“Strövtåg i matematikens värld”
Problemlapp 10: algebraiska och transcendenta tal.
q
√
1. Visa att 3 5 + 1/ 3 är ett algebraiskt tal. Är det ett algebraiskt heltal (dvs. är det rot till en
ekvation med heltalskoefficienter och ledande koefficient 1)?
2. Visa att om talet α är ett algebraiskt heltal så gäller detsamma för talet
√
α.
3. Visa att sin π/12 är algebraiskt.
4. Visa att om talet α 6= 0 är algebraiskt så gäller detsamma för talet 1/α.
5. Som bekant är talet π ej algebraiskt utan transcendent. Visa att detsamma gäller talet πi.
6. Som bekant gäller att det till varje rationellt tal α finns ett heltal n så att nα blir ett heltal.
a) Låt α vara ett algebraiskt tal, närmare bestämt rot till polynomekvationen
2 x3 − 9 x2 + x − 7 = 0.
Visa att det finns ett heltal n sådant att nα är ett algebraiskt heltal.
b) Visa mer generellt att om α är ett algebraiskt tal, vilket som helst, så finns ett heltal n
sådant att n · α är ett algebraiskt heltal.
7. Visa att talen en , n ∈ Z+ , är transcendenta.
√
8. Vilka är enheterna i talringen Z[ −5] ?
√
√
9. Visa att 11 inte är primtal i ringen Z[ −2] men att talet 3 + −2 är primtal i samma ring.
Gunnar
