom?
Anna: Men det kan ju inte… cos 143…
Jenny: Ja, det är cosinusvärdet.
Anna och Jenny undrar om svaret skall vara ett tal eller om det räcker med ett uttryck. Efter
ett kort förtydligande om att vinkeln och cosinusvärdet för vinkeln inte är samma sak
25
6. Resultat
fortsätter diskussionen och Jenny drar slutsatsen att ”då är ju detta rätt. Man behöver inte få
ut några siffror!”
Trots det är frustrationen över att inte få använda miniräknaren ständigt närvarande i
blandgruppens arbete. Då gruppen konstaterar att cosinusvärdet i den trubbiga triangeln är
cos 143° är det svårt att få svaret på en annan form utan miniräknaren.
Jenny: Alltså hade man haft miniräknare hade man kunnat räkna ut det här så att det blir
liksom…
Björn: Egentligen är det ju jättelätt. Det är bara för att vi inte har en miniräknare.
Jenny: Ja precis. Jag hatar att vara utan miniräknare. Jag har inte räknat utan miniräknare
på…
Anna: Men folk på högskolan… där har man väl inte ens miniräknare?
Jenny: Nä, jag vet.
Cosinusvärdet för v = 90º känner alla igen. Jenny konstaterar att cos 90º = 0. Då uppkommer
följande diskussion:
Jenny: Cosinus 90 är noll väl?
Björn: Ja, cos noll är 90.
Jenny: Cos 90 är noll.
Björn: Nej, tvärt om. Cos noll är 90 grader.
Anna: Jaaa… Jo, så är det.
Björn menar att han kan visa att hans resonemang stämmer genom att rita upp ”den där jävla
enhetscirkeln”, men det blir Jenny som bevisar sin slutsats genom att rita in vinkeln i
enhetscirkeln. Hon förklarar för de andra i gruppen hur man läser av cosinusvärdet för en
vinkel i enhetscirkeln.
Jenny: Men det är ju så. Alltså cos. Ifall man har enhetscirkeln så är det ju cosinus på den
(pekar på x-axeln). Och på den, här är cosinus. Cos 90 är noll.
Jenny fortsätter att förklara.
Jenny: Tänk er… tänk er den här som en visare som snurrar. Så snurrar den upp hit och så är
det på x-axeln som cosinus avläses. Då kommer man upp dit. (pekar på y-axeln)
Anna: Men då blir den ju noll. Den kan vara noll på flera… Cos 90 är noll.
Jenny: Ja.
Björn: Cos noll är ju 90 säger jag ju!!!
Jenny: Men cos, alltså 90 grader blir den här.
Efter att ha löst alla andra uppgifter går gruppen tillbaks till den trubbiga triangeln och dess
cosinusvärde. Jenny ”vill kunna cosinussatsen”.
Anna: Jo, men det behövs inte.
Björn: Men blir inte cosinussatsen för kladdig? Kan man verkligen använda den utan
miniräknare?
Anna: Jag tror inte att man kan använda den formeln i det här fallet. Vi har ju inte cosinus.
Jenny: Men det är ju cosinus… Då får vi ju cosinusvärdet väl. Vi testar bara det här.
Jenny genomför en beräkning av cosinusvärdet för vinkeln med hjälp av cosinussatsen. På
beordran beräknar Björn vad 9,5 gånger 9,5 blir, men i övrigt har han slutat lyssna. Anna
hänger med på ett hörn. Jenny kommer ihåg formeln för cosinussatsen utantill, men hon får
− 39,75
använda formelsamlingen för att undanröja alla tvivel. Jenny får resultatet
och
50
konstaterar att ”det borde stämma för det blir minusvärde när den (vinkeln) är större än 90”.
26
6. Resultat
Gruppen anser sig färdiga, men jag frågar om gruppen kan komma på något sätt som direkt
ger dem cosinusvärdet för trianglarnas olika vinklar.
Jenny: Alltså utan miniräknare?
Björn: Då har vi gjort fel alltså.
Men Anna menar att ”det måste vara något samband med att det är så mycket enhetscirkeln
liksom” och får en idé.
Anna: Alltså, skulle man inte kunna använda… Om man ritar in det här (triangeln) i en
enhetscirkel liksom.
Jenny: Men varför skall jag göra det?
Anna: Jag vet inte.
Jenny är frustrerad och konstaterar att ”det känns inte som om det här gick så bra. Det känns
som om vi är ganska hjälplösa utan miniräknare. Nej det här blir inte bra”.
Anna ritar en cirkel runt den trubbiga triangeln, men Jenny är tveksam till om det går att göra
så.
Jenny: Men alltså, hur tänker ni? Tänker ni att när man skulle sätta in i enhetscirkeln, vill ni
sätta in den så här då? För i en enhetscirkel så skall det vara ett. Det här är inte ett. För det
är ju… i en enhetscirkel så blir det ju att sinus v är lika med fyra och cosinus v är lika med
fem. Alltså om det skulle varit en enhetscirkel. Men alltså den här, den får ju inte vara så hög
som fem. Så det går ju inte.
Björn: Vad då? Vad då inte vara så hög som fem?
Jenny: Men det finns ju inget som heter cos v är lika med fem.
Anna & Björn: Nej.
Björn: Men du hade kunnat kalla den 0,5 och den 0,4. Det spelar ingen roll.
Jenny: Ja ha, skall vi kalla den för 0,5? Det blir ändå inte…
Anna: Men om man ritar den med en annan radie.
Gruppen fortsätter att diskutera men tiden rinner iväg och de vill sluta.
Björn: Nu måste jag gå.
Anna: Ja, vi får lämna det så helt enkelt.
Jenny: Ja, vi ger upp.
Anna: Vi kan inte.
Jag hinner dock förklara hur enhetscirkeln fungerar och hur de hade kunnat använda den för
att få fram vinkelns cosinusvärde.
Jenny: Men då är det ju inte fel egentligen… det är bara att vi inte fick ett exakt värde.
Erika: Nej, jag bara letade efter lite mer.
Anna: Ja, det borde ju vara något samband mellan uppgifterna, men det använde ju inte vi.
6.3 Punktuppgiften
6.3.1 Hur flickgruppen löser punktuppgiften
I flickgruppen försäkrar sig Evelina om att de båda talen 0,71 är koordinater, dvs de står för
ett x- och ett y-värde. Evelina markerar punkterna i enhetscirkeln för att på så sätt undersöka
var de ligger.
Evelina: Det gör den nog inte… eller kanske. Det beror ju på hur jag har ritat. Enligt mej så
blir det ju utanför.
Flickorna är inte nöjda med noggrannheten, men Evelina hittar en lösning.
Evelina: Men, jag vet! Vi kan räkna ut hur långt det är från den till den så ser vi om det blir
mer än ett.
27
6. Resultat
Hon kommer ihåg att avståndet mellan punkten och origo kan beräknas som 0,712 + 0,712
och Karin påpekar att det helt enkelt är Pythagoras sats. Sara tycker att det verkar krångligt att
beräkna, men Evelina menar att ”vi kanske får fram jättebra tal som vi kan räkna ut” och att
de måste ”se vad 0,71 upphöjt till 2 plus 0,71 upphöjt till 2 blir”.
Evelina ställer upp en multiplikation (se höger) och får då det felaktiga svaret 50,41.
Evelina: Det blir inte något bra tal.
0,71
0,71
Sara: Var det dom två tillsammans?
Evelina: Nej, det är bara 0,71. Det blir ju hundra komma…
71
Karin: …åttiotvå.
+ 4 9 7_
Sara: Men vad är roten ur…?
5 0,41
Att beräkna roten ur 100,82 är inte lätt, men gruppen hittar en lösning.
Karin: Men det är ju större än ett!
Evelina: Ja, Åhhh… där! Ja, då måste den vara utanför.
Karin: Japp!
När flickorna tittar på den andra punkten känner de igen den.
Sara: Det är ju den som dom har tjatat om att vi skall kunna utantill.
Evelina: Just det ja…
Karin: Så är den 60 eller 30 grader?
När de skall pricka in punkten på enhetscirkeln är det svårt att få en exakt uppfattning av vad
roten ur 3 genom 2 är. Att räkna är mer framgångsrikt vilket Sara kommer på.
Sara: Men om vi skriver upp den här, får vi inte bort rottecknet då?
Flickorna utför följande beräkningar
2
3 1 2
2 + 2 =
3 1
+ =1
4 4
och Evelina konstaterar att ”den alltså ligger exakt på cirkelkanten”.
6.3.2 Hur pojkgruppen löser punktuppgiften
När pojkgruppen börjar med punktuppgiften hävdar Daniel att han känner igen koordinaternas
värden.
Daniel: 0,71 då. Men det känner jag ju igen, det talet sedan tidigare så… Och roten ur tre
genom två är också något sådant värde som… För dom värdena finns i formelsamlingen.
Gruppen ritar upp en enhetscirkel med radien 5 cm och fortsätter diskutera de kriterier som
måste gälla för att en punkt skall ligga på enhetscirkeln.
Tobias: Alla som har radien ett i enhetscirkeln ligger ju på linjen.
Det medför att gruppen gör följande beräkning:
2
3 1 2
+
r =
2
2
28
6. Resultat
r=
3 1
+ =1
4 4
3 1
, ligger på enhetscirkeln.
och kan konstatera att punkten
2 2
Att beräkna uttrycket r = 0,712 + 0,712 för hand ställer dock till en del problem och det är
svårt att få siffrorna rätt. Daniel har klart för sig att 0,712 skall bli 0,5 men Tobias undrar ändå
varför det måste bli så.
Daniel: Jo för att titta här. Om den blir 0,5 så blir den 0,5 så har du roten ur 0,5 plus 0,5 som
blir roten ur ett.
Efter en stund räknande kommer gruppen fram till att 0,712 = 0,5041
Daniel: Då får vi roten ur… eh, ett komma noll åttiotvå. Det går ju inte. Nu tycker jag vi ger
oss.
Niklas: Japp, den ligger inte där helt enkelt.
När pojkarna är färdiga frågar jag dem om de tyckte att uppgifterna var lätta eller svåra.
Daniel: Alltså med miniräknare hade det varit jättelätt eller med formelsamling, men med
detta var det ändå rätt svårt.
Det visar sig också att enhetscirkeln kändes mycket avlägsen.
Daniel: Alltså man kan ju säga att det här med enhetscirkeln och det har jag i alla fall inte
använt på evigheter.
Tobias: Inte jag heller.
Niklas: Jag har aldrig sett den!
Erika: Har du aldrig sett den förut?
