Fingris

M=matte - Handledning
Fingris
Fingerräkning
Grunden för matematik är taluppfattning. I detta spel parar du ihop tal med
fingrarnas antal. Finns det fler fingrar än talet anger? Eller färre? Lika många?
Det finns många frågor att ta ställning till. Svaren bidrar till att utveckla
barnens förståelse för tal, antal och räkning. Förresten: Vilka tal blir
tillsammans 10? Hur många siffror finns det? Tar talen slut någon gång?
Statistik och sannolikhet: I Fingris finns också möjlighet att föra statistik och fundera över sannolikhet.
Talen som faller ner i Fingris slumpas fram. Vilka tal finns det flest av? Finns det färre sjuor än
fyror? Svaret är att det går en tia på tio ettor. Varför är det fler av de lägre talen och tvärtom? Vad
händer om enbart femmor skulle trilla ner? Eller enbart treor? För statistik över antalet tal som trillar
ner: Hur många ettor, tvåor, treor och så vidare.
Titta på bilden ovan. Sammanlagt finns det 55 tal som kan falla ner. Slumpen avgör vilket tal det blir,
men det går ändå att räkna ut hur stor chans det är att ett visst tal kommer. Om det kommer en etta 10
gånger på 55 möjliga, 10/55=0,181, så är det ungefär 18 procents chans att det blir en etta.
Hur stor är sannolikheten att ...
... det blir en trea? (8/55= 0,145, nästan 15 procents chans.)
... det blir en sexa? 5/55=0,09, 9 procents chans.)
... det blir en tia? (1/55=0,018, knappt 2 procents chans.)
M=matte - Handledning
Draken sover
Fraktaler – naturens geometri
Månens runda skiva. Horisontens raka linje. Sjöns släta yta. Äggets ovala skal. Det finns många former i
naturen som är enkla och regelbundna och som går att beskriva med den klassiska geometrins räta
linjer, cirklar, trianglar och välformade kurvor. Men vågorna, bergen, molnen, träden - och drakens rygg?
Hur ska man beskriva alla oregelbundna former, vars konturer är sönderbrutna och förgrenade?
Sådana sönderbrutna former kallas för fraktaler. Det kommer av det
latinska ordet fractus som betyder bruten. Förutom att fraktaler är
sönderbrutna, upprepas samma mönster om och om igen. Om en liten
del av fraktalen förstoras, ser delen ut som hela fraktalen. Som hos
blomkålshuvudet. Varje liten del av kålhuvudet ser i förstoring nästan
likadan ut som hela huvudet. Fraktaler kan sägas vara naturens egen
geometri. Och man kan själv ganska enkelt rita en fraktal, som
drakens rygg. Det behövs bara papper, penna, linjal - och lite
tålamod. Den kallas von Kochs kurva efter en svensk matematiker,
Helge von Koch.
Rita en fraktal
Rita en sträcka och dela den i tre lika stora delar. Ta bort den
mittersta delen och lägg till två sidor av en liksidig triangel. (I
en liksidig triangel är alla sidor lika långa.) Den nya figuren
består av fyra lika långa sidor. Upprepa proceduren med var
och en av figurens sidor. Varje sida delas i tre delar den
mittersta delen av varje sida tas bort
varje sida byggs på med två sidor i en liksidig triangel.
Fortsätt på samma sätt med alla de nybildade sidorna och
upprepa förfarandet om och om igen. Konturen blir mer och
mer tillknycklad. Efter oändligt många steg har den
förvandlats till en oändligt lång kurva som bryts i varje punkt
- en fraktal. von Kochs kurva är en matematiska modell, som
ger en ganska bra bild av drakens rygg eller, varför inte, en kuststräcka, en bergskedja eller ett
korallrev.
M=matte - Handledning
Räkna antalet trianglar på drakens rygg:
När man första gången klickar på linjen poppar det upp en grön liksidig triangel.
När man klickar igen, poppar det upp fyra mindre trianglar, som alla har exakt
samma form som den gröna, fast mindre.
Steg 1: 1 grön liksidig triangel, kan skrivas 1 = 2.
Steg 2: 4 gula liksidiga trianglar, kan skrivas 4 = 2.
Steg 3: 16 blå liksidiga trianglar, kan skrivas 16 = 2.
Steg 4: 64 röda liksidiga trianglar, kan skrivas 64 = 2.
Hur många trianglar blir det i nästa steg? (256 = 2) Och i nästa? (1024 = 2) Och så
vidare i all oändlighet. Först då är drakens rygg en fraktal.
M=matte - Handledning
Rita en snöflinga:
Utgå från en liksidig triangel. Gör exempelvis sidorna 9 centimeter långa.
Steg 1:
Dela varje sida i triangeln i tre lika stora delar. Ta bort den mittersta
tredjedelen av varje sida. Lägg till två sidor i en liksidig triangel i varje
tomrum. Det ger en sexkantig stjärna med 12 sidor, alla lika långa. I
exemplet 3 cm. Snöflingan har nu 3·4 sidor. Omkretsen är 12·3=36 cm
Steg 2:
Upprepa proceduren. Dela varje sida i tre lika stora delar. Ta bort den
mittersta tredjedelen av varje sida och lägg till två sidor i en liksidig triangel.
