Linjärt (o)beroende
En uppsättning vektorer är linjärt beroende om någon av dem kan beskrivas som en
linjärkombination av de andra.
Detta formuleras enligt:
Definition: Linjärt beroende
Vetorerna v 1, v 2, . . . , v p är linjärt beroende om det existerar värden x1, x2, . . . , xp
som inte alla är noll, så att
x1 v 1 + x2 v 2 + · · · + xp v p = 0.
Om det ovanstående inte gäller, dvs
x1 v 1 + x2 v 2 + · · · + xp v p = 0.
endast är uppfyllt om alla x1, x2, . . . , xp är
noll, säger vi att vektorerna är linjärt oberoende.
Linjärt (o)beroende, forts
Enligt definitionen av matris-vektor-multiplikation kan villkoret omformuleras enligt
x
1
x
v 1 v 2 . . . v p ..2 = 0
.
|
{z
}
xp
=A
| {z }
=x
dvs ett homogent ekvationssystem A x = 0.
Om endast den triviala lösningen x = 0 existerar är kolonnerna linjärt oberoende,
annars är de linjärt beroende.
x1
w
v
Linearly dependent,
w in Span{u, v}
u
x3
x2
x1
Exempel: Linjärt beroende i R3
w
v
Linearly independent,
w not in Span{u, v}
u
x3
x2
Sats 8:
Givet ett antal vektorer v 1, v 2, . . . , v p som
alla har dimension Rn:
Om antalet vektorer p är större än vektorernas dimension n, (dvs p > n)
så är vektorerna linjärt beroende.
Sats 9:
Givet ett antal vektorer v 1, v 2, . . . , v p som
alla har dimension Rn:
Om en av dem är nollvektorn, dvs v k = 0
för något k,
så är vektorerna linjärt beroende.
Exempel
Avgör om följande vektorer är linjärt beroende, genom att stirra på dem en stund.
1.
2.
1
2
0
1
0 , 1 , 1 , 1
−1
3
2
1
3.
1
2
0
1 , 1 , 0
−1
3
0
−3
2
−6 4
,
3 −2
−9
6
Linjär avbildning T : Rn −→ Rm
T
T(x)
x
Ra
ng
e
Domain
Codomain
definitionsmängd = domain
målmängd
= codomain
värdemängd
= range
Exempel
Givet en matris
A=
så definierar vi
T : R2 −→ R3 enligt
1 1
1 0
−3 1
en
linjär
avbildning
1 1 " #
x
T (x) = A x = 1 0 1
x2
−3 1
"
1. Bestäm bilden av
−1
2
#
med T .
2. Bestäm x så att T avbildar x på
2
1 .
−2
3. Finns
det
mer än ett x som avbildas
2
på 1 ?
−2
1
4. Avgör om 1 ligger in värdemängden
1
för T .
Exempel: Skjuvning
Den linjära avbildningen T : R2 −→ R2 definierad av
"
T (x) =
1 3
0 1
#"
x1
x2
#
beskriver en skjuvning. Skjuvning är ett viktigt begrepp i bl.a. fysik.
x2
x2
T
2
2
x1
2
2
8
x1
4
3
2
1
0
-1
0
2
4
6
8
10
12
Definition: Linjär avbildning
En avbildning T är linjär om
1. T (u + v) = T (u) + T (v) för alla u, v i
definitionsmängden för T .
2. T (c u) = c (T (u))
skalärer c.
för
alla
u
och
Definitionen leder till följande egenskaper:
T (0 ) = 0
T (c u + d v) = c T (u) + d T (v)
T (c1 v1 + c2 v2 + · · · + cp vp)
= c1 T (v1) + c2 T (v2) + · · · + cp T (vp)
Sats 10: Linjär avbildnings-matris
Låt T : Rn −→ Rm vara en linjär avbildning. Då existerar en unik matris A så
att
T (x) = A x,
för alla
x ∈ Rn .
Matrisen A har dimension m × n, och kolonn k ges av T (êk ), där êk är kolonn k i
enhetsmatrisen In. Dvs
A = T (ê1) T (ê2) . . . T (ên)
Exempel
Bestäm matrisen för den linjära avbildningen
T : R2 −→ R2 som utför rotation runt origo
med vinkeln ϕ.
x2
(— sin ϕ, cos ϕ)
(0, 1)
ϕ
(cos ϕ, sin ϕ)
ϕ
x1
(1, 0)
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Exempel
Låt den linjära avbildningen T : R3 −→ R3 ges
av
T (u) = ê1 × u.
Bestäm avbildningsmatrisen och bilden av en
godtycklig vektor.
Exempel
Låt T : R2 −→ R2 vara den avbildning som
utför ortogonal projektion på linjen
x − 2 y = 0.
Bestäm avbildningsmatrisen.
Definition
Den linjära avbildningen T : Rn −→ Rm är
surjektiv (onto) om värdemängden är hela
Rm. Dvs om varje y ∈ Rm ges av y = T (x)
för något x ∈ Rn.
injektiv (one-to-one) om varje y i avbildningen y = T (x) endast ges av ett x ∈ Rn.
(Dvs T (u) = T (v) ⇒ u = v.)
Sats 11: Injektiva avbildningar
Den linjära avbildningen T : Rn −→ Rm är
injektiv om och endast om T (x) = 0 bara
har den triviala lösningen x = 0.
(Dvs om och endast om kolonnerna i avbildningsmatrisen är linjärt oberoende).
Sats 12: Surjektiva avbildningar
Den linjära avbildningen T : Rn −→ Rm
med avbildningsmatris A är surjektiv om
och endast om det linjära höljet till kolonnerna i A är lika med Rm.
Sats 4 ger då att A är surjektiv om och endast om A har en pivåposition på varje rad.
