Sammanfattning av ALA

Carl-Magnus Träff Bt07
Sammanfattning av ALA-B 2007
A. Ordinära differentialekvationer (ODE)………………………………………1
1. Första ordningens homogena ODE………………………………………………………………...1
2. Andra ordningens homogena ODE………………………………………………………………...1
3. Inhomogena ekvationer………………………………………………………………………….....1
4. Separabla variabler…………………………………………………………………………………1
5. Integrerande faktor…………………………………………………………………………………2
6. En alternativ förskjutningsregel……………………………………………………………………2
B. Volymberäkningar med integraler…………………………………………….3
1. Metoden med cirkulära skivor……………………………………………………………………..3
2. Metoden med cylindriska skal……………………………………………………………………..3
C. Lite om imaginära tal…………………………………………………………..4
1. Några definitioner………………………………………………………………………………….4
2. Polär form………………………………………………………………………………………….4
3. de Moivres formel………………………………………………………………………………….4
4. Eulers formel……………………………………………………………………………………….4
D. Allmänt gällande integrering…………………………………………………..5
1. Polynomdivision och partialbråksuppdelning (PBU)………………………………………………5
2. Variabelsubstitution………………………………………………………………………………...6
3. Invers substitution…………………………………………………………………………………..6
4. Partialintegrering…………………………………………………………………………………....7
5. Generaliserade integraler…………………………………………………………………………....7
E. Lite om linjär algebra…………………………………………………………...9
1. Linjära ekvationssystem och utökade koefficientmatriser………………………………………….9
2. Trappstegsform och reducerad trappstegsform……………………………………………………..9
3. Linjärkombination och kort förklaring till Span(*)………………………………………………..10
4. Ekvationen Ax b ………………………………………………………………………………….10
5. Underrum……………………………………………………………………………………………10
6. Matrismultiplikation………………………………………………………………………………....11
7. Linjär transformation………………………………………………………………………………...12
8. Inversen till matriser…………………………………………………………………………………12
9. Determinanter………………………………………………………………………………………...12
10. Matrisekvationer…………………………………………………………………………………….13
Carl-Magnus Träff Bt07
2
A. Ordinära differentialekvationer (ODE)
1. Första ordningens homogena ODE
Differentialekvationen y ' ay
godtycklig konstant
0 har den allmänna lösningen y
C e
ax
, där C är en
2. Andra ordningens homogena ODE
Differentialekvationen y ' ' ay ' by 0 har den karakteristiska ekvationen r 2 ar b
med rötterna r1 och r2 . Den allmänna lösningen till differentialekvationen är:
»
y
C1 e r1x
»
y
e r0 x C1 x C 2
»
y
e
x
C 2 e r2 x
om rötterna är reella och olika r1
om rötterna är reella och lika r1
C1 cos x C 2 sin x
0
r2
r2
r0
om rötterna är icke-reella ( r
i,
0 ).
3. Inhomogena ekvationer
Differentialekvationerna y' ay
f x 0.
f x och y' ' ay' by
f x kallas inhomogena om
De löses lämpligen i tre steg:
1. Först bestäms på något sätt en partikulärlösning y p till den givna, inhomogena
ekvationen. Ofta kan man bestämma en partikulärlösning som är av samma slag som
högerledet f x . Förskjutningsregeln kan användas här.
2. Därefter bestämmer man den allmänna lösningen y h till motsvarande homogena
ekvation (erhålls om f x sätts lika med 0).
3. Den allmänna lösningen till den givna, inhomogena ekvationen är:
y
yh
yp
4. Separabla variabler
Metoden med separabla variabler kan användas på differentialekvationer av typen
g y y' f x .
1 dy
2x .
Exempel: Differentialekvationen y ' 2 xy 2 , y 0 , kan skrivas
y 2 dx
Formell lösning:
1
1
1
y
dy
2 xdx
x2 C
2
2
x C
y
y
Carl-Magnus Träff Bt07
3
5. Integrerande faktor
y' g x y har den integrerande faktorn e G x , där G x är en primitiv funktion till g x .