Niklas: Nej. Och jag tror inte att jag sov den lektionen. Det är ganska ovanligt att jag gör det.
6.3.3 Hur blandgruppen löser punktuppgiften
I blandgruppen börjar även Anna med att säga att ”0,70 är ju ett sånt värde man brukar få”.
Björn väljer att resonera sig fram utifrån kunskap om de trigonometriska funktionernas
värdemängder genom att konstatera att ”den är ju större än noll och mindre än ett så den
måste ju vara med”. Jenny ritar en enhetscirkel och konstaterar att ”det alltså är Pythagoras
sats” där ”hypotenusan får ju inte vara större än ett”.
Gruppen kan inte komma överens om en gemensam strategi och efter en stund kör de fast.
Anna börjar plocka bland sakerna på bordet.
Anna: Varför har vi en sax liksom?
Jenny: Varför har vi overhead-papper? Ska vi klippa något… med saxen i overhead-pappret?
Eller är det bara för att förvirra oss?
Björn: Det är bara för att förvirra oss!
Anna äter godis och betonar återigen att hon känner igen värdena.
Anna: Pi, cos tre pi genom fyra är säkert 0,71.
Jenny: Va?!
Anna: Man brukar ju få 0,71. Är inte det sånt… det är ju likadant. Är inte det 0,71 liksom?
Och så tar man pi genom, pi genom fyra kanske?
Jenny: Ja ha, men det är 0,707.
29
6. Resultat
Björn ritar en enhetscirkel för att bevisa var punkten ligger.
Björn: Ni kommer att få se mitt snygga bevis här som kommer snart.
Efter en stund har han ritat färdigt.
Björn: Den touchar precis.
Jenny: Men det är ju inte bevis nog tycker jag.
Björn: Det är klart att det är.
Jenny funderar på hur man kan verifiera var punkterna ligger genom att räkna.
Jenny: Men om man skulle ta… Vänta, lyssna nu. Jag har en liten idé. Men det känns som det
var länge sedan jag räknade detta. Men om man tar roten ur… Om vi skulle ta roten ur detta
talet. Om vi tar roten ur 0,71 gånger 0,71 gånger 2, som det här blir då ju. Då kan man ju
dela upp det. För att om det är så, så kan man väl skriva roten ur 0,71 gånger roten ur 0,71
gånger roten ur två. Och i så fall så blir det ju 0,71 gånger roten ur två.
Björn har tappat koncentrationen och funderar på annat. Plötsligt kommer han på något han
vill berätta.
Björn: Växjö universitet ringde till mig för någon dag sedan.
Anna: Vad ville dom då?
Björn: Dom ville att jag skulle plugga där.
Anna: Ringde dom till och med?
Björn: Ja, dom ringde till mej.
Anna: Man brukar ju få en hel del broschyrer, men att dom ringer…
Björn: Jag har fått e-mail också. Dom bara… Ja, först mailade dom då och sa att vi ringer
dig typ i nästa vecka.
Anna: Men kan dom se liksom vad det är för speciellt med dej…
Björn: Alltså just Växjö var ju att jag själv hade skrivit på där. Dom hade väl någon tävling
eller nått. Så jag gav mitt namn på någon av dom där mässorna.
När Jenny ser den andra punkten konstaterar hon ”att nästan kan jag säga att den ligger där
för jag känner igen dom talen”. Jag frågar om de kan visa det på något sätt. Björn hävdar att
1
3
eftersom både
och är mindre än ett betyder det att punkten ligger på enhetscirkeln.
2
2
3
Jenny föredrar dock att visa det genom att räkna. Hon ritar upp en triangel med kateterna
2
1
le. och le. Hypotenusan kallar hon för x. När hon räknat på det fastslår hon nöjd ”att här
2
får vi ut ett jättebra svar. För här så får vi ju att x är lika med roten ur ett, är lika med ett. Så
då är den på enhetscirkeln”.
Hon gör även en reflektion när det gäller den andra punkten.
Jenny: Men den skall ligga exakt på enhetscirkeln. Det står inte inom. Du, alltså kolla här
(läser) Avgör om följande punkter ligger på enhetscirkeln. Det betyder väl att den måste ligga
exakt på cirkeln. Jag tänkte att det var innanför först. Men om det är exakt på cirkeln så är
det svårt att tro att det blir exakt ett liksom. Det blir det ju inte (pekar på uttrycket 0,71 ⋅ 2 ),
det ser man där. Den enda chansen att den ligger på enhetscirkeln är att detta talet blir ett.
Men Björn hänger inte med.
Björn: Men varför skall det bli ett?
Och det gör inte Anna heller.
30
6. Resultat
Anna: Jag vet inte riktigt vad det är här. Varför tar man radien?
Men Jenny förklarar och efter en stund är alla med på resonemanget och tankegången och
gruppen kommer fram till att punkten (0,71;0,71) inte ligger på enhetscirkeln.
Jag undrar då om punkten kommer att hamna lite innanför eller lite utanför. Då påbörjas en
intensiv diskussion om i vilken utsträckning en hundradel påverkar resultatet. Medan Anna
och Jenny jobbar med detta gör Björn följande reflektion av vad enhetscirkeln egentligen är.
Björn: Jag tror inte jag har tolkat enhetscirkeln som ni gör.
Erika: Hur har du tolkat enhetscirkeln?
Björn: Jag tänker mig enhetscirkeln som en platta som man är på enhetscirkeln, inte som ett
streck. Om man tänker sig enhetscirkeln som en platta, då är ju på, det är ju innanför.
Gruppen kommer fram till att punkten (0,71;0,71) ligger utanför enhetscirkeln och bestämmer
sig för att de är klara med punktuppgiften.
När Björn fyller i enkäten kan han inte låta bli att filosofera runt matematiken och dess nytta.
Björn: Användbart i vardagslivet beror ju på. Den här matematiken behöver ju ingen. Men
matematik över huvudtaget. Procent. Dom vanliga grejerna. Det beror ju på vad frågan är.
Matematik i allmänhet. Men jag menar, imaginära tal finns det ju inte en människa som
använder i vardagslivet.
31
7. Analys
7. Analys
Analysen inleds med en översiktlig genomgång av hur eleverna går tillväga när de löser
uppgifterna. Därefter har jag valt att titta på elevernas begreppsförståelse utifrån de olika
kontexter som påverkar arbetet.
7.1 Analys av hur eleverna löser triangeluppgiften, del A
När eleverna börjar med triangeluppgiften känner alla igen uppgiftstypen. Igenkännandet
utgör enligt Glaserfeld (1998) den första delen av elevernas kognitiva struktur när det gäller
trigonometri och enhetscirkeln. Det bekanta i situationen resulterar dock i att eleverna
angriper uppgiften på olika sätt. Elevernas kognitiva strukturer skiljer sig åt, vilket också får
konsekvenser för deras handlande.
Att beräkna cosinusvärdet för vinkeln v i en rätvinklig triangel får både pojkgruppen och
blandgruppen att referera till kunskaper om trigonometri i rätvinkliga trianglar. A-uppgiften
kan beskrivas som ett standardproblem och blandgruppen erinrar sig direkt att
närliggande katet
, vilket ger dem ett uttryck för vinkelns cosinusvärde.
cos v =
hypotenusan
Pojkgruppen känner också igen problemtypen. Niklas gissning att triangelns vinkel är 45° kan
tolkas som ett sätt att göra problemet ännu mer standardiserat. I läroböcker och på prov är
siffrorna oftast tillrättalagda så att svaret skall ”falla ut snyggt”. Att gissa att vinkeln är 45°
kan ur det perspektivet ses som att eleverna tror sig genomskåda uppgiftskonstruktionen
genom att de har lärt sig den mall utifrån vilken uppgifterna vanligtvis konstrueras. Vinkeln är
dock inte 45°, vilket gör att pojkarna försöker få fram vinkelns värde på ett annat sätt.
Konstaterandet att vinkeln kan skrivas som inversen av sinus, dvs v = sin −1 a c , är visserligen
riktigt eftersom kvoten a c utgör sinusvärdet för vinkeln v. På samma sätt ger kvoten b c
mellan närliggande katet och hypotenusan ett uttryck för vinkelns cosinusvärde, vilket
pojkarna hade kunnat ange som svar. Det ser dock inte gruppen, utan söker värden på vinkeln
för att använda det i ett uttryck för vinkelns cosinusvärde. Jag kan se två möjliga förklaringar
till pojkarnas angreppssätt. Dels innehåller deras kunskapsbas brister. De har inte tillräckligt
klart för sig hur förhållandet är mellan sinusfunktionens värde och dess invers. Dels kan deras
bild av matematik vara att svar bör innehålla komplicerade uttryck. Då känns det bättre med
ett långt avancerat svar än en enkel kvot med två heltal. Pojkarna är också angelägna om att
snabbt prestera ett svar. I sin iver att åstadkomma det har de varken tid eller lust att reflektera
över om svaret är korrekt eller rimligt.
Flickgruppen fäster ingen vikt vid att vinklarna finns i trianglar. Istället börjar de med att mäta
vinklarna. Även om Evelina inledningsvis tvekar om hur de skall få fram cosinusvärdet för
vinkeln är det tydligt att gruppen har en klar bild av skillnaden mellan vinkeln och dess
cosinusvärde. Då gruppen konstaterat att cosinusvärdet innebär att ta reda på cos v för någon
vinkel, blir det en signal till att de kan använda enhetscirkeln. Med hänvisning till Schoenfeld
(1992) kan det betraktas som att elevernas kunskapsbas innehåller användbara redskap som de
även kan använda på rätt sätt. Med Fischbeins (1994) terminologi kan det även beskrivas som
att flickgruppen både har de formella och algoritmiska kunskaper som krävs för att ta reda på
cosinusvärdet för vinkeln. Den formella aspekten utgör kunskap om vinkelbegreppet och
cosinusvärdet för vinkeln. Den algoritmiska aspekten avser kunskap och färdighet i att
32
7. Analys
använda enhetscirkeln korrekt och förstå hur den fungerar. När eleverna kombinerar dessa två
dimensioner kan de framgångsrikt lösa problemet.
7.2 Analys av hur eleverna löser triangeluppgiften, del B
Flickgruppen har från början valt en lösningsmetod som fungerar på alla tre trianglarna.
Därför läser de helt enkelt av cosinusvärdet för den andra vinkeln i enhetscirkeln. De andra
grupperna måste dock hitta ett annat sätt att lösa uppgiften, eftersom den andra triangeln inte
är rätvinklig.
När pojkgruppen har löst b-uppgiften anger de följande felaktiga svar som vinkelns
cosinusvärde: cos −1 180 $ − cos −1 (4 5) .