Det bildas en grov snöflinga med 3·4·4=3·4=48 sidor, alla lika långa. I
exemplet 1 cm. Då växer omkretsen till 48·1=48 cm.
Steg 3:
Upprepa proceduren. Snöflingan har nu 3·4·4·4=3·4 sidor, alla lika långa. I
exemplet 1/3 cm. Omkretsen är 192·1/3=64 cm.
Steg 4:
Upprepa proceduren. Snöflingan har nu 3·4·4·4·4=3·4sidor, alla lika långa, i
exemplet 1/9 cm. Omkretsen blir 768·1/9=85 1/3 cm.
Steg 5-10
Upprepa proceduren. I steg 10 ska talet 4 multipliceras med sig självt tio
gånger, alltså blir det 3·4=3145728 sidor.
Efter steg n (n betyder ett heltal, vilket som helst) har flingan 3·4 sidor.
Vid varje upprepning växer snöflingans omkrets med en tredjedel av sin
längd, och den växer oavbrutet. Snöflingan är en fraktal.
M=matte - Handledning
Gör barn
Form och geometri
Allt som syns har en form. När vi beskriver ett föremål - en stol, en blomma,
ett hus - så talar vi både om formen och om färgen på det. Vi använder
formord, som stor, lång, tunn, smal, rundad, spetsig, liksom vi använder
begrepp, det matematiska språket, som rät linje, kurva, vinkel, cirkel, längd,
bredd, höjd, triangel, fyrhörning.
Ordet geometri är grekiska. Det betyder "att mäta jorden", och denna konst hade antikens greker lärt sig
i Egypten. Där hade geometrin varit ett rent hantverk- en krukmakaren lär sig mycket om cirkeln när
hon formar sin kruka och sedan dekorerar den med regelbundna
mönster.
Den var också ett praktiskt hjälpmedel när man delade upp
marken mellan invånarna och byggde pyramider. Grekerna
utvecklade dessa kunskaper om cirklar, kvadrater, trianglar och
kuber till en vetenskap. Geometrin blev den del av matematiken
som har med form och mått att göra.
Hur skulle det vara att åka bil om hjulen vore kvadratiska? Vi
använder vår kunskap om former till mycket, inte minst när vi
konstruerar och bygger.
"Gör barn!"
"Gör barn!" handlar om geometriska former i två dimensioner, om storlek och om det matematiska
språket. "Mammorna" och "papporna" består av kvadrater, rektanglar, romber, parallellogrammer,
cirklar och liksidiga trianglar. "Barnen" är dels små exakta kopior av romber, kvadrater, rektanglar och
liksidiga trianglar. Dels är de rätvinkliga trianglar, parallelltrapetser (en fyrhörning där två sidor är
parallella) och andra mer eller mindre oregelbundna tre-, fyr- och femhörningar. Se schemat*.
M=matte - Handledning
Undersök formerna och beskriv dem. När blir "geometribarnen" små exakta kopior av romber, kvadrater,
rektanglar och liksidiga trianglar?
Diskutera hur de olika trianglarna varierar. Är hörnen av samma eller olika vinkel? Mer eller mindre
spetsiga? Vilka hörn är räta? Trubbiga? Rita egna trianglar och beskriv vinklar och sidor. Kan det vara på
något annat sätt?
Diskutera på vilka sätt fyrhörningarna är lika och olika varandra. Studera namnen på fyrhörningarna.
Rita egna fyrhörningar och berätta om vinklar och sidor.
Hur ska man beskriva alla konstiga oregelbundna former som bildas när man parar ihop två regelbundna
former? När innehåller de en rät vinkel? Varför har några en rundad kant?
*Schema över "Barnen"
1:A. En figur av två cirkelbågar (liknar en bikonvex lins)
1:B. En fyrhörning med en cirkelbåge och tre raka sidor, varav två är parallella
1:C. En trehörning med en cirkelbåge och två raka sidor
1.D. Nästan en triangel där en sida är en cirkelbåge (det är en cirkelsektor)
1:E. Nästan en rektangel där en sida är en cirkelbåge
1:F. Nästan en parallelltrapets med två räta vinklar, en sida är en cirkelbåge
2:A. Se 1:B
2:B. En romb
2:C. En oregelbunden femhörning
2:D. En oregelbunden femhörning
M=matte - Handledning
2:E. En parallelltrapets med två räta vinklar
2:F. En parallelltrapets med två räta vinklar
3:A. Se 1:C
3:B. En parallelltrapets
3:C. En liksidig triangel
3:D. En oregelbunden fyrhörning
3:E. En rätvinklig triangel
3:F. En parallelltrapets med två räta vinklar
4:A. Se D:1
4:B. Se 2:D
4:C. Se 3:D
4:D. En romb
4:E. En oregelbunden femhörning med två räta vinklar
4:F. En oregelbunden femhörning med två räta vinklar
5:A. Se E:1
5:B. Se 2:E
5:C. Se 3:E
5:D. Se 4:E
5:E. En rektangel
5:F. En kvadrat
6:A. Se 1:F
6:B. Se 2:F
6:C. Se 3:F
6:D. Se 4:F
6:E. Se 5:F
6:F. En rektangel
M=matte - Handledning
Vem tänker jag på nu?