Exempel:
Lös differentialekvationen y ' 2 xy 4 x genom att använda en integrerande faktor.
y ' 2 xy 4 x
2
Integrerande faktor är e x (notera att x 2 är en primitiv funktion till 2x )
2
Multiplicera hela uttrycket med e x :
2
2
2
e x y ' e x 2 xy 4 x e x
d x2
e y
dx
ex
2
2
4x e x
4x e x
y
2
2
2x e x C
2
(Dividera båda sidor med e x )
y
2 Ce
x2
Svar: Allmänna lösningen är y
2 Ce
x2
6. En alternativ förskjutningsregel
Exempel: Beräkna en partikulärlösning för y' ' 3 y' 2 y
yp
Sätt:
2x
y p ' q' e
y p ' ' q' ' e
y' ' 3 y' 2 y
e
2x
2qe
2x
2x
4qe
2x
Ax 2
q
Bx
q' 2 Ax B
q' ' 2 A
2 A 2 Ax B
2A
A
2A B
2
2 B
2
B
2 q' e
2x
q' ' 4q' 4q 3q' 6q 2q
q' ' q' 2 x 2
2
2x
2x
q e
Sätt vidare:
2x 2 e
2x 2
1
4
q
x 2 4x
Detta ger att partikulärlösningen är
yp
x 2 4x e 2 x
2q ' e
e
2x
2x
e
2x
q' ' q'
q ' ' 4q ' 4q
2x 2 e
2x
Carl-Magnus Träff Bt07
4
B. Volymberäkningar med integraler
1. Metoden med cirkulära skivor
» Vid rotation kring y-axeln gäller:
V
x2 y
x 2 dy
V
Skriv om ekvationen så du har x 2 uttryckt i termer av y (och se till att gränserna gäller för y
och inte för x). Sen är det bara att integrera på som vanligt (fast med avseende på y och inte
x).
» Vid rotation kring x-axeln gäller:
V
y2 x
y 2 dx
V
Ta din givna funktion i kvadrat, integrera med avseende på x och multiplicera svaret med
.
2. Metoden med cylindriska skal
Om du till exempel ska rotera ett område kring y-axeln men har svårt att skriva om din
funktion så att x 2 uttrycks i termer av y så kan du använda denna metod. Vid rotation kring
y-axeln gäller:
V 2 x y x
V
2
x y dx
Du tar alltså din funktion gånger x, integrerar med avseende på x och multiplicerar svaret med
2 .
Carl-Magnus Träff Bt07
5
C. Lite om imaginära tal
1. Några definitioner
Ett komplext tal kan skrivas på formen a bi , där a och b är reella tal och i 2
Om z a bi så gäller:
» a är realdelen av z
Re z a
» b är imaginärdelen av z
Im z b
i2
1
» i är den imaginära enheten
» z är absolutbeloppet av z
» z är konjugatet till z
z
a2
z
a bi
1.
b2
2. Polär form
z
a bi
r cos v
r sin v i
r cos v
i sin v
Ett komplext tal z a bi kan alltså skrivas z r cos v i sin v , där r är absolutbeloppet
av z och v är argumentet av z (vinkeln mellan z och den reella tallinjen). Vi säger då att z är
skrivet i polär form.
Argumentet av z skrivs arg z .
Vid multiplikation i polär form multipliceras absolutbeloppen och argumenten adderas.
Vid division i polär form divideras absolutbeloppen och argumenten subtraheras.
3. de Moivres formel
cos v
i sin v
n
cos nv
i sin nv , där n är ett naturligt tal.
4. Eulers formel
Om x och y är reella tal gäller:
e iy cos y i sin y
e z e x iy e x e iy e x cos y
Exempel:
3 i
3
3
e 4 cos
i sin
4
4
e 2 3i e 2 e 3i
Exempel:
e iy
n
e 2 cos 3
i sin y
i sin 3
1
2
1
i
2
e 2 cos 3
i e 2 sin 3
e iny är en kompakt form av de Moivres formel.
7,32 1,04i
Carl-Magnus Träff Bt07
6
D. Allmänt gällande integrering
1. Polynomdivision och partialbråksuppdelning (PBU)
Exempel: Om vi ska integrera ett krångligt uttryck som
x 13
vill vi gärna förenkla det först.