(
)
För att se hur pojkarna tänker behövs följande figur:
55
v
5
v2
4
5
Figur 3
(
)
Vinklarna i figur 3 kan skrivas som v2 = cos −1 (4 5) samt v1 = 180 $ − cos −1 (4 5) . Det är dock
ett onödigt krångligt uttryck för vinkeln v1 . Ingen med insikt om uttryckets innebörd hade
uttryckt vinkelns cosinusvärde som cos 180 $ − cos −1 (4 5) , trots att det i princip hade varit
korrekt. När pojkarna svarar ” cos −1 180 $ − cos −1 (4 5) ” saknar uttrycket dessutom matematisk
innebörd.
(
(
)
)
Blandgruppen inser att trigonometri i rätvinkliga trianglar inte är en framkomlig väg för att
hantera den trubbiga triangeln i triangeluppgiften. Gruppen kommer med flera idéer om hur
uppgiften kan lösas. Att mäta vinkeln med gradskiva känns för enkelt och gruppen har svårt
att acceptera ”cos 143° som ett godtagbart svar eftersom de inte kan beräkna värdet med
miniräknare. Gruppen försöker komma fram till en lösning på uppgiften utifrån ett
resonemang om supplementvinkeln (se figur 3), men resonemanget slutförs aldrig. Efter att
Jenny upprepade gånger har föreslagit att de skall beräkna vinkeln med hjälp av cosinussatsen
genomför hon slutligen själv de beräkningar som krävs, och gruppen har därmed löst
uppgiften.
7.3 Analys av hur eleverna löser triangeluppgiften, del C
För samtliga grupper är cos 90° något som de känner igen och samtliga grupper för ett
resonemang utifrån enhetscirkeln. Min tolkning är att det sker med olika intentioner.
I flickgruppen används enhetscirkeln för att visa något de redan vet och är säkra på, nämligen
att cos 90° = 0. Pojkgruppen är osäker på om cos 90° blir noll eller ett. Därför använder
gruppen enhetscirkeln för att lösa uppgiften, vilket i det här fallet genererar ett felaktigt svar.
33
7. Analys
I blandgruppen tvingas Jenny att använda enhetscirkeln för att förklara ett matematiskt
resonemang. Det kan beskrivas som att hon använder enhetscirkeln i undervisande syfte för
de andra i gruppen.
7.4 Analys av hur eleverna löser punktuppgiften
Samtliga grupper känner igen värdena. Flickgruppen tycks dock erinra sig värdena för att
deras lärare ”tjatat” om dem. Pojkgruppen hänvisar istället till tabell- och formelsamlingen
medan blandgruppen helt enkelt pekar på sin erfarenhet.
Trots att alla grupper ritar en enhetscirkel och prickar in punkten (0,71; 0,71) tycker ingen att
det är tillräckligt för att visa att punkten ligger eller inte ligger på enhetscirkeln. Flickgruppen
har tidigare konstaterat att noggrannheten visserligen ökar om enhetscirkeln görs större, men i
det här fallet är deras bedömning att det inte räcker att rita för att verifiera var punkten ligger.
I blandgruppen hävdar Björn att han minsann skall rita ett riktigt snyggt bevis, men Jenny
dömer genast ut den bevisstrategin.
Eleverna anser att verifiering av var punkten ligger måste ske genom att räkna. Trots att
grupperna inte till fullo behärskar tillämpningen av enhetscirkeln i andra sammanhang faller
det sig ganska naturligt att ”översätta” punkternas koordinater i enhetscirkeln som kateternas
längder i en triangel med hypotenusan 1 le. (se figur 4). Grupperna beräknar sedan värdet med
hjälp av Pythagoras sats.
0,71
0,71
Figur 4
Något som ställer till bekymmer i grupperna är att utan miniräknare beräkna 0,712 + 0,712 .
När Evelina beräknar 0,712 får hon felaktigt resultatet till 50,41. Det kan bero på brister i att
utföra multiplikation med hjälp av multiplikationsalgoritmen. Evelina behandlar
decimaltecknen som vid addition, vilket ger en felaktig placering av kommatecknet.
Produkten av två tal mellan noll och ett kan dock aldrig bli större än ett. Även om flickorna är
ovana vid att använda multiplikationsalgoritmen borde de ha reagerat över att svaret är
orimligt. Det gör de inte, utan arbetar istället obekymrat vidare med 50,41 som sedan
genererar uttrycket 100,82 .
Min tolkning är dock att flickorna i tanken betraktar 100,82 som om det vore 1,0082 och
betraktar hypotenusans längd av storleksordningen ca 1 le. snarare än som ca 10 le. Jag menar
att flickornas hantering av resultatet kan vittna om en typ av överslagsräkning, där det är
34
7. Analys
siffrornas inbördes ordning i talet som är väsentlig, inte decimaltecknets placering och talets
storleksordning. Detta förfarningssätt kan vara ett resultat av hur skolan och matematikundervisningen hanterar procenträkning och enheter. När elever räknar med procent får de
lära sig att växla mellan hundradelar och procent. I det sammanhanget kan man sätta likhet
mellan 1 och 100%. Procenttecknet betyder hundradelar och hundra hundradelar blir ett. För
eleverna kan dock procenttecknet sakna matematisk innebörd. Det fungerar snarare som en
enhet på vad som har beräknats. I beräkningar kan dock enheter utelämnas. Eleverna sätter
likhet mellan exempelvis 1 och 100, vilket i sin tur leder till att 0,5041 lika väl kan hanteras
som 50,41 utan att det känns konstigt eller orimligt för eleverna.
Blandgruppens tvekan inför att beräkna 0,712 med hjälp av multiplikationsalgoritmen kan
också tolkas som ovana eller okunskap när det gäller att utföra beräkningar för hand. Det får
konsekvenser för gruppens fortsatta arbete. Gruppens diskussioner om andra saker gör att
tiden går. När Jenny slutligen angriper uppgiften genereras ett ännu svårare problem,
nämligen att exakt bestämma vad 2 är samt om produkten 0,71 ⋅ 2 är lika med ett eller
inte.
7.5 Den kognitiva kontexten
I min undersökning utgörs den kognitiva kontexten av de uppfattningar och den förståelse
som eleverna har av trigonometri och enhetscirkeln. När eleverna löser uppgifterna framgår
det tydligt att de har skilda uppfattningar om vad begreppet ”cosinusvärde” står för. Enligt
Bauersfeld (1998) beror det på att varje elev själv konstruerar sin förståelse för det
matematiska innehåll som ett begrepp representerar. Vilken begreppslig förståelse ger
eleverna prov på i undersökningen?
Begreppsligt är det ingen skillnad på att bestämma en vinkels cosinusvärde och att bestämma
cosinus för vinkeln. De båda uttryckssätten kan dock ge helt olika associationer om vad som
skall göras. Hur eleverna löser triangeluppgiften är beroende av hur de tolkar innebörden av
begreppet ”cosinusvärde”. De behöver också veta vad som skiljer det från andra begrepp, t ex
vinkel, cosinus för en vinkel samt cosinusfunktionens invers. Elevernas angreppssätt av och
diskussioner kring triangeluppgiften vittnar om oklarheter när det gäller samtliga begrepp.
7.5.1 cos 0 = 90
Björns och Jennys diskussion om huruvida cos 90 = 0 eller cos 0 = 90 kan framstå som en
banal ordlek. Att Björn hävdar det senare behöver dock inte innebära att han har stora brister
när det gäller uppfattningen av hur vinklar och dess cosinusvärde är kopplade till varandra.
Snarare kan hans sätt att uttrycka sig vara exempel på brister i att hantera det matematiska
språket, vilket medför ett felaktigt resultat. En tänkbar förklaring till Björns resonemang är att
han ställer sig frågan ”För vilken vinkel är cosinus noll?” för att sedan svara ”Jo, cosinus är
lika med noll, när vinkeln är 90°. När detta skall uttryckas i skrift skrivs det hela ner i den
ordning saker och ting kommer, vilket resulterar i det inkorrekta uttrycket ”cos 0 = 90”.
Björns uttryckssätt kan även vara ett uttryck för flera olika brister i den kognitiva kontexten.
En omedelbar, men mindre sannolik, tolkning av hans utsaga är att han helt enkelt har
förväxlat vinkelns värde med dess cosinusvärde. Björns resonemang kan också tyda på en
förväxling mellan cos och arc cos. Cos 0 ≠ 90, men däremot är arc cos 0 = 90. Cosinus är en
funktion, vars värdemängd är mellan –1 och 1. Därför kan cosinusvärdet inte bli 90. Arc cos är
cosinus inversa funktion. En omatematisk, men intuitiv beskrivning är att det är ”cosinus tvärt
om”. När eleverna beräknar dess värde på räknaren används en knapp med texten ”Inv”,
35
7. Analys
”Shift”, ”2nd” eller liknande för att komma åt funktionen cos −1 . Begreppsmässigt är det lätt
att blanda ihop dem om eleverna endast memorerat hur man gör, men inte förstår begreppens
egentliga innebörd och hur de hänger ihop.
Björn kan rita enhetscirkeln och när gruppen löser punktuppgiften konstaterar han att punkter
mellan noll och ett ”måste vara med”. Trots det reflekterar han inte över att uttrycket
” cos 0 = 90” motsäger det tidigare påståendet. Ur ett metakognitivt perspektiv kan det tolkas
som att Björn har en kunskapsbas med flera olika redskap. Dessa har han dock svårt att
använda utanför det sammanhang i vilket han har tillägnat sig dem. Han har även svårt att
använda flera redskap samtidigt. Det gör att han inte kan se sambandet mellan enhetscirkelns
konstruktion, värdemängden för cosinusfunktionen och det felaktiga uttrycket cos 0° = 90.
Varför håller Björn fast vid att cos 0 = 90° trots att Jenny visar i enhetscirkeln att hans
resonemang inte stämmer? Min tolkning är att det rent visuellt kan vara vanskligt att skilja
mellan värdet på vinkeln och dess cosinusvärde i en figur där enhetscirkeln är inritad i ett
koordinatsystem. I enhetscirkeln kommer vinklarna 0° och 90° att följa koordinataxlarna. Då
kan det vara svårt att få en exakt uppfattning om vilket värde som är noll. För en vinkel som
är 90° kommer cosinusvärdet att visuellt hamna i origo vilket lätt kan förväxlas med vinkelns
storlek som också ”befinner” sig där.
Ur ett konstruktivistiskt perspektiv kommer varje elev att själv skapa en innebörd och
förståelse för den matematiska terminologin och dess symbolspråk. I matematikundervisningen eftersträvas att elevernas förståelse för den matematiska terminologin skall
ligga så nära den formellt korrekta definitionen som möjligt. Det är dock inte fallet för Björn.
