Om de reella talen

Analys 360
En webbaserad analyskurs
Analysens Grunder
Om de reella talen
Anders Källén
MatematikCentrum
LTH
[email protected]
Om de reella talen
1
1 (11)
Introduktion
Den matematiska analysen är intimt förenad med att de reella talen är “tillräckligt
många”. Grunden för analysen är att man kan beräkna olika gränsvärden och verkligen få olika tal. De tal som så dyker upp utgör de reella talen. Vi ska i detta kapitel
därför diskutera lite om tal och då framför allt om relationen mellan de reella talens
“fullständighetsegenskap” och existensen av just gränsvärden.
Bland de reella talen ligger de rationella talen, alltså bråk av heltal, tätt. Det vill säga,
godtyckligt nära ett reellt tal finns det rationella tal. Så i praktiken kan man inte skilja
ett reellt tal från ett rationellt tal bara genom att titta på det. Så man kan fråga sig
varför det inte räcker med de rationella talen. Ytterst beror det på att tal som inte är
rationella, de irrationella talen, naturligt dyker upp, och i så fall skulle behöva beskrivas
i form av approximationer med rationella tal. Vilket blir mycket mer komplicerat!
2
Finns det irrationella tal?
Det naturliga talen
N = {1, 2, 3, 4, . . .}
är på något sett givna av gud, som den kände 1800-tals-matematikern Leopold Kronecker
sa. Allt annat är människoverk. T.ex. uppfann indierna nollan, något som grekerna inte
gjorde eftersom noll inte var någonting och därför inte kunde vara en siffra. Sedan kommer
de övriga talen genom att vi börjar ställa frågor.
De negativa heltalen uppkommer genom att vi vill lösa ekvationen x + n = 0 där n ∈ N
och därigenom får vi tillgång till alla heltalen
Z = {0, ±1, ±2 ± 3, . . .}.
Sedan vill vi lösa ekvationen qx = p, där p, q ∈ Z och får därmed de rationella talen som
består av kvoter av heltal:
p
Q = { ; p, q ∈ Z}.
q
Att det finns ytterligare tal som man måste ta hänsyn till kom en √
dag som en chock för
det pytagoreanska sällskapet i södra Italien när de upptäckte att 2 inte är rationellt!
Att så är fallet kullkastade hela sällskapets världsbild, och det berättas att den stackaren
som gjorde upptäckten dränktes i en sjö för att förhindra att kunskapen spreds utanför
sällskapet.
Upptäckten byggde på ett tämligen enkelt resonemang (åtminstone om man bortser från
en detalj!). Antag att det finns heltal p, q sådana att
√
p
2=
q
och att vi inte kan förkorta detta bråk längre (dvs p, q har ingen gemensam nämnare).
Om vi kvadrerar och multiplicerar upp nämnaren i högerledet får vi att det ska gälla att
2q 2 = p2 . Det i sin tur betyder att p2 är ett jämnt tal, och en kvadrat kan bara vara jämn
om det vi kvadrerar är jämnt. Alltså gäller att p = 2r för något heltal r.
Om de reella talen
2 (11)
Stoppar vi nu in detta uttryck för p i relationen 2q 2 = p2 får vi, efter förkortning med 2,
att q 2 = 2r2 . Men av samma skäl som ovan följer att även q då måste vara jämnt. Men
eftersom bråket var förkortat så långt som möjligt kan inte både p och q vara jämna,
vilket är en motsägelse.
Om man i ett resonemang som utgår ifrån vissa premisser kommer fram till en motsägelse,
måste någon av premisserna
vara fel. I detta fel är det endast ett antagande
som kan vara
√
√
fel, nämligen att 2 är rationellt. Därmed är det alltså bevisat att 2 är irrationellt. Ett
sådant bevis kallas ett motsägelsebevis.
3
De reella talen
√
Ett sätt att se på de positiva reella talen är som alla möjliga mätetal, vilket gör att 2
definitivt är ett reellt tal, eftersom det mäter diagonalens längd i en kvadrat med sidan
ett. Upptäckten att det inte är rationellt visar då att det finns irrationella tal, alltså reella
tal som inte är rationella.