3
x
x 2 4x 4
Detta kan vi göra genom att först dela upp nämnaren i faktorer genom polynomdivision och
sedan dela upp uttrycket med hjälp av partialbråksuppdelning.
För att hitta vår första faktor behöver vi finna en rot till nämnaren 0 , alltså
x 3 x 2 4 x 4 0 . Vi ser att en rot är x
1, och en faktor är då (x 1) .
Den andra faktorn fås via polynomdivision:
x2 4
x3 x 2 4x 4 x 1
x3
x2
4x 4
4x 4
0
Vi har alltså:
x 13
3
x
x 2 4x 4
x 13
x 1 x2 4
Nu ska vi partialbråksuppdela.
A
x 13
kan skrivas på formen
2
x 1
x 1 x 4
x 13
A
Bx C
2
x 1 x2 4
x 1 x 4
A x2
x 13
Ax
2
4
4 A Bx
Bx
x2
C
. Vi ska finna A, B och C.
4
Bx C x 1
2
Bx Cx C
A B x2 B C x C 4A
Vi har:
A B 0
B C 1
C 4A 13
Detta löser vi med en utökad koefficientmatris:
1 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0
0
1 1 1 ~ 0 1 1 1 ~ 0 1
4 0 1 13
C
3
B
Vi har då:
x 13
3
x
x 2 4x 4
0 4 1 13
4
A
0 0
1 1
39
4
x 13
x 1 x2 4
4x 3
x2 4
4
x 1
Carl-Magnus Träff Bt07
7
4x 3
kan förenklas ytterligare med PBU genom att faktorisera nämnaren till x 2 x 2 .
x2 4
2. Variabelsubstitution
b
Om vi har en integral på formen
f g x g ' x dx kan vi förenkla den genom att omvandla
a
B
f u du .
den till
A
Exempel:
Beräkna integralen
0
x
2 sin
2
v
2 sin
I
2
x
dx
2
cos
x
2
0
2
1
x
cos
dx
2
2
dv
3
2 3
v
3
2
2 v dv
2
3
3
2
27 8
3
2
38
areaenheter
3
3. Invers substitution
Ibland blir beräkningarna enklare om man genomför en invers substitution, alltså så att
b
x b
integralen
f x dx omvandlas till
f g u g ' u du .
x a
a
Exempel:
Beräkna volymen:
2
1
V 2
dx
4 x2
1
x
dx
4 x2
2
2 cos t dt
2
4 cos 2 t
4 1 sin 2 t
4 cos 2 t
2
dt
2
6
2
1
4 4 sin 2 t
2 cos t
2
2 sin t
1dt
6
2
6
2
2
2
3
3
volymsenheter
6
2
Carl-Magnus Träff Bt07
8
4. Partialintegrering
Ett samband som ibland gör beräkningarna enklare är U dV
UV
V dU
Exempel:
e
x 2 ln x dx
Beräkna integralen I
1
Vi partialintegrerar:
e
x 2 ln x dx
1
x 2 dx
x3
3
U
ln x dV
1
dU
dx
V
x
e
U e V e
U1 V1
VdU
1
3
ln e
e3
3
3
e
3
ln 1
e
1
3
1
2
x
dx
3
e
x3
9
1
3
e
e
1
3 9 9
2e 3 1
9
9
1 3
2e 1 areaenheter
9
5. Generaliserade integraler
Om f är kontinuerlig på intervallet a,
definierar vi den generaliserade integralen av f på
som ett gränsvärde av vanliga integraler:
a,
R
f x dx
R
lim
f x dx
a
a
Likadant om f är kontinuerlig på
a
, a:
a
f x dx
R
lim
f x dx
R
Om gränsvärdet existerar säger vi att integralen är konvergent, om det inte existerar säger vi
att den är divergent (och divergerar antingen mot
eller
).
