Föreläsning 4 anteckningar

Flervariabelfunktioner
Inledning
Envariabel. Ni är vid det här laget vana vid s.k. envariabelfunktioner.
Det ni nog i dagligt tal bara kallar funktioner. Om vi betraktar
Exemplet
y  f ( x)  x 2  2 x  1
Så får vi ut värdet på den oberoende variabeln (y-variabeln) för
vilket värde på x som hest i definitionsmängden genom att ersätta x i
ekvationen med detta värde, t.ex. sätter vi in värdet 2 får vi.....
y  f (2)  2 2  2  2  1  4  4  1  7
Vi kan göra en generalisering av detta. Låt oss tänka oss en funktion
där y är beroende av två variabler. Låt oss kalla dem x1 och x2. Vi
skulle då i analogi med ovan skriva en sådan funktion y  f ( x1 , x2 )
Betrakta exemplet y  f ( x1 , x2 )  x12  2 x1 x2  3x2  6
För varje talpar x1, x2 i definitionsmängden av talpar får vi ut
värdet av den oberoende variabeln genom att ersätta x1 respektive x2
med respektive tal i talparet, t.ex. sätter vi in värdet x1=2 och x2 =
5 får vi:
y  f (2,5)  2 2  2  2  5  3  5  6  33
En sådan funktion kallar vi för tvåvariabelfunktion. Man inser nog här
att vi kan öka på antalet oberoende variabeler i det oändliga och vi
kan då generallt tala om flervariabelfunktioner
Exempel fruktätande person
y  53  x1  15  x2  6  x3
Exempel Ideala gaslagen
planets ekvation
Grafisk Representation
Ytor
Visar powerpointfiler och förklarar
konturplottar
Visar powerpointfiler och förklara
Derivator av flervarabelfunktioner
Vi kan i likhet med envariabelfunktioner derivera
flervariabelfunktioner. Framöver kommer jag att koncentrera mig på
tvåvariabelfunktioner men från detta är det sedan lätt att generalisera
till flera variabler.
En skillnad gentemot envariabelfunktioner är att nu har vi flera
variabler att derivera med avseende på- i envariabelfallet är det ju
enkelt givet bara en variabel - och detta ställer till lite
komplikationer. Man har därför infört termen partiell derivata och är
definierad så att vi deriverar med avseende på en oberoende variabel i
taget. De andra variablerna finns ju dock kvar i ekvationen, men
betraktas som konstanter då man just inte deriverar med avseende på dessa
f ( x, y )
f ( x  h, y )  f ( x, y )
 lim
h

0
x
h
andra beteckningar
 z z
,
, fx, fy
 x y
Exempel z  f ( x, y)  x 2  2 xy  3 y  6
Exempel z  f ( x, y )  sin( xy)
Vad säger då en partiell derivata
- I envariabelfallet är det hur mycket en funktion växer per oberoende variabel
momentant.
- I flervariabelfallet hur mycket funktionen växer per just den variabeln
momentant d.v.s. hur mycket funktionen växer parallellt med den
variabelns axel.
Högre derivator
Bara att derivera en gång till
Korsderivator
Partiella differentialekvationer
Exempel
f x, y 
f x, y 
2
x
y
Vad är nu detta?
Sambandet ovan har ett likhetstecken i mitten och ett höger- respektive vänsterled. På
det sättet liknar det en helt vanlig ekvation, som t.ex. 3x  8  x  22 , som ju också
har ett likhetstecken i mitten och ett höger- respektive vänsterled.
Den senare ekvationen har ett tal (i det här fallet x = 7) som lösning, d.v.s. sätter vi in
x = 7 i såväl höger- som vänsterled, så kommer både höger- och vänsterled = 29 och
likhetstecknet blir ”sant” och därmed är talet x = 7 en lösning till ekvationen. Skulle
vi sätta in något annat tal skulle vi få olika värden i höger respektive vänsterled och
likhetstecknet skulle då inte bli sant.
Exemplet igen: Lösning: f x, y   e 2 x  e y
Sätt in den i höger- respektive vänsterled:
f  x, y 
 2e 2 x  e y
x
f  x, y 
H .L : 2
 2e 2 x  e y
y
V .L :
Lösning: f x, y   C  e 2 x  e y fungerar också
Tillämpat exempel: Diffusionsekvationen (Powerpoint)
C ( x, y, z, t )
 2 C ( x, y, z, t )
 2 C ( x, y , z , t )
 2 C ( x, y , z , t )
D
D
D
t
x 2
y 2
z 2
Tillämpat Exempel Schrödingerekvationen (Powerpoint)

 2  d 2 ( x, y, z ) d 2 ( x, y, z ) d 2 ( x, y, z ) 



  V ( x, y, z )  ( x, y, z )  E  ( x, y, z )
2m 
dx 2
dy 2
dz 2

Max-minproblem
Partiella derivator lika med noll
För snälla funktoner. Det finns en del undantag med märkliga
diskontinuerliga funktioner men vi lämnar dessa utanför kursen.
Tredje typ av stationär punkt ? sadelpunkt
Exempel stationär punkt
Hitta de stationära punkterna till funktionen
f x, y   6 x 2  6 y 2  6 xy  36 x  5
Börja med att beräkna fx och fy
f x x, y   12 x  0  6 y  36  12 x  6 y  36
f y x, y   0  12 y  6 x  0  0  12 y  6 x
Vi vill ju veta när för vilket/vilka kombination(er) x och y som båda
partialderivatorna = 0 d.v.s. vi måste lösa ekvationssystemet:
12 x  6 y  36  0
12 y  6 x  0
Om x löses ut ur 2:a ekvationen fås: 12 y  6 x  x  2 y
Insättning första ekvationen ger: 12 2 y   6 y  36  18 y  36  0  y  2
Insättning i ekvation 1 ger x  4 , d.v.s. funktionen
f x, y   6 x 2  6 y 2  6 xy  36 x  5 har en stationär punkt då x = -4 och y = 2.
Undersökning om det är max min eller sadelpunkt.
Liksom i envariabelfaller går man till andraderivatorna,
men det är inte så enkelt att man direkt kan titta på andraderivatans
tecken. Istället räknar man ut en kontroll- eller indikatorvariabel D
D( x, y)  f xx  f yy   f xy 
2
Om D<0
=> sadelpunkt
Om D>0 och fxx>0 => minpunkt
Om D>0 och fxx<0 => maxpunkt
Beviset för detta är ganska komplicerat och lämnas utanför den här kursen
Exempel forts.
Vi fortsätter exemplet ovan:
Vi beräknar andraderivatorna (inklusive korsderivatan):
f xx x, y   12  0  0  0  12
f yy x, y   12 y  0  0  0  12
f xy x, y   0  0  6  0  6
Sätt in dessa i D( x, y)  f xx  f yy   f xy  vilket ger: D( x, y )  12  12  6  108  0
D>0 => att vi har max- eller minpunkt.
2
2
Vi tittar vidare på f xx x, y  och konstaterar att f xx x, y   12  0 . Vi kan alltså dra
slutsatsen att funktionen har en minpunkt i punkten x = -4, y = 2