Ett rationellt tal är definierat som en kvot av heltal, men kan också skrivas i form av en
decimalutveckling, och när man gör det blir det alltid ett tal med en periodisk decimalutveckling. Att så alltid gäller framgår om vi räknar igenom ett exempel.
Exempel 1 Låt oss bestämma decimalutvecklingen för det rationella talet 2/7. Normalt
när man gör en sådan division använder man sig av någon form av uppställning (liggande
stolen eller trappan), men låt oss beskriva divisionen mer i ord. Vi skriver
1 20
1
6
1 60
1
4
1 40
2
=
= (2 + ) = 0.2 +
= 0.2 +
(8 + ) = 0.28 +
7
10 7
10
7
100 7
100
7
1000 7
1
5
1 50
1
1
1 10
(5 + ) = 0.285 + 4
= 0.285 + 4 (7 + ) = 0.2857 + 5 .
1000
7
10 7
10
7
10 7
Låt oss ta en paus där. Vid de olika divisionerna med 7 har vi här fått i tur och ordning
resterna 6, 4, 5, 1. Möjliga rester vid division med 7 är 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Det betyder att
håller vi på tillräckligt länge får vi tillbaka samma rest en gång. Låt oss se när så sker
genom att fortsätta processen ovan:
= 0.28 +
1
3
1 30
1
2
1 2
2
= 0.2857 + 5 (1 + ) = 0.28571 + 6
= 0.28571 + 7 (4 + ) = 0.285714 + 7 .
7
10
7
10 7
10
7
10 7
Efter att nästa gång ha fått resten 3, så ser vi att i det följande steget dyker resten 2 upp
igen!
Men nu är kretsen sluten. Utan att räkna kan vi nu dra slutsatsen hur decimalutvecklingen
av 2/7 ser ut:
2
= 0.285714285714285714 . . . = 0.285714,
7
där strecket ovanför betyder att denna period ska upprepas i det oändliga.
Anmärkning I det här fallet råkar det vara första resten som dyker upp igen. Så behöver
det absolut inte vara.
Om de reella talen
3 (11)
Det vi lär oss från exemplet är att varje rationellt tal kan skrivas som en periodisk decimalutveckling. Detta innefattar fallet med ändliga decimalutvecklingar, som kan skrivas
som periodiska med period som består av nollor:
1
= 0.2 = 0.20000 . . . = 0.20.
5
Sådana tal kan f.ö. skrivas på ett alternativ sätt:
1
= 0.199999 . . .
5
Vi har nämligen att
0.99999 . . . = 1,
så
1
= 0.1 + 0.09999 . . . = 0.1(1 + 0.9999 . . .) = 0.1 · 2 = 0.2.
5
Anmärkning Antag nämligen att 0.9999 . . . < 1. Hur skulle vi då beskriva det tal som
ligger mitt emellan i decimalform? Det går uppenbarligen inte, varför likheten måste gälla.
Att omvänt alla tal som beskrivs av periodiska decimalutvecklingar (inklusive ändliga
sådana) är rationella tal lämnas åt läsaren att bevisa.
Den viktiga egenskapen hos de reella talen som hela analysen bygger på är det som oftast
kallas axiomet om övre gräns:
Varje uppåt begränsad mängd av reella tal har en minsta övre begränsning.
Detta kan förstås genom att vi successivt provar oss fram på följande sätt. Vilket är det
största heltal a som ligger i S?. Då ska alltså a + 1 inte ligga i S. Vilket är sedan det
största a1 som är sådant att a.a1 ligger i S?. På det här sättet kan vi närma oss gränsen
genom att bygga upp en decimalutveckling, och genom att vi kan göra detta i det oändliga
kan vi faktiskt uppnå den minsta övre gränsen. Vi ser att vår tolkning av reella tal som
oändliga decimalutvecklingar är fundamental här.
Exempel 2 Låt S = {x; x2 < 2}. För att hitta α = sup S gör vi som följer. 12 = 1 < 2
men 22 = 4 > 2, så heltalsdelen av α är 1. Sedan provar vi: 1.42 = 1.96 < 2 men
1.52 = 2.25 > 2, så α = 1.4 . . .. Vidare 1.412 = 1.9881 < 2 men 1.422 = 2.0164 > 2, så
α = 1.41 . . . . Fortsätter
vi på det sätter får vi den oändliga decimalutvecklingen av det
√
irrationella talet 2.