Om f är kontinuerlig på a, b har vi:
b
b
f x dx
a
c
lim
a
f x dx
c
Carl-Magnus Träff Bt07
9
Om f är kontinuerlig på a, b har vi:
b
c
f x dx
c
lim
a
b
f x dx
a
Kruxet här är alltså att se om integralen konvergerar och i så fall till vilket gränsvärde. Till
exempel är x
lim
arctan x
2
arctangens med grafen för tangens.
eftersom tan x
då x
2
, jämför grafen till
Carl-Magnus Träff Bt07
10
E. Lite om linjär algebra
1. Linjära ekvationssystem och utökade koefficientmatriser
Ett linjärt ekvationssystem av typen
x1 2 x 2 x3 0
2 x 2 8 x3 8
4 x1 5 x 2 9 x3
9
har antingen en, ingen eller oändligt många lösningar.
Systemet kan lösas genom att man omvandlar det till en utökad koefficientmatris och
reducerar matrisen med Gausselimination så vi lätt får fram vad x1 , x 2 och x3 är.
I detta fall:
1
2 1 0
1
2 0 3
x1 29
0
4
2
8 8
5
9 9
~ 0
1
0 16
x2
16
0
0
1 3
x3
3
Systemet hade inte haft några lösningar om den reducerade matrisen hade varit på formen:
* 0 0*
0 * 0*
0 0 0*
Det hade haft oändligt många lösningar om det hade varit på formen:
* 0 0*
0 * 0*
0 0 00
Dessa lösningar hade haft formen:
x1
*
*
x
x2
* t * där t är en fri variabel, t
x3
0
3
*
2. Trappstegsform och reducerad trappstegsform
En matris på trappstegsform har formen:
0 # * * * * * *
0 0 0 # * * * *
0 0 0 0 # * * *
0 0 0 0 0 0 # *
Där # kan vara vilket nollskilt tal som helst. # kallas pivotelement och kolumnen där den
står kallas pivotkolumn.
En matris på radreducerad trappstegsform har formen:
0 1 * 0 0 * 0 *
0 0 0 1 0 * 0 *
0 0 0 0 1 * 0 *
0 0 0 0 0 0 1 *
Dvs. varje pivotelement har reducerats till en etta och alla tal ovanför ett pivotelement är noll.
Carl-Magnus Träff Bt07
11
3. Linjärkombination och kort förklaring till Span(*)
Om vektorn b kan fås genom skalärmultiplikation och vektoraddition av vektorerna a1 och
a 2 så är b en linjärkombination av a1 och a 2 . Alltså existerar det skalärer (tal) x1 och x 2
sådana att:
x1a1 x2 a2 b
Därmed har också ekvationen Ax b en lösning för A a1 a2
Låt u och v vara vektorer i 3 skilda från nollvektorn. I så fall är Span v en linje genom
origo uppspänd av v och Span u , v är ett plan genom origo uppspänt av u och v .
4. Ekvationen Ax
b
Lösningar till ekvationen Ax b fås genom att radreducera den utökade matrisen Ab till
trappstegsform där man lätt ser värdet på x1 , x2 ,......xn :
Ab ~ Ud
eller genom att multiplicera b med inversen till A:
A 1b x
Om lösningarna hade haft formen:
x1
*
*
x
x2
* t * där t är en fri variabel, t
3
x3
0
*
Så hade vektorerna i A varit linjärt beroende (eftersom svaret till ekvationen beror på en fri
variabel t). Om alla kolonner i A istället hade varit pivotkolonner hade kolonnerna i A sagts
vara linjärt oberoende.
5. Underrum
Ett underrum till n är en mängd H i n som har dessa egenskaper:
a, H innehåller nollvektorn
b, För alla vektorer u och v i H gäller att summan u + v ligger i H
c, För varje vektor u i H och varje skalär c gäller att vektorn c u ligger i H
En bas för ett underrum H till n är varje linjärt oberoende mängd i H som spänner upp H.
Dimensionen för ett underrum H, dim H , är lika med antalet basvektorer i en bas för H.
Kolonnrummet för en matris A är mängden Col A av alla linjärkombinationer av kolonnerna
i A. Pivotkolumnerna i A bildar en bas till kolonnrummet av A.
Nollrummet för en matris A är mängden Nul A av alla lösningar till den homogena
ekvationen Ax 0 .
Rangen för en matris A, rang A , är lika med dimensionen av kolonnrummet till A.
