Krafter och moment

M12 Mekanikens grunder Steg 2
Krafter och moment
Namn:___________________________ Kurs:________Datum:___________
Lektion 1:
2
Mekanikens grunder
Kraft
Exempel 1
Ex. 1 Rymdfärjan Columbus har just
placerat ut den sista satelliten för
denna gång och skall nu ges en
acceleration på15 m/s2. Hur stor
kraft måste raketmotorn avge om
rymdfärjans massa är 18 ton?
Givet: Accelerationen = 15 m/s2
Massan = 18000 kg
Sökt: Hur stor kraft från raketmotorn?
Lösning:
Kraftekvationen :
F  m  a (1)
Numeriskt :
(1) ger: F  18000  15  270000 N
Rita själv en figur
här ovan och rita
också in en kraftpil.
Rimligt? : Ja
SVAR:
Raketmotorn måste ge en
dragkraft på 270 kN.
Lektionsuppgifter
1201. En tegelsten med massan 5 kg ligger på
marken.
Beräkna tyngdkraften och rita in den som en kraftpil
i din figur.
SVAR: 49,1 N
1202. En kälke befinner sig på en mycket hal is
(friktionen kan försummas). Du vill ge den en
acceleration på 1,5 m/s2.
Hur stor kraft måste du knuffa på med om kälken
väger 80 kg?
SVAR: 120 N
Krafter och moment Steg 2
1203. Rymdfärjan i exempel2 1 skall bromsas in
med retardationen 0,75 m/s , hur stor kraft måste
bromsraketen avge? Rymdfärjans massa var 18 ton.
SVAR: 13,5 kN
Exempel 2
Ex. 2 Två lådor ligger på varandra. Den undre
väger 150 kg och den övre väger 75 kg.
Hur stor är den sammanlagda tyngdkraften?
Rita in totala tyngdkraften
som en streckad kraftpil!
Givet: Massa 1 = 150 kg
Massa 2 = 75 kg
Tyngdfaktorn g = 9,82 m/s2
Sökt: Sammanlagda tyngdkraften.
Lösning:
G2
Tyngden (G) :
G  mg
(1)
Numeriskt :
(1) ger: G1  150  9,82  1473 (N)
(2)
(1) ger: G2  75  9,82  737 (N)
(3)
G1
Totala Tyngdkraften blir då :
Gtot  G1  G2  1473  737  2210
(N)
Rimligt? : Ja
SVAR:Sammanlagda tyngdkraften blir 2210 N.
Lektionsuppgifter forts.
1204. En balk ligger upplagd på två stöd. Balken är
4 meter lång. På den vänstra halvan ligger
tegelstenar tätt travade till en höjd av 1 meter och
en meter från högra sidan står en man.
Rita två figurer, en med tegelstenar och ”gubbe” och
en med kraftpilar.
Beräkna tyngdkrafternas storlek. Tegelstensmuren
väger 200 kg/m och mannen 75 kg.
SVAR: Murens tyngd är totalt 3928 N vilket
motsvara 1964 N/m, Mannens tyngd är 737 N.
3
4
Mekanikens grunder
1205. Din lillebrors tivoliballong (vätgasballong) är
fastknuten i en sandlådehink. I hinken finns sand
och tillsammans med hinken själv är den totala
massan 0,68 kg. ballongens lyftkraft är 3,6 N.
Beräkna totala tyngden, (hink med sand). Rita in
kraftpilar, tre stycken.
SVAR: 3,08 N riktad nedåt.
1206. Lillebror tömmer hinken. Hinken har massan
0,3 kg.
Beräkna total tyngden och rita figur med kraftpilar.
Varför gråter lillebror?
SVAR: 0,65 N riktad uppåt.
Krafter och moment Steg 2
Kraftmoment
Lektion 2:
5
6
Mekanikens grunder
Exempel 3
Ex. 3 Topplocksbultarna på en bilmotor skall dras
med ett vridmoment på 100 Nm.