Om mängden kallas S, betecknar vi med sup S denna minsta övre begränsning. Att en
sådan finns är ingen självklarhet (det gäller t.ex. inte de rationella talen), utan ett sätt
att förklara att de (positiv) reella talen verkligen är alla mätetal, att det inte finns några
hål bland dem.
En följd av axiomet av övre gräns är naturligtvis att även en nedåt begränsad mängd
S av reella tal har en största nedåt begränsning. Denna kallas inf S. Om vi nämligen
låter −S beteckna mängden av tal −x där x ∈ S. Då vet vi att −S har en minsta övre
begränsning, sup(−S), och då gäller att − sup(−S) är en största nedre begränsning till
S.
Om de reella talen
4 (11)
Anmärkning Vi ser också från ovanstående att det godtyckligt nära ett reellt tal alltid
finns ett rationellt sådan. Vi tar helt enkelt och trunkerar decimalutvecklingen efter en
viss punkt och får därigenom ett rationellt tal. Genom att ta med tillräckligt många
decimaler kan vi komma hur nära vi vill.
4
De reella talen går inte att räkna upp
Man säger att två mängder har lika många element om det går att para ihop dem så att
inga element blir över. Matematiskt uttrycker vi detta i form av funktioner på följande
sätt.
En funktion f : A → B mellan två mängder A och B sägs vara injektiv om det gäller att
två olika element i A inte kan ha samma bild i B:
f (a) = f (b)
⇒
a = b.
Finns det en sådan funktion f kan det inte finnas fler element i A än i B, vilket vi skriver
som att #A ≤ #B.
Om istället varje element i B kan fås som en bild av ett element i A sägs f vara surjektiv.
Med andra ord, till varje b ∈ B finns minst ett a ∈ A sådant att b = f (a). Finns det en
sådan funktion f kan det inte finnas fler element i B än i A, vilket vi skriver #B ≤ #A.
Om, slutligen, en funktion f : A → B är både injektiv och surjektiv sägs den vara bijektiv.
Om det finns en bijektion mellan två mängder A, B, så säger vi att mängderna har lika
många element: #A = #B.
Exempel 3 Det finns lika många heltal som det finns naturliga tal. Det handlar helt
enkelt om att vi kan räkna upp dem. En bijektiv funktion kan vi definiera genom följande
tabell:
N : 1 2 3 4 5 6 7 ...
Z : 0 −1 1 −2 2 −3 3 . . .
Vi ser att efter att har räknat upp nollan gäller att de positiva heltalen svarar mot de udda
naturliga talen och de negativa mot de jämna. Det betyder att vi kan skriva funktionen
som
f (1) = 0, f (2k) = −k, f (2k + 1) = k, k = 1, 2, . . .
Vi ser alltså att
#Z = #N.
En mängd som har lika många element som de naturliga talen sägs vara uppräknelig.
Exempel 4 De rationella talen är uppräkneligt många.
De reella talen är emellertid inte uppräkneligt många. För att se det ska vi använda ett argument som kallas Cantor’s diagonaliseringsresonemang. Det är ett motsägelseresonemang
som bygger på att om någon hävdar att de har en uppräkning av de reella talen, så kan
vi konstruera ett nytt tal som inte ingår i uppräkningen.
Om de reella talen
5 (11)
Antag därför att vi har en uppräkning av de reella talen, skriva i decimalform. Vi ska nu
konstruera ett nytt tal
0.a1 a2 a3 a4 . . .
där alla ai är heltal mellan 0 och 9. Här väljer vi talet ai på följande sätt:
Om det i:te talet i uppräkningen har en decimal på plats i som är något av
talen 0, 1, 2, 3, 4, sätt ai = 5. Om inte, sätt ai = 4.
Härigenom konstrueras ett nytt tal som inte kan finnas i uppräkningen, eftersom det
kommer att skilja sig från varje element i uppräkningen på minst en decimal.
