Examinationsuppgifter, Talteori, TATM54, Blad C Lösningar lämnas i det röda tråget, c:a 2 meter nordväst om mitt rum. inte i mitt postfack! Lösningarna ska vara välskrivna och läsliga, på ena sidan av varje ark. Jag tar inte emot lösningar per epost! C 1) Bestäm en primitiv rot modulo 11 och en modulo 13. Beskriv och beräkna med dess hjälp alla kvadratiska rester och icke-rester i båda fallen. Gör sen samma för kubiska rester och förklara skillnaden i resultat mellan de båda fallen. C 2) a) Beräkna legendresymbolen ( 7411 9283 ) b) Bestäm antalet lösningar till andragradskongruenserna x2 + x + 1 ≡ 0 (mod p) och x2 + x + 21 ≡ 0 (mod p) där p = 83 och 97. C 3) p är ett primtal av modellen p = 2q − 1 där q är ett primtal ≡ 1 (mod 4). Visa att 10 är kvadratisk rest modulo p. Ge exempel. C 4) a) Vi söker lösningar till kongruensen x2 ≡ −1 (mod p) där p ≡ 1 (mod 4) är ett primtal. Visa hur en lösning enkelt kan bestämmas, om vi känner till en kvadratisk icke-rest a (mod p) b) I vartdera av fallen p ≡ 5 (mod 8) och p ≡ 17 (mod 2)4 kan ett bestämt (litet) värde på a begagnas. Exemplifiera fallen p = 29, 41 (och lös därmed alltså kongruensen i a)) (återstående fall är p ≡ 1 (mod 2)4) C 5) p är ett udda primtal. Heltalet a är en bikvadratisk rest modulo p om det finns ett heltal x med x4 ≡ a (mod p). Visa att -4 är bikvadratisk rest modulo p om och endast om −1 är kvadratisk rest modulo p, dvs. p ≡ 1 (mod 4). Tips för “om”: Låt e2 ≡ −1 (mod p). Faktorisera kongruensen X 4 + 4 ≡ 0 (mod p) och visa att endera faktorn har nollställe modulo p, beroende på karaktären av 2 modulo p. C 6) Heltalet a är en bikvadratisk rest modulo p om det finns ett heltal x med x4 ≡ a (mod p). a) Visa att −1 är bikvadratisk rest modulo primtalet p om och endast om p ≡ 1 (mod 8). b) p = 4k + 3, k positivt heltal, är ett primtal. Visa för varje a, p 6 |a att antingen a eller −a är kvadratisk rest modulo p. Visa därpå att a är bikvadratisk rest modulo p om och endast om a är kvadratisk rest. C 7) Anta att q = kp + 1, p, q udda primtal, k positivt heltal. Visa att plus eller minus p är kvadratisk rest modulo q, (beroende på bland annat klasserna av k, p, q modulo 4.) Ge exempel. C 8) a) Kvadratiska karaktären av -5 modulo det udda primtalet p beror enbart på klassen av p modulo 20. Visa detta, och bestäm karaktären i samtliga fall. Exemplifiera dessutom fallen (för samtliga klasser modulo 20, alltså). 1 b) Byt -5 mot ±q, q primtal 6= p. Beskriv, med motivering, de fall i vilka karaktären av ±q mod p beror av klassen av p mod q, och i vilka fall den beror av en större modul (som i deluppgift a). C 9) m, n är udda, positiva, heltal. D ≡ 0 eller 1 (mod 4). m ≡ n (mod D). Visa D m = D n för Jacobi-symbolen. C 10) Givet primtalet p = 8n + 1, n positivt heltal, och en primitiv rot r modulo p. Visa att lösningarna till x2 = ±2 ges av x ≡ ±(r7n ± rn ) (mod p) och endast dessa. C 11) p är ett udda primtal. a) Vi ska visa direkt att ( −3 p ) är lika med 1 om p ≡ 1 (mod 3). Låt r vara ett element av ordning 3 modulo p (visa existens!), visa att r2 + r + 1 ≡ 0 (mod 3), och kvadratkomplettera. b) Anta nu istället att p ≡ 2 (mod 3).. Visa att kongruenserna x3 ≡ a (mod p) är entydigt lösbara modulo p, för alla a. Visa nu, genom att välja a = 8 (till exempel!) att kongruensen