Hylsnyckelskaftet är 0,5 m hur stor kraft
erfordras?
Givet: Moment MA = 100 Nm
Momentarm (r) = 0,5 m
Sökt: Erforderlig kraft F.
Lösning:
MA  F  r
Momentet :
F
(1) ger:
MA
r
(1)
(2)
Rita själv figuren !
Numeriskt :
F
(2) ger:
100
 200 (N)
0,5
(3)
Rimligt? : Ja
SVAR:Den erforderliga kraften är 200 N.
.
Lektionsuppgifter forts.
1207. För att lossa en mutter erfordrades ett
moment på 120 Nm. Hur stor hävarm behöver du
om du bara orkar dra med 400 N?
SVAR: 0,3 m
1208. På äldre segelfartyg hade man ankarspel (för
att hissa ankaret) som drevs av människokraft. Flera
sjömännen hjälptes åt genom att trycka sig mot sin
”spak” och med stor möda vrida det stora spelet
runt.
Hur stort vridmoment kan 6 sjömän åstadkomma
om de var och en orkade trycka med 700 N och
Krafter och moment Steg 2
avståndet in till centrum var 1100 mm?
SVAR: 4,62 kNm
Övningsuppgifter (G)
1209. En satelit som svävar i tyngdlöshet väger
180 kg dess position skall justeras och därför
beslutar man att accelerera sateliten under några
sekunder för att ge den en lämplig hastighet.
Accelerationen skall vara 2,0 m/s2.
Hur stor kraft måste raketmotorn avge?
SVAR: 360 N
1210. På en låda står en hink. Lådans tyngdkraft är
1500 N.
Hur många kg måste man lägga i hinken för att
totala tyngdkraften skall bli 1650 N? (Försumma
hinkens egenvikt)
SVAR: 15,3 kg
1211. Ett maskinfundament som vilar på luftkuddar
väger 2500 kg. Du skall ge det en acceleration på
0,1 m/s2.
Hur stor kraft måste du använda?
SVAR: 250 N
1212. En finlandsfärja har massan 40000 ton. En
vindstilla dag får du för dig att försöka ”rubba” färjan
där den ligger förtöjd vid kaj med slacka tampar. Du
orkar uppskattningsvis åstadkomma en kraft på ca
4500 N genom att ställa dig på en av förtöjningarna.
Kommer du att lyckas och med vilken acceleration
kommer färjan att röra sig?
SVAR: 0,0001125 m/s2
1213. En varmluftsballong förankrad vid marken
har en lyftkraft på 6000 N. Egenvikten är 300 kg och
lasten 175 kg.
Hur stor kraft är det i förankringslinan?
SVAR: 1336 N
1214. Du har lovat hjälpa till med att byta till
vinterhjul på familjens bil. Glad i hågen tar du dig
ann uppgiften men det visar sig att du inte orkar
lossa hjulmuttrarna med den nyckel som ligger i
bilen.
7
8
Mekanikens grunder
Hur gör du för att öka din vridkraft?
1215. När du till slut lyckas lossa en mutter har du
använt 50 kg med en nyckellängd på 0,5 m.
Hur stort vridande moment behövdes?
SVAR: 245,5 Nm
1216. På din cykel sitter pedalen med 20 cm
hävarm.
När blir momentet som störst och hur stort, om du
väger 65 kg?
SVAR: 127,7 Nm
1217. Test
Om du vet svaren på följande frågor kan du gå vidare till VG-nivån.
Svaren får du av din handledare!
12G1
Vilken enhet har kraft?
12G7
Vilken bokstav betecknar
vridmoment?
12G2
Med vilken bokstav betecknas kraft i
allmänhet?
12G8
Nämn två sätt att öka det vridande
momentet!
12G3
Vad kan man göra med en kraft?
12G9
Hur räknar man ut momentet?
12G4
Hur ritar man en kraft i figuren?
12G10 Vilken enhet har moment?