5
Konvergens av talföljder
En talföljd av reella tal är en funktion f : N → R och vi skriver
an = f (n).
Vi säger att talföljden {an }∞
1 konvergerar mot det reella talet a om följande gäller: till
varje > 0 finns ett N = N () sådant att
n≥N
⇒
|an − a| < .
Vi skriver detta antingen som an → a då n → ∞, eller
lim an = a.
n→∞
Här kan vi tillåta a = ±∞ genom att modifiera definitionen lite. T.ex. gäller att an → ∞
då n → ∞ om det till varje A finns ett N = N (A) sådant att
n≥N
⇒
an ≥ A.
En konsekvens om axiomet om övre gräns är nu att en växande och uppåt begränsad
talföljd konvergerar. Om den inte är uppåt begränsad går den mot oändligheten. På
samma sätt blir en avtagande och nedåt begränsad talföljd också konvergent, och är den
obegränsad nedåt går den mot minus oändligheten.
Vi ska illustrera detta med två exempel. Det första behöver lite förarbete som är av eget
intresse.
Lemma 1 (Arithmetisk-geometriska olikheten) För positiva reella tal a, b gäller att
√
ab ≤
a+b
2
med likhet då och endast då a = b
Bevis. Vi har att
√
√
√
a + b − 2 ab = ( a − b)2 ≥ 0.
Om de reella talen
6 (11)
Exempel 5 Definiera talföljd {an }∞
1 genom
1
2
an+1 = (an + ).
2
an
a1 = 2,
Vi börjar med att konstatera att enligt den aritmetisk-geometriska olikheten gäller att
r
√
2
= 2,
an+1 ≥ an ·
an
så sviten är nedåt begränsad (så att a2n ≥ 2). Men ur detta följer att
1 2
1
(2 − a2n ) ≤ an .
an+1 = an + ( − an ) = an +
2 an
2an
Vi har alltså en avtagande, nedåt begränsad talföljd, som därför är konvergent.
När vi nu vet att den konvergerar kan vi lätt beräkna gränsvärdet genom att göra gränsövergång
i rekursionsformeln som definierar talföljden: om vi sätter a = limn→∞ an så gäller att
1
2
a = (a + )
2
a
⇔
2a2 = a2 + 2
⇔
a=
√
2
Den andra tillämpningen är att visa att den talföljd som brukar användas för att definiera
Eulers tal e verkligen konvergerar. För den behöver vi först följande hjälpsats:
Lemma 2 Om x > 0 gäller att
(1 + x)m ≥ 1 + mx.
Bevis. Detta kan visas genom att vi använder binomialteoremet, men också med hjälp
av analys genom att använda medelvärdessatsen.
Exempel 6 Vi ska använda detta till att visa att gränsvärdet
e = lim (1 +
n→∞
1 n
)
n
existerar ändligt.
För detta tittar vi på an = (1 + n1 )n+1 . Då gäller att
an
n+1
1
n+1
1
(n + 1)2n+3
=
(1 +
)n+1 >
(1 +
) = 1.
=
n+2
n+1
an+1
(n + 2) n
n+2
n(n + 2)
n+2
n+1
Här har vi använt lemmat med m = n + 1 och x = 1/(n2 + 2n) ≥ 1/(n + 1)2 . Vi ser att
{an }∞
1 är en strängt avtagande talföljd. Eftersom den uppenbarligen är nedåt begränsad
av noll följer att den måste konvergera mot ett reellt tal. Gränsvärdet kallar vi e.
Anmärkning Vi använder här att om an → a och bn → b då n → ∞, så gäller att
an bn → ab då n → ∞ eftersom vi skriver
lim an = lim (1 +
n→∞
n→∞
1 n
1
1
) · lim (1 + ) = lim (1 + )n .
n→∞
n→∞
n
n
n
Detta visas lätt med hjälp av definitionen ovan, men vi låter det tillhöra ett annat kapitel.
Om de reella talen
6
7 (11)
Två ekvivalenta formuleringar av axiomet om övre
gräns
Vi har ovan diskuterat hur axiomet om övre gräns karakteriserar de reella talens fullständighet. Vi ska nu se på två ekvivalenta formuleringar som ska visa sig ha naturliga generaliseringar till Rn .
