“Strövtåg i matematikens värld”
Problemlapp 11. Irrationella, algebraiska och transcendenta tal.
1. Visa att
√
2+
√
7 är irrationellt.
2. Visa att log3 7 är irrationellt.
q
√
3. Visa att 3 5 + 1/ 3 är ett algebraiskt tal. Är det ett algebraiskt heltal (dvs. är det rot till en
ekvation med heltalskoefficienter och ledande koefficient 1)?
4. Visa att om talet α är ett algebraiskt heltal så gäller detsamma för talet
√
α.
5. Visa att sin π/12 är algebraiskt.
6. Visa att om talet α 6= 0 är algebraiskt så gäller detsamma för talet 1/α.
7. Som bekant är talet π ej algebraiskt utan transcendent. Visa att detsamma gäller talet πi.
8. Visa att talet log5/log3 är transcendent. (Ledning: Gelfond-Schneider.)
9. Som bekant gäller att det till varje rationellt tal α finns ett heltal n så att nα blir ett heltal.
a) Låt α vara ett algebraiskt tal, närmare bestämt rot till polynomekvationen
2 x3 − 9 x2 + x − 7 = 0.
Visa att det finns ett heltal n sådant att nα är ett algebraiskt heltal.
b) Visa mer generellt att om α är ett algebraiskt tal, vilket som helst, så finns ett heltal n
sådant att n · α är ett algebraiskt heltal.
10. Visa att talen en , n ∈ Z+ , är transcendenta.
Gunnar