12G5
Vilka krafter får man addera utan
vidare?
12G11 Vad menas med ett vridmoments
riktning?
12G6
Hur kan man åstadkomma vridning?
Teori del
Krafter och moment Steg 2
Storheter och enheter
Vi använder oss genomgående av SI-systemets storheter och enheter.
Ex. på namn på storheter är längd, massa, kraft och varje storhet har också
en bokstav eller storhetsbeteckning, exempelvis “m” för massa och “F” för
kraft (G för tyngdkraft).
Enheterna har på motsvarande sätt både namn och beteckningar, exempelvis
“kg” för kilogram och “m” för meter.
Två sätt att skriva samma sak:
storhet
mätetal
enhet
Massan = 24 kilogram
eller
Storhetsbeteckning
m = 24 kg
Enhetsbeteckning
mätetal
Mer om krafter
Vi skall utvidga resonemanget om tyngdkraften till att gälla krafter i
allmänhet.
Kraft
Storheten kraft är av fundamental betydelse inom mekaniken. En
uppfattning om vad kraft är får man, då man håller en kropp upplyft.
Den attraktion, som jorden utövar på kroppen, tyngdkraften, ger upphov till
en muskelansträngning, när vi på detta sätt hindrar kroppen från att falla till
marken. Vår muskelkraft håller jämvikt med tyngdkraften.
Om vi uppfattar tyngden som en kraft, kan vi definiera storheten kraft på
följande sätt:
En kraft är varje påverkan på en kropp som kan hålla jämvikt med
tyngdkraften eller andra krafter.
Ett alternativt sätt att definiera storheten kraft framgår av följande
resonemang.
Om en kropp släpps från en viss höjd över marken, kommer den att utföra en
rätlinjig rörelse med ökande hastighet. Orsaken till denna accelererade
rörelse är jordens dragningskraft på kroppen. Kraften ger sig tillkänna
genom sin accelererande verkan på kroppen. Definitionen blir följaktligen:
En kraft är den enda storhet som kan orsaka hastighetsändring
(acceleration).
9
10
Mekanikens grunder
Enheten för kraft är enligt SI-systemet 1 newton (N).
Som exempel på krafter kan också nämnas sådana reaktionskrafter och
friktionskrafter, som uppkommer i kontaktytan mellan två kroppar,
dragkrafter i linor, drag och tryckkrafter i stänger, tryckkrafter från gaser
och vätskor, magnetiska och elektriska krafter.
Om vi vill räkna ut den kraft som behövs för att ge en kropp en viss
acceleration måste vi också känna till kroppens massa.
Den almänna kraftekvationen skrivs:
F  ma
Jämför med tyngdkraften :
G  mg
Tyngdkraften beteknas med G men krafter i största almännhet betecknas me
F (force).
Skalär
Kraftpil
En storhet som är fullständigt bestämd av sin storlek (mätetal och enhet)
kallas skalär.
Exempel på skalärer är tid, temperatur, längd, yta, volym, massa.
Vektor
Längd =
storlek

En storhet, som för att fullständigt definieras måste anges med såväl storlek
som riktning kallas vektorstorhet eller kortare, vektor. Till sådana storheter
räknas förflyttning, hastighet, acceleration., kraft etc. Man kan åskådligöra
en vektor geometriskt med en pil.
Pilens längd anger vektorns storlek i en viss skala och pilspetsen dess
riktning.
Är exempelvis vektorn en kraft, kan vi låta en cm av pilens längd motsvara
ett visst antal newton, säg 100 N. Kraftskalan anges då på följande sätt:
1 cm = 100 N.
Detta läser vi: ”En cm motsvarar 100 newton”.