Den första omformuleringen handlar om hopningspunkter.
Definition Ett reellt tal c kallas en hopningspunkt till en mängd S av reella tal om varje
punkterad omgivning till c innehåller oändligt många tal ur S.
Anmärkning En punkterad omgivning till c är ett klot med c borttaget, alltså punkter
som uppfyller 0 < |x − c| < r för något r.
En ändlig mängd kan aldrig ha en hopningspunkt och en obegränsad mängd behöver
inte ha någon hopningspunkt som t.ex. mängden S = N visar. Vidare behöver inte en
hopningspunkt tillhöra mängden, t.ex. gäller att mängden S = { n1 ; n ∈ N} har 0 som
hopningspunkt men 0 ∈
/ S. Däremot har vi
Sats 1 (Bolzano-Weierstrass sats) Varje begränsad oändlig mängd av reella tal har
en hopningspunkt. Ur varje oändlig svit i denna mängd kan vi välja ut en delsvit som
konvergerar mot denna.
Bevis. Låt S vara en oändlig delmängd av intervallet [a, b]. Definiera
D = {x ∈ [a, b]; [a, x] innehåller endast ändligt många av elementen i S}.
Det är en begränsad, icke-tom mängd och vi sätter c = sup D. Vi ska då visa att c är en
hopningspunkt till S.
Vi kan anta att c > a; annars minskar vi bara a lite. Tag ett klot med centrum i c
som ligger helt i [a, b] och tag sedan z i detta sådant att c < z. Då gäller att z ∈
/ D,
så intervallet [a, z] innehåller oändligt många punkter ur S. Varje klot med centrum i c
innehåller alltså oändligt många punkter ur S, vilket betyder att c är en hopningspunkt.
För att visa den andra delen av satsen låter vi S = {xn } vara en begränsad svit av reella
tal. Om S är ändlig upprepas något tal oändligt många gånger i sviten och vi kan ta den
som konvergent delsvit, varför vi antar att S består av oändligt många element. Låt a vara
hopningspunkt för S och betrakta omgivningarna 0 < |x − a| < 1/n för n ∈ N. Eftersom
a är en hopningspunkt kan vi då ta ut ett element ur var en av dessa omgivningar och
härigenom skapa en delsvit som per konstruktion konvergerar mot hopningspunkten. Anmärkning Andra delen av satsen, att varje begränsad svit av reella tal har en konvergent delsvit, kallas ibland Bolzano-Weierstrass’ sats på sekventiell form.
Den andra omformuleringen av axiomet om övre gräns verkar vid första påseende inte ha
något som helst med det att göra
Om de reella talen
8 (11)
Sats 2 (Heine-Borels lemma) Om det till varje x i det kompakta intervallet [a, b] är
givet en öppen omgivning I(x), så gäller att det finns ändligt många punkter x1 , . . . , xm
i [a, b] sådana att mängderna I(xi ), i = 1, . . . , m övertäcker [a, b], alltså
[a, b] ⊂
m
[
I(xi ).
i=1
Bevis. Vi gör ett motsägelseargument. Antag alltså att det inte går att övertäcka intervallet med ändligt många I(x). Dela intervallet [a, b] på mitten. Då måste något av delintervallen [a, c], [c, b], där c är mittpunkten, vara likadant, dvs det går inte att övertäcka
det med ändligt många I(x). Genom att på detta sätt halvera intervallen och välja ut ett
som inte har någon ändlig övertäckning (gäller det båda tar vi det vänstra), så får vi en
svit Ii = [ai , bi ] av intervall sådana att Ii+1 ⊂ Ii för alla i och sådana att deras längd är
(b − a)2−i , vilket går mot noll då i → ∞. Om vi sätter c = sup{ai }, så ser vi att eftersom
ai :na utgör en växande svit, att ai → c då i → ∞. Men eftersom intervall-längderna
går mot noll följer då även att bi → c. Till c hör en omgivning I(c) sådan att Ii ⊂ I(c)
om i bara är tillräckligt stort (därför att I(c) är ett öppet intervall). Men detta är en
motsägelse till antagandet att Ii inte kan övertäckas med ändligt många intervall I(x).