x2 + 2x + 4 ≡ 0 (mod p) är olösbar, och, härur att ( −3 p ) = −1! c) Nu visar vi att p ≡ 1 (mod 5) ger ( p5 ) = 1. Låt r ha ordning 5 (visa existens!) visa att 1 + r + r2 + r3 + r4 ≡ 0 (mod 5), sätt x = r + r4 och visa x2 + x ≡ 1 (mod 5). Kvadratkomplettera. C 12) p är ett primtal. x är ett heltal med x 6≡ ±1 (mod p), för övrigt godtyckligt. a) Vilka u (mod p) satisfierar kongruensen x − 1 ≡ u(x + 1) (mod p) C 13) för något x? b) Med ledning av a), visa att (p − 3)/2 av klasserna x2 − 1 (mod p) är kvadratiska rester och att (p − 1)/2 av dem är icke- rester. c) Vad kan då sägas om klasserna x2 − a2 (mod p) för fixt a och x ≡ 6 ±a (mod p)? a) Anta att det udda primtalet p = a2 + b2 där a är udda. Visa att a är kvadratisk rest modulo p. modulo p. Använd Jacobisymbolens egenskaper. b) Åtminstone i fallet p ≡ 5 (mod 8) kan även kvadratiska karaktären av b bestämmas. Gör det. (2+2) C 14) p, q är två skilda udda primtal. Anta att b är kvadratisk rest modulo p men inte modulo q. Anta vidare att b(q−1)/2 ≡ 1 (mod p) och b(p−1)/2 ≡ −1 (mod q) Visa att n = pq inte är eulerskt pseudoprimtal till basen b, dvs. att Eulers kriterium inte är uppfyllt. (Beräkna explicit b(n−1)/2 och (b/pq) där det senare står för Jacobi- symbolen.) Tips: pq − 1 = p(q − 1) + (q − 1). Ge också exempel där dessa förutsättningar är uppfyllda (små siffror, tack!). C 15) Repetition. Vad är den maximala ordningen för ett heltal modulo 2e , e ≥ 4? Vilka är de möjliga ordningarna? Hur många element har maximal ordning? 2 Till uppgiften! Anta att a är av maximal ordning modulo 2e , e ≥ 4. Visa att a+8m har denna egenskap, också. Uteslut härigenom två restklasser modulo 8. Bokens satser och bevis bör förse dig med idéer. C 16) a) p är ett udda primtal, r är en primitiv rot modulo pn . Anta rs ≡ rt (mod p). Visa att s ≡ t (mod 2). b) Funktionen f är en karaktär modulo pn , dvs. f (mn) = f (m)f (n) om p 6 |m, n och n1 ≡ n2 (mod pn ) medför f (n1 ) = f (n2 ). f (m) är inte definierad för p|m, eller kan sättas lika med noll för dessa m. Anta att f (r) = −1. Visa att n f (n) = ( ) p . C 17) Följande uppgift generaliserar en på blad A. Anta att både p och 2p − 1 är primtal, t ex 7 och 13. Visa att n = p(2p − 1) är pseudoprimtal till basen b om och endast om b är kvadratisk rest modulo n. C 18) a) Anta att primtalet p är av modellen 4k + 3. Visa att a är en primitiv rot modulo p om och endast om −a har ordning (p − 1)/2. b) Anta att p = 2q + 1 där både p och q är primtal. Visa att alla p − a2 där p 6 |a är primitiva rötter modulo p. C 19) p, q skilda udda primtal. Visa att det finns r sådant att varje m med (m, pq) = 1 kan skrivas på formen m ≡ ±rj , om och endast om (p − 1, q − 1) = 2 (dvs. minsta möjliga). C 20) Anta p = 2a2 + 2ab + 3b2 . Visa att p ≡ 2, 3 (mod 5), att vi kan lösa 2p = u2 + 5v 2 , och 3p = u2 + 5v 2 , men att ekvationen p = u2 + 5v 2 är olösbar. C 21) Vi studerar kongruensen x4 + 1 ≡ 0 (mod p) där p är ett udda primtal. Vi vill faktorisera polynomet modulo p i olika fall. Eftersom vi har entydig division modulo p så kan man visa att en sådan faktorisering i polynom med högstagradskoefficienten = 1 i princip är entydig och att faktorsatsen gäller, dvs, bijektion mellan lineära faktorer och nollställen (modulo p). Detta är “Lagrange’s theorem on