Istället ger han uttryck för sin intuitiva uppfattning av ett matematiskt begrepp som just då
tycks mest passande. Som Fischbein (1994) förutspår uppstår motstridigheter när Jennys
formella kunskap konfronteras med Björns mer intuitiva kognition av vinkeln och dess
cosinusvärde.
7.5.2 Miniräknarens inflytande över begreppsuppfattningen
Gruppernas arbete med triangeluppgiften visar också att begreppsuppfattningen präglas av hur
elevernas tror att de kan lösa problemet. Vad cosinusvärdet egentligen är diskuteras i alla
grupperna. Flickgruppen undrar om cosinusvärdet är att bestämma ”vad cos typ 30 är”.
Pojkgruppen konstaterar att om man sätter ”cos” framför vinkeln får man cosinusvärdet, något
som blandgruppen instämmer i. Är då cos 143° vinkelns cosinusvärde? Om eleverna hade haft
miniräknare hade eleverna kunnat få fram ett närmevärde, som hade representerat vinkelns
cosinusvärde. För eleverna blir handhavandet av miniräknaren en del av begreppsuppfattningen. Att få fram cosinusvärdet innebär att slå in uttrycket på miniräknaren och få ut
ett svar. Då eleverna berövas möjligheten att använda räknaren stympas också en del av deras
förståelse för begreppet. När vinkeln är 90° är det ingen grupp som tvekar inför att bestämma
cosinusvärdet eftersom de vet hur man gör och vad det skall bli. Ett matematiskt begrepp har
dock alltid samma innebörd, oavsett hur det bestäms eller hur ett exempel är konstruerat. För
eleverna har dock cosinusvärdet delvis en annorlunda innebörd för vinklarna i de olika
trianglarna, trots att uppgiften är exakt lika formulerad.
7.5.3 Cosinus som en etikett
Att bestämma sinus och cosinus är starkt förknippat med kvoter mellan sidorna i rätvinkliga
trianglar. Om kvoten sin −1 (6 8) hade varit rätt uppställd, dvs som sin −1 (6 10 ) hade
pojkgruppen haft ett uttryck för vinkelns värde. Bortsett från den felaktiga kvoten i uttrycket
36
7. Analys
motstående katet
, vilket
kan cosinus för en vinkel i princip uttryckas som cos sin −1
hypotenusa
n
pojkarnas intention tycks vara att göra.
När Niklas får Daniel att ta bort inversen för sinus, blir dock uttrycket matematiskt felaktigt
eftersom cos (8 6 ) är ett uttryck för cosinusvärdet för vinkeln 1,333... mätt i grader eller
radianer. Samtidigt gör pojkarna en egen tolkning av hur cosinusvärdet skall uttryckas. När de
har beräknat cosinusvärdet skrivs ”cos” framför resultatet för att markera vad det är de just
har beräknat. Det kan jämföras med hur butikerna exempelvis skriver ”Pris: 10 kr” för att
berätta för kunden vad siffran anger. Cosinus betraktas alltså som en etikett eller en enhet för
att ange vad det är som har beräknats.
Varför förstår då gruppen inte att kvoten är cosinusvärdet? En förklaring kan vara att
elevernas förståelse av cosinusvärdet främst är av algoritmisk karaktär. I de uppgifter som
eleverna stött på i gymnasiet har oftast vinkeln varit given och eleverna skall räkna fram
sidornas längder. Algoritmen för hur man räknar med cosinus har varit i centrum istället för
begreppet cosinus och vad det står för. Att för en rätvinklig triangel ange cos v som kvoten
mellan närliggande katet och hypotenusan är egentligen den enklaste övning på cosinus en
elev kan stöta på. Detta inses dock inte utan eleverna gör det hela onödigt krångligt.
7.5.4 Är enhetscirkeln en ring eller en platta?
I samband med att blandgruppen löser punktuppgiften deklarerar Björn att han aldrig betraktat
enhetscirkeln som ett streck, utan som en platta. Elevens intuitiva uppfattning av vad en cirkel
är präglas i stor utsträckning av hur skolmatematiken hanterar cirkeln, vilken skiljer sig från
dess matematiska definition där cirkeln och cirkelskivan är två olika matematiska objekt.
Cirkeln är en kurva som satisfierar x 2 + y 2 = 1 medan cirkelskivan utgörs av hela den skiva
som ligger på och innanför cirkelkurvan. I matematikundervisningen och i sammanhang
utanför skolan är det dock vanligt att man inte särskiljer dessa begrepp. Exempelvis står det i
tabell- och formelsamlingen för gymnasieskolan att arean av en cirkel ges av formeln
A = πr 2 (Ekbom m fl, 1997).
Alla grupperna kommer fram till att punktuppgiften kan lösas genom att beräkna avståndet
från origo till punkten. Om eleverna likställer cirkeln med cirkelskivan kommer en punkt vars
avstånd till origo är mindre än eller lika med ett att ligga på enhetscirkeln. Detta är innebörden
av Evelinas resonemang när hon menar att de skall beräkna detta avstånd för att se om det blir
mer än ett. Om så är fallet ligger punkten inte på enhetscirkeln. Jenny vittnar om liknande
tankegångar, men efter att ha läst uppgiften mer noggrant drar hon slutsatsen att punkter som
ligger på enhetscirkeln är de punkter som ligger exakt på cirkeln, dvs vars avstånd till origo är
exakt 1 le.
Björns idé om hur de kan verifiera att en punkt ligger på
enhetscirkeln visar att när elever sammanfogar delar till helheter
där väsentliga bitar saknas genereras felaktiga resultat. Av
utdragen kan man utläsa att Björns uppfattning är att båda
punkterna i punktuppgiften ligger på enhetscirkeln eftersom
koordinaterna är större än noll men mindre än ett. Uttalandet är
relevant eftersom värdemängderna för cos v ligger mellan noll
och ett i första kvadranten (se figur 5). Det är dock inget
tillräckligt villkor för att en punkt skall ligga på enhetscirkeln.
37
Figur 5
7. Analys
Då krävs det att punkten satisfierar cirkelns ekvation, x 2 + y 2 = 1 , vilket endast de punkter
gör som ligger exakt på linjen. Björns resonemang omfattar dock alla punkter som ligger
inom en kvadrat i första kvadranten. Därför drar Björn felaktigt slutsatsen att punkten
(0,71; 0,71) ligger på enhetscirkeln.
Ett annat exempel på svårigheten att använda den kunskap man har på ett relevant sätt ger
π
Jenny då hon konstaterar att cos ≈ 0,707 utan att egentligen reflektera över hur hon kan
4
använda sin kunskap. Den punkt på enhetscirkeln som motsvarar
π
rad = 45 $ måste alltså ha samma x- och y-koordinat
4
(se figur 6). Det kan endast finnas en sådan punkt, nämligen
2 2
2 , 2 . Det ger att punkten (0,71; 0,71) inte ligger på
enhetscirkeln. Eftersom 0,707 < 0,710 måste uppgiftspunkten
Figur 6
ligga utanför.
7.6 Den situerade kontexten
Elevernas sätt att lösa uppgifterna i undersökningen beror inte bara på deras begreppsuppfattning och förståelse av enhetscirkeln och trigonometri. Den aktuella situation som
arbetet sker i har också betydelse för slutresultatet. Att undersökningen genomförs som ett
grupparbete kommer att prägla elevernas prestationer. Det finns även andra faktorer som har
inflytande över elevernas arbete, resonemang och slutresultat.
Brattström och Wistedt (in press) påpekar att grupparbete mellan elever som alla har brister i
sin uppfattning om ett matematiskt begrepp kan ha en konserverande inverkan på gruppens
arbete. I pojkgruppen är det tydligt att ingen av gruppens medlemmar har exakt klart för sig
vad triangeluppgiften egentligen går ut på. De saknar också de matematiska redskap som
krävs för att lösa uppgiften korrekt. Därför finns det ingen som kan styra upp arbetet och lyfta
diskussionen samt komma med nya infallsvinklar på problemet.
Blandgruppens arbete skiljer sig starkt från pojkgruppens. I deras diskussioner ges flera
exempel på korrekt begreppsuppfattning, färdighet i olika tekniker för hur man löser
uppgifter, samt konstruktiva förslag på möjliga tillvägagångssätt. Trots det är även blandgruppens arbete trögt och stundtals mycket oproduktivt. Ett exempel på det är att Jenny har
svårt för att få de andra i gruppen att vilja undersöka om cosinussatsen kan vara lämplig att
använda. Ett annat exempel är när Jenny bestämt sig för att enhetscirkeln inte kan användas
för att lösa triangeluppgiften då radien inte blir ett. Enligt Schoenfeld (ref) kan det bero på
elevernas bild av matematikämnets natur. När blandgruppen skall lösa triangeluppgiften letar
de efter en passande regel som de stött på tidigare i undervisningen och fokus är inställt på att
det skall gå snabbt. Därför blir tanken på att prova sig fram, diskutera alternativ, resonera
samt repetera osannolik. Eleverna är helt enkelt inte inställda på att prata om matematik på det
sättet. Det tar bara tid och är en omväg till att hitta mallen med vars hjälp de kan lösa
uppgiften.
En annan metakognitiv process som starkt präglar blandgruppens arbete är deras försök att
läsa av mina intentioner med undersökningen samt tolka den kontext som de befinner sig i när
38
7. Analys
de skall lösa uppgifterna. Eleverna spekulerar i vad oh-papprena och saxen kan användas till.
Min tanke var att om eleverna ritar en enhetscirkel i lämplig skala på rutat papper kan ohpappren användas för att rita transparenta figurer, t ex visare och trianglar. Det ger en tydlig
och enkel visualisering av problemet. Det användningsområdet ser dock inte eleverna. Istället
drar de slutsatsen att oh-pappernas funktion är att förvirra dem, något som de upplever att
lärare och läromedel ibland försöker göra i matematikundervisningen.
Elevernas uppfattning om hur lång tid det tar att lösa en uppgift är också något som påverkar
elevernas tillvägagångssätt. Att tre elever får gå ifrån en religionslektion för att tillsammans
lösa matematiska problem i grupp där resultatet skall användas i vetenskapligt syfte är en del
av den situerade kontexten. Det är också en grund för elevernas slutsatser om uppgifternas
karaktär och arbetets svårighetsgrad. Eleverna avfärdar att det skulle räcka med att mäta
vinkeln för att sedan ange vinkelns cosinusvärde som ”cos och vinkeln” eftersom det skulle
göra uppgiften för enkel och snabb att lösa.