Jämföra, sortera, placera
I "Vem tänker jag på nu?" handlar det om att jämföra och sortera efter form, storlek, mönster och att
tänka logiskt.
I förskolebarnens vardag förekommer en mängd jämförelseord, som lång-längre-längst och stor-störrestörst. Att få använda sådana ord i skilda situationer utvecklar barnens förståelse för sin omvärld. Här är
några vanliga begrepp när man jämför:
stor/liten
smal/bred tunn/tjock
nära/långt ifrån
hög/låg
kort/lång
full/tom böjd / rak
rund/kantig
En annan kategori av ord, som man också kan sortera efter i den här leken, är lägesord, exempelvis i,
inuti, ovanpå, på, över, under, bakom, framför, mellan, längst ner, högst upp, utanför, bredvid.
De former som barnen kommer i kontakt med här är bland annat kvadrat, cirkel, triangel, rektangel,
kant, sida. Gardinerna i fönstren har ett mönster av regelbundna sexhörningar, som i binas vaxkakor.
Att förskolebarnen använder ord som "trekant" och "fyrkant" är acceptabelt. Barnen måste ha skaffat sig
erfarenhet i realistiska situationer, innan matematiska begrepp, som rät vinkel, kvadrat, cirkel, tal, bråk,
införs. Men man kan sträva mot att de ska använda begreppen, när de ska beskriva hur de tänker och
vad de ser och gör. Barn skräms inte bort av konstiga ord om man som vuxen utgår från - och godtar deras eget språk först och presenterar nya ord stegvis. Och att kunna sätta ord på sin omvärld med hjälp
av matematikens språk kan vara en början till att förstå den.
M=matte - Handledning
Polyedrar
Form i tre dimensioner
Verkligheten är tredimensionell. Den består av saker vi kan ta i och iaktta, saker som är konkreta.
Fördelen med att arbeta med sådana föremål, utöver att de är verkliga, är att de tvingar barn att tänka
på flera saker samtidigt. Förutom längden och bredden, även höjden. Och inte bara en yta, utan flera
ytor i kombination.
En polyeder är ett tredimensionellt föremål, som kuben och rätblocket. Kuben är en
regelbunden polyeder, vilket innebär att alla ytor är av samma form, alla kanter är lika
långa och alla vinklar lika stora. Det finns fem regelbundna polyedrar. De kallas
platonska kroppar. De fem kropparna har fått sitt namn efter den grekiske filosofen
Platon (427-347 f.Kr.) I sin skapelseberättelse Timaios ger han de fem kropparna en
symbolisk betydelse. Tre av dem består av enbart liksidiga trianglar:
Tetraedern har 4 trianglar.
Platonskt element: eld
Oktaedern har 8 trianglar.
Platonskt element: luft
Den fjärde platonska kroppen -kuben - består av 6
kvadrater.
Platonskt element: jord
Ikosaedern har 20 trianglar.
Platonskt element: vatten
Den femte kallas för dodekaeder, den består av 12
femhörningar.
Platonskt element: eter
Platon menade att allt i himlen och på jorden är uppbyggt av de fyra elementen: eld, luft, vatten och
jord. Och eftersom de regelbundna kropparna är skönast och mest perfekta i formen, så är de fyra
elementen i sin tur uppbyggda av dessa.
Elden består av tetraedrar. Luften av oktaedrar. Vattnet av ikosaedrar och jorden av kuber. Den femte,
dodekaedern, är den kropp som bildar världsalltets omkrets.
Tillverka platonska kroppar
Skriv ut mallarna som finns här nedan, gärna på kraftigt papper eller kartong. Arbeta tillsammans med
en kompis. Vill du måla mönster, bör du göra det innan du viker och klistrar ihop dem.
Ett annat sätt att bygga de platonska kropparna är med sugrör och tjocka piprensare. Klipp sugrören så
att de är 10 centimeter långa. Klipp piprensarna så att de är 15 centimeter och vik dem dubbelt så att de
M=matte - Handledning
blir tjockare. Foga ihop sugrören genom att stoppa piprensare i dem. Börja med att bygga tetraedern
och sedan kuben och så vidare.
Skriv ut och bygg ihop
Tetraeder och kub
En tetraeder består av fyra liksidiga trianglar. En kub består av sex kvadrater.
Öppna och skriv ut mall (pdf) »
Oktaeder
En oktaeder består av åtta liksidiga trianglar.
Öppna och skriv ut mall (pdf) »
Dodekaeder
En dodekaeder består av tolv regelbundna femhörningar.
Öppna och skriv ut mall (pdf) »
Ikosaeder
En ikosaeder består av tjugo liksidiga trianglar.
Öppna och skriv ut mall (pdf) »