polynomial congruences”. Visa fallen: a) p ≡ 1 (mod 8): Fyra lineära faktorer, dvs. fyra lösningar til kongruensen. b) p ≡ 5 (mod 8): Två kvadratiska faktorer av enkelt slag. Inga lösningar. c) p ≡ 3, 7 (mod 8). + eller -2 kvadratisk rest. Två kvadratiska faktorer, lite mer komplicerade än nyss, inga lösningar. Ledning: a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab. C 22) a) p, q är olika udda primtal, p ≡ ±q (mod 4a). Visa att ( ap ) = ( aq ). Ledning: det räcker att visa för a = udda primtal (motivera detta!). b) Bestäm den kvadratiska karaktären av 3 modulo primtalen 5, 7, 11, 13. c) Slut att 3 är kvadratisk rest modulo det udda primtalet p om och endast om p ≡ ±1 (mod 12) C 23) a) p är ett primtal. Visa att polynomkongruensen f (X) = X p−1 − 1 ≡ 0 1, 2, . . . , p − 1 modulo p. b) Använda detta till att bestämma Π1≤j≤p−1 (X 2 − j 2 ) 3 (mod p) har rötterna och Π1≤j≤p−1 (X − j 2 ) modulo p. c) Bestäm till sist det polynom som modulo p har alla kvadratiska rester (resp. icke-rester) som rötter, men medtagna endast en gång. Anknyt till Eulers kriterium och notera att du aldrig använt primitiva rötter. C 24) p udda primtal. Anta k p|22 + 1, k+1 k≥2 Visa att ordningen av 2, modulo p är exakt 2 . Slut härav att 2k+1 är en faktor i p − 1, vidare ur detta att 2 är kvadratisk rest modulo p varur, tillsist, skärpningen att 2k+2 är en faktor i p − 1. Härur kan man med ren handräkning visa att 216 + 1 är ett primtal. C 25) Anta x2 ≡ y (mod 2r ) där r ≥ 3 och y är udda. Bestäm alla m för vilka (x + 2m)2 ≡ y (mod 2r ) genom att dela upp i fallen udda och jämnt m. Slut att kongruensen x2 ≡ y (mod 2r ) har ingen eller exakt fyra lösningar modulo 2r . C 26) √ √ a) Visa Thues lemma: Låt √ n vara ett positivt heltal. Låt e = ⌊ n⌋, “heltalsdelen” av n, dvs. största heltalet närmast under n. Anta vidare a heltal med (a, n) = 1. Visa att det finns x, y, 0 < x ≤ e, 0 < y ≤ e sådana att ay ≡ ±x (mod n) För n = primtal p kan man vidare kräva (x, y) = 1 och skriver med fördel a≡± x y (mod p) ± står här för plus eller minus. Bevisidé: Bilda alla ay + x, där x, y ligger mellan de angivna gränserna. Två av dem är lika. Dirichlet drar i lådorna. b) Anta u2 − 2v 2 = −p, p positivt. Ange en lösning till a2 − 2b2 = −1 och härled med dess hjälp en lösning till r2 − sv 2 = p. c) Anta p primtal med p ≡ ±1 (mod 8). Visa att ekvationerna u2 − 2v 2 = ±p är lösbara i positiva heltal u, v. C 27) Låt p vara ett primtal, sådant att (−5/p)=1. a) Visa, t ex medels Thues lemma (får tas för givet) att vi kan bestämma heltal x, y, k sådana att x2 + 5y 2 = k · p, där 1 ≤ k ≤ 5. b) I fallen k = 4, 5 kan man återföra på fallen k = 1, 2 efter division av gemensamma faktorer (räkna modulo lämpligt heltal). Visa detta. c) Anta x2 + 5y 2 = 2p resp. 3p. Visa att x och y kan antas vara kongruenta modulo 2 (bägge udda!) resp. modulo 3. och använd detta till att visa att ekvationen 2u2 + 2uv + 3v 2 = p är lösbar i dessa båda fall! Ihop med C20) visar detta att fallen är ekvivalenta, dvs. att x2 + 5y 2 = 2p är lösbar om och endast om x2 + 5y 2 = 3p är det. (så att endera ekvationen x2 + 5y 2 = p eller = 2p är lösbar!) Ett par exempel är p = 47, 43 (allmännare: p ≡ 3, 7, (mod 20). C 28) a) Primtalet p 6= 2, 7. Visa att ( −7 ) = 1 ⇐⇒ p ≡ 1, 2, 4 (mod 7) p 4 b) Anta