Av gruppens resonemang framgår att deras bild av att lösa matematiska problem är att det
skall vara svårt och klurigt. I det sammanhanget verkar det alltför enkelt att mäta vinkeln med
en gradskiva för att på så sätt få cosinusvärdet direkt. Det är också ett exempel på att
elevernas intuition har ett starkt inflytande på deras matematiska beteende. Gradskivan ligger
framför dem på bordet. I instruktionerna står det uttryckligen att gradskivan är ett tillåtet
hjälpmedel vilket jag också bekräftar. Trots det tar det en lång stund innan blandgruppen
använder den för att mäta trianglarnas vinklar.
När Björn blir överbevisad av Jennys resonemang om enhetscirkeln gäller det att återupprätta
sin status och sitt anseende. Ett sätt att göra det är att påpeka för de andra och för mig att han
blivit uppringd av Växjö universitet. Även om de andra i gruppen inte räknar med hans bidrag
när det gäller att lösa uppgifterna i undersökningen kan han fortfarande fånga deras intresse
för sin person. Med sitt uttalande visar han även att högre utbildning fortfarande är aktuellt för
honom.
7.7 Den kulturella kontexten
Enligt Bauersfeld (1998) har både elever och lärare vissa förväntningar och uppfattningar om
vad man gör och vad som händer under en matematiklektion. Dessa uppfattningar utgör en del
av den kulturella kontext som matematikundervisningen sker i.
En del av den kulturella kontexten handlar om hur eleverna kommunicerar om matematik.
När blandgruppen arbetar med triangeluppgiften finns flera förslag om hur de kan gå tillväga
när de skall bestämma cosinusvärdet för den trubbiga vinkeln. Exempelvis föreslår Jenny vid
upprepade tillfällen att de skall prova om cosinussatsen kan användas. Ett annat förslag är att
de skall lösa uppgiften med hjälp av ett resonemang utifrån supplementvinkeln. Dessa förslag
uppmärksammas dock inte i någon större utsträckning och det tar lång tid för Jenny att
övertyga Anna och Björn att cosinussatsen faktiskt är värd att prövas. Att undersöka idéer och
diskutera olika strategier är en viktig del av att lösa matematiska problem. Eleverna är dock
inte vana vid att arbeta med matematik på det sättet. Enligt Schoenfeld (1992) beror det på att
uppgifter i matematik främst går ut på att applicera en given regel, vilket i sin tur medför att
de flesta problem i matematik går relativt snabbt att lösa. Från skolans matematikundervisning
är eleverna vana vid att bokens uppgifter föregås av ett exempel som får utgöra mall för hur
uppgifterna skall lösas. När uppgifterna i undersökningen saknar en sådan mall blir elevernas
39
7. Analys
uppgift att snabbt hitta den lösningsstrategi som de tror att jag hade i åtanke när uppgiften
konstruerades.
Att fråga blandgruppen om de kan komma på något annat sätt att lösa triangeluppgiften
genererar genast en misstanke hos Björn om att gruppen har gjort fel. Jag tolkar det som
ytterligare ett exempel på en ovana vid att diskutera och resonera om matematik. Eleverna är
vana vid att varje uppgift har ett korrekt svar. Om läraren fortsätter att ställa ytterligare frågor
om samma uppgift tolkas det inte som ett försök att hitta flera infallsvinklar och möjliga
lösningar av samma uppgift, utan snarare som en försiktig indikation om att klassen ännu inte
hittat det rätta svaret.
Eleverna ger också flera prov på att läroboken och dess uppgifter i stor utsträckning bidrar till
att forma deras uppfattning och bild av vad matematik är. Den trubbiga vinkelns cosinusvärde
kan mycket väl anges som cos 143°. I läroböckerna har dock eleverna sysslat med uppgifter
där cos 143° utgjort en del i en beräkning. Ur det perspektivet kan svaret både kännas ofärdigt
och ofullständigt för eleverna.
När blandgruppen skall ta reda på längderna av trianglarnas sidor väljer de att mäta kateterna
och med hjälp av dessa mått beräknar de hypotenusan. Varför mäter de inte hypotenusan? En
förklaring kan vara att de uppfattar kateterna som exakt givna. Därför söker de också ett exakt
värde på hypotenusan. En annan förklaring kan vara att de är vana vid att lösa den typen av
uppgifter. I läroböcker förekommer flitigt uppgifter på Pythagoras sats där två sidor är givna
och den tredje skall beräknas. När blandgruppen ser att kateternas längder är heltal blir det
naturligt att då beräkna hypotenusan.
7.8 Sammanfattning
Trots att det finns stora variationer mellan såväl gruppernas som individernas matematiska
förståelse och begreppsuppfattning drar jag ändå slutsatsen att eleverna i min undersökning
främst visar prov på vad Sfard (1991) kallar en operationell konception när det gäller
trigonometri och enhetscirkeln. Eleverna kan visserligen arbeta med trigonometri i rätvinkliga
trianglar. Pythagoras sats behärskas av alla eleverna och de kan även beräkna cosinusvärdet
för en vinkel i en rätvinklig triangel. De flesta av eleverna har en uppfattning om vad
enhetscirkeln kan användas till. Däremot tycks eleverna ha svårt för att se helheter och
samband, samt att kunna använda sin befintliga kunskap i ett nytt sammanhang. Eleverna är
fokuserade på det som Fischbein (1994) kallar den algoritmiska aspekten, vilken utgörs av de
tekniker och standardiserade strategier som kan användas när man löser en viss typ av
uppgifter i matematik. Eleverna ser enhetscirkeln och trigonometri som något man ”gör”
snarare än något som ”är”.
Den formella aspekten på matematik utgörs enligt Fischbein (a.a.) av definitioner, satser och
bevis. Att vara väl förtrogen med olika definitioners innebörd är väsentligt för en god
begreppsuppfattning, vilken också kan bidra till att minska betydelsen av den algoritmiska
aspekten. Om eleverna exakt har klart för sig vad begreppet ”cosinusvärde” innebär ökar
deras förmåga att dra egna slutsater om hur begreppet kan användas och behovet av
utantillkunskaper minskar. Min slutsats är dock att eleverna saknar väsentliga delar av den
formella aspekten när det gäller enhetscirkeln och trigonometri. Fischbein (a.a.) konstaterar
också att problem uppstår när den algoritmiska och den intuitiva aspekten ger motstridiga
budskap, vilket jag också ser prov på i min undersökning. När eleverna glömmer bort eller har
40
7. Analys
en vag uppfattning om algoritmen ges den intuitiva aspekten större spelrum, vilket kan ge
upphov till felaktiga lösningar och förfaringssätt.
En förklaring till elevernas algoritmiska tänkande är att det uppmuntras i de läroböcker
eleverna har i matematik. Enligt Pesek och Kirshner (2000) tenderar matematikundervisning
under tidspress främst att bli av instrumentell karaktär. Eleverna får lära sig hur de skall lösa
olika uppgifter, men inte varför en viss lösningsmetod fungerar. Det kan också vara en
bidragande orsak till att eleverna, när de löser uppgifterna i undersökningen, ger uttryck för
uppfattningar som i stor utsträckning överensstämmer med Schoenfelds (1992) beskrivning av
elevers kulturella kontext när det gäller matematik och matematikundervisning. Han menar att
elever anser att matematik främst innebär att öva på olika algoritmer, att det skall gå snabbt att
lösa en uppgift om man bara tillämpar rätt algoritm samt att det endast finns ett korrekt svar,
vilket jag också ser tecken på hos eleverna i min undersökning.
När det gäller trigonometri tycks miniräknaren utgöra en del av elevernas begreppsuppfattning. Om miniräknaren finns med i en undervisningssituation som främst är av
instrumentell karaktär kommer räknaren att utgöra en del av en algoritm. Eleverna lär vilka
begrepp och formler som kan användas för att lösa en viss typ av uppgifter, men även hur det
hela skall hanteras på miniräknaren. När eleverna inte tillåts använda miniräknaren kommer
de alltså att berövas väsentliga delar av sin algoritmiska förståelse.
41
8. Lärarna och eleverna – en avstämning
8. Lärarna och eleverna – en avstämning
En del av mitt syfte utgörs av att undersöka i vilken utsträckning gymnasieelevers förståelse
av matematiska begrepp motsvarar vad högskolelärare anser att studenter bör kunna när de
kommer till högskola eller universitet. När det gäller enhetscirkeln och trigonometri pekar
högskolelärarna på flera enskilda moment som är viktiga, men diskuterar också om mer
övergripande frågor när det gäller matematik och skillnader mellan matematikstudier på
gymnasiet och högskolan. Därför kommer jag att diskutera hur elevernas matematiska
kunskaper förhåller sig till lärarnas önskemål om vad nyblivna studenter bör kunna. Jag
kommer även att diskutera likheter och skillnader när det gäller synen på matematik och
matematikstudier ur ett mer generellt perspektiv.
Eleverna är väl förtrogna med det som Mats kallar en syntetisk definition av enhetscirkeln,
dvs eleverna vet att enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 le. och centrum i origo. Att
enhetscirkelns kan beskrivas med ekvationen x 2 + y 2 = 1 , som utgör en analytisk definition av
cirkeln, är dock främmande för eleverna. Cirkelns ekvation förekommer inte i de flesta av
gymnasieskolans läromedel i matematik (Skolverket, 1998) och därför är eleverna inte vana
vid den. Cirkelns ekvation och Pythagoras sats är dock intimt förknippade med varandra. Att
eleverna hanterar punktuppgiften med Pythagoras sats visar att eleverna kan undersöka om en
punkt ligger på cirkeln även om de inte känner till dess ekvation.
När det gäller olika begrepp som har med enhetscirkeln att göra, t ex vinkel, koordinater och
punkt, visar eleverna i undersökningen prov på att de kan använda begreppen när de löser
uppgifterna. Det tyder på att de har vad Mats kallar en algoritmisk förståelse för begreppet.
Christian säger att studenterna förutsätts vara bekanta med sinus- och cosinusbegreppet när de
kommer till universitetet. Min uppfattning är att eleverna i undersökningen uppfyller även
detta önskemål när det gäller sinus och cosinus i rätvinkliga trianglar, samt att de även har en
viss känsla för hur enhetscirkeln kan användas för att ta reda på sinus- och cosinusvärdet för
en vinkel.