Så om matrisen A har n kolumner så har vi att:
rang A dim Nul A
n
Carl-Magnus Träff Bt07
12
Exempel:
Bestäm en bas för nollrummet och kolonnrummet för
1 2
1 1
A
1 1
2
1
3 2 3 1
Vi gör detta genom att:
1. Lösa ekvationen Ax 0
2. Bestämma alla pivotkolonner
Metod:
Bestäm (reducerad) trappstegsform för A:
1 2
1 1
1 0 13 1
A
1 1
3
2
2
1 ~ 0 1
3
1
x1
Ax
0
0 0
1
2
13x3
x2
x4
7 x3
x1
x
x2
x3
x4
x4
x3
t är fri variabel
0
0
11x3
x4
De tre första kolonnerna i A är pivotkolonner
7 0
t
0
x2
7t
x1
2t
2
t
7
,t
1
1
2
7
Svar: En bas för Nul A är {
1
}
1
1
En bas för Col A är {
2
1
1, 1 , 2 }
3
dim Nul A
1
dim Col A
3 rang A
2
3
4 # kolonner
6. Matrismultiplikation
Vid multiplikation av matriser måste antalet kolonner i den första matrisen vara lika med
antalet rader i den andra matrisen. Om vi har en matris A av storlek m n och en matris B av
storlek n p så kan vi multiplicera dem i ordningen AB m n n p . Den nya matrisen
kommer ha storleken m p . Vi kan dock inte multiplicera dem i ordningen BA eftersom den
första matrisen då kommer ha p stycken kolonner medan den andra kommer ha m stycken
rader.
Carl-Magnus Träff Bt07
Exempel:
3
0
A
1
1
3
AB
0
1
0
1
2
1
1
1
0
0
1
1
9
0
0
1
13
0
1
4 4
2
9
7
6
7
8
16
22
B
13
27 7 32
13
39 6 44
4 2
2 1
0
7
6
7 7
6 8
0 2
9 7 16
13 8 22
0 1
9 16
13 22
7 9
1
0
1
1
7
8
1
0
0
1
16
22
4 2
7. Linjär transformation
m
Om T är en linjär tranformation som omvandlar vektorer n
så gäller att:
n
samt för skalären c:
T u v T u T v där u och v är vektorer i
T cu cT u
Då finns det en matris A ( m n ) sådan att:
T x Ax för alla x i n .
T utför alltså x
Ax och A kallas standardmatrisen för T och
1
0
längd n
A T e1 .......T en , där e enehetsvektor t.ex.: e1
0
8. Inversen till matriser
En kvadratisk matris A (av storlek n n ) som är radekvivalent med identitetsmatrisen I av
samma storlek har en invers A 1 sådan att:
AA 1 I
A 1A I
» För matriser större än 2 2 fås inversen genom sambandet:
AI ~ IA 1
» För en 2 2 -matris gäller:
a b
d
1
A
A1
c d
ad bc c
» Observera att Ax
b
a
d
1
det A
b kan lösas genom A 1b
c
b
a
x
9. Determinanter
Determinanten för en matris A betecknas det A och skrivs:
a b
a b
A
det A
c d
c d
För en 2 2 -matris gäller:
det A ad bc om A är samma matris som ovan.
För en 3 3 -matris kan determinanten beräknas med Sarrus regel (se bok/anteckningar).
Carl-Magnus Träff Bt07
14
För större matriser fås determinanten via att man radreducerad matrisen till trappstegsform,
och determinanten är lika med produkten av elementen i diagonalen.
När man radreducerar måste man dock ta hänsyn till dessa räkneregler:
a, Om en multipel av en rad i A adderas till en annan rad så matrisen B fås, så är
det B det A .
b, Om två rader i A byter plats för att bilda B, så är det B
det A
c, Om en rad i A multipliceras med k för att få B, gäller att det B k det A
10. Matrisekvationer
Exempel: Vi har XA=B+2X där vi ska beräkna den okända matrisen X.
XA B 2 X
XA X 2 I B
X A 2I
B
X A 2I A 2I
1
B A 2I
1
1
X B A 2I
Sen är det bara att räkna på.
Exempel: Vi har AX=B+CX där vi ska beräkna den okända matrisen X.
AX B CX
AX CX B
A C X B
1
X
A C B
Sen är det bara att räkna på.