Därmed är satsen bevisad.
När man diskuterar kontinuerliga funktioner av fler variabler så är det dessa två ekvivalenta satser som får fungera basen som beskriver de reella talens fullständighet.
Anmärkning Ett mer direkt bevis för att Heine-Borels lemma med hjälp av axiomet om
övre gräns får vi om vi först inför definitionen att ett intervall är ett ω-intervall om
Heine-Borels lemma gäller för det. Definiera då
S = {x ∈ [a, b]; [a, x] är ett ω − intervall}.
Då gäller att a ∈ S eftersom {a} kan övertäckas av I(a). Skriv nu som vanligt c = sup S
och antag att c < b. Då finns ett klot Bδ (c) som ligger i I(c) och om vi tar d = c + δ/2 så
har vi dels att [a, d] inte är ett ω-intervall p.g.a. definitionen av c, men å andra sidan att
[a, d] kan övertäckas av den ändliga övertäckningen av [a, c] plus I(c). Denna motsägelse
visar att c = b.
7
Cauchy-sviter
Definitionen av ett gränsvärde ovan hjälper oss inte att avgöra om en talföljd är konvergent
bara genom att titta på den. För det behöver vi ett kriterium sådant att vi kan avläsa
från sviten om den är konvergent eller inte. Ett sådant kriterium gavs av Cauchy.
Definition En talföljd {an }∞
1 sådan att det till varje > 0 finns ett N sådant att
|an − am | < för alla n, m ≥ N,
kallas en Cauchy-svit.
Vi har då
Om de reella talen
9 (11)
Sats 3 En talföljd {an }∞
1 är konvergent om och endast om den är en Cauchy-svit.
Bevis. Beviset går i tre steg:
a) Vi visar att talföljden är begränsad. Detta följer av att det finns ett N sådant att
om n ≥ N så gäller att |xn − xN | < 1, ty då följer att för sådana n gäller att
|xn | ≤ |xN | + 1.
b) Vi använder nu den sekventiella formen av Bolzano-Weierstrass’ sats till att ta ut
en konvergent delsvit {a0n }. Antag att a0n → a då n → ∞.
c) Vi kan nu använda triangelolikheten på följande sätt:
|an − a| ≤ |an − a0n | + |a0n − a|.
Givet > 0 kan vi nu välja N sådan att |a0n − a| < /2 då n ≥ N . Eftersom a0n är
en delsvit av an och denna är en Cauchysvit kan vi också anta att |an − a0n | < /2,
ev. efter att ha ökat N lite.
Därmed är satsen bevisad.
Exempel 7 Som √
tillämpning på detta betraktar vi problemet med rekursionsformeln som
konvergerade mot 2 och vill visa att den är en Cauchy-svit.
Vi ska då börja med att visa att 1 ≤ an ≤ 2 för alla n. Om det nämligen gäller för ett
visst n så gäller det också för nästa, eftersom
1
2
1
2
1 = (1 + ) ≤ an+1 ≤ (2 + ) = 2.
2
2
2
1
Det är sant för a1 , och alltså sant för alla an . (Vi gör alltså ett induktionsbevis.)
Vi har nu att
1
1
1
1
1
)) = (an − an−1 )( −
).
an+1 − an = (an − an−1 + 2( −
2
an an−1
2 an an−1
Men vi vet att 1 ≥ an an+1 ≤ 4, så vi måste ha att − 21 (an − an−1 ) ≤ an+1 − an ≤
1
(a − an−1 ), alltså
2 n
1
|an+1 − an | ≤ |an − an−1 |.
2
Men då följer att
1
1
|an+1 − an | ≤ ( )n−1 |a2 − a1 | ≤ n .
2
2
Men från detta kan vi nu uppskatta skillnader an − am på grövsta möjliga sätt: antag att
n > m. Vi har då att
an − am = an − an−1 + an−1 − an−2 + . . . + am+1 − am ,
så triangelolikheten ger att
|an − am | ≤ |an − an−1 | + |an−1 − an−2 | + . . . + |am+1 − am | ≤
1
2n−1
+
1
2n−2
+ ... +
1
.