Har eleverna då den formella och djupare begreppsförståelse som lärarna efterlyser? Jag anser
att svaret skiljer sig mellan de olika grupperna. Medan flickgruppen visar flera prov på en god
känsla för både begreppens innebörd och deras roll i ett större sammanhang, ger pojkgruppen
och delar av blandgruppen flera exempel på motsatsen. Svårigheten att hålla isär olika
begrepp kan tolkas som att eleverna i pojk- och blandgruppen delvis saknar en formell
begreppsförståelse, eftersom de inte har klart för sig hur de olika begreppen definieras. Då är
det även svårt att skapa sig en intuitiv bild av begreppet och sätta in det i ett större
sammanhang. Därför drar jag slutsatsen att det även finns brister i den djupare förståelsen av
begreppen.
Både högskole- och universitetslärarna samt läromedel i gymnasiematematik påpekar att
enhetscirkeln spelar en nyckelroll när det gäller att studera sinus och cosinus för vinklar som
är större än 90 grader, samt för att definiera de trigonometriska funktionerna. Enhetscirkeln
blir en brygga mellan det specifika och det generella. Mats understryker hur viktigt det är att
eleverna förstår den abstrakta idén med enhetscirkeln eftersom den idén är transfererbar
mellan olika matematiska sammanhang. Lyckas eleverna med detta? Jag menar att flickgruppen gör det när de löser triangeluppgiften. De lyfter ut vinkelbegreppet från trianglarna
till enhetscirkeln, som utgör deras redskap för att lösa uppgiften. Flickornas sätt att hantera
uppgiften visar att de har lyckats fånga den abstrakta idén med enhetscirkeln där ett specifikt
problem ersätts av ett mer generellt. I blandgruppen visar Jenny att hon kan använda
42
8. Lärarna och eleverna – en avstämning
enhetscirkeln för att förklara för de övriga i gruppen att cos 90° = 0. Däremot har hon svårt att
se att enhetscirkeln kan användas för att få fram cosinusvärdet för vilken vinkel som helst när
enhetscirkeln får radien 5 cm. Den generella och transfererbara kunskapen försvinner i det
specifika fallet.
Trots att eleverna i undersökningen ibland har en vag uppfattning om begreppens innebörd
och definitioner samt att det kan vara svårt att sätta in begreppen i ett större sammanhang
anser jag att det snarare handlar om brister i begreppsförståelsen, eller oförmåga att använda
det eleverna förstår på rätt sätt och i rätt sammanhang, än om felaktigheter i begreppsförståelsen. Så är dock inte fallet när det gäller Jennys och Björns uppfattning om cirkelbegreppet och hur de uppfattar en cirkel. Ur ett matematiskt perspektiv kan cirkeln beskrivas
som en kurva av punkter på avståndet a le. från mittpunkten. Den definitionen överensstämmer dock inte med deras bild av vad en cirkel är. Istället uppfattar de cirkeln som en
platta bestående av de punkter som ligger på och innanför cirkelns rand. Denna ”platta” kallas
i matematiska termer för cirkelskiva. Eleverna uppfattar alltså cirkeln som en cirkelskivan.
Högskole- och universitetslärarna påtalar de skillnader som finns mellan matematikstudier på
gymnasiet och högskolan. Deras bild av gymnasiematematiken är att den främst är inriktad på
att räkna och att träna olika algoritmiska färdigheter, vilket hindrar elever från att se helheter
och samband i matematiken. Detta kan beskrivas som att lärarna anser att nyblivna studenter
främst besitter en operationell konception för matematiken. Samtidigt önskar de att
matematikundervisningen på gymnasieskolan i större utsträckning inriktas mot en strukturell
konception för att underlätta stadieövergången mellan gymnasium och högskola.
Min slutsats är att eleverna i min undersökning i stor utsträckning bekräftar den bild lärarna
har av gymnasieelevers kunskaper och syn på vad det innebär att arbeta med matematik.
Eleverna har en operationell konception när det gäller trigonometri och enhetscirkeln,
eftersom de främst förknippar begreppen med olika beräkningar och handlingar. Uppgifterna i
undersökningen angrips i rask takt. I blandgruppens arbete blir det tydligt att de drar sig för att
diskutera och prova olika lösningsstrategier. I pojkgruppen vill eleverna varken diskutera eller
räkna. De vill bara ha ett snabbt svar.
En formell förståelse för ett matematiskt begrepp innebär, enligt en av lärarna, att man kan
använda matematiska definitioner och i dessa har språket en viktig roll. I matematiska
sammanhang får varje ord en exakt innebörd, vilket är mer ovanligt i vardagligt språk. När
pojkgruppen löser uppgifterna används genomgående ”den” istället för begreppens riktiga
namn som ”sida” och ”katet”. Explicita beskrivningar av vad som görs ersätts av ”gör så”.
Gruppen saknar förmåga eller vilja att använda språket på ett matematiskt korrekt sätt. Det
framgår dock att eleverna även i andra avseenden saknar den exakthet i definitionerna som
lärarna efterlyser. När eleverna skall använda begreppen ”cirkel” och ”cosinusvärde” tvingas
de reflektera över begreppens exakta innebörd, vilken helt plötsligt inte framstår som
självklar. Min tolkning är att det belyser den skillnad som Christian anser finns mellan det
matematiska språket på gymnasiet och på högskolan.
Studier i matematik på och universitet förutsätter att eleverna har förmåga att kunna följa ett
matematiskt resonemang. Det största hindret, menar flera av lärarna, är att nyblivna studenter
har brister i grundläggande algebraiska färdigheter. Eftersom uppgifterna i min undersökning
inte krävde omfattande algebraiska manipulationer har jag svårt att dra några långtgående
slutsatser om detta. Däremot kan det vara värt att påpeka att eleverna hade svårt att utföra
vissa grundläggande beräkningar, exempelvis multiplikationsalgoritmen, för hand.
43
8. Lärarna och eleverna – en avstämning
Det är tydligt att avsaknaden av miniräknaren i mycket stor utsträckning påverkar elevernas
arbete med uppgifterna, både när det gäller rutinmässiga beräkningar och begreppsförståelse.
Grundläggande aritmetiska beräkningar ställer till problem för eleverna. För blandgruppen
blir problemet riktigt svårt när de skall räkna med 2 . Det är även tydligt att de möjligheter
som finns för att lösa en uppgift kan påverka elevernas förståelse. Eleverna anser att
uppgifterna hade varit lättare om de bara hade fått använda miniräknare. Då hade det varit
enkelt att bestämma cosinusvärdet för vinklarna i trianglarna. Utan miniräknare blir
problemen genast mycket svårare. Då är det inte lika uppenbart vad som egentligen menas
med cosinusvärde. Jag anser att detta visar att miniräknaren hämmar elevernas begreppsutveckling. Att detta generellt är en konsekvens av det intensiva användandet av miniräknare
som förekommer på många gymnasieskolor idag tror också ett par av lärarna.
44
9. Diskussion
9. Diskussion
Syftet med min uppsats är att undersöka gymnasieelevers förståelse av matematiska begrepp,
nämligen enhetscirkeln och trigonometri. En slutsats av min undersökning är att eleverna har
svårt för att se helheter och samband, samt att kunna använda sin befintliga kunskap i ett nytt
sammanhang. Vad beror det på?
Min erfarenhet av matematikundervisningen på gymnasiet är att den har en stark prägel av att
samtliga moment i kursen skall behandlas. Jag tror att de nationella proven i matematik utgör
en förklaring. Gymnasielärares omsorg och lojalitet mot eleverna gör att de vill förbereda
eleverna inför proven på ett så bra sätt som möjligt. I det sammanhanget är det omöjligt att
hoppa över moment som läraren misstänker kan komma på de nationella proven. Jag tror
också att matematiken behandlas på ett sätt som skall ge eleverna så goda förutsättningar som
möjligt att klara den typ av uppgifter som troligtvis kommer på provet.
En annan förklaring till att matematikkurserna på gymnasiet kan upplevas som ”stoffintensiva” är, enligt min uppfattning, att läroboken i många fall har ett stort inflytande på
matematikundervisningens utformning på gymnasiet. Om gymnasieläraren väljer att slaviskt
följa lärobokens upplägg kan matematikkurserna bli mycket omfattande, både när det gäller
den matematiska teorin och antalet övningsuppgifter som eleverna skall räkna.
Jag tror också att den matematiska kunskapens natur kan vara en bidragande orsak till en vilja
och ambition att hinna med så många moment som möjligt. Många delar av matematiken
kräver att eleverna har andra matematiska förkunskaper. Exempelvis är det svårt att arbeta
med derivator av trigonometriska funktioner om man inte behärskar funktionsbegreppet och
har förståelse för derivata.
Ovanstående beskrivning skulle även kunna gälla mina matematikstudier när jag gick på
gymnasiet. Att i efterhand reflektera över sin egen bristande förståelse av ett begrepp är svårt,
men med största sannolikhet berodde min vaga föreställning om hur sinus- och cosinusvärden
för olika vinklar kunde hamna i en cirkel på att min konception också var av operationell
karaktär. Av det drar jag slutsatsen att min strukturella konception av enhetscirkeln och dess
trigonometri uppnåddes när jag studerat matematik på universitetet. Genom att lösa mer
matematik och tränga djupare in i ämnet lyckades jag sätta in begreppen i ett större
sammanhang. Enhetscirkeln konverterades från ”att göra” till ”att vara”.
Skulle nyblivna studenters matematikstudier gynnas av att färre moment togs upp i gymnasiet
till förmån för att varje moment istället studerades mer grundligt och utförligt? Högskole- och
universitetslektorerna som jag intervjuar efterlyser en strukturell konception hos eleverna
samt att undervisningen på gymnasiet i större utsträckning skall inriktas mot relationell
förståelse. Hur kan det åstadkommas? Jag tror att frågorna saknar entydiga svar. Att elever
ges möjlighet att se samband och sammanhang redan på gymnasiet är naturligtvis viktigt. Jag
tror dock att elever med en god förståelse för enskilda begrepp även kan uppnå detta när de
läser matematik på högre nivå. Enligt min uppfattning är det mer väsentligt att den
algoritmiska aspekten i gymnasiematematiken tonas ner till förmån för den formella aspekten.
Jag tror också att det är viktigt att förändra den syn på matematiken som många elever enligt
Schoenfeld (1992) har, nämligen att matematik är en samling regler som skall memoreras och
övas på. Jag menar att det kan åstadkommas genom att eleverna får syssla med olika typer av
aktiviteter och arbeta på varierande sätt med olika material under en matematiklektion. Det
öppnar upp elevernas kreativitet och gör att de lättare kan se otraditionella lösningsmetoder.
Då finns det möjlighet att vidga elevernas uppfattning av vad matematik och arbete med
45
9. Diskussion
matematik är, vilket i förlängningen ökar deras möjlighet att få en djupare förståelse för olika
matematiska begrepp.
