Speciella övningar för C och D
CD 1. Vi skall ge ett enkelt exempel på s.k. multiplikatoreffekt i nationalekonomi. Antag att
regeringen beslutar att öka de statliga investeringarna med 100 Mkr. Dessa pengar
sprids som en ytterligare inkomst för bolag och individer. Antag vidare att dessa använder 80% av sin inkomstökning för att köpa varor eller tjänster inom landet. Då
kommer ytterligare 80 Mkr ut på marknaden. Härav spenderas åter 80% inom landet,
etc.
Vilket belopp kommer totalt sett marknaden tillgodo genom denna statliga insats?
Svar: 500 Mkr.
CD 2. Då en likspänning U läggs över en resistans R, kommer strömmen genom denna att
utveckla en effekt P som ges av formeln
U2
.
P =
R
a)
Antag att R är konstant. Rita kurvan som visa hur P varierar med U .
b)
Antag att spännningen U hålles konstant. Rita kurvan som visar hur P varierar
med R.
CD 3. Formeln för den resulterande resistansen R vid parallellkoppling
av tre resistanser R1 , R2 , R3 är
1
1
1
1
=
+
+
.
R
R1
R2
R3
R1
R2
R3
Vilken resistans måste man koppla parallellt med 10 ohm och 15
ohm för att den resulterande resistansen ska bli 2 ohm?
Svar: 3 ohm.
CD 4. Från en sändare utgår information sammansatt av ettor och nollor. Ettorna förekommer med sannolikheten x och nollorna med sannolikheten 1 − x, där 0 < x < 1.
Informationstätheten beskrivs av funktionen
f (x) = −x 2 log x − (1−x) 2 log(1−x),
0<x<1
(logaritmer i basen 2). Mellan vilka värden varierar f (x) ?
Svar: Alla värden y i intervallet 0 < y ≤ 1.
CD 5. I många moderna kommunikationssystem (exempelvis ADSL, Digital-TV, WLAN och
WiMax) används en princip som kallas OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) för att omvandla binära data till signaler. Principen går ut på att bitarna
omvandlas till N stycken (komplexa) amplituder Xk , k = 0, 1, . . . , N−1. För exempelvis
ADSL används N = 1024. Sekvensen Xk skrivs om som
N −1
1 X
xn =
Xk ei2πkn/N ,
N k=0
1
n = 0, 1, . . . , N −1,
där xn utgör en samplad sekvens som därefter omvandlas digital till analog (D/A) och
skickas.
Funktionerna
x(k) (t) =
2b
k
k
2a
cos(2π t) − sin(2π t),
N
Ts
N
Ts
0 ≤ t < Ts
är exempel på analoga signaler som kan uppstå på detta sätt. Visa att två sådana, x(k)
och x(l) med k 6= l, är ortogonala i meningen att
Z Ts
x(k) (t) x(l) (t) dt = 0.
0
CD 6. I början av 1980-talet, innan Montrealprotokollet begränsade produktionen av freoner
på grund av deras effekt på ozonlagret, var det globala utsläppet av freonen CFC-12
(CF2 Cl2 ) i atmosfären 4.2 · 108 kg/år. Denna gas avlägsnas från atmosfären enbart
genom s.k. fotolys (nedbrytning med hjälp av fotoner), med en hastighet som i varje
ögonblick är proportionell mot massan CFC-12 i atmosfären (proportionalitetskonstant
k = 0.01 år−1 ).
a)
Ställ upp en differentialekvation för massan CFC-12 i atmosfären som en funktion
av tiden. (Vi antar att det årliga utsläppet av CFC-12 är konstant.)
b)
År 1980 uppmättes massan CFC-12 i atmosfären till 8.5 · 109 kg. Hur mycket
CFC-12 fanns det, enligt modellen ovan, fyra år senare?
Svar: a)
dm
= 4.2 · 108 − 0.01m, där m = m(t) är massan i kg vid tiden t år.
dt
b) (4.2 − 3.5e−0.04 )1010 ≈ 9.8 · 109 kg.
CD 7. Ett komplext tal Z kallas för komplex amplitud till en harmonisk signal (dvs. funktion)
f (t) om f (t) = Re (Zeiωt ). Bestäm den komplexa amplituden för signalen
√
π
f (t) = cos ωt + 2 sin(θt + ).
4
Svar: 2 − i.
2