nu något av dessa kongruensvillkor uppfyllt. Visa , t ex medels Thues lemma, att det finns heltal x, y, 1 ≤ k ≤ 7 sådana att x2 + 7y 2 = k · p Visa att fallen k = 3, 5, 6 är omöjliga, och att fallet k = 7 kan återföras på ett av de återstående. Visa, tillsist, att den diofantiska ekvationen x2 + 7y 2 = p . är lösbar. För behandlingen av k = 2, 4, räkna modulo lämpligt heltal. C 29) a) Primtalet p 6= 2, 5. Visa att 5 ( )=1 p ⇐⇒ p ≡ 1, 4 (mod 5) b) Anta nu något av dessa kongruensvillkor uppfyllt. Visa , t ex medels Thues lemma, att det finns heltal x, y, 1 ≤ k ≤ 4 sådana att x2 − 5y 2 = −k · p Visa att endast k = 1, 4 är möjliga. c) Anta x2 − 5y 2 = −p heltaligt lösbar. Ange en lösning till x2 − 5y 2 = −1 och visa med dess hjälp att x2 − 5y 2 = p är lösbar. d) Anta x2 − 5y 2 = −4p heltaligt lösbar. Konstruera härur en heltalslösning till x2 − 5y 2 = p (det är två fall att behandla) C 30) a) Låt n, p 6 |n vara en kvadratisk rest modulo det udda primtalet p, x2 ≡ n (mod p). Vi ska visa att n är kvadratisk rest modulo varje positiv potens av p. Gör det. Ett huvudsteg kan vara att visa följande: Anta y 2 ≡ n (mod pk ), k ≥ 1 Då finns ett α sådant att (y + α · pk )2 ≡ n (mod pk+1 ) Visa också att antalet lösningar (modulo pk ) till kongruensen z 2 ≡ n (mod pk ) är exakt två. b) Vi vill bestämma alla kvadratiska rester modulo 2e , e ≥ 3. Anta att vi lyckats lösa x2 ≡ y (mod 2r ), r ≥ 3. Visa att det finns ett m sådant att (x + m · 2r−1 )2 ≡ y (mod 2r+1 ). Slut härur att y är kvadratisk rest modulo 2e , e ≥ 3, om och endast om y ≡ 1 (mod 8). C 31 (fortsättning). a) Visa att −1 är kvadratisk rest modulo n om och endast om n = 2e · p1 · p2 · · · pk där e = 0 eller 1 och primfaktorerna pj ≡ 1 (mod 4). b) Visa så att n = a2 + b2 med relativt prima a, b om och endast om n har denna form. Thues lemma kan vara bra att ha. Detta är en alternativ lösning till ett par uppgifter på B-bladet. C 32) Talet n har primfaktoriseringen n = 2d0 · pd11 · · · pdr r där p1 , p2 , . . . , pr är olika udda primtal. Visa att antalet lösningar, modulo n, till kongruensen x2 ≡ 1 (mod n) 5 är a) 2r om d0 = 0 eller 1. b) 2r+1 om d0 = 2 c) 2r+2 om d0 ≥ 3 C 33) p är ett udda primtal. n är kvadratisk rest modulo p. Vi vill lösa ekvationen x2 ≡ n (mod p) explicit. a) Fallen p = 4k + 3 samt p = 8k + 5, n2k+1 ≡ 1 (mod p) är lättast, då duger en lämplig potens av n, bestäm denna. b) Lös nu fallet p = 8k + 5, n2k+1 ≡ −1 (mod p), t ex genom att utnyttja att 2 inte är kvadratisk rest modulo p. Fallet p = 8k + 1 torde stå och falla med möjligheten/svårigheten att hitta kvadratiska icke-rester. C 34) Anknyt till föregående uppgift. Fallet p = 8k + 1. Anta p − 1 = 2m · q, q udda. Anta n kvadratisk icke-rest modulo p - det finns probabilistiska algoritmer för att hitta sådana. Anta att a är en kvadratisk rest. Vi söker x sådant att x2 ≡ a (mod p). a) Sätt b = nq . Visa att b:s ordning modulo p är exakt 2m . b) Sätt q+1 r=a 2 Visa att (r2 /a) har ordning högst lika med 2m−1 modulo p. c) Anta att vi funnit ett r och ett j sådana att r2 2j a ≡ 1, r2 2j−1 a ≡ −1 (mod p) Efter modifikationen r := bk · r, för lämpligt k, kan vi åstadkomma att r2 2j−1 a = +1 (mod p) Visa detta. Sammanfatta a)-c) i en algoritm för att lösa x2 ≡ a 6 (mod p) när en kvadratisk icke-rest n är känd.