Superpositionsprincipen

Sammanfattning av kursen ETIA01 –
”Elektronik för D”, Del 1 (föreläsning 1-6)
Kapitel 1:
sid 1 – 37
Definitioner om vad laddning, spänning , ström, effekt och energi är och vad dess enheterna är:





Laddningsmängd q mäts i Coulomb [C].
Energi E mäts i enheten Joule [J].
Spänning u är hur mycket energi (i Joule) som överförs per laddningsmängd (i
Coulomb) och mäts i enheten Volt [V].
Ström i är hur mycket laddning (i Coulomb) som passerar en given tvärsnittsyta per
tidsenhet (i Sekunder) och mäts i enheten Ampere [A].
Effekt p är hur mycket energi (i Joule) som överförs per tidsenhet (i Sekunder) och
mäts i enheten Watt [W].
En elektrisk ledare är ett material som i det ideala fallet låter elektroner strömma fritt igenom sig.
Ström/spänning förekommer i två huvudtyper:


Likström/Likspänning (DC, Direct Current) är när strömmen/spänningen är konstant
med avseende på tiden.
Växelström/Växelspänning (AC, Altenating Current) är när strömmen/spänningen
varierar strömriktningen/spänningsriktning och strömstyrka/spänningsstyrka
periodiskt med avseende på tiden.
Effekten som överförs är lika med produkten av spänningen och strömmen i varje tidsögonblick.
𝑝(𝑡) = 𝑢(𝑡) ∗ 𝑖(𝑡)
(gäller för resistiva komponenter)
När ström flyter genom en komponent och ger upphov till en spänning över komponenten, så
överförs effekt till komponenten. Den mängd energi som då överförs till komponenten under tiden
t2 – t1 är:
𝑡2
𝐸(𝑡) = ∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡
𝑡1
Den passiva referensriktningen säger att om en komponent avger energi till andra kretsar så blir
effekten i komponenten negativ och om kretsen absorberar energi så blir effekten positiv. Det vill
säga, att om strömmen flyter in i en komponent där spänningen är positiv så är effekten positiv och
flyter strömmen in i komponenten där spänningen är negativ så är effekten negativ.
Kirchhoff’s lagar:
Kirchhoff’s strömlag: En nod är en punkt som kopplar ihop två eller fler kretselement.
Summan av alla strömmar som flyter in i en nod är alltid lika med noll.
i1
i2
i3
Ström som flyter in till noden får positivt (eller negativt) tecken och ström som flyter ut ifrån noden
får motsatt negativt (eller positivt) tecken.
𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0
Detta kan också uttryckas som att summan av alla strömmar som flyter in till en nod är lika med
summan av alla strömmar som flyter ut från samma nod.
𝑖1 + 𝑖3 = 𝑖2
Kirchhoff’s spänningslag: En slinga är en sluten väg genom kretselement som börjar och slutar i
samma nod.
Summan av alla spänningar i en sluten slinga är alltid lika med noll.
+
u1
¡
+
us
u2
¡
−𝑈𝑠 + 𝑈1 + 𝑈2 = 0 alternativt 𝑈𝑠 − 𝑈1 − 𝑈2 = 0
Ohm’s lag:
Förhållandet mellan spänning och ström kallas resistans eller elektriskt motstånd, R, och mäts i
enheten ohm []. Resistans är ett mått på hur lätt elektronerna flyter fram i en krets. Noll resistans
kallas för en kortslutning och oändligt hög resistans kallas för ett avbrott eller öppen krets.
Ett kretselement som uppvisar resistans mot strömmande elektroner kallas för ett motstånd eller
resistor. Ett motstånd är konstruerat för att uppvisa ett specifikt resistansvärde i ohm.
𝑈 =𝑅∗𝐼
Effekten som överförs till ett motstånd är:
𝑃(𝑡) = 𝑢(𝑡) ∗ 𝑖(𝑡) = 𝑢(𝑡)2 /𝑅 = 𝑖(𝑡)2 ∗ 𝑅
A
Kapitel 2: sid 46-73, 82-100
Seriekopplade resistanser kan ersättas av en ekvivalent resistans som är lika med summan av de
seriekopplade resistanserna:
Req = R1 + R2 + R3
Parallellkoppalde resistanser kan ersättas av en ekvivalent resistans som är lika med inversen av
summan av de inverterade resistansvärdena:
Req =
1
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
Vid parallellkoppling av två resistanser så kan man använda en förenklad formel:
Req =
R1R2
R1+ R2
Kretsanalys genom att använda serie och parallellekvivalenter
1. Börja med att leta upp serie- och parallellkombinationer av motstånd i kretsen och ersätt
dem med ekvivalenta motstånd. Det är oftast enklast att börja så långt som möjligt från
spännings- och strömkällorna i kretsen.
2. Rita om kretsen med de nya ekvivalenta resistanserna.
3. Upprepa steg 1 och steg 2 tills det inte går att få fram fler ekvivalenter.
4. Beräkna strömmar och spänningar i den slutliga kretsen och gå tillbaka ett steg i taget tills
dess att man är tillbaka i ursprungskretsen, samtidigt som man i varje steg beräknar nya
strömmar och spänningar i kretsen.
R1
R1
R3
+
-
+
-
R2
+
-
( 1)
R eq
( 2)
R eq
-
( 1)
Req =
R2 R3
R2+ R3
( 2)
-
(1)
Req = R1 + Req
Spänningsdelning:
Av den totala spänningen, så kommer den del av spänningen som ligger över ett motstånd i
seriekopplingen att vara i samma förhållande till totala spänningen som förhållandet mellan
motståndet och den totala seriekopplade ekvivalenta resistansen.
𝑣𝑢𝑡 =
𝑅2
∗𝑣
𝑅2 + 𝑅1 𝑖𝑛
Strömgrening:
Av den totala strömmen som flyter genom två motstånd, så kommer den del av strömmen som flyter
genom det andra motståndet i parallellkopplingen att vara i samma förhållande till totala strömmen
som förhållandet mellan motståndet och den totala summan av resistanserna.
𝑖2 =
𝑅1
∗𝑖
𝑅2 + 𝑅1 𝑖𝑛
Det här fungerar endast för två motstånd. Om man har fler än två strömgrenar så får man para ihop
dem två och två och beräkna en ny strömdelning för varje ny förgrening.
Nodanalys
En nod är en punkt som kopplar ihop två eller fler kretselement. Vid en nodanalys så använder man
Kirchhoff’s strömlag och Ohm’s lag för att skriva ner ekvationerna för varje nod i kretsen.
u1 i x
1A
u2
5Ω
10Ω
20Ω
0:5i x
Kirchoffs’s strömlag:
Ohm’s lag:
Nod 1: −1 +
𝑢1
+
10
Nod 2: 0,5𝑖𝑥 +
𝑖𝑥 = 0
𝑢2
−
20
𝑖𝑥 = (𝑢1 − 𝑢2)/5
𝑖𝑥 = 0
Sätter vi in ix i den andra nodekvationen och löser för u2 så får man
u2 = 2u1
Om vi sedan sätter in det i den första ekvationen, så får man
1
Thevenin-ekvivalent:
u1 = 3 3 V
)
u2 = 6 23 V
)
ix =
2
3A
Thevenin-ekvivalent:
Om man har en obestämd krets som består av resistanser och källor, så kan den ersättas med en
Thevenin-ekvivalent bestående av en oberoende spänningskälla och ett motstånd.
Rt h
En krets av
resistanser och
källor
uoc
ut h
Eftersom kretsen är öppen så flyter det ingen ström och därmed blir det ingen spänning över
motståndet Rt h , och vi kan då skriva
ut h = uoc
uoc
Nu kortsluter vi utgången och får då fram en ström i sc som flyter genom utgångsanslutningarna.
Thevenin-resistansen kan då beräknas som spänningen över den öppna kretsen delat med strömmen
i den kortslutna kretsen
Rt h =
uoc
i sc
Om det inte finns några beroende källor i kretsen, så kan man också beräkna Thevenin-resistansen
direkt genom att ”nolla” alla oberoende källor. Det vill säga att man ersätter alla oberoende
spänningskällor med en kortslutning och alla oberoende strömkällor med ett avbrott (eftersom en
kortslutning har noll Volt spänning över sig och ett avbrott har noll Ampere ström igenom sig). Sedan
använder man lagarna för serie- och parallellkoppling av motstånd för att räkna ut vad det
ekvivalenta motståndet för kretsen är sett ifrån utgången. Thevenin-motståndet är då lika med det
ekvivalenta motståndet för kretsen.
Norton-ekvivalent:
Ibland kan det vara enklare för efterföljande beräkningar om ekvivalenten är en strömkälla istället för
en spänningskälla. Då använder man sig av en Norton-ekvivalent istället.
En krets av
resistanser och
källor
i sc
iN
RN
Strömkällan i Norton-ekvivalenten är lika med den ström som flyter ut ifrån kretsen om man
kortsluter utgången,
i N = i sc
Norton-resistansen är lika med Thevenin-resistansen.
RN = Rt h
Så för att beräkna Thevenin och Norton-ekvivalenter för en krets:





Bestäm spänningen på kretsens utgång när den inte är ansluten till något. Theveninspänningen är då lika med denna utgångsspänning.
Bestäm strömmen i utgången om utgången kortsluts.
Thevenin-motståndet är då lika med Thevenin-spänningen dividerat med
kortslutningsströmmen.
Norton-strömmen är lika med den bestämda kortslutningsströmmen i punkt 2.
Norton-resistansen är lika med Thevenin-motståndet.
i sc
Maximal Effektöverföring:
Maximal effektöverföring från en krets till en annan krets får man om belastningsresistansen är lika
med Thevenin-resistansen på utgången av kretsen.
Rt h
En krets av
resistanser och
källor
Om RL
= Rt h
ut h
RL
RL
så blir den maximalt överförda effekten från kretsen till belastningen lika med
Pm ax =
u 2th
4R t h
Superpositionsprincipen:
Om en krets innehåller två eller fler källor, så kallas den ström eller spänning som genereras av en
komponent i kretsen för kretsens signalsvar på de källor som ingår i kretsen. I linjära kretsar så kan
man dela upp kretsen i flera delkretsar som vardera innehåller endast en källa. Signalsvaret från
varje delkrets kan summeras ihop för att ge signalsvaret för hela kretsen. Detta kallas för
Superpositionsprincipen.
Anledningen till att använda superpositionsprincipen är att det är betydligt enklare att analysera
kretsar med endast en källa.
Superpositionsprincipen:



Dela upp kretsen i delkretsar och ”nolla” (spänningskälla ersätts med kortslutning
och strömkälla ersätts med ett avbrott) alla källor utom en (olika i varje delkrets).
Beräkna signalsvaret på utgången av varje delkrets.
Summera ihop signalsvaren för att få fram det totala signalsvaret för hela kretsen.
R1
i1
u2
R2
( t ot al )
uu t
R1
i1
R1
R2
(t ot al )
uut
( 1)
uu t
u2
+
(1)
(2)
= uut + uut
R2
( 2)
uu t