Idealiseringar i mekaniken
Vid analytisk behandling av fysikaliska förlopp måste idealiseringar
(förenklingar) göras. Härvid ersätts aktuella fysikaliska fenomen och
verkliga kroppar med tänkta, förenklade modeller. Man har härigenom
möjlighet att bortse från sådana storheter., som obetydligt påverkar de sökta
sambanden, men som skulle göra beräkningarna mycket komplicerad eller
rent av omöjlig. Man måste givetvis vara säker på, att de beräknade
resultaten genom idealiseringarna ej avviker allt för mycket från
verkligheten.
De modeller (figurer) vi använder vid problemlösning är ofta exempel på
förenklingar.
Q
Krafter och moment Steg 2
11
Utbredd kraft
Den snö som belastar ett hustak är ett exempel på en utbredd kraft. Utbredda
krafter brukar betecknas med Q och ritas som många pilar bredvid varandra.
Punktkraft
Punktkrafter ritas med kraftpilar.
Punktkrafter betecknas med bokstäverna F (vilken kraft som hellst), G
(tyngdkrafter).
I bland väljer man att se utbredda laster som punktlaster och då behåller man
beteckningen Q, se figuren till höger.
En vanlig förenkling inom mekaniken är att räkna med punktkrafter trots att
alla belastningar i verkligheten är utbredda. Den belastning som en person
stående på ett tak utgör, förenklas ofta till en punktbelastning trots att
personen har två fötter. En sådan punktkraft betecknas med F.
Q
12
Mekanikens grunder
Grundsatser för krafter
När vi studerar krafters verkan på en partikel eller på en stel kropp, bygger
vi upp våra teorier på två grundsatser. Dessa satser är axiom, dvs. de kan ej
bevisas utan grundar sig på erfarenhet. De lagar som formuleras med hjälp
av dessa grundsatser är således fysikaliskt giltiga i samma utsträckning som
axiomen. Vi skall först redovisa dessa två grundsatser samt därefter härleda
en viktig följdsats för stela kroppar.
Sats I
Två krafter som angriper i en och samma punkt kan samansättas enligt
parallellogramsatsen.
Parallellogramsatsen lyder:
Resultanten FR till två krafter F1 och F2 som angriper i samma punkt, är
diagonal i den parallellogram som kan bildas med F1 och F2 som sidor.
Konstruktionen framgår direkt av figur M12-1 Resultanten FR är i det här
fallet en kraft, som har samma verkan som krafterna F1 och F2 dvs. är
utbytbar med dessa. Krafterna F1 och F2 benämns komposanter.
Fig : M12-1
Fig : M12-2
F1
FR
F2
Sats 2
Två lika stora och motriktade krafter, som verkar utefter samma
verkningslinje, upphäver varandras verkan på en stel kropp.
Se figur M12-2
Med hjälp av sats 2 kan vi omedelbart härleda en viktig följdsats:
Sats 3
En kraft kan förskjutas utefter sin verkningslinje utan att dess verkan på en
stel kropp förändras.
Krafter och moment Steg 2
Med andra ord det spelar ingen
roll om vi skjuter på eller drar
bilen i ett rep när den behöver
hjälp till verkstaden!
Summering av krafter
Som du redan lagt märke till kan krafter som är riktade åt samma håll
summeras genom vanlig addition. Men om krafterna är riktade åt olika håll
måste vi göra på ett annat sätt.
Grafisk metod
Sats 3 ovan betyder att vi kan flytta kraftpilar framåt eller bakåt, vi kan
alltså ordna dem så att de startar i samma punkt se Figur M12-4.
Fig : M12-4
Fig : M12-5
F1
F1
Verknings
-linje
FR
F2
F2
Nästa steg är att rita en parallellogram enligt Figur M12-5.
Om vi ritar noggrant och med kraftskala kommer vi att kunna mäta
resultantens längd och med hjälp av kraftskalan räkna ut resultantens
storlek. Det är det som kallas summering av krafter med grafisk metod.
13
14
Mekanikens grunder
Kraftpar och Moment
Om du varit med om att byta hjul på en bil har du kanske använt ett så kallat
“fälgkors” för att lossa respektive dra åt hjulmuttrarna, ett verktyg som
används som på bilden.