2m
Om de reella talen
10 (11)
Den geometriska summan visar då att högerledet är
1
1
1
(1
+
.
.
.
+
)
<
2m
2n−1−m
2m−1
så vi har alltså att
|an − am | <
1
2m−1
om
n > m.
Men det följer att talföljden är en Cauchy-svit, och enligt satsen konvergerar den därför
mot ett tal a. Gränsvärdet bestäms sedan som tidigare.
Vi kan nu definiera de irrationella talen som de gränsvärden vi kan få av Cauchy-sviter av
rationella tal. Man kan därför (som Cantor gjorde) identifiera de reella talen med sådana
Cauchy-sviter, där man dock måste införa en ekvivalensrelation så att två sviter som
konvergerar mot samma tal betraktas som samma svit.
8
Om alternativa definitioner av de reella talen
Den definition av reella tal som oändliga decimalutvecklingar är inte helt tillfredsställande
för alla. Dels bygger den på att vi använder basen 10, men naturligtvis kan vi använda
vilken bas vi vill. Vi vill därför gärna hitta en definition som inte bygger på vilket talsystem
vi väljer att använda för att beskriva talen.
Om vi tänker oss ett reellt tal som ett mätetal, alltså en punkt på den reella linjen. Ett
sätt bygger på sekvenser av nestade intervall. Låt {Ik }∞
k=1 vara en svit av intervall sådan
att Ik ⊃ Ik+1 och sådan att längden m(Ik ) → 0 då k → ∞. Då har vi vad vi kan kalla
ett geometriskt axiom, nämligen att vill varje sådan svit {Ik } finns precis en punkt på
tallinjen som ligger i dem alla. Punkterna på tallinjen kan alltså identifieras med sådana
nestade intervallsviter, där vi antar att varje intervall har rationella tal som gränser.
Exempel 8 Tag I1 = (1, 2), I2 = (1.4, 1.5), I3 = (1.41, 1.42), I4 = (1.414, 1.415), . . ..
Detta utgör
√ början på en svit av nestade intervall med rationella ändpunkter som definierar talet 2.
Det är nu möjligt (men tråkigt i sina detaljer) att visa att om vi definierar de reella
talen på detta sätt kan vi definiera de fyra räknesätten för talen så att de uppfyller de
grundläggande räknereglerna.
Ett annat välbekant sätt att definiera de irrationella talen är genom s.k. Dedekind-snitt.
Idén kommer från Richard Dedekind (1831-1916) och bygger på en speciell typ av snitt
som följer.
Antag att vi har en metod att dela in Q i två klasser A och B så att varje element i B
är större än varje element i A. Det finns då tre möjligheter:
a) Mängden A har ett största element a∗
b) Mängden B har ett minsta element b∗
c) A har inte ett största element och B har inte ett minsta element.
Om de reella talen
11 (11)
Det som inte kan gälla är att A har ett största element och B ett minsta element, ty då
skulle medelvärdet av dem vara ett rationellt tal som inte ligger i någon av mängderna.
Av de tre fallen så är alltså a∗ och b∗ rationella tal. I det tredje fallet däremot definieras
genom snittet ett irrationellt tal. Dedekind definierade då detta tal genom just snittet.
Relationen med de nestade intervallen ovan är att vi till en sådan svit definierar ett snitt
så att A består av alla rationella tal som ligger till vänster om minst ett av intervallen
In , och B de övriga rationella talen.
Exempel 9 Mängderna A = {x ∈ Q; x2 < √2 eller x < 0} och B = {x ∈ Q; x2 >
2 och x > 0} representerar Dedekind-snitt för 2.
För att se att så är fallet måste vi visa att A inte har något största element. Antag att a
är en kandidat för
√ det. Då gäller att b = 2(x + 2)/(x + 2) är ett rationellt tal sådant att
b > a men b < 2. Med andra ord, A har inte ett största element. På samma sätt ser
man att B inte har något minsta element.
Dedekinds snitt är en tämligen abstrakt konstruktion, eftersom vi inte får några restriktioner på hur mängderna A och B får se ut.