Examensarbete i matematik, naturvetneskapliga faktulteten
Håkan Krzeszowski
Primtalssatsen och Riemanns Zeta-funktion
Zeta-funktionen introducerades av Leonhard Euler men det var Bernhard
Riemann som först studerade den som en funktion av en komplex variabel. I
sin kända åttasidiga artikel "Om antalet primtal mindre än en given storlek"
utvidgade Bernhard Riemann zeta-funktionen till hela det komplexa talplanet
samt presenterade ett bevis för funktionalekvation för zeta-funktionen. Det
var även i denna artikel som Riemann introducerade Riemannhypotesen som
fortfarande idag förblir en av matematikens viktigaste olösta problemen.
I den första delen av denna uppsats introduceras zeta-funktionen och vi
tittar på några av dess grundläggande egenskaper. I den andra delen använder
vi zeta-funktionen för att presentera ett fullständigt bevis för
primtalssatsen, som beskriver den approximativa asymptotiska fördelningen av
primtalen. I den sista delen tittar vi på Riemannhypotesen och betydelsen
ett bevis skulle ha både för teorin om primtalens fördelning samt för hela
matematiken.
Handledare: Tomas Claesson
Examensarbete i matematik, 10 poäng, VT 2006-02-22
Naturvetenskapliga fakulteten, Matematikcentrum, Matematik NF
Lunds universitet
Examensarbete i matematik, 10 poäng, VT 2006
Håkan Krzeszowski
The Prime Number Theorem and Riemann’s Zeta Function
The zeta-function was introduced by Leonhard Euler though it was Bernhard
Riemann who first considered it as a function of a complex variable. In his
famous 8-page paper "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude"
Bernhard Riemann extended the zeta function to the entire complex plane and
he also provided a proof of the functional equation of the zeta-function. It
was also in this paper that Riemann introduced the Riemann hypothesis which
to this day remains one of the most important unsolved problems of
mathematics.
In the first part of this thesis we introduce the zeta-function and study
some of its basic properties. In the second part we use the zeta-function to
present a complete proof of the Prime Number Theorem, which describes the
approximate asymptotic distribution of the prime numbers. In the last part
we look at the Riemann hypothesis and the impact a proof would have on both
the prime number distribution theory and mathematics as a whole.
Examensarbete i matematik, 10 poäng, VT 2006