Naturvetenskapsprogrammet är gymnasieskolans mest matematikintensiva program och syftar
främst till att förbereda för vidare studier (Skolverket, 2002c). Det behöver dock inte innebära
studier i matematik. Naturvetenskapligt program ger en bred kompetens och behörighet att
söka de flesta utbildningsprogram på högskola och universitet. För många utbildningar med
naturvetenskaplig inriktning ger naturvetenskapligt program på gymnasiet den särskilda
behörighet som krävs för att kunna söka. Det är dock inte säkert att matematiken står i fokus
när studenterna väl blivit antagna. Matematiken på gymnasiet utgör bara en inträdesbiljett till
universitetet, men ämneskunskaperna har ibland ingen direkt roll för de fortsatta studierna.
Problemet är dock att både elever som skall använda sina matematikkunskaper för fortsatta
studier i ämnet och elever som skall läsa helt andra utbildningar läser matematik tillsammans
på gymnasiet. Utmaningen ligger i att ge båda dessa grupper en matematikundervisning som
gynnar deras intressen.
Ett annat problem är att intresset för matematikintensiva utbildningar blir allt lägre. Kan
gymnasieskolans matematikundervisning utformas så att fler elever väljer att läsa matematik?
Min personliga erfarenhet är att gymnasieelever ibland ifrågasätter vad de skall ha sina
kunskaper till. Idag utgör matematisk analys en förhållandevis stor del av gymnasiekursens
innehåll. Kanske skulle analysdelen i matematikkurserna på gymnasiet tonas ner till förmån
för diskret matematik och algebra. Att motivera gymnasieelever att studera de hela talens
egenskaper, induktionsbevis och grundläggande kombinatoriska problem kan vara lättare för
en lärare eftersom dessa områden kan kännas mer vardagliga och nära, samtidigt som
eleverna har möjligheter att utveckla sitt logiska och matematiska tänkande.
9.1 Felkällor och metodkritik
I min studie har jag intervjuat fyra högskole- och universitetslärare. För att dra generella
slutsatser om vad lektorer i matematik tycker att nyblivna studenter bör kunna om enhetscirkeln och trigonometri när de påbörjar högskole- eller universitetsstudier i matematik
behövs ett större urval. Jag anser dock att resultatet av lärarintervjuerna ger en tydlig fingervisning om vad lärarna som grupp önskar och anser, samt att resultatet utgör en relevant och
valid bakgrundsbeskrivning av ämnet. Trots att lärarna verkar i skilda miljöer, både när det
gäller storlek och studentklientel, är lärarna relativt samstämmiga. Det bidrar enligt min
mening ytterligare till att resultatet av lärarintervjuerna är tillförlitligt och användbart i min
undersökning.
Materialet från intervjun med Anders och halva intervjun med Christian utgörs av mina
anteckningar, medan intervjuerna med Mats och Karl-Johan är ordagrant utskrivna. Jag menar
dock att det har en mindre betydelse eftersom jag intresserat mig för deras åsikter och
erfarenheter utan att göra en djupare analys av deras intentioner med vad de säger.
Eftersom jag inte haft ett genusperspektiv i min analys var min avsikt inledningsvis att
samtliga grupper skulle bestå av både pojkar och flickor. Vid tidpunkten för undersökningens
genomförande var det dock svårt att få tag på elever, varför omständigheter gjorde att det blev
en flickgrupp, en pojkgrupp och en blandgrupp. Jag kan se en tydlig skillnad mellan flick- och
pojkgruppens sätt att diskutera och lösa uppgifterna. Medan flickorna var noggranna och
grundliga, både i sina resonemang och sina skriftliga redovisningar, var pojkarna både
fåordiga och ostruktuerade i sin skriftliga redovisning. Jag tror att resultatet i stor utsträckning
46
9. Diskussion
hade påverkats av om samtliga grupper hade bestått av både pojkar och flickor. Att
undersökningen trots allt fick en könsdimension har dock en poäng. Lärarutbildningen och
högskoleingenjörsutbildningen utgör två exempel på utbildningar som innehåller matematikstudier. Idag är en stor andel av de blivande lärarna kvinnor, liksom en majoritet av de
blivande ingenjörerna är män. Undervisningsgrupperna kan få en tydlig överrepresentation av
det ena eller det andra könet beroende på vilket program studenterna läser. Högskole- och
universitetslärare kommer att möta undervisningsgrupper som arbetar med matematik på olika
sätt. Vad det kan innebära för matematikundervisningen kan gruppernas arbete ge en föraning
om.
Uppgifterna i undersökningen konstruerades i huvudsak utifrån lärarnas uppgiftsförslag.
Medan triangeluppgiften föll väl ut visade det sig att punktuppgiften hade kunnat generera ett
ännu intressantare resultat om jag valt en punkt som låg strax innanför enhetscirkeln.
Eftersom ett par av eleverna betraktade enhetscirkeln som en platta hade en sådan
uppgiftskonstruktion ställt elevernas begreppsuppfattning på sin spets.
Min uppfattning är att närvaron av bandspelare och videokamera inte påverkat elevernas
arbete. Efter ett par minuter tog ingen av eleverna notis om den tekniska utrustningen. En
viktig fråga är hur mina inlägg påverkade resultatet av elevernas arbete. Bidrog mina frågor
och kommentarer till att styra eleverna i en viss riktning som de annars inte skulle ha valt? De
flesta av mina inlägg var frågor av typen ”vad”, ”hur” och ”varför”. De syftade till att få
eleverna att tydliggöra sina resonemang och tankar. Andra inlägg gjordes med intentionen att
få eleverna att ”göra mer”. Det är tydligt att flickgruppen inte hade löst triangeluppgiften med
hjälp av cosinussatsen utan min direkta uppmaning att söka flera sätt att lösa uppgiften.
Å andra sidan finns det också exempel på att eleverna inte bryr sig om mina uppmaningar.
Trots att jag säger att blandgruppen kan använda gradskivan tar det lång tid innan det sker.
Min slutsats är att mina inlägg fått eleverna att diskutera mer och gjort mer omfattande
lösningar än de annars skulle gjort, men att det inte bidragit till att styra eleverna till en viss
lösning eller ge dem uppslag som de inte själva skulle ha kommit på.
9.2 Förslag till fortsatt forskning
Eftersom jag intresserat mig för elevernas begreppsförståelse har jag valt att analysera mitt
empiriska material utifrån ett konstruktivistiskt perspektiv. Det är dock tydligt att lärande och
förståelse har en stark koppling till den sociala praktik i vilken lärandet äger rum. En
kompletterade studie där mitt empiriska material analyseras utifrån ett sociokulturellt
perspektiv hade kunnat fokusera hur uppgifternas sociala och kommunikativa inramning
påverkar hur eleverna förstår och löser uppgifterna. En sådan studie genererar givetvis andra
frågeställningar, men jag tycker att det skulle vara intressant att analysera samma empiriska
material med dessa skilda teoretiska perspektiv.
Det finns en tydlig skillnad mellan flickgruppens och pojkgruppens sätt att arbeta. Att
analysera hur gruppernas kontextualisering av matematiska begrepp sker utifrån ett genusperspektiv är en intressant forskningsfråga att arbeta vidare med, i synnerhet eftersom flickors
intresse för matematik och naturvetenskap generellt är lägre än pojkars. En liknande studie
skulle med fördel även kunna göras av andra matematiska begrepp. Att undersöka elevers
begreppsuppfattning inom analys, komplex analys eller differentialekvationer vore också
mycket intressant.
47
9. Diskussion
Att språket har en avgörande betydelse för elevernas kognitiva kontextualisering av
matematiska begrepp belyses i lärarintervjuerna och jag ser även prov på det i min
undersökning. Därför vore det intressant att göra en djupare studie av språkets roll i
matematikundervisningen. Några olika infallsvinklar skulle kunna vara att undersöka hur
användningen av det matematiska språket skiljer sig mellan gymnasiet och högskolan, samt
att undersöka den koppling som finns mellan matematikens innehåll och språk.
Många hävdar att grafritande miniräknare och andra tekniska hjälpmedel kan medföra
positiva effekter för undervisningen. Om miniräknaren exempelvis används till algoritmiska
beräkningar kan tid frigöras till att arbeta med matematisk förståelse. Resultatet av min undersökning visar dock att miniräknaren inte bara blir ett tidsbesparande hjälpmedel utan även
utgör en väsentlig del av elevernas begreppsuppfattning. Exempelvis har eleverna svårigheter
att multiplicera två decimaltal för hand. Jag menar att det aktualiserar de frågor som Dreyfus
(1994) ställer, nämligen i vilken utsträckning manipulativa färdigheter och praktiska
erfarenheter påverkar den konceptuella förståelsen av matematiska begrepp.
48
Referenser
REFERENSER
Ahlqvist, T., Andersson, P., Nilsson, S., Olsson, N.-E., Persson, B., Rodhe, S., Sollervall, H.,
Spjuth, M.-A. & Stridh, Å.(1999) MerIT Matematik D. Lund: Studentlitteratur.
Axelsson, R., Bratt, H., Jakobsson, G., Jakobsson, L., Nilson, K. & Sikö, A. (1996) Optima D.
Malmö: Liber-Hermods.
Bauersfeld, H. (1998) Radikalkonstruktivism, interaktionism och matematikundervisning. I:
A. Engström (red.), Matematik och reflektion – En introduktion till konstruktivismen inom
matematikdidaktiken (s. 54-81). Lund: Studentlitteratur.
Bjerlöv, M. (1999) Om lärande i verksamhetsanknutna samtal, en studie om lärande i möten
på en arbetsplats. Solna: Arbetslivsinstitutet.
Björk, L.-E., Borg, K. & Brolin, H. (1995) Matematik 2000, Kurs CD. Stockholm: Natur och
Kultur.
Björk, L.-E. & Brolin, H. (1999) Matematik 3000, Kurs A och B. Stockholm: Natur och
Kultur.
Björk, L.-E. & Brolin, H. Hur kan ny teknik i form av miniräknare och datorer påverka den
framtida matematikundervisningen? En presentation av ADM-projektets försökverksamhet
med verktygsprogram i matematik.
Björup, K., Körner, S., Oscarsson, E., Sandhall, Å. & Selander, T. (1995) Delta, Matematik
för gymnasiet kurs C+D. Malmö: Gleerups.
Danielsson, R., Gabrielsson, G. & Löfstrand, B. (1995) Räkna till Max, Kurs D, Grundbok
och Övningsbok. Malmö: Gleerups.