Bild: M12-6
På ena sidan trycker man och på andra drar man. Resultatet blir en vridkraft
på muttern. Två krafter som hjälps åt på detta vis kallas för ett kraftpar och
vridkraften kallas med ett annat ord för moment.
Ett moment kan också åstadkommas som nästa bild visar.
Bild M12-7
Alla som har bytt hjul på en bil vet att man måste lossa muttrarna som håller
fast hjulen innan man hissar upp hjulet med domkraften.
Om man glömmer det och ändå försöker vrida loss en av muttrarna kommer
hela hjulet att snurra trots att du vrider på en av muttrarna. Resultatet blir
det samma oavsett vilken mutter du försöker lossa. Förklaringen är att inte
bara muttern utan även hjulet utsätts för ett moment. Vi återkommer till
detta längre fram.
Krafter och moment Steg 2
Övningsuppgifter (VG)
1218. Beräkna resultanten och rita ut den till
höger!
12 N
5N
1219. Beräkna resultanten och rita ut den till
höger!
12 N
5N
1220. Beräkna resultanten och rita ut den till
höger!
12 N
5N
1221. Sök resultanten till följande krafter!
60 N
90 N
120 N
1222. Sök resultanten till följande krafter!
100 N
80 N
40 N
90 N
1223. Sök resultanten till följande krafter!
55 N
72,5 N
22 N
31,4 N
15
16
Mekanikens grunder
1224. Två lådor med massorna m1 = 30 kg
och m2 = 80 kg är upphängda i en lina
enligt figuren.
Hur stor kraft verkar vid linans
infästning A?
A
m1
m2
SVAR: 1081 N
1225. Tre lådor med massorna m1 = 10 kg, m2 =
20 kg och
m3 = 30 kg är upplagda på ett bord.
Hur stor kraft verkar på bordet?
m1
m2
m3
SVAR: 590 N
1226. Beräkna momentet på grund av kraftparet i
figuren.
1 kN
1m
1 kN
SVAR: 1 kNm
Krafter och moment Steg 2
Självtest (VG)
Vilken enhetsbeteckning har newton?
Hur räknar man ut F ?
Hur räknar man ut ett kraftmoment?
Hur många newton är 1 kN ?
Vad betyder begreppet momentarm, kan du ange
ett annat ord?.
Vad menas med en krafts verkningslinje?
Vad menas med “idealisering” inom mekaniken?.
Om du adderar två komposanter, vad får du då?
Vad är skillnaden mellan en vektor och en skalär
storhet?
Vad innebär förskjutningssatsen?
Nämn några vektor-storheter.
Ge exempel på utbredda krafter.
Ange några exempel på skalära storheter.
Hur kan jag påstå att punktkrafter egentligen
inte finns?
SVAR till uppgifter på sidan 15
1217: 7 N riktad åt höger.
1218: 17 N riktad åt vänster.
1219: 17 N riktad åt höger.
1220: 30 N riktad åt vänster.
1221: 230 N riktad åt höger.
1222: 74,1 N riktad åt vänster.
17
18
Mekanikens grunder
Övningsuppgifter (MVG)
Här följer några lite svårare uppgifter att öva på innan du tar dig ann
inlämningsuppgift (MVG).
1227. En stång med massan m1 = 25 kg bär
upp en massa m2 = 50 kg vid B
Hur stor kraft F måste utvecklas
vid punkten A?
A
m1
B
SVAR: 736,5 N
m2
1228. Hur stor måste krafterna vara för att
momentet skall bli 10 kNm?
0,5 m
F
F
SVAR: 20 kN
1229. Bestäm resultanten till krafterna F1 och F2
(grafiskt).
Kraftskala: 1 cm = 10 N
SVAR: (fråga handledaren)
1230. Bestäm resultanten till krafterna F1 och F2
(grafiskt).
Kraftskala: 1 cm = 10 N
SVAR: (fråga handledaren)
Lycka till !