Dreyfus, T. (1994) The role of cognitive tools in mathematics education. I: R. Biehler, R.
Scholz, R. Sträßer & B. Winkelmann (red.), Didactics of Mathematics as a Scientific
Discipline (s. 201-211). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Ekbom m fl. (1997) Tabeller och formler för NV- och TE-programmen. Matematik, fysik,
astronomi, kemi, energi och miljö. Stockholm: Liber.
Ernest, P. (1998) Vad är konstruktivism? I: A. Engström (red), Matematik och reflektion – En
introduktion till konstruktivismen inom matematikdidaktiken (s. 21-33). Lund:
Studentlitteratur.
Fischbein, E. (1994) The interaction between the formal, the algorithmic, and the intuitive
components in a mathematical activity. I: R. Biehler, R. Scholz, R. Sträßer & B. Winkelmann
(red.), Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline (s. 231-245). Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers.
Glaserfeld, E. (1998) Kognition, konskapskonstruktion och undervisning. I: A. Engström
(red.), Matematik och reflektion – En introduktion till konstruktivismen inom
matematikdidaktiken (s. 34-53). Lund: Studentlitteratur.
49
Referenser
Högskoleverket. (2002) Utvärdering av matematikutbildningar vid svenska universitet och
högskolor. Högskoleverkets rapportserie 2002:5 R. Stockholm: Högskoleverket.
Imsen, G. (2000) Elevens värld. Introduktion till pedagogisk psykologi. Lund:
Studentlitteratur.
Jacobsson, S., Wallin, H. & Wiklund, S. (1995) Matematik Program N, kurs C+D.
Stockholm: Liber AB.
Möllehed, E. (2001) Problemlösning i matematik. En studie av påverkansfaktorer i
årskurserna 4-9. Malmö: Lärarhögskolan.
Noël, É. (red.) (2001) Matematikens gryning. Lund: Studentlitteratur.
Pesek, D. D. & Kirshner, D. (2000) Interference of instrumental instruction in subsequent
relational learning. Journal for Research in Mathematics Education, 31(5), 524-540.
Schoenfeld, A. (1992) Learning to think mathematically: problem solving, metacognition, and
sense making in mathematics. I: D. Grouws (red.), Handbook of research on mathematics
teaching and learning. (s. 334-370). New Yourk: Macmillan.
Sfard, A. (1991) On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes
and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics 22, 1-36.
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Skolverket. (1998) TIMSS Kunskaper i matematik och naturvetenskap hos svenska elever i
gymnasieskolans avgångsklasser. Skolverkets rapport nr 145. Stockholm, Liber Distribution.
Skolverket. (2002a) Skolverkets kursplan för Ma 200 – Matematik A, 99/00. Tillgänglig på
Internet: http://www3.skolverket.se/ki/SV/9900/sf/21/ol/index.html [Hämtad 02.07.17].
Skolverket. (2002b) Skolverkets kursplan för Ma 1204 – Matematik D, 01/02. Tillgänglig på
Internet: http://www3.skolverket.se/ki/SV/0102/sf/21/ol/index.html. [Hämtad 02.07.17].
Skolverket. (2002c) Gymnasial utbildning, Naturvetenskapsprogrammet. Kursinfo 2002/03.
Tillgänglig på Internet: http://www3.skolverket.se/ki/SV/0102/sf/21/ol/index.html. [Hämtad
02.10.11].
Wistedt, I. & Brattström, G. (in press) Understanding Mathematical Induction in a Cooperative Setting: Merits and Limitations of Classroom Communication Among Peers. I: A.
Chronaki & I. M. Christiansen (red.), Challenging Ways of Viewing Classroom
Communication. Elsevier Science.
von Wright, G. H. (1971) Explanation and understanding. London: Routledge & Kegan.
Wyndhamn, J., Riesbeck, E. & Schoultz, J. (2002) Problemlösning som metafor och praktik.
Studier av styrdokument och klassrumsverksamhet i matematik- och teknikundervisningen.
Linköping: UniTryck.
50
Bilaga 1
FORMLER
c
a
v
b
a2 + b2 = c2
Pythagoras sats
tan v =
Trigonometri i rätvinkliga trianglar
a
b
sin v =
a
c
cos v =
C
a
b
A
Sinussatsen
B
c
sin A sin B sin C
=
=
a
b
c
Cosinussatsen
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C
Trigonometriska samband
sin( −v) = − sin v
cos(−v) = cos v
sin(180 $ − v ) = sin v
cos(180 $ − v) = − cos v
cos v = sin(90 $ − v)
sin v = cos(90 $ − v)
Trigonometriska ettan
sin 2 v + cos 2 v = 1
Avståndsformeln
d = x2 + y2
b
c
Bilaga 2
UPPGIFTSPAPPRET MED TRIANGELUPPGIFTEN
Bilaga 3
UPPGIFTSPAPPRET MED PUNKTUPPGIFTEN
Bilaga 4
LÖSNINGSFÖRSLAG LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TRIANGELUPPGIFTEN
Eftersom vinklarna kan mätas med gradskiva kan enhetscirkeln användas för att få fram
cosinusvärdet för samtliga trianglar i uppgiften. Om trianglarna ritas in i en enhetscirkel med
lämplig skala, t ex 1 le. = 10 cm kan cosinusvärdet läsas av på x-axeln (se figur 1).
Figur 1
Det ger följande resultat:
a)
v1 = 30°
b)
v2 = 143°
c)
v3 = 90°
cos v1 = 0,87
cos v2 = -0,80
cos v3 = 0
Uppgiften går även att lösa genom att utnyttja olika trigonometriska formler för trianglar. Den
första triangeln är rätvinklig så eleverna kan använda de trigonometriska sambanden för
rätvinkliga trianglar. Cosinusvärdet erhålls genom att beräkna kvoten mellan närliggande
katet och hypotenusan (se figur 2).
c
a
v
b
Det ger att: cos v =
b
c
Figur 2
Bilaga 4
Cosinusvärdet för vinkeln i den andra triangeln kan bestämmas på samma sätt, men då måste
ännu ett samband utnyttjas, nämligen att cos (180° –v) = –cos v. Genom att komplettera den
trubbiga triangeln och införa beteckningar erhålls (se figur 3):
v
c
v
b
Figur 3
cos v1 = −cos (180°−v1) = −cos v2 = −
b
c
Cosinusvärdet för vinkeln kan även bestämmas med hjälp av cosinussatsen som lyder
c2 = a2 + b2 −2⋅a⋅b⋅cos v
Med hjälp av cosinussatsen kan cosinusvärdet beräknas enbart med värden på triangelns sidor
(se figur 4).
c
a
v
b
Figur 4
a2 + b2 − c2
c2 − a2 − b2
eller cos v =
2⋅ a ⋅b
− 2⋅a⋅b
På samma sätt kan cosinussatsen användas för att beräkna cosinusvärdet för vinkeln v även i
de andra två trianglarna.
Om man löser ut cos v får man:
cos v =
I den tredje triangeln är vinkeln v = 90° (se figur 5).
v
Figur 5
Cos 90° = 0 är ett värde som många elever kan utantill. Det går även att beräkna
cosinusvärdet för 90 grader med hjälp av cosinussatsen.
Bilaga 5
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL PUNKTUPPGIFTEN
Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 le. och centrum i origo. Det kan algebraiskt uttryckas
med hjälp av enhetscirkelns ekvation x 2 + y 2 = 1 . Att en punkt (x, y) ligger på enhetscirkeln
innebär att dess kooordinater x och y satisfierar enhetscirkelns ekvation. Samma sak kan även
visas med Pythagoras sats, avståndsformeln eller trigonometriska ettan.
Alltså, för punkten P med koordinaterna (x, y) gäller att:
Om x 2 + y 2 = 1 så ligger punkten P på cirkeln, eller tydligare uttryckt, på cirkelbågen.
Om x 2 + y 2 > 1 så ligger punkten P utanför enhetscirkeln.
Om x 2 + y 2 < 1 så ligger punkten P på cirkelskivan, men inte på enhetscirkeln.
Eleverna kan göra en algebraisk lösning med avståndsformeln, Pythagoras sats eller cirkelns
ekvation. Då kommer de att upptäcka att avstånden från origo till punkten blir något större än
ett. Därför är det rimligt att dra den korrekta slutsatsen att punkten (0,71; 0,71) inte ligger på
cirkeln.
2 är ungefär lika med 1,41. Om eleverna kommer ihåg det kan de beräkna
avrundas till 0,71. Det innebär att 0,71 tolkas som ett närmevärde till
1,41
vilket kan
2
2
och punkten
2
2 2
π
, vilken motsvarar vinkeln 45° eller . Utifrån det kan elverna felaktigt dra
,
2 2
4
slutsatsen att punkten ligger på enhetscirkeln.
Det är även möjligt att eleverna väljer att helt enkelt rita en enhetscirkel och pricka in
punkten. Det är dock svårt att i bilden avgöra om punkten ligger precis på enhetscirkeln eller
ej, då den ligger mycket nära.
Det är lätt att visa att den andra punkten satisfierar cirkelns ekvation:
2
3 1 2
2 + 2 = 1
Om punktens koordinater sätts in i avståndsformeln erhålles följande uttryck:
2
d=
3 1 2
2 + 2 =
3 1
+ = 1 =1
4 4
där d är punktens avstånd till origo. Eftersom avståndet blir exakt 1 le. ligger punkten på
enhetscirkeln.
Bilaga 6
ELEVENKÄT
Namn:___________________________________________
Klass:____________
Tidigare matematikstudier
Betyg:
Betygssättande lärare:
Ma A
____________
____________________________
Ma B
____________
____________________________
Ma C
____________
____________________________
Ma D
____________
____________________________
Undervisande lärare på Ma E: __________________________________
Sätt ett kryss när du instämmer
Jag tycker att matematik är
Logiskt tänkande
Roligt
Viktigt
Användbart för framtida stuider
Memorering av formler
Användbart i vardagslivet
Svårare än de flesta andra ämmen jag läser i skolan
Ett ämne som kräver begåvning
Ett pluggämne
Framtida studie/yrkelsplaner: ___________________________________________________
___________________________________________________________________________
Om undersökningen
Passiv
Aktiv
Hur upplevde du din roll i gruppen?
1
2
3
4
Uppgifternas svårighetsgrad
Lätt
Punktuppgiften
1
2
3
4
5
Triangeluppgiften
1
2
3
4
5
Svår
Litet
Ditt bidrag till att lösa uppgiften:
1
5
Stort
2
3
4
5
Övriga kommentarer: _________________________________________________________
Namnönskemål: _____